Mecánica de Fluidos - Diapositivas Completas

Mecánica de Fluidos 1

Mecánica de Fluidos

Sergio Troncoso González


I. Nombre.

II. Expectativas del curso.

III. ¿Porqué eligieron la carrera de Ingeniería Petrolera?

IV. Área que les gustaría trabajas (yacimientos,producción o perforación) y por qué?


OBJETIVO DEL CURSO

El alumno explicará los principios, leyes yconceptos fundamentales que gobiernan elcomportamiento de los fluidos y los aplicaráa los análisis de fenómenos y soluciones deproblemas flujo de hidrocarburos.


TEMARIO

I. Propiedades de los fluidos.

II. Estática de los fluidos.

III. Análisis dimensional y teoría de los modelos.

IV. Ecuaciones fundamentales.

V. Flujo de líquidos en tuberías.

VI. Flujo de gas en tuberías.

VII. Medidores de flujo.


BIBLIOGRAFÍA

� Streeter Victor y Wylie E. Benjamín. Mecánica de

Fluidos. McGraw Hill.

� Shames J. Iving, Mecánica de Fluidos. McGraw Hill.

� Skiba Yuri N., Introducción a la dinámica de fluidos,

UNAM

� Elemer Bobok Ph. D., Fluid Mechanics for Petroleum

Engineers, ELSEVIER


Evaluación

1° parcial 2° parcial 3° parcial

Exámenes 24.1% 24.1% 24.1%

Tareas 7.1% 7.1% 7.1%

Participaciones 2.1% 2.1% 2.1%


Evaluación

Calificación final

Exentos ≥ 8

Examen final < 8


Formato de tareas

Hojas tamaño carta (Si son más de una hoja engraparlas)�blancas�de re-uso

Debe de tener orden y limpieza (calidad del trabajo)

Nombre completo Mecánica de fluidos

Tarea # dd/mmm/aa


Acuerdos/Reglas

Acuerdos.

1. Inicio de la clase es a las 9:30 am.2. Respeto en la clase.3. Celulares en modo silencio.4. Orden y limpieza en el aula.

Reglas en el examen

1. Prohibido el uso de ipod, celulares.


http://www.mecanicafluidos-fiunam.com/


Estudiar

� Notación y definición de vectores.� Álgebra vectorial.� Operaciones vectoriales.� Vectores unitario, normales y planos.� Operaciones diferenciales.

Propiedades de los fluidos 1

Tema IPropiedades de los fluidos


DIMENSIONES Y UNIDADES

Desde tiempos remotos el hombre ha tenido la necesidad demedir, es decir, saber cuál es la magnitud de un objetocomparándolo con otro de la misma especie que le sirva de baseo patrón, pero el problema ha sido encontrar el patrón demedida. Por ejemplo, se habló de codos, vara y pies para medirlongitudes; quintales y cargas para medir masa; y lunas, soles ylustros para medir tiempo.

A través de la historia se han utilizado diferentes sistemas demedición de unidades, así podemos mencionar el SistemaCegesimal (cgs), el sistema MKS, el Sistema Inglés y el SistemaInternacional de Unidades.



Magnitudes Básicas

Dimensión SI

Longitud L metro (m)

Tiempo T segundo (s)

Masa M kilogramo (kg)

Corriente eléctrica

I ampere (A)

Temperatura θ kelvin (k)

Cantidad de substancia

N mol (mol)

Luminosa J candela (cd)



Magnitudes Básicas

Sistema

cgs MKS Inglés

Longitud centímetro (cm) metro (m) pie (ft)

Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)

Masa gramo (g) kilogramo (kg) libra (lb)

Temperatura kelvin (K) kelvin (K) rankine (°R)



Múltiplos Prefijo SI Abreviatura

1012 tetra T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro μ

10-9 nano n

10-12 pico p

Principales prefijos para potencias de 10 en unidades SI



Ejemplos:

Dimensión SI cgs

Área L2 m2 cm2

Volumen L3 m3 cm3

Velocidad LT-1 m/s cm/s

Aceleración LT-2 m/s2 cm/s2

Fuerza MLT-2 kg·m/s2

(Newton)g·cm/s2

(dina)

1� = 1�� ∙ �


EJERCICIOS

Determinar si las expresiones siguientes cumplendimensionalmente:

1) � = �

2) � = ��

3) � = �� + ��


Un fluido es una substancia, ya sea líquido o gas, que se deformacontinuamente cuando se le somete a un esfuerzo cortante, pormuy pequeño que éste sea.

El esfuerzo cortante es la componente de fuerza tangente a unasuperficie, y esta fuerza dividida por el área de la superficie es elesfuerzo cortante promedio sobre dicha superficie.

� =��

�( 1 )

DEFINICIÓN DE FLUIDO


Es aquella propiedad de los fluidos mediante la cual éste ofreceresistencia al esfuerzo cortante.

Sus unidades son:

Sistema Unidad

SI kg/m·s

Inglés lb/ft·s

cgs g/cm·s (poise)

Generalmente se utiliza el centipoise (1 cp = 0.01 poise)

1 poise =1 g/cm·s =0.1 kg/m·s =0.0679 lb/ft·s=0.002089 lb·s/ft2

VISCOSIDAD ABSOLUTA (μ)


La viscosidad se debe a dos causas:

1. Las fuerzas de cohesión que existe entre las moléculas de losfluidos las cuales dificultan el desplazamiento relativo entreellas.

2. La cantidad de movimiento entre “capas” del fluido que nose mueven a la misma velocidad.

La viscosidad depende de la presión y temperatura.

Al aumentar la temperatura a presión constante, la viscosidadde un líquido disminuye, mientras que la viscosidad de un gasaumenta.



Esto se debe que en los líquidos predominan las fuerza decohesión y estas disminuyen al aumentar la temperatura.

Por otra parte, los gases deben su viscosidad primordialmente ala transferencia de cantidad de movimiento molecular y estaaumenta con la temperatura.

En el caso de los hidrocarburos de un yacimiento se tiene unamezcla de líquido y gas; esta cambia consideradamente suviscosidad al variar su presión y/o temperatura.

La variación de la viscosidad es más predominante con latemperatura.



La viscosidad cinemática es la relación de la viscosidad absolutacon la densidad de la masa:

ν=�

�

Sistema Unidad

SI m2/s

Inglés ft2/s

cgs cm2/s

Sus unidades son:

( 2 )

VISCOSIDAD CINEMÁTICA (ν)

Generalmente se utiliza stoke (1 stoke = 100 centistoke)

1 stoke (St) = 1 cm2/s = 0.0001 m2/s = 0.00107 ft2/s


Consideremos un fluidos contenido entre dos grandes láminasplanas y paralelas, de área A, separadas entre sí por unadistancia muy pequeña Y.

L L

FT

h

LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD


Supongamos que el sistema esta en reposo, pero que al cabo deltiempo t=0, la lámina inferior se pone en movimiento endirección al eje x, con una velocidad constante u.

A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad demovimiento, y , finalmente se establece el perfil de velocidad enrégimen estacionario.

Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, espreciso aplicar una fuerza constante F

Tpara conservar el

movimiento de la lámina inferior



h

h

h

h

t<0

t=0

t pequeño

t grande

Fluido inicialmente en reposo

Lamina inferior puesta en movimiento

Formación de la velocidad en flujo no estacionario

Distribución final de velocidad para flujo estacionario

��(�, �)

��(�)

u

u

u



hy

x

�� = −�!��

!�


( 4 )

��

�= −�

!��

!�

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (3)

( 3 )



Ejemplo:

Una placa que dista 0.5 mm de otra placa fija, se mueve a unavelocidad de 30 cm/seg, requiriéndose para mantener estavelocidad una fuerza por unidad de área de 0.2 kg/m2.Determinar la viscosidad del fluido que ocupa el espacio entrelas placa en cp.

h

u


Clasificación de los fluidos

Existe una relación linealentre el esfuerzo cortanteaplicado y la velocidad dedeformación resultante;por lo que la viscosidad esconstante

Fluidos

Newtonianos

No Newtonianos

No existe una relaciónlineal entre el esfuerzocortante aplicado y lavelocidad de deformaciónresultante


A-IdealB-NewtonianoC-Pseudo plásticoD-Sustancia reopécticaE-Plástico idealF-Sustancia tixotrópicaG-Dilatánte


��

!�/!�

A

BC

D

EF

Esf

uer

zo in

icia

l G



En muchas ocasiones para simplificar el estudio de un fluido, seconsidera que su viscosidad es cero, lo cual, implica que elesfuerzo cortante también es cero para cualquier movimientodel fluido. Este fluido de viscosidad cero es denominado fluidoideal.

El tema de flujo no newtoniano constituye actualmente unaparte de otra ciencia más amplia que es la reología, es decir, “laciencia de flujo y la deformación”, que estudia las propiedadesmecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substancias asfálticasy materiales cristalinos.



Ejemplo.

Clasificar la sustancia que tiene las siguientes tasas dedeformación y de esfuerzo cortante correspondiente.

!#

!�0 1 3 5

� 15 20 30 40



$

%&/%'Fluido Plástico ideal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6


TENSIÓN SUPERFICIAL

En la interface de entre un líquido y un gas parece formarse enel líquido una película debido a la atracción de las moléculas dellíquido situadas por debajo de la superficie. Se puede observarcomo algunos insectos se mantienen soportados por lasuperficie del agua en reposo. Esta propiedad de ejercer unatensión se le llama tensión superficial (() y la fuerza necesariapara mantener la unidad de longitud de la película en equilibrio.

También se puede considerar como la energía por unidad deárea para llevar las moléculas a la superficie. Al fenómenoanterior entre dos fluidos inmiscibles se le llama tensióninterfacial. La tensión superficial varía con la temperaturadebido a que aumenta el movimiento molecular del líquido.



La presión dentro de una gota de líquido aumenta debido a latensión superficial. Para una gota esférica de radio r, la presión pnecesaria para equilibrar la presión debido a la tensiónsuperficial, se obtiene considerando las fuerzas que actual sobreel cuerpo libre semiesférico

)*+ = 2*+(

) =2(

+

La capilaridad se debe a la tensión interfacial, a la adhesiónentre los líquidos y al sólidos y a la cohesión del líquido.

( 5 )

( 6 )



Un líquido que moja un sólido tiene mayor adhesión quecohesión. La acción de la tensión superficial en este caso haceque el líquido suba dentro de un pequeño tubo vertical que seencuentra parcialmente sumergido en él. Para líquidos que nomojan el sólido, la tensión superficial tiende a deprimir elmenisco en un pequeño tubo vertical

aire

Hg

aire

Agua

Líquido no mojante Líquido mojante

,h

,





Tomando en cuenta la altura que alcanza el líquido dentro de untubo capilar, al ser introducido esté en el seno de fluido y conbase en la estática de fluidos, se tiene la siguiente expresión decapilaridad.

ℎ =2(./,

��+

Donde:

(=tensión superficial.,=ángulo de contacto entre el líquido y la pared del tubo.+=radio del tubo capilar.

( 7 )



Ejemplo:

¿Cuál es la presión en el interior de una gota de agua de 0.05 mmde diámetro a 20 °C, si la tensión superficial es de 0.00745 kg/my en el exterior de la gota existe una presión normal de1.033 kg/cm2?


Densidad y densidad relativa

La densidad es una propiedad física de la materia íntimamenterelacionada con el grado de cohesión entre los átomos de unelemento o las moléculas de un compuesto. Mientras mas unidasse encuentren las partículas individuales de un elemento ocompuesto, su densidad será mayor.

La densidad es una propiedad intensiva de la materia definidapor el cociente obtenido al dividir la masa de un objeto, por elvolumen ocupado por este.

� =�

#/0��12=�

#

Dimensión SI cgs

Densidad ML-3 kg/m3 g/cm3

( 8 )



La densidad relativa, también llamada gravedad especifica, porsu traducción literal del ingles “Specific gravity”. Se define comola relación existente entre su densidad y la de otra sustancia dereferencia. Para el caso de los líquidos la sustancia que se utilizacomo referencia es el agua.

