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STASSI, MAURO JOS AO 2007
Captulo 1: Propiedades de los fluidos Ejercicio propuesto en clase 1 Calcular las fuerzas normal y tangencial, si el fluido entre las placas es agua.
= 1 x106 m2/s t = 1 x 103 m L = 0,20 m u = 10 cm/s = 0,1 m/s = 72,8 x 103 N/m t = 20 C Resolucin Fuerza normal (FN) Fy = 0
FN .2.permetro = 0 L = 0,20 m
permetro = 4.L = 0,80 m = 72,8 x 103 N/m entonces
FN = 72,8 x 103 N/m.2.0,80 m = 58,2 x 103 N FN = 58,2 x 103 N
Fuerza tangencial (FT)
= du dy
adems = FT/A = FT/L2
entonces FT = L2du dy
(20 C) = 1 x 103 kg/m3
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 1
= / = 1 x 106 m2/s
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entonces = = 1 x 103 Ns/m2
u = 10 cm/s = 0,1 m/s finalmente
FT = 400 x 104 m2. 1 x 103 Ns. 0,1m/s = m2 1 x 103 m
FT = 4,0 x 103 N Ejercicio propuesto en clase 2 Calcular las fuerzas normal y tangencial, si el fluido entre las placas es aceite.
= 0,005 m2/s = 5,0 x 103 m2/s S = 0,90 t = 1 x 103 m L = 0,20 m u = 10 cm/s = 0,1 m/s = 38,0 x 103 N/m t = 20 C Resolucin Fuerza normal (FN) Fy = 0
FN .2.permetro = 0 L = 0,20 m
permetro = 4.L = 0,80 m = 38,0 x 103 N/m entonces
FN = 38,0 x 103 N/m.2.0,80 m = 60,8 x 103 N FN = 60,8 x 103 N
Fuerza tangencial (FT)
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 2
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= du dy
adems = FT/A = FT/L2
entonces FT = L2du dy
H2O(20 C) = 1 x 103 kg/m3 S = 0,90
= /Aceite = 3,8 x 106 m2/s = /H2OS = 3,8 x 106 m2/s
entonces = H2OS = 3,8 x 106 m2/s.1 x 103 kg/m3.0,90 = 3,42 x 103 Ns/m2
u = 10 cm/s = 0,1 m/s finalmente
FT = 400 x 104 m2. 3,42 x 103 Ns. 0,1 m/s = m2 1 x 103 m
FT = 14,0 x 103 N Ejercicio propuesto en clase 3 Calcular la resistencia ofrecida por el aceite entre el eje y la camisa, si el eje se desplaza con una velocidad 0,5 m/s.
eje = 8,00 cm = 0,0800 m cam = 8,02 cm = 0,0802 m tAceite = 80 S = 0,90 = 0,03 N/m = 0,005 m2/s L = 0,30 m e = cam eje = 0,0802 m 0,0800 m = 1 x104 m 2 2 Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 3
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= du dy
adems = F/A
entonces F = Adu dy
A = proL pro = cam + eje = 0,0802 m + 0,0800 m = 0,0801 m
2 2 entonces
A = proL = .0,0801 m.0,30 m = 0,075 m2Suponiendo temperatura del agua ambiente H2O(20 C) = 1 x 103 kg/m3S = 0,90
= /Aceite = 5,0 x 103 m2/s = /H2OS = 5,0 x 103 m2/s
entonces = H2OS = 5,0 x 103 m2/s.1000 kg/m3.0,90 = 4,5 Ns/m2
finalmente F = 0,075 m2. 3,32 x 103 Ns. 0,5 m/s = 1698,58
m2 1 x 104 m
F = 1698,58 N Observacin: Este es el resultado obtenido en clase por el Ing. Castel Suponiendo temperatura del agua a 80 C H2O(80 C) = 971,8 kg/m3S = 0,90
= /Aceite = 5,0 x 103 m2/s = /H2OS = 5,0 x 103 m2/s
entonces = H2OS = 5,0 x 103 m2/s.971,8 kg/m3.0,90 = 4,37 Ns/m2
finalmente F = 0,075 m2. 4,37 Ns. 0,5 m/s = 1649,51
m2 1 x 104 m
F = 1649,51 N
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 4
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Ejercicio 1-5 Un fluido newtoniano est en el espacio libre entre un eje y una camisa concntrica. Cuando una fuerza de 600 N se aplica a la camisa paralela al eje, la camisa obtiene una velocidad de 1 m/s. Si se aplica una fuerza de 1500 N, Qu velocidad obtendr la camisa? La temperatura de la camisa permanece constante.
Resolucin
F = AU t
600 N = A 1 m/s t
como el fluido, el espesor y el rea de contacto es la misma, tenemos cte = 600 N 1 m/s
Ahora, si la fuerza es 1500 N tenemos 1500 N = cte x cte = 1500 N
x igualando
600 N = 1500 N 1 m/s x
x = 1500 N 1 m/s 600 N
x = 2,5 m/s Ejercicio 1-10 Una balanza de resortes correctamente calibrada registra el peso de un cuerpo de 2 kg como 17,0 N en una localidad distante de la Tierra. Cul es el valor de g en esta localidad? Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 5
P = gM
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17 N = g2 kg g = 17 N 2 kg
g = 8,5 m s2
Ejercicio 1-12 Convirtanse 10,4 unidades SI de viscosidad cinemtica a unidades USC de viscosidad dinmica si S = 0,85. Resolucin
= /H2OS = 10,4 m2/s = H2OS = 10,4 m2/s.1000 kg/m3.0,85 = 8840 kg/ms
En el sistema USC = 8840 kg . 1 slug 0,3048 ft
ms 14,594 kg 1 m finalmente
= 184,6 slug ft.s
Ejercicio 1-14 Una placa situada a 0,5 mm de una placa fija se mueve a 0,25 m/s y requiere una fuerza por unidad de rea de 2 Pa (N/m2) para mantener esta velocidad. Determnese la viscosidad fluida de la sustancia entre las dos placas en unidades del SI.
t = 0,5 mm = 0,0005 m U = 0,25 m/s = 2,0 Pa Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 6
= U
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t despejando
= t = 2,0 N/m2 . 5,0 x 104 m U 0,25 m/s finalmente
= 4,0 x 103 Ns m2
Ejercicio 1-20 Un fluido tiene una viscosidad de 6 cP y una densidad de 50 lbm/ft3. Determnese su viscosidad cinemtica en unidades USC y en stokes. Resolucin Para el sistema c.g.s. tenemos
= 50,0 lbm.0,4536 kg 1000 gr 1 ft3 1 m3 . ft3 1 lbm 1kg 0,02832 m3 1 x 106cm3
= 0,80 gr cm3
= 6 cP 1 x102 P = 6 x102 P 1 cP
Entonces = 6 x102 P 0,80 gr
cm3
= 0,0749 stokes Para el sistema USC tenemos
= 50,0 lbm 1 slug . ft3 32,174 lbm
= 1,55 slug
ft3 = 6 x102 gr 1 kg 100 cm 0,3048 m 1 slug
cms 1000 gr 1 m 1 ft 14,594 kg = 1,25 x104 slug fts
Entonces = 1,25 x104 slug/fts
1,55 slug ft3
= 8,085 x104 ft2 s
Ejercicio 1-22 (Resuelto en clase) Un cuerpo con peso de 120 lb con rea superficial plana se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado lubricado que forma un ngulo de 30 con la horizontal. Para viscosidad de 1 P y velocidad del cuerpo de 3 ft/s, determine el espesor de la pelcula lubricante.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 7
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v = 3 ft/s
F
P
30
P = 120 lb A = 2 ft2
= 30 = 1 P v = 3 ft/s Resolucin
= F = U A t despejando
t = AU F
Donde F = Psen 30
F = 120 lb sen 30 = 60 lb adems
= 1 P 1 slug/fts = 2,09 x 103 slug 479 P fts reemplazando
t = 2 ft2.2,09 x 103 slug/fts.3,0 ft/s = 60 lb
t = 2,088 x 104 ft t = 2,088 x 104 ft.0,3048 m. 100 cm 1 in
1 ft 1 m 2,54 cm t = 2,505 x 103 in
Ejercicio 1-33 Un gas con peso molecular 28 tiene un volumen de 4,0 ft3 y una presin y temperatura de 2000 lb/ft2 abs y 600 R, respectivamente. Cul es el volumen y peso especfico? Resolucin De la ecuacin de gas perfecto
pvs = RT despejamos
vs = RT
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 8
p
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reemplazando R = 49709 ft.lb M slugR
vs = 49709 ft.lb 600R 28 slugR 2000 lb/ft2
vs = 532,6 ft3 slug
adems = g = g/vs
= 32,174 ft/s2 532,6 ft3
slug = 0,06 lb ft3
Ejercicio 1-38 Para un valor de K = 2,2 GPa para el mdulo elstico a la compresin del agua qu presin se requiere para reducir su volumen un 0,5 %? Resolucin
K = dp dv/v
Despejando dp = Kdv
v dp = 2,2 Gpa ( 0,05 )
dp = 0,11 Gpa
Ejercicio 1-47 (Resuelto en clase) Un mtodo para determinar la tensin superficial de un lquido es encontrar la fuerza que se necesita para retirar un anillo de alambre de platino colocado inicialmente sobre la superficie. Estmese la fuerza necesaria para quitar un anillo de 20 mm de dimetro de la superficie del agua a 20 C.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 9
F
AnilloAgua
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Anillo = 20 mm = 0,02 m t = 20 C Resolucin
F = 2.Anillo (20 C) = 0,074 N/m
F = 2.0,02m0,074 N/m
F = 9,3 x 103 N Ejercicio 1-52 (Resuelto en clase) Encuntrese el ngulo a que la pelcula causada por la tensin superficial deja el vidrio para un tubo vertical sumergido en el agua, si el dimetro de ste es 0,2 in y la elevacin capilar es 0,09 in; = 0,005 lb/ft.
