Rev. Int. Met. Num. Calc. Dis. Ing.Vol. 19, 3, 341–362 (2003)

Revista Internacional deMetodos Numericos para

Calculo y Diseno en Ingenierıa

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccionde paredes delgadasMarcelo T. Piovan y Vıctor H. CortınezGrupo Analisis de Sistemas MecanicosUniversidad Tecnologica Nacional, FRBB11 de Abril 461, 8000 Bahıa Blanca, ArgentinaTel.: 54-291-455 52 20; Fax: 54-291-455 53 11e-mail: mpiovan@frbb.utn.edu.ar, vcortine@frbb.utn.edu.ar

Resumen

En este trabajo se presenta un modelo teorico para el analisis estructural estatico de vigas curvas anisotropascon secciones de pared delgada. El modelo incorpora de manera completa la flexibilidad de corte, la cual sediscrimina en corte debido a flexion y corte debido a alabeo no uniforme. Asimismo, el modelo se concibepara secciones arbitrarias tanto abiertas como cerradas. Se introduce un nuevo elemento finito de viga curvade clase C0, el cual se desarrolla a partir de la imposicion de un campo de deformaciones constante enel elemento. Con este elemento se efectuan estudios parametricos que ponen de manifiesto la importanciade los efectos de corte por flexion y alabeo considerados, junto con la evaluacion de diferentes clases deacoplamientos constitutivos, en problemas de estatica de vigas curvas.

MECHANICS OF ANISOTROPIC CURVED-BEAMS WITH THIN-WALLED SECTIONS

Summary

In this paper a theoretical model for static structural analysis of thin-walled anisotropic curved-beams isintroduced. The model includes in a complete and unified fashion the shear flexibility effect due to bothflexure and non-uniform warping. The model is also conceived to evaluate arbitrary open or closed cross-sections. A C(0)-type finite element is introduced. This strain element is based on the assumption of aconstant strain field. Parametric studies are performed with the element in order to evaluate the importanceof the considered shear effects as well as constitutive couplings, in the static analysis of curved beam structuresmade of composites.

INTRODUCCION

Las vigas de pared delgada son frecuentemente utilizadas en estructuras civiles, mecanicasy aerospaciales por sus excelentes propiedades de rigidez y resistencia en relacion con su peso.Estas cualidades resultan incrementadas con el uso de materiales compuestos laminados.Consecuentemente, en los ultimos anos se ha visto intensificada la investigacion tendiente aldesarrollo de modelos teoricos y computacionales confiables para predecir el comportamientoestructural de los mencionados elementos.

c©Universitat Politecnica de Catalunya (Espana). ISSN: 0213–1315 Recibido: Abril 2002 Aceptado: Julio 2002

342 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

Bauld y Tzeng1 desarrollaron un modelo matematico de vigas rectas de paredes delgadasextendiendo la Teorıa de Vlasov para materiales laminados compuestos. Tales teorıas noconsideran la deformabilidad por corte. Por otro lado Song y Librescu2 estudiaron algunosaspectos de la influencia de la deformabilidad por corte en la dinamica de vigas rectas deparedes delgadas con seccion cerrada construidas con materiales compuestos laminados. Sinembargo, su modelo matematico no tiene en cuenta el efecto de flexibilidad de corte poralabeo torsional no uniforme, que en algunos casos reviste importancia decisiva. Cortınez yRossi3 presentaron una nueva teorıa que incluye los mencionados efectos aunque para vigasrectas isotropas.

Aparentemente para el caso de vigas curvas de paredes delgadas construidas con mate-riales isotropos los artıculos de Gendy y Saleeb4, Cortınez, Piovan y Rossi5,6,7 y Hu, Hu ycolaboradores8 son los unicos que consideran la deformabilidad por corte en forma completa.Por otro lado, Palani y Rajasekaran9 han desarrollado un analisis de estabilidad para vigascurvas de pared delgada construidas con materiales laminados, pero despreciando efectosde corte. De todas maneras muy pocos trabajos han considerado la mecanica de vigascurvas de pared delgada construidas con materiales compuestos teniendo en cuenta la flexi-bilidad por corte de alabeo ademas del corte flexional. En este sentido, Cortınez y Piovan10

y Cortınez Piovan y Machado11 desarrollaron un modelo que considera la flexibilidad porcorte en forma completa en vigas curvas construidas con materiales compuestos laminados,que permite evaluar la mecanica del movimiento fuera del plano. Sin embargo, el mode-lo descrito en las referencias 10 y 11 es valido estrictamente para los casos de laminacionsimetrica balanceada o especialmente ortotropa.

En este artıculo se presenta un modelo teorico que amplıa la formulacion cinematica, cons-titutiva y los alcances en cuanto aplicaciones de un modelo previo de los autores10,11. Lasecuaciones diferenciales de equilibrio se obtienen a partir de una formulacion del principiode trabajos virtuales. En la formulacion cinematica se incluye efectos como la deformacionpor corte en el espesor de la pared seccional y el alabeo secundario que otros modelos suelendespreciar. Estos efectos pueden adquirir una influencia no soslayable en ciertas configura-ciones de geometrıa seccional ası como tambien en diferentes esquemas de laminacion. Parapermitir el empleo del modelo en los casos de gran curvatura se ha incluido apropiadamenteel efecto de curvatura tanto en las deformaciones como en los terminos de la expresion delprincipio de trabajos virtuales.

Con el fin de analizar la mecanica de la viga curva flexible por corte y ponderar la influ-encia de los distintos acoplamientos constitutivos generados por la utilizacion de laminadosgenerales, se emplea un elemento finito de clase C(0) de dos nodos. En este elemento, lasfunciones de forma se obtienen a partir de suponer constantes las componentes del campode deformaciones.