345 =�5

�6

La densidad del agua es aproximadamente 62.4 lb/ft3=1 g/cm3

@ condiciones estándar.

( 9 )



En la industria petrolera es común expresar la densidad engrados API, (American Petroleum Institute). Este parámetro esun tipo de densidad relativa, en el cual se compara la densidadde un crudo de interés con la correspondiente al agua. Laexpresión es la siguiente:

�78 =141.5

34�− 131.5 ( 10 )



La clasificación de los crudos de acuerdo a la densidad API variade región a región, sin embargo, una clasificación aceptable es:

Tarea:

Cual son las °API de las mezclas mexicanas.

Clasificación Densidad APISuperligeros >40Ligeros 30 < API <40Intermedios 20 < API <30Pesado 16 < API <20Extra pesados <16



Ejemplo:

Calcule los °API de un aceite con una densidad de 53 lb/ft3 acondiciones estándar.

Solución:

34� =��

�6=53

62.4= 0.849

�78 =141.5

0.849− 131.5

�78 =35.2 °API



Para el comportamiento de un gas ideal, la teoría cinética de ungas esta compuesta de un gran número de moléculas. Para ungas ideal el volumen de esas moléculas es insignificantecomparado con el volumen total ocupado por el gas . También seasume que las moléculas no tienen fuerzas de atracción orepulsión entre ellas y se asume también que todas lascolisiones de las moléculas son perfectamente elásticas.

En base a esta teoría cinética de los gases, se conoce como la“Ecuación de estado” y existe una relación entre la presión,temperatura , volumen y a la cantidad de moles de gas.

)@ = 2AB ( 11 )



Donde:

)= presión absoluta, psia@= volumen, ft3

2= número de moles de gas, lb-molB=temperatura absoluta, °RA= constante universal de los gases (10.73 psia ft/lb-mol °R)

El número de moles de gas esta definido como la masa de gas, m,entre el peso molecular, M (lb/lb-mol):

2 =�

C( 12 )



Combinando la ecuación (11) y la (12) se tiene lo siguiente

)@ =�

CAB

Por lo tanto la densidad del gas es:

�D =�

@=)C

AB( 14 )

( 13 )



La densidad relativa del gas se define como la relación de ladensidad del gas entre la densidad del aire. Ambas densidadesson medidas o expresadas a la misma presión y temperatura.Comúnmente la presión y temperatura estándar son usadas paradefinir la densidad relativa del gas.

34D =�D

�EFGH

Asumiendo que el comportamiento de la mezcla de gas y del airees descrita por la ecuación del gas ideal, la densidad relativapuede ser expresada como:



34D =

7IJCEABIJ

7IJCEFGHABIJ

34D =CE

CEFGH=

CE

28.96

Donde:

KD= densidad relativa del gas.7IJ= presión a condiciones estándar.BIJ= temperatura a condiciones estándar.CE= peso molecular aparente del gas.CEFGH= peso molecular del aire, 28.96 lb/lb-mol.

( 16 )

( 15 )


Peso específico

El peso específico de un fluido se define como el cociente entresu peso y su volumen, y representa la fuerza que ejerce laaceleración de la gravedad sobre la masa de un fluido porunidad de volumen.

K =L

@Donde:

K= peso específicoL= peso del fluido@= Volumen del fluido

Dimensión SI cgs

Peso especifico ML-2S-2 kg/m2·s2 g/cm3·s2

( 17 )


Peso específico

Sin embargo, es más común utilizar las siguientes unidades:

kgf/m3; gf/cm3; lbf/ft3

Se puede relacionar la densidad con el peso específico utilizandola segunda ley de Newton:

L = ��

K =L

@=��

@

K = ��

Esta es una propiedad conveniente cuando se trata con laestática del fluido.

( 18 )

( 19 )

( 20)


Presión de Vapor

La presión de vapor es la presión de la fase gaseosa o vaporsobre la fase líquida, para una temperatura determinada, en laque la fase líquida y el vapor se encuentra en equilibrio.

T

CSólido

Líquido

Gas

Temperatura

Pre

sió

n


Presión de Vapor

Hg

Líquido

Hg

Líquido

Gas

P=PvP>Pv

Hg

Líquido

Gas

P=Pv

Hg

Gas

P=Pv

Vaporización de una sustancia pura a temperatura constante


Presión de Vapor

Hg

Líquido

Hg

Líquido

Gas

T=TvT>Tv

Hg

Líquido

Gas

T=Tv

Hg

Gas

T=Tv

Vaporización de una sustancia pura a presión constante


Presión de Vapor

El aceite crudo es almacenado en tanques atmosféricos antes deenviarse a las refinerías. Si el aceite contiene cantidadessignificantes de compuestos volátiles, parte de ellos puedenvaporizarse en los tanques de almacenamiento dando comoresultado una pérdida de producto, y un peligro latente debido aque se crea una atmósfera explosiva por la liberación del gas. Lapresión de vapor del aceite crudo, es una forma de establecer sialgunos hidrocarburos ligeros se vaporizarán en un tanque acondiciones atmosféricas.

Se sabe que el agua no hierve a presión atmosférica ytemperatura ambiente; sin embargo, cuando es calentada a100°C se presenta este fenómeno.


Presión de Vapor

Cualquier líquido en un recipiente abierto, hierve cuando escalentado a un nivel que su presión de vapor es la presiónatmosférica. Inversamente un líquido no hierve mientras que supresión de vapor es menor que dicha presión. De este modo, si lapresión de vapor del aceite crudo en un tanque es menor que lapresión atmosférica, no se presenta evaporización.

El crudo es almacenado frecuentemente en tanques expuestos alcalor del sol. La presión de vapor del aceite a la entra del tanquepuede ser menor que la atmosférica, de esta manerainicialmente no ocurre la evaporización, pero como el tanqueabsorbe el calor del medio ambiente, la presión de vapor delaceite se incrementa y puede llegar a ser mayor que laatmosférica comenzando la evaporización.


Presión de Vapor

Desde hace años, se desarrolló una prueba de presión de vaporReid (PVR), la cual es el procedimiento para determinar lapresión de vapor del aceite, condensados, gasolinas y otrosproductos del petróleo que se almacenan en tanquesatmosféricos. El objetivo de esta prueba PVR fue proporcionarun medio para determinar si un hidrocarburo líquidoalmacenado en un tanques atmosférico vaporiza o no cuando sutemperatura se eleve a 100 °F, esta cantidad se seleccionó comouna temperatura probable para que el tanque dealmacenamiento que podría esperarse durante los meses deverano.

Estática de los fluidos 1

Tema IIEstática de los fluidos


PRESIÓN EN UN PUNTO

Se define a la presión media como el cociente de la fuerzanormal que actúa sobre el área. Se puede entonces entender a lapresión en un punto como el limite de la fuerza normal a unasuperficie entre el área de dicha superficie, cuando ésta tiende acero.

� = lim�→�� ( 1 )



Como solo existen fuerzas normales a las superficies sumergidasen un fluido en reposo, en un punto cualquiera existe la mismapresión en cualquier dirección.

Esto significa que si un elemento deferencial de área (ΔA) essumergido totalmente en un fluido en reposo, actuara unafuerza cuya magnitud es constante en cualquiera de sus caras,independientemente de la orientación que tenga ΔA.

Esto se demuestra considerando un elemento de fluido en formade cuña en el punto (x,y), de espesor unitario y lados Δx, Δy y Δs.



y

x

Δy

Δx

Δs

Fs=ps Δs

Fx=px Δy

Fy=py ΔxW=½ ρg Δy Δx

θ



Tomando en cuenta que solo existe fuerzas normales y degravedad, las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x y yson las siguientes:

Σ� = ��∆� − �� ∆�� = 0Σ� = ��∆� − �� ∆�� − �� ∆�∆�

� = 0Donde px, py y ps son las presiones medias en las tres cartas y ρes la densidad del fluido.

Tomando el límite cuando el elemento de fluido tiende a cero,conservando el ángulo y usando las relaciones geométricas

( 2 )

( 3 )



∆�� = ∆�∆scosθ = ∆�

Se obtiene:

��∆� − ��∆� =0

py∆x − ps∆x − ρ� ∆�∆�� =0

Despreciando el tercer termino de la ecuación 7, por ser muypequeño comparado con los otros dos, se tiene lo siguiente

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )



��∆� = ��∆��∆� = ��∆y�� = �� = ��

Esto demuestra que la presión en un punto de un fluido enreposo es la misma en cualquier dirección. La comprobaciónpara el caso de tres dimensiones, correspondería a un tetraedrode fluido con tres caras en los planos coordenados y la cuartacara inclinada y se realizaría en forma similar.

( 8 )

( 9 )

( 10 )



ρ

a b a

ρ

b

Pa=Pb Pa≠Pb


VARIACIÓN DE LA PRESIÓN

(p+Δp) Aρ

mgΔh

p A

� = &' → & = �'

' = �∆ℎ ∴& = ��∆ℎΣ = 0�� +&� − � + ∆� � = 0�� + ��∆ℎ − �� − ∆�� = 0∆� = ��∆ℎ


VARIACIÓN DE LA PRESIÓN

Con el sistema de referencia (x,y,z), la ecuación fundamental dela hidrostática es

+� = −��+,+�+, = −��

( 11 )

( 12 )


FLUIDOS INCOMPRESIBLES

Integrando la ecuación (11) para un fluido incompresible yhomogéneo, se obtiene la siguiente ecuación

-+� = −��-+,

� = −��, + .Generalmente la variación de la presión hidrostática se expresacomo:

� = ��ℎ

( 13 )

( 14 )

( 15 )


FLUIDOS INCOMPRESIBLES

Donde h se mide verticalmente hacia abajo (h=-z) desde lasuperficie libre del líquido. Por lo tanto, la presión aumenta enforma lineal con respecto a la profundidad, sin importar la formadel recipiente que contiene el líquido.

A B C

a b c

pA=pB=pC

pa=pb=pc


FLUIDOS COMPRESIBLES

Cuando el fluido es un gas perfecto en reposo a temperaturaconstante se tiene la siguiente expresión:

�� = ��

��Despejando la � de la ecuación (16) y sustituyendo en laecuación (11) se tiene:

+� = −�� +,

Despejando +,

( 16 )



+, = − ��

+��

Integrando la expresión anterior

- +,/

/0= − ��

��-+��

1

10

, − ,� = − �� 2�

��

2� �� = −��

�� , − ,�



Aplicando la exponencial se tiene

�� = �3

45010 /3/0

� = ��345010 /3/0

La cual corresponde a la variación de la presión con la elevaciónpara un gas a temperatura constante.

( 17 )


PRESIÓN ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA

La presión puede expresarse con respecto a cualquier nivel dereferencia arbitraria. Los niveles arbitrarios de referencia másusuales son el cero absoluto y la presión atmosférica local.

Cuando la presión se expresa como una diferencia entre su valory un vacío completo, se conoce como presión absoluta. Cuandose expresa como la diferencia entre su valor y la presiónatmosférica local, se conoce como presión manométrica.