FFh
= 0,20 in h = 0,09 in = 0,005 lb/ft Resolucin
Ah = Fcos Ah = .permetro.cos
Ah = ...cos Despejando
cos = .A.h ..
Suponiendo la temperatura a 20 C, tenemos = 62,29 lb/ft3h = 0,09 in. 1 ft = 7,5 x 103 ft 12 in = 0,20 in. 1 ft = 0,0166 ft 12 in = 0,005 lb/ft
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 1 10
cos = 62, 92 lb/ft3.. (0,0166 ft)2 7,5 x 103 ft
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4. 0,005 lb/ft.. 0,0166 ft cos = 62,29 lb/ft3.. (0,0166 ft)2 7,5 x 103 ft
4. 0,005 lb/ft.. 0,0166 ft cos = 0,389
= arc cos 0,389
= 67,08 Ejercicio 1-53 Dedzcase una frmula para la elevacin capilar h entre dos tubos de vidrio concntricos con radios R y r y ngulo de contacto .
F F F F
Rr
Resolucin Por cada columna tendremos
Ah = Fcos Ah = .permetro.cos ..2.h = ...cos
4 donde = R r, entonces
..(R r)2.h = 4...(R r).cos Simplificando
..(R r).h = 4...cos despejando
h = 4..cos .(R r)
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Captulo 2: Esttica de fluidos Ejercicio 2-4 Calclese la presin en A, B, C y D de la figura es pascales.
Aire
Agua
Aire A
B
C
D
0,3
0,3
0,6
1,0
AceiteDens. Esp.0,9
Resolucin Punto A
pA = h = 9806 N/m3.0,6 m = 5883,60 Pa pA = 588 KPa
Punto B pB = h = 9806 N/m .0,6 m = 5883,60 Pa B 3
pB = 588 KPa Punto C
pC = pB = 5883,60 Pa BpC = 588 KPa
Punto D pD = pC + h = 5883,60 Pa + 0,9.9806 N/m3.1,9 m = 22651,86 Pa
pD = 2265 KPa
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Ejercicio 2-15 En la figura, para una lectura h = 20 in; determnese la presin en A en libras por pulgada cuadrada. El lquido tiene una densidad relativa de 1,90.
A
h
Datos h = 20 in S = 1,90 Resolucin
pA = h pA = 1,90.62,42 lb . 1 ft3 = 0,069 lb
ft3 1728 in3 in2
pA = 0,069 lb in2
Ejercicio 2-24 En la figura, A contiene agua y el fluido manomtrico tiene una densidad relativa de 2,94. Cuando el menisco izquierdo est en cero en la escala, pA = 100 mmH2O. Encuntrese la lectura en el menisco derecho para pA = 8 kPa sin ningn ajuste del tubo en U o de la escala.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 2
A
600
mm
0 0
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Datos S = 2,94 pA0 = 100 mmH2O pA = 8 kPa Resolucin Cuando el meisco izquierdo maraca cero tenemos
pA + H2Oh1 SH2Ohi = 0 100 mmH2O. 1 m. 101325 pa + 9806 N 600 mm. 1m 2,94.9806 N/m3 hi = 0
1000 mm 10,34 mH2O m3 1000 mm 979,93 Pa + 5883,6 Pa 28829,64 N/m3 hi = 0
Despajando hi = 979,93 Pa 5883,6 Pa = 0,240 m
28829,64 N/m3
hi = 0,240 m Cuando aumentamos la presin en A tenemos
A
600
mm
0 0
dh
dhhi
dh
hf
pA + H2O(h1 + h) SH2O(hi + 2h)= 0 pA + H2Oh1 + H2O h SH2Ohi SH2O2h = 0
pA + H2Oh1 SH2Ohi = SH2O2h H2O h pA + H2Oh1 SH2Ohi = h(2.S.H2O H2O)
h = pA + H2Oh1 SH2Ohi (2.S.H2O H2O)
Reemplazando h = 8000 Pa + 9806 N/m30,6 m 2,94.9806 N/m30,240 m =
(2.2,94. 9806 N/m3 9806 N/m3) h = 0,145 m
Finalmente la lectura en el lado derecho ser hf = hi + h
hf = 0,240 m + 0,145 m = 0,385 m hf = 385 mm
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 3
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Ejercicio 2-33 El recipiente mostrado en la figura tiene una seccin transversal circular. Determnese la fuerza hacia arriba sobre la superficie del tronco de cono ABCD. Cul es la fuerza hacia abajo sobre el plano EF?Es, esta fuerza, igual al peso del fluido? Explique.
A
B C
D
E F
Agua
21
5
2 ft dim
4 ft dim
Datos mayor = 4,00 ft menor = 2,00 ft = arc tan (1,00 ft) = 45 1,00 ft Resolucin Sobre ABCD
A2 A3A1 1,41
O
1 2 1
A = A1 + A2 + A3
A = 1,00 ft.1,414 ft + 2,00 ft.1,414 ft + 1,00 ft.1,414 ft
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 4
A = 4,245 ft2
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Ayp = A1y1 + A2y2 + A3y3 yp = 0,707 ft20,47 ft + 2,828 ft2x0,707 ft + 0,707 ft20,47 ft
4,245 ft2yp = 0,628 ft
yp = 2ft + 1,41 ft yp = 2,786 ft yp = 2,786 ft
Fn = ypA = 62,4 lb .2,786 ft.4,245 ft2 = 737,98 lb
ft3
Fv = Fn cos = 737,98 lb cos 45 = 521,83 lb Fv = 52183 lb
Sobre EF
V1 = 2xpA
A = 1,00 ft.1,00 ft + 5,00 ft.1,00 ft = 5,50 ft xp = 0,50 ft20,66 ft + 5,00 ft2x0,50 ft
5,50 ft xp = 0,51 ft
V1 = 2xpA = 2.0,51 ft.5,50 ft2
V1 = 17,80 ft3
V2 = hA = 8,00 ft(1,00 ft)2V2 = 25,13 ft3
V = 17,80 ft3 + 25,13 ft3 = 42,93 ft3
Fn = 42,93 ft3 62,4 lb/ft3 Fn = 267900 lb
Ejercicio 2-36 Una superficie triangular de ngulo recto vertical tiene un vrtice en la superficie libre de un lquido. Encuntrese la fuerza sobre un lado (a) por integracin y (b) por frmula.
A
B C
h
A
b
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 5
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Resolucin Por integracin
F = ApdA = Ayxdy = 0hyxdy donde
y = hx b
x = by h reemplazando
F = 0h(by)ydy h
F = 0h y2bdy h
F = b 0hy2dy h
F = 1 bh23
Por formula F = pdA F = hdA
F = 2h.bh 3 2
F = 1 bh23
Ejercicio 2-37 Determnese la magnitud de la fuerza que acta sobre una lado del tringulo vertical ABC de la figura (a) por integracin y (b) por frmula.
