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Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Mecnica

Mecnica General

Profesor: Guillermo Gonzlez Baquedano

2

MECNICA GENERAL

1. Fundamentos de la Mecnica

1.1 Introduccin

La mecnica es la rama de la fsica que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos bajo la accin

de las fuerzas.

La mecnica es la ms antigua ciencia fsica. Su registro ms antiguo fue hecho por Arqumides (287 -

212 A.C.) con el principio de niveles y flotacin; Stevinus (1548-1620) investigaciones en la dinmica;

Newton (1642-1727) gravitacin y matemtica infinitesimal; da Vinci, Varignon, D'Alambert,

Lagrange, Laplace y otros han enriquecido el estudio de la mecnica. Einstein con su Teora de

Relatividad (1905) limit a las formulaciones de Newton; sin embargo, teoras modernas indican que

las limitaciones son solamente para velocidades cercana a la de la luz (300.000 km/s) y para distancias

atmicas.

En mecnica se estudia principalmente el efecto de las fuerzas externas (o sistemas) que actan sobre

un cuerpo rgido. Estos son acelerarlo o producir fuerzas resistentes o reacciones sobre l. Se

distinguen 3 casos:

- El sistema de fuerzas est equilibrado, no hay efecto externo sobre el cuerpo. Se trata de un

problema de esttica.

- El sistema tiene una resultante distinta de cero, el cuerpo ser acelerado. Se trata de un

problema de dinmica.

- Es necesario considerar los efectos internos de un sistema de fuerzas, o las deformaciones, para

poder resolverlo. Se trata de un problema de resistencia de materiales.

En mecnica se estudia solamente sistemas de fuerza que actan sobre cuerpos rgidos, o sea

aquellos cuyas partculas permanecen siempre a distancias invariables entre si.

1.2 Conceptos o dimensiones bsicas

Al estudiar la mecnica es necesario establecer ciertas abstracciones o dimensiones para poder describir

aquellas manifestaciones interesante en los cuerpos:

1. Espacio: es una regin estudiada en todas direcciones. La posicin en el espacio se

determina relativa a un sistema de referencia por medicin lineal o angular.

2. Tiempo: es una medida ordenada de la sucesin de eventos como diluvios, crecidas,

lunas nuevas, rotacin de la tierra o fraccin de la rotacin de la tierra.

3. Materia: es la substancia que ocupa un espacio.

4. Inercia : propiedad de la materia de oponer resistencia al cambio de movimiento.

5. Masa : medida cuantitativa de la inercia.

6. Cuerpo : materia envuelta en una superficie cerrada.

7. Fuerza : accin de un cuerpo sobre otro que tiende a mover al cuerpo en la direccin de

3

la aplicacin.

8. Partcula: cuerpo de dimensin negligible. En algn caso, un cuerpo de tamao finito se

puede tratar como una partcula o punto material.

9. Longitud: descripcin cuantitativa del tamao.

1.2.1 Cantidades con dimensiones primarias

Longitud (L) : la unidad es el metro [m]

Tiempo (T) : la unidad es el segundo [s]

Masa (M) : la unidad es el kilogramo [kg]

1.2.2 Cantidades con dimensiones secundarias

Newton [N] _ ]s

m kg[ )

T

ML( : (F)Fuerza

22

]

s

m[ )

T

L( : (v) Velocidad

]s

m[ )

T

L( : (a) nAceleraci

22

22: mLSSuperficie

PascalPam

N

L

Fpesin

22

:Pr

1.2.3 Sistemas de unidades

Cantidades S.I.

absoluto

Gravitacional

o tcnico

Ingls

absoluto

Ingls

gravitacional

Longitud (L) m m ft ft

Tiempo (T) s s s s

Masa (M) kg U.T.M. lb-masa slug

Fuerza (F) N kgf poundal lb-fuerza

[N] 9,80665 _ [kgf] 1

m

s kgf _ [U.T.M.] 1

s

m kg _ [N] 1

2

2

ft

s lbf_ [slug] 1

s

ft lb_ [poundal] 1

2

2

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales

4

Las magnitudes fsicas utilizadas para describir los fenmenos mecnicos se clasifican en escalares y

vectoriales.

Escalares : Necesitan solamente el mdulo o intensidad para quedar definidas por ejemplo:

masa, volumen, tiempo, rapidez, temperatura, calor, densidad, energa, presin,

etc.

Vectoriales : Necesita estar asociada con el mdulo, direccin y sentido para quedar

definidas; adems debe cumplir con la ley del paralelogramo. Por ejemplo:

fuerza, velocidad, aceleracin, desplazamiento, etc.

Los vectores pueden ser libres, deslizantes o ligados.

Vector libre : Es aquel que no acta sobre una lnea de accin determinada, por ejemplo:

velocidad del viento, velocidad de la corriente de agua.

Vector deslizante: Es aquel que puede transportarse o deslizarse a travs de su recta de accin, por

ejemplo: fuerza aplicada a un cuerpo rgido.

Vector ligado: Es aquel que tiene un punto fijo de aplicacin en el espacio o est ligado a un

cuerpo o partcula, por ejemplo: la velocidad de la partcula est ligada a ella.

1.4 Leyes de la Mecnica

Las leyes sobre las cuales estn basados los principios fundamentales de la mecnica son las siguientes:

- Primera Ley de Newton

- Segunda Ley de Newton

- Tercera Ley de Newton

- Ley del paralelogramo

- Ley de gravitacin universal

1.4.1 Primera Ley de Newton

Todo cuerpo contina en estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta, a menos que sea

obligado a cambiar de ese estado por una fuerza aplicada sobre l.