�678 = �69: + �:6; ( 18 )


PRESIÓN ABSOLUTA Y MANOMÉTRICA

1 atmósfera760 mm-Hg101,325 Pa14.7 psi1.033 kg/cm2

Presión atmosférica estándar

Presión atmosférica local

Pre

sión

ab

solu

ta

Pre

sión

m

anom

étri

ca

Cero absoluto

Lect

ura

loc

ald

el b

aróm

etro

Estática de los fluidos

EJERCICIO

Calcular la fuerza resultante sobre un empacador en un pozobajo las siguientes condiciones:

D1

D2

h1h2

h3

Ace

ite

37

°AP

I

agua agu

aPatm

P1Datos:

P1= 10 kgf/cm2 absh1= 3000 mh2= 2600 mh3= 800 mAPI=37°D1= 5.5 cmD2=20 cm


EJERCICIO

VERT. DESARR PRESION INCREM. GRAD.PROF. PROF. KG/CM² PRESION KG/CM²MMTS MTS

0 0 3.5 ------ --------500 500 4.2 0.6 0.0013995 1000 4.4 0.2 0.0004

1484 1500 31.5 27.2 0.05551974 2000 68.7 37.1 0.07582453 2500 105.8 37.1 0.07752942 3000 141.6 35.9 0.07343411 3500 186.5 44.9 0.09573747 3850 218.0 31.5 0.0937


EJERCICIO

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 50 100 150 200 250

Pro

fun

did

ad v

erti

cal (

m)

Presión (kg/cm2)

y=1103.2x-3931.1

y=13.204x-1065.9

y=10.675x+1419.6

<=�>�?� = 0.07573 D�/�&�

&

<=�F= = 0.09367 D�/�&�

&

Nivel de aceite a 1126 m

Nivel de agua a 2914 m


EJERCICIO

Calcular la presión al plano de referencia a 4235 m

�1I = �; + <JKLMNO ∗ ∆ℎDonde:�1I= presión al plano de referencia�;= presión de la ultima estación<QKLMNO= gradiente de presión del fluido (gas, aceite y agua)∆ℎ= diferencia de profundidad


MEDIDORES DE PRESIÓN

Existen diversos aparatos para medir la presión pero noslimitaremos a describir aquellos que están basados enpropiedades muy simples del equilibrio de columnas de fluidos.Los aparatos para medir la presión atmosférica se llamanbarómetros, y los que miden presión en general, se llamanmanómetros.


BARÓMETRO

El barómetro es un instrumento que sirve para la determinaciónde la presión atmosférica local; para ello se puede utilizar unbarómetro de mercurio o un barómetro de aneroide.

El barómetro de mercurio esta constituido por un tubo de vidriocerrado en uno de sus extremos, lleno de mercurio de tal formaque su extremo abierto permanezca sumergido en un recipientecon mercurio.


BARÓMETRO

Si no existe aire en el interior detubo, solo actuará sobre la superficielibre del mercurio la presión devapor de éste, por lo que, si lapresión (hv) de este vapor se da encentímetros de mercurio y la alturade la columna (y) se mide en lasmismas unidades la presión delpunto A se obtiene como:

ℎR + � = ℎ��&+�S�A


BARÓMETRO

La presión de vapor del mercurio es muy pequeño atemperatura ambiente, por lo que se puede despreciar; lapresión barométrica dependerá de la elevación sobre el nivel demar y las condiciones del clima. Por lo tanto, la presiónatmosférica se puede obtener con la siguiente expresión:

�� = �69: = T�


BARÓMETRO

Un barómetro aneroide consiste en un fuelle de mental dentrodel cual se ha hecho un vacío; éste se contrae o expande deacuerdo con las variaciones de la presión atmosférica; elmovimiento se transmite a un indicador sobre la escala.

Resorte espiral

Tambor metálico(con vacío parcial)

Resorte

AgujasEscala

Palancas

Cadena


MANÓMETROS

Los manómetros son aparatos que empleancolumna de líquido para determinardiferencias de presión. El manómetro maselemental, usualmente llamado piezómetro,mide la presión de un líquido cuando éste seencuentra por encima del cero manométrico.Un tubo de vidrio se coloca verticalmente detal manera que éste conectado al espaciodentro del tanque. El líquido sube por el tubohasta que alcanza su equilibrio. La presiónestá dada por la distancia vertical h desde elmenisco hasta el punto donde se mide lapresión, expresada en unidades de longitudde líquido dentro del tanque.

27

A

h


MANÓMETROS

Para medir presiones negativas pequeñas opresiones manométricas positivas en unliquido, el tubo puede tomar la forma comose muestra en la figura. Con este arreglo, elmenisco puede llegar a reposo por debajo deA, tal como se muestra. Debido a que lapresión en el menisco es cero manométrica yque la presión disminuye con la elevación

ℎ� = −ℎTJo

�� = −ℎTJ

28

A

h

TU


MANÓMETROS

Para presiones negativas grandes opresiones manométricas positivas seemplea un segundo líquido de densidadrelativa mayor. Éste debe ser nomiscible con el primer fluido, el cualpuede ser gas. Si la densidad relativadel fluido a es TU, y la densidad relativadel líquido manométrico es T�, se puedeescribir la ecuación para la presión enA, como sigue:

�� = T�ℎU − TUℎ�

29

A

h2

h1TU

T�


MANÓMETROS

Para obtener la diferencial de presiones desconocidas entre lospuntos, se emplean los manómetros diferenciales, para ello seempieza el procedimiento de análisis de cualquiera de ambospuntos.

�� − TUℎU − T�ℎ� + TVℎV = �W�� − �W = TUℎU + T�ℎ� − TVℎV

30

A

h2

h1

B

h3

TU

T�

TV


MANÓMETROS

�� − �W = −TUℎU + T�ℎ� + TVℎV

Por último, para medir pequeñas diferencias de presión, setienen los micro manómetros. En ellos se cuenta con pequeñostelescopios provistos de retículas horizontales para medir ladiferencia de altura entre dos meniscos, la cual se lee en unvernier.

31

A

h2h1

TU

T�

B

h3TV


UNIDADES DE LA PRESIÓN


EJERCICIO

1. En un tubo en U de la figura, se ha llenado en el extremo de laderecha con mercurio (�X4=13.6 g/cm3) y la de la izquierda conun fluido de densidad desconocida. Los niveles definitivos sonlos indicados en el esquema. Encuentre la densidad del liquidodesconocido.


FUERZAS SOBRE ÁREAS PLANAS

Superficies horizontales.

Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido enreposo está sujeta a presiones constantes. La magnitud de lafuerza que actúa sobre la superficie es:

-�+� = �-+� = ��

Todas las fuerza pdA que actúan sobre A son paralelas y tienenel mismo sentido. Por consiguiente, la suma escalar de todosestos elementos es la magnitud de la fuerza resultante.



Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia ésta si p espositiva. Para encontrar la línea de acción de la resultante, esdecir, el punto en el área donde el momento de la fuerzadistribuida alrededor de cualquier eje a través del punto cero, seselecciona arbitrariamente los ejes xy, como la figura siguiente.

�Y

�

�

C

AΔA

x

y �



Puesto que el momento de la resultante debe ser igual almomento del sistema de fuerzas distribuidas alrededor decualquier eje, por ejemplo el eje y,

��[ = -��+�Donde x’ es la distancia desde el eje y hasta la resultante. Comop es constante,

�[ = 1�- �+� = �

�En el cual � es la distancia al centroide del área. Porconsiguiente, para un área horizontal sujeta a una presiónestática, la resultante pasa a través del centroide del área.



Superficie inclinada.

En la siguiente figura se indica una superficie plana por la líneaA’ B’ . Esta se encuentra inclina a en un ángulo desde lahorizontal.

�′TℎY�

+y

^�. �

�Y

�1�

_′

TℎY+��ℎY ℎ �

�



el plano xy se encuentra en el plano de dicha superficie. En lafigura se muestra una proyección en un giro de 90° de lasuperficie.

En cada elemento del área ΔA, situada a una profundidad h, lamagnitud de la fuerza ΔF es:

∆ = �∆� = Tℎ∆� = T��∆�Como se trata de un fluido en reposo, todas las fuerzaselementales son normales a la superficie y paralelas entre si; porlo tanto, la suma de todas ellas de la fuerza total en el lado de lasuperficie expuesta al fluido.



= -�+� = T��-�+� = T��Y� = T�Y� = �`�

Donde �` = TℎY la presión en el centroide del área. En otraspalabra, la magnitud de la fuerza ejercida en uno de los lados delárea plana sumergida en un líquido es el producto del área porla presión en su centroide.



Centro de presión.

La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto deaplicación sobre la superficie en un punto conocido como centrode presión, con coordenadas (xp, yp). A diferencia de lo queocurre en una superficie horizontal, el centro de presión de unasuperficie inclinada no se encuentra en el centroide. Paraencontrar el centro el centro de presión, se igualan losmomentos de la resultante xpF y ypF al momento de las fuerzasdistribuidas alrededor de los ejes y y x, respectivamente; porconsiguiente:

�1 = a ��+�� 1 = a ��+��



Al resolver las coordenadas para el centro de presión se obtiene

�1 = UQ a ��+�� 1 = U

Q a ��+��

En muchas aplicaciones las ecuaciones anteriores pueden serevaluadas en una forma más conveniente a través de unaintegración gráfica; para áreas simples, éstas puedentransformarse en las ecuaciones generales tal como sigue:

�1 = 1T�Y��- �T��+�

�= 1�Y�- ��+�

�= b��Y�



Escribiendo la expresión para el producto de inercia alrededordel eje, xy en términos de � y �Y, tenemos lo siguiente:

�1 = b��Y� + �

Cuando cualquiera de los ejes centroidales � = � y � = �Y seencuentra sobre un eje de simetría de la superficie, b��desaparece y el centro de presión se encuentra en � = �. Debidoa que b�� puede ser positivo o negativo, el centro de presiónpuede estar en cualquiera lado de la línea � = �. Para cualquieren �1



Para cualquier en �1

�1 = 1T�Y��- �T��+�

�= 1�Y�- ��+�

�= b��Y�

En el teorema de ejes paralelos para momentos de inercia

b� = b + �Y��



En el cual b es el segundo momento de área alrededor de suseje centroidal horizontal. Si b� se elimina, nos queda

�1 = cd�Y� + �Y

O

�1 − �Y = b�Y�

b siempre es positivo y el centro de presión siempre está pordebajo del centroide de la superficie. Se debe de enfatizar que �Yy �1 − �Y son distancias en el plano de la superficie.


FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

Cuando las fuerzas elementales pdA varían en la dirección, comoes el caso de una superficie curva se debe sumar comocantidades vectoriales; es decir, sus componente en tresdirecciones, mutuamente perpendiculares, se suman comoescalares y luego las tres componentes se suman vectoriales.

Componente horizontal.

dFx=pdAcosθ

dF=pdAθ

Se considera una superficie curva , lacual se proyecta sobre un planovertical como se muestra en la figura.Las líneas de proyección horizontalestán en dirección x.


El elemento de área dA tiene fuerzas normales dF formando unángulo θ con la horizontal. La componente en la dirección x de lafuerza que actua sobre una cara de dA es

+� = ��+�Sumando todas las componentes horizontales

� = - ��+��

Donde cosθdA es la proyección de dA sobre el plano vertical ypcosθdA es la fuerza elemental que actúa sobre el áreaproyectada.



El proyectar todos los elementos del área dA equivale aproyectar toda el área curva sobre el plano vertical; por lo tanto,la componente horizontal de la fuerza de presión sobre unasuperficie curvada, es igual a la fuerza de presión que actúa en laproyección de la superficie sobre un plano vertical.

Para áreas curvadas cerradas, como las de los cuerpos sólidos,las componentes horizontales son nulas. Debido a que suproyección sobre cualquier plano es siempre cero.



Componente vertical.

En forma análoga al análisis anterior, la componente vertical delas fuerzas sobre una superficie curvada se obtiene sumandotodas las fuerzas verticales sobre las área elementales de lasuperficie.


dF

y =p

dA

cosθ

dF

θ

De acuerdo a la figura la componentevertical que actúa sobre el áreaelementa es:

+� = ��+�Donde ahora θ es el ángulo queforma dFy con la vertical.


Por lo tanto la componente vertical total será:

� = - ��+��

Sustituyendo a p por ρgh, donde h es la distancia desde lasuperficie hasta el elemento de área y tomando en cuenta quecosθdA es la proyección del elemento de área sobre la superficielibre, se tiene que:

� = - ��ℎ��+� = ��- +∀= ��∀= fg�



O sea que la componente vertical sobre una superficie curva esigual al peso del liquido arriba de esta. La línea de acción de lacomponente vertical pasa por el centroide del volumen delíquido confinado arriba de la superficie curvada.

Para el caso que el líquido este por debajo de la superficiecurvada y se conoce la presión de un punto, por ejemplo en O, sepuede construir una superficie libre imaginaria o equivalentes-s, p/ρg por encima de O, de tal manera que el producto delpeso especifico y la distancia vertical a cualquier punto deltanque sea la presión de ese punto.



