MECÁNICA DE FLUIDOS

Curso del Trimestre 07-I

Notas complementarias al libro de texto: Fenómenos de Transporte

por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982), para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés

(John Wiley & Sons, 2002)

Prof. Alberto Soria López

2

0. LLooss FFeennóómmeennooss ddee TTrraannssppoorrttee

** CCAANNTTIIDDAADDEESS::

MMeeccáánniiccaa ddee fflluuiiddooss → ttrraannssppoorrttee ddee mmoommeennttuumm TTrraannssffeerreenncciiaa ddee ccaalloorr → ttrraannssppoorrttee ddee eenneerrggííaa TTrraannssffeerreenncciiaa ddee mmaassaa → ttrraannssppoorrttee ddee mmaassaa ddee eessppeecciieess qquuíímmiiccaass

**** SSIISSTTEEMMAASS::

MMaatteerriiaall → ssiisstteemmaa llaaggrraannggiiaannoo → ssiisstteemmaa cceerrrraaddoo VVoolluummeenn → ssiisstteemmaa eeuulleerriiaannoo → ssiisstteemmaa aabbiieerrttoo

EESSTTUUDDIIOO SSIISSTTEEMMÁÁTTIICCOO DDEE FFEENNÓÓMMEENNOOSS DDEE TTRRAANNSSPPOORRTTEE

LLooss mmeeccaanniissmmooss qquuee ssuubbyyaacceenn eenn llooss ttrreess ffeennóómmeennooss ddeeppeennddeenn eenn ccoommúúnn ddee llaa eessttrruuccttuurraa ddee llaa mmaatteerriiaa ((mmoovviimmiieennttooss ee iinntteerraacccciioonneess mmoolleeccuullaarreess))

SSeemmeejjaannzzaa eenn mmeeccaanniissmmooss,, eeccuuaacciioonneess yy mmééttooddooss mmaatteemmááttiiccooss

NIVELES DE DESCRIPCIÓN Ejemplo: Columna de absorción de pared mojada

NIVEL GLOBAL NIVEL LOCAL NIVEL MOLECULAR Balances globales balances locales Leyes de conservación Ecuaciones de cambio en partículas

volumen

←∫

espacio fase

←∫

eG

eL

sL

sG

zv

Moléculas de líquido

Moléculas de gas

Lρ Gρ

EEssttuuddiioo ddee llaass mmaanniiffeessttaacciioonneess ooccuurrrriiddaass ccuuaannddoo ssee ttrraannssffiieerree uunnaa ccaannttiiddaadd ddee iinntteerrééss** eenn uunn ssiisstteemmaa eelleeggiiddoo****

3

1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum

§1.1 Ley de Newton de la viscosidad EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas

En la última situación, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Al aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidad constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que

F VA Y∝ (1.1)

La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que F VA Y

µ= (1.2)

V

V

V

V x

x

x

x

y

y

y

y

Y t < 0, no hay movimiento

t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad constante V, por adherencia el fluido en contacto con la placa se mueve también con la misma velocidad vx(y=0,t=0)=V

t pequeños, el fluido cercano a la placa adquiere velocidad vx(y,t). El flujo es transitorio

t grandes, todo el fluido se mueve con velocidad vx(y), independiente del tiempo. Por adherencia el fluido en contacto con la placa superior no se mueve, vx(Y) = 0. El flujo es estacionario

Viscosidad = Propiedad física que cuantifica la resistencia al flujo

4

Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura:

¿Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido? En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener fija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre la placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección x, para todo el fluido entre las placas, a régimen estacionario, es

placa superior placa inferior0F F+ = (1.3)

Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F− y el fluido que está en contacto con esta placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano 0y y= , encontrando que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F− sobre el fluido por debajo del mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por yxτ , es decir que

yxFA

τ= (1.4)

Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la igualdad:

yxτ Plano y = y0

x

y

xdv Vdy Y

= −

V x

y Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t grandes, la velocidad de la placa inferior y de todo el fluido

5

00

xdv V Vdy Y Y

−= = −

− (1.4)

Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como x

yxdvdy

τ µ= − (1.5)

Conocida como “Ley” de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos yxτ y el gradiente de

velocidad xdvdy

.

Acerca de la notación de yxτ , y aprovechando el ejercicio: 1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada,

en este caso, la del eje coordenado x. 2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección

del eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo yxτ .

3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x.