1.4.2 Segunda Ley de Newton

El cambio de movimiento que se produce en el curso es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre l,

5

F a

se efecta en la direccin de la lnea recta en que se aplica la fuerza.

1.4.3 Tercera Ley de Newton

A toda accin siempre se contrapone una reaccin igual y opuesta, o sea, la accin mutua entre dos

cuerpos.

A GA

B N1

N1

GB

N2

1.4.4 Ley del paralelogramo

B + A = R

B

R

A

1.4.5 Ley de Gravitacin Universal

Dos partculas se atraen, una hacia la otra, a lo largo de una lnea que las une, con una fuerza de

magnitud proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia entre ellas. El factor de proporcionalidad es la constante de Gravitacin Universal G.

d

m m F

2

21 m1 m2

d

m mG = F

2

21

F F

d

Donde:

m1 y m2 son las masas de los cuerpos que interactan

d es la distancia entre los centros de gravedad de ellos

F es la fuerza de atraccin

Cuando m1 es la masa de la tierra y d es la distancia entre el centro de la tierra (radio de la tierra rT) y

un cuerpo de masa m2 que est en la superficie terrestre, la fuerza F ser la fuerza de gravedad o peso

6

del cuerpo de masa m2 .

En ese caso la expresin 2

T

T

r

mG representa la aceleracin de gravedad g.

Siendo constantes G y mT, la aceleracin de gravedad ser inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia al centro de la tierra. Esto es, mientras mayor sea la distancia al centro de la tierra, menor ser

la aceleracin de gravedad; por lo tanto, menor el peso. Dado que la tierra no es exactamente una

esfera, el peso de un mismo cuerpo no solamente depender de la altitud, sino tambin de la latitud

geogrfica en que se encuentre.

Las leyes de Newton son aplicables exactamente a sistemas de referencia inerciales. Sistemas de

estrellas fijas o sistemas que se mueven uniformemente sin girar respecto a las estrellas fijas.

La superficie de la tierra se considera sistema inercial para los trabajos de ingeniera; pero debido

principalmente a los movimientos de rotacin y translacin (nutacin y precesin en mucho menor

medida), no es un sistema exacto. Como las diferencias con uno inercial son tan pequeas, se

considera as, salvo para casos de cohetera.

Otras limitaciones de las leyes del movimiento de Newton son las referidas a velocidades cercanas a la

de la luz (300.000 km/s), efecto relativstico, y las que involucra distancias interatmicas.

1.5 Idealizaciones de la Mecnica

En la ingeniera se realiza una aplicacin de las ciencias fsicas para la resolucin de problemas. Lo

importante es la resolucin de problemas, con algn grado satisfactorio de exactitud. Por esto se

realizan aproximaciones que permita la resolucin simplificada de ellos, en conformidad con la

precisin en las mediciones de los parmetros involucrados y de acuerdo con la exactitud requerida.

Para el estudio ms simplificado de la Mecnica se suele atribuir un comportamiento ideal a los

cuerpos sobre los que actan fuerzas:

1.5.1 El continuo

Para muchos problemas en ingeniera la divisin de la materia en molculas, tomos, electrones, es

complicada. En la mayora de los casos, solamente interesa el promedio de manifestaciones medibles

en cuerpos elementales. La presin, temperatura y densidad son efectos burdos de las acciones de

muchas molculas y tomos, y se puede suponer convenientemente, que ellos son el resultado de una

hipottica distribucin continua de la materia, llamada el continuo.

1.5.2 El cuerpo rgido

7

Es un continuo que tericamente no sufre deformaciones. Se toma esta presuncin a menos que la

deformacin sea de tal magnitud que cambie la posicin de las fuerzas. En mecnica, el nico cuerpo

no rgido sino de comportamiento elstico que se estudiar, ser el resorte.

1.5.3 La partcula

Cuando los espacios recorridos son bastante ms grandes que el tamao del cuerpo, se puede

considerar este como sin volumen (proyectil relacionado a su trayectoria).

1.5.4 Fuerza concentrada

Se considera una fuerza finita aplicada en una superficie infinitesimal o punto de un cuerpo rgido.

Otras idealizaciones son el cuerpo perfectamente elstico, fluidos sin roce, etc.

2. ESTTICA

En esttica, interesa principalmente determinar las fuerzas y pares de fuerzas que en reaccin a las

cargas permiten que los cuerpos permanezcan en equilibrio.

2.1 La Fuerza

La fuerza es una de las abstracciones fsicas ms importante en la mecnica.

2.1.1 Definicin

Fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro que tiende a modificar el movimiento de este ltimo.

Debido a la inercia de los cuerpos, estos reaccionan con una fuerza igual y contraria (3era Ley de

Newton). No existen fuerzas aisladas, sino pares de fuerza.

El efecto de un cuerpo sobre otro es, sin embargo, una fuerza nica (una de la pareja).

2.1.2 Caractersticas de la fuerza

Las propiedades necesarias para distinguir las fuerzas, unas de otras son las siguientes: intensidad,

direccin, sentido y posicin de un punto de su recta de accin.

2.1.2.1 Intensidad: La unidad para medir la fuerza es el Newton.

2

11

s

mkgN

2.1.2.2 Direccin: Sentido e inclinacin.

Se expresa con respecto a un sistema de referencia establecido, o respecto a una

lnea de referencia; sealando sus componentes en la direccin de los ejes de

referencia, o dando su ngulo o pendiente respecto al eje referido.