A B
C
A
5
5
Aceite = 55 lb/ft3
3 4
Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 6
Por integracin
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dF = pdA
dF = yxdy F = yxdy
donde x = 5,0 (7,40 y)
2,4 reemplazando
F = 57,4(37,0 5,0y)ydy 2,4 2,4
F = 57,4(37,0y 5,0y2)dy 2,4 2,4
F = 57,437,0y 57,45,0y2dy 2,4 2,4
F = 37,057,4y 5,057,4y2dy 2,4 2,4
F = 37,0[y2|57,4] + 5,0[y3|57,4] 2,4 2 2,4 3
F = 55,0. 37,0[7,42 5,02] + 55,0. 5,0[7,43 5,03] 2,4 2 2 2,4 3 3 finalmente
F = 1914,00 lb Por formula
F = pA F = hA
F = (5,00 ft+ 1h).bh 3 2
F = 55,00 lb(5,00 ft+ 2,40ft).5,00 ft.2,40 ft ft3 3 2
F = 1914,00 lb Ejercicio 2-46 La presa de la figura tiene un puntal AB cada 6m. Determnese la fuerza compresiva en el puntal, descartando el peso de la presa.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 7
A
B
Puntal
24
6
3
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Resolucin
= arc tan (4,00 m/3,00 m) = 53 07 48 = arc sen (6,00 m/4,00 m) = 41 48 37
FA = FH + FL
Donde FH = hAcos
como el punto de aplicacin de la fuerza, es decir A, est en el centroide del rea donde se calcula la presin, la altura del rea ser
hH = 2hH hH = 3 2,00 m = 3,00 m 3 2 Por prisma de presin
FH = 9,806 kN 3,00 m 3,00 m 6,00 m cos 41 48 37 = m3 2
FH = 197,34 kN Por otro lado
hL = 2hL hL = 3 2,50 m = 3,75 m 3 2
FL = 9,806 kN 3,75 m 3,75 m 6,00 m cos (53 07 48 41 48 37) = m3 2
FL = 405,64 kN finalmente
FA = FH + FLFA = 197,34 kN + 405,64 kN
FA = 602,98 kN Ejercicio 2-59 La compuerta de la figura pesa 300 lb/ft normal al papel. Su centro de gravedad est a 1,5 pie de la cara izquierda y 2,0 ft arriba de la cara ms baja. Tiene un gozne en 0. Determnese la posicin de la superficie del agua cuando la puerta apenas comienza a subir. (La superficie del agua est abajo del gozne.)
5
h
O
Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 8
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E = h(h/2) E = h2
2 Mo = 0
E[5 h + (2/3)h] = xPCE[5 (1/3)h] = xPC5E E(1/3)h = xPC
reemplazando 5h2 h2(1/3)h = xPC
2 2 5h2 1h3 xPC = 0
2 6 5.62,42 lb h2 1.62,42 lb h3 1,50 ft300,00 lb = 0
2 ft3 6 ft3 10,40 lbh3 + 156,05 lbh2 450 lb = 0
ft3 ft3 h = 1,81 ft
Observacin: Esta distancia es medida desde el pelo libre hasta el orificio. Ejercicio 2-66 Para una variacin lineal de esfuerzo sobre la base de la presa de la figura. (a) Localice donde la resultante cruza la base y (b) calclese los esfuerzos compresivos mximos y mnimos en la base. Ignore la elevacin hidrosttica.
' =2.5
720
3 4 11
Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 9
a)
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E1
E2
P1
P2
P3
= arc tan (20/3) = 81 28 9
E1 = h20,5 E1 = 7,00 m 7,00 m 0,5 = 24,50 m2
E2 = h0,5l Donde
l = h/sen = 20,00 m/sen 81 28 9 = 20,22 m E2 = (7,00 m + 27,00 m)0,5.20,22 m = 343,80 m2
P1 = .A1P1 = 2,5.3,00 m 20,00 m 0,5 = 75,00 m2
P2= .A2P2 = 2,5.4,00 m 27,00 m = 270,00 m2
P3= .A3P3 = 2,5.11,00 m 20,00 m 0,5 = 275,00 m2
RX = E1 + E2sen = 24,50 m2 + 343,80 m2sen 81 28 9 = 364,00 m2
RY = P1 + P2 + P3 + E2cos = RY = 75,00 m2 + 270,00 m2 + 275,00 m2 + 343,80 m2 cos 81 28 9 = 670,99 m2
lE2 = lp1l0,5 + lp20,5l(2/3) =
lp1 + lp20,5 lE2 = (20,22 m)27,00 m0,5 + (20,22 m)220,00 m0,5(1/3) = 8,13 m
(20,22 m)7,00 m + (20,22 m)20,00 m0,5
yE1 = 20,00 m + 7,00 m(1/3) = 22,33 m x1 = 3,00 m (2/3) = 2,00 m
x2 = 3,00 m + 4,00 m 0,5 = 5,00 m x3 = 7,00 m + 11,00 m (1/3) = 10,67 m
MA = 0 RYxR E1yE1 E2lE2 P1x1 P2x2 P3x3 = 0
xR = E1yE1 + E2lE2 + P1x1 + P2x2 + P3x3 = RY
xR = 24,50 m222,30 m + 343,80 m2 8,13 m + 75,00 m2 2,00 m + 270,00 m2 5,00 m + 275,00 m210,67 m 670,99 m2
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 10
xR = 11,588 m
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b)
mn mx
RY = mL mx + min = 2RY/L mx = 2RY/L min
MA = 0 RYxR mnLL (mx min)L2L = 0
2 2 3 (mx + min)LxR mnLL (mx min)L2L = 0
2 2 2 3 mx11,58 m + min11,58 m mn18,00 m mx18,00 m + min18,00 m = 0
2 2 2 3 3 mx5,79 m + min5,79 m mn9,00 m mx6,00 m + min6,00 m = 0
mx(5,79 m 6,00 m) + min(6,00 m + 5,79 m 9,00 m) = 0 mx( 0,21 m) + min2,79 m = 0
mx = min13,55 m = 0 reemplazando
min13,55 m = 2RY/L minmn + min13,55 m = 2RY/L min(1 + 13,55 m) = 2RY/L
min(1 + 13,55 m) = 2670,99 m2/18,00 m min = 2670,99 m2 =
18,00 m(1 + 13,55)
min = 5,12 reemplazando
mx = 2RY/A minmx = 2670,99 m2 5,12
18,00 m2
mx = 69,43 Ejercicio 2-67 Resulvase el problema 2-66 con la adicin de que la elevacin hidrosttica vara linealmente desde 20 m en A hasta cero en la punta de la presa.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 11
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20 m0
Resolucin
E1 = 24,50 m2E2 = 343,80 m2P1 = 75,00 m2P2 = 270,00 m2P3 = 275,00 m2
RX = E1 + E2sen = 364,50 m2
Si llamamos V a la elevacin hidrosttica, tenemos V = 20,00 m.18,00 m.0,5 = 180 m2
RY = P1 + P2 + P3 + E2cos V = RY = 75,00 m2 + 270,00 m2 + 275,00 m2 + 343,80 m2 cos 81 28 9 180 m2 = 490,99 m2
lE2 = 8,13 m yE1 = 22,33 m
x1 = 2,00 m x2 = 5,00 m
x3 = 10,67 m xV = (1/3)18,00 m = 6,00 m
MA = 0
RYxR E1yE1 E2lE2 P1x1 P2x2 P3x3 + VxV = 0 xR = E1yE1 + E2lE2 + P1x1 + P2x2 + P3x3 VxV =
RYxR = 24,50 m222,30 m + 343,80 m2 8,13 m + 75,00 m2 2,00 m + 270,00 m2 5,00 m + 275,00 m210,67 m 180 m26,00 m =
490,99 m2
xR = 13,640 m Ejercicio 2-89
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 12
Un tronco detiene el agua como se muestra en la figura. Determnese (a) la fuerza por metro que lo empuja contra la presa, (b) el peso del cilindro por metro de longitud, y (c) su densidad relativa.