Entonces, considerando a yxτ como una fuerza aplicada:

O considerando a yxτ como un flujo de cantidad de movimiento:

Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad:

µ = viscosidad dinámica, ( )2

M F t Pa sLt L

= → i

µνρ

= = viscosidad cinemática, ( )2

2 1L m st

− → i

Ejemplos numéricos: Aire a 20 0C, 51.8 10µ −= × Pa si Agua a a 20 0C, 31.0019 10µ −= × Pa si Glicerina a 20 0C, 1.00µ = Pa si

i kτ Segundo índice: dirección del momentum

Primer índice: dirección de la propagación de momentum

i kτ Segundo índice: dirección de la fuerza

Primer índice: dirección de la superficie

6

Ejercicios de tarea

E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda.

E1.2. Dos placas planas están separadas una distancia 0.1Y = m y fluye agua al desplazar la placa inferior a una velocidad 1V = m/s. Si se sustituye el agua por aire, ¿cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza, la placa inferior se mueva a la misma velocidad V?

§2.2 Generalización de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio) El gradiente de la velocidad La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición y del tiempo:

( )( )( )

, , ,, , ,, , ,

x

y

z

v x y z tv x y z tv x y z t

=

v (1.6)

de modo que el término xdvdy

, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien

uno de los elementos de dicho gradiente. El operador “nabla”, en notación vectorial y coordenadas cartesianas, es:

x

y

z

∂ ∂ ∂ ∇ = ∂

∂

∂

(1.7)

de modo que el gradiente de la velocidad es:

( )

yx z

yx zx y z

yx z

vv vx x xx

vv vv v vy y y y

vv vz z z z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂

∂∂ ∂ ∂ ∇ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

v (1.8)

en tanto que su divergencia es:

xyx z

y

z

vvv vv

x y z x y zv

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

vi (1.9)

así, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 3× , la divergencia de v es un escalar.

7

El tensor de esfuerzos viscosos Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, yxτ , son en realidad, sólo una componente de los esfuerzos que pueden existir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad. En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

τ τ ττ τ ττ τ τ

=

τ (1.10)

que se puede también expresar como ikτ , (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes coordenados ( )x y z se representan de manera equivalente como ( )1 2 3 . Además, los esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado [porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los iiτ (para i = 1, 2, 3) son normales al plano. Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que ik kiτ τ= . Esto se escribe en notación tensorial (tensores y vectores en negritas) como T=τ τ [donde Tτ es la transpuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relación lineal con el gradiente de la velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas lineales de ∇v . Entonces podemos proponer el caso más general:

( ) ( )23

Tµ µ κ = − ∇ + ∇ + + ∇ τ v v v δi (1.11)

donde ikδ es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por 1 0 00 1 00 0 1

ikδ = =

δ (1.12)

viscosidad dinámicaviscosidad dilatacional o volumétrica

µκ==

Generalmente no se requiere conocer κ porque muchas veces los líquidos se consideran incompresibles y entonces 0∇ =vi y para muchos gases se puede proponer como aproximación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen

0κ = . Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en los esfuerzos viscosos iiτ . Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o tensor de presiones ikπ , de modo que

ik ik ikpπ δ τ= + (1.13) Nota sobre los signos de τ El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir yxτ , es decir, que los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más cercano al eje coordenado (debajo del plano 0y y= , ver discusión del flujo entre dos placas

8

planas) y se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano 0y y= ). En algunos textos se propone lo contrario ( yxτ positiva arriba y negativa abajo del

plano 0y y= ), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de la viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos. §1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión y la temperatura Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesario conocer las constantes críticas de cada material

c

presión críticatemperatura críticaviscosidad crítica

c

c

pTµ

===

Con estos datos se definen las propiedades reducidas rc

ppp

= , rc

TTT

= y rc

µµµ

= y se utiliza

la Gráfica correspondiente del texto. Hay pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras:

(1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas, se localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja la viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor).

(2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar cµ . (3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades “pseudocríticas”.