El peso del volumen imaginario de líquido verticalmente porencima de la superficie curva es, entonces, la componentevertical de la fuerza de presión sobre la superficie curva.


x x

O

A

B

P/T

Debe construirse lasuperficie libre imaginariacon un líquido del mismopeso especifico que ellíquido en contacto con lasuperficie de la curvada,para poder representarcorrectamente ladistribución de presionessobre ella.


La presión de un punto de la superficie curvada es igual enambas caras (bajo una superficie libre), pero las fuerzascomponentes elementales en la dirección vertical son de signosopuestos. Por ello, el sentido de la componente vertical de lafuerza esta invertido cuando el fluido imaginario esta porencima de la superficie en cuestión.

La línea de acción de la componente vertical para este caso,también pasa por el centroide del volumen de líquidoimaginario arriba de la superficie curvada.



Un fluido en reposo ejerce una fuerza dirigida hacia arriba sobrecualquier cuerpo que se sumerja total o parcialmente; a estafuerza se la llama fuerza de flotación. Dicha fuerza se obtiene dela diferencia entre la fuerza que actúa en la parte superior delcuerpo y la que actúa en la parte inferior.

FLOTACIÓN DE UN CUERPO EN EL SENO DE UN FLUIDO EN REPOSO

F

WF

WF

W

W<F El cuerpoflota

W>F El cuerpose hunde

W=F

El cuerpoen equilibrio


Consideremos el cuerpo ABCD de la figura, para el caso de unlíquido; la fuerza dirigida hacia arriba que actúa en la parteinferior es igual al peso del líquido real o imaginariocorrespondiente al volumen contenido en ABCNM.


0x

A

B

D

CdA h

M N A

D

C


La fuerza vertical hacia abajo sobre la parte superior del cuerpoes igual al peso del líquido contenido en ABCNM. Al restar estasfuerzas de la primera, se obtiene una fuerza resultante haciaarriba igual al peso del líquido correspondiente al volumendesplazado por el cuerpo, es decir, al volumen ABCD.

El resultado anterior se conoce como el principio deArquímedes

+W = (�� − �U)+� = ��ℎ+� = T+∀W: fuerza de flotación∀: volumen desplazadoT: peso especifico del fluido



Para encontrar la línea de acción de la fuerzas de flotación secalcula momentos con respecto al eje “0” y se igualan almomento resultante.

T- �+∀∀

= T∀�� = 1∀- �+∀

∀

�, corresponde a la coordenada del centroide del volumen; porlo tanto, el centroide del volumen de líquido desplazado es ellugar donde pasa la línea de acción de la fuerza de flotación; estoes valido para cuerpos total o parcialmente sumergidos.

Al centroide de volumen de fluido desplazado se la llama centrode flotación o de empuje.



Al resolver un problema de estática de fluidos que involucraobjetos sumergidos o flotantes, generalmente el objeto se tomacomo un cuerpo libre y se dibuja un diagrama de cuerpo libre.La acción del fluido se remplaza por la fuerza de flotación. Sedebe mostrar el peso del objeto (que actúa a través de su centrode gravedad) al igual que las demás fuerzas de contacto.


∀TU

U

f

∀T�

�

f


Si se pesa un objeto de forma extraña, suspendido en dos fluidosdiferentes, se obtiene suficiente información para determinar supeso, el volumen, peso específico y densidad relativa. De lafigura anterior muestra dos diagramas de cuerpo libre para unmismo objeto suspendido y pesado en dos fluidos. F1 y F2 sonlos pesos cuando se sumerge, y TU y T� son los pesos específicosde los fluidos. W y ∀ el peso y el volumen del objeto,respectivamente son hallados.

Un densímetro o hidrómetro utiliza el principio de la fuerza deflotación para determinar la densidad relativa de los líquidos. Lafigura siguiente muestra un densímetro en dos líquidos. Estetiene un tronco de sección prismática transversal a .



Si consideramos que el líquido de la izquierda es agua destilada,S=1.0 (densidad relativa), el densímetro flota en equilibriocuando

∀�T = f


∀�T1.0

f

∀� − ∆∀ jT

1.0

f

∆ℎ


Donde:∀�: es el volumen sumergido.T: es el peso especifico del agua.f: es el peso del densímetro.

La posición de la superficie líquida se marca como 1.00 sobre eltronco para indicar la densidad relativa unitaria. Cuando eldensímetro flota en otro líquido, la ecuación de equilibrio seconvierte en

∀� − ∆∀ jT = fEn el cual ∆∀= =∆ℎ. Al resolver para ∆ℎ,



En el cual ∆∀= =∆ℎ. Al resolver para ∆ℎ, se obtiene

∆ℎ = ∀�=j − 1j

De la cual el tronco puede marcarse para leer las densidadesrelativas.


Estable Inestable Neutro


Un líquido en un recipiente abierto se somete a una aceleraciónlineal uniforme a, tal como se muestra en la figura. Después deun tiempo, el líquido se ajusta a una aceleración de tal maneraque se mueve como un sólido. Es decir, la distancia entrecualquier par de partículas fluidas permanece constante y, porconsiguiente, no ocurre ningún esfuerzo cortante.

ACELERACIÓN LINEAL UNIFORME

0x

y

ax

ay a

0−�=

−kT <�


Seleccionando un sistema coordenado cartesiano con y verticaly x, de manera que el vector aceleración a se encuentra en elplano xy, el eje z es perpendicular a a y no existe componente deaceleración en esa dirección.


0−�=

−kT <�

l − kT = <� − kT = �=Luego el <� es la suma vectorial de −�= y− kT , tal como se muestra en la figura.Debido a que <� se encuentra en la direcciónde máximo cambio de p (el gradiente), enángulo recto a <�, no existe cambio en p. lasuperficie de presión constante, incluyendola superficie libre, deben por consiguienteser perpendiculares a <�.


Para obtener una expresión algebraica conveniente para lavariación de p con respecto a x, y y z, es decir, p=p(x,y,z), se debeescribir en forma de componentes:

<� = > m�m� + k m�m� + D m�m, = −kT − T� >=� − k=�

Om�m� = − T

� =� m�m� = −T 1 − =�

� m�m, = 0

Dado que p es una función de la posición (x,y,,z), su diferencialtotal es:

+� = m�m� +� +

m�m�+� +

m�m, +,



Sustituyendo para los diferenciales parciales se encuentra

+� = −T =�� +� − T 1 + =�� +�

La cual puede integrarse para un fluido incompresible,

� = −T =�� − T 1 + =�� + �

Con el fin de evaluar la constante de integración c, sea x=0, y=0,p=p0



� = �� − T =�� − T 1 + =��

Cuando el fluido incompresible que se acelera tiene unasuperficie libre, su ecuación se obtiene haciendo que p=0 en laecuación anterior. Despejando y de la ecuación se encuentra

� = − =�=� + �� +

��T 1 + =��

La línea de presión constante, p=cte, tiene como pendiente

− =�=� + �



Y son paralelas a la superficie libre. El intercepto de y en lasuperficie libre es

��T 1 + =��



La rotación de un fluido que se mueve como sólido, alrededor deun eje, se conoce como movimiento de vórtice forzado. Cadapartícula de fluido tiene la misma velocidad angular. Estemovimiento debe distinguirse del movimiento de vórtice libre,en el cual cada partícula se mueve en una trayectoria circular,con una velocidad que varía inversamente a la distancia desde elcentro.

Un líquido dentro de un contenedor, cuando se rota alrededor deun eje vertical a velocidad angular constante, se mueve como unsólido después de un cierto intervalo de tiempo. No existenesfuerzos cortantes en el líquido y la única aceleración queocurre se dirige radialmente hacia dentro y hacia el eje derotación.

ROTACIÓN UNIFORME ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL


Si se selecciona un sistema de coordenadas con el vectorunitario i en la dirección r, y el vector j verticalmente haciaarriba con y como el eje de rotación, se puede aplicar lasiguiente ecuación para determinar la variación de presión através del fluido.

<� = −kT − �=


n

�o

ℎ� � − �= = >�n�o

−kT<�


Para velocidad constante, n, cualquier partícula del fluido Ptiene una aceleración n�o dirigida radialmente hacia adentro,igual a a= −>n�o. La suma vectorial de −kT y −�= es elgradiente de presión. La presión de un punto no varia en ladirección perpendicular a esta línea.

Por consiguiente, si P se toma en la superficie, la superficie librees perpendicular a <�, entonces

> m�mo + k m�m� + D m�m, = −kT − >�n�o

Donde k es el vector unitario a lo largo del eje z (o direccióntangencial.



Luego.

m�m� = T

�p�o m�m� = −T m�m, = 0

Dado que p es función de y y r únicamente, el diferencial total dpes

+� = m�m� +� +

m�+o +o

Entonces

+� = −T+� + T�p�o+o



Para un liquido (T ≈ constante) la integración es

� = T�p� o�2 − T� + �

Donde c es la constante de integración. Si el valor de la presiónene el origen (r=0, y=0) es p0 entonces c= p0.

� = �� + T�p� o�2 − T�



Cuando se selecciona el plano horizontal particular (y=0) para elcual po=0 y se divide la ecuación anterior por T, entonces

ℎ = �T = n�o�

2�La cual muestra que la cabeza de presión, o profundidadvertical, varia con el cuadrado del radio. Las superficies de igualpresión son paraboloides de revolución.


Análisis dimensional 1

Tema III

Análisis dimensional y

teoría de los modelos


SISTEMA DE PRODUCCIÓN


MEDIO CONTINUO

El movimiento de los gases y los líquidos puede estudiarse en

forma aproximada mediante las ecuaciones de la dinámica defluidos bajo la hipótesis del medio continuo. Sin embargo, para

que dicha hipótesis sea válida el recorrido libre promedio de las

moléculas que constituyen dichos materiales debe ser mucho

menor que una longitud característica del sistema físico en el

que se encuentra el gas o el líquido en cuestión.

De esta forma, las variables de estado del material, tales como la

presión, la densidad y la velocidad podrán ser consideradas

como funciones continuas del espacio y del tiempo, conduciendo

naturalmente a la descripción del material como un medio

continuo.


Al dividir la longitud del recorrido libre promedio de las

moléculas por la longitud característica del sistema, se obtiene

un número adimensional denominado número de Knudsen

�� =�� é��

�� í��

Calculando el número de Knudsen es fácil saber cuándo puede

describirse el comportamiento de líquidos y gases mediante las

ecuaciones de la dinámica de los fluidos. En efecto, si el número

de Knudsen es menor a la unidad, la hipótesis del continuo

podrá ser aplicada; si el número de Knudsen es similar a la

unidad o mayor, deberá recurrirse a las ecuaciones de la

mecánica estadística para describir el comportamiento del

sistema.

MEDIO CONTINUO


Con el fin de describir el comportamiento de un continuo se

podría utilizar un sistema de referencia fijo, conocido como un

sistema de referencia Lagrangiano o material, el cual consiste

en colocarse en un punto fijo del espacio y desde allí describir el

comportamiento del continuo.

Otro sistema de referencia llamado Euleriano se "sube" a una

partícula del medio y ya no mantiene una posición fija.

SISTEMA DE REFERENCIA


ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y

planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis

dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales,

que van a permitir utilizar los resultados experimentales

obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se

tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y

dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades de

los fluidos y del flujo son distintas delas que se obtuvieron

durante los experimentos.



Es importante considerar que si en un experimento en un

modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener

las escalas cinemáticas (relaciones de velocidad) y las escalas

dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados

adimensionales que se obtienen para el modelo son también

válidos para el prototipo.