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R2aceite den. rel. 0,8
AguaA
B
C
D Resolucin a)
FH = FAB + FAD FDCFH = FAB = SAhh = 0,80 .9,806 kN.1,00 m.2,00 m
m3
FH = 15,69 kN/m b)
FV = FAB + FADB + FBDCdonde FADB = FBDC, entonces
FV = SAA + 2.A FV = SA(R2 (1/4)R2) + 2. (R2 + (1/4)R2)
FV = SAR2 (1 /4) + 2.R2(1 + /4) FV = 0,80.9,806 kN.(2,00 m)2(1 /4) + 2. 9,806 kN.(2,00 m)2(1 + /4) FV = 0,80.9,806 kN.(2,00 m)2(1 /4) + 2. 9,806 kN.(2,00 m)2(1 + /4)
FV = 133,32 kN/m
c) T = FV/VT
T = 133,32 kN/m = 10,61 kN (2,00 m)2 m3
ST = T/AST = 10,61 kN/m3
9,806 kN/m3
ST = 1,08 Ejercicio 2-104 Flotar en agua una viga de 4 m de largo con seccin transversal cuadrada y S = 0,75 mantenindose en equilibrio estable con dos lados horizontales? Resolucin
GB
W = E
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 13
SV = V
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Sh2L = hhL Sh = h
S = h/h = 0,75 Esto significa que la altura sumergida ser menor que la altura del objeto, y por ser una seccin cuadrada el centro de gravedad estar por encima del centro de flotacin lo que significa que el cuerpo NO est en equilibrio estable para los dos lados horizontales. Ejercicio 2-108 Un tanque de lquido S = 0,88 es acelerado uniformemente en una direccin horizontal de tal forma que la presin disminuya dentro del lquido 20 kPa/m en la direccin del movimiento. Determnese la aceleracin. Resolucin
x
ax
xgaSpp x= 0
xgaSpp x= 0
xSpgax
= reemplazando
3
2
980688,0
806,9)20000(
mN
sm
mPa
ax
=
ax = 22,73 m2/s Ejercicio 2-117 El tubo de la figura est lleno de lquido con densidad relativa 2,40. Cuando se acelera a la derecha 8,05 ft/s2, dibuje la superficie libre imaginaria y determnese la presin en A. Para pA = 8 psi de vaco determnese ax.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 14
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2
1
A
Resolucin
xgaSp x=
ft
sft
sft
ftlbp 2
174,32
05,84,6240,2
2
2
3=
p = 74,84 lb
ft2
2
1
A
S pA = 8 psi.144 in2 = 1152 lb
1 ft2 ft2entonces
xSpgax =
ftftlb
sft
ftlb
ax24,624,2
174,32)1152(
3
22
=
ax = 123,75 ft/s2
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 2 15
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Captulo 3: Ecuaciones bsicas y concepto de flujo de fluidos Ejercicio 3-6 Una tubera lleva aceite, densidad relativa 0,86, a V = 2 m/s por un tubo de 200 mm de dimetro interior. En otra seccin el dimetro es de 70 mm. Encuntrese la velocidad en esta seccin y el flujo de masa en kilogramos por segundo. Resolucin
1 2
Aceite, dens. rel. 0,86 Como la densidad no cambia y el flujo es permanente, podemos aplicar la ecuacin de continuidad, es decir
2211 AVAV = entonces
2
112 AAVV =
reemplazando
2
2
2
2
2 )70()200(2
4)70(
4)200(
2mmmm
sm
mm
mm
smV =
=
V2 = 16,33 m/s
El caudal msico ser
22AVQm ==
3
2
100086,04
)07,0(33,16mkgm
smm =
skgm 03,54=
Ejercicio 3-30
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 1
En la figura, se descarga aceite de una ranura bidimensional en el aire como se indica en A. En B el aceite se descarga por debajo de una puerta al piso. Despreciando todas las prdidas, determnese las descargas en A y B por pie de ancho. Por qu difieren?
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A B
Aceite, dens. rel. 0,86
102
Resolucin Como el flujo es permanente e incompresible, podemos aplicar la ecuacin de Bernoulli, es decir
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
Para A, reemplazando
gvzPzP AAatmatm 2
2
0 ++=+
gvzz AA 2
)(2
0 = )(2 0 AA zzgv =
)0,00,11(174,322 2 ftftsftvA =
sftvA 60,26=
Por continuidad
AAA vAQ =
sftftQA 60,2600,2 =
QA = 53,21 ft3/fts
Para B, reemplazando
gvzPzP BBB
atm
2
2
0 ++=+
gvzzPP BBBatm 2
)()(12
0 =+
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 2
+= )()(12 0 ABatmB zzPPgv
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+= )00,000,11()00,142,62(
42,62
1174,322 33
2 mftftftlb
ftlbs
ftvB
sftvB 37,25=
Por continuidad
BBB vAQ =
sftftQB 37,2500,2 =
QB = 50,37 ft3/fts
Las descargas difieren porque la seccin A esta sometida a la presin atmosfrica y la seccin B a la presin hidrosttica. Ejercicio 3-31 Despreciando todas las prdidas, determnese la descarga en la figura.
Agua
Aceite dens. rel. 0,75 3
ft4
ft
4 in
.
Resolucin Para utilizar la ecuacin de Bernoulli el fluido debe ser uniforme, por lo que se plantea una altura equivalente
AAWW hh = W
A
WA hh
='
WWA
AW Shh
Sh ==
reemplazando fthW 00,375,0 =
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 3
fthW 25,2=
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Agua
6,25
1
2
Planteando la ecuacin de Bernoulli, tenemos
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
Reemplazando
gvz2
22
1 =
12 2 zgv = ft
sftv 25,6174,322 22 =
sftv 05,202 =
Por continuidad
222 vAQ =
sft
inftinQ 05,20)
00,1200,100,4(
42
2 =
Q2 = 1,75 ft3/s Ejercicio 3-33 Despreciando todas las prdidas, encuntrese la descarga por el medidor Venturi de la figura.
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Agua
Aire
200
mm
300
mm
150
mm
1 2
Resolucin Planteando la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
Agua
Aire
200
mm
300
mm
150
mm
12 Datum
h1
h2
Dz
reemplazando
gv
gvzzPP
22)(
21
22
2121 =+
)(21)()(1 21
222121 vvg
zzPP =+ Por la ley del menisco
2112 hhPP += 2121 )(
1 hhPP =
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 5
con respecto al datum
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21 200 hmmhz +=+ zhmmh += 21 200
reemplazando
2221 200)(1 hzhmmPP +=
zmmPP = 200)(1 12 reemplazando en la ecuacin de Bernoulli
)(21)(200 21
2221 vvg
zzmmz =++
)(21)(200)( 21
222121 vvg
zzmmzz =++
)(21200 21
22 vvg
mm = Por la ecuacin de continuidad
21 QQ = 2211 vAvA = 2
1
21 vA
Av = reemplazando
)((21200 222
1
222
2 vAAv
gmm =
)1(2
200 21
22
22
AA
gvmm =
==
)1(
2002
21
22
2
AA
mmgv
=
=
))00,300(
4
)00,150(41(
2,0806,92
2
2
2
2
mm
mm
msm
v
smv 29,22 = 222 vAQ =
smmQ 29,2)15,0(
42
2=
Q2 = 0,04 m3/s
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 6
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Ejercicio 3-50 Para un flujo de 1500 gpm y H = 32 ft en la figura, calclense las prdidas a travs del sistema en carga velocidad, KV2/2g.
V
H = 55 lb/ft36 in. dim
Resolucin Por continuidad el caudal es el mismo en todas las secciones, entonces
sft
galsft
galQ3
3
34,3
min83,448
00,1
min1500 ==
Por definicin de caudal
dd vAQ =
dd A
Qv = reemplazando
sft
inftin
sft
vd 02,17)
00,1200,100,6(
4
34,3
2
3
=
=
en trminos de carga de velocidad tenemos
ftgv
sft
sft
d 50,4174,322
)02,17(2 2
22
== Planteamos la ecuacin de Bernoulli
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 7
reemplazando
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gv
KgvP
HP ddatmatm
22
22
++=+
( )KgvH d += 12
2
Las prdidas sern
1
2
2 =gvHKd
150,400,32 =ftftK
K = 6,11
Ejercicio 3-51 En la figura las prdidas hasta la seccin A son 5 v21/2g y las prdidas de la boquilla son 0,05 v22/2g. Determnese la descarga y la presin en A. H = 8,00 m.
VD1 = 150 mm
Agua 50
D2 = 50 mm
A
H
Resolucin
VD1 = 150 mm
Agua 50
D2 = 50 mm
A
H
0
BDatum
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 8
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Planteamos la ecuacin de Bernoulli entre 0 y B
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
reemplazando
gvK
gvPH
P BB
Batmatm
22
22
++=+
( )BB KgvH += 12
2
( )BB KHgv += 12
( )05,0100,8806,92 2 +=
msmvB
smvB 22,12=
Por continuidad
BA QQ = BBA vAQ =
( )smmQA 22,1205,04
2=
QA = 0,024 m3/s
Por otro lado
( )BAB
A KHg
AAv += 122
22
Planteamos la ecuacin de Bernoulli entre 0 y A
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
reemplazando
gvK
gvPH
P AA
AAatm
22
22
++=+ ( ) 2
21
AAA v
gKPH ++=
reemplazando ( )
( )
+++=
BA
BAA
KHg
AA
gKPH
12
21
2
2
HAA
KKPH
A
B
B
AA
+++= 2
2
11
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 9
Despejando
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++= 2
2
111
A
B
B
AA A
AKKHP
( )( )
++=
2
2
315,0
4
05,04
05,0100,51100,800,9806
m
mm
mNPA
PA = 28,64 KPa
Ejercicio 3-53 El sistema de bombeo mostrado en la figura debe tener presin de 5 psi en la lnea de descarga cuando la cavitacin es incipiente en la entrada de la bomba. Calclese la longitud del tubo desde el depsito a la bomba para esta condicin de operacin si la prdida en este tubo se puede expresar como (V12/2g)(0,003L/D). Qu potencia esta siendo suministrada al fluido por la bomba? Qu porcentaje de esta potencia se est usando para vencer prdidas? Lectura del barmetro 30 inHg
6 in. dim.
