Módulo de Matemáticas Académicas II Nivel II de ESPAD … ADULTAS/U1_… · fracciones equivalentes que forman un número racional están representadas en el mismo punto de la

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Este documento ha sido realizado por la profesora Carmen de la Fuente Blanco para losalumnos que cursan el Ámbito Científico Tecnológico del nivel II de Educación Secundariapara Personas Adultas a Distancia en el IES EL PINAR del Alcorcón en la opción deenseñanzas académicas, concretando y desarrollando el currículo establecido para laobtención del título de Graduado en Educación Secundaria Obligatoria por personas adultasen la Comunidad de Madrid (BOCM de 16 de mayo de 2017)

La autora del documento agradece al equipo de Matemáticas de Marea Verde porcompartir los archivos de sus apuntes. Para la elaboración de este documento se hanutilizado partes de los siguientes capítulos de los textos elaborados por el equipo deMatemáticas de Marea Verde (www.apuntesmareaverde.org.es):

1- Números racionales del libro MATEMÁTICAS 3ºB de ESO (Autor: Paco Moya)

2- Potencias y raíces del libro MATEMÁTICAS 3ºB de ESO (Autora: Nieves Zuasti)

1- Números reales del libro MATEMÁTICAS 4ºB de ESO (Autor: Paco Moya)

2- Potencias y raíces del libro MATEMÁTICAS 4ºB de ESO (Autor: José Antonio Encabo)

Módulo de Matemáticas Académicas II

Nivel II de ESPAD

Unidad 1Números racionales y números irracionales

Los números reales

http://www.apuntesmareaverde.org.es/

NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALESNÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES

LOS NÚMEROS REALESLOS NÚMEROS REALES

ÍNDICE

1. NÚMEROS RACIONALES...............................................................................................................................1

1.1. Definición...........................................................................................................................................1

1.2. Los tres significados de una fracción.................................................................................................1

1.3. Fracciones equivalentes....................................................................................................................2

1.4.Reducción a común denominador......................................................................................................3

1.5. Ordenación de fracciones..................................................................................................................3

1.6. Representación en la recta numérica................................................................................................4

1.7. Operaciones con fracciones..............................................................................................................6

1.8. EXPRESIÓN DECIMAL Y FRACCIONARIA DE UN NÚMERO RACIONAL .................................10

1.9. PROBLEMAS CON FRACCIONES.................................................................................................12

2. NÚMEROS IRRACIONALES.........................................................................................................................16

3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.........................................................................................17

3.1. Definición y representación de los números reales en la recta real................................................17

3.2. Intervalos en la recta real.................................................................................................................18

3.3. Aproximaciones y errores................................................................................................................19

4. NOTACIÓN CIENTÍFICA................................................................................................................................20

4.1. Expresiones en notación científica..................................................................................................20

4.2.Operaciones en notación científica...................................................................................................20

5. RADICALES..................................................................................................................................................... 21

5.1. Definición de raíz enésima de un número:......................................................................................21

5.2. Radicales como potencias de exponente fraccionario. Propiedades..............................................21

5.3. Introducir y extraer factores en un radicando..................................................................................23

5.4. Suma y resta de radicales...............................................................................................................23

5.5.Racionalización de radicales............................................................................................................23

6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS............................................................................................................................25

Módulo de Matemáticas Académicas

1. NÚMEROS RACIONALES

1.1. DefiniciónLos números racionales son todos aquellos números que pueden expresarse mediante unafracción de números enteros.

Es decir, el número r es racional si ar

b= , con a, b números enteros y b 0.

El nombre “racional” viene de “razón”, que en matemáticas significa división o cociente.

El conjunto de todos los números racionales se representa por Q.

Un número racional tiene infinitas representaciones en forma de fracción.

Así: 1 3 6...

3 9 18= = = son infinitas fracciones que representan al mismo número racional, se llaman

“equivalentes” puesto que tienen igual valor numérico. Si hacemos las divisiones en el ejemplotodas valen 0,333… que es su expresión decimal.

Los números “enteros” son racionales puesto que se pueden expresar mediante una fracción, por

ejemplo 82

4

-- = , es decir Z⊂Q (el conjunto Z está incluido en el conjunto Q)

Todo número racional tiene un representante que es su fracción irreducible, aquella que tiene losnúmeros más pequeños posibles en el numerador y el denominador. A esta fracción se llega apartir de cualquier otra dividiendo el numerador y denominador por el mismo número. Si sequiere hacer en un solo paso se dividirá entre el Máximo Común Divisor (M.C.D.) del numerador yel denominador.

Ejemplo: 60 6 3

80 8 4= = donde hemos dividido primero entre 10 y después entre 2, pero podíamos

haber dividido entre 20 directamente ya que 20 es el MCD(60, 80). Por tanto 3/4 es la fracciónirreducible y por ello la que representa al número racional que tiene otras muchas formas defracción como 60/80 = 6/8 = 30/40 = 12/16 = 9/12 = 15/20, = 18/24 = 21/28 = 24/32 = 27/36 … ypor expresión decimal 0,75

1.2. Los tres significados de una fracción1. Una fracción es una parte de la unidad. Un todo se toma como unidad que se divide en

partes iguales. La fracción expresa cuántas de esas partes iguales se toman.

Ejemplo→ 5

2 de un segmento indica un trozo del

segmento obtenido dividiéndolo en 5 partesiguales y tomando 2 de esas partes.

2. Una fracción es el cociente indicado de dos números. Para transformar la fracción en unnúmero decimal, se divide el numerador entre el denominador

Ejemplo→ 4,0525

2

UNIDAD 1 : Números racionales y números irracionales. Los números reales Página 1


3. Una fracción es un operador que transforma una cantidad dada. Para calcular la fracciónde un número, se divide el número por el denominador, y el resultado se multiplica por elnumerador. También se puede hacer multiplicando primero el número por el numerador ydividiendo el resultado por el denominador. Otra forma equivalente de obtener la fracciónde un número es transformar la fracción en número decimal y multiplicar el resultado porel número

Ejemplo→ 5

2de 10 mm son 4 mm porque 10:5·2 = 2·2 = 4, o también 10·2:5 = 20:5 = 4, o

también 2:5·10 = 0,4·10 = 4

1.3. Fracciones equivalentesDos fracciones son equivalentes si se verifica cualquiera de las siguientes condiciones (todas lascondiciones son equivalentes):

Al hacer la división obtenemos la misma expresión decimal.

Ejemplo: 4 : 5 = 8 : 10 = 0,8 luego 4 8

5 10y son equivalentes y puede escribirse 4 8

5 10= .

Los productos cruzados son iguales: · ·a c

a d b cb d= Û =

Es fácil de demostrar, multiplicamos a ambos lados del igual por b y por d · · · ·a c

b d b db d

= ,

como b : b = 1 y d : d = 1 nos queda a·d = c·b.

Ejemplo: 12 6

8 4= puesto que 12 · 4 = 8 · 6 = 48

➢ Al simplificar las fracciones se llega a la misma fracción irreducible.Si A = B y C = B a la fuerza A = C

Ejemplo: 80 4 12 4 80 12;

60 3 9 3 60 9luego= = =

➢ Se puede pasar de una fracción a otra multiplicando (o dividiendo) el numerador y eldenominador por un mismo número.

Ejemplo: 6 24

4 16= pues basta multiplicar el numerador y el denominador de la primera por

4 para obtener la segunda. En general : ·

·

a a n

b b n=

Actividades propuestas 1

1. Coloca los numeradores y denominadores que faltan para que las fracciones de cada apartado seanequivalentes y comprueba la igualdad de los productos cruzados:

a) 530

24 b)

756

40 c)

5060

48 d)

3

50

15 e)

5

49

35

2. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener la fracción irreducible equivalente:

a) 24

6b)

28

8c)

3360

560

Página 2 UNIDAD 1 : Números racionales y números irracionales. Los números reales


1.4.Reducción a común denominadorCon objeto de comparar dos o más fracciones (ver cuál es mayor) y también para poder sumarlas orestarlas es importante obtener fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

Ejemplo : Queremos saber si 5/6 es mayor que 6/7 sin hacer la división. Buscamos un múltiplocomún de 6 y de 7 (si es el mínimo común múltiplo mejor, pero no es imprescindible), 42 es

múltiplo de 6 y de 7. Lo escribimos como nuevo denominador para las 2 fracciones: 5 6;

6 42 7 42= =

Ahora calculamos los nuevos numeradores: como el 6 lo hemos multiplicado por 7 para llegar a 42

pues el 5 lo multiplicamos también por 7 para obtener una fracción equivalente 5 5·7 35

6 6·7 42= = y

como el 7 lo he multiplicado por 6, el 6 también lo multiplico por 6 obteniendo 6 6·6 36

7 7·6 42= = .

Ahora está claro cuál de las 2 es mayor: 67>

56

Para obtener fracciones equivalentes a b

a y d

c con el mismo denominador buscamos un múltiplo

común de b y d (si es el mínimo común múltiplo mejor) que llamamos m y hacemos

mb

ma y

md

mc .

1.5. Ordenación de fraccionesPara ordenar una serie de fracciones existen varios procedimientos:

i) Hacer las divisiones y comparar las expresiones decimales.