Se dice que una ecuación es dimensionalmente homogénea

cuando las dimensiones fundamentales en cada uno de los

términos de la ecuación son las mismas


Magnitudes Básicas

Dimensión SI

Longitud L metro (m)

Tiempo T segundo (s)

Masa M kilogramo (kg)

Corriente

eléctricaI ampere (A)

Temperatura θ kelvin (k)

Cantidad de

substanciaN mol (mol)

Luminosa J candela (cd)



Magnitudes Básicas

Sistema

cgs MKS Inglés

Longitud centímetro (cm) metro (m) pie (ft)

Tiempo segundo (s) segundo (s) segundo (s)

Masa gramo (g) kilogramo (kg) libra (lb)

Temperatura kelvin (K) kelvin (K) rankine (°R)



Múltiplos Prefijo SI Abreviatura

1012 tetra T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro μ

10-9 nano n

10-12 pico p

Principales prefijos para potencias de 10 en unidades SI




El análisis dimensional básicamente es un método para reducir

el número y complejidad de las variables experimentales sin que

afecten el fenómeno físico, pero utilizando técnicas de

compactación:

a) Cambiar unidades

b) Revisar ecuaciones

c) Determinar Grupos adimensionales, o sea arreglos

convenientes de variables en forma adimensional.

d) Plantear experimentos en forma sistemático

e) Determinar las dimensiones de las constantes de

proporcionalidad tales como la permeabilidad en la ecuación

de Darcy para flujo lineal incompresible.



Ejemplo:

� =��∆�

��

��

�→ �!"#$ ; � ��% → �% ; ∆� �� → &�#$"#%

� �� → &�#$"#$ ; � �� → � ; � � �' →?

� =��

�∆�=�!"#$ &�#$"#$ �

�% &�#$"#%

� � �' → �%


GRUPOS ADIMENSIONALES

El cociente de dos fuerzas que actúan en un fluido es la manera

más común de expresar a los parámetros o grupos

adimensionales; el valor de este cociente indica la importancia

de una fuerza con respecto a la otra.

Mediante los parámetros adimensionales se puede reducir las

variables que intervienen en un problema y aplicar estos

resultados a casos similares.


GRUPOS ADIMENSIONALES

De todos los parámetros adimensionales, 5 de ellos son de gran

importancia.

� Número de Reynolds (NR).

� Número de Froude (Fr).

� Número de Weber (We).

� Número de Mach (Ma).

� Número de Euler (Eu).


NÚMERO DE REYNOLDS

En muchos caso de flujo de fluidos solo actúan fuerzas viscosas,

de presión y de inercia. Por ejemplo, si el flujo es en un

conducto, totalmente cerrado, la gravedad no afecta el patrón de

flujo; la tensión superficial tampoco afecta, ya que no existe

superficie libre. Además, a velocidades de flujo por debajo de la

velocidad del sonido, los efectos de compresibilidad pueden

despreciarse

Por lo tanto, con las tres primeras fuerzas existen tres posibles

pares de fuerzas a relacionar; para el número de Reynolds, se

toma la relación de la fuerza de inercia con la fuerza viscosa.


NÚMERO DE REYNOLDS

()*+,(-

=��

� . '/ �~1�! �"#%

� . �/ �%~1 �

%

"%/

� . �/~1.�

�

23 =1.�

�Este parámetro adimensional ayuda a

distinguir entre el régimen laminar y el

turbulento en un flujo en particular. La

longitud L de la expresión anterior es

sustituida por el diámetro, para un tubo

de sección circular completamente lleno

de fluido; la velocidad se toma como el

promedio del fluido.


NÚMERO DE FROUDE

El número de Froude se obtiene del cociente entre la fuerza de

inercia y la fuerza de gravedad.

()*+,(4,56

=��

��~1�! �"#%

1�!�~1�% �

%

"%/

1�!�~.%

��

(3 =.%

��=

.

��

En los casos de escurrimiento con una superficie libre, la

naturaleza del flujo ya sea rápido o lento (flujo en canales

abiertos).


NÚMERO DE FROUDE

En cualquier flujo que tenga una superficie libre, además de

cualquier perturbación en ella como el movimiento de olas, son

importantes las fuerzas de gravedad. Con ayuda de este

parámetro se puede determinar, por ejemplo, la resistencia de

un barco debida a la acción de las olas


NÚMERO DE WEBER

Se define como el cociente entre la fuerza de inercia y las fuerzas

de tensión superficial

()*+,(7

=��

8�~1�%.%

8�

9+ =1�.%

8

El número de Weber es un parámetro importante en

atomización de un líquido. El número de Weber da la razón

característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejercen el gas

sobre una película delgada y las fuerzas de tensión que actúan

en la superficie del líquido.


NÚMERO DE MACH

Este parámetro adimensional se relaciona por el cociente de la

fuerza de inercia y la fuerza de elástica.

()*+,(+:5�

=��

��~1�%.%

��%~.%

� 1/

&� =.%

� 1/=

.

� 1/

O bien

&� =.%

�;"


NÚMERO DE MACH

Donde el denominador de la ultima relación corresponde a la

propagación del sonido en un gas perfecto, siendo k la relación

de calores específicos, T la temperatura absoluta y R la

constante del gas. El denominador de la segunda relación

representa la propagación del sonido en un líquido, donde k es

el modulo de elasticidad volumétrica del líquido; v es la

velocidad característica del flujo

Si Ma < 1 flujo subsónico

Si Ma = 1 flujo sónico

Si Ma > 1 flujo supersónico


MÉTODO DE RAYLEIGH

Este método se basa en la homogeneidad dimensional para

obtener ecuaciones; es recomendable cuando existen cuatro o

menos variables. Para representar el método se tomara como

ejemplo la fuerza de arrastre (FD) que actúa sobre una esfera

que se mueve a través de un líquido viscoso:

1.- Se determinan las variables que intervienen. Se sugiere

considerar una longitud característica, una velocidad

característica y las propiedades de los fluidos. Para el ejemplo:

diámetro de la esfera, velocidad de la esfera, densidad del fluido

y la viscosidad del mismo.


MÉTODO DE RAYLEIGH

2.- Se hace una lista de las variables con sus dimensiones.

Fuerza (FD) [M L T-2]

Longitud (D) [L]

Velocidad (u) [L T-1]

Densidad (ρ) [M L-3]

Viscosidad (μ) [M L-1 T-1]


MÉTODO DE RAYLEIGH

3.- Se define una relación funcional de las variables en un

sistema dimensional; para el ejemplo se usara M L T.

FD = f(D, u, ρ, μ)

De acuerdo a la homogeneidad dimensional

FD = K Da ub ρc μd

Donde K es una constante adimensional. En términos de las

dimensiones:

[M L T-2] = [L]a [L T-1]b [M L-3]c [M L-1 T-1]d

( 1 )

( 2 )


MÉTODO DE RAYLEIGH

[M L T-2] = M(c+d) L(a+b-3c-d) T(-b-d)

4.- Se satisface la homogeneidad dimensional, por lo tanto:

1 = c + d

1 = a + b – 3c – d

-2 = - b – d

Resolviendo el sistema en términos de “d” debido a que se tiene

3 ecuaciones y 4 incógnitas:

a = 2 – d

b = 2 – d

c = 1- d


MÉTODO DE RAYLEIGH

5.- Se sustituyen las ecuaciones anteriores en la ecuación 2:

FD = K D2-d u2-d ρ1-d μd

Agrupando las variables:

(< = �(1%>%)

1>

�

#@

DondeAB<

-es el número de Reynolds (NR); si además, se define

al coeficiente de arrastre como:

C< = � 23#@


MÉTODO DE RAYLEIGH

Entonces, finalmente la expresión queda como:

(< = C<1%>%

La cual es una ecuación derivada de la homogeneidad

dimensional. El coeficiente CD se determina en forma

experimental.


TEOREMA Π DE BUCKINGHAM

El teorema de Π de Buckingham (1914) prueba que en un

problema físico que incluye n magnitudes en las cuales hay m

dimensiones, entonces se puede determinar n-m parámetros

adimensionales independientes, los cuales se denotan por la

letra griega mayúscula pi (Π); el teorema de Buckingham

origina una ecuación de la forma:

F(Π1, Π2, Π3,… Πn-m)=0

Los parámetros adimensionales (Πi) se forman con m variables

repetidas (las cuales involucran entre ellas todas las m

dimensiones fundamentales) y en cada parámetro una de las

variables restantes adimensionales.



Se puede tener más de una selección de las variables repetidas y

cada juego de ellas producirá una diferente colección de

parámetros adimensionales (Πi); las Πi obtenidas de un juego de

variables repetitivas no son independientes de las Πi obtenidas

de otro juego.

Cada parámetro (Πi) se resuelve de tal manera que resulte

adimensional. Este método no provee por si solo una solución

completa a un problema, sino una solución parcial que orienta

para obtener la cantidad máxima de información con el menor

número de experimentos.



El procedimiento es el siguiente:

1. Seleccionar las variables pertinentes. Esto requiere algún

conocimiento del proceso.

2. Escribir las relaciones funcionales, por ejemplo

f(u, D, c, ρ, μ, H)=0

3. Seleccionar las variables repetidas (no incluir la cantidad

dependiente como una variable repetitiva). Estas variables

deben contener todas las m dimensiones del problema.

Usualmente se escoge una variable porque especifica la

escala y otra porque especifica las condiciones cinemáticas.



4. Escriba los parámetros Π en función de exponentes

desconocidos, por ejemplo,

Π =Da ub ρc μ =[L]a [L T-1]b [M L-3]c [M L-1 T-2]

5. Para cada una de las expresiones de Π, escribir las

ecuaciones de los exponentes, de tal manera que la suma de

los exponentes de cada dimensión sea cero.

6. Resolver simultáneamente las ecuaciones.

7. Sustituir nuevamente en las expresiones Π del paso 5, los

exponentes para obtener los parámetros adimensionales Π



8. Establecer la relación funcional

f(Π1, Π2, Π3,…, Πn-m) = 0

O despejar explícitamente uno de los Π:

Π2 = f(Π1, Π3,…, Πn-m)

Recombinar, si se desea, para alterar las formas de los parámetros

Π, manteniendo el mismo número de parámetros independientes.


EJERCICIO

Repita el desarrollo FD=f(D,u,ρ,μ), utilizando el teorema Π.

Fuerza (FD) [M L T-2]

Longitud (D) [L]

Velocidad (u) [L T-1]

Densidad (ρ) [M L-3]

Viscosidad (μ) [M L-1 T-1]



n=5, m=3

Π1=Da ub ρc FD=[L]a [L T-1]b [M L-3]c [M L T-2]= M0 L0 T0

La Lb L-3c L = L0 a + b - 3c + 1 = 0

T-b T-2 = T0 - b - 2 = 0

Mc M = M0 c + 1 = 0

a =- 2

b =-2

c =-1



Π1=D-2 u-2 ρ-1 FD =FD

ρu2D2

Π2=Da ub ρc μ =[L]a [L T-1]b [M L-3]c [M L-1 T-2]= M0 L0 T0

La Lb L-3c L = L0 a + b - 3c + 1 = 0

T-b T-1 = T0 - b - 1 = 0

Mc M = M0 c + 1 = 0



a = -1

b = -1

c =-1

Π2=D-1 u-1 ρ-1 μ =μρuD

f(Π1, Π2)=0

f(FD

ρu2D2,μρuD)=0

FDρu2D2

= f(μρuD)


ESTUDIO DEL MODELO

Muy frecuentemente maquinarias, estructuras hidráulicas y

aerodinámicas solo se construyen si se han efectuado estudios

detallados sobre modelos

Los modelos deben tener las características significativas del

prototipo, es decir deben tener:

� Semejanza geométrica

� Semejanza cinemática

� Semejanza dinámica


SEMEJANZA GEOMÉTRICA

Se tiene semejanza geométrica cuando los cocientes de dos

longitudes homologas son iguales

a

a′=b

b′=c

c′=constante

a'

c'

b'

ac

b


SEMEJANZA GEOMÉTRICA

La escala de longitud LT=LmLp

longituddelmodelolongituddelprototipo

La escala de áreas A]=AmAp =

Lm2

Lp2=LT2

La escala de volúmenes V]=VmVp =

Lm3

Lp3=LT3


SEMEJANZA CINEMÁTICA

Hay dos condiciones:

1. Que exista semejanza geométrica

2. Que los cocientes entre velocidades homólogos sean iguales

La escala de velocidades u=umup=LmTmLpTp

=L]

T]

La escala de aceleraciones a=amap=L]

T]2

La escala de gasto Q]=QmQp=L]3

T]


SEMEJANZA DINÁMICA

Hay tres condiciones:

1. Que exista semejanza geométrica

2. Que exista semejanza cinemática

3. Que los cocientes de las fuerzas homólogos sean iguales

()*+,�)5 �

()*+,�)5 �=(4,56)c5�)d*5:+� �(4,56)c5�)d*5:+ �

En general, al aplicar la teoría de los modelos se localiza la fuerza

dominantes y se le relaciona con la fuerza de inercia, tanto en el

modelo como en el prototipo


LEY GENERAL DE SEMEJANZA DINÁMICA

Es la relación entre las fuerzas de inercia del modelo y prototipo

FT=Fmodelo

Fprototipo=mmam

mpap

=ρmL3mρpL3p

LT

T]2=ρmL2mLmρpL2pLp

LT

T]2

FT=ρLT2LT

T]

2

Es la ecuación Newtoniana o Ley general de semejanzadinámica. Simultáneamente se puede elegir que para casos en

los que un par de fuerzas sean las dominantes en un fenómeno, el

número adimensional respectivo que ligue a esas dos fuerzas

deber ser el mismo para el modelo y prototipo si se quiere que

exista semejanza dinámica


EJEMPLO

Calcular la fuerza de las olas en una plataforma de perforación

marítima (densidad de agua de mar de 1.04 gr/cm3), si en un

modelo a escala 1:100 se midió una fuerza de 0.9 kgf cuando se

utilizo agua dulce

5 m

100 mρ=1.04 gr/ccρ=1.0 gr/cc

5 cm

1 m

Modelo Prototipo

Ecuaciones fundamentales 1

Tema IV

Ecuaciones fundamentales


DEFINICIONES

Un sistema es una porción del universo que nos rodea que se

toma aparte para su estudio.