DESARROLLO TEORICO

Hipotesis y expresiones cinematicas

Se considera una viga compuesta de pared delgada de eje curvo como la representada enla Figura 1. En la Figura 2 se distingue para una seccion generica el sistema de referenciaprimario {C : x, y, z} y el sistema de referencia secundario {A : x, s, n} solidario a la lıneamedia de la pared de la seccion. El sistema de referencia primario se encuentra ubicadoen el centro geometrico de la seccion. Sin embargo, para otorgarle mayor generalidad a laformulacion los ejes {y, z} no son necesariamente principales de inercia.

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 343

Las siguientes suposiciones basicas se efectuaron con el proposito de desarrollar lasecuaciones gobernantes de la estructura considerada:

1. La seccion se considera indeformable en su plano.2. Las deformaciones εxx, εxy y εxz se admiten como las mas representativas. Las restantescomponentes del tensor de deformaciones se suponen despreciables.

3. Las tensiones σxx, σxy y σxz son las mas importantes, despreciandose la influencia de lasrestantes componentes del tensor de tensiones.

4. La funcion de alabeo se describe mediante dos componentes: funcion de alabeo primarioy funcion de alabeo secundario o en el espesor.

5. Se desprecia la variacion de la curvatura sobre el espesor.

Figura 1. Descripcion del elemento estructural (particularizado para una seccion cajon)

Figura 2. Descripcion de la geometrıa de una seccion generica

344 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

De acuerdo a las anteriores consideraciones es posible expresar el campo de desplaza-mientos en la forma6,10

uLx (x, y, z) = uxc(x)− y

(θz(x)− uxc(x)

R

)− zθy(x)− ω

(θx(x)− θy(x)

R

)(1.a)

uLy (x, y, z) = uyc(x)− zφx(x) (1.b)

uLz (x, y, z) = uzc(x) + yφx(x) (1.c)

Donde uxc, uyc, uzc son los desplazamientos del centro de referencia C en las direccionesx, y y z, φx es la rotacion torsional, θz y θy son las rotaciones flexionales con respecto alos ejes z e y, θx es una funcion que mide la intensidad del alabeo torsional, R el radiocorrespondiente al centro de referencia, ω(s, n) la funcion de alabeo normalizada respectodel centro de referencia C y discriminada en alabeo primario y secundario segun como serepresenta en la siguiente expresion.

ω(s, n) = ωP (s) + ωS(s, n) (2)

ωP (s) =∫ s

s0

[r(s)−Ψ(s)] ds−DNC (3.a)

siendo

ωS(s, n) = nl(s) (3.b)

donde DNC , r(s) y l(s) vienen dados por

DNC ={∮ [∫ s

s0

(r(s)−Ψ(s) ds]ds

}/(∮ds

)(4)

r(s) = Z(s)dYds

− Y (s)dZds

l(s) = Y (s)dYds

+ Z(s)dZds

(5)

DNC es una constante de normalizacion de la funcion de alabeo al centro de referencia.De tal forma que la funcion de alabeo normalizada permite asegurar que el momento deprimer orden de ω en el area seccional sea nulo4,12. Ψ es una funcion que representa ladeformacion transversal en la lınea media de la pared seccional de acuerdo a la teorıa deSaint Venant12. Ψ se define y emplea en una manera analoga a la utilizada en la funcion dealabeo introducida por Smith y Chopra13 con el objeto de admitir distintos laminados a lolargo del perımetro de la seccion. En el caso de una seccion abierta el valor de Ψ es nulo.En tanto que la relacion entre el sistema de referencia primario y el sistema de referenciasecundario se describe segun

y(s) = Y (s)− ndZds

z(s) = Z(s) + ndYds

(6)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 345

El estado de deformaciones segun la hipotesis 2) para una viga curva se define de acuerdocon las siguientes expresiones14

εxx =(∂uL

x

∂x+

uLy

R

)F (7.a)

γxy = 2εxy =(∂uL

y

∂x− uL

y

R

)F +

∂uLx

∂y(7.b)

γxz = 2εxz =(∂uL

z

∂xF +

∂uLx

∂z

)(7.c)

con F definido como

F =R

R+ y(8)

De tal manera que reemplazando las expresiones (1) en (7), se obtienen las siguientesexpresiones de las componentes de deformacion

εxx =[(

∂uxc

∂x+

uyc

R

)− y

(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

)− z

(∂θy

∂x+

φx

R

)− ω

(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)]F

(9.a)

γxy = 2εxy =[(

∂uyc

∂x− θz

)−

(z +

∂ω

∂y

)(∂φx

∂x− θy

R

)+

∂ω

∂y

(∂φx

∂x− θx

)]F (9.b)

γxz = 2εxz =[(

∂uzc

∂x− θy

)+

(y − ∂ω

∂z

) (∂φx

∂x− θy

R

)+

∂ω

∂z

(∂φx

∂x− θx

)]F (9.c)

Por otro lado las expresiones (9) se pueden representar segun el sistema de referenciasecundario en terminos de deformaciones de tipo placa. De forma tal que

εxx = ε(0)xx + nε(1)

xx (10.a)

γxs = 2εxs = γ(0)xs + nγ(1)

xs (10.b)

γxn = 2εxn = γ(0)xn (10.c)

siendo

ε(0)xx =

[(∂uxc

∂x+

uyc

R

)− Y (s)

(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

)− Z(s)

(∂θy

∂x+

φx

R

)−

−ωP (s)(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)]F

(11.a)

ε(1)xx =

[(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

)dZds

−(∂θy

∂x+

φx

R

)dYds

−(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)l(s)

]F (11.b)

346 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

γ(0)xs =

[(∂uyc

∂x− θz

)dYds

+(∂uzc

∂x− θy

)dZds

+ (r(s) + Ψ)(∂φx

∂x− θx

)+

+Ψ(∂φx

∂x− θy

R

)]F

(11.c)

γ(0)xn =

[−

(∂uyc

∂x− θz

)dZds

+(∂uzc

∂x− θy

)dYds

+ l(s)(∂φx

∂x− θx

)]F (11.d)

γ(1)xs =

[−2

(∂φx

∂x− θy

R

)+

(∂φx

∂x− θx

)]F (11.e)

de acuerdo con la hipotesis (5), F se aproxima segun la siguiente forma

F ∼= 1− χ1

Y (s)R

+ χ2

Y (s)2

R2(12)

donde χ1 y χ2 son coeficientes, cuyos valores son uno o cero para admitir o anular losefectos de curvatura. Es claro que la anulacion de ambos coeficientes implica la reduccional modelo simplificado que no considera efectos de curvatura10,11 en tanto que la anulacionde χ2 implica una reduccion a la aproximacion de primer orden del efecto de curvatura.