Este procedimiento es el más fácil pero no el más rápido (salvo que tengas calculadora).

Ejemplo: Nos piden que ordenemos de menor a mayor las siguientes fracciones:

20 21 20 21 29 28; ; ; ; ;

19 20 19 20 30 29

- -

Hacemos las divisiones que dan respectivamente: 1,0526…; 1,05; 1,0526…; 1,05; 0,9666… y0,9655… Mirando los números decimales sabemos que:

20 21 28 29 21 20

19 20 29 30 20 19

- -< < < < <

Recuerda→ los números negativos son siempre menores que los positivos y además entrenúmeros negativos es menor el que tiene mayor valor absoluto (4 < 3).

Tienes que tener claro que si a y b son positivos y a > b ba

11

ii) Reducir a común denominador y comparar los numeradores:

Ejemplo: Nos piden que ordenemos de mayor a menor las siguientes fracciones:

5 7 9 7 2; ; ; ;

6 8 4 3 1

- - -



Primero buscamos un número que sea múltiplo de 6, de 8, de 4 y de 3 (si esel mínimo común múltiplo mejor que mejor). Encontramos el 24 que esmúltiplo de todos ellos. Lo ponemos como nuevo denominador de todas lasfracciones y calculamos los nuevos numeradores para que las fraccionessean equivalentes:

24:6 = 4 luego el 6 hay que multiplicarlo por 4 para llegar a 24, lo mismohacemos con el 5, 5·4 = 20 es el nuevo numerador. Así con las demás.

Después comparamos los numeradores y obtenemos que7 5 9 7

28 6 4 3

- -> > - > > ya que 21 > 20 > -48 > –54 > –56


1. Reduce las fracciones de cada apartado a un común denominador y ordénalas después de menor amayor separando una de otra con el símbolo < :

a) 15

7,

3

1,

5

4b)

12

7,

4

3,

6

5c)

12

7,

18

7,

9

5

2. Calcula el valor decimal de las fracciones del ejercicio anterior y comprueba la ordenación.

1.6. Representación en la recta numérica

Ésta es la recta numérica, en ella todo número real tiene un lugar exacto.

Recuerda que Para dibujarla sólo se pueden tomar dos decisiones: donde colocamos el 0 y donde

colocamos el 1, es decir, dónde está el origen y cuál es el tamaño de la unidad. Las unidades han de ser siempre del mismo tamaño. Los números positivos van a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. El 0 no es ni positivo ni negativo. La recta numérica no tiene ni principio ni fin, sólo podemos dibujar una “pequeña” parte. Dos números a, b siempre se pueden comparar y se cumple que a < b si a está a la

izquierda de b y viceversa (cuanto más a la izquierda esté un número menor es)

Ejemplos: 1 < 3; –1 < 1; –4 < –2; –1 < –1/2

Todo número racional tiene una posición predeterminada en la recta numérica. Las infinitasfracciones equivalentes que forman un número racional están representadas en el mismo puntode la recta. Así que 1/2 y 2/4, que son el mismo número están en el mismo punto.

Veamos como representar las fracciones de forma exacta según el tipo de fracción.

Fracción propia, fracción impropia y forma mixta

Fracción propia: Se dice de una fracción a/b donde a < b, es decir, el numerador es menor que eldenominador. La expresión decimal de una fracción propia es, en valor absoluto, menor que 1.

Ejemplos: 4/5 y 99/100 son fracciones propias, 4/5 = 4:5 =0,8 y 99/100=99:100=0,99


5 5·4 20

6 6·4 247 7·3 21

8 8·3 249 9·6 54

4 4·6 247 7·8 56

3 3·8 242 2·24 48

1 1·24 24


Fracción impropia: Se dice de una fracción a/b donde a > b, numerador mayor que eldenominador. La expresión decimal de una fracción propia es, en valor absoluto, un númeromayor que 1

Ejemplos: 15/4 y -37/27 son fracciones impropias, 15/4 = 3,75 y -37/27 = -1,37037037…

Número mixto: Las fracciones impropias pueden escribirse como la suma de un número entero yde una fracción propia.

Ejemplo: 9 5 4 41

5 5 5

+= = + , ésta última es la forma mixta.

En España no es frecuente pero en el mundo anglosajón suele escribirse 41

5 que significa lo mismo.

Ejemplo de paso de una fracción impropia a número mixto: 77

6 es impropia pues 77 > 6, para

escribirla en forma mixta hacemos la división entera 77 : 6, es decir, sin decimales, ya que lo que

nos interesa es el cociente, que es 12, y el resto, que es 5. Por lo tanto 776

=12+ 56 El cociente es la

parte entera, el resto es el numerador de la fracción propia y el divisor es el denominador.

Es importante que lo intentes hacer de cabeza (cuando sea razonable), es fácil, por ejemplo:

47/6, buscamos el múltiplo de 6 más cercano a 47 por abajo, éste es 7 · 6 = 42, por tanto:47/6 = 7 + 5/6 puesto que de 42 a 47 van 5. Piénsalo, si nos comemos 47/6 de pizza, nos hemoscomido 7 pizzas enteras y además 5/6 de pizza.

Si la fracción es negativa procedemos de la siguiente forma: 19 4 43 3

5 5 5

- æ ö= - + = - -ç ÷è ø

a) Representación de una fracción propia:

Ejemplo: Para representar la fracción 5/6, como el valor está entre 0 y 1, dividimos la primeraunidad en 6 partes iguales y tomamos 5.

En la figura se indica cómo hacerlo de forma exactausando el Teorema de Tales. Trazamos una rectaoblicua cualquiera que pase por 0 y sobre ellamarcamos con el compás 6 puntos a igual distanciaentre sí (la que sea, pero igual). Unimos el último puntocon el 1 y trazamos paralelas a ese segmento que pasenpor los puntos intermedios de la recta oblicua (laslíneas discontinuas). Estas rectas paralelas dividen elintervalo [0, 1] en 6 partes iguales. Fíjate que paradividir en 6 partes iguales sólo hay que marcar 5 puntosintermedios a igual distancia, siempre uno menos.

Si la fracción es negativa se hace igual pero en el intervalo [1, 0].

En la figura hemos representado –5/8, hemos dividido el intervalo [–1, 0] en 8 partes iguales yhemos contado 5 empezando en el 0.

Si queremos representar una fracción propia positiva a/b se divide la primera unidad en “b”partes iguales y se cuentan “a” divisiones. En caso de ser negativa se hace igual pero contandodesde 0 hacia la izquierda.



b) Representación de una fracción impropia:

Ejemplos: Para representar 13/6 lo primero es escribirla en su forma mixta, 13 12

6 6= + , ahora es fácil

representarla, nos vamos al 2, la unidad que va del 2 al 3 la dividimos en 6 partes iguales ytomamos 1.

Para 11 31

8 8= + , nos vamos a la unidad que va del 1 al 2 la dividimos en 8 partes iguales y tomamos 3.

Si la fracción es negativa, como −127

, pasamos a forma mixta 12 5 51 1

7 7 7

- æ ö= - + = - -ç ÷è ø

, nos vamos a la

unidad que va del –1 al –2, la dividimos en 7 partes iguales y contamos 5 hacia la izquierdaempezando en –1.

Para representar −114

, como 11 3 32 2

4 4 4

- æ ö= - + = - -ç ÷è ø

nos vamos a la unidad que va de –2 a –3,

dividimos en 4 partes iguales y tomamos 3, contando hacia la izquierda y empezando en –2 .


1. Pasa a forma mixta las siguientes fracciones: 50 25 101; ;

7 11 6

2. Pasa a forma mixta las fracciones 30 50 100; ;

7 13 21

- - -

3. Representa en la recta numérica las fracciones : 1 3 5 3; ; ;

5 7 8 4

- -

4. Pasa a forma mixta y representa las fracciones: 23 23 180 26; ; ;

8 8 50 6

- -

5. Halla las fracciones que se corresponden con los puntos A, B, C, D y E, expresando en formamixta y como fracción impropia las representadas por los puntos A, B y E.



1.7. Operaciones con fracciones

Suma y resta de fraccionesLa suma y la resta son las operaciones más exigentes puesto que sólo pueden sumarse o restarsecosas “iguales”. No podemos sumar metros con segundos, ni € con litros. De la misma forma nopueden sumarse tercios con quintos, ni cuartos con medios. Es decir, no se puede hacer la suma5 3

6 4+ así tal cual, ya que los sextos y los cuartos son de distinto tamaño. Para poder hacer la suma,

antes es necesario hallar 2 fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

Veamos el ejemplo: Un múltiplo de 6 y 4 es 12. Escribimos 12 como nuevo denominador yhallamos los numeradores para que las fracciones sean equivalentes:

5 3 5·2 3·3 10 9 10 9 19

6 4 12 12 12 12 12 12

++ = + = + = = (los doceavos ya sí se pueden sumar, y el resultado son doceavos)

Otro ejemplo: 13 51 8 13·10 51·6 8·5 130 306 40 136 34

6 10 12 60 60 60 60 60 15

- + - -- + = - + = = =

Hallamos un múltiplo de 6, de 10 y de 12 (60 es el mínimo común múltiplo), se escribe como denominador común yhacemos 60 : 6 = 10, luego el 13 lo multiplicamos por 10, 60:10 = 6 luego el 51 lo multiplicamos por 6, etc.