El principio de conservación de masa establece que la masa en el

interior de un sistema permanece constante con el tiempo,�� = 0.

El segundo principio de Newton del movimiento para un sistema

se escribe ∑� = �� () en el que se consideran todas las

fuerzas externas F, que actúan sobre el sistema de masa

constante m, y cuyo centro de gravedad se mueve a una

velocidad u.


DEFINICIONES

Un volumen de control es una región fija en el espacio. El

contorno del volumen de control es su superficie de control.

Un proceso es el conjunto de estados por los que pasa el

sistema, tales como cambios de velocidad, elevación, presión,

densidad, temperatura, etc.

Al movimiento de un fluido se le llama flujo.

El flujo puede ser:

� Laminar ó turbulento

� Reversible ó irreversible

� Real ó ideal


DEFINICIONES

� Permanente o transitorio

� Uniforme ó no uniforme

Un flujo laminar, las partículas del fluido se mueven a lo largo

de la trayectorias lisas en capas o láminas paralelas

cumpliéndose la Ley de Newton de la viscosidad.

Un flujo turbulento, las partículas de fluido se mueven sin un

orden aparente, originándose una mayor tensión de cortadura

en el fluido y por lo tanto aumentándose las perdidas.

Un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las

condicines del movimiento en cualquier punto no cambia con

respecto al tiempo


DEFINICIONES

�� = 0, �� = 0, �� = 0, �� = 0

Un flujo transitorio las condiciones en cualquier punto cambian

con el tiempo

�¥� ≠ 0¥escualquierpropiedaddelfluido


DEFINICIONES

Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo están

sujetas a las siguientes relaciones, las cuales pueden expresarse

en forma analítica:

1. Las leyes de movimiento de Newton, las cuales deben

cumplir cualquier partícula en cualquier instante.

2. La relación de continuidad, es decir, la ley de conservación de

masa.

3. la primera y segunda ley de la termodinámica.

4. Las condiciones de frontera.

5. Otras ecuaciones básicas como una ecuación de estado, la ley

de Newton de la viscosidad, etc.


TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS

En un sistema de referencia lagrangiano considere una porción

de masa específica de fluido que se rastrea por un corto período

de tiempo δt, conforme el fluido se mueve.

Sea α cualquier propiedad del fluido tal como su masa, energía o

cantidad de movimiento en una dirección específica. Debido a

que se utilizó un sistema de referencia estático x₀,y₀,z₀ y t son

variables independientes. La cantidad α será sólo función del

tiempo si el volumen de control V(t) (que contiene a la masa) se

mueve y deforma con el fluido, es decir, α=α(t).


La razón de cambio de la integral de α en V será:

"" # $ %& = lim(�→*

1, # $ + , %& − # $( )%&

/(�)/(�0(�)/(�)

Al resolver la ecuación anterior se obtienen el Teorema deTransporte de Reynolds:

"" # $ %& = # �$

� + 1 ∙ ($) %&/(�)/(�)

Esta ecuación relaciona el sistema de referencia de Lagrange con

el de Euler

TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS


La ley de conservación de masa implica que la masa de un

volumen de control es,

# �%&/

Permanece constante en el tiempo, es decir,

"" # �%& = 0

/

Utilizando el teorema de transporte de Reynolds

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD


# �� + 1 ∙ (�) %& = 0

/(�)

Debido a que el teorema es válido para un volumen arbitrario, la

ecuación anterior solo puede satisfacerse si

�� + 1 ∙ � = 0

Esta ecuación es la ecuación de conservación de la masa para

una sola fase (y sin cambios de fase). Matemáticamente implica

que la velocidad es un función continua, debido a esto también

se le conoce como la ecuación de continuidad.



La ecuación de continuidad se puede dejar en términos de la

derivada material

�� + ∙ 1� + �1 ∙ = 0

"�" + �1 ∙ = 0

Para muchos casos prácticos el fluido es incomprensible y343� = 0 , debido a que ρ≠0, la ecuación de continuidad se

convierte en

1 ∙ = 0



El producto 1 ∙ se llama divergencia del vector velocidad.�;�< + �=

�> + �?�@ = 0

La divergencia de un cuerpo representa el flujo neto por unidad

de volumen de un fluido en un punto.



Para un vector posicionado por

A = 5<> C + @ D + −2.5>C C + @ + 3> G + −3@ + <2 C H

a) Encontrar la función de velocidad, y

b) ¿el campo de velocidad satisface la ecuación de continuidad?

EJEMPLO


Forma integral.Supóngase el flujo de un fluido, un sistema y un volumen decontrol. En el tiempo t, la masa contenida en el sistema ocupadatotalmente el volumen de control.


y

xz

Volumen

de control

SistemadA u

dA

u

α

α


Para el tiempo t+∆t el sistema se ha movido debido al flujo, pero

el volumen de control permanece fijo en el espacio. La masa es

constante y en el tiempo t es igual a la masa contenida en el

volumen de control (PQ�), por lo que:

PQ,� = PQ,�0∆� +RST −UV�

PQ,�0∆�: es la masa contenida en el volumen de control en el

tiempo t+∆t

RST : es la masa que sale del volumen de control en ∆t

UV�: es la masa que entra al volumen de control en ∆t

PQ,�0∆� −PQ,�∆ = UV�

∆ − RST∆



lim∆�→*PQ,�0∆� −PQ,�

∆ = �PQ� = �

� # �%PQ

W = # �� %&PQ

�RST� = # �V%XRST = # � YZ[$ %XRST]RST]RST

Donde V es la componente normal de la velocidad a la

superficie de control y es positiva si esta dirigida hacia el

exterior del volumen de control; α es el ángulo entre el vector

velocidad u y el vector normal hacia afuera %X; el modulo de

%Xes dA al volumen de control.



�UV�� = −# � YZ[$ %XUV�]UV�

El signo es debido a que el cosα es negativo cuando el flujo es

hacia el interior del volumen de control, entonces

�UV�� − �RST

� = −# � ∙ %XRQ

Entonces:

# �� %&PQ

= −# � ∙ %XRQ



Esta es la ecuación de continuidad en forma integral.

La ecuación anterior expresa que la rapidez de variación de la

masa dentro del volumen de control es igual al gasto másico

neto que pasa a través de la superficie de control.

Si se aplica esta expresión a un tubo de corriente, en el cual el

volumen de control esta limitado por la pared del tubo y por las

áreas transversales A1 y A2.

# ^ cos 180° %X^ = −^X^]^

# C cos 0° %XC = CXC]C



# YZ[$ %X = −^X^ +RQCXC = 0

^X^ = CXCa^ = aC

Un gasto másico es:

b = �Xób = �a


u2

u1

dA2

dA1


En una tubería por donde fluye aceite de densidad relativa de

0.86, la velocidad es de 2 m/s en una sección de 20 cm de

diámetro. Calcule la velocidad en otra sección cuyo diámetro es

5 cm y calcule el gasto másico.

EJEMPLO

A1A2

u1 u2


La aplicación de la segunda ley de Newton en un fluido resulta

en la ecuación de conservación de momentum. Implica que el

cambio en el momentum es igual a las fuerzas que actúan sobre

una masa de fluido. Las fuerzas que actúan sobre una masa de

fluidos pueden ser:

Fuerzas de cuerpo: Fuerzas gravitatorias y electromagnéticas.

Si f es un vector que representa la resultante de las fuerzas de

cuerpo por unidad de masa, la fuerza externa neta actuando

sobre una porción de masa que ocupa un volumen V será:

# �c%&/

ECUACIÓN DE MOMENTUM


Fuerzas de superficie: Fuerzas debidas a presiones o esfuerzos

viscosos. Si Fs es un vector de superficie que representa la fuerza

resultante por unidad de superficie S que contiene a un volumen

de control V, la fuerza neta externa actuando sobre la superficie

del volumen de control será:

# �de%fgEn un volumen de control, la cantidad de movimiento dentro de

él está dada por:

# �%&/



La razón de cambio de momentum es:,

"" # �%&

/

El balance de la cantidad de movimiento en un volumen de

control es:

"" # �%& = # �de%fg

+# �c%&//

Utilizando tensor de esfuerzos esta ecuación queda en notación

tensorial:




tensorial:

"" # �h%& = # ijhkj%fg

+# �c%&//

Utilizando el teorema de Gauss

# ijhkj%f = # �ijh�<j %&/g

Y el teorema de transporte de Reynolds, el balance de

momentum queda como:




tensorial:

# �� (�h) +

��<l (�hl) %&

/(�)= # �ijh

�<j %& +/

# �mh%&/

# �� h + �

�<l �hl − �ijh�<j − �mh %&

/(�)= 0

Para cualquier volumen arbitrario, la ecuación es válida si:

�� h + �

�<l �hl = �ijh�<j + �mh



Expandiendo la ecuación:

� �h� + h �� +

��<l �l + �l �h�<l =

�ijh�<j + �mh

Utilizando la ecuación de continuidad se obtiene la ecuación de

balance de cantidad de movimiento:

� �h� + �l �h�<l =�ijh�<j + �mh



En forma integral.

La segunda ley d Newton se puede expresar:

n� = op = %W%

∑F es la resultante de todas las fuerzas externas que actúan

sobre el sistema de masa constante y cuyo centro de gravedad

se mueve a una velocidad.



Para la dirección en x:

n�; = op; = %p;% = %

% q;

M=mu (la cantidad de movimiento del sistema)

El aumento de la cantidad de movimiento en la dirección x

dentro del sistema es:

q;,�0∆� −q;,� gjR� = q;,�0∆� PQ − q;,� PQ +q;,RST −q;,UV�

Dividiendo ambos miembros entre ∆t y tomando el limite

cuando ∆t tiende a cero



%q;% RjR�

= %q;% PQ

+ %q;,RST% − %q;,UV�

% Si

�q;,RST� − �q;,UV�

� = # ;� cos $ %X = # ;�p ∙ %XRQRQ

Y

%q;% PQ

= %% # �;%&PQ



Sustituyendo las expresiones anteriores se tiene lo siguiente:%q;% RjR�

= %% # �;%&PQ

+# ;� cos $ %XRQ

En forma análoga se pueden obtener para las direcciones en y y

z



Desde una boquilla montada sobre un bote, se descarga unchorro de agua de 8 cm de diámetro con una velocidad de 40m/s, como se muestra en la figura. Si se tiene flujo permanente,¡cuál es la fuerza necesaria para mantener el bote en reposo?