2 in
. di
m
P
10 ft
Agua 68 F
4 in.Tubo de descarga
Resolucin
6 in. dim.
2 in
. di
m
P
10 ft
Agua 68 F
4 in.Tubo de descarga
1
2 3 4
Datum
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Planteamos la ecuacin de Bernoulli entre 3 y 4
gvzP
gvzP
22
24
44
23
33 ++=++
reemplazando
gvzP
gvzP atm
22
24
4
23
33 ++=++
( ) 33424
23
22P
zzgv
gv =
( )
= 3
3424
23 2
Pzzgvv
Como z4 = z3
= 32
423 2
Pgvv
Por continuidad
43 QQ = 4433 vAvA =
43
43 vA
Av = reemplazando
= 32
4242
3
24 2
PgvvAA
=
3242
3
24 21
PgvAA
=
1
2
23
24
3
4
AA
Pg
v
( )( )
=
100,4
4
00,24
42,62
00,100,14400,5
174,322
2
2
3
2
2
2
2
4
in
in
ftlb
ftin
inlb
sft
v
sftv 46,314 =
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Por continuidad
43 QQ = 4433 vAvA =
43
43 vA
Av =
( )( ) s
ftsft
in
inv 86,746,31
00,44
00,24
2
2
3 ==
Por continuidad
32 QQ = 3322 vAvA =
32
32 vA
Av =
( )( ) s
ftsft
in
inv 49,386,7
00,64
00,44
2
2
2 ==
Planteamos la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
reemplazando
gv
DL
gvzPP
2003,0
2
22
22
221 +++=
+=
D
LgvzPP 003,012
22
221
= 1
2003,0 22
221
gv
zPPDL
La presin en 1 es la indicada en el barmetro, es decir inHgP 301 =
ftinftinP
Hg
50,200,1200,1301 ==
ftftPSP
WHg
92,3357,1350,211 === De tabla C.2 pgina 568 de (Mecnica de los fluidos, Streeter)
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 12
ftP
W
79,02 =
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( )
= 1174,322
)46,3(1079,092,33
003,000,1200,100,6
2
2
sft
sft
ftftftinftin
L
L = 20554,17 ft
La potencia suministrada por la bomba ser
tWP =
tmgHP =
gHmP= QgHP = QHP =
HAvP 22= ft
inftin
sft
ftlbP 00,10
00,1200,100,6
449,342,62
2
3
=
P = 247,74 lb.ft s
El porcentaje utilizado para vencer las prdidas ser
100
22003,0
2% 22
22
22
+=
gv
gv
DLgv
P
1001003,0
1
+=
DL
P
%80,01001
5,017,20554003,0
1 =
+=
ftft
P
%P = 0,80 %
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 13
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Ejercicio 3-87 Despreciando todas las prdidas, determnese las componentes x e y necesarias para mantener la Y en su lugar. El plano de la Y es horizontal.
6 in. di
m
12 in. dim
18 in. dim
45
60
20 ft/sH2O
12 ft8 ft/s
10 lb/in
Resolucin Por definicin de caudal
111 vAQ =
1
11 A
Qv =
sft
inftin
sft
v 32,11
00,1200,100,18
4
00,202
3
1 =
=
2
22 A
Qv =
sft
inftin
sft
v 29,15
00,1200,100,12
4
00,122
3
2 =
=
3
33 A
Qv =
sft
inftin
sft
v 74,40
00,1200,100,6
4
00,82
3
3 =
=
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 14
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6 in. di
m
12 in. dim
18 in. dim
45
60
H2O
v3 = 40,74 ft/s
A3P3A3 v2 = 15,29 ft/s A2
P2A2
v1 = 11,32 ft/s
A1 P1A1
10 lb/in
Planteamos la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin x, entonces
( ) dAvvF scxext = Las fuerzas externas en x son ( )
xanclajexextFAPAPF ++= 60cos45cos 3322
La integral sobre la superficie de control en x es
0cos60cos0cos45cos 333222 AvvAvvdAvvsc = Igualando
0cos60cos0cos45cos60cos45cos 3332223322 AvvAvvFAPAP xanclaje =++
Para conocer las presiones planteamos Bernoulli entre 1 y 2
gvzP
gvzP
22
22
22
21
11 ++=++
reemplazando
gvP
gvP
22
222
211 +=+
gv
gvPP
22
22
2112 +=
( )222112 2 vvgPP +=
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 15
+=
22
2
3
2
2
22 29,1532,11174,322
42,62
00,100,14400,10
sft
sft
sft
ftlb
ftin
inlbP
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22 80,1337 ftlbP =
Planteamos Bernoulli entre 1 y 3
gvzP
gvzP
22
23
33
21
11 ++=++
reemplazando
gvP
gvP
22
233
211 +=+
gv
gvPP
22
23
2113 +=
( )232113 2 vvgPP +=
+=
22
2
3
2
2
23 74,4032,11174,322
42,62
00,100,14400,10
sft
sft
sft
ftlb
ftin
inlbP
23 05,46 ftlbP =
reemplazando 60cos45cos0cos60cos0cos45cos 3322333222 += APAPAvvAvvF xanclaje
=++
=
60cos20,005,4645cos78,080,133720,0
74,4094,160cos74,4078,029,1594,145cos29,15
22
22
2
32
3
ftftlbft
ftlbft
sft
ftslug
sftft
sft
ftslug
sftF
xanclaje
FanclajeX = 682,82 lb
Planteamos la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin y, entonces
( ) dAvvF scyext = Las fuerzas externas en y son ( )
yanclajeyextFsenAPsenAPAPF += 6045 332211
La integral sobre la superficie de control en x es
0cos600cos45180cos 333222111 AvsenvAvsenvAvvdAvvsc ++= Igualando
0cos60
0cos45180cos6045
333
222111332211
Avsenv
AvsenvAvvFsenAPsenAPAPxyanclaje
++=+
despejando
6045
0cos600cos45180cos
3322
11333222111
senAPsenAP
APAvsenvAvsenvAvvFxyanclaje
++++=
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 16
reemplazando
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=++
+
+=
6020,005,464578,080,1337
77,100,100,14400,1020,074,4094,16074,40
78,029,1594,14529,1577,132,1194,132,11
22
22
22
2
22
3
23
23
senftftlbsenft
ftlb
ftftin
inlbft
sft
ftslugsen
sft
ftsft
ftslugsen
sftft
sft
ftslug
sftF
yanclaje
FanclajeY = 1433,89 lb
Ejercicio 3-100 En la figura, un chorro, = 2 slugs/ft3 es desviado por un labe 180. Se supone que la carreta no tiene friccin y est libre para moverse en una direccin horizontal. La carreta pesa 200 lb. Determnese la velocidad y la distancia viajada por la carreta 10 s despus que el chorro es dirigido contra el labe. A0 = 0,02 ft2; V0 = 100 ft/s.