Expresion unidimensional del principio de trabajos virtuales

Para un problema de equilibrio estatico la ecuacion de trabajos virtuales se puededescribir en la siguiente forma

TTOTAL = T(1) +T(2) = 0 (13)donde

T(1) =∫

V

[σxxδεxx + 2σxsδεxs + 2σxnδεxn]dAFdx (14.a)

T(2) = −∫

V

[XxδuLx + Xyδu

Ly + Xzδu

Lz ]dAFdx (14.b)

En (14) las Xx, Xy y Xz corresponden a fuerzas por unidad de volumen que actuan enlas direcciones x, y, y z.

Reemplazando ahora (1) y (11) en (13) y (14) se obtienen las siguientes expresiones deltrabajo virtual de las deformaciones lineales y el trabajo virtual de las fuerzas externas

T(1) =∫

L

[QXδ

(∂uxc

∂x+

uyc

R

)−MZδ

(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

)−MY δ

(∂θy

∂x+

φx

R

)]dx+

+∫

L

[−Bδ

(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)+QY δ

(∂uyc

∂x− θz

)+QZδ

(∂uzc

∂x− θy

)]dx+

+∫

L

[+TW δ

(∂φx

∂x− θx

)+ TSV δ

(∂φx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)]dx

(15)

T(2) = −∫

L

pδΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛdx (16)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 347

En (15) se definen las siguientes cantidades en terminos de las resultantes de tension enel espesor

QX =∫

S

Nxx ds (17.a)

QY =∫

S

(Nxs

dYds

−Nxn

dZds

)ds (17.b)

QZ =∫

S

(Nxs

dZds

+Nxn

dYds

)ds (17.c)

MY =∫

S

(NxxZ +Mxx

dYds

)ds (17.d)

MZ =∫

S

(NxxY −Mxx

dZds

)ds (17.e)

B =∫

S

(NxxωP +Mxxl(s)) ds (17.f)

TW =∫

S

[Nxs(r −Ψ) +Nxnl(s) +Mxs] ds (17.g)

TSV =∫

S

(NxsΨ− 2Mxs) ds (17.h)

MX = TSV = TW (17.i)

Las resultantes de tension en el espesor se definen segun la referencia 15 como

{Nxx,Nxs,Nxn} =∫ e/2

−e/2

{σxx, σxs, σxn}dn (18.a)

{Mxx,Mxs} =∫ e/2

−e/2

{σxx, σxs}ndn (18.b)

Las expresiones (17) se pueden identificar claramente como los esfuerzos en el area. Detal manera que QX es el esfuerzo axial en la direccion circunferencial de la viga, QY y QZ

son los esfuerzos de corte en las direcciones y y z respectivamente, B es el bimomento, MY

y MZ son los momentos flectores en las direcciones y y z respectivamente, TW y TSV son elmomento flexo–torsor y el momento de torsion pura o de Saint Venant.

Por otro lado, en el vector p se definen las cargas por unidad de longitud y en el vectorΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ se definen los desplazamientos generalizados, segun las siguientes expresiones

p = {qx(x, t), qy(x, t),mz(x, t), qz(x, t),my(x, t),mx(x, t),mw(x, t)} =

=∫

A

{XxF, Xy,−Xxy, Xz,−Xxz,−Xyz,−Xxω} 1FdA

(19.a)

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ = {uxc, uyc, θz , uzc, θy, φx, θx} (19.b)

348 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

donde qx, qy y qz son fuerzas externas por unidad de longitud en las direcciones x, y, zrespectivamente, mx, my y mz son momentos externos por unidad de longitud con respectoa los ejes x, y, z respectivamente y mw es el bimomento externo por unidad de longitud. Enel caso de existir cargas puntuales, o bien cargas superficiales, las mismas se contemplaranmediante el empleo de multiplicadores delta de Kronecker en los puntos de aplicacion de lascargas.

Ecuaciones constitutivas para las resultantes de tension

Las paredes en la seccion de la viga estan constituidas por un numero finito de laminasperfectamente adheridas entre sı. El material constituyente de cada lamina es elastico yortotropo de manera tal que las ecuaciones constitutivas para las resultantes de tensionesen el espesor (18) pueden expresarse en la forma

Nxx

Nxs

Nxn

Mxx

Mxs

=

A11 A16 0 B11 B16

A16 A66 0 B16 B66

0 0 A(H)55 0 0

B11 B16 0 D11 D16

B16 B66 0 D16 D66

=

ε(0)xx

γ(0)xs

γ(0)xn

ε(1)xx

γ(1)xs

(20)

Para la obtencion de las constantes elasticas Aij , Bij , dij (i, j = 1, 6) y A(H)55 en (20)

se ha supuesto que los esfuerzos Nss = Nsn = Mss = 0 para luego despejar ε(0)ss y ε(1)

ss enterminos de ε(0)

xx , ε(1)xx , γ

(0)xs , γ

(1)xs y γ(0)

xn . Se comprendera que ε(0)ss , ε

(0)ss y γ(0)

xs correspondena deformaciones en el plano de la placa, ε(1)

xx , ε(1)ss y γ(1)

xs corresponden a las curvaturas dela placa y γ(0)

xn corresponde a la deformacion transversal en el espesor de la placa, segun sepuede seguir de acuerdo con la referencia 15.