§1.7 Transporte convectivo de momentum Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de movimiento entre las moléculas, también existe un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flux másico ρv , que atraviesa un plano dado del fluido. El flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho plano, así en el plano xy tenemos:

9

El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir ρvv . Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0x x= es xvρ v , el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0y y= es yvρ v y por extensión a la coordenada z, se tiene también el flux convectivo de momentum atravesando el plano 0z z= , como zvρ v . Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden a las direcciones de las componentes de la velocidad. El flux combinado de momentum φ es la suma del flux molecular de momentum, que corresponde a los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum:

pρ ρ= + = + +φ π vv δ τ vv (1.14) Así, la componente yxϕ del flux combinado de momentum tiene el significado: Y se expresa como:

yx yx y x yx yx y xv v p v vϕ π ρ δ τ ρ= + = + + (1.15) Aquí hay que recordar que 0yxδ = , lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente [ver la definición de ikδ en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una fuerza normal a la superficie considerada. Ejercicios de tarea

E1.3. Problema 1.A del texto E1.4. Problema 1.B del texto

y yvρ ρ=v e

0y

0x0xx x

yy

ρv

xvρ

El flux másico atravesando el plano 0x x= es xvρ

El flux másico atravesando el plano 0x x= es cero, pero el que atraviesa el plano 0y y= es yvρ

yxϕ = flux combinado de momentum en la dirección x, atravesando una superficie perpendicular a la dirección y

10

E1.5. Problema 1.C del texto E1.6. Encuentra las componentes no cero del flux combinado de momentum si la

velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la presión son, respectivamente:

12

10

xVt

yVt

+ = +

v ( )0 2p P x y= +

Donde P0 y V son constantes. Autoevaluación 1 1. ¿Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en

términos de fuerza? 2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos. 3. Dibuja un sistema coordenado (x, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos

, ,xx xy xzτ τ τ en el punto ( )0 0, ,0x y , así como el plano considerado. 4. Escribe la expresión del flux combinado de momentum y nombra cada uno de sus

términos. 5. Encuentra las componentes del flux combinado de momentum si

( )2

0

1

0 , 0

V y

p P y

−

= =

v .

Donde P0 y V son constantes. Auto-evaluación 2

1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas). 2. ¿Qué es un esfuerzo cortante? 3. ¿Qué significa la “condición de adherencia”? 4. ¿Qué es el régimen transitorio? 5. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura? 6. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura? 7. ¿En qué dimensiones se mide la viscosidad? 8. ¿Qué es 1 poise? 9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido 10. ¿Qué diferencia física hay entre ( )∇v y ( )∇ ⋅ v ?

11

2. Balances de momentum en envolturas y distribuciones de velocidad con flujo laminar

§ 2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad). Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es:

Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambiocombinado entrando combinado saliendo actuando sobre del momentum

a la envoltura de la envoltura el sistema

− + = en el sistema

El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal. Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura

1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a

la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina la dirección de los ejes coordenados.

2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]

3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura.

4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda.

5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo.

Flujo laminar ⇒ El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas Flujo turbulento ⇒ El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones

muy complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal

Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente.

12

6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial correspondiente.

7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)].

8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad (¿de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada.

9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad.

10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.

11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad.

12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de velocidad (el perfil de velocidad).

13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa.

Condiciones a la frontera En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se usan más frecuentemente son:

a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la

velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales.

b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos totales π son continuas.

c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos viscosos τ son cero. Esto es una aproximación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de los líquidos.

13

Al integrar los balances diferenciales también se usan frecuentemente otras reglas para determinar unívocamente la solución (la distribución de velocidad). Las más usadas son:

d. Los esfuerzos viscosos están acotados ( ikτ no se hacen infinitos) en todo el campo de flujo.

e. Las variables de campo (presión, velocidad y esfuerzos viscosos) cambian continuamente en todo el campo de flujo.

§ 2.2 Flujo de una película líquida descendente Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del texto, para mostrarte que los resultados no dependen físicamente de dicha selección, cuando se respetan las convenciones de signos establecidas en el Capítulo 1. También usaremos el concepto de flux combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segunda edición del texto. El propósito es que desarrolles una habilidad sintética que te permita tratar posteriormente los problemas en términos de dicho flux combinado, para expresarlo luego en términos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada.

Lee el enunciado del problema en el texto. 1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto

con el sólido; la coordenada x es ascendente y la coordenada z sigue siendo descendente (ver Figura).

2. La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo zv y cambia desde cero

(en contacto con la pared sólida) hasta un valor máximo (en contacto con el aire). Entonces, a régimen estacionario tenemos ( )zv x → la componente de velocidad en dirección z depende de la coordenada x.

