Mecánica I - Ecuación de Bernoulli [Modo de compatibilidad]

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MECANICA DE FLUIDOS I

Departamento de Metalurgia

Universidad de Atacama



FLUIDOSECUACIÓN DE BERNOULLI



Ra idez de flu o de fluidoLa cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad detiem o se uede ex resar de las si uientes maneras:

Rapidez de flujo de volumen (Q): s e vo umen e u o e u o que pasa por una secc n

por unidad de tiempo (más conocida como CAUDAL).

AvQ ⋅=

v: velocidad promedio del flujoA: área de la sección transversal



Ra idez de flu o de fluidoRa idez de flu o de eso (W):

Es el peso de fluido que fluye por una sección por unidadde tiempo.

QγW ⋅=: eso es ecífico del fluido

Q: rapidez de flujo de volumen o caudal



Ra idez de flu o de fluidoRa idez de flu o de masa (M):

Es la masa de fluido que fluye por una sección por unidadde tiempo.

QρM ⋅=: densidad del fluido

Q: rapidez de flujo de volumen o caudal



Unidades de la rapidez de flujo deu o

SI

S. Inglés

flujo de

volumen

•

flujo de

peso

=γ•=γ•v•A

s f s

ap ez eflujo demasa

=ρ•=ρ•v•A

g s s ug s



: 1,0 L/min = 16,67 •10 -6 m3/s

1,0 m3/s = 60.000 L/min

1,0 galón/min = 3,785 L/min

1,0 galón/min = 6,309•10 -5 m3/s

1,0 pie3/s = 449 galones/min



La ecuación de continuidadLa ecuación eneral de conservación de una ro iedad

(Masa, momento, energía, carga eléctrica) está dada por:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

tiempodeunidadpor

controldevolumenelen sequePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumendel quePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumenelen sequePropiedad

tiempodeunidadpor

controldevolumenal quePropiedad acumula genera ingresa sale



La ecuación de continuidadSi un fluido fluye desde la sección 1 hacia la sección 2 conrapidez constante, es decir, si la cantidad de fluido quepasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado esconstante, entonces la masa de fluido que pasa por lasecci n 2 en un tiempo a o e e ser a misma que a que

fluye por la sección 1 , en el mismo tiempo. Entre lassecciones 1 y 2 no hay ni generación ni acumulación demasa por unidad de tiempo, esto es:

21 MM =

omo = ρ•v• , en onces:

222111 AvρAvρ ⋅⋅=⋅⋅

Si el fluido que circula entre lassecciones 1 y 2 es incompresible

2211 vv ⋅=⋅1 2 ,

se expresa por: 21 =



Balance global de masaSi se considera un flujo a régimen permanente y homogéneo através de una porción de tubería, se cumple:

<v2>dAv dQ

:serádQ,ovolumétriccaudaleli)

:ldiferenciaelementoelena)

×><=

A2

2

<v>

dAvρ dQρ dw serádw,másicoflujoel)ii

×><×=×=

<v1>

dA

111

Av Q

:1 planoelen)b

××=

×><=

A11

:2 planoelen)c

2222

222

Avρ w ×><×=



Balance global de masaAplicando la ecuación general de conservación de materia:

⎪⎭

⎪

⎬⎪⎩

⎪

⎨=

⎪⎭

⎪

⎬⎪⎩

⎪

⎨−

⎪⎭

⎪

⎬⎪⎩

⎪

⎨+

⎪⎭

⎪

⎬⎪⎩

⎪

⎨ tiempodeunidadpor

controldevolumenelen

tiempodeunidadpor

controldevolumendel

tiempodeunidadpor

controldevolumenelen

tiempodeunidadpor

controldevolumenal

y considerando que no hay generación de masa en el volumen decontrol, tenemos:

{ } { } { }dt

dMv 0v 222111

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=×><×−+×><× AρAρ

dM w - w 21 ==Δw



Conservación de la energía cuac n e ernou

creada ni destruida, solo se transforma de un tipo en otro. uan o se ana zan pro emas e u o en con uctos, es necesar o

considerar tres formas de energía:

nerg a e u o ama a am n nerg a e pres n o ra a o eflujo):

Representa la cantidad de trabajo necesario para mover el

presión p. pwEF⋅=

Donde: w = peso del fluido, p = presión y γ = peso específico del fluido.