Las ecuaciones constitutivas de los esfuerzos de viga en terminos de las deformacionesgeneralizadas se pueden obtener sustituyendo (20) en (18). De tal forma que en terminosgenerales las expresiones constitutivas de los esfuerzos de viga en funcion de las deforma-ciones generalizadas vienen dadas por:

Q = J∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ (21)

donde Q es el vector de esfuerzos generalizados de viga, ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ el vector de deformacionesgeneralizadas y J la matriz constitutiva

Q = {QX ,MY ,MZ , B,QY , QZ , TW , TSV }T (22)

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ ={(

∂uxc

∂x+

uyc

R

),−

(∂θy

∂x+

φx

R

),−

(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

),−

(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

),

(∂uyc

∂x− θz

),

(∂uzc

∂x− θy

),

(∂φx

∂x− θx

),

(∂φx

∂x− θy

R

)}T(23)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 349

J =

J1111 J11

12 J1113 J11

14 J1615 J16

16 J1617 J16

18

J1122 J11

23 J1124 J16

25 J1626 J16

27 J1628

J1133 J11

34 J1635 J16

36 J1637 J16

38

J1144 J16

45 J1646 J16

47 J1648

J6655 J66

56 J6657 J66

58

sim J6666 J66

67 J6668

J6677 J66

78

J6688

(24)

Mientras que los elementos de la matriz constitutiva J se obtienen segun la siguienteexpresion

Jkhij =

∫S

Akh(g(a)i g

(a)j )F ds+

∫S

A(H)55 (g

(b)i g

(b)j )F ds +

+∫

S

Bkh(g(a)i g

(c)j + g

(c)i g

(a)j )F ds+

∫S

Dkh(g(c)i g

(c)j )F ds

(25)

con

g(a) ={1, Z, Y, ωP ,

dYds

,dZds

, r −Ψ,Ψ}

(26.a)

g(b) ={0, 0, 0, 0,

dZds

,−dYds

,−l(s), 0}

(26.b)

g(c) ={0,dYds

,−dZds

, l(s), 0, 0, 1,−2}

(26.c)

y con F definido segun la expresion (12).

Ecuaciones de equilibrio estatico

Las ecuaciones diferenciales de equilibrio se pueden obtener aplicando las tecnicas conven-cionales del calculo de variaciones sobre la expresion (13) teniendo en cuenta las expresiones(15) y (16). Ası pues, operando de la forma mencionada, se llega a

−∂QX

∂x− 1

R

∂MZ

∂x− qx = 0 (27.a)

−∂QY

∂x− QX

R− qy = 0 (27.b)

∂MZ

∂x−QY −mz = 0 (27.c)

−∂QZ

∂x− qz = 0 (27.d)

∂MY

∂x−QZ − 1

R

(∂B

∂x− ∂TSV

∂x

)−my = 0 (27.e)

350 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

−(∂TSV

∂x+

∂TW

∂x

)−mx = 0 (27.f)

∂B

∂x− TW −mw = 0 (27.g)

sujetas a las siguientes condiciones de borde en los extremos x = 0 y x = L(QX +

MZ

R

)= 0 o δuxc = 0 (28.a)

QY = 0 o δuyc = 0 (28.b)

−MZ = 0 o δθz = 0 (28.c)

QZ = 0 o δuzc = 0 (28.d)

−(MY − B

R

)= 0 o δθy = 0 (28.e)

MX = 0 o δφx = 0 (28.f)

−B = 0 o δθx = 0 (28.g)

Las ecuaciones (27) se pueden desacoplar en tanto que se fijen las condiciones necesariasen dos subsistemas de ecuaciones identificados como: movimiento en el plano y movimientofuera del plano. Estos movimientos se deben interpretar como contenidos en el planode curvatura del miembro estructural (plano π de la Figura 1) y normales al mismo,respectivamente. Las condiciones necesarias para desacoplar las ecuaciones (27) son enel caso de materiales isotropos, la doble simetrıa seccional, o en su defecto, la simetrıarespecto del plano de curvatura; en tanto que para materiales compuestos, ademas de lasanteriores condiciones, es necesario que los laminados de cada segmento sean simetricosy balanceados o bien que presenten propiedades simetricas respecto del plano π. De estamanera, el movimiento “en el plano” queda definido por las ecuaciones (27.a,b,c) y suscorrespondientes condiciones de borde. En tanto que el movimiento “fuera del plano” quedadefinido por las ecuaciones (27.d,e,f,g) con sus respectivas condiciones de borde.

FORMULACION DE ELEMENTOS FINITOS

Desarrollo del elemento finito de deformacion constante

Para conveniencia y simplicidad en la descripcion de las ecuaciones de elementos finitos,las expresiones T(1) y T(2) segun (15) y (16) se pueden representar de la siguiente forma

T(1) =Ne∑e=1

T(e)

(1) (29.a)

T(2) =Ne∑e=1

T(e)(2) (29.b)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 351

siendo Ne la cantidad de elementos, en tanto que T(e)(1) y T(e)

(2) tienen la misma forma que(15) y (16) respectivamente y corresponden al aporte energetico de cada elemento. Ası pues,T(e)

(1) se puede describir en la conocida forma matricial

T(e)(1) =

∫ 1

0

[δ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆e]TJ∆eledx = [δQe]TKeQe (30.a)

T(e)(2) =

∫ 1

0

[δΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛe]Tpledx = [δQe]TPe (30.b)

donde le es la longitud del elemento curvo, en el cual se define variable intrınseca x ∈ [0, 1]como

x =x

le(31)

donde Ke y Pe son la matriz de rigidez y el vector de cargas nodales del elemento, respec-tivamente, J es la matriz constitutiva definida en (24), ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆e el vector de deformaciones delelemento, que posee una forma similar a (23) y ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛe el vector de desplazamientos generalizadosen el elemento, definido a semejanza de la expresion (19.b). El vector de incognitas nodalesQe se define segun la siguiente expresion

Qe = {uxc1, uyc1, θz1, uzc1, θy1, φx1, θxl, uxc2, uyc2, θz2, uzc2, θy2, φx2, θx2}T (32)

La obtencion del vector ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆e requiere de las expresiones de las funciones de forma delelemento. Las funciones de forma para esta clase de elemento finito se obtienen segun elcriterio introducido originalmente por Ashwell, Sabir y Roberts16, que se basa en establecera priori una aproximacion del campo de deformaciones en el dominio del elemento.