Cuando todas las fracciones tienen igual denominador, se suman o restan los numeradores,dejando el mismo denominador. Si es posible se simplifica la fracción resultante.

En general, se define la suma de dos fracciones con la fórmula · ·b

· ·

a c a d c ad cb

b d b d b d bd

++ = + =

Ejemplo: 15 19 15·155 19·387 9678 3226

387 155 387·155 59985 19995

++ = = =

Producto de fracciones

Para multiplicar dos fracciones ab y c

d se multiplican los numeradores entre sí para obtener el

numerador de la fracción producto y los denominadores entre sí para determinar el denominador

de dicha fracción: ··

·

a c a c

b d b d=

Ejemplo: 3 5 3·5 15·

11 7 11·7 77= =

Vamos a explicar por qué las fracciones se multiplican así con un ejemplo:2 3·

5 4 significa hallar 2/5 de 3/4. Imagina que la unidad, o el todo, es el rectángulo

de la imagen. Para representar los ¾ del rectángulo hay que dividirlo en 4 partesiguales y coger 3 (las 3 franjas inferiores de la figura). Ahora debemos hacer 2/5de lo que nos ha quedado, esas 3 franjas las dividimos en 5 partes iguales ytomamos 2. Como puede verse nos quedan 6 partes iguales de las 20 totales, por

eso 25

·34=

620

A veces conviene hacer la multiplicación con inteligencia, como en el siguiente ejemplo:



Antes de multiplicar nos fijamos en que el 17 se puede simplificar(¿para qué vamos a multiplicar por 17 y luego dividir por 17?) y despuésel 5 puesto que 15=3·5.

Haz tú 1 2 3 4 5· · · ·

2 3 4 5 6(esperamos que llegues al resultado correcto ya simplificado que es 1/6)

Conviene simplificar los cálculos siempre que se pueda, pero presta atención para hacerlo correctamente y nohacer barbaridades como las siguientes:

La igualdad anterior es absolutamente falsa (10/12 = 5/6 es el resultado correcto y no 3/5).

La igualdad anterior también es una barbaridad (17/33 es el resultado correcto y no 5/9)

Fracción inversa

La fracción inversa de a

b es b

a pues se cumple que · 1

a b ab

b a ab= = que es la definición de inverso.

Ejemplos: La inversa de 3/4 es 4/3 y la inversa de 2 es 1/2.

División de fracciones

Para dividir la fracción ab entre c

d se multiplica la primera fracción por la inversa de la

segunda : : ·a c a d ad

b d b c bc= = ( se ponen los productos cruzados, ad en el numerador y bc en el denominador).

Ejemplo: 610

:1215

=610

·1512

=2·3 ·3 ·5

2·5·2 ·2 ·3=

34

También puedes multiplicar y luego simplificar: 90 3

120 4=

Presta atención a los siguientes casos particulares:

Dividir entre 1/a es lo mismo que multiplicar por a.

Ejemplo: Dividir entre una décima es multiplicar por 10 ya que 1 10a : · 10

10 1 1

aa= =

Dividir entre un número es como multiplicar por su inverso: a : 2=a ·12=

a2

Torres de fracciones: No te asustes si tienes que hacer algo como esto

6104

15

, es muy fácil,

es lo mismo que 6 4 3 15 3·3·5 9: ·

10 15 5 4 5·4 4= = = , no olvides que “__” es lo mismo que “:”



POTENCIASSignificado de una potencia de exponente entero positivo:Dado a, un número cualquiera, y n, un número natural, la potencia an es el producto del númeroa por sí mismo n veces : an = a ∙ a ∙ a ∙ … n factores ...a

Ejemplo → (32)

4

=(32)·(

32)·(

32)·(

32)=

34

24 =8116

Propiedades de las potencias:

a) El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base ycomo exponente la suma de los exponentes: an ∙ am = am+n

Ejemplo → 32 ∙ 34 = (3 ∙ 3) ∙ (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = 34+2 = 36

b) El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia que tiene como base lamisma, y como exponente la diferencia de los exponentes: an : am = anm

Ejemplo → 55/53 = (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) / (5 ∙ 5 ∙ 5) = 55-3 = 52

c) La potencia de una potencia es igual a la potencia cuyo exponente es el producto de losexponentes: (an)m = an ∙ m

Ejemplo → (72)3 = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 76

d) El producto de potencias de distinta base con el mismo exponente es igual a otra potenciacuya base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo: an ∙ bn = (a ∙ b)n

Ejemplo → 32 ∙ 52 = (3 ∙ 3) ∙ (5 ∙ 5) = (3 ∙ 5) ∙ (3 ∙ 5) = (3 ∙ 5)2

e) El cociente de potencias de distinta base y el mismo exponente es igual a otra potenciacuya base es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo: an/bn = (a/b)n

Ejemplo → 83/73 = (8 ∙ 8 ∙ 8) / (7 ∙ 7 ∙ 7) = (8/7) ∙ (8/7) ∙ (8/7) = (8/7)3

Por definición a0=1 para cualquier número a≠0 y a1=a

La razón de la primera definición es la aplicación de la propiedad b) al caso en el que las dospotencias que tienen la misma base tengan también el mismo exponente:

an

an =an−n=a0

pero evidentemente tiene que ser an

an =1

Significado de una potencia de exponente negativo: a−n=

1

an por definición

Con el siguiente ejemplo entenderás la razón de la anterior definición:

a3

a5=a · a ·a

a ·a · a ·a ·a=

1a · a

=1a2 , pero aplicando la propiedad b)

a3

a5=a3−5=a−2

Cuando la base de la potencia es una fracción la definición anterior conduce al siguiente resultado:

(ab)−n

=(ba)

n ya que (

ab)−n

=1

(ab)

n =1an

bn

=bn

an =(ba)

n



Operaciones combinadas. Prioridad de las operacionesRecuerda→ Para hacer varias operaciones combinadas hay que seguir el siguiente orden,respetando la prioridad de una operaciones sobre otras:

1º Se hacen las operaciones de los paréntesis, empezando por los más interiores.

2º Las potencias y las raíces

3º Las multiplicaciones y divisiones.

4º Las sumas y restas.

Si hay varias operaciones con igual prioridad se harán de izquierda a derecha.

Ejemplo→Calcula paso a paso y simplifica:

3

2·

14

3

2

1:

6

4

2

1

4

3

Primero hacemos el paréntesis de más adentro y la multiplicación del segundo paréntesis quetiene prioridad sobre la resta.

3 3 4 1 1 3 1 7 2: :

4 6 6 2 7 4 6 14 14

3 1 5 9 2 5 11 14 154 77: : ·

4 6 14 12 12 14 12 5 60 30

æ ö æ - öæ ö æ ö æ ö æ ö- - - = - - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è øè ø è øæ ö æ ö= + = + = = =ç ÷ ç ÷è ø è ø


1. Realiza las operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

a) 32

64

97

3 b)

61

43

31

21

c)61

32

51

52

31

2 : d)92

331

152

53

2

2. Opera y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

a) (−13

)4

b) (32)−4

c) (−17

)−2

d)

45

3

4

3

2

3. Opera y expresa el resultado simplificado como única potencia de exponente positivo:

a) (−34

)3

·(−34

)2

·(−34

)−8

b) (54)

6

·(−83

)6

·(−37

)6

c) (76)−4

·(43)−4

·(37)−4

1.8. EXPRESIÓN DECIMAL Y FRACCIONARIA DE UN NÚMERO RACIONAL Paso de expresión como fracción a expresión decimalToda fracción tiene una expresión decimal que se obtiene dividiendo el numerador entre eldenominador (a/b = a:b) La expresión decimal de una fracción es exacta o periódica.

Ejemplos: 3 68 91 1770,12; 0,686868...; 1,1375; 1,9666...

25 99 80 90= = = =

Como puedes observar unas veces la expresión decimal es exacta (puesto que el resto de ladivisión sale 0) y otras veces sale periódica, infinitos decimales entre los que se repite un bloquede cifras que se denomina periodo.



¿Cuándo sale exacta y cuándo periódica? Si en el denominador de una fracción irreducibleaparecen factores primos distintos de 2 y de 5 la expresión decimal será periódica, mientras quesi solamente aparecen como factores primos 2 y 5 la expresión decimal será exacta.

Hallar la fracción generatriz de una expresión decimal exacta o periódicaLos números decimales exactos o periódicos pueden expresarse como una fracción de enteros.

Paso de decimal exacto a fracción

Es muy fácil, mira los ejemplos de la derecha.

Se pone en el numerador el número sin la coma y en eldenominador la unidad seguida de tantos ceros como cifrasdecimales tiene. Después se simplifica la fracción.

Paso de decimal periódico a fracción

Ejemplo: Nos piden expresar el número 7,3252525... en forma de fracción de enteros.

Lo primero que hacemos es ponerle un nombre, por ejemplo N = 7,3252525…, lo segundo esconseguir 2 números con la misma parte decimal.

El anteperiodo tiene 1 cifra y el periodo 2. Paraconseguir la misma parte decimal multiplicamospor 1000 y la coma se va hasta después delprimer periodo, si multiplicamos por 10 la comase va hasta delante del primer periodo.