3. La envoltura debe ser delgada en la dirección x que es aquella en la que cambia la componente zv y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende zv . Entonces dibujamos la envoltura:

z

x

( )zv x

L

14

4. Haremos un balance de momentum en la dirección z, que es la del flujo. Entonces las

componentes del flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, es decir, , ,xz yz zzϕ ϕ ϕ . Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z:

5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde el

flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z:

zzϕ

zzϕ

yzϕ

yzϕ

xzϕ

xzϕ

cosgρ β

β

0y =

y W=

z L=

0z =

x

x x+ ∆

Dirección de la gravedad

15

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0 0

cos 0

xz yz zzx y z

xz yz zzx x y W z L

WL L x W x

WL L x W x

WL x g

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ρ β

= =

+∆ = =

+ ∆ + ∆

− − ∆ − ∆

+ ∆ =

(2.1)

6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando es cociente incremental de los términos con xzϕ y se toma el lim 0x∆ → , para obtener la ecuación diferencial:

0 0 cos 0yz yz zz zzy y Wxz z z Ld g

dx W L

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ρ β= = = =− −

− + + + = (2.2)

7. Los fluxes combinados son, en general: xz xz x z

yz yz y z

zz zz z z

v vv v

p v v

ϕ τ ρϕ τ ρϕ τ ρ

= += +

= + +

(2.3)

8. Pero al considerar que

( )( )

00 y ,

z

p p xv x

= =

v (2.4)

los fluxes combinados se reducen a

0xz xz

yz

zz z zp v v

ϕ τϕϕ ρ

==

= +

(2.5)

Sustituimos ahora los fluxes combinados en (2.2) para obtener: ( ) ( )0 cos 0

z z z zxz z z Lp v v p v vd g

dx L

ρ ρτ ρ β= =+ − +

− + + = (2.6)

Sin embargo, tanto p como zv son funciones solamente de x, por lo que su contribución al balance es la misma al evaluarlos en 0z = y en z L= . Entonces su diferencia es cero y podemos escribir el balance diferencial de momentum en dirección z como:

cosxzd gdxτ ρ β= (2.7)

Este balance es idéntico al del texto. El cambio del sistema coordenado no afectó este resultado. ¿Por qué?

9. La Ecuación diferencial (2.7) requiere una condición a la frontera para xzτ y posteriormente, al sustituir la relación de Newton de la viscosidad, requerirá una condición a la frontera para la velocidad. En la interfase de la película con el aire podemos proponer

0, para xz xτ δ= = (2.8) En tanto que, en la interfase de la película con el sólido proponemos una condición de adherencia:

0, para 0zv x= = (2.9)

16

Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del texto debido a nuestra selección de sistema coordenado, pero físicamente el significado es idéntico.

10. Al integrar la ecuación (2.7) y sustituir la condición a la frontera (2.8) tenemos: ( )cosxz g xτ ρ β δ= − − (2.10)

A diferencia del resultado del texto, los esfuerzos viscosos son aquí negativos. Esto indica que la propagación del momentum sigue ahora la dirección negativa del eje coordenado x, lo cual es físicamente idéntico al resultado del texto, ya que hemos invertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio.

11. Sustituimos ahora la relación de Newton de la viscosidad en la ecuación (2.10): z

xzdvdx

τ µ= − (2.11)

para obtener una ecuación diferencial para la velocidad:

( )coszdv g xdx

ρ β δµ

= − (2.12)

12. Integramos esta ecuación para la velocidad y sustituimos la condición a la frontera (2.9) para obtener la distribución o perfil de velocidad:

2 cos 22z

g x xv ρ δ βµ δ δ

= −

(2.13)

Esta ecuación tampoco coincide, matemáticamente, con la del texto. Sin embargo la coincidencia debe darse en cuanto al significado físico del problema, pues es natural que si mi representación geométrica es distinta, mi resultado matemático esté en términos de la definición de mis variables. Para comprobar la identidad física del problema, podemos hacer el cambio de la variable x de nuestro resultado (2.13) por la variable x′ , que coincide con el eje coordenado del texto, es decir que proponemos

x xδ ′= − (2.14) Al sustituir este cambio de coordenada en (2.13) obtenemos, después de simplificar:

22 cos 12z

g xv ρ δ βµ δ

′ = −

(2.15)

que es el resultado del texto y confirma que nuestro desarrollo es, en todo punto, físicamente equivalente al desarrollo del texto.