Entonces, el elemento de dos nodos se construye admitiendo con valor constante lassiguientes componentes del vector de deformaciones generalizadas del elemento ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆e

(∂uxc

∂x+

uyc

R

)= C1,

(∂θz

∂x− 1

R

∂uxc

∂x

)= C2,

(∂θy

∂x+

φx

R

)= C3 (33.a,b)

(∂φx

∂x− θy

R

)= C4,

(∂uyc

∂x− θz

)= C5 (33.c,d)

(∂uzc

∂x− θy

)= C6,

(∂θx

∂x− 1

R

∂θy

∂x

)= C7 (33.e,f,g)

La seleccion de (33) obedece a que hay siete desplazamientos generalizados independien-tes. Consecuentemente, se emplearan en la deduccion de las funciones de forma, solo sietede las ocho componentes de deformacion generalizadas dadas en (23), siendo la restantecomponente una combinacion lineal de las (33). Luego, resolviendo el sistema de ecuacionesdiferenciales (33) en el dominio del elemento, se obtiene

Qe =[ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦP0 ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦH0

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦP1 ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦH1

]C = ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦC (34)

donde Qe es el vector de incognitas nodales (32), C un vector definido en (35) y compuestopor 14 constantes a determinar en funcion de los desplazamientos nodales Qe. Con lassubmatrices ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦH0 y ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦH1 se identifican las soluciones homogeneas de (33) en cada nodo y con

352 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦP0 y ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦP1 se identifican las soluciones particulares de (33) en cada nodo. Tales submatricesse expresan conjuntamente en (36).

C = {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, C12, C13, C14} (35)

[ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ] =

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

R R2 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0

0 0 0 0 −1 0 0 0 1/R 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R 0 0 1

0 0 0 −R 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 R 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/R 1 0

0 −Rle 0 0 0 0 0 1 CR SR 0 0 0 0

R R2 0 0 0 0 0 0 SR −CR 0 0 0 0

0 0 0 −Rle 0 le 0 0 0 0 RCR RSR 0 1

0 0 0 −R 0 0 0 0 0 0 −SR CR 0 0

0 0 R 0 0 0 0 0 0 0 CR SR 0 0

0 0 0 0 0 0 le 0 0 0 −SR/R CR/R 1 0

(36)

siendo CR y SR que significan

CR = cos[le/R]

SR = sin[le/R](37)

Ası pues, invirtiendo (36), se obtienen las constantes Ci y teniendo presente que

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆e = BCC = BCΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ−1Qe (38)

donde BC viene dada por

BC =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 −x 0 0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(39)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 353

Finalmente, reemplazando (38) en (30.a) y (30.b) se pueden obtener la matriz de rigidezy el vector de cargas nodales para el elemento de deformacion supuesta. Se puede observaren (39) que, debido a la seleccion efectuada en (33), la deformacion de corte por alabeo tieneuna variacion lineal. Luego, para evitar el bloqueo por corte en la solucion, se contempla uncriterio integracion reducida17. Finalmente, ensamblando en la manera habitual las matricesde rigidez y vectores de carga de los elementos, se obtiene la clasica expresion

KQ = P (40)

donde K, Q y P son la matriz de rigidez global, el vector global de cargas nodales y elvector global de incognitas nodales, respectivamente.

ESTUDIOS NUMERICOS Y ANALISIS

Evaluaciones preliminares y comparaciones

Se ha probado la efectividad del presente enfoque mediante una serie de estudios com-parativos con resultados disponibles en la literatura que son casos particulares del presentemodelo. Los primeros dos casos particulares mencionados corresponden a una formulacionsin flexibilidad por corte en un material isotropo, lo que significa que en (24) se cumpleJkh

ij = 0 ∀ i �= j. En primer lugar se estudia una viga curva de acero con seccion I,(Iz = 6 018, 6 plg4, Cw = 77 432 plg6, J = 16, 08 plg4) cuyo radio es de 240 pulgadas y conuna abertura de 80o, con ambos extremos empotrados. El elemento estructural se encuentrasolicitado por una carga puntual de 1 lb actuando en una seccion ubicada a 30o de uno desus extremos desplazada 4 pulgadas del centroide de la seccion hacia el centro de curvatura.Este caso fue analizado por El-Amin y Brotton16 mediante un elemento finito basado enla teorıa de Vlasov. En la Figura 3 se exhiben los valores de las rotaciones torsionales φx,determinados mediante el presente enfoque (discretizando el modelo con diesiseis elementos)junto con los valores de El-Amin y Brotton. Se puede observar una muy buena concordancia.Para reproducir valores de la teorıa de Vlasov con el presente elemento se han utilizando en(24) valores muy grandes en las rigideces por corte J66

55, J6666 y J66

77. Como segundo ejemplo, seconsidera una viga semicircular biempotrada solicitada por una carga distribuida uniforme,normal al plano de curvatura, de 1000 N/m. Las caracterısticas de la estructura son lassiguientes: radio de curvatura R = 1 m, seccion transversal solida cuadrada de 10 cm delado, modulo de elasticidad E = 0, 20 1011 N/m2, coeficiente de Poisson µ = 0, 15. Este casofue analizado previamente por Sengupta y Dasgupta19, quienes introdujeron un elementofinito de cinco nodos. Se calcularon los desplazamientos en el centro del arco (uzc), ası comotambien los momentos flectores en los empotramientos (Me) y en el centro del arco (Mc).En la Tabla I se muestra una comparacion entre los presentes resultados con los obtenidospor los mencionados autores, apreciandose una concordancia muy buena. Se debe aclarar,sin embargo, que los valores de los momentos se han obtenido por medio de rutinas deinterpolacion y alisado de la solucion17, en virtud del tipo de elemento que se emplea.