8

y F

y

x

FY

F

F 2

FZ FX 3

z x

x

2.1.2.3 Posicin: De un punto cualquiera de su recta de aplicacin.

La posicin se seala indicando las coordenadas de un punto de su lnea de

accin en un sistema de referencia dado.

La Intensidad o modulo, la direccin y el sentido se pueden definir en un

sistema de referencia ortogonal (X, Y, Z) a travs de sus coordenadas. Fx, Fy, Fz.

y

Fy

F

y Fz Fx

R

z

x

z

x

2.1.3 Sistemas de fuerza:

Cuando sobre el cuerpo actan varias fuerzas, se habla de sistemas de fuerza. Se pueden clasificar

segn la disposicin de las lneas de accin de las fuerzas.

9

1. Colineales: Todas las F del sistema tienen una lnea de accin comn.

2. Concurrentes: Las lneas de accin de las fuerzas tienen un punto comn.

3. Coplanarias: Las lneas de accin de las fuerzas se encuentran en un mismo plano.

4. Paralelas: Todas las lneas de accin de las fuerzas son paralelas entre si.

5. No concurrentes, no paralelas, no coplanarias.

2.1.4 Reduccin de Sistemas de Fuerza

Reducir un sistema de fuerzas es substituirlo por otro ms sencillo, sin modificar el efecto externo que

causa sobre un cuerpo rgido.

Q Q R

P P

P

P

Q

-P

F

F

A B

R

Todo sistema de fuerza se puede reducir a:

1. Una sola fuerza.

2. Fuerzas paralelas de igual intensidad y sentido opuesto (par).

3. Una fuerza y un par.

10

2.1.5 Descomposicin de Fuerzas

Una fuerza se puede descomponer en dos o ms fuerzas, en direcciones pre-establecidas; llamndose

cada una de stas "Componentes de la Fuerza". La suma vectorial de las componentes debe ser igual a

una resultante a la fuerza.

Como las componentes de la fuerza son escalares, debern ser multiplicados por los respectivos

vectores unitarios de direccin correspondiente, para poder efectuar la operacin vectorial.

En coordenadas rectangulares: y

j

Fy )i ,F( ngulo = x

x

F )j ,F( ngulo = y

z )k ,F( ngulo= z

Fz x

k Fx

z

i

x

kFz + jFy + i Fx = F

donde : Fx, Fy, Fz son los componentes de la fuerza en direcciones X, Y, Z respectivamente.

,,,

kji son los vectores unitarios de direcciones X, Y, Z respectivamente.

a su vez: Fx = F cos x

Fy = F cos y

Fz = F cos z

donde cos x, cos y, cos z son los cosenos directores.

222 ZYX FFF = |F|

Se puede utilizar coordenadas oblicuas de direccin eu y ev

v

F

Fv

v u = u + v

u Fu

11

vvuu eFeFF

Si se conoce el vector fuerza, por el teorema del seno se obtienen las componentes en las direcciones u

y v:

sen= ) - (180 senpero ) - (180 sen

F =

sen

F

v

u ,

sen

sen F = F vu

sen

sen F = Fv u

Si se conocen las componentes, por el teorema del coseno se obtiene la resultante

)} - (180 Fv Fu 2 - Fv + Fu{ = |F|

22 2

1

cos

2.2 Momento de una Fuerza (M)

2.2.1 Definicin

El momento de una fuerza representa la tendencia de girar que tiene un cuerpo gracias a la accin de

una fuerza. El momento de una fuerza respecto a un punto cualquiera de una recta es igual al producto

vectorial entre el radio vector, trazado desde el punto hasta un punto cualquiera de la recta de accin de

la fuerza, por la fuerza.

F x = M

senF = |M|

)F ,( ngulo= donde

B

F

A

En el plano resulta: F

d

F x = M

senF = |M|

) (distancia d = sen pero

12

La direccin es al plano formado por y F el sentido, el que se obtenga aplicando la ley del tornillo

derecho.

Vectorialmente en el espacio

L

l

F

M = x F x y z

M = F sen M = Fx Fy Fz

i

j

k

ML = M l x y z

ML = ( x F) l ML = Fx Fy Fz

lx ly lz

donde:

1 = l l + l = l

2z

2y

2x

Ejemplo

Una transmisin de potencia rotacional mediante ruedas dentadas helicoidales.

Potencia : 10 HP

Velocidad motriz :1500 R.P.M.

Dimetro motriz : 100 mm

Dimetro conducido : 300 mm

Angulo de presin : = 20

Angulo de hlice : = 30

Determinar la fuerza de contacto.

13

2.2.2 Teorema de los Momentos

El momento producido por una resultante de un sistema de fuerzas, respecto a un eje cualquiera es

igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas del sistema respecto al mismo eje.

Se quiere demostrar que: BbAaRr

E a = u sen a

a r = u sen r

R r b = u sen b

A

r B D de la geometra

b CE = CD + DE

a b AC = R sen r

O C AB = B sen b

u CB = A sen a

2.2.3 El Par (de fuerzas)

F El par es una par de fuerzas paralelas de igual magnitud,

pero de sentido contrario, que no son colineales.

-F

El par de fuerza queda definido e identificado por el momento del par.