Ya tenemos 2 números con la misma parte decimal, si los restamos ésta desaparece ypodemos despejar N. Fíjate que la resta se hace en los 2 miembros a la vez.

En general, para hallar la expresión como fracción de un número periódico, multiplicamos elnúmero por la potencia de 10 necesaria para llevarnos la coma al final del primer periodo, luego lomultiplicamos otra vez para que la coma quede al principio del primer periodo, restamos las dosexpresiones con el mismo período y despejamos el número.

Otro ejemplo: N = 15,25636363…

¿Cómo conseguir 2 números con la parte decimal ,636363…?

Pues lo más fácil es 10000N = 152563,6363… y 100N = 1525,6363…

Restamos: 9900N = 151038 N = 151038 8391

9900 550=

Otro ejemplo: N = 4,545454…

100N = 454,5454… N = 4,5454…

_______________

99N = 450 N = 450 50

99 11=


1175 471,175

1000 402068 517

20,68100 2531416 3927

3,141610000 1250

= =

= =

= =


Más ejemplos:

N 10N 1N = 9N

1,333… 13,333… 1,333… = 12 N = 12/9

N 100N 10N = 90N

5,6777… 567,77… 56,77… = 511 N = 511/90

N 1000N 100N = 900N

8,65888…

8658,88… 865,88... = 7793 N = 7793/900

Observa que siempre el entero que queda en la fracción resultante tiene tantas cifras 9 comocifras tenía el periodo, y tantas cifras 0 como cifras tenía el anteperiodo.


1. Pasa a fracción y simplifica: a) 1,4142 b) 0,125 c) 6,66

2. Pasa a fracción y simplifica: a) 1,41424142… b)0,125125… c) 6,666…

3. Pasa a fracción y simplifica: a) 1,041424142… b) 0,7125125… c)6,7666…

4. Pasa a fracción cada número decimal y calcula:

A. 0,333… + 0,666…

B. 0,888… · 2,5

C. 0,65 : 0,656565…

1.9. PROBLEMAS CON FRACCIONESVamos a recordar algunos conceptos esenciales en la resolución de problemas con fracciones:

a) Fracción de un número:

Para hallar una fracción ab

de un número c, se multiplica la fracción por el número ab

· c

Ejemplo→ Para hallar las 3 cuartas partes de 120.

Traducimos: hallar 3

4 de 120. Este “de” se traduce en matemáticas por un “por”, luego:

3 3 3·120120 ·120 3·30 90

4 4 4de = = = =

b) Fracción de una fracción:

Ejemplo→10 4 10 4 40 4·

6 15 6 15 90 9de = = =

Ejemplo→Halla las dos quintas partes de las diez doceavas partes de 360.

2 10 2·10·360 20·360· ·360 20·6 120

5 12 5·12 60= = = =



c) Problema inverso (hallar el total sabiendo el valor de una fracción)

Me dicen que las tres cuartas partes de un númerovalen 66. ¿Qué número es?

Está claro que un cuarto será 66 : 3 = 22 y los 4 cuartos

son 22·4 = 88. Resumiendo: 66 ·43=88

El caso general, se multiplica el número por la fracción inversa : · ·a b

x c x cb a

= Þ =


1. Halla las cuatro quintas partes de las tres cuartas partes de 12.

2. Las cinco sextas partes de un número son 100, ¿qué número es?

EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBLEMAS CON FRACCIONES

i) ¿Cuántos litros hay en 80 botellas de 3 cuartos de litro cada una?

Lo primero que debes hacer es ponerte un ejemplo con números más fáciles.

Tengo 10 botellas cada una de 2 litros. Está claro que tenemos 20 litros, ¿qué operación hemoshecho?, multiplicar, pues lo mismo hacemos con los números del problema:

3 3·80·80 60

4 4litros botellas litrosbotella = =

(Observa que botellas se simplifican con botellas y las unidades finales son litros).

ii) ¿Cuántas botellas de 3 octavos de litro necesito para envasar 900 litros?

Nuevamente cambiamos los números por otros más sencillos: quiero envasar 10 litros en botellasde 2 litros. Está claro que necesito 5 botellas (10 : 2). Hacemos lo mismo con nuestros números:

900 litros : 3

8 litros/botella = 3 8

900 : 900· 300·8 24008 3= = = botellas

Fíjate que litros se simplifica con litros y que las botellas que dividen en el denominador al finalpasan multiplicando en el numerador, por lo que unidad del resultado es “botellas”.

·:

1

litros litros litros botellabotella

botella litros= =

iii) Ana gana cierto dinero al mes, se gasta el 2/5 partes de lo que gana en pagar la letra del piso, 3/4 de lo que le queda en facturas y le sobran 90 € para comer. ¿Cuánto gana y cuánto gasta en el piso y en facturas?

Si a una cantidad le quitamos sus 2/5 nos quedan 3/5 de ella (1 2/5 = 5/5 – 2/5)

En facturas nos gastamos 3 3 9·

4 5 20= del sueldo

Si teníamos 3/5 y nos gastamos 9/20 nos quedan 3 9 12 9 3

5 20 20 20

-- = = de la cantidad inicial.



Tengo Quito Me queda

1 2/5 3/5

3/5 3/4 de 3/5 = 9/20 3/5 – 9/20 = 3/20

Esos 3/20 nos dicen que son 90 €. Por lo tanto 1/20 serán 90 : 3 = 30 €.

La cantidad total son los 20/20 luego 30 · 20 = 600 € es el dinero que Ana gana al mes.

En la letra del piso gasta 2/5 de 600 € = 1200 : 5 = 240 € y en facturas 3/4 de (600 – 240) = 3/4 de360 = 270 €.

Conviene comprobar la solución del problema:

2/5 de 600 = 240 € se gasta en la letra.

600 – 240 = 360 € quedan después de pagar la letra.

3/5 de 360 = 270 € se gasta en facturas.

360 – 270 = 90 € le quedan para comer. ¡Correcto!

También puedes hacer los razonamiento ayudándote de un gráfico:

Hacemos un rectángulo de 5 x 4 cuadrados que son losdenominadores. De las 5 franjas verticales iguales quitamos 2que es lo que se gasta en la letra del piso. Lo que queda estádividido en 4 partes iguales y quitamos 3 que es lo que se gastaen facturas. Nos quedan 3 cuadraditos que son los 90 € de lacomida. Luego un cuadradito es 90 : 3 = 30 €.

Lo que gana es 30 · 20 = 600 €.

En la letra se gasta 30 · 8 = 240 € y en facturas 30 · 9 = 270 €.

iv) A Juan le descuentan la quinta parte de su sueldo bruto en concepto de IRPF y la sexta parte del mismo para la Seguridad Social. Si cobra 600 € netos, ¿cuál es su sueldo bruto?

Sumamos las dos fracciones puesto que se refieren a la misma cantidad: 1 1 6 5 11

5 6 30 30

++ = =

que es la parte que descuentan del sueldo bruto para tener el neto. Le quedan 11 191

30 30- = de la

cantidad inicial. Esos 19/30 nos dicen que son 600 €.

Para calcular el sueldo bruto hacemos: 30600· 947,37€

19» .

Comprobación: 1/5 de 947,37 = 189,47 € paga de IRPF

1/6 de 947,37 = 157,90 € paga a la S.S.

947,37 – 189,47 – 157,90 = 600 € que es el sueldo neto. ¡Bien!

(Podría haber habido un pequeño desfase de algún céntimo debido a las aproximaciones)



ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN-1

1. Ordena de mayor a menor: 5 7 7 5 5; ; ; ;

6 8 8 6 4

- - -

2. Representa: 3 17 11; ; ; 0,125

4 6 7

--

3. Opera paso a paso y simplifica:

2 5 11: 2

3 6 32

6

æ ö- -ç ÷è ø

4. Halla las cuatro quintas partes de los cinco octavos de 360.

5. Una botella tiene llenas sus siete octavas partes, si contiene 840 cm3, ¿cuánto le cabellena?

6. Opera y expresa el resultado en forma de fracción irreducible: (25)

3

·(25)−2

·(52)

3

7. Simplifica las siguientes fracciones, halla su valor decimal y di cuáles tienen expresión

decimal exacta y cuáles periódica : 6

120;

5180

;42150

8. Pasa a fracción y simplifica: (a) 2,225 (b) 2,2252525... (c) 0,125

0,125125125...

9. Una medusa crece cada semana un tercio de su volumen.

a) ¿Cuántas semanas deben pasar para que su volumen se multiplique por más de 3?

b) Si su volumen actual es de 1200 cm3, ¿cuál era su volumen hace 3 semanas?

10. A un trabajador le bajan el sueldo la sexta parte, de lo que le queda la cuarta parte se vadestinado a impuestos y por último del resto que le queda las dos quintas partes se lasgasta en pagar la hipoteca del piso. Si aun tiene disponibles 450 €, ¿cuánto cobraba antesde la bajada de sueldo?, ¿cuánto paga de impuestos y de hipoteca?

Soluciones:

(1) 7 5 5 7 5

8 6 6 8 4

- - -> > > > . (2)

(3) 7/2 (4) 180 (5)960 cm3 (6) 25/4

7) Expresiones exactas 6120

=120

=0,05 y 42150

=725

=0,28 .Expresión periódica 5180

=1

36=0,02777...