Un tercer caso particular corresponde a la reduccion de la teorıa de vigas curvas a vigasrectas, manteniendo la hipotesis de flexibilidad por corte. Especıficamente se evalua unaviga recta de seccion cerrada rectangular de ancho 0,0515 m y altura 0,0252 m, con unespesor de 0,000762 m, construida con el material compuesto, cuyas propiedades se indicanen la Tabla II. La viga de longitud L = 0, 762 m se halla empotrada en un extremo y sujetaa una carga de 4,45 N en el extremo libre. Cada segmento posee la secuencia de laminacionCross–Ply {90/0)6. Con el objeto de comparar los presentes resultados con los de otrasteorıas y con valores experimentales, en la Figura 4 se muestra la distribucion la derivadade uzc (que identifica el giro flexional en teorıas que eliminan la flexibilidad por corte). Sepuede observar una correlacion muy buena entre la teorıa y los datos experimentales, quecomo maximo alcanza una diferencia de 6,5 %.

354 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

50 100 150 200 250 300 x

-6 ´ 10 -8

-4 ´ 10 -8

-2 ´ 10 -8

f X

PresentElement

Referenci@ 18 D

50 100 150 200 250 300 x

-6 ×10 -8

-4 ×10 -8

-2 ×10 -8

φx

Presente Elemento

Referencia [18]

Figura 3. Ejemplo de comparacion con el elemento tipo Vlasov de El-Amin y Brotton:

angulo de rotacion torsional φx a lo largo de la viga curva

No Elem. uzc (1) uzc (2) Mc (1) Mc (2) Me (1) Me (2)9 0,2339 0,2413 272,71 273,27 -984,37 -1000,2621 0,2377 0,2413 272,88 273,24 -999,48 -1000,02Analıtico 0,2396 0,2396 273,24 273,24 -1000,00 -1000,00

uzc – desplazamientos, Mc y Me – momentos flectores en el centro y extremos del arco(1) presente elemento, (2) elemento de Sengupta–Dasgupta19

Tabla I. Ejemplo de Sengupta–Dasgupta19

0.127 0.254 0.381 0.508 0.635 0.762 x

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

u zc '

Presente_Enfoque

Smith Chopra [13] -

Experimento [13]

Figura 4. Distribucion de los angulos de flexion a lo largo de la viga

E1 = 141 Mpa E2 = 9, 79 Mpa

G12 = G13 = 6, 00 Mpa G23 = 4, 14 Mpa

ν12 = 0, 24 ν23 = 0, 5

Tabla II. Propiedades del material compuesto

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 355

Respuesta estatica de arcos anisotropos con seccion cerrada rectangular

Los arcos anisotropos con secciones cerradas rectangulares conforman uno de los casosparticulares mas interesantes de la teorıa en virtud de su simplicidad seccional y de lasvariantes en los acoplamientos constitutivos que se pueden generar con solo dos clases delaminacion: CAS, CUS. Estas siglas adoptadas del ingles13,20 significan “CircumferentiallyAsymmetric Stiffness” y “Circumferentially Uniform Stiffness”. Las configuraciones CASy CUS han sido foco de varios estudios sobre vigas rectas13,20 en tanto que para vigascurvas aparentemente no se han reportado informes hasta el presente. Dentro del enfoquede vigas rectas la configuracion CAS genera un acoplamiento entre los movimientos deflexion y de torsion, lo que significa que un momento flector induce rotaciones torsionaleso por el contrario un momento torsor induce desplazamientos flexionales. Por otro lado,la configuracion CUS genera un acoplamiento de tipo axial–torsional, lo que significa quecargas axiales inducen rotaciones torsionales o por el contrario momentos torsores inducendesplazamientos axiales13. Sin embargo, en el entorno de vigas curvas, sean de laminacionCAS o CUS, cualquier solicitacion aplicada, sea carga o momento, induce un acoplamientogeneralizado de los movimientos “fuera del plano” y “en el plano”. En las Figuras 5a,b semuestran las configuraciones CAS y CUS para una viga de seccion rectangular como la dela Figura 1, donde h = 0, 05 m, b = 0, 1 m, e = 0, 005 m.

(a) (b) Figura 5. a) Configuracion CAS, b) configuracion CUS

Con el fin de analizar la influencia de la flexibilidad por corte para un arco de radio deR = 1 m construido con el material de la Tabla II, se evaluan tres condiciones de bordedistintas, a saber: (1) con doble empotramiento, (2) con apoyos simples tipo horquillaen ambos extremos y (3) empotrada libre. El arco es sometido a una carga de 10 Nperpendicular al plano π y actuando en x = L/2 para las dos primeras condiciones deborde y en el extremo libre en el restante caso.

