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Mecánica Cuántica. Programa del curso. I. Introducción 1.1 La ecuación de Schrödinger 1.2 Problemas unidimensionales 1.2.1 La partícula libre 1.2.2 Pozos 1.2.3 Barreras y tuneleo 1.2.4 El oscilador armónico II. El formalismo de la Mecánica Cuántica - PowerPoint PPT Presentation
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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Dada una variable dinámica :
ˆa) Se le asocia el operador
ˆb) es un
conjunto ortonormal completo de
funciones
k k k k
A
A
x A x A x
El estado del sistema a 0 es
tal que
ˆ
Es decir, a 0 el sistema está en
ˆun estado propio de .
n
n n n
t
x
A x A x
t
A
Al tiempo el sistema está en el estado
,
ˆLa variable dinámica está "indeterminada"
n mn mm
t t
x t c t x
A
El estado del sistema a 0 es
ˆtal que
n
n n n
t x
A x A x
Al tiempo el sistema está en el estado
,n mn mm
t t
x t c t x
1 1
2 2
3 3
Al tiempo se mide la variable dinámica
A se mide
... ...
y se obtiene el valor
n n
n n
n n
m
t A
A A
A At A
A A
A
Se ha realizado una transición del es
A 0 la variable dinámica v
¿Cuál es la probabilidad de obtener una
dad
ale
A la var
tado
a
ia
otro est
ble dinámica val
o
a?
a
e
d
n
m
n m
m
t A A
A
A
A A
t
A
A
t A
2
2
El valor medio del operador es
ˆ ˆ
Resumiendo:
m n m n n nn
n nn
A
A A dx c c A dx c A
A c A
ˆ es un conjunto ortonormal completo de
funciones. Por tanto, para cualquier tenemos,
k k k k
n nn
x A x A x
x c x
2
La condición de normalización
1
implica que
1nn
dx
c
ˆ es un conjunto ortonormal completo de
funciones. Por tanto, para cualquier tenemos,
k k k k
n nn
x A x A x
x c x
2
Sea la probabilidad de obtener el estado .
Tenemos
y desde luego
=1
así que
n n
n nn
nn
n n
w A A
A w A A
w A
w A c
2ˆn n
n
A A dx c A
2 =1 n n n n n
n n
A w A A w A w A c
Si al tiempo 0 tenemos al sistema en el estado
propio , y al tiempo efectuamos una
medición de la variable dinámica , la probabilidad
de encontrar al sistema en el estado es
n
m
mn
t
x t
A
x
P t c
2
Es la probabilidad de transición del estado
al estado en el tiempo .
mn t
n
m t
0, ˆ ,x t
i H x x tt
0ˆSi no depende del tiempo, es decir , ,
el sistema es estacionario, y si tenemos al sistema en un
estado propio de la variable dinámica , ahí permanecerá
para siempre.
En particular, eso suceder
H x V x t V x
A
0 0
á para los estados propios de la
energía
ˆk k kH x E x
0, ˆ ,x t
i H x x tt
0
0
0
0 0
La solución formal es
ˆ, exp , 0
Si , 0 ,
ˆ, exp
ˆ! !