V1V0 A0
Resolucin
V1V0A0
V0A0
El diagrama vectorial de velocidad ser a la entrada
V1V0
V0-V1 y a la salida
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 17
V1V0
V0-V1
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Planteamos la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin x, entonces
( ) dAvvF scxext = La integral sobre la superficie de control en x es
( ) ( ) ( ) ( ) 0cos180cos 0101001010 AvvvvAvvvvdAvvsc = ( ) ( ) ( ) ( ) 0101001010 AvvvvAvvvvdAvvsc =
( ) 02102 AvvdAvvsc = Las fuerzas externas en x son
( ) carroxext amF = ( )
dtdvmF xext =
Igualando
( ) 02101 2 Avvdtdvm =
( )21102001 22 vvvvAtmv += 210100
2001 2222 vAvvAvAt
mv +=
02222 200100210 =+
+ vAvvAtmvA
000,100002,00,22
00,1002002,00,2200,10
174,32
00,200
002,00,22
22
3
12
3
221
23
=
+
+
sftft
ftslugs
vsftft
ftslugs
ssftlb
vftft
slugs
000,80038,1508,0 121 =+ lbvs
slugsvft
slug
Por bscara
v1 = 96,11 ft/s Como supusimos la aceleracin constante planteamos
2
21 atx =
ssfttvt
tvx 00,1011,96
21
21
21
121 ===
x = 480,57 ft
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 18
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Ejercicio 3-123 Determnese el ngulo del labe requerido para desviar la velocidad absoluta de un chorro 130.
u = 50 ft/s
V0 = 130 ft/s
Resolucin
u = 50 ft/s V0 = 130 ft/s
130
( )uvvalabe = 0 sft
sft
sftvalabe 00,8000,5000,130 ==
Por teorema del seno
00,5000,80 sensen =
48,0130625,000,8000,50 === sensensen
( ) 60,2848,0 == arcsen Por propiedad del tringulo
39,2160,28130180180 === Finalmente
39,21180180 ==
= 158 36 20
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 3 19
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Captulo 4: Anlisis dimensional y similitud dinmica Ejercicio 4-8 Usando las variables Q, D, H/l, , , g como pertinentes al flujo en un tubo liso, arreglarlas en parmetros adimensionales con Q, , como variables repetitivas. Resolucin Las variables son 6
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2113113 ,,,1,, = LTgTMLMLLLLHLDTLQ
Las unidades son 3 TML ,,
entonces, los parmetros adimensionales son N = 6 3 = 3
1 ser
LH=1
1 = H/L 2 ser
3212
xxxDQ = ( ) ( ) ( ) 321 113132 xxx TMLMLTLL =
entonces Para M 000 32 =+++ xx Para L 0331 321 =+ xxx Para T 000 31 =+ xx de aqu
11 =x 12 =x 13 =x
entonces
QD=2
2 = D/Q
3 ser
3213
xxxgQ = ( ) ( ) ( ) 321 1131323 xxx TMLMLTLLT =
entonces Para M 000 32 =+++ xx
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 4 1
Para L 0331 321 =+ xxx
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Para T 002 31 =+ xx de aqu
31 =x 52 =x 53 =x
entonces
5
53
3 gQ=
3 = gQ35/5
Ejercicio 4-13 En un fluido que gira como un slido alrededor de un eje vertical con velocidad angular , la elevacin de la presin p en una direccin radial depende de la velocidad , el radio r y la densidad del fluido . Obtngase la forma de ecuacin para p. Resolucin Las variables son 4 [ ] [ ] [ ] [ ]3121 ,,, MLTLrTMLp Las unidades son 3
TML ,, entonces, los parmetros adimensionales son
N = 4 3 = 1 ser
321 xxx rp = ( ) ( ) ( ) 321 31212 xxx LMLTTML =
entonces Para M 0001 2 =+++ x Para L 0301 32 =++ xx Para T 0002 1 =+ x de aqu
21 =x 12 =x 23 =x
entonces
22rp=
Entonces p = cte.r22
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Ejercicio 4-18 La velocidad en un punto de un modelo de un canal de alivio para una presa es 1 m/s. Para una razn del prototipo al modelo de 10:1, Cul es la velocidad en el punto correspondiente en el prototipo bajo condiciones similares? Resolucin Como es un canal la similitud dinmica exige igual nmero de Froude, entonces
pp
p
mm
m
lgv
lgv 22 =
Como la gravedad es la misma
p
p
m
m
lv
lv 22 =
m
pmp ll
vv 22 =
m
pmp l
lvv =
11000,1
smvp =
vp = 3,16 m/s
Ejercicio 4-19 El suministro de potencia a una bomba depende de la descarga Q, de la elevacin de la presin p, de la densidad del fluido , del tamao D y de la eficiencia e. Encuntrese la expresin para la potencia por uso del anlisis dimensional. Resolucin Las variables son 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1,,,,, 3211332 eMLTMLpLDTLQTMLP Las unidades son 3
TML ,, entonces, los parmetros adimensionales son
N = 6 3 = 3 1 ser
e=1 1 = e
2 ser 321
2xxx pPQ =
( ) ( ) ( ) 321 32113322 xxx MLTMLTLTML =
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 4 3
entonces
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Para M 001 32 =+++ xx Para L 0332 321 =+ xxx Para T 0023 21 =+ xx de aqu
11 =x 12 =x 03 =x
entonces
pQP= 2
2 = P/Qp
3 ser
3213
xxx pDQ = ( ) ( ) ( ) 321 321133 xxx MLTMLTLL =
entonces Para M 000 32 =+++ xx Para L 0331 321 =+ xxx Para T 0020 21 =+ xx de aqu
5,01 =x 25,02 =x 25,03 =x
entonces
4
4
3 QpD =
3 = Dp1/4
Q1/21/4 Ejercicio 4-21 Un modelo de medidor Venturi tiene dimensiones lineales de un quinto de las del prototipo. El prototipo opera con agua a 20 C y el modelo con agua a 95 C. Para un dimetro de garganta de 600 mm y una velocidad en la garganta de 6 m/s en el prototipo, qu descarga se necesita a travs del modelo para que se tenga similitud? Resolucin
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 4 4
Como es una tubera la similitud dinmica exige igual nmero de Reynolds, entonces
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p
pp
m
mm vDvD =
pp
m
m
pm vD
Dv
=
sm
smsm
mmmmvm 00,6
10007,1
10311,0
500,60000,600
26
26
=
smvm 86,9=
smmvAQ mmm 86,95
6,04
2
==
Qm = 0,10 m3/s Ejercicio 4-32 Un modelo a escala 1:5 de un sistema de tuberas de una estacin de bombeo se va a probar para determinar las prdidas totales de carga. Se dispone de aire a 25 C, 1 atm. Para una velocidad del prototipo de 500 mm/s en una seccin de 4 m de dimetro con agua a 15 C, determnese la velocidad del aire y la cantidad del mismo necesarias y cmo las prdidas determinadas en el modelo se convierten en prdidas en el prototipo. Resolucin Como es una tubera la similitud dinmica exige igual nmero de Reynolds, entonces
p
pp
m
mm vDvD =
pp
m
m
pm vD
Dv
=
sm
smsm
mmvm 50,0
10141,1
1070,1
500,400,4
26
25
=
La viscosidad cinemtica del aire se obtuvo de la figura C.2 de Mecnica de los fluidos (Streeter)
vm = 37,25m/s
smmvA mmm 25,375
00,44
2
== Q
Qm = 18,72 m3/s
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Como las prdidas dependen del nmero de Reynolds y este es el mismo para modelo y prototipo las prdidas sern las mismas.
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Captulo 5: Flujo viscoso: tuberas y canales Ejercicio 5-1 Determnense las frmulas del esfuerzo cortante sobre cada placa y para la distribucin de velocidad para el flujo de la figura, cuando existe un gradiente de presin adversa tal que Q = 0.
py
(p+(dp/dl)l)y
(+(d/dl)y)l
l
ly
lysen
U
u
a
l
dl
y
Resolucin
( ) 0121
23 =+
= ahpl
Uaq
( ) 3121
2ahp
lUa +
=
( )hpla
U +=26
Por otro lado
( )( )221 yayhp
laUyu +
= reemplazando
( )22621 yayaUaUyu =
= 2
2
3ay
ayU
aUyu
22
32 yaUy
aUu +=
derivando respecto a y obtengo
yaU
aU
dydu
2
62 += El esfuerzo de corte ser
= 2U + 6Uy a a2
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 1
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Ejercicio 5-2 En la figura siendo U positivo como se muestra, encuntrese la expresin para d(p + h)/dl de modo que el corte sea cero en la placa fija. Cul es la descarga en este caso?
py
(p+(dp/dl)l)y
(+(d/dl)y)l
l
ly
lysen
U
u
a
l
dl
y
Resolucin
( )( )221 yayhp
laUyu +
=
( ) ( ) 221
21 yhp
layhp
laUyu +
+=
derivando respecto a y obtengo
( ) ( )yhpl
ahpla
Udydu +
+= 1
21
El esfuerzo de corte es
dydu =
entonces
( ) ( )yhpl
ahpla
U ++
=21
Valuado en y = 0, tenemos
( ) 021
0 =+== ahpla
Uy
despejando
( )hpla
U +=22
reemplazando
22 ya
Uu =
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 2
El caudal ser
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== aa dyyaUudyq 02
20
aUq3
= Ejercicio 5-3 En la figura siendo U = 0,7 m/s. Encuntrese la velocidad del aceite llevado a la cmara de presin por el pistn, la fuerza cortante y fuerza total F que actan sobre el pistn.