Se ha empleado un modelo de 32 elementos para cada uno de los casos que se evaluan.Por otro lado, con el objeto de reproducir las soluciones de una teorıa no flexible por corte seemplean en (24) valores muy grandes en las rigideces por corte J66

55, J6666 y J66

77 y se anulan losJhk

i5 , Jhki6 , y Jhk

i7 . Ası pues, en la Figura 6 se exponen comparaciones de los desplazamientosuzc debidos a los modelos con y sin flexibilidad que corresponden a un arco de β = 90o, seguncaso de carga a) con todas las fibras del material dispuestas circunferencialmente a lo largode la viga, en cada segmento de la seccion, esto es con α = 0o. Se aprecia la diferencia queexiste entre un modelo y otro, la cual ronda una maxima de 8 %, lo que es consistente conlos resultados de la referencia 10 para las relaciones parametricas L/R y h/L empleadas. Laponderacion del efecto de corte se efectua mediante la introduccion del siguiente parametro

Ξ =uzc(MCFC)

uzc(MSFC)

(41)

356 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

Este parametro identifica la variacion relativa de un modelo no flexible por corte (MSFC)a un modelo flexible por corte (MCFC) en terminos del desplazamiento uzc representativodel tipo de solicitacion involucrada.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5x

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0.00035

uzc

MSFC

MCFC

Figura 6. Distribucion de los desplazamientos uzc a lo largo de la viga para los modelos conflexibilidad por corte (MCFC) y sin flexibilidad por corte (MSFC)

15 30 45 60 75 90 α

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Ξ 0

Emp - -Emp

Apo - -Apo

Emp - -Lib

Figura 7. Variacion del parametro de corte Ξ0 con respecto al angulo de inclinacion de lasfibras para tres condiciones de borde distintas

En la Figura 7 se muestran los valores maximos de Ξ0 y su variacion con el anguloα para una laminacion CAS y las diferentes condiciones de Borde en un arco de aberturaβ = 90o. Es claramente apreciable que el efecto de corte es fuertemente dependiente del tipode laminacion, como tambien de los condicionamientos en los extremos. Por otro lado, en laFigura 8 se muestra la variacion del parametro de corte Ξ0 con respecto a la relacion h/L.Se puede ver, cuan influyente es la flexibilidad por corte en la medida que h/L aumenta.Esto equivale a decir, cuando los arcos son de pequena abertura.

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 357

ΞΞΞΞ

0.075 0.1 0.125 0.15 h /L

2

6

10

Emp - -Emp

Apo - -Apo

Emp - -Lib

Ξo

Figura 8. Variacion del parametro de corte Ξ0 con respecto al parametro geometrico h/Lpara tres condiciones de borde distintas. Configuracion CAS con fibras orientadasen α = 90o

Con el objeto de analizar la influencia del efecto de curvatura se efectua un estudio sobreun arco biempotrado, construido con laminacion CAS con abertura de β = 90o. El arco sehalla solicitado con una carga de 10 N en la direccion y en x = L/2. Cada modelo numericoconsta de 32 elementos, en los cuales se han utilizado diferentes radios. Para cotejar lainfluencia del efecto de curvatura se emplea el siguiente parametro

Ξ =uyc(CC)

uyc(CRU)

(42)

que identifica la variacion relativa de un modelo con curvatura reducida unitaria (CRU),es decir χ1 = χ2 = 0, y un modelo con curvatura completa (CC) en terminos del desplaza-miento uyc. Se puede apreciar en la Figura 9, que la variacion de tal parametro respecto delangulo de inclinacion de las fibras es sumamente baja para los diferentes radios empleados.

Ξ 0

15 30 45 60 75 90 α

1.002

1.004

1.006

R = 1.00 m

R = 0.75 m

R = 0.50 m

Ξc

Figura 9. Variacion del parametro de curvatura ΞC con respecto al angulo de inclinacion delas fibras para tres radios distintos

358 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

Para evaluar los diferentes acoplamientos que se generan con diferentes laminados seemplea un modelo de viga curva de R = 1 m, con 32 elementos empotrada en un extremo ylibre en el otro construida con el material indicado en la Tabla II. La viga se halla solicitadapor tres casos independientes de cargas puntuales aplicadas en el extremo libre, a saber:

a) carga flexional de 10 N en la direccion z,b) carga axial de −10 N en la direccion x,c) momento torsor de 100 Nm.

Como se puede apreciar de las ecuaciones (27), los casos de carga (a) y (c) identificanun tipo de solicitacion que corresponde a un movimiento “fuera del plano”, a diferencia delcaso de carga (b) que corresponde a un movimiento “en el plano”.

Ahora bien, con el objeto de analizar la respuesta estatica de las cofiguraciones CASy CUS en funcion del angulo de orientacion α del laminado, se definen los siguientesparametros

Ξ(b)1 =

uxc(α)uxc(0)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(b)2 =

uyc(α)uyc(0)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(b)3 =

θz(α)θz(0)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)4 =

uzc(α)uzc(0)

∣∣∣∣x=L

,

Ξ(I)5 =

θy(α)θy(0)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)6 =

φx(α)φx(0)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)7 =

θx(α)θx(0)

∣∣∣∣x=L

(43)

Estos parametros se entienden como la razon entre el valor del desplazamiento general-izado de una secuencia de laminacion con angulo α al de su homonima con α = 0o, calculadosen el extremo de la viga. Los superındices (b) e (I) identifican los correspondientes casosde carga. En este sentido (I) toma los valores (a) y (c). Por otro lado, para evaluar cuali-tativa y cuantitativamente los acoplamientos entre los movimientos “en el plano” y “fueradel plano” que presentan las configuraciones CAS y CUS, se definen a su vez los siguientesparametros:

Ξ(I)4 =

uzc(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)5 =

θy(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)6 =

φx(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)7 =

θx(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

Ξ(I)1 =

uxc(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)2 =

uyc(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

, Ξ(I)3 =

θz(α)U(α)

∣∣∣∣x=L

(44)

donde U es un desplazamiento generalizado representativo del movimiento principal de uncaso de carga especıfico. Esto significa que U sera uzc, uxc y φx para los casos de carga (a),(b) y (c) respectivamente. En tanto que el superındice (I) toma los valores (a), (b) y (c),segun corresponda. De manera que en los primeros cuatro parametros de (44) el supraındice(I) sera (b) y en los restantes tres sera (a) o (c).