13. Podemos ahora utilizar la distribución de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, con cualquiera de las dos expresiones, los siguientes parámetros físicos: a. Velocidad máxima que es el valor máximo que alcanza la velocidad. En este

problema es la velocidad cuando x δ= en la Ecuación (2.13): 2

,maxcos

2zgv ρ δ β

µ= (2.16)

b. Flujo volumétrico que es el volumen de fluido que atraviesa la superficie transversal por unidad de tiempo. Se obtiene integrando la velocidad en dicha superficie. El elemento diferencial de área es dxdy , de modo que

3

0 0

cos3

Wz

gWQ v dxdyδ ρ δ β

µ= =∫ ∫ (2.17)

de donde puede despejarse el espesor de la película δ . También puede obtenerse el flujo másico, multiplicando el flujo volumétrico por la densidad w Qρ= y la

17

velocidad media de flujo, dividiendo el flujo volumétrico entre el área de la sección transversal:

2 cos3z

Q gvW

ρ δ βδ µ

= = (2.18)

c. Fuerza del fluido sobre la superficie sólida, tiene en general una componente tangencial y una normal a la superficie sólida. Con la distribución de velocidad podemos encontrar la componente tangencial de la fuerza zF , al integrar los esfuerzos tangenciales (o esfuerzos cortantes) en toda la superficie del sólido. Es importante recordar la convención que usamos, sobre la aplicación de los esfuerzos: se consideran positivos en un plano, para la acción del material más cercano al eje coordenado sobre el material más alejado del eje coordenado. En el plano 0x = , al integrar xzτ obtendremos la fuerza que ejerce la superficie sólida sobre el fluido, en tanto que al integrar xzτ− obtendremos la fuerza que el fluido ejerce sobre el sólido. Esto es nuevamente, inverso al desarrollo del texto, debido a la elección invertida del eje coordenado x, pero el resultado debe ser físicamente equivalente. Entonces, utilizando la distribución de velocidad (2.13):

0 0 0 00 0

W L W L zz xz

x x

dvF dzdy dzdydx

τ µ= =

= − =∫ ∫ ∫ ∫ (2.19)

que integrado resulta la expresión del texto. d. Disipación viscosa, es la degradación de energía mecánica a calor, debida a la

resistencia viscosa al flujo. Equivale a la rapidez de la pérdida de trabajo efectuado por las fuerzas viscosas, integrado para todo el volumen de fluido:

2

0 0 0 0 0 0

W L W Lz zv xz

dv dvE dxdzdy dxdzdydx dx

δ δτ µ = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(2.20)

Al sustituir la distribución de velocidad e integrar tenemos

( )2cos3vWLE gδ δρ βµ

= (2.21)

e. Rapidez de trabajo: lo que produce el perfil de velocidad parabólico, expresado por (2.13) o (2.15), es la presencia de la superficie sólida que frena el movimiento del líquido. Si dicha superficie pudiera desplazarse sin ofrecer resistencia, viajaría a la velocidad media de flujo, junto con todo el fluido. Podemos calcular la rapidez de trabajo (virtual, puesto que la superficie sólida no se mueve) del fluido sobre la placa, como el producto de la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa por su velocidad media de flujo:

( )2cos3v z zWLW F v gδ δρ βµ

= = (2.22)

Notamos que vW es igual a vE en este caso particular. Esto ocurre sólo con los flujos estacionarios, pues los efectos de aceleración de los flujos transitorios inducen una diferencia.

Este flujo se ha resuelto bajo el supuesto de flujo laminar, pero experimentalmente se pueden identificar tres regímenes de flujo: laminar sin ondulaciones de la superficie, laminar con ondulaciones y turbulento. La ocurrencia de uno de estos regímenes está asociada al valor de su número de Reynolds, definido como

18

4Re zvδ ρ

µ= (2.23)

de modo que ocurre un flujo a. laminar sin ondulaciones importantes, si Re 20< b. laminar con importantes ondulaciones, si 20 Re 1500< < c. turbulento, si Re 1500> .

Ejercicio de tarea

E2.1. Repite el ejercicio de esta Sección, proponiendo el sistema coordenado como se muestra en el siguiente diagrama:

§2.3 Ecuación de la hidrostática Un fluido en reposo está también sujeto a esfuerzos, que son hidrostáticos. Consideremos un tanque de almacenamiento, sin flujos de entrada y salida. Haremos un balance de envoltura siguiendo el procedimiento que hemos señalado.