MA = F d/2 + F d/2 = d F

A MB = d*F

-F B d MO = F (d + c) - F c

= F*d + F*c F*c = d*F

c El momento del par de fuerzas con respecto cualquier

punto es constante. Por lo tanto, el Momento es un

vector libre o causa el mismo efecto sobre un cuerpo

mientras no cambie ninguna de las caractersticas:

mdulo, direccin y sentido.

2.2.4 Equivalencia de sistemas de fuerzas

d

F

-F

F

14

Una fuerza F se puede reemplazar por un sistema equivalente que realiza el mismo efecto sobre el

cuerpo.

La fuerza F que pasa por el punto A, se puede sustituir por una fuerza F que pasa por el punto B y un

par. ste est formado por las fuerzas F y F, cuyo momento es igual al producto F d.

2.3 Resultante de Sistema de fuerzas

Encontrar la resultante de un sistema de fuerza es reducir el sistema a su mnima expresin, de modo

que produzca el mismo efecto sobre el cuerpo donde est aplicado.

2.3.1 Resultante de un Sistema de fuerzas colineales

La resultante de un sistema de fuerzas colineales es una fuerza nica que tiene la misma recta de accin

que las componentes.

n

i

in FFFFF1

21 ......

el mdulo de la resultante ser igual a la suma algebraica de los mdulos de las componentes.

F3 Fn

F1 F2

Fx = F1x + F2x + .... + Fnx

Ry = F1y + F2y + .... + Fny

2.3.2 Sistemas de fuerzas concurrentes

F = F + .... + F + F = R n21

F1

F = F + .... + F + F = R xnx2x1xx F2

F = F + .... + F + F = R yny2y1yy

F = F + .... + F + F = R znz2z1zz

F3

Fn

La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes ser una fuerza R nica, que pasa por el punto de

concurrencia.

R + R + R = R2z

2y

2x

15

2.3.3 Resultante de sistemas de fuerzas Coplanares

F1

F2

F3 Fn

Grficamente se pueden ir sumando vectorialmente las fuerzas de a pares; finalmente la resultante, ser

igual a la suma de las ltimas dos resultantes parciales, y pasar por el punto de interseccin de stas.

Este mtodo es muy largo, cuando se trata de un gran nmero de fuerzas.

Se puede utilizar el polgono de fuerzas.

RX

FNY

RY R Fn

F3 F3Y

F1Y F1 F2

F2Y F3X

F1X F2X

Analticamente, se puede trabajar con las componentes de las fuerzas

Rx = F1x + F2x + ... + Fnx = Fx

Ry = F1y + F2y + ... + Fny = Fy

R

R = tg R + R = R

x

y2y

2x ,

Pero se desconoce un punto por donde pasa su recta de accin.

R

F1

F2 r r2

F3 Fn

r3

rn r1

16

Solucin analtica

La determinacin de un punto por donde pasa la recta de accin de la resultante R, tambin se puede

determinar analticamente, aplicando el teorema de los momentos.

dR = x1Fy1 + x2Fy2 + .... + xnFyn + y1Fx1 + y2Fx2 + .... + ynFxn

d = 1/R {xn Fyn + yn Fxn}

2.3.4 Resultante de sistemas de fuerzas paralelas

y

R

F1

F3 x

z1 z z3 x1 x3

z2 x2

z F2

x

n

i

in FiiFiFiFR1

21.......

i

n

i

innz FxFxFxFxRxM 1

2211 .......

i

n

i

innx FzFzFzFzRxM 1

2211 .......

2.4 Centros de Gravedad

Es el punto por donde pasa la recta de accin de la fuerza resultante de F gravedad del cuerpo.

El C.G. de un sistema de partculas se obtiene por medio de la resolucin de un sistema de fuerzas

paralelas en el espacio, o sea, es una aplicacin del caso anterior

Recordando que la fuerza peso G es el producto de la masa m por la aceleracin de gravedad g

gmG

Dividiendo por el volumen v del cuerpo

gv

m

v

G

Donde v

G es el peso especfico

y v

m es la masa especfica o densidad

17

C.G. de un cuerpo plano

y

G

x

z x

z dG

dA z x

t

como t, y, son constantes, puede obtenerse y por simetra

dG = t dA peso del elemento

G = t dA peso del cuerpo

utilizando el teorema de los momentos respecto a cada plano perpendicular (x,y) e (y,z)

dMx = z dG = z t dA momento del peso del elemento respecto al plano (x,y)

Mx = z t dA momento del peso del cuerpo respecto al plano (x,y)

dA

dAz

d t

dA t z =

G

M = z x

las integrales.

dA x e dAz son Momentos de rea o Momentos de primer orden, con unidad [m3],

para diferenciarlas de dAz2 , e dAx

2 , llamadas Momentos de segundo orden o Momentos de

Inercia de reas.

Determinacin de Centros de Gravedad por Integracin.

En primer lugar se debe seleccionar el elemento apropiado. Para esto pueden ser tiles las 2 reglas

siguientes:

1. Elegir el elemento de modo que todas las partes del rea infinitesimal estn a igual distancia del

eje o plano de referencia.

2. Elegir el elemento, donde las partes del rea infinitesimal se encuentren a diferentes distancias

del eje o plano de referencia, pero sea de fcil la obtencin del C.G. del elemento, por simetra.

dA

dAx

dA t

dA t x =

G

M = x z

18

Procedimiento

1. Destacar el elemento elegido en un esquema de la figura, determinar sus cotas. Cuando se hace

doble integracin, dibujar el 1er elemento, prolongando las lneas con trazos segmentados.