exp
n
n
k k
k k
n n nk k
n n
ix t tH x x t
x t x
ix t tH x x
i it t
H x E xk k
itE x
0
Necesitamos, por tanto, una perturbación
que dependa del tiempo, o sea
, ˆ ˆ, , ,x t
i H x x t W x t x tt
0, ˆ ,x t
i H x x tt
0 0
0
Tenemos resuelto el problema no perturbado
ˆ
y queremos resolver el problema perturbado
, ˆ , ,ˆ ,
k k kH x E x
x ti H x x t x tx t
tW
0
0
Proponemos una solución del tipo
ˆ, exp ,
ˆComo las funciones propias de constituyen
un conjunto ortonormal completo, tenemos
, k kk
ix t H t x t
H
x t c t x
0 0 0,ˆ ˆ ˆ , , ,k k k
x tH x E x i H x x t W x t x t
t
0ˆ, exp k kk
ix t H t c t x
0
0 0
0
, ˆexp
ˆ ˆexp
ˆexp
k kk
k kk
k kk
x t ii i H t c t x
t t
iH H t c t x
ii H t c t x
0 0
0 0 0
,
ˆ ˆexp
ˆ ˆ ˆexp exp
exp exp
k k k kk k
k k k kk k
k k k k k k kk k
x ti
t
iH t H c t x i c t x
i ic t H t H x i c t H t x
i ic t E t E x i c t E t x
0 0 0, ˆ ˆ ˆexp expk k k kk k
x t i ii H H t c t x i H t c t x
t
0
0 0
0
ˆ ˆ, , ,
ˆ ˆexp
ˆ ˆ, exp
k kk
k kk
H x x t W x t x t
iH H t c t x
iW x t H t c t x
0 00 ,ˆ ˆ ˆ, , , k k k
x tH xH x E x i t x t
tx W x t
0
0 0
0
ˆ ˆ, , ,
ˆ ˆexp
ˆ ˆ, exp
k kk
k kk
H x x t W x t x t
ic t H t H x
iW x t c t H t x
0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆexp , expk k k kk k
i iH H t c t x W x t H t c t x
0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆexp , expk k k kk k
i ic t H t H x W x t c t H t x
0ˆ ˆ, , ,
exp
ˆexp ,
k k k kk
k k kk
H x x t W x t x t
ic t E t E x
ic t E t W x t x
0
0
, ˆ ˆ, , ,
ˆ, exp k kk
x ti H x x t W x t x t
t
ix t H t c t x
0
,
exp exp
ˆ ˆ, , ,
ˆexp exp ,
k k k k k k kk k
k k k k k k kk k
x ti
ti i
c t E t E x i c t E t x
H x x t W x t x t
i ic t E t E x c t E t W x t x
exp exp
ˆexp exp ,
k k k k k k kk k
k k k k k k kk k
i ic t E t E x i c t E t x
i ic t E t E x c t E t W x t x
0
,
exp exp
ˆ ˆ, , ,
ˆexp exp ,
k k k k k k kk k
k k k k k k kk k
x ti
ti i
c t E t E x i c t E t x
H x x t W x t x t
i ic t E t E x c t E t W x t x
exp
ˆex
exp
exp p ,
k k kk
k k
k k k kk
k kk
k k kk
ic t E t E x
ic
ii c t E t x
ic tt E t E x E t W x t x
0
,
exp exp
ˆ ˆ, , ,
ˆexp exp ,
k k k k k k kk k
k k k k k k kk k
x ti
ti i
c t E t E x i c t E t x
H x x t W x t x t
i ic t E t E x c t E t W x t x
exp
ˆ exp ,
k k kk
k k kk
ii c t E t x
ic t E t W x t x
0
0
, ˆ ˆ, , ,
ˆ, exp k kk
x ti H x x t W x t x t
t
ix t H t c t x
ˆexp exp ,
ˆexp exp ,
exp
ˆexp ,
k k k k k kk k
m k k k m k k kk k
m k k kk
m k k kk
i ii c t E t x c t E t W x t x
i ix i c t E t x x c t E t W x t x
ix i c t E t x dx
ix c t E t W x t x dx
i c
exp
ˆexp ,
k k m kk
k k m kk
it E t x x dx
ic t E t W x t x x dx
ˆexp exp ,k k k k k kk k
i ii c t E t x c t E t W x t x
exp
ˆexp ,
k k m kk
