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Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria
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MÓDULO: Enseñanza de la Geometría
Construcciones geométricas,
segundo encuentro
Clase 3
¡Bienvenidos a la tercera clase! En este segundo encuentro de construcciones
geométricas los invitamos a continuar estudiando el problema general que
planteamos en la Clase 1: la construcción de un triángulo a partir de un lado, una
mediana y una altura. Lo haremos modificando la relación entre la altura y el lado
dados.
Al estudiar el problema de construcción, la figura de análisis volverá a ser una
herramienta útil, aunque al mismo tiempo mostrará sus límites. En varios momentos
de la clase haremos uso del programa GeoGebra y los invitaremos a seguir las
construcciones usando el programa.
Les proponemos hacer explícitas las ideas que pueden alentar a seguir un cierto
camino y comenzar a recorrerlo, aún a riesgo de que se vuelva intrincado y sea
preferible abandonarlo y comenzar a recorrer otro. Nos pareció pertinente ilustrar un
proceso particular de producción en matemática, proceso que nunca es lineal ni
ordenado, aunque suela presentarse así en la comunicación a otro.
Si sostenemos la intención de ser docentes en una clase en la cual nuestros
estudiantes produzcan (resuelvan problemas, discutan en torno a las resoluciones o
participen, con la plena gestión del docente, en la construcción de la teoría en el
aula, etc.), será necesario alentar y sostener un trabajo que se muestre en principio
“desprolijo”, variado, a veces caótico, no siempre conducente a una “buena
respuesta”. Oír a los estudiantes y entender sus acciones y expresiones en términos
de conocimientos requiere de nosotros una apertura y una sensibilidad que se
construye a partir de una intención y con la ampliación de significados que
acontecen cuando nosotros mismos reflexionamos sobre nuestros procesos de
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construcción y participamos de un aula de formación en la que se discute
matemática y didácticamente.
Inscribimos esta Clase 3 en ese proyecto de formación.
Problemas similares, conocimientos en juego diferentes
En esta Clase 3 continuamos considerando un lado, una mediana y una altura como
datos, pero la variante que estudiaremos es:
Problema
Estudiar el problema de la construcción de un triángulo, dados un lado, la mediana
correspondiente a ese lado y la altura correspondiente a otro lado.
Como en la construcción de la Clase 1, podemos separar el problema en dos partes:
● Primera parte: realizar la construcción efectiva a partir de un juego de datos
determinado.
● Segunda parte: estudiar condiciones sobre los datos para que haya solución,
para que haya más de una, para que el triángulo sea rectángulo, o isósceles,
o alguna otra caracterización de una subfamilia de triángulos.
Avancemos entonces…
Primera parte
Construir un triángulo con estos datos:
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Como es habitual, podemos comenzar con el dibujo de una figura de análisis:
Figura 1
Examinando este dibujo surgen algunas relaciones entre los datos del problema y el
triángulo que queremos dibujar:
- si dibujamos el lado l, podemos marcar un extremo de m en su punto medio.
- h tiene un extremo en un extremo de l.
- entre h y l se determina un triángulo rectángulo que tiene a h como cateto y a l
como hipotenusa.
Estas relaciones observadas pueden darnos pistas para iniciar una construcción.
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Por ejemplo, podemos empezar como en el problema de la Clase 1, dibujando l,
marcando un extremo de m en su punto medio y trazando una circunferencia con
ese centro (punto M en la Figura 2 a continuación):
Figura 2
Por lo que estudiaron en la pregunta 1 de la Clase 1 estarán en condiciones de
afirmar que el tercer vértice del triángulo puede estar en cualquier punto de la
circunferencia salvo dos (los que corresponden a los extremos del diámetro que
resulta de prolongar el lado l). En la Figura 2, N, O y P representan tres ubicaciones
posibles del tercer vértice.
El problema que tenemos ahora es dónde ubicar h. Según nuestra figura de análisis,
un extremo de h es un extremo de l. Así que podríamos, siguiendo las mismas ideas
anteriores, ubicar todos los puntos posibles donde puede estar su otro extremo,
dibujando otra circunferencia con radio igual a la medida de h:
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Figura 3
Entonces… ¿cómo construir un triángulo que cumpla las condiciones a partir de
estos dos círculos?