2. Escribir la expresin del rea del elemento lo ms simple posible.

3. Integrar la expresin anterior, para determinar el rea. Si se utiliza una integral doble, fijarse en

los lmites que hay que establecer.

4. Escribir la expresin del momento del elemento de rea respecto al eje o plano de referencia.

5. Integrar la expresin anterior.

6. Dividir el momento obtenido en (5) por el rea calculada en (3), para hallar una coordenada del

Centro de Gravedad.

Ejemplo de centro de gravedad de lnea

Determinar las coordenadas del C.G. de un arco de circunferencia.

r

d

y

x

dL = r d x

r = ][r = d r = L 00

dsenrdrsenrdLydM X 2

d r = d r ) (r = dLx = dM

2y coscos

cos1cos 20

2

0

2 rrdsenrM X

senr = | senr| = d r = M2

022

0

y cos

cos1cos12

r

r

r

L

My X

senr =

r

senr =

L

M = X

2y

si = 90, cuadrante de circunferencia /2 [rad]

ryx

2

si = 180, semi circunferencia centrada [rad] 0x ;

ry

2

19

Ejemplo de centro de gravedad de rea

Determinar las coordenadas del C.G. del rea encerrada por las curvas 21 xy e 22 xy

y

dx

y2

y1 x

x

dx )x - 2 + (x = )dxy - y( = dA2

12

4,5 = |2x + 2

x +

3

x| = )dxx - 2 + (x = A

2

1-

232

2

1-

)dxx - 2x + x( = dA x = dM32

y

2,25 = |4

x - x +

3

s| = M

2

1-

42

3

y

0,5 = 4,5

2,25 =

A

M = x

y

)dxy - y( )y + y( = dA )2

y + y( = dAy = dM 1212

12x

dx )x - 4 + 4x + x( = dx )y - y( = M42

2

1-

2

1

2

2

2

1-

x

14,4 = 5

1 - 4 + 2 -

3

1 +

5

32 - + 8 +

3

8 = |

5

x - 4x + x +

3

x|

2

1 = M

2

1-

52

3

x

1,6 = 4,5

7,2 =

A

M = y x

20

Ejemplo: determinacin del centro de gravedad de reas compuestas

y

3 3 3 3

4

1 x

4

1

Si se descompone en 3 reas y se aplica el teorema de los momentos:

A x y My Mx

1

2

3

4

18

6

48

-12

3

7

3

4,5

4/3

4/3

-2

-1

54

42

144

-54

24

8

-96

12

60 186 -52

31 = 60

186 =

A

M = X

y

0,866 - = 60

52 - =

A

M = Y x

Ejemplo: Determinar el centro de masa de un cuerpo compuesto.

m1 = 20 kg

m2 = 14 kg

m3 = 6 kg

y m = 40 kg

21

por simetra 0y

xmxmxmxm T 332211

x 401206601418020

5,37x

zmzmzmzm T 332211

z 40606014020

9z z = 9

Teoremas de Pappus y Guldin

2.4.2 Aplicada a cuerpos de revolucin

Superficie de revolucin

dl dlydA 2

y a

dlyA0

2

LyA 2 A = 2 yL

La superficie curva de un cuerpo de revolucin es igual a la curva generatriz multiplicada por el

camino recorrido por el centro de gravedad de esta curva generatriz.

22

Volumen de revolucin

dAydV 2

A

dAyV 2

AyV 2 2211 22 AyAyV

El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por el camino recorrido

por su centro de gravedad.

2.4.3 Centros de Presin

Centro de Presin es el punto donde pasa la resultante de una carga distribuida.

Q

m

N

l

Qq constante

l

Xqq

A B

x1 dx

x

x2

l

23

dxqdF X

dx q = dF = F X

X

X

X

X

2

1

2

1

dFxdM A

dxxqM

X

X

XA 2

1

dx q

dx x q

= F

M = X

X

X

X

X

X

XA

2

1

2

1

Elemplo: Encontrar por donde pasa la resultante de las cargas que actan sobre la viga.

x dx

3000 N/m

1500 N/m

2000 10000 1000 N/m

12000

dxqF X 12

0

dxxdxF

12

2

12

0

210

150015001000

12

2

212

2

12

0300

215015001000 x

xxxF

75001500012000 F

F= 34500 N

dxq x = M= F X X

12

0

A

dx 2)) - x(x 10

1500 + (1500x + dx x 1000 =FX

12

2

12

0

|3

x 150 +

2

x1200| + |

2

x 1000| =FX

12

2

3212

0

2

242000)40024008640086400(72000 FX

7,014 = 34500

242000 = X

Ingenierilmente, se puede tomar como tres cargas distribuidas

Q0 = 1000*12 = 12000 N

24

Q1 = 1500*10 = 15000 N

Q2 = Q1/2 =7500 N

6000 Q2 Q3

7000 Q1

26000/3

F = Q1+Q2+Q3 = 34000 N

75003

26150007120006 FX

mX 0145,7

3. EQUILIBRIO MECANICO

Cuando el sistema de fuerzas sobre un cuerpo rgido carece de resultante el cuerpo est en equilibrio.

Para establecer el equilibrio de los cuerpos es necesario efectuar el anlisis sobre el cuerpo libre.

3.1 Diagrama de cuerpo libre

El cuerpo libre es un diagrama del cuerpo al cual se le han retirado todos los apoyos y contactos, pero

se han reemplazado por lo que stos son capaces de generar sobre el cuerpo.

