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ASIGNATURA
MECANICA VECTORIAL
SEMANA
Centroide – Centro de Gravedad
Dr. Omar Pablo Flores Ramos
Huancayo, 2011
7
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 2
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad, es un punto en donde se supone esta concentrado
todo el peso de un cuerpo, este punto puede estar dentro o fuera de dicho
cuerpo
Si se trata de figuras geométricas que representan cuerpos uniformes y
homogéneos, el centro de gravedad de estos se le denomina centroide
Cuando el cuerpo en estudio esta en un medio donde la gravedad es
uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, que
como en el caso anterior es un punto donde esta concentrado toda la
masa de un cuerpo
1. CALCULO DE COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD
Dado que un cuerpo esta formado por la unión de sus partes, cada uno de
las partes posee un peso determinado Wi, y el peso total será la suma de
todos los pesos parciales
Fig 6.1: Coordenadas del centro de gravedad
Aplicando el teorema de Varignön (Fig 4.1) se tiene:
n
i
iitotal
nntotal
WyWy
WyWyWyWyWy
1
332211
..
...................
despejando y , y considerando: n
i
itotal WW1
, se tiene:
n
i
i
n
i
ii
W
Wy
y
1
1
.
x
z
y W2 Wn
W1 W3
x y x
z
y yn y2 y1 wtotal
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 3
Por analogía se puede determinar las coordenadas x y z , entonces:
n
i
i
n
i
ii
W
Wx
x
1
1
.
n
i
i
n
i
ii
W
Wy
y
1
1
.
n
i
i
n
i
ii
W
Wz
z
1
1
.
(4.1)
Propiedades
a. Para centroides, el peso Wi puede ser reemplazado por longitud,
área o volumen
b. Si un cuerpo presenta agujeros, éstas se consideran negativas
c. El C.G. de los cuerpos, ocupan un lugar fijo en él,
independientemente de su orientación
2. CENTROIDES DE PRINCIPALES FIGURAS
2.1 LINEAS
Figura coordenadas longitud
Segmento recto
Punto medio L
Cuarto de circunferencia
rx
2
ry
2
2
.r
Semi circunferencia
0x r
y2
r.
2.2 SUPERFICIES
Figura coordenadas área
Triangulo
Baricentro
1/3 de la base
2/3 del vértice 2
.hbA
x
y
r
r
x
y
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 4
Paralelogramo
Inteseccion de las
diagonales hbA .
Cuarto de circulo
.3
.4 rx
.3
.4 ry
4
. 2rA
Semi circulo
0x .3
.4 ry
2
. 2rA
2.3 VOLUMENES
Figura coordenadas volumen
Cilindro y prisma recto
2
hy
hAV .
A = área de
la base
Cono y pirámide recta
4
hy
3
.hAV
A = área de
la base
Semi esfera
8
3ry
3.3
2rV
x
y
r
x r
y
h
r
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3. CENTROIDES POR INTEGRACION
Considerando, ya no partículas como en la fig 6.1, sino elementos
diferenciales, se tiene:
dA
dAxx
el.
dA
dAyy
el.
dA
dAzz
el . (4.2)
Pudiendo ser: dA = diferencial de línea, área o volumen
4. TEOREMAS DE PAPPUS - GULDINUS
TEOREMA 1: El área de una superficie en revolución es igual a la
longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida
por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie
LyA 2
TEOREMA 1: El volumen de un cuerpo en revolución es igual al área
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del
área al momento de generar la superficie
AyV 2
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 6
EJERCICIOS
a) Pesos y Masas 1. Determinar el centro de gravedad de las partículas mostradas, si: : w1=
16 N, w2= 8 N, w3= 28 N y w4= 28 N
Rpta:
2. Determinar el centro de gravedad de las partículas, si: w1= 12 N, w2=
24 N, w3= 9 N y w4= 15 N
Rpta:
3. Si las masa de las partículas son 5 kg, 2 kg, 1 kg y mP
respectivamente, y el centro de masa esta ubicado a 2 m a la izquierda
del origen, determinar la distancia XP y la masa mP, si la suma de las
cuatro masas es 10 kg
Rpta: 2 kg y 5 m
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4. Si las partículas son de 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, determinar
el centro de masa
Rpta: 1,44 m; 2,22 m y 2,67 m
5. Si la varilla de 40 mm pesa 60 N, la de 20 mm pesa 20 N y la
semicircunferencia pesa 80 N determinar el centro de gravedad del
conjunto no homogéneo
Rpta:
b) Líneas
6. Considerando el alambre uniforme y homogéneo, determinar su
centroide
Rpta: 45,5 mm; -22,5 mm y -0,805 mm