Los segmentos h2 y h3 en la Figura 3 miden todos como h y tienen un extremo en un
extremo de l, ¿alguno de ellos puede ser la altura del triángulo que estamos
buscando? Para lograr la construcción, el extremo libre de la altura, el extremo libre
de la mediana y un extremo del lado I (punto E en la Figura 3) deben quedar
alineados. Y al mismo tiempo la recta que determinan debe quedar perpendicular a
la altura (notemos que en las construcción de la Figura 3 no consideramos todavía
esta última condición). No parece muy sencillo fijar al mismo tiempo una posición
para el extremo de m y otra para el extremo de h para lograr eso.
(1) Para resolver
En el siguiente archivo “actividad 1.ggb” se dan los tres segmentos
datos de este problema.
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Construyan los dos círculos que hemos trazado en la Figura 3 y
exploren diferentes posiciones de los extremos libres de m y de h para
tratar de lograr las dos condiciones requeridas:
- Que queden alineados el extremo libre de h, el extremo libre de m y
el extremo del lado que no pertenece a h.
- Que la línea que determinan esos tres puntos sea perpendicular al
segmento h.
Si realizaron la actividad, habrán visto la dificultad de lograr esas dos condiciones.
Hayan llegado o no a una solución por la exploración, ésta no da elementos para
determinar los pasos de una construcción.
Resolver el problema de la construcción no pasa por encontrar un dibujo que cumpla
con las condiciones pedidas sino en poder determinar construcciones intermedias
(trazado de rectas o circunferencias, determinación de puntos de intersección, etc.)
de manera que los propios pasos garanticen que lo que se construye finalmente
cumple con las condiciones pedidas.
Volviendo a nuestro problema, quizás sea conveniente mirarlo de otro modo y
empezar de nuevo.
Al estudiar nuestra figura de análisis habíamos formulado que h y l eran lado e
hipotenusa de un triángulo rectángulo. Podemos usar esa idea y comenzar la
construcción por h y l, dejando la ubicación de m para más adelante.
Volvemos a dibujar el segmento l:
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Figura 4
Para ubicar h nos vamos a apoyar en la propiedad que dice: “Si APB es un triángulo
rectángulo, recto en P, entonces P está en la semicircunferencia de diámetro AB”.
(2) Para resolver
Piensen y redacten argumentos que permitan probar la propiedad
anterior.
De esta manera, la circunferencia de diámetro igual al lado l determina todos los
posibles lugares para un extremo de h (como antes, hay que exceptuar los extremos
de l).
Figura 5
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Para determinar qué puntos de esta circunferencia sirven como extremo de h habrá
que imponer la condición de la medida de h, trazando otra circunferencia, de radio h
y centrada en un extremo de l; la intersección de las dos circunferencias determina
las posibles ubicaciones del otro extremo de la altura h:
Figura 6
Los puntos Q y R en la Figura 6 representan esas dos posibles ubicaciones del otro
extremo de h. Esto nos permite trazar dos rectas, uniendo cada uno de esos puntos
con el extremo E del lado l. En una de ellas debe estar el tercer vértice del triángulo.
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Figura 7
(3) Para resolver
- Abran el archivo “actividad 1.ggb”; allí se dan los tres segmentos
datos de este problema.
- Realicen la construcción de la Figura 7 (si hicieron la tarea “(1) Para
resolver”, realicen la nueva construcción en algún otro lugar de la
ventana gráfica).
Seguimos…
Para concluir nuestra construcción tenemos que incorporar el dato de la medida de la
mediana correspondiente al lado l. Como antes, eso implica trazar otra circunferencia
con centro en el punto medio de l y radio igual a m. El punto de intersección de esta
circunferencia con cada una de las rectas determinará la posición del tercer vértice
del triángulo. En la Figura 8, a continuación, se trazó la circunferencia de radio m (en
rojo, línea punteada), se consideró la intersección con cada recta (puntos G e I), y se
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dibujaron los dos triángulos que quedan determinados (EFG y EFI):
Figura 8
En la Figura 8, m2 y m3 representan respectivamente las medianas de los dos
triángulos, congruentes con el segmento m dato.
Ahora bien, las construcciones resultan totalmente simétricas, y los dos triángulos, el
verde y el amarillo, son congruentes (dejamos a los profesores lectores los detalles
de los argumentos que justifiquen la verdad de esta afirmación).
Pensemos juntos…
- ¿Era necesario trazar las dos rectas en la Figura 7 o alcanzaba sólo con una?
- ¿Es única la solución al problema dado o estamos omitiendo alguna solución la
construcción que muestra la Figura 8?