25

Representacin de transmisin de fuerzas de un cuerpo a otro, idealizaciones y representaciones

3.2 Diagrama de cuerpo libre de secciones interiores

M

F

Ejemplo de cadenas de cuerpos libres de una estructura.

A C

D E

GAB GDE GBC

B

Q

Diagrama del cuerpo libre del conjunto

Ntese que cuando se conoce la direccin de la fuerza, se debe colocar en el D.C.L.;

cuando no se conoce, se debe representar por sus componentes (rectangulares).

D E

A C

GAB GDE GBC

B

Q

26

Diagrama de cuerpo libre de las partes componentes.

Dx Ex

Dy GDE Ey

Dy Ey

A Dx Ex C

GAB GCE GBC

Bx1 Bx2

By1 By2

By1 By2

Bx1 Bx2

Q

Diagrama de cuerpo libre de la seccin M

Aparecen fuerzas y momentos internos en los elementos cortados

F1y

GME

F1x C

M1

F2x GMC

M2

F2y

Ecuaciones de Equilibrio

En todo diagrama de cuerpo libre, es posible reemplazar las fuerzas por una sola fuerza y un par,

aplicados en algn punto del cuerpo. El par depender del punto escogido.

En dinmica se probar que para que un cuerpo rgido est en equilibrio es necesario que:

00 RR CyF

0

1

i

n

i

F

0 = C + F x i

m

1 =i ii

n

1 =i

27

F4

F1

F2 B

F3

Si se considerara otro punto con respecto al cual referir el momento.

0 = F + F + F + F 4321

0 = F x + F x + F x + F x 44332211

Como el punto B est separado del punto A por el vector desplazamiento d

1B + d = )( 1

22 + d = )( B

3 + d = )( B3

44 + d = )( B

0 = F )d + ( + F )d + ( + F )d + ( + F x )d + ( 44332211

0 = )F + F + F + F( x d + F x + F x + F x + F x 432144332211

de manera que 0 = F

0 = M b

usando ecuaciones escalares

0 = )F( 0 = F ixi

0 = )F( iyi

0 = )F( izi

0 = )M( 0 = M ixi

0 = )M( iyi

0 = )M( izi

28

Solucin de problemas:

- Hallar las fuerzas sobre los pasadores D y B de la estructura, despreciando los pesos de las

barras.

MA = 0 (5,4 + 3,46) Dx - 8 x 1120 = 0

Dx= 1011,3 kgf

Fx = 0 Ax - Dx = 0

Ax = Dx = 1011,3 kgf

Fx = 0 Bx - Dx = 0

Bx = Dx = 1011,3 kgf

MD = 0 - 2540 - 5,4 Bx - 6 By = 0

By = 730,2 kgf

Fy = 0 Dy - 540 - By = 0

Dy = 1260,2 kgf

29

kgfBBB yx 8,12622,7303,10112222

kgfDDD yx 8,16152,12603,10112222

Ejemplo: Hallar la fuerza sobre el pasador A de la estructura, despreciando los roces G=1500 N

D.C.L.1 D.C.L.2 D.C.L.3

D.C.L1. Mc = 0 r E - rG = 0

E = G = 1500 [N]

Fx = 0 Cx - 4/5 E = 0

Cx = 1200 [N]

Fy = 0 Cy + 3/5 E - G = 0

Cy = 600 [N]

D.C.L2. Mc = 0 - 8Ay + 3Ax - 5B = 0 Ax = 912 [N]

Fx = 0 Ax - 3/5 B - Cx = 0 Ay = 984 [N]

Fy = 0 Ay + 4/5 B - Cy = 0 B = 480 [N]

30

Ejemplo: Hallar las fuerzas sobre los pasadores

D.C.L general (cuerpo rgido en equilibrio por la accin de tres fuerzas no paralelas):

0 = R - 34

3 R 0 = F 21x

0 = 300 - 34

5 R 0 = F 1y

R1 = 349,8

R2 = 180

La barra MC est en equilibrio por la accin de dos fuerzas (M y C); por lo tanto estas deben ser

colineales, o sea, deben pasar simultneamente por los pasadores M y C.

La sumatoria de fuerzas en la direccin de la barra debe ser 0,

Por lo tanto C = M

31

5

3

b

a

0 =

13

2 M-

37

1 H +

34

3 R 0 = F

3

2 =

b - 2

a1x

0 = 13

3 M -

37

6 H +

34

5 R 0 = F 2 +a

2

3 - =a

3

5 = b 1y

2 =)a

6

9 +

6

10(

3

2 =

18

12 =a

770,27 = H 24,23 sen

R =

59,04) + (56,31 sen

H 1 _

552,6 = M 24,23 sen

R =

9,46) + (30,96 sen

M 1 _

32

ARMADURAS

Las armaduras son estructuras formadas por barras articuladas en sus extremos (pasadores lisos o

rtulas), de modo que el conjunto constituye un cuerpo rgido.

En el plano, la armadura ms simple est formada por un tringulo.