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7. Determinar la abscisa del centroide del alambre mostrado, si r = √5 m
y BC = 5 m
Rpta: 0
8. En la espiral uniforme y homogénea mostrada, determinar el
centroide, si a = 77 cm y los puntos A, B y C son los centros de los
alambres 1; 2 y 3 respectivamente
Rpta: 363 cm y 91 cm
c) Superficies
9. Determinar el centroide del segmento circular sombreado, si el
cuadrado es de L= 36 cm de lado
Rpta: 21.023 cm; 21.023 cm
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 9
10. Determinar el centroide de la figura mostrada, a la cual se le ha
practicado un corte semicircular de 9 cm de radio
Rpta:
11. El centroide del rombo mostrado, tiene por abscisa x = 30 cm, calcular
la medida del ángulo α si el lado del rombo es 40 cm
Rpta: 60°
12. Hallar la altura h del triangulo isósceles que se debe extraer del
cuadrado de lado L = 2(3 + √3 ) m, para que el centroide concuerde
con el vértice M del triángulo
Rpta: 3 m
d) Volumen
13. Determinar la coordenada z del centroide del sólido uniforme y
homogéneo, formado por una semiesfera y un tronco de cono, al que
se le ha practicado un agujero cilíndrico de 25 mm de radio.
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 10
Rpta: 14,6 mm
14. Si el centroide del sistema mostrado coincide con el punto de contacto
entre la esfera y el cono, calcular la altura “h” del cono, se sabe que el
radio R = √2 m, además que la densidad del de la esfera es el doble
que la del cono
Rpta: 8 m
15. Para el sólido mostrado, determine las coordenadas del centroide
Rpta:
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 11
e) Centroide por integración
16. Determine el centroide de la varilla homogénea doblada en forma
parabólica
Rpta: xc = 0,531 pies
yc = 0,183 pies
17. Determine la abscisa del centroide de la varilla homogénea doblada
en forma de arco circular, en términos del radio “r” y el ángulo “α”
Rpta: (r.sen α)/ α
18. Determinar el centroide de la varilla homogénea doblada en forma
de arco circular
Rpta: xc = 124 mm
yc = 0 mm
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 12
19. Determinar el centroide de la varilla doblada en forma parabólica
Rpta: xc = 0 pies
yc = 1,82 pies
20. Determine el centroide de la superficie sombreada
Rpta: xc = 0 pies
yc = 1,82 pies
21. Determine el centroide de la superficie parabólica sombreada
Rpta: xc =3b/8
yc = 3h/5
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 13
22. Determine la ubicación rc del centroide C de la porción superior de
la cardioide r = a (1 – cos θ)
Rpta rc = 5 a /6
23. Determine el centroide de la superficie sombreada
Rpta: x = y = 9a/20
24. Determine el centroide de la superficie sombreada
Rpta:
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25. Determine el centroide del elipsoide de revolución
Rpta: xc = 0
yc = 3b/8
zc = 0
26. Determine el centroide del solido mostrado
pta: xc = 0
yc = 0
zc = 5h/6
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 15
27. Por integración determine el área y la distancia centroidal yc de la
región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus y
Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del
área sombreada con respecto al eje x
Rpta: A = 3.33 pies2
yc = 1,2 pies
V = 25.1 pie3
28. Por integración determine el área y la distancia centroidal xc de la
región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus -
Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del área
sombreada con respecto al eje y
Rpta: A = 1.33 m2
yc = 0,6 m
V = 5.03 m3
Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 16
BIBLIOGRAFIA
1 BEDFORD &
FOWLER (1996)
Mecánica para ingeniería, Estática. USA
2 BEER &
JHONSTON
(2002)
Mecánica vectorial para ingenieros,
Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogota,
Colombia
3 BELA I. SANDOR
(1993)
Ingeniería Mecánica-Estática. Edit.
Prentice Hall. México.
4 HIBBELER R. C.
(2002)
Ingeniería Mecánica, Estática, editorial
Prentice Hall, Séptima edición, México
5 MERIAM, J. L.
(1998)
“Estática” editorial Jhon Willey.
México
6 RILEY-STURGES
(1996)
Ingeniería Mecánica - Estática. Edit.
Reverte S.A. México
7 SHAMES, IRVIG H.
(1980)
Ingeniería Mecánica Estática. Edit.. Harla.
México