Debido a su elevación, la energía potencial delelemento de fluido con respecto a algún nivel de referencia está dadaor:

zwEP ⋅= nerg a n ca:

Debido a su velocidad la energía cinética del elementode fluido es:

vwE2⋅

=g⋅




suma de las tres energías anteriores:

EEEE KPF ++=

vwpw 2⋅⋅

g2γ ⋅




Considere un elemento de fluido que pasa por las secciones 1 y 2 (talcomo se muestra en la figura):

La energía total en la sección 1 es:

g2

vwzw

γ

pwE

21

11

1

⋅

⋅+⋅+

⋅=

La energía total en la sección 2 es:

2vw

zwpw

E2

22

22 ⋅

⋅+⋅+

⋅=




Si entre las secciones 1 y 2 no se agrega ni se pierde energía, entoncesel principio de conservación de la energía establece que:

E1 = E2

g2

vwzw

γ

pw

g2

vwzw

γ

pw 22

2

22

1

1

1

⋅

⋅+⋅+

⋅=

⋅

⋅+⋅+

⋅

Simplificando el peso w del elemento de fluido, se obtiene laEcuación de Bernoulli

vpvp 222

211 = Ecuación de Bernoulli

g2γg2γ ⋅⋅



Ecuación de BernoulliEcuación de BernoulliLa Ecuación de Bernoulli se deriva del Principio.

vp 2=

g2γ ⋅

a eza e re n=γ

a eza p ezom r ca=γ

2

z = Cabeza de elevación2

Cabeza total=⋅++ g2zγ

2g= Cabeza e ve oci a



Restricciones de la ecuación de

Es válida solamente para fluidos incompresibles, puestoque e peso espec co e u o se om como e m smoen las dos secciones de interés.

No puede haber dispositivos mecánicos entre las dossecciones de interés que pudieran agregar o eliminar

energía del sistema, ya que la ecuación establece que la.

No puede haber transferencia de calor hacia adentro o

a uera e s s ema.No uede haber érdidas de ener ía debidas a lafricción.





Teorema de TorricelliLa velocidad de vaciado ( o de llenado) de un estanque depende solamente de la

diferencia de elevación entre la superficie libre del fluido y la salida donde seencuentra ubicado el orificio de descarga. Así, entre los puntos 1 y 2:

g2

v

zγ

p

g2

v

zγ

p 2

2

21

1

1

⋅++=⋅++

Z1 = h, Z2 = O, que eldepósito es grande (v1 = 0) y

que las presiones1 2

cero (ya que en ambos puntosel fluido está en contactocon la atmósfera, se obtiene

dedujo en 1643:

gv ⋅⋅= eorema e orr ce



Teorema de Torricelli De acuer o a Teorema e Torrice i, a ve oci a con que

un fluido se vacía desde un recipiente abierto a través deun orificio lateral, el proporcional a la raíz cuadrada de laa tura e ui o sobre e ori icio.

A mayor profundidad, mayor será la velocidad de salida

del fluido a través del orificio

Un comportamiento similar se observa en los flujos de

, , .



El frasco de MariotteDe acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquidopor un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere uncuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h , siendo h la

Si S es la sección del orificio, el gasto S v , o volumen de fluido que sale porel orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un

g=v

.

Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h 0 , que está cerrado

por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido.del recipiente. En el extremo B la presión es la atmosférica ya que estáentrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio. Si h esla distancia entre el extremo del tubo y el orificio, la velocidad de salida delfluido corresponderá no a la altura h 0 desde el orificio a la superficie libre

e ui o en e rasco, sino a a a tura a extremo e tu o.Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté porencima de B, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendránconstantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h 0 es menor que h , lave oc a e sa a v e u o e a e ser cons an eLa velocidad de salida v puede modificarse introduciendo más o menos el

tubo AB en frasco.



i



Presión estática, de estancamiento,

Si la ecuación de Bernoulli se multiplica por el peso específico γ, seene:

tetanconsvρ1zγp 2 =⋅⋅+⋅+

Las presiones de estancamiento y dinámica se producen cuando seconvierte la ener ía cinética en un fluido ue circula en un aumento depresión a medida que el fluido llega al reposo.

, ,termodinámica real del fluido a medida que éste fluye. Para medirla unespectador tendría que desplazarse junto el fluido, es decir quedarestático con respecto al fluido en movimiento, razón por la cual dicho

.