UF50 mm dim.
e = 0,05 mm
0,15 MPa
= 1 poise
150 mm
Resolucin
( )( )221 yayhp
ly
aUu +
= adems
( ) 361000,115,000,015,0
mN
mMPaMPa
lphp
l==
=+
reemplazando
( )25365 1000,51000,100,100,100
00,100000,100,12
11000,5
70,0yym
mN
mcm
gkg
cmsg
ym
sm
u
=
( )256 1000,511000,20100,1400 yymms
ys
u = 26 11000,20100,400 y
msy
su +=
( )2565 1000,111000,201000,1100,400 mms
ms
u +=
smu 00,200=
El esfuerzo de corte ser
dydu =
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 3
entonces
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mmsms
kgsms
kgdydu 5611 1000,111000,1000,1000,1100,40000,1000,1 +==
Pa00,25=
La fuerza total ser
( )26 5,04
1015,015,005,000,25 mPaxmmPapAAF TCT +=+=
NFT 90,294=
Ejercicio 5-4 Determnese la fuerza sobre el pistn de la figura debido al corte, y la fuga de la cmara de presin para U = 0.
UF50 mm dim.
e = 0,05 mm
0,15 MPa
= 1 poise
150 mm
Resolucin
mmPaAF CC 15,005,000,25 ==
NFC 59,0= El caudal ser
( ) 3121 ahp
lq +
= reemplazando
( )smm
mN
mskg
q2
7353
6 10042,11000,51000,110,012
1 =
=
smmDqQ
2710042,105,0 ==
smQ
3810636,1 =
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Ejercicio 5-27 Calclese el dimetro del tubo vertical necesario para el flujo de un lquido a R = 1400 cuando la presin permanece constante y = 1,5 m2/s. Resolucin A partir de HagenPoiseuille
LDpQ
128
4=
LDpvA
128
4=
LDpDv
1284
42 =
LpDv 32
2= Adems
1400Re == vD
entonces
Dv 1400=
reemplazando
LpD
D
321400 2=
LpD
2
3
321400
=
Adems como el tubo es vertical
gLp ==
reemplazando
2
3
321400
gD=
32
32
2 144800 gDgD ==
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 5
3
2 44800g
D =
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3
2
226
806,9
448001050,1
smsm
D
=
mmD 17,2=
Ejercicio 5-28 Calclese la descarga del sistema de la figura despreciando todas las prdidas excepto las del tubo.
= 55 lb/ft
= 0.1 Poise
14 in dim.
16 ft
20 ft
Resolucin
= 55 lb/ft
= 0.1 Poise
14 in dim.
16 ft
20 ft
1
2 Datum
La prdida de carga entre 1 y 2 ser
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 6
22
11 hPhP +=+
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reemplazando
121
121 hPPhPP +=+
donde
hPP =21
entonces hPPP == 21
ahora
( ) ( )L
hhL
hhhP 11 +=+=+ l
reemplazando
( )( )
3
3
75,6800,16
00,1600,400,55
ftlb
ft
ftftftlb
hP =+
=+ l
Al sustituir en la ecuacin de HagenPoiseuille
LDpQ
128
4=
sft
Poisesft
slug
Poise
inftin
ftlb
Q3
4
3
00152,0
479
00,110,0128
00,1200,1
4175,68
=
=
sftQ
3
00152,0= Ejercicio 5-29 En la figura, H = 24 m, L = 40 m, = 30 , D = 8 mm, = 10 kN/m3 y = 0,08 kg/ms. Encuntrese la prdida de carga por unidad de longitud del tubo y la descarga en litros por minuto.
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 7
L
D
H
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Resolucin La prdida de carga entre 1 y 2 ser
( )LHhP =+
l
reemplazando
( ) 33 00,600,4000,2410
mkN
m
mmkN
hP ==+ l
( ) 300,6 mkNhP =+
l
La descarga ser a partir de HagenPoiseuille
LDpQ
128
4=
( )
smkg
mkNN
mkN
Q
=
08,0128
008,000,1
00,100000,6 43
min45,0
00,100,1000
00,100,601054,7
3
3
336 dm
mdm
ms
smQ ==
min45,0
3dmQ = Ejercicio 5-30 En la figura y problema anterior encuntrese H si la velocidad es 0,1 m/s.
L
D
H
Resolucin A partir de HagenPoiseuille
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 8
LDpQ
128
4=
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LDpvA
128
4=
LDpDv
1284
42 =
LpDv 32
2= Adems
( )LH
LPhP ==+
l
reemplazando
LHDv
32
2
= despejando
2
32DLvH
=
( ) mmkNN
mkN
smm
smkg
H 00,16008,0
00,100,100000,10
10,000,4008,032
23
=
=
mH 00,16=
Ejercicio 5-63 Qu dimetro para un tubo limpio de hierro galvanizado tiene el mismo factor de friccin para R = 100000 que un tubo de hierro fundido de 300 mm de dimetro ? Resolucin Para el tubo de hierro fundido tenemos
1000001 == VDRe
Suponiendo que el fluido es agua, entonces = 1,00 x 10-5 entonces
sm
msm
DR
V e 33,03,0
1000,11000002
6
1
=
==
Ingresando al baco de Moody para Re = 100000 = 1,00 x 105 obtenemos 0215,0=f
A partir de la ecuacin de Colebrook
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 9
2
9,0
74,57,3
ln
325,1
+
=
eRD
f
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2
9,09,0
9,074,57,3
ln
325,1
+
=
DvD
f
iteramos hasta encontrar D2, esto es
D 5.74v0,9 0,9D0,9 5.74v0,9
0,9D0,9 /3,7D 9,09,09,074,5
7,3 DvD + ln () [ln ()]2 f
0,1500 0,00002 0,5359 0,0000 0,0002 0,0003 0,0003 -8,0696 65,1182 0,0203 0,1100 0,00002 0,4054 0,0001 0,0002 0,0004 0,0004 -7,7636 60,2735 0,0220 0,1000 0,00002 0,3720 0,0001 0,0002 0,0004 0,0005 -7,6696 58,8220 0,0225 0,1200 0,00002 0,4384 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 -7,8495 61,6140 0,0215
Finalmente
mmD 120=
Ejercicio 5-67 Se va a bombear agua a 20 C en 1 km de tubo de hierro forjado con 200 mm de dimetro a la velocidad de 60 L/s. Calclese la prdida de carga y la potencia requerida. Resolucin
DQD
DQD
AQVDRe
4
4
2 ====
reemplazando
86,3819711000,120,0
00,100000,100,604
42
6
3
33
=
==
smm
dmm
sdm
DQRe
Como Re es mayor que 5000 se puede aplicar la ecuacin de Colebrook, entonces
2
9,0
74,57,3
ln
325,1
+
=
eRD
f
donde para el hierro forjado = 0,046 mm, reemplazando
2
9,086,38197174,5
2007,3046,0ln
325,1
+
=
mmmm
f
016,0=f Por la frmula de Darcy-Weisbach a prdida de carga ser
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 10
gv
DLfh f 2
2
=
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gAQ
DLfh f 2
12
2
=
gD
QDLfh f 2
1
4
22
2
=
gDLQfh f 2
1652
2
= reemplazando
( ) 252
2
3
33
806,9220,0
00,100000,100,6000,100016
016,0
smm
dmm
sdmm
hf
=
mhf 02,15=
La potencia requerida ser QhP =
reemplazando
msm
mNP 02,1506,000,9806
3
3=
WattP 50,8836= Ejercicio 5-83 Qu medida de tubo hierro fundido nuevo se necesita para transportar 400 L/s de agua a 25 C un kilmetro con prdida de carga de 2 m? sese el diagrama de Moody y la ecuacin (5.8.18) Resolucin Proponemos un dimetro, calculamos el nmero de Reynolds, luego el factor de friccin a travs del grfico de Moody o la ecuacin de Colebrook y lo verificamos calculando la prdida de carga con la ecuacin de Darcy-Weisbach.