Ejemplo

dA

u

x

vc

F


Suponga un sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z) en dondeun fluido newtoniano de densidad ρ y viscosidad dinámica μtiene asociado un vector de velocidad p = (;, = , ?) , enespacio tiene asociada una fuerza de cuerpo (gravedad) cuyovector es � = (�;, �=, �?). La ecuación de balance de cantidad demovimiento es:

� �h� + l �h�<l

= − ��<h +

��<h �′ �l�<l + �

�<j � �j�<h +

�h�<j + ��h

Esta relación se conoce como las ecuaciones de Navier-Stokes y

se tienen que resolver acopladas a la ecuación de continuidad.

ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES


Si se supone que (relación de Stokes)

�� − � = �� + 2�3 ≅ 0

Y que la viscosidad y la densidad son constantes (flujo

incompresible)

� �h� + l �h�<l = − ��

�<h + � �h�<j�<j + ��h

ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES


La primera ley de la termodinámica para un sistema estableceque el calor QH añadido a un sistema, menos el trabajoW hechopor el sistema, depende únicamente de los estados iniciales yfinales del sistema. La diferencia en el estado del sistema, siendoindependiente de la trayectoria desde el estado inicial al final,debe ser una propiedad del sistema. Esta se conoce comoenergía interna E. la primera ley en forma de ecuación es:

∆a� − ∆� = ∆�Y si

%a�% − %�

% = %�% =

�� # ��%& +# �� ∙ %X

RQPQ

ECUACIÓN DE ENERGÍA


Donde e es la energía total por unidad de masa del fluido.El trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores puededividirse en dos partes: el trabajo Wpr hecho por las fuerzas depresión sobre las fronteras móviles y el trabajoWs hecho por lasfuerzas cortantes tales como el torque ejercido sobre un eje querota. El trabajo hecho por las fuerzas de presión en el tiempo

%�� = % #� ∙ %X

Entonces sustituyéndolo en la ecuación anterior se tiene lo

siguiente



%a�% − %�R

% = %�% =

�� # ��%& +# �

� + � � ∙ %XRQPQ

Es la ecuación de conservación de energía, que expresa que la

cantidad de calor neta suministrada por unidad de tiempo,

menos el trabajo realizado por fuerzas cortantes por unidad de

tiempo, es igual a la variación de la energía dentro del volumen

de control por unidad de tiempo, mas el trabajo realizado por

fuerzas de presión, más el flujo neto de energía por unidad de

tiempo a través de la superficie de control.

%a�% − %�R

% = %�% =

�� # ��%& + # �

� + � � cos($)%XRQPQ



Al aplicar la ecuación anterior a un volumen de control, se puedeconsiderar la cámara de mezcla definida como en la figura.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Volumen

de control

u2

u1

QH

2ρ2

ei2

z2

1ρ1

ei1

z1

Ws

ei: energía intrínseca


En donde se tiene un fluido incompresible y flujo permanente alos puntos 1 y 2 dl sistema, se tiene

%a�% − %�R

% = − �^

� + �@^ + ^C2 + �j^ �^X^

+ �C� + �@C + CC

2 + �jC �CXC

Si se sustituye la ecuación de continuidad para las mismas

condiciones: Q=A1u1=A2u2, dividiendo entre g y considerando

que � = ��



1�a

%a�% − %�R

% = − �^

� + @^ + ^C2� + �j^

� + �C� + @C + CC

2� + �jC�

Si se define:

�� = ^��

�� energía que entra al sistema entre 1 y 2 (bomba)

�[ = ^��

�� energía que sale del sistema entre 1 y 2 (turbina)



Sustituyendo se tiene:�^� + @^ + ^C

2� + �j^� + �� = �C

� + @C + CC2� + �jC

� + �[

La cual es la ecuación de Bernoulli.

Los esfuerzos de fricción ocasionan pérdidas ∑��∑�T = U��U�

¡ la suma de todas las perdidas de carga entre 1 y 2

Que se manifiesta como incremento de temperatura y flujo de

calor al exterior, y por lo tanto



Y por lo tanto:�^� + @^ + ^C

2� + �� = �C� + @C + CC

2� + �[ +n��

Que es otra forma de la ecuación de Bernoulli.



FactoresFactoresFactoresFactores dededede correccióncorreccióncorreccióncorrección dededede lalalala energíaenergíaenergíaenergía cinéticacinéticacinéticacinética.Si la velocidad de un fluido es uniforme en la sección recta de un

conducto, la energía cinética por unidad de peso de fluido es

dada por la altura de velocidad¤�C¡ .

Se sabe que la velocidad no es uniforme en una sección recta de

un conducto, por lo que es necesario afectar a¤�C¡ por un factor

de corrección ∝, así la energía cinética puede ser expresada

como ∝ ¤�C¡ donde U es la velocidad media del fluido



El factor ∝ se determina considerando que:

¦�C¡ = energía por unidad de peso.

�%X = peso por unidad de tiempo que pasa por dA.

Por lo tanto

� § ¦�C¡ %X] = energía cinética que pasa por una sección recta

del conducto por unidad de tiempo.



∝ ¤�C¡ �¨X = energía cinética que pasa por una sección recta del

conducto por unidad de tiempo expresada en términos de la

velocidad media.

Entonces

∝ ¨C2� �¨X = �# ©

2� %X]

∝= 1X#

¨

© %X]



La ecuación de Bernoulli se expresa como:

�^� + @^+∝^ ^C

2� + �� = �C� + @C+∝C

¨CC2� + �[ +n��

Valores de ∝


Distribución uniforme de velocidad 1

Flujo laminar 2

Flujo turbulento 1.01 – 1.15


Nota: cuando se aplica la ecuación de la cantidad de movimiento

para flujo permanente uniforme que sale y entra normal a la

superficie de control, digamos en dirección x:

n�; = �CXCCC,; − �^X^^^,;

n�; = �a C,; − ^,;

Para un flujo no uniforme es necesario introducir el factor de

corrección:

n�; = �a ∝C C,;−∝^ ^,;



Consideraciones acerca de la ecuación de Bernoulli.

la ecuación de Bernoulli fue deducida considerando que es flujo

es permanente e incompresible, y si �� = �[ = ∑�� = 0, la

ecuación puede escribirse como:

�� + @ + C

2� = Y �

De donde se puede ver que cada termino representa energía por

unidad de pesol¡ª�«l¡ª



Si a la ecuación anterior lo multiplicamos por g:

�� + @� + C

2 = Y � [C

Cada termino representa energía por unidad de masa y si

multiplicamos por �

� + @� + �C2 = Y � H�¬ −

©

Cada termino representa energía por unidad de volumen



Pérdidas de potencia

Potencia efectiva: es la que una bomba transmite al fluido y se

puede calcular como

�U¬ = �a��Potencia nominal: es la que hay que dar a una bomba para

realizar cierto trabajo

�V« = �U¬�mDYD�kYDo%�®o¯Z¯o, �m°°S

Efbba<1, entonces la pnom > pef.



En un canal abierto fluye agua a una profundidad de 2 m y a unavelocidad de 3 m/s. posteriormente fluye hacia abajo por unarápida que se contrae hasta el otro canal donde la profundidades de 1 m y la velocidad 10 m/s. suponiendo un flujo sin fricción,determinar la diferencia de elevación de los dos fondos de loscanales.

EJEMPLO

10 m/s1 m

3 m/s2 m

y

1

2


Esta ecuación se utiliza en flujos a través de orificios. Seconsidera un sistema como en la figura siguiente; el orificiotiene el borde biselado, de tal modo, que el contacto con el fluidosea mínimo y por lo tanto, los efectos de fricción sean mínimos.

ECUACIÓN DE TORRICELLI

z2

Hz1

1

2u2


El líquido sale del orificio como u chorro libre y, por lo tanto,sometido a la influencia de la gravedad. Este chorro tiene formacilíndrica debido a la presión atmosférica y la presión a lo largode su línea central se considera igual a la presión atmosférica.Si el flujo es permanente y los efectos de fricción despreciables,

al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2 se tiene

�S�«� + @^ + ^C

2� = �S�«� + @C + CC

2�Se supone un deposito demasiado grande, de tal suerte la u1 se

considera despreciable y además de acuerdo a la figura H=z1-z2,

por lo tanto la ecuación se reduce a



C = 2�²La cual es la ecuación de Torricelli, que expresa que la velocidad

de descarga del líquido es igual a la velocidad de caída libre

desde la superficie libre del depósito.



Despreciando las perdidas, determine el gasto de descarga por

la boquilla en el deposito de la figura.

EJEMPLO

4 ft ∅4 pg

3 ft aceite

SG=0.75

agua

Flujo en tuberías 1

Tema V

FLUJO EN TUBERIAS


FLUJO LAMINARES Y TURBULENTOS

En un flujo laminar el fluido se mueve en capas o laminas

deslizándose unas sobre otras y teniendo solo intercambio de

cantidad de movimiento molecular entre ellas; las fuerzas

viscosas de corte se oponen al movimiento relativo de capas de

fluido adyacentes. Por el contrario en un fluido turbulento, las

partículas del fluido se mueven en diversas direcciones y hay

intercambio transversal intenso de cantidad de movimiento.

Para determinar si el flujo de un fluido es laminar o turbulento,

se utiliza el número de Reynolds; este parámetro indica la

tendencia del flujo laminar hacia el flujo turbulento y se define

como:

�� = �� ( 1 )



Donde

�=velocidad característica

�=longitud característica

�=densidad del fluido

�=viscosidad del fluido

Para interpretar su significado, el investigador Reynolds realizó

experimentos en un dispositivo como se muestra en la figura

siguiente, el cual consta de un tubo de vidrio con una válvula en

el extremo, conectado a un dispositivo que contiene un líquido.

Además cuenta con un dispositivo para inyectar una corriente

fina de tinta en la entada del tubo, la cual tiene una forma de

campana y una superficie muy lisa.



Reynolds consideró a u como velocidad promedio y la diámetro

del tubo D como la longitud característica; por lo tanto:

�� = ��

tinta

agua

( 2 )



La naturaleza del flujo la determinaba con la ayuda de la tinta

que inyectaba al tubo de vidrio. Si la tinta fluía como un delgado

filamento a lo largo del tubo, se tenia un flujo laminar; este se

presentaba para gastos bajos. Al aumentar el gasto y por lo tanto

la velocidad de flujo, el filamento de tinta empezaba a oscilar

hasta romperse y difundirse a lo ancho del tubo; es estas

condiciones se tenía flujo turbulento.

Para ≤ �, �� al flujo se le llama flujo laminar.

Para �, �� < < �, �� a este régimen se denomina de

transición.

Para ≥ �, �� al flujo se le llama flujo turbulento.


EJEMPLO

Encuentre que tipo de flujo es para cada caso:

a) El agua fluye en una tubería de 50 mm de diámetro con una

velocidad de 3 m/s (ρ=992.2 kg/m3 y µ=0.656X10-3 N s/m2.)

b) El agua fluye en una tubería de 2 pg de diámetro con una

velocidad de 30 ft/s (ρ=1.927 slugs/ft3 y µ=1.424X10-5 lb

s/ft2.)

c) Un aceite de peso especifico de 50 lb/ft3. su viscosidad es de

5 cp, fluye por una tubería de 1 pg de diámetro con una

velocidad promedio de 1 ft/s


PERDIDAS DE ENERGÍA

En flujo permanente, uniforme e incompresible en conductos de

sección transversal constante, el esfuerzo cortante en la pared

varía aproximadamente en proporción al cuadrado de la

velocidad promedio

�� = λ�2 ��

En la cual λ es un coeficiente adimensional. En canales abiertos y

conductos cerrados no circulares, el esfuerzo cortante no es

constante en la superficie. En estos casos �� se utiliza como el

esfuerzo cortante promedio de la pared.

( 3 )



De la figura siguiente, se indica un flujo uniforme permanente ya

sea en un conducto abierto o cerrado. Para un canal abierto p1 y

p2 son iguales y el flujo ocurre como resultado de la reducción

de la energía potencial, z1-z2.



Para flujo en conductos cerrados, la energía puede ser

suministrada por la caída de energía potencial al igual que por la

caída de presión p1-p2. en una tubería con flujo vertical hacia

abajo, p2 podría aumentar en la dirección de flujo, pero la caída

de energía potencial z1-z2 tendría que ser mayor que (p2-p1)/� a

fin de suministrar la energía necesaria para contrarrestar el

esfuerzo cortante en la pared.