Otra forma de medir la presión estática sería perforando unorificio en una superficie plana y ajustando un piezómetro mediante

la ubicación en el unto 3 tal como se muestra en la i ura: La presión en (1) del fluido enmovimiento es p1=p3+γh3->1, es lam sma que s e u o estuv era

estático. o ->

Por lo tanto p1 = γh

El término γz se llama presión hidrostática y representa el cambio de

pres n pos e e o a var ac ones e energ a po enc a e u ocomo resultado de cambios de elevación.

2 figura en el punto (2)



El punto (2), en el cual v2=0, se llama punto de estancamiento.

Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) se tieneque:

2

112vρ

2pp ⋅⋅+=

,presión estática p1, por una cantidad ρv1

2/2, la presión dinámica.

Sobre todo cuerpo estacionario colocado en un fluido en movimientoexiste un punto de estancamiento. Algunos fluidos circulan sobre yalgunos circulan bajo el objeto. La línea divisorias de denomina línea de corriente de estancamiento termina en el unto de

estancamiento sobre el cuerpo.



Si se ignoran los efectos de elevación, la presión de estancamiento,p+ρv2/2, es la mayor presión obtenible a lo largo de una línea de

.cínética en un aumento de presión.

La suma de la presión estática, la presión hidrostática y la presiónn m ca se enom na res n o a , pT .

La Ecuación de Bernoulli es una afirmación de que la presión totalpermanece constante a o argo e una nea e corr ente. sto es:

1 2

2=⋅⋅⋅

Si se conoce la presión estática y de estancamiento de un fluido, sepuede calcular su velocidad (Principio en el cual se basa el Tubo dePitot)



El tubo de Pitot enr o , a com enzos e , puso a pun o una son a que, r g a en esentido del flujo, permite medir la presión estática en un fluido (esta sonda

fue modificada a mediados de 1800 por el científico francés Henry Darcy)

spos vo es per ora o con peque os or c os a era es su c en emen e

alejados del punto de parada o estancamiento (punto del flujo donde se anulala velocidad) para que las líneas de corriente sean paralelas a la pared.

Esta sonda, combinada con unasonda de presión de impacto( er endicular a la dirección deflujo), forma una sonda depresión cinética llamada tubo dePitot.



Tal como se muestra en la figura, dos tubos concéntricos estánconectados a dos manómetros o a un manómetro diferencial, de

- 3 4.

El tubo central mide la presiónde estancamiento en su untaabierta.

Si los cambios de elevación soninsignificantes,2

3 vρ2

pp ⋅⋅+=

on e ρ y v son as pres n yvelocidad del fluido corrientearriba del punto (2)

u o ex er or ene var os or c os eque os a una s anc aapropiada de la punta, de modo que mide la presión estática. Si ladiferencia de elevación entre (1) y (4) es insignificante, entoncesp4=p1=p. Al reemplazarla en la ecuación anterior y ordenando, seo ene:

ρ/)pp(2v 43 −=



Este dispositivo se emplea a menudo en aeronáutica: situado en unlugar de poca turbulencia, permite medir la velocidad de avance de un

.

directamente v2/2g.



Medición del caudal restricción en el interior de la tubería y medir la diferencia de presión entre la

sección (1) corriente arriba (de baja velocidad y alta presión) y la sección (2)corriente abajo (de alta velocidad y baja presión.

se supone que e u o es or zon a ,

estable, no viscoso e incompresible entrelos puntos (1) y (2), la ecuación deBernoulli se convierte en:

222

211 vρ

21pvρ

21p ⋅⋅+=⋅⋅+

Si los erfiles de velocidad son uniformesentre las secciones (1) y (2), la ecuación decontinuidad puede escribirse como :

Q = A1v1=A2v2

Combinando estas dos ecuaciones seobtiene el caudal teórico:−⋅ 21 )pp(2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅=

2

1

22

)AA(1ρ



El Efecto VenturiTal como lo predice la Ecuación de Continuidad, la velocidad de unfluido aumenta porque el área del conducto se reduce y, según laecuación de Bernoulli, una aumento de velocidad producirá una

El efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentrode un conducto cerrado dis inu e la resión del luido al au entar

sm nuc n e a pres n.

la velocidad cuando pasa por una zona de sección menor. Si en estepunto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se

produce una aspiración del fluido contenido en este segundoconducto. Este efecto recibe su nombre del físico italiano GiovanniBattista Venturi (1746-1822) .