1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano y localizamos el origen en el fondo del tanque. La coordenada importante es la vertical, z, que tomamos positiva en el sentido ascendente.

2. En este caso la velocidad es cero, pero la presión cambia con la profundidad en el tanque, es decir que ( )p p z= .

β

x

( )zv x

L z

Dirección de la gravedad

19

3. La envoltura será delgada en la dirección z y amplia en x y y, como se muestra en el diagrama:

4. Haremos un balance de momentum en la dirección z. Entonces las componentes del

flux combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, es decir, , ,xz yz zzϕ ϕ ϕ . Anotamos estos fluxes en las caras correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z:

5. Cada uno de los fluxes combinados se multiplica por el área de la superficie donde

el flux entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z:

gρ0zz z zϕ +∆

x

y

z

Fondo del tanque

0zz zϕ

0xz xϕ =

xz x Lϕ =

0yz yϕ=

yz y Wϕ

=

z∆

x

y

z

Fondo del tanque

W

L

0z z=

20

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0 0

0

xz yz zzx y z

xz yz zzx L y W z z

W z L z WL

W z L z WL

WL z g

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ρ

= =

= = +∆

∆ + ∆ +

− ∆ − ∆ −

− ∆ =

(2.24)

6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando el

cociente incremental de los términos con zzϕ y se toma el lim 0z∆ → , para obtener la ecuación diferencial:

00 0yz yzxz xz y y W zzx x L d g

W L dz

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ρ= == =−−

+ − − = (2.25)

7. Los fluxes combinados son, en general: xz xz x z

yz yz y z

zz zz z z

v vv v

p v v

ϕ τ ρϕ τ ρϕ τ ρ

= += +

= + +

(2.26)

8. Pero al considerar que 00

xz

yz

zz p

ϕϕϕ

==

=

(2.27)

la ecuación diferencial queda: dp gdz

ρ− = (2.28)

Podemos interpretar esta ecuación diciendo que

9. La presión es atmosférica en la superficie libre del líquido en el tanque, que se

encuentra a una altura H del fondo del mismo. Es decir que: para atmp p z H= = (2.29)

10. Integrando (2.28) y utilizando (2.29) para determinar la constante de integración, tenemos:

( )atmp p g H zρ= + − (2.30) que se puede arreglar también como

( ) ( ) constanteatmz p z gz p gHρ ρ= + = + =P , (2.31)

definiendo la presión modificada ( )zP , como la suma de la presión interna ( )p z más el peso de la columna de líquido desde el plano z hasta el origen de coordenadas. Esta suma, en condiciones hidrostáticas, es una constante igual a la presión en el fondo del tanque. Cualquier cambio en la presión modificada se verá reflejado en una imposibilidad de mantener las condiciones hidrostáticas, es decir, se verá reflejado en la ocurrencia de un flujo.

En condiciones hidrostáticas los cambios de la presión son debidos solamente a los efectos gravitacionales.

21

Ejercicios de tarea E2.2. Encontrar la presión modificada ( )zP para un tanque de almacenamiento en

condiciones hidrostáticas, si el origen de coordenadas se localiza al nivel del líquido en el tanque y la dirección de la coordenada vertical es descendente.

E2.3. Hacer un balance de momentum en la dirección transversal al flujo (dirección x), para el flujo de una película líquida descendente (§ 2.2) y demostrar que los cambios de presión son hidrostáticos. Justificar la Ecuación (2.4b) propuesta allí.

Autoevaluación Desarrolla un balance de envoltura para la componente x del momentum del ejercicio de la tarea. Sugerencia: Considera las coordenadas de la tarea y la misma envoltura, pero considera los flujos de momentum adecuados y la fuerza de gravedad como corresponda. § 2.4 Flujo a través de un tubo circular Hemos de notar que el único aspecto nuevo es la geometría del tubo, que se adapta mejor al uso de un sistema de coordenadas cilíndricas. Este sistema debe colocarse con el origen en el eje axial del tubo. Podría estar dirigido hacia arriba o hacia abajo, pero es preferible localizarlo en el extremo del tubo por donde entra el fluido y dirigir la coordenada axial en la dirección de la velocidad del flujo. Así la distribución de velocidad será positiva (Ver las Figuras 2.3-1 y 2.3-2 del libro de texto). Consecuencia de la geometría seleccionada (coordenadas cilíndricas) en el balance de momentum es que los flujos combinados en dirección z, entrando por la superficie r y saliendo por la superficie r r+ ∆ de la envoltura, dan:

( ) ( )2 2rz rzr r rrL rLπ ϕ π ϕ

+∆− (2.32)

que al dividirse entre el volumen de la envoltura ( )2 r rLπ ∆ dan:

( ) ( )2

2rz rzr r r

L r r

Lr r

π ϕ ϕ

π+∆

− ∆

(2.33)

Aquí el término 2 Lπ es constante y se ha expresado como factor común en el numerador. El radio r del numerador no puede factorizarse, puesto que está evaluado en la cara interna de la envoltura, para el primer término del corchete ( )rz r

rϕ y está evaluado en la cara externa de la

envoltura en el segundo término ( )rz r rrϕ

+∆; por lo tanto no se trata de una constante, sino de

una variable que toma dos valores distintos. Al simplificar la expresión (2.33) eliminando las constantes 2 Lπ en el numerador y el denominador, y tomando el límite cuando 0r∆ → , obtenemos

( ) ( )( )

0

1lim rz rzr r rrzr

r rr

r r r rϕ ϕ

ϕ+∆

∆ →

− ∂= −

∆ ∂ (2.34)

Ejercicios de tarea

22

E2.4. Por una columna de pared mojada escurre un líquido por gravedad, si el gas que ocupa la región central de la columna está estancado, (a) encuentra la distribución de velocidad en el líquido, sabiendo que el espesor de la película de líquido es constanteδ = . (b) encuentra la velocidad máxima de flujo, la velocidad media de flujo y la fuerza tangencial que ejerce el líquido sobre la

pared. (c) Si el espesor es mucho menor que el radio, es decir si 1Rδ<< ,

encuentra que la distribución de velocidad es equivalente a la del líquido escurriendo por una pared plana vertical.

E2.5 Problema 2.E del texto E2.6. Ejercicio de la § 2.4 desarrollado en el texto E2.7. Problema 2.F del texto

gas estancado

L

δ

RR

líquido

23

3. Ecuaciones de balance en flujos isotérmicos

24

4. Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente

§ 4.1 Flujo transitorio de un fluido de Ostwald de Waele Un espacio semi-infinito está ocupado por un fluido de potencias. En el plano 0y = se tiene una placa plana, que se desliza tangencialmente a partir de un determinado instante 0t = , con una rapidez constante V . Encontrar la distribución de velocidad ( ),xv y t aplicando un método de combinación de variables. Formulación del problema: La componente importante del tensor de esfuerzos viscosos para el fluido de Ostwald de Waele, en este problema, está dado por

1nx x

yxv vmy y

τ−

∂ ∂= −

∂ ∂ (4.1)

y el balance de momentum en dirección x, en un sistema coordenado cartesiano da: yxxv

t yτ

ρ∂∂

= −∂ ∂

(4.2)

de donde tenemos: 1n

x x xv v vmt y y yρ

− ∂ ∂ ∂∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

(4.3)

Pero en el semiplano superior ( 0y > ), la velocidad ( ),xv y t disminuye cuando y aumenta, entonces

x xv vy y

∂ ∂= −

∂ ∂ (4.4)

y la ecuación de gobierno se convierte en: n

x xv vmt y yρ

∂ ∂∂ = − − ∂ ∂ ∂

(4.5)

Con las condiciones iniciales y de frontera: ( )( )( )

0, 0 0

0, 0

0

x

x

x

v y t

v y t V

v y

> = =

= ≥ =

→∞ =

(4.6)

El método de combinación de variables será aplicable si existe una variable combinada ( ),y tη , que reduce el problema planteado en (4.5) y (4.6) a una EDO con dos condiciones de

frontera compatibles. Proponemos que ( ), py t Cytη = (4.7)

De modo que la solución es solamente función de η :

( ),xv y tη (4.8) Entonces

25

1px x xv dv dvCpytt d t d

ηη η

−∂ ∂= =

∂ ∂ (4.9)

px x xv dv dvCty d y d

ηη η

∂ ∂− = − = −∂ ∂

(4.10)

1 22 2

2

n n np p px x x xv dv dv d vCt nC t Ct

y y y d d dη η η

− ∂ ∂ ∂ − = − = − − ∂ ∂ ∂

(4.11)

de donde la ecuación (4.5) da: 1 21

2

nn npx x xdv dv d vmn C t

d py d dη ρ η η

−+ = −

(4.12)