k k m kk
ii c t E t dx x x
ic t E t dx x W x t x
exp expk k mk k k mkk k
i ii c t E t c t E t W t
exp expm m k k mkk
i ii c t E t c t E t W t
Es importante notar que
ˆ ,mk m kW t x W x t x dx
0
0
, ˆ ˆ, , ,
ˆ, exp
exp
k kk
m m kmk mk k mk
k
x ti H x x t W x t x t
t
ix t H t c t x
dc t E Ei W t i t c t
dt
Condiciones iniciales:
0
que implican que originalmente el sistema
estaba en el estado , o sea que
k kn
n n
c
E E
0
0
, ˆ ˆ, , ,
ˆ, exp
exp
k kk
m m kmk mk k mk
k
x ti H x x t W x t x t
t
ix t H t c t x
dc t E Ei W t i t c t
dt
exp ; 0
con
ˆy ,
mmk mk k k kn
k
m kmk
mk m k
dc ti W t i t c t c
dt
E E
W t x W x t x dx
0, ˆ ˆ, , ,x t
i H x x t W x t x tt
0
Si la perturbación es "pequeña",
podemos hacer una primera
aproximación poniendo
k nkc t
exp ; 0mmk mk k k kn
k
dc ti W t i t c t c
dt
0k nkc t
1
0exp expmmk mk k mk mk nk
k k
dc ti W t i t c W t i t
dt
1
expmmn mn
dc ti W t i t
dt
exp ; 0mmk mk k k kn
k
dc ti W t i t c t c
dt
1
1
exp
0
mmn mn
m mn
dc ti W t i t
dt
c
1
0
1exp
t
m mn mn mnc t d W ii
exp ; 0mmk mk k k kn
k
dc ti W t i t c t c
dt
2
1expmmk mk k
k
dc ti W t i t c t
dt
1
0
1exp
t
m mn mn mnc t d W ii
y así sucesivamente .....
exp ; 0mmk mk k k kn
k
dc ti W t i t c t c
dt
1
0
1exp
, 0 0,,
0 0,
t
m mn mn mnc t d W ii
W x t t TW x t
t T
1
0
1
Para tenemos
1exp
1exp
T
m mn mn
m mn mn
t T
c W i di
c W i d m ni
1 1exp
con
,
m mn mn
mn m n
c W i d m ni
W t x W x t x dx
1
0
1exp
, 0 0,,
0 0,
t
m mn mn mnc t d W ii
W x t t TW x t
t T
2 =1 n n n n n
n n
A w A A w A w A c
Si al tiempo 0 tenemos al sistema en el estado
propio , y al tiempo efectuamos una
medición de la variable dinámica , la probabilidad
de encontrar al sistema en el estado es
n
m
mn
t
x t
A
x
P t c
2
Es la probabilidad de transición del estado
al estado en el tiempo .
mn t
n
m t
2
2
2
La probabilidad de transición del
nivel al es entonces
4mn mn mn
n m
P W
1
1
1exp
1exp
2
2
m mn mn
mn mn
m mn mn
c W i d m ni
W W t i t dt
c Wi
2
2
2
4mn mn mnP W
0 si y sólo si 0
El espectro de perturbación debe incluir la frecuencia mn mn mn
mn
P W
Las transiciones tienen un carácter resonante. El sistema cuántico se comporta como si estuviera constituido por un conjunto de osciladores armónicos con frecuencias propias iguales a la frecuencia de Bohr
0
0
Tenemos un sistema no perturbado que tiene
espectro discreto y espectro continuo
ˆ ( ) ( )
y
ˆ ( ) ( )
k k kH x E x
H x E x
Las funciones de onda son ortonormales
0
n m nm
n
0 0
Tenemos un sistema no perturbado que tiene
espectro discreto y espectro continuo
ˆ ˆ( ) ( ) y ( ) ( )k k kH x E x H x E x
Las funciones de onda constituyen
un conjunto completo para el
espacio de Hilbert correspondiente.