8) (a) 89

40 (b) 2203

990 (c) 999

0,9991000

=

9) a) 4 semanas. b) 506,25 cm3.

10) Cobraba 1200 €. Ahora cobra 1000 €, paga 250 € de impuestos y 300 € de hipoteca.



2-NÚMEROS IRRACIONALESEl descubrimiento de los números irracionales fue una conmoción para los matemáticos griegosdel siglo VI a. C. porque contradecía su concepción filosófica y hacía que su sueño de expresar laarmonía del universo por medio de relaciones entre números enteros resultara imposible dealcanzar. El mismo Pitágoras descubrió el número irracional cuando menos se lo esperaba, cuandoestudiaba el triángulo rectángulo isósceles o, dicho de otra forma, analizando la diagonal delcuadrado.

Recordemos que Pitágoras fue el primero en enunciar y demostrar la ley generalque todo el mundo conoce como teorema de Pitágoras y que dice que en cualquiertriángulo rectángulo el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto(hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los otros doslados (catetos).

Si los lados de los dos catetos son iguales a 1, entonces el cuadrado de la hipotenusa es igual a 2,al ser 12+12=2, y la hipotenusa, por lo tanto, es igual a la raíz cuadrada de 2, o √2 en notaciónmoderna ( √2 es el número cuyo cuadrado es 2). Pero es fácil demostrar que no existe ningúnnúmero entero ni tampoco fraccionario que multiplicado por sí mismo dé exactamente 2. Hoyescribimos que √2=1,4142135624... , y añadimos los puntos suspensivos para indicar que elnúmero de decimales es infinito sin que haya periodicidad que nos permita llegar al final de laoperación. Estos números recibieron el nombre de “irracionales” por ser inexpresables y escaparal razonamiento. Pero a pesar de ello, la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles de lado 1está ahí y tiene una longitud tan real como la de los catetos, aunque esta medida solamente sepuede expresar con decimales de manera aproximada, nunca de manera exacta.

Llamamos números irracionales a aquellos números reales que no pueden expresarse medianteuna fracción de números enteros. El conjunto de los números irracionales se representa por I.La expresión decimal de un número irracional es infinita no periódica.

Todas las raíces cuadradas de números que no sean cuadrados perfectos son número irracionales.

Ejemplos: son irracionales √3=1,73205080... , √5=2,23606797... , √10=3,16227766...

En general, si p es un número entero y n√ p no es un número entero (es decir, p no es unapotencia n-ésima), entonces n√ p es irracional

Ejemplos:son irracionales 3√2=1,2599210... , 4√1000=5,62341325... , 5√−2=−1,14869835...

Otro número irracional famoso es π (el número que resulta de dividir la longitud de cualquiercircunferencia entre su diámetro). Demostrar que el número π es irracional no es tan sencillocomo en el caso de √2 y hasta el siglo XVIII se seguían calculando decimales intentando hallarun periodo que no existe. La demostración fue realizada por Lambert (matemático, físico,astrónomo y filósofo alemán) en 1766.


Indica a qué conjuntos numéricos ( N, Z, Q, IN, Z, Q, I) pertenecen los siguientes números:

(a) – 3, 52 (b) √4 (c) 3√−7 (d) 0,333... (e) π2

(f)−311



3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES3.1. Definición y representación de los números reales en la recta realEl conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se llama conjunto delos números reales y se representa por R : R=Q∪I (El símbolo U significa unión de conjuntos)

Los números reales se pueden representar sobre una recta, de forma que a cada número real lecorresponde un punto de la recta y viceversa, a cada punto de la recta le corresponde un númeroreal. Esta segunda parte, es la propiedad de completitud de los números reales y la que losdistingue de los números racionales (que no llenan la recta). Por esta equivalencia entre los puntosde una recta y el conjunto de los números reales llamamos recta real a una recta en la querepresentamos los números reales.

Recuerda que para representar números en una recta se elige un punto cualquiera de la mismaque representa el número 0 y una longitud unidad (o lo que es lo mismo, un punto a la derecha de0 que representa el número 1)

Otra propiedad de los números reales, que también tienen los racionales y los irracionales, es ladensidad, es decir que entre dos números reales cualesquiera hay infinitos números. Estapropiedad se puede demostrar fácilmente, ya que si a y b son dos números con a<b, es evidente

que el número a+b2 está en el punto medio entre ellos. Por ejemplo, el punto medio del

segmento de extremos los puntos que representan a los números reales 1 y 2 es el punto que

representa al número real 1+22

=1,5 . Podemos dividir de la misma manera el segmento de

extremos 1,5 y 2 para obtener el punto medio 1,5+2

2=1,75 . Podríamos volver a dividir el segmento

de extremos 1,5 y 1,75 para obtener el punto medio 1,625, y así indefinidamente, porque entredos números reales cualesquiera hay infinitos números reales.

Ya vimos cómo representar los números racionales en la recta real.

Para representar algunos números irracionales de formaexacta en la recta real se usan construcciones geométricasbasadas en el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, pararepresentar √10 se dibuja un triángulo rectángulo de base3 unidades y de altura 1 unidad porque la hipotenusa deeste triángulo mide exactamente √10 unidades .Solamente hay que llevar con el compás un segmento deesta longitud sobre la recta real con el extremo izquierdo en0 y el extremo derecho representará el número real √10

Pero, en general, será suficiente con una representaciónaproximada a partir del valor decimal aproximado delnúmero real (con la precisión que cada situación requiera).Por ejemplo, para representar el número real√3=1,73205080... podemos situarlo aproximadamente entre 1,7 y 1,8, o con una

representación más fina, entre 1,73 y 1,74, o con una representación aún más fina, entre 1, 732 y1,733, etc.



3.2. Intervalos en la recta real.Hay una notación especial para referirse a los infinitos números reales que hay entre dos números.Para referirnos al conjunto de los números que hay entre dos valores pero sin contar los extremos,usamos un intervalo abierto.

Ejemplo→ Los números superiores a 2 pero menores que 7 se representan por (2, 7) y se lee“intervalo abierto de extremos 2 y 7”. A él pertenecen infinitos números como 2,001; π; 3,5;√20 ; 5; 6,999; … pero no son de este conjunto ni el 2 ni el 7. Eso representan los paréntesis,

que entran todos los números de en medio pero no los extremos. También conviene familiarizarsecon la expresión de estos conjuntos usando desigualdades: (2, 7) = {x / 2 < x < 7} .Traducimos: Las llaves se utilizan para dar los elementos de un conjunto, dentro de ellas se enumeran loselementos o se da la propiedad que cumplen todos ellos. Se utiliza la x para denotar a un número y elsímbolo (pertenece) para indicar que es real (pertenece al conjunto de los números reales, ), la barra / significa “tal que” (en ocasiones se utiliza un punto y coma “;” o una raya vertical “ ”) y por último se dice lapropiedad que cumplen mediante una doble desigualdad. Así que lo de arriba se lee: el intervalo abierto deextremos 2 y 7 es el conjunto de números reales tales que son mayores que 2 y menores que 7.

Para la representación gráfica del intervalo abierto (2, 7) en la recta real se ponen puntos sinrellenar en los extremos y se resalta la zona intermedia. En ocasiones también se pueden poner enel 2 y en el 7 paréntesis: “( )”, o corchetes al revés: “] [“.

El concepto de intervalo cerrado es similar pero ahora sí pertenecen los extremos al conjunto.

Ejemplo→El intervalo de los números mayores o iguales que 2 pero menores o iguales que 5.Ahora el 2 y el 5 sí entran, lo que se indica poniendo corchetes [ 2, 5]. [ 2, 5] = {x ; 2 x 5} .

Fíjate que en la definición del conjunto con desigualdades ahora ponemos ≤ que significa “menor oigual”. La representación gráfica es similar pero marcando con puntos rellenos los extremos.

Usando paréntesis y corchetes, con el significado indicado de incluir o excluir los extremos, sepueden definir intervalos abiertos por un extremo y cerrados por otro.

Ejemplo→ Los números superiores a 600 pero que no excedan de 1000 son el intervalo abierto porla izquierda y cerrado por la derecha

(600, 1000] = {x ; 600 < x 1000} .

Una semirrecta es un tipo especial de intervalo no acotado por uno de sus extremos, por lo que seutilizan los símbolos +∞, para indicar que el intervalo no está acotado por la derecha y - ∞, paraindicar que el intervalo no está acotado por la izquierda.

Ejemplos→ El conjunto de los números reales positivos es el intervalo (0, +∞) = {x ; x >0} El conjunto de los números reales no mayores que 5 es el intervalo (- ∞, 5]= {x ; x ≤ 5}

(0, +∞) (-∞, 5]

El conjunto de los números reales es el único intervalo no acotado ni superior ni inferiormente:

= (- ∞, +∞) El extremo no acotado siempre se pone abierto (con paréntesis)



Actividades propuestas 81. Expresa como intervalo, en forma de conjunto (usando desigualdades) y representa en la recta real:

a) Números reales inferiores o iguales a 18.

b) Números cuyo cubo sea superior a 8.

c) Números positivos cuya parte entera tiene 3 cifras.

d) Números cuyo cuadrado sea menor que 4.