C

b a

3 nudos (A, B, C)

A B 3 barras (a, b, c)

c

por cada nuevo nudo (u) que se desee incorporar a la estructura, se debe agregar 2 barras (v), que lo

fijen a ella.

de modo que v = 2 u

C f D

b a e si m = N de barras totales

B m = 3 + v v = m - 3

A c

y j = N de nudos totales

j = u + 3 u = j - 3

v = 2u

m - 3 = 2 (j - 3) = 2j - 6

m = 2j - 3

En el espacio, la armadura ms simple est formada por un tetraedro

D

4 nudos o rtulas (A,B,C,D)

d f 6 barras (a, b, c, d, e, f)

e

b C por cada nuevo nudo u, se debe agregar 3 barras v (v = 3u)

A a

c B

33

si m = N de barras totales

m = v + 6 v = m - 6

y j = N de nudos totales

j = u + 4 = j - 4

como v = 3 u

m - 6 = 3(j - 4) = 3j - 12

M = 3j - 6

Armaduras Clsicas

Las armaduras son estructuras utilizadas en techumbres (cerchas), puentes, torres, gras y otras. Estn

conformadas por perfiles comerciales, generalmente metlicos, unidos en los extremos. Existen

algunas armaduras clsicas, que llevan los nombres de sus autores.

Fink Pratt (inglesa)

Howe (norteamericana) Alemana

Polonceau Belga

Warren

34

Realizacin prctica de las uniones

Idealizaciones de las armaduras:

1. Barras cortas unidas por nudos. No son barras cortas ni estn unidas por nudos, pero los centroides

de todas las barras que concurren a un nudo se intersectan en el nudo.

2. Las armaduras estn cargadas solamente en los nudos, pero como no se considera su peso, cada

barra estar sometida solamente a la accin de 2 fuerzas, que pasan por sus nudos.

3. Como cada barra est en equilibrio, estas fuerzas deben ser colineales, por lo tanto, deben llevar la

direccin de las barras, y debe ser de igual magnitud, direccin y distinto sentido. Las barras

pueden estar entonces, sometidas solamente a traccin o compresin.

FB FD

B

D

A

C

FA FC

Existen 3 mtodos para desarrollar los problemas de armaduras:

1. Mtodo de los nudos o nodos

2. Mtodo de las secciones

3. Mtodo grfico de Cremona o Maxwell.

Mtodo de los Nudos o Nodos

Se analiza cada nudo como un cuerpo libre sometido a fuerzas concurrentes.

35

H G F

4000

A B C D E

P P P

3000 3000 3000 3000

P = 5000 kgf

H G F

4000

A B C D E

P P P

A 3000 3000 3000 3000 E

kgfEA 7500

Nudo A 5

4

AH 3 AHABFx5

30

AB AHAFy5

40

A AH = 9375 kgf (compresin)

AB = 5625 kgf (traccin)

Nudo B

BH ABBCFx 0

AB BC PBHFy 0

BC = AB = 5625 kgf (traccin)

P BH = P = 5000 kgf (traccin)

Nudo H

GH GHCHAHFx 5

3

5

30

AH CH CHBHAHFy5

4

5

40

4 BH 4 5 CH = 3125 kgf (traccin)

3 3 GH = 7500 kgf (compresin)

36

Nudo G

GH FG CG FGGHFx 0

CGFy 00

FG = GH = 7500 kgf (compresin)

CG = 0

Mtodo de las Secciones

Consiste en cortar una seccin de la armadura y sustituir los elementos cortados, por lo que son capaces

de ejercer sobre la seccin para que esta permanezca en equilibrio.

L K I

M H 1500

6000

A B C D E F G

P P P P P

a a a a a a a = 4500 mm

Determinar la fuerza en la barra MC

P = 4000 kgf seccin I

A = G = 10000 kgf L K I

M H 1500

6000

A B C D E F G

P P P P P

A a a a a a a G

tomando la seccin I 10

LM 1

M 3

CM 6000

A C

BC

4 5

A P 3

37

010

3

5

30 LMCMBCFX

LMCMPAFY 10

1

5

40

LMLMCMPM A 10

15,4

10

36

5

495,40

Hay tres ecuaciones independientes y tres incgnitas, el problema est resuelto, pero se puede resolver

con una sola ecuacin,

CMPAM O 5

45,22185,130

traccinkgfCM 3500

10

LM 1

M 3

CM 6000

O A

BC

4 5

13500 A P 3

18000

22500

De las tres ecuaciones de equilibrio la ms estratgica es la de momentos. Si se ubica el punto O

respecto al cual se establecer los momentos en la interseccin de las dos incognitas no se desea

obtener, este puede estar dentro o fuera del cuerpo, se simplificara el problema como lo planteado.

Mtodo Grfico (Cremona- Maxwell)

Existe otro mtodo para la resolucin de problemas de armaduras, que es grfico y tuvo gran aplicacin

en la antigedad. El mtodo consiste en la resolucin grfica de los nudos, con el cierre de los

polgonos de fuerzas, los cuales se representan pegados entre si, utilizando las mismas fuerzas comunes

a dos nudos adyascentes, con lo cual se evita su repeticin. Este mtodo ha perdido vigencia con el

surgimiento y masificacin del uso de las calculadoras.

38

Cables Flexibles

Los cables y las cadenas son elementos flexibles que se caracterizan por transmitir fuerzas en direccin

tangente a la curvatura que describen; o sea, son incapaces de transmitir fuerzas trasversales a la linea.