D Q Re 5.74 Re0,9 /3,7D 9.074,5
7,3 eRD+ ln () [ln ()]2 f hf
0,500 0,40 0,0000009 1131768,48 0,00002 0,00025 0,00014 0,00016 -8,77 76,88 0,02 7,29 0,600 0,40 0,0000009 943140,40 0,00002 0,00025 0,00011 0,00014 -8,90 79,17 0,02 2,85 0,620 0,40 0,0000009 912716,52 0,00002 0,00025 0,00011 0,00013 -8,92 79,55 0,02 2,40 0,640 0,40 0,0000009 884194,13 0,00003 0,00025 0,00011 0,00013 -8,94 79,92 0,02 2,04 0,650 0,40 0,0000009 870591,14 0,00003 0,00025 0,00010 0,00013 -8,95 80,09 0,02 1,89 0,645 0,40 0,0000009 877339,91 0,00003 0,00025 0,00010 0,00013 -8,94 80,00 0,02 1,96 0,643 0,40 0,0000009 880753,68 0,00003 0,00025 0,00011 0,00013 -8,94 79,96 0,02 2,00
mmD 643=
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 11
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Utilizando la ecuacin (5.8.18) tenemos 04,02,5
4.9
75.42
25.166.0
+
=
ff ghLQ
ghLQD
reemplazando 04,0
2,5
2
4.9326
75.4
2
23
25.1
00,2806,9
00,100040.01000,100,2806,9
40,000,100000025.066.0
+
= m
sm
msm
sm
msm
smm
mD
mD 654,0=
mmD 654=
Ejercicio 5-90 Calclese el valor H de la figura para 125 L/s de agua a 15 C en un tubo de acero comercial. Inclyanse las prdidas menores.
H
30 m 30 cm dim
Resolucin
H
30 m 30 cm dimDatum 21
Planteando la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos
fhgvzP
gvzP +++=++
22
22
22
21
11
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 12
reemplazando y despejando
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gvK
DLfKPP sb 2
2221
++=
gvK
DLfKH sb 2
22
++=
El nmero de Reynolds ser
48,5305161000,130,000,1000
00,100,12544
6
3
33
=
== mdmm
sdm
DQRe
como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuacin de Colebrook
2
9,0
74,57,3
ln
325,1
+
=
eRD
f
reemplazando
015,0
48,53051674,5
30,07,31060,4ln
325,12
9,0
5=
+
=
mm
f
reemplazando en
gAQK
DLfKH sb 22
2
++=
gDQK
DLfKH sb 42
28
++=
obtenemos
( ) =
++=2
42
23
806,930,0
125,0800,1
30,000,30015,050,0
smm
sm
mmH
mH 48,0= Ejercicio 5-94 Una lnea de agua que conecta dos depsitos a 70 F tiene 5000 ft de tubo de acero de 24 in de dimetro, tres codos estndar, una vlvula de globo y un tubo de alimentacin con reentrada, Cul es la diferencia de alturas de los depsitos para 20 ft3/s? Resolucin
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H
1
2
Vlvula de globo
Datum
Planteando la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos
HpgvhP
gvhP +++=++
22
22
22
21
11
reemplazando y despejando
gvKKK
DLfKH svce 2
322
++++=
El nmero de Reynolds ser
49,11574901010,1
00,1200,100,24
00,20442
5
3
=
==
sft
inftin
sft
DQRe
como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuacin de Colebrook
2
9,0
74,57,3
ln
325,1
+
=
eRD
f
reemplazando
013,0
49,115749074,5
27,300015,0ln
325,12
9,0
=
+
=
ftft
f
reemplazando en
gDQKKK
DLfKH svce 42
283
++++= obtenemos
( ) =
++++=
242
23
174,3200,2
00,20811090,03
00,200,5000013,080,0
sftft
sft
ftftH
ftH 50,29=
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Ejercicio 5-98 Encuntrese H de la figura para 200 gpm de flujo de aceite, = 0,1 P, = 60 lb/ft3 para la vlvula en ngulo totalmente abierta.
210 ft 3 in dim
Tubo de acero
Vlvula angular
H
Resolucin
210 ft 3 in dim
Tubo de acero
Vlvula angular
H
1
2Datum
Planteando la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos
HpgvhP
gvhP +++=++
22
22
22
21
11
reemplazando y despejando
gvKK
DLfKH sve 2
22
+++=
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 15
El nmero de Reynolds ser
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97,21088
479
00,110,0
00,1200,100,3
94,1
min83,448
00,1
min00,2004
43
3
=
==
Poisesft
slug
Poiseinftin
ftslug
galsft
gal
DQRe
como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuacin de Colebrook
2
9,0
74,57,3
ln
325,1
+
=
eRD
f
reemplazando
027,0
97,2108874,5
25,07,300015,0ln
325,12
9,0
=
+
=
ftft
f
reemplazando en
gDQKK
DLfKH sve 42
28
+++=
obtenemos
( ) =
+++=
242
23
174,3225,0
min83,448
00,1
min00,2008
00,100,525,000,210027,050,0
sftft
galsft
gal
ftftH
ftH 29,37= Ejercicio 5-104 El sistema de bombeo de la figura tiene una curva de descarga-carga de la bomba H = 40 24Q2 con la carga en metros y la descarga en metros cbicos por segundo. Las longitudes de los tubos incluyen correccin para prdidas menores. Determnese el flujo del sistema en litros por segundo. Para una eficiencia de bombeo del sistema de 72 % determnese la potencia requerida. La bomba requiere una carga de succin de por lo menos 1/2 atm, para evitar la cavitacin. Cul es la descarga mxima y potencia requerida para alcanzar este mximo?
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200 m 500 mm dim- Acero500
m 40
0 mm d
im- Ac
ero
P
Agua 20 C
Pump. Elev. = 0
El = 1 m
El = 31 m
Resolucin Planteando la ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos
HpgvhPH
gvhP B +++=+++ 22
22
22
21
11
reemplazando
HphHh B +=+ 21
gv
DLf
gv
DLfHhh B 22
22
2
22
21
1
1121
+
=+
Por la ecuacin de continuidad
gDQ
DLf
gDQ
DLfHhh B 4
2
2
2
224
1
2
1
1121
88
+
=+
gDQ
DLf
gDQ
DLfQhh 4
2
2
2
224
1
2
1
11
221
882440
+
=+
2422
224
11
1121 24
8840 QgDD
LfgDD
Lfhh
+
+
=+
+
+
+=2488
40
422
224
11
11
21
gDDLf
gDDLf
hhQ
Para encontrar f debemos proponer un caudal, encontrar el nmero de Reynolds, calcular f por la ecuacin de Colebrook, luego se calcula el caudal y se verfica el nmero de Reynolds.
Q [m3/s] Re1 Re2 f1 f2 Q [m3/s] 1,0000 2546479,11 3183098,89 0,0126 0,0129 0,2193 0,2200 560225,40 700281,76 0,0142 0,0141 0,2099 0,2100 534760,61 668450,77 0,0143 0,0142 0,2095 0,2095 533487,37 666859,22 0,0143 0,0142 0,2095
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 5 17
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sdmQ
3
5,209= La potencia ser
QhP = reemplazando ( ) 22440 QQP =
32440 QQP = 33
3
3
3 2095,072,000,1000242095,072,000,100040
=
sm
mkg
sm
mkgP
kWattP 87,5=
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Captulo 6: Flujos externos Desarrollo terico Capa lmite laminar Se propone
===y
UuF
Reemplazando en
( )
= h dyuUux 00 Obtenemos
=1
02
22
0 dUuuU
xU
=
1
0
20 1 dU
uUu
xU
( ) =1
0
20 1 dxU
xU
= 20 166,0 De la ley de viscosidad de Newton
00
==
yyu
Cambiando las variables
00
==
FU
Entonces
U=0
Reemplazando
xUU
= 2166,0
Separando las variables
=2166,0 UxU
Integrando tenemos
2166,0
2 Ux = Despejando
MECNICA DE LOS FLUIDOS CAPTULO 6 1
xUx
083,01=
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Resolviendo
2/1
46,3
xRx=
Capa lmite turbulenta Se propone
71
71
=
== yUuF
Reemplazando en
( )
= h dyuUux 00 Obtenemos
=1
0
71
71
20 1 dxU
xU
= 20 727
De la ley de viscosidad de Newton
00
==
yyu
Cambiando las variables ( )
=
710
FU
Entonces
41
20 0228,0
= U
U
igualando
xU
UU
=
24
1
2
7270228,0
Separando las variables
= 254,441
41
41
xU
Integrando tenemos
45
41
41
54254,4 Ux =
45
41
41
4032,3 Ux =
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Despejando
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41
41
45
4032,3 U
x =
54
41
41
4032,3
=
U
x
Resolviendo
xx 51
Re
375,0= Ejercicio propuesto en clase. Barrilete
T = 25 N
45
U = 40 km/h
A = 1 m
30
Resolucin El arrastre ser
DD AUCD2
2= Despejando
DD AU
DC 22
= Reemplazando
47,03000,127,000,4023,1
4500,252
22
3
=
=
senmkmsmh
hkm
mkg
NsenCD
47,0=DC
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La sustentacin ser
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LL AUCL2
2= Despejando
LL AU
DC 22
= Reemplazando
27,030cos00,127,000,4023,1
45cos00,252
22
3
=
=
mkmsmh
hkm
mkg
NCL