2. Da tres números racionales y tres números irracionales que estén en el intervalo (3, 4) y representade manera aproximada los números en la recta real.

3.3. Aproximaciones y errores.Aunque en la asignatura de matemáticas se prefiera expresar y manejar los números reales con suexpresión simbólica exacta ( 2 /3 en lugar de un valor decimal aproximado como 0,667 o π enlugar 3,1416), en ocasiones es necesario hacer aproximaciones por motivos prácticos.

La mejor aproximación de un número decimal, la que debes hacer cuando hagas operaciones conla calculadora y el resultado en pantalla tenga demasiadas cifras decimales para escribirlas todas,es el redondeo. Para redondear un número a un orden determinado de cifras decimales debesfijarte en la primera cifra suprimida: si ésta es mayor o igual que 5 la última cifra decimal delnúmero aproximado debe aumentarse en una unidad mientras que si es inferior a 5 mantiene suvalor.

Por ejemplo, para aproximar el número π=3,14159265... (infinitas cifras decimales),

el redondeo a décimas es π≃3,1 , el redondeo a centésimas es π≃3,14 ,

el redondeo a milésimas es π≃3,142 , el redondeo a diezmilésimas es π≃3,1416 , etc.

Se define el Error Absoluto (EA) de una aproximación como EA=∣valorreal−valoraproximado∣(Las barras significan “valor absoluto”)

Por ejemplo, si aproximamos π≃3,1416 cometemos un error de unas 7 millonésimas:

EA=∣π−3,1416∣=∣3,14159265...−3,1416∣=∣−0,0000073...∣≈0,0000073

Aún sin conocer con exactitud el valor exacto, siempre se puede poner una cota (un valor máximo)al error absoluto sólo teniendo en cuenta el orden de aproximación, así, si hemos redondeado enlas diezmilésimas (como en el ejemplo) siempre podemos afirmar que EA ≤0,00005, es decir,menor o igual que media unidad del valor de la cifra de redondeo o 5 unidades de la siguiente (5cienmilésimas), que es lo mismo.

Se define el Error Relativo (ER) como ER=EA

∣valor real∣

El cociente suele multiplicarse por 100 para hablar de % de error relativo. En general, el errorabsoluto, como el relativo, es desconocido, pero puede acotarse y será tanto menor cuantas máscifras significativas se tomen en la aproximación.


1. Da el redondeo de 3√2=1,2599210... a milésimas y acota el error absoluto.

2. Redondea 5√−2=−1,14869835... a millonésimas y acota el error absoluto.

3. Da el valor decimal aproximado de 2/3 con 4 cifras significativas.



4. NOTACIÓN CIENTÍFICA

4.1. Expresiones en notación científicaUn número expresado en notación científica está formado por un número decimal cuya parteentera está entre 1 y 9, multiplicado por10n, siendo n un número entero positivo o negativo.

a · 10n siendo 1 Parte Entera de a 9 Si el exponente n es positivo se utiliza para expresar números grandes de valor absoluto mayorque 1, y si es negativo para expresar números pequeños de valor absoluto menor que 1

Ejemplos→ 2,48·1014=248000000000000 , 3420000000000 = 3,42 · 1012 (números grandes)

7,561·10-18 = 0,000000000000000007561 0,000000000057 = 5,7 · 10 11 (números pequeños)

La edad estimada de la Tierra es aproximadamente 4· 109 años (4000000000 años)

La longitud de un virus es aproximadamente 6,2·10-8 metros (0,000000062 m)

Cuando la calculadora da un resultado que tiene más cifras que los dígitos que entran en pantallalo expresa en notación científica. Por ejemplo, da como valor de la potencia 264 el resultadoaproximado 1,844674407·1019 ( el valor exacto es 264 = 18446744073709551616)

La ventaja de la notación científica es que las cifras se dan contadas, con lo que el orden demagnitud del número es evidente. Para designar algunos órdenes de magnitud (grandes opequeños) se usan los siguientes prefijos:

giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano

109 106 103 102 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9

4.2.Operaciones en notación científicaPara multiplicar o dividir números escritos en notación científica aprovechando las propiedades delas potencias, se multiplican o dividen las partes decimales entre sí y las potencias de base 10entre sí usando la regla correspondiente (10a·10b=10a+b, 10a:10b=10a-b). Si es necesario paraexpresar el resultado en notación científica se multiplica o divide el factor decimal por la potenciade 10 necesaria para dejar en la parte entera una sola cifra distinta de cero y se divide o multiplicapor lo mismo la potencia de 10.

Ejemplos→ (5,24 ·106) · (6,3 · 108) = (5,24 · 6,3) · 106+8 = 33,012 · 1014 = 3,3012 · 1015

4,81·106

6,5 ·10−8 =4,816,5

·106−(−8)=0,74 ·1014

=7,4·1013

Para sumar y restar conviene preparar los sumandos de modo que tengan la misma potencia debase 10 y, así poder sacar factor común.

5,83 · 109 + 6,932 · 1012 7,5 · 10 10 = 5,83 · 109 + 6932 · 109 75 · 10 9 = (5,83 + 6932 75) · 10 9 =6862,83 · 109 = 6,86283 · 1012




1. Efectúa las operaciones en notación científica:

a) 0,000257 + 1,4 · 10 5 b) 200000000 – 3,5 · 106 + 8,5 · 105


a) (1,3 · 105) · (6,1 · 10 3 ) b) (4,7 · 10 8 ) · (3 · 106) · (2,5 · 10 4 )


a) (3 · 10 8 ) : (1,5 · 10 3 ) b) (3,25 · 10 5 ) · (5 · 102) : (6,25 · 10 7 )

4. A Juan le han hecho un análisis de sangre y tiene 5 millones de glóbulos rojos en cada mm3.Escribe en notación científica el número aproximado de glóbulos rojos que tiene Juanestimando que tiene 5 litros de sangre.

5. Utiliza la calculadora para obtener tu edad en segundos en notación científica.

5. RADICALES

5.1. Definición de raíz enésima de un número:La raíz enésima de un número a es un número x tal que al elevarlo a n, da como resultado a.

n√a=x x n = a

(n es el índice de la raíz, a es el radicando y x es la raíz enésima de a)

La radicación de índice n es la operación inversa de la potenciación de exponente n

Ejemplos→ 3√64=4 porque 43=64 ; 5√−32=−2 porque (―2)5= ― 32

Atención→ Como dos números opuestos x y ―x tienen el mismo cuadrado, todo número positivotiene dos raíces cuadradas con el mismo valor absoluto, una positiva y otra negativa, pero con elsímbolo radical se designa solamente la positiva. Así, por ejemplo, escribimos √9=3 y cuandodamos las dos soluciones de la ecuación x2

=9 escribimos x=±√9=±3 . Lo mismo ocurrecon todas las raíces de índice par (cuartas, sextas, etc.)

Observa que √−1 no existe en el campo real. Ningún número real al elevarlo al cuadrado da unnúmero negativo. Sólo podemos calcular raíces de exponente par de números positivos. Sin

embargo 3√−1 sí existe, pues (–1)3=(–1) ∙ (–1) ∙ (–1) = –1.

5.2. Radicales como potencias de exponente fraccionario. Propiedades.

Se define a1n=

n√a . La razón de esta definición es que (a1n )

n=a

nn =a1

=a , y por lo mismo:

apn =

n√a p

Ejemplos→ 5

23=

3√52=

3√25 2−35 =

5√2−3=5√ 1

23 =5√ 1

8 8114=

4√81=3



Podemos operar con radicales traduciéndolos a potencias de exponente fraccionario y utilizandolas propiedades de las potencias (que valen para todo tipo de exponentes)

Recuerda→ ax ·ay=ax+y ax

ay =ax−y ax ·bx

=(a · b)x ax

bx =(ab)x

(ax)

y=ax · y

Ejemplos→ 3√64· 27=(26 · 33)

13=(26

)13 ·(33

)13=2

63 · 3

33=22 · 3=12

5√ 32243

=(32243

)15=(

25

35 )15=

(25)

15

(35)

15

=23

Pero es conveniente saber operar con los radicales, y para ello es necesario aprender y aplicar lassiguientes propiedades:

a) Si multiplicamos el índice de una raíz n por un número p≠0, y a la vez elevamos el radicando aese número p el valor de la raíz no varía: n√a=

n· p√a p

Demostración: n√a=a1n=a

pn · p=

n · p√a p

Esta propiedad sirve para simplificar radicales cuando el índice de la raíz y el exponente delradicando tienen un divisor común dividiendo entre el máximo común divisor de ambos.

Ejemplo→ 6√25=2· 3√52

=3√5

También sirve para pasar varios radicales con distintos índices a radicales equivalentes con elmismo índice (elegiremos preferentemente el mínimo común múltiplo).

Ejemplo→ Para expresar 3√5 y √5 con el mismo índice 3√5=6√52 y √5=

6√53

b) Para multiplicar raíces del mismo índice se multiplican los radicandos y se halla la raíz deíndice común: n√a · n√b= n√a.b

Demostración: n√a · n√b=a1n · b

1n=(a ·b)

1n=

n√a ·b

Para multiplicar raíces con distintos índices previamente hay que pasarlas a raíces del mismoíndice usando la propiedad a)

Ejemplo→ Para multiplicar 3√5 y √5 : 3√5·√5=6√52·

6√53=

6√52 ·53=

6√55

c) Para dividir raíces del mismo índice se dividen los radicandos y se halla la raíz de índice

común: n√an√b

=n√ a

b (b≠0)

Demostración: n√an√b

=a

1n

b1n

=(ab)

1n =

n√ ab

Para dividir raíces con distintos índices previamente hay que pasarlas a raíces del mismo índice.