0 0
Tenemos un sistema no perturbado que tiene
espectro discreto y espectro continuo
ˆ ˆ( ) ( ) y ( ) ( )k k kH x E x H x E x
( )
Al tiempo la función de onda del
sistema será
( , ) ( ) ( )
( ) ( )
kEi t
k kk
Ei t
t
x t c t x e
c t x e d
0 0ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )k k kH x E x H x E x
( )
( )
( )
,( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
k
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
kk k
k
x ti i c t x e c t x e d
t t
i c t x e i c t x e d
E Ei i c t x e i i c t x e d
0ˆ ˆ, ,,
,Hx t
i x x tt
t W x t x
( )
( )
( )
0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ( ) ( ) ( ) ( )
, ( ) ( ) ( ) ( )
k
k
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k k kk
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
i c t x e c t x e d
E c t x e E c t x e d
H x c t x e c t x e d x
W x t c t x e c t x e d
0 x
( )
( )
( )
0 0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) , ( )
k
k
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k k kk
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
i c t x e c t x e d
E c t x e E c t x e d
c t e H x c t e H x d x
c t e W x t x c t e W x t x
0d x
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) , ( )
k
k
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k k kk
E Ei t i t
k k kk
E Ei t i t
k kk
i c t x e c t x e d
E c t x e E c t x e d
E c t x e E c t x e d
c t W x t x e c t W x t x e
0d
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( ) ,
)
( ) (
(
( )
)
)
k
k
k
k
Ei t
E
Ei t
k k kk
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
Ei t
k k kk
i t
E c t x e d
E c t
i c t x e c t x e d
c t W x t x e c t W x t x e
E c t x e
E dc e et xx
0d
( )
( )
Tenemos entonces el sistema
( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) , ( )
con la condición inicial
, 0
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
n
i c t x e c t x e d
c t W x t x e c t W x t x e d
x t x
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
k
E Ei t i t
kk
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti x e x ex x
x
ddt dt
c t W x t x e cx t W x t x e d
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) ( ) , ( )
k
k
E Ei t i t
k kk
E Ei t i t
k kk
i c t x e c t x e d
c t W x t x e c t W x t x e d
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )
k
k
E Ei t i t
kk
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti dx x x e dx x x e d
dt dt
dx x c t W x t x e dx x c t W x t x e d
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )
k
k
E Ei t i t
kk
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti x x e x x e d
dt dt
x c t W x t x e x c t W x t x e d
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )
k
k
E Ei t i t
kk
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti e dx x x d e dx x x
dt dt
c t e dx x W x t x d c t e dx x W x t x d
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
0
, ( )
k
k
E Ei t i t
k
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti e d e
dt dt
c t e dx x W x t x d c t e dx x W x t x d
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )
k
k
E Ei t i t
kk
k
E Ei t i t
k kk
dc t dc ti e dx x x d e dx x x
dt dt
c t e dx x W x t x d c t e dx x W x t x d
( )
( )
( )
( ) ( )k
Ei t
E Ei t i
kk
t
k W t
dc ti d e
dt
c t e Wd c t e t
( ) ( )( )
( ) ( )kEE E
i t i t i t
k kk
dc ti e c t e W t d c t e W t
dt
( )
( )
( )
( ) ( )k
Ei t