En la determinacin de las tensiones de cables puede haber muchas distribuciones de la carga, pero se

distinguen 2 casos que son los ms frecuentemente aparecidos en ingeniera:

a. Cuando la carga est distribuida a travs del eje horizontal (uniformemente distribuida), por

ejemplo un puente colgante (resulta una parbola).

b. Cuando la carga est distribuida a lo largo del cable. Por ejemplo uniformemente distribuida

(peso del cable), resulta una catenaria (cadena).

a. Carga constantemente distribuida, a travs del eje horizontal.

y

B

A fB

fA

O x

q(N/m)

a b

l

Tomando un tramo de vano x a la derecha del vertice y origen O y haciendo el DCL

y T

P

O y

H x

x/2 qx

x

39

0cos0 HTFX

00 xqsenTFY

puntoPelencurvaladependientelaesxH

q

dx

dytg

C + 2H

qx =y

2

, pero para x = 0, y = 0, C = 0

parbola 2H

qx =y

2

Para encontrar la relacin entre la tensin y el vano se debe eliminar el parmetro .

T cos = H

( )2 +

T sen = qx

1 = + sen como xq + H = senT + T222222222 coscos

x q + H = T222

como en A x = -a

f2

b q =

f2

a q = H

2H

a q = y

B

2

A

222

, es la tensin en e punto A

, es la tensin en el punto B

Considerando la longitud del cable

ds

dy + dx = ds222

dy

yd + dx = ds22

dx

a q + f4

a q = T

22

A

2

42

A

f 4

a + 1 a q = T

A

2

2

A

f 4

b + 1 b q = T

B

2

2

B

40

dx )dx

dy( + 1 = S

2a

0

a

dx )dx

dy( + 1 = ds

2

f2

aq = H como dx

H

xq + 1 = S

A

2

2

22a

0

a

dx x )a

f4( + 1 = dx

f4

aq

xq + 1 = S

2

4

A

2a

0

A

42

22a

0

a

se puede descomponer en series de MAC LAURIN

........ + (0)"f 3!

x + (0)f"

2!

x + (0)f + f(0) = f(x)

32

a

xf 4 +

a

xf 2 -

a

xf 2 + 1 = x )

a

f4( + 1

12

6A

6

8

4A

4

4

2A

2

2

4

A

......} - b 7

f 4 +

b 5

f 2 -

b 3

f 2 + {1 b = S 6

B

6

4

B

4

2

B

2

A

......} - a 7

f 4 +

a 5

f 2 -

a 3

f 2 + {1 a = S

6

A

6

4

A

4

2

A

2

B

Ambas series convergen a sA y sB respectivamente para valores fa/a y fB/b <

H

xqtg

Bfbq

bqtg

2

2

b

ftg BB

2

si fB/b < 1/2 tgB < 2 (fB/b)

Por lo tanto la serie es convergente para < 45

Si no fuese convergente se deber obtener la integral de f(x).

a

xf2 senharg

f 2

a +

a

xf 4 + 1 x { = s }

a

02

A

A

2

4

A

2

41

b) Carga constantemente distribuida a travs del largo del cable.

y

B

A q P fB

fA yB

yA

y

c

O x x

a b

l

y T

P

s

y

H

qs

O

x x

0cos0 HTFX

00 sqsenTFY

sH

q

dx

dytg

sen= ds

dy pero )

d

ds( )

ds

dy( =

d

dy

q

H =

d

ds 2sec

C + q

H = d tg

q

H =y 1 secsec

para x = 0 y = c = 0 (pendiente horizontal)

0,,sec 11 Cq

HcsiC

q

Hc

42

C

c - y = tg =

dx

dy 22

1 - )c

y(

dy =

c - y

cdy = dx

222

la solucin es inmediata

x = c arg cosh (y/c) + C2

como, para x = 0, y = c, arg cosh(1) = 0 C2 = 0

c

ycx cosharg

c

y

c

xcosharg

c

xcy cosh que es la ecuacin de la catenaria (cadena)

2

e + e =

c

x

c

x-

c

x

cosh

c

x

e

y

c

x

e

2

e - e =

c

x senh

c

x-

c

x

1 = )c

x(h sen- )

c

x(h

22cos x

Para calcular el largo s del cable se debe eliminar el parmetro

c = y cos

s = c tg

y

22 cys

c

)2

x( C = c + s =y

22 cosh

c + s = c

x C

2222cosh

)c

x( senh C = 1) - ( C = s

22222cosh

c

x senhc = s

y

ccy

cos

cos

43

Clculo de la flecha

c - c - s = C - y = f22

BBB

c - c - s = c - y = fs2

A2

A 1} - )

c

x( { c = c - y = fs A cosh

Clculo de la tensin

T cos = H

T sen = qs

s q + H = sen T + T2222222 cos

)

c

x( h c q = T cos

yqT

Ejemplo

Un trozo de cadena que pesa 0,5 kg/m, se suspende de los dos extremos a la mnima altura, en un vano

de 20 m. Si la tensin en un extremo es 8 kgf, determinar: largo de la cadena, flecha.

y = c cosh (x/c)

T = q y

T = 1/2 c cosh (10/c) = 8

16 = c cosh 10/c

T

cc

10cosh

16

20000

c 16/c cosh 10/c

10

10,5

11

11,26

11,5

12

1,6

1,524

1,454

1,42096

1,390

1,333

1,543

1,489

1,442

1,42097

1,403

1,368

csenhcss BT

102

44

Existe otra solucin para este problema, esta es c = 6,3428

msenhsT 38,293428,6

103428,62

Siempre habr dos soluciones dada una tensin, excepto cuando la tensin aplicada corresponde a la

mnima que deja en equilibrio al cable en la luz dada.

msenhsT 73,2226,11

1026,112