Ejemplo→ Para dividir 3√5 y √5 :3√5

√5=

6√52

6√53= 6√ 52

53=6√ 1

5



d) Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia: ( n√a)

p=

n√a p

Demostración: (n√a)

p=(a

1n)

p=a

pn =

n√a p Ejemplo→ ( 3√5)2=

3√52=3√25

e) La raíz de una raíz es igual a la raíz cuyo índice es el producto de los índices: m√ n√a=

m· n√a

Demostración: m√ n√a=(a1n)

1m =a

1n ·m=

n ·m√a Ejemplo→ √ 3√5=

6√5

5.3. Introducir y extraer factores en un radicandoPara introducir un factor dentro de un radical, se eleva el factor al mismo exponente que elíndice y se introduce como factor en el radicando (se deduce de las propiedades anteriores)

Ejemplo→ 2 · 3√5=3√23 ·5= 3√40

Se puede extraer un factor de un radical si su exponente es múltiplo del índice de la raíz y salemultiplicando a la raíz con el exponente que resulta de dividir el exponente que tenía dentro dela raíz entre el índice.

Ejemplos→ 3√40=3√23 ·5=2 3√5 √108=√33·22

=√3·32 ·22=3·2 ·√3=6√3

5.4. Suma y resta de radicalesDebes tener muy claro que la raíz de una suma no es igual a la suma de las raíces y que lo mismopasa con la resta: √9+√16=3+4=7 , en cambio √9+16=√25=5

Solamente se pueden simplificar expresiones en las que haya sumas o restas de raíces si losradicales tienen exactamente el mismo índice y el mismo radicando, y en este caso lo que sehace es sacar factor común a dicho radical y sumar o restar los factores correspondientes. Por estarazón cuando hay que simplificar sumas o restas con radicales se comienza por descomponer losradicandos en factores primos y simplificar los radicales extrayendo todos los factores posiblesfuera de la raíz.

Ejemplo→ √1250−√18+√8=√2· 54−√2· 32

+√23=52√2−3√2+2√2=(25−3+2)√2=24√2

Puedes comprobar con la calculadora que la expresión inicial tiene el mismo valor decimal que laexpresión final simplificada: √1250−√18+√8≈33.9411255 y 24 ·√2≈33.9411255

5.5.Racionalización de radicalesRacionalizar una fracción es dar otra equivalente que no tenga radicales en el denominador.Para ello, se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada.

Cuando en el denominador de la fracción solo hay factores, se multiplica y divide la fracción porun mismo número para conseguir completar en el denominador una potencia del mismoexponente que el índice de la raíz.

Ejemplo→1

3√25=

13√52

=3√5

3√52 · 3√5=

3√53√53

=3√55

Cuando en la fracción aparecen en el denominador un binomio con raíces cuadradas (suma oresta), se multiplica y se divide por un factor que proporcione una diferencia de cuadrados, estefactor es el conjugado del denominador (el conjugado de una suma es la resta y viceversa)

Ejemplo→6

√3−5=

6(√3+5)

(√3−5) (√3+5)=

6(√3+5)

(√3)2−52

=6(√3+5)

3−25=

6(√3+5)−22

=−3(√3+5)

11



Actividades propuestas 111. Calcula el valor de las siguientes expresiones con radicales factorizando previamente los

radicandos: a) √484 b) 3√−64 c) 3√8000 d) 4√1296

2. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 250,5 b) 3235 c) (7

65 )

52

3. Expresa en forma de radical las siguientes potencias y sitúa cada número irracional en unintervalo que tenga por extremos números enteros consecutivos:

a) 712 b) 7

23 c) (−5)

25 d) (−2)

35

4. Pasa los radicales a potencias de exponente fraccionario y simplifica: a) 4√312 b) 10√95

5. Opera, simplifica y expresa el resultado con una sola raíz:√3 · 3√4

6√24 (Con la calculadora halla

el valor decimal redondeado a millonésimas de la expresión anterior y de la expresión quehayas obtenido como resultado para comprobar que es el mismo)

6. Opera y simplifica todo lo posible las siguientes operaciones con radicales. Comocomprobación calcula el valor decimal aproximado redondeado a milésimas de la expresióninicial y de la expresión final simplificada:

a) 501012842583 b) 3333 2504542216

7. En cada uno de los siguientes apartados racionaliza la fracción y después, con la calculadora ycomo comprobación, obtén el valor decimal aproximado redondeado a milésimas de laexpresión inicial y de la expresión racionalizada.

a) 2

1b) 32

9c)

21

5

d) 72

6

e) 7 32

6

8. Introduce factores en la raíces y da el resultado con un solo radical: √2 ·3√5 ·√2

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN – 2

1. El número 0,3333333… no es un número: a) real b) racional c) irracional d) negativo2. El número 0,63636363…. se escribe en forma de fracción: a) 63/701 b) 7/11 c) 5/7 d) 70/1113. El número 8-4/3 vale: a) un dieciseisavo b)dos c) Un cuarto d) Un medio

4. El resultado de racionalizar la fracción 10√5

es a) 2 b) 2 √5 c) 1005 d) 20

5. Al simplificar √2 ·(√8+√32) se obtiene: a) 6√2 b) √2(5√2) c) 12 d) 8

6. El resultado de (1614 )·(

6√4) ·(18) es: a) 2-1/3 b) 2-5/4 c) 2-5/3 d) 2-5

7. El conjunto de los números reales menores o iguales a –2 se escribe:a) ( , 2) b) ( , 2] c) ( 2, + ) d) ( , 2[

8. 3√43√6 √8 es igual a : a) 61/4 b)21/3 c) 25/6·61/9 d)2

9. La expresión correcta en notación científica del resultado de la operación (4,8 · 10 9) :(6 · 1015)es: a) 0,000008 b) 486 · 1024 c) 0,8 · 10 6 d) 8 · 10 7

10. El resultado de 0,000078 + 2,4·10 5 es :a) 3,6·10 10 b) 1,8912·10 10 c) 1,02·10 4 d) 18,72·10 5

Soluciones: 1c 2b 3a 4b 5c 6c 7b 8c 9d 10c



6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Calcula: (a) 3/5 de 550 litros (b) 7/4 de 100 euros.

2. ¿Qué fracción de día son :

(a) 8 horas; (b) 30 horas ;(c) un cuarto de hora; (d) 5 minutos ;(e) 1 segundo

3. Representa en la recta real los números 6

13,

6

13,

5

7,

5

7,

3

1,

3

1,1

4. Representa en la recta real los números: 0,03; 0,15; 0,20; -0,025

5. Reduce a común denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:8 8 4 38 77 9

; ; ; ; ;9 9 5 45 90 8

- -

6. A continuación tienes un cuadrado mágico; es decir, la suma de todas las líneas, tantohorizontales como verticales o diagonales, es siempre la misma. Esta suma se llama el“número mágico” del cuadrado. Realiza las operaciones de cada casilla y escribe elresultado, totalmente simplificado, en la casilla correspondiente del cuadrado de laderecha. Después calcula el número mágico del cuadrado y averigua el valor de losnúmeros A, B,C y D.

¿Cuál es elnúmeromágico?

Comprueba que la suma de las diagonales también es el número mágico.

7. Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado, que debe ser una fracciónirreducible:

a) 61

65

b) 17

1

14

1

28

1c)

14

3:

28

1d)

3

26·

104

1

e)

45

34

32

f)

6

5

4

3

3

12

8

9:

4

3

2

1g)

4

3

2

1

3

1:

4

1

2

1

3

1

h)

92

331

152

53

2

i) 23

2

32

4

3:

2

3

4

3

j)

2 38 3 1 1

: 13 4 2 2æ ö æ ö× + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

8. Una mezcla de 720 gramos de pintura tiene 3/8 de color magenta, ¼ de amarillo y el restode blanco. ¿Qué fracción de la mezcla es el color blanco?.¿Cuántos gramos de cada color sehan usado para hacer la mezcla?


2

1

6

81

3

22

3

2:

3

7

4

3

4

21

6

6·73 A12

421 B

C

4

2

32

1

6

51

2

11

15

60

2

131 D

6

6

2

15

2

1


9. Escribe las expresiones decimales de lo siguientes números racionales dados en forma de

fracción: a) 4

26b)

5

19c)

3

2d)

7

3

10. Escribe los siguientes números racionales en forma de fracción irreducible de números

enteros: a) 3,4 b) 0,21 c) ...333,53,5

d) ...0515151,0510,0

11. Justifica cuáles de las siguientes raíces son números racionales y cuáles son númerosirracionales. Da el valor entero exacto de las que sean números racionales (ejemplo:

4643 )y ordena las que sean números irracionales entre dos números enterosconsecutivos (ejemplo: 5214 ): a) 49 b) 7 1 c) 3 9 d) 85

12. Demuestra que 0,999… = 1 hallando la fracción generatriz. ¿Cuánto vale n,999…?

13. Un cazo tiene una capacidad de 2/5 de litro. Calcula cuántos cazos se necesitan para llenaruna olla de 4 litros.

14. ¿Cuántos botes de tres octavos de litro puedo llenar con 12 litros?

15. ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro necesito para tener la misma cantidad que en 60 botellasde 3/5 de litro?

16. Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas se reduce en unquinto su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdiéndose en lacocción un cuarto del peso ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?

17. En un depósito lleno de agua había 3000 litros. Un día se gastó 1/6 del depósito y al díasiguiente se consumieron 1250 litros ¿qué fracción del depósito quedó?

18. Rubén tiene 124,96 euros, que son los 2/3 del precio de una bicicleta que quiere comprar¿Cuánto cuesta la bicicleta?

19. En una prueba atlética, que tenía dos partes, son eliminados en la primera prueba la cuartaparte de los participantes y, en la segunda, la quinta parte de los que seguían. Llegaron alfinal de la prueba 744 atletas. ¿Cuántos se presentaron?

20. Los reyes de una dinastía tuvieron 4 nombres diferentes. La tercera parte de los reyesutilizó el primer nombre; la cuarta parte de los reyes llevó el segundo nombre; la sextaparte, el tercero; y el cuarto nombre lo usaron 6 reyes. ¿Qué fracción de los reyes de ladinastía usó el cuarto nombre?. ¿Cuántos reyes había en la dinastía?

21. Expresa en notación científica las siguientes cantidades:

a) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.b) Longitud del virus de la gripe: 2,2 nm (nm significa nanometros)c) Radio del protón: 0, 000 000 000 05 m

22. Realiza las operaciones y da el resultado en notación científica:

a) (2,5 ·108) ·(4 · 103

) b) (3 ·108):(6 ·10−2

) c) 56

67

10104

103102



23. Representa en la recta real y expresa con desigualdades los siguientes intervalos:

a) (-2, 0) b) [½ , 3] c) [4, 5) d) (6, +∞) e) (–∞, -3]

24. Señala a qué conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R) pertenecen los siguientes números:

a = 6,7 b = 3√−4 c = 6,666... d= √−9 e = √36 f = 3√−8

(Fíjate que uno de los números no pertenece a ninguno de los conjuntos). Sitúa cada uno de los números reales en un intervalo que tenga por extremos dos númerosenteros consecutivos y después ordena todos los números reales de menor a mayor.

25. Otro número irracional famoso es el número phi, φ=1+√5

2=1,61803398... , que también se

conoce con los nombres de número de oro, razón áurea, proporción armónica y divina proporción.El número φ aparece con frecuencia en la naturaleza y en el arte.Da el valor aproximado del número φ redondeado a décimas, a centésimas, a milésimas y amillonésimas, acotando en cada caso el error absoluto de la aproximación.

26. Simplifica los radicales: a) 15√212 b) 4√9 c) 6√25

27. Opera y simplifica para dar el resultado con solamente un radical: √3 · 3√4

6√24

Como comprobación calcula el valor decimal aproximado redondeado a milésimas de la expresióninicial y de la expresión final simplificada (usa la calculadora)

28. Extrae factores de los radicales, saca factor común y expresa el resultado con solamente un radical:

a) √28+√63−√112

b) 2√8+4√72−7√18

Como comprobación calcula el valor decimal aproximado redondeado a milésimas de la expresióninicial y de la expresión final simplificada (usa la calculadora).

29. En cada uno de los siguientes apartados racionaliza la fracción multiplicando numerador ydenominador por el factor adecuado:

a) 6

√3b)

43√4

Como comprobación calcula el valor decimal aproximado redondeado a millonésimas de laexpresión inicial y de la expresión final simplificada(usa la calculadora).

30. En cada uno de los siguientes apartados racionaliza la fracción multiplicando numerador ydenominador por la expresión conjugada del denominador y simplifica:

a) 3

√7−2b) √5

√5+√3

Como comprobación calcula el valor decimal aproximado redondeado a milésimas de la expresióninicial y de la expresión final simplificada (usa la calculadora).



SOLUCIONES DE ACTIVIDADES PROPUESTAS 1

1. a) 4 b) 5 c) 40 d) 10 e) 7

2. a) 14 b)

27 c)

16


1. a) 13=

515

<715

<45=

1215 b)

712

<34=

912

<56=

1012 c)

718

=1436

<59=

2036

<712

=2136

2. a)13=0,333...< 7

15=0,4666...<4

5=0,8 b)

712

=0,58333...<34=0,75<

56=0,8333...


1.507

=7+17 ;

2511

=2+311

; 101

6=16+

56

2.−30

7=−4−

27

; −5013

=−3−1113

; −100

21=−4−

1621

3.

4. a=238

=2+78

; b=−23

8=−2−

78

c=18050

=3+35

d =−26

6=−4−

13

5. A=−2−29=

219 ; B=−1−

34=

−74

; C=−34

; D=35

E=2+47=

187


1. a)329

b) 2536

c) 73

d) −1145

2. a) 181

b) 1681

c) 49 d) 1

24

3. a) (−43

)3

b) (107

)6

c) (32)

4


1. a) 7071/5000 b) 1/8 c) 333/50

2. a) 14141/9999 b) 125/999 c) 20/3

3. a) 52066/49995 b) 3559/4995 c) 203/30

4. A. 1/3 + 2/3 = 1 B. 8/9 · 5/2 = 20 /9 = 2,222... C. (65 /100):(65/99)= 99/100= 0,99


1. 7,2

2. 120




1. (a) Q (b) N N⊂Z⊂Q (c) I (d) Q (e) I (f) Q


1. a) (−∞, 18] b) (2, +∞) c) [100, 1000) d) (-2, 2)

2. Respuesta abierta, por ejemplo, 3,1 ; 3,2 ; 3,5 ; π ; √10 ; √11


1. 1,260 con EA<0,0005

2. -1,148698 con EA<0,0000005

3. 0,6667


1. a) 2,71·10-4 b) 1,9735·108

2. a) 7,93·102 b) 35,25·10-6

3. a) 2·10-5 b) 2,6·104

4. 2,5·1013 glóbulos rojos

5. respuesta abierta según la edad de cada uno


1. a) 22 b) – 4 c) 20 d) 6

2. a) 5 b) 8 c) 343

3. a) √7∈(2,3) b) 3√49∈(3,4) c) 5√25∈(1,2) d) 5√−8∈(−2,−1)

4. a) 27 b) 3

5. 6√18≈1,618870

6. a) 29√2≈41,012 b) −19 3√2≈−23,938

7. a) √ 22

≈0,707 b)3√3

2≈2,598 c) −5−5√2≈−12,071 d) 2 √7−4≈1,292 e) 3 7√16≈4,458

8. 12√3200

SOLUCIONES DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. (a) 330 litros (b) 175 €

2. (a) 1/3 (b) 5/4 (c) 1/96 (d) 1/ 288 (e) 1/86400

3.

4.

5.89=

320360 ,

45=

288360

, 3845

=304360

,7790

=308360

,−98

=−405360

;−98

<−89

<45<

3845

<7790

<89



6. El número mágico es 7

7. a) 2/3 ; b) 79/476 ; c) 1/6 ; d) 1/12 ; e) 1/24 ; f) -79/36 ; g) 11/42 ; h) -11/45 ; i) 25/4 ; j) 47/8

8. 3/8 de la mezcla; 270 g de magenta, 180 g de amarillo y 720 g de blanco

9. a) 6,5 ; b) 3,8 ; c) 0,6=0,666... ; d) 0, 428571=0,428571428571428571...

10. a) 17/5 ; b) 21/100 ; c) 16/3 ; d) 17/330

11. a) 7, racional ; b) -1, racional ; c) irracional 2<3√9<3 ; d) irracional 9<√85<10

12. n,999... es lo mismo que n+1

13. 10 cazos

14. 32 botes

15. 48 botellas

16. 12 kg

17. 5/12

18. 187,44 €

19. 1240 atletas.

20. 24 reyes

21. a) 1,5·108 ; b) 2,2·10-9 ; c) 5·10-11

22. a) 1012 ; b) 5·10-7 ; c) -2·10-1

23.

24. a∈Q ; a∈R ; a∈(6,7) ; b∈R ; b∈(−2,−1) ; c∈Q ; c∈R ; c∈(6,7) ; d no es real;

e∈N;e∈Z ;e∈Q ; e∈R ; e∈[6,7 ] f ∈Z ;f∈Q ; f∈R ; f∈[−3,−2] ; f<b<e<c<a

25. Redondeo a décimas 1,6 con EA<0,02; a centésimas 1,62 con EA<0,002, a milésimas 1,618 con EA<0,0001 y a millonésimas 1,618034 con EA<0,0000001

26. a) 5√24 ; b) √3 ; c) 3√5

27. 6√18

28. a) √7≈2,645751 ; b) 7√2≈9,899495

29. a) 2√3≈3,464102 ; b) 2 3√2≈2,519842

30. a) √7+2≈4,646 ; b) 5−√15

2≈0,564


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Módulo de Matemáticas Académicas II Nivel II de ESPAD … ADULTAS/U1_… · fracciones equivalentes que forman un número racional están representadas en el mismo punto de la