Ası pues, en la Figura 10 se muestra la variacion de los parametros Ξ(a)i , i = 4, 5 corres-

pondientes al caso de carga (a) de la configuracion CAS. Se puede observar que ante la mismacarga se manifiesta un cambio cualitativo en el comportamiento torsional entre angulos de25o a 50o. Por otro lado se ha observado para la configuracion CUS un comportamientocualitativo similar al expuesto en la Figura 10. Sin embargo, cuantitativamente las diferen-cias entre un laminado CAS y otro CUS se ponen de manifiesto en la Figura 11. Por otrolado en la Figura 12 se puede observar la variacion del parametro Ξ(a)

1 para los laminadosCAS y CUS. El parametro Ξ(a)

1 identifica la magnitud del acoplamiento que se produceentre los desplazamientos uzc y uxc. Se puede apreciar que para α = 0o y α = 90o no severifica acoplamiento entre los movimientos “fuera del plano” y “en el plano”, tal como se

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 359

15 30 45 60 75 90 α

0.8

0.9

1.1

Ξ i

CAS

Ξ 4 (a) CAS

5 Ξ (a)

Figura 10. Variacion de los parametros Ξ(a)i , i = 4, 5 con respecto al angulo α para una

configuracion CAS del caso de carga (a)

15 30 45 60 75 90 α 0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Ξ 4

Ξ 4 (a) CUS

Ξ 4 (a) CAS

Figura 11. Comparacion de las respuestas debidas a las configuraciones CAS y CUS en

referencia al parametro Ξ(a)4 del caso de carga (a)

Figura 12. Comparacion cuantitativa y cualitativa de las respuestas debidas a las configu-

raciones CAS y CUS en referencia al parametro de acoplamiento Ξ(a)1 del caso

de carga (a)

360 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

explico previamente. Por otro lado en la Figura 13 se muestra la variacion del parametroΞ(b)

4 para los laminados CAS y CUS. El parametro Ξ(b)4 , a semejanza de Ξ(a)

1 , identificala magnitud del acoplamiento que se produce entre los desplazamientos uzc y uxc pero eneste caso para el caso de carga (b). Una inspeccion en los graficos de las Figuras 12 y 13permite establecer una misma variacion cualitativa de las configuraciones CAS y CUS parael acoplamiento entre los desplazamientos uzc y uxc. Sin embargo, es notoria la diferen-cia cuantitativa del acoplamiento segun el caso de carga. De tal forma que una carga queprovoca un desplazamiento uzc induce un desplazamiento uxc de un orden 100 veces menor.En tanto que, una carga que provoca un desplazamiento uxc induce un desplazamiento uzcde un orden 10 veces menor. En las Figuras 14 y 15 se pueden observar las variaciones delos parametros Ξ(a)

i , i = 4, 5, 6, 7 correspondientes al caso de carga (c) de las configuracionesCAS y CUS respectivamente. Una comparacion entre ambas figuras permite apreciar unadiferencia cualitativa en el comportamiento de las variables de torsion φx y θx para uno uotro tipo de laminacion.

Figura 13. Comparacion cuantitativa y cualitativa de las respuestas debidas a las configura-

ciones CAS y CUS en referencia al parametro de acoplamiento Ξ(b)4 del caso de

carga (b)

15 30 45 60 75 90 α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ξ i

Ξ 7 (c)

CAS

Ξ 6 (c) CAS

Ξ 5 (c)

CAS

Ξ 4 (c) CAS

Figura 14. Variacion de los parametros Ξ(a)i , i = 4, 5, 6, 7 con respecto al angulo α para una

configuracion CAS, del caso de carga (c)

Mecanica de vigas curvas anisotropas con seccion de paredes delgadas 361

15 30 45 60 75 90 α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ξ i

Ξ 7 (c) CUS

Ξ 6 (c) CUS

Ξ 5 (c) CUS

Ξ 4 (c) CUS

Figura 15. Variacion de los parametros Ξ(a)i , i = 4, 5, 6, 7 con respecto al angulo α para una

configuracion CUS, del caso de carga (c)

CONCLUSIONES

Se ha presentado un nuevo modelo para el analisis estructural de vigas curvas anisotropasde pared delgada, que contempla el efecto de corte debido tanto a la flexion como tambienal alabeo torsional no uniforme. Junto con el modelo matematico se introduce un nuevoelemento finito basado en la admision de deformaciones constantes. Este elemento finitopermite reproducir diferentes casos particulares de la teorıa como los modelos de arcos sinflexibilidad por corte (cuando se imponen rigideces por corte muy grandes) y los modelosde vigas rectas (cuando se fija el radio a infinito). Asimismo se han cotejado las solu-ciones del modelo con algunos resultados experimentales disponibles en la literatura tecnicainternacional mostrando una aceptable correlacion.

Se ha constatado que la flexibilidad por corte es muy influyente en determinado tipo deconfiguraciones de laminacion y fuertemente dependiente del tipo de condiciones de borde.Las diferencias porcentuales de un modelo flexible por corte a otro no flexible por cortepueden alcanzar maximas de alrededor de 50 % (caso empotrado–empotrado). Por otrolado, la aproximacion del factor de curvatura F segun un polinomio de segundo grado noha presentado diferencias sustanciales respecto de la suposicion clasica de F unitario. Sinembargo, es de esperar que la curvatura tenga mayor influencia en problemas de otra ındole,que involucren deformaciones de segundo orden y/o desplazamientos no lineales, como enproblemas de pandeo e inestabilidad elastica. Empero, tal es el cometido de una futurainvestigacion sobre el tema.

Se han efectuado estudios sobre la influencia de distintos laminados en el acoplamientoentre los principales movimientos de una viga curva, l o cual ha evidenciado una notablevariedad de efectos que se pueden obtener con pocas configuraciones de laminacion. A su vezse ha podido apreciar una importante diferencia en la magnitud relativa del acoplamientoentre los movimientos “fuera del plano” y “en el plano” de acuerdo al tipo de carga que seejerza.

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo ha sido auspiciado por la Secretarıa de Ciencia y Tecnologıa de laUniversidad Tecnologica Nacional y por el CONICET.

362 M.T. Piovan y V.H. Cortınez

REFERENCIAS

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