E Ei t i t
k kk
dc ti d e
dt
c t e W t d c t e W t
( )
( )
Tenemos entonces el sistema
( )( ) ( )
con la condición inicial
, 0
y donde
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
k
E E E Ei t i t
k kk
n
E Ei t i t
k kk
dc ti c t e W t d c t e W t
dt
x t x
x t c t x e c t x e d
( )
Tenemos entonces el sistema
( )( ) ( )
con la condición inicial
, 0
que implica
0 0 0
kE E E Ei t i t
k kk
n
k kn
dc ti c t e W t d c t e W t
dt
x t x
c c
( )( )( ) ( )
con la condición inicial 0 0 0
kE E E Ei t i t
k kk
k kn
dc ti c t e W t d c t e W t
dt
c c
0 0
1 ( )
Usando ahora que el potencial es una perturbación, ponemos
0
así que
0k
k kn
E E E Ei t i tk
kn kk
c t c t
dc ti e W t d e W t
dt
( )( )( ) ( )
con la condición inicial 0 0 0
kE Ei t i t
k kk
k kn
dc ti c t e W t d c t e W t
dt
c c
1 ( )
1
0
( )
k
n
E E E Ei t i tk
kn kk
E Ei t
n
dc ti e W t d e W t
dt
dc ti e W t
dt
1
0
Cuya solución es
1exp
donde
,
tn
n
n n
E Ec W i d
i
W t x W x t x dx
1 ( ) nE E
i t
n
dc ti e W t
dt
Suponiendo ahora un potencial perturbativo
monocromático (que dependa únicamente de
la frecuencia ) tenemos
, exp expW x t W x i t W x i t
1
0
1exp
donde ,
tn
n
n n
E Ec W i d
i
W t x W x t x dx
* *
Los elementos de matriz del potencial serán:
exp exp
donde
y
n n n
n n
n n
W t W i t W i t
W x W x x dx
W x W x x dx
1
0
1exp donde ,
, exp exp
tn
n n n
E Ec W i d W t x W x t x dx
i
W x t W x i t W x i t
1
0
0
0
1exp exp exp
exp exp
exp exp
tn
n n
tnn
tnn
E Ec W i t W i t i d
i
E EWi t i d
i
E EWi t i d
i
1
0
1exp
exp exp
tn
n
n n n
E Ec W i d
i
W t W i t W i t
1
Como 0, 0, 0 en general
y el primer término es pequeño en relación al segun
exp 1
do,
exp 1
n
n n
n
n
n
n
n
n
iE E t
Wii E E
E E
E E E E
c
iE E t
Wii E E
1
Sobre todo en la frecuencia resonante,
0
donde el segundo término se hace muy grande
exp 1
e 1
xp nn
n
nn
n
n
iE E t
Wii E
E E
c
iE E
E
tW
ii E E
2 =1 n n n n n
n n
A w A A w A w A c
Si al tiempo 0 tenemos al sistema en el estado
propio , y al tiempo efectuamos una
medición de la variable dinámica , la probabilidad
de encontrar al sistema en el estado es
n
m
mn
t
x t
A
x
P t c
2
Es la probabilidad de transición del estado
al estado en el tiempo .
mn t
n
m t
2
22
1
2
exp 1nn
n
iE E t
Wc d d
iE E
21
2
La probabilidad de transición por unidad de tiempo
del estado al intervalo del continuo , es
por tanto igual a
sin2
n
n nn
n d
E Et
d cp d d W d
dt E E
2
sin2
n
n nn
E Et
p d W dE E
Cuando el tiempo tiende a infinito, , el término
sin
y por tanto,
n
nn
t
E Et
E EE E
En caso en que los estados del espectro continuo
estén caracterizados por tres parámetros , , ,
se encuentra, haciendo los mismos, cálculos que
la probabilidad de transición por unida de tiempo
del est
2
,
ado a una región + , ,
está dada como
, ,
2, ,
n
n n
n d d d
p d d d
W E E d d d
En el caso de las transiciones entre estados del continuo,
se encuentra, nuevamente con el mismo procedimiento,
pero sustituyendo las sumas por integrales y las deltas de
Kronecker por deltas de Dirac,
p
0 0 0
0 0 0
2
, 0 0 0
, ,
2, , , ,
d d d
W E E d d d
En los dos casos que hemos estudiado,
discreto continuo y continuo continuo
la probabilidad de transición refleja el caracter
resonante. Efectivamente las probabilidades
son diferentes de cero sólo si
E
0 0 0
,
0 0 0 ,
, ,
ó
, , , ,
La frecuencia de la acción aplicada es igual a la
frecuencia de Bohr de la transición deseada.
n nE
E E