Seguramente habrán llegado a descubrir cuál fue nuestra omisión. Les compartimos
una posible respuesta: en la Figura 8, la circunferencia que contiene todos los
posibles lugares para el extremo de la mediana, corta a cada recta construida en la
Figura 7 en dos puntos, y hemos considerado sólo uno de ellos. ¡Omitimos el otro!
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Si consideramos este otro punto de intersección aparecen otros dos triángulos más:
en la Figura 9, a continuación, se marcaron esas intersecciones y se dibujaron los
triángulos con sus medianas m4 y m5:
Figura 9
(4) Para resolver
Completen esta construcción comenzada en la tarea “(3) Para resolver”
.
Ahora, los triángulos EFG (amarillo) y EFJ (bordó) cumplen con las condiciones
pedidas y no son congruentes (los otros dos triángulos son respectivamente
congruentes a cada uno de estos).
Elegimos estos dos triángulos entre los cuatro con un poco de arbitrariedad: nuestro
criterio fue que ambos estuvieran en el mismo semiplano respecto de la recta que
contiene al lado l. Eso hizo necesario considerar las dos rectas de la Figura 7. Si, por
el contrario, considerábamos solo una de esas rectas, por ejemplo la que pasa por G,
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las dos soluciones hubieran sido los triángulos EFG (amarillo) y EFK (azul).
Sea cual sea la elección, notemos que uno de los dos triángulos solución es
obtusángulo en E, lo cual lleva a que la altura h quede por fuera del triángulo.
¡Visualmente es una situación muy diferente de la que nos mostraba nuestra figura
de análisis!
Este ejemplo nos lleva a reflexionar que si bien la figura de análisis puede
ser un apoyo importante para identificar relaciones que guardan entre si los
elementos datos, también nos puede inducir a hacer menos visible alguna solución
que escape a esa configuración particular.
Elegimos este recorrido, inconducente en un principio e incompleto en un segundo
momento, como un modo de acercarlos a ustedes, vivencialmente, al tipo de
problemas que suelen tener los estudiantes al trabajar en geometría.
Segunda parte
Se trata ahora de estudiar condiciones sobre los datos para que la construcción
cumpla con algunas características extras que se imponen. Esta parte del estudio va
a estar a cargo de ustedes y la vamos a organizar como tarea obligatoria de esta
clase.
Pero antes de que se aboquen a la tarea 5, les proponemos que exploren en
GeoGebra cómo se va modificando el o los triángulos construidos a medida que se
modifican los segmentos “datos”. Será una percepción visual de ese cambio y les
permitirá arribar a ciertas conjeturas acerca de cómo tienen que ser los tres
segmentos datos para lograr un triángulo con ciertas características.
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Les proponemos entonces que los que aun no lo hicieron realicen la tarea “(4)
Para resolver”, de manera de lograr la construcción de un triángulo con los datos
dados originalmente.
Ahora bien, en el archivo inicial actividad 1 ggb nosotros habíamos “fijado” los
segmentos datos, para que no se modificaran en toda la manipulación que harían
con las construcciones. Ahora ustedes podrán desactivar esa opción: para ello,
apoyen el puntero en cada segmento y en cada punto, hagan clic con botón derecho
y seleccionen la opción “Propiedades” en la ventana que se despliega, se abrirá una
nueva ventana, y allí descliqueen la opción “Objeto fijo”, tal como vemos en la
siguiente figura:
Figura 10
En la Figura 10 se muestra una pantalla en la que ya se desactivó esa opción para el
segmento que corresponde al lado.
Una vez hecho esto para los tres segmentos dados y sus puntos extremos, habrán
logrado la posibilidad de mover los segmentos apoyando y arrastrando alguno de sus
extremos: al hacer esto el triángulo se va modificando (dando la sensación visual de
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movimiento), es decir, lograron una “figura dinámica”.
Para aquellos profesores que no hayan podido realizar la construcción en GeoGebra,
ofrecemos el archivo “actividad 5 ggb” con la construcción realizada por nosotros.
(Aunque sabemos que no es lo mismo trabajar con una construcción hecha por otro
que manipular la propia…)
Ahora sí, les proponemos como actividad obligatoria que ustedes resuelvan la
segunda parte del problema. En el enunciado que se da más abajo cada vez que
hablemos de “la construcción” nos estamos refiriendo al problema que estudiamos en
esta clase: construir un triángulo teniendo como datos un lado, la mediana
correspondiente a ese lado y la altura relativa a otro lado.