Aplicaciones del Efecto VenturiMotor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi,mezclándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un

.

Hogar: En los equipos ozonificadores de agua, se utiliza un pequeñotubo Venturi ara e ectuar una succión del ozono ue se roduce en undepósito de vidrio, y así mezclarlo con el flujo de agua que va saliendodel equipo con la idea de destruir las posibles bacterias patógenas y de

desactivar los virus y otros microorganismos que no son sensibles a ladesinfección con cloro.

Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y

ace eraci n e ui os.



Algunas otras aplicaciones del Efecto Venturi son:

•En los capilares del sistema circulatorio humano.

•En dispositivos que mezclan el aire con un gas inflamable (ej: QuemadorBunsen)

•Atomizadores que dispersan el perfume o en pistola spray para pintar.

•Boquilla de los extinguidores (para apagar con espuma el fuego)

• ,mejor tono.

•

•Venturi Scrubbers usados para limpiar emisiones de flujo de gases.

•Injectores que se usan para agregar gas cloro en los sistemas de

tratamiento de agua por cloración.





é ó í



Ejercicio 1) A través de la contracción de la tubería que se muestra en lafigura fluye agua. Para la diferencia dada de 0,2 m en el nivel delmanómetro determinar el caudal en función del diámetro de la tuberíapequeña, D.

Respuesta:s

mD56,1Q3

2⋅=

Ej i i 2) A é d l ió d l b í l




Respuesta: sm

D)1,0(D0156,0Q

3

44

2

−

⋅=

Ej i i 3) A t é d l t ió d l t b í t l




Respuesta: .Dcualquierparas

m0156,0Q3

=



Ejercicio 4) En la figura se muestra un sistema de tubos que llevaagua. La velocidad en el plano 1 es de 4 [m/s] y el diámetro es de 25

cm. n e p ano e i metro es e cm. ncuentre e cau a y avelocidad de la sección 2.

v1,A1,ρ1v2,A2,ρ2



Ejercicio 5) Se descarga metal líquido desde un recipiente cilíndrico através de un orificio situado en el fondo.

a u es a a ura e es anque espu s e m nu os e vac a ob) Cuál es la velocidad de bajada del nivel del estanque después de 10minutos?

D

cm7,5

m3

orificio

=Φ

=D

h

s

m 9,81

mg 107,1

2

33

metal

=

×=

g

ρ

m3,5 =h

metal



Ejercicio 6) Hacia dentro de un estanque cilíndrico fluye agua a través deun tubo con una velocidad de 20 pies/s y sale a través de los tubos 2 y 3

con ve oci a es e y pies s respectivamente. n a parte superior ayuna válvula abierta a la atmósfera. Suponiendo que el flujo esincompresible, cuál es la velocidad promedio del flujo de aire a travésori icio .

D4 = 2”

h

D1 = 3”

D3 = 2,5”

D2 = 2”



Ejercicio 7) De un depósito fluye aire en forma estable a través de unamanguera de diámetro D=0,03 m y sale a la atmósfera por un boquilla de

i metro = , m. a presi n en e ep sito permanece constante en amanométrica. Las condiciones atmosféricas del aire son 15 ºC y 1 tmósfera(101 kN/m2) de presión. Determine el caudal y la presión en la manguera.

’ • º,

3 Nm 22 ms

, ==



Ejercicio 8) Del grifo que está en el primer piso del edificio fluye aguacon una velocidad máxima de 20 pies/s. Para flujo estable no viscoso,

etermine a ve oci a m xima e agua es e e gri o e s tano y es eel grifo en el segundo piso (suponer que cada piso mide 12 pies de alto)

(3)

s / pies2,34=v2

El a ua no lle a al se undo iso!!!posibleIm

373=v3

(2)



Ejercicio 9) Para el estanque que se muestra en la figura, calcule el tiemporequerido para vaciarlo desde un nivel de 3,0 m hasta 0,5 m. El tanque tiene

un i metro e , m y a oqui a un i metro e mm.

Respuesta: 6 min y 57 s.



Ejercicio 10) Para cortar varios materiales se pueden usar chorros líquidosde diámetro pequeño y alta presión. Si se ignoran los efectos viscosos,

ca cu ar a presi n para pro ucir un c orro e agua e , mm e i metrocon una velocidad de 700 m/s. Determinar el caudal.