Se puede escribir la ecuación de energía para relacionar las

perdidas con la reducción en energía disponible

�� + ��2

2� + �� = �� + ��2

2� + �� + �é� ! "# �$� ( 4 )



Como%&�' es la misma, entonces

�é� ! "# �$� =�� − ��

� + �� − ��

Debido a la suposición de flujo uniforme, se aplica la ecuación de

movimiento lineal en la dirección l para obtener

)*+ = 0 = �� − �� - + �-.#/01 − ��.2Donde P es el perímetro mojado del conducto, es decir, la

porción del perímetro en la cual la pared se encuentra en

contacto con el fluido.

( 5 )

( 6 )



Debido a que .#/01 = �� − �� − ��

� + �� − �� = �3.2�-

De las ecuaciones 5 y 7 y utilizando la ecuación 3

�é� ! "# �$� =�3.2�- = λ �2 ��

.2�- = λ .4

��2�

En donde:

4: es el radio hidráulico del conducto (A/P), util para canales

abiertos. Para tuberías R=D/4

( 7 )

( 8 )



Se le conoce como ℎ6 , las perdidas de cabeza debidas a la fricción.

ℎ6 = λ .4��2�

Para tuberías, λ=f/4 y R=D/4, se obtienen la ecuación de Darcy-

Weisbach.

ℎ6 = 7 .��2�

( 9 )

( 10 )



Factor de fricción.

El valor del factor de fricción es una fucción de la rugosidad de la

tubería (8) y el número de Reynolds.

Para flujo laminar de una fase, el factor de fricción donde

exclusivamente del número de Reynolds y esta dado por:

7 = 64��

Para flujo turbulento, el factor de fricción está dado por la

ecuación de Colebrook y White

( 11 )



7 = −2�;� 83.715� + 2.514

�A 7$�

Para el flujo en transición, el factor de fricción se puede

aproximarse con la siguiente expresión

7 = �A − 23002300 B 1.3521

2.3026�;� 83.715� + 2.514

3100 7

� + 0.032

( 12 )

( 13 )


DIAGRAMA DE MOODY



Rugosidad.

La rugosidad de una tubería (8), es una característica de su

superficie, la cual está constituida por pliegues o crestas unidas,

formando una superficie homogéneamente distribuida y

depende del tipo de material que se emplee en su construcción.



En laboratorio, la determinación de la rugosidad se lleva acabo a

partir de la relación de área con respecto a la longitud de

superficie de contacto con el fluido, bajo las siguientes

condiciones de prueba:

� Suponer constantes las propiedades del fluido.

� Mantener constante el gasto.

� Presión y temperatura constante a la entrada y salida del

ducto de prueba.

� Se relacionara en forma directa la variación de la longitud con

la rugosidad por medio de la siguiente expresión.

C = �D − �E∑ ∆(�I-I).IKIL�



Los valores más comúnmente empleados en la industria son:

Tubería M (pg)

Estriada 0.00006

Producción o perforación 0.0006

Escurrimiento 0.0007

Galvanizadas 0.006


EJERCICIO

Calcule el factor de fricción con la siguiente información:

L= 8000 ft

Qw=20000 b/d

D=5 pg

µw=1 cp

8=0.00006 ft


Las tuberías pueden formar cualquier ángulo con la horizontal.

Seis variables entran al problema: Q, L, D, Hf, µ, ρ y 8. En general

L, µ, ρ y 8, están dados o pueden determinarse. Los problemas

de tuberías simples pueden tratarse en tres tipos:


Tipo Dado Incógnita

I Q, L, D, µ, ρ, 8 hf

II hf, L, D, µ, ρ, 8 Q

III hf, Q, L, µ, ρ, 8 D


1.- A través de una tubería galvanizada de 12 pg de diámetro,

fluye agua a 70°F (N=1.059X10-5 ft2/s) con una perdida de

fricción de 15 ft en una longitud de 500 ft. Determine el gasto de

agua.

2.- Se tiene un gasto de 10 ft3/s a través de una tubería de 6000

ft de longitud con una pérdida de fricción de 50 ft lb/lb. El fluido

transportado es a gua a 60°C (N=1.217X10-5 ft2/s). Determine el

diámetro de la tubería si esta es tubería de perforación.

EJEMPLO


Adicionalmente a las caída de presión debido a la fricción del

fluido en la tubería, existen otros perdidas menores. Estas otras

perdidas que ocurren en las tuberías son debidos al cambio de

diámetro de tubería, válvulas, codos, juntas, etc.

Los datos disponibles de la literatura en las perdidas por

válvulas y accesorios pueden presentarse en dos diferentes

formas.

El primer método de las perdidas pueden ser expresada en

términos de la velocidad del fluido

ℎ = O ��2�

PERDIDAS MENORES

( 14 )


PERDIDAS MENORES


PERDIDAS MENORES


PERDIDAS MENORES


El valor de K se incrementa cuando se incrementa la rugosidad y

decrece cuando se incrementa el Número de Reynolds, pero

depende principalmente de geometría de la válvula o accesorio.

El segundo método de las perdidas puede expresarse en

términos de la longitud equivalente de la tubería, Leq, que tiene

las mismas perdidas de fricción para la misma descarga.

7 .DP��2� = O ��

2�Y

.DP = O�7

PERDIDAS MENORES

( 15 )


PERDIDAS MENORES


Estas pérdidas menores son en exceso de la pérdida por fricción

producida en un tubo recto cuya longitud es igual a la longitud

del eje del tubo.

Adicional a las válvulas y accesorios, muchas tuberías tienen

cambios abruptos en la entrada, salida, reducciones,

ampliaciones, difusores y curvaturas. Para el caso de perdidas de

fricción debido a una expansión brusca en una tubería, en un

flujo turbulento, incompresible y permanente, se determina con

la siguiente expresión.

ℎ = �� − �� 2�

PERDIDAS MENORES

( 16 )


Donde u1 es la velocidad de corriente arriba y u2 la velocidad de

corriente abajo. Tal condición se da cuando la tubería existente

es un gran tanque o depósito. Para este caso la ecuación 16 da

una pérdida de fricción es igual a la velocidad en el tubo., por lo

que, la perdida de fricción es igual a fricción por la energía

cinética.

A. H. Gibson mediante experimentos obtuvo una grafica para

determinar el coeficiente K en expansiones graduales cónicas.

PERDIDAS MENORES


PERDIDAS MENORES


Para una disminución súbita en la tubería, se observa en la

siguiente figura el coeficiente de pérdida. Esta curva se aplica a

la entrada brusca de una tubería, el coeficiente de pérdida es la

mitad de una velocidad de carga.

PERDIDAS MENORES


PERDIDAS MENORES


PERDIDAS MENORES


Un depósito abierto está conectado a una tubería de acero cuyo

diámetro interior es de 2 pg y una de longitud de 50 ft. Una

válvula de compuerta roscable esta instalada en la tubería como

se muestra en la figura. Si el nivel de agua en el depósito es de 50

ft por encima de la salida de la tubería, determinar la velocidad a

la que fluye el agua cuando la válvula está totalmente abierta.

Supongamos que la suma de los coeficientes de pérdida de los

codos añadidos es de un valor de 3 y las descargas de la tubería

es hacia la atmósfera.

PERDIDAS MENORES

Nota:

8=0.00015 ft


Cuando las tuberías son conectadas en paralelo , como se

muestra en la figura, podemos afirmar que la suma de los flujos

de los tres ramales es igual al flujo total principal, y que la

pérdida de presión entre la sección 1 y 2 debe ser el mismo

independientemente de la trayectoria tomada.

INTERSECIÓN DE TUBERÍAS

B

A

C

1 2


Si consideramos algún ramal, por ejemplo el rama A entre el

punto 1 y 2, podemos escribir lo siguiente

QR = -R�RY

� = O R ℎ6Donde hf son las perdidas de fricción entre la sección 1 y 2, K´ es

2�/ODP , y Keq es la suma de todos los coeficientes de perdida en

la rama A. Para cada de los otros ramales, podemos escribir la

ecuaciones similares. Así que para el flujo principal, Q

Q = QR + QU + QV


( 17 )

( 18 )

( 19 )


Q = -RO R + -UO U + -VO V ℎ6

Los flujos y las caídas de presión de fluido son, respectivamente,

análogas a la corriente y al voltaje en el circuido eléctrico. Sin

embargo, la simple relación lineal entre el voltaje y la corriente

dada por la Ley de Ohm no se aplica al sistema de flujo de

fluidos. En vez de eso, la caída de presión es aproximadamente

proporcional al cuadrado del flujo. Esta no linealidad hace

necesarias las soluciones interativas, y los cálculos resultantes

pueden ser bastante prolongados


( 20)


El flujo de fluidos en tubos circulares se encuentra con

frecuencia en física, química biología e ingeniería . El flujo

laminar en fluidos en tubos circulares puede analizarse mediante

el balance de cantidad de movimiento.

ECUACIÓN DE HAGEN-POISEUILLE


Consideraciones:

� Fluido newtoniano e incompresible.

� Flujo laminar estacionario.

� La longitud, L, es mucho mayor que el radio de la tubo, R.

� El movimiento del fluido es debido a una diferencia de

presión.

� Se desprecian los efectos gravitacionales y el resbalamiento.



Consideraciones por simetría:

WWX = 0,

WWY = 0, �Y = 0



Ecuación de Navier-Stoke

� Z�AZ[ + �A Z�AZ� + �Y

�Z�AZ1 − �Y�

� + �X Z�AZ�= −Z�

Z� + ��A + � \��A − �A�� −

2��Z�YZ1

� Z�YZ[ + �A Z�YZ� + �Y

�Z�YZ1 + �Y�A

�� + �X Z�YZ�= −Z�

Z1 + ��Y + � \��Y − �Y�� −

2��Z�AZ1

� Z�XZ[ + �A Z�XZ� + �Y

�Z�XZ1 + �X Z�XZ�

= −Z�Z� + ��X + �\��X



\� = 1�ZZ� � Z

Z� + 1��

Z�Z1� +

Z�Z��

Z�Z[ +

1�Z(��A)

Z� + 1�Z(��Y)Z1 + Z(��X)

Z� = 0

Aplicando las condiciones se tiene lo siguiente



� �A Z�AZ� = −Z�Z� + � \��A − �A

��Z�Z1 = 0

� �A Z�XZ� = −Z�Z� + �\��X

\� = 1�ZZ� � Z

Z�1�Z(��A)

Z� = 0



De la ecuación de continuidad se tiene que

1�Z(��A)

Z� = 0

Como �A no depende de r, entonces:

��A = -(�)

�A = -(�)�

Para que cumpla la ecuación de continuidad A(r)=0, por lo tanto

�A = 0



Z�Z� = 0

Z�Z1 = 0

Z�Z� = � 1

�ZZ� � Z�XZ�

Ahora si

Z�Z� =

� � =∝

� =∝ �



Si integramos se tiene

^ � = ^ ∝ �

� =∝ � + _�Pero si p(z=0)=p0 y si p(z=L)=p1

�� = _�� =∝ . + ��

∝= −∆�.



Ahora

−∆�. = � 1

� � � �X �

Desarrollando

� �X � = −∆��. � �

Integrando

^ � �X � = −∆��. ^� �



� �X � = − ∆�2�. �� + _�

Si`%a`A r=0 =0, entonces C2=0

Por lo tanto

� �X � = − ∆�2�. ��

�X = − ∆�2�. � �



Integrando

^ �X = − ∆�2�.^� �

�X = − ∆�4�. �� + _c

Si uz(r=R)=0

0 = − ∆�4�. 4� + _c

_c = ∆�4�. 4�



Por lo tanto la velocidad en dirección en z es

�X = ∆�4�4�. 1 − ��

4�

La velocidad máxima es cuando r=0

�X,def = ∆�4�4�.

Por lo tanto el gasto máximo es

Qdef = g∆�4h4�.


( 21 )

( 22 )


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Vel

oci

dad

[LT

-1]

Radio [L]


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