En síntesis
En esta clase continuamos estudiando el problema que planteamos en la Clase 1, la
construcción de un triángulo dados un lado, una mediana y una altura.
Al introducir ahora la variante de que la altura fuera relativa a un lado diferente del
dato, el procedimiento de construcción y los conocimientos geométricos en las que
nos basamos cambiaron radicalmente. Un primer plan de construcción resultó muy
complejo de continuar y debimos considerar las condiciones en otro orden: es lo que
suele pasar al trabajar resolviendo un problema.
Una diferencia importante con lo estudiado en la Clase 1 fue la existencia de más de
un triángulo que cumplía con las condiciones dadas. Aunque la segunda solución
escapó a nuestra atención en un primer momento. Quizás porque la forma del
triángulo solución era muy diferente de lo que nos mostraba la figura de análisis.
En esta clase, la búsqueda de condiciones sobre los datos para lograr que el/los
triángulo/s cumpla/n con determinadas características queda como tarea obligatoria
para ustedes.
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¡Nos seguimos encontrando en los espacios de intercambio y trabajo conjunto!
Actividades obligatorias
Actividad grupal
En los grupos conformados en la primera semana comenzaremos ahora
a trabajar en torno a la siguiente actividad, que se prolongará a lo
largo de dos semanas. Contarán con un foro grupal, Foro 04, en el
que podrán ir organizando el desarrollo solicitado. Cada grupo tiene
que realizar las tareas pedidas con el aporte de todos sus integrantes.
1. Estudio de la unicidad
a. Den un ejemplo de tres segmentos de manera que la
construcción pedida dé por resultado un único triángulo.
b. Elaboren una conjetura que defina condiciones sobre los
datos para que la construcción sea única.
c. Demuestren la conjetura elaborada.
2. Lograr un triángulo rectángulo
2.1.a. Den un ejemplo de tres segmentos de manera que se
pueda construir con esos datos un triángulo rectángulo con el
lado dato como cateto.
2.1.b. Elaboren una conjetura que defina condiciones sobre los
datos para que la construcción anterior sea posible.
2.1.c. Demuestren la conjetura elaborada.
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Importante
Durante dos semanas, el foro grupal 04 Construcciones
Posibles e Imposibles será el espacio de trabajo del grupo. La
próxima semana entregaremos las consignas para la elaboración
de un trabajo individual. Cada uno de ustedes deberá entregar
un documento de Word con el desarrollo de algunas de las
consignas de la actividad grupal.
Recuerden que continúa abierto el foro “La bandera de Corea del
Norte” y que es obligatorio participar en él.
Actividades de Promoción
Actividad de Promoción 2
Junto con esta clase estará publicada la actividad de Promoción 2.
Algunas de las actividades pedidas serán trabajadas en el foro grupal.
Tengan en cuenta leer detalladamente las consignas de la actividad a
entregar ya que las consignas de la actividad a entregar pueden
diferir de lo trabajado en el foro.
La entrega de la Actividad de Promoción se realizará en un espacio
que será habilitado en la clase 4.
Foro de consultas de la Actividad de Promoción 2
Como en la Primer Actividad de Promoción contarán con un foro de
consultas de la Actividad de Promoción 2. En este foro no se debe
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compartir resoluciones de la actividad pero sí todas las dudas que
surjan sobre las consignas y resolución de la misma. Este foro estará
habilitado hasta la fecha límite de entrega de la actividad: el 16 de
junio
Actividades optativas
Para resolver
A lo largo de la clase se proponen algunas tareas o problemas “Para
resolver” y que no están indicadas como actividades de entrega
obligatoria. Recomendamos la resolución de cada una de ellas para
poder avanzar con el trabajo que propone el módulo.
Foro de consultas generales del módulo
Como en las clases anteriores, cuentan con un foro de consultas
generales del módulo en el cual podrán presentar inquietudes,
problemas o dudas en relación con la propuesta de trabajo del
módulo. En particular, con el texto de esta clase y con las diferentes
preguntas y problemas que quedaron para que ustedes trabajen.
¡Los esperamos!
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Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 3: Construcciones geométricas,
segundo encuentro. Enseñanza de la Geometría. Especialización docente de Nivel
Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires:
Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons
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Autora del material:
El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Carmen Sessa y
Daniel Arias