Respuesta: 2,45 105 kN/m2 , 5,50 10-6 m3/s

E 11) P l d l f l l l ó d



Ejercicio 11) Para el sistema mostrado en la figura, calcule la presión deaire requerida por encima del agua para hacer que el chorro suba 40 pies

es e a oqui a. a pro un i a es e , pies.

Respuesta: 14,73 psig

Ej i i 12) U d lá ti d b bid ti



Ejercicio 12) Un envase de plástico de una bebida gaseosa contiene agua,que fluye a través de tres orificios, tal como se muestra en la figura. El

i metro e ca a ori icio es e , pu ga as y a istancia entre e os esde 2 pulgadas. Si se desprecia los efectos viscosos y se considera unacondición cuasi-estacionaria, determine el tiempo que el orificio superiorde a de drenar. Asuma ue la su er icie del a ua se encuentra a 2 ul adassobre el orificio superior cuando t = 0.

Respuesta: 10,7 segundos

Ej i i 13) U t d ti d it fl t



Ejercicio 13) Un estanque grande contiene una capa de aceite que flotasobre agua. Si el flujo es estacionario y no viscoso, calcule:

(a) la altura h que alcanzará el chorro de agua(b) la velocidad del agua en la tubería(c) la presión en la tubería horizontal

Respuesta: (a) 2,80 m (b) 1,85 m/s (c) 35,5 kPa

Ejercicio 14) En un túnel de viento se usa aire para probar automóviles



Ejercicio 14) En un túnel de viento se usa aire para probar automóviles.(a) Determine la lectura h del manómetro cuando en la zona de prueba la

velocidad es de 60 millas/hora. Note que en el manómetro existe unacolumna de 1 pulg de aceite sobre el agua.

(b) Determine la diferencia entre la presión de estancamiento frente alve cu o y a pres n en a zona on e se rea za a prue a.

ρaire = 0,00238 slug/pie3γagua = 62,4 lb/pie

3

Respuesta: (a) h = 0,223 pies (b) 9,22 lb/pie2

Ejercicio 15) ¿Qué presión p se requiere para obtener un gasto de 0 09



Ejercicio 15) ¿Qué presión p1 se requiere para obtener un gasto de 0,09pies3/s del depósito que se muestra en la figura? γgasolina = 42,5 lb/pie3

Respuesta: p1 = 5,18 psi

Ejercicio 16) Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa una



Ejercicio 16) Para vaciar una piscina de poca profundidad se usa unamanguera que mide 10 m de largo y 15 mm de diámetro interior. Si se

ignoran os e ectos viscosos, ¿cu es e cau a que sa e e a piscina?

Respuesta: Q = 9,11 10-4 m3/s

Ejercicio 17) Aceite de gravedad específica 0 83 fluye a través de una



Ejercicio 17) Aceite de gravedad específica 0,83 fluye a través de unatubería. Si se desprecian los efectos viscosos, determine el caudal.

Respuesta: Q = 0,183 pies3/s

Ejercicio 18) A través de los grandes depósitos que se muestran en la figura



Ejercicio 18) A través de los grandes depósitos que se muestran en la figurafluye agua de manera estable. Determinar la profundidad del agua, hA.

Respuesta: (a) hA = 15,4 m

Ejercicio 19) De un gran depósito fluye agua a través de un gran tubo que



Ejercicio 19) De un gran depósito fluye agua a través de un gran tubo quese divide en dos tubos más pequeños, tal como se muestra en la figura. Si

se ignoran os e ectos viscosos, eterminar e cau a que sa e e ep sito y la presión en el punto (1).

Respuesta: Q = 9,10 10-3 m3/s, p1 = 57,9 kPa

Ejercicio 20) La densidad relativa del fluido en el manómetro que se



Ej ) L f m m qmuestra en la figura es 1,07. Determine el caudal, Q, si el fluido es no

viscoso e incompresi e y e ui o que circu a es:(a) Agua, γ = 9,80 kN/m3

(b) Gasolina, γ = 6,67 kN/m3

c Aire en con iciones norma es, γ = 12 10- kN m .

Respuesta: (a) 1,06 10-3 m3/s, (b) 3,02 10-3 m3/s, (c) 0,118 m3/s

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