Embed Size (px)
Citation preview
Mecanica y Ondas
Salamanca, 2007-2008. Primer semestre
Indice
1. Sobre la nocion de partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11..1 Posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11..2 Orbita y trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11..3 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21..4 Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Estudio de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32..1 Representacion analıtica de una curva . . . . . . . . . . . . . 32..2 Longitud de un arco de curva. Representacion intrınseca . . 42..3 Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42..4 Vector normal: Curvatura y cırculo osculador . . . . . . . . 42..5 Vector binormal: Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Triedro intrınseco de una curva en el espacio . . . . . . . . . . . . . 53..1 Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Componentes intrınsecas de la aceleracion . . . . . . . . . . . . . . 75. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
i
Cinematica de una partıcula
1. Sobre la nocion de partıcula
En este curso nos referiremos principalmente a partıculas puntuales, llamadastambien puntos materiales, masas puntuales o simplemente partıculas. Se trata deuna idealizacion aplicable cuando lo unico que interesa es conocer la posicion de unpunto del cuerpo porque se puede prescindir de su extension. Es decir, cuando lasdimensiones del cuerpo sean despreciables frente al problema que tratamos. Porejemplo: en el estudio del movimiento de la tierra alrededor del sol esta se puedeconsiderar puntual dado que su radio es de unos 6000 Km frente a la distancia alsol que son 150.000.000 Km.
1..1 Posicion
Para introducir el concepto de movimiento de una partıcula necesitamos un sis-tema de referencia, es decir: un origen de coordenadas, un origen de tiempos, unsistema de coordenadas y un reloj. En tal sistema de referencia la posicion deuna partıcula vendra descrita por su vector posicion. Se dice que una partıcula seencuentra en movimiento en un sistema de referencia cuando su posicion respectodel origen esta cambiando con el tiempo.
1..2 Orbita y trayectoria
Con el transcurso del tiempo, la partıcula describira una curva en el espacio. Dichacurva consistira en una determinada relacion entre las coordenadas de la partıcula.Si damos simplemente la relacion entre las coordenadas con independencia deltiempo, estamos dando la orbita de la partıcula.
Si por el contrario describimos como evolucionan las coordenadas con el tiempo,nos estamos refiriendo a la trayectoria. Por ejemplo, si la curva descrita es unaelipse en el plano, la orbita en cartesianas sera
x2
a2+
y2
b2= 1 (1.1)
1
2 Capıtulo 2
mientras que la trayectoria en el caso, por ejemplo, de que se mueva con velocidadangular constante es
x = a cos ω0t
y = b sin ω0t (1.2)
Como se ve la trayectoria ofrece la posibilidad de saber la posicion de lapartıcula en cada instante de tiempo.
1..3 Velocidad
Sea una partıcula con vector de posicion ~r. Su velocidad es la derivada de ~r conrespecto al tiempo, es decir
~v =~dr
dt≡ ~r = lim δt→0
~r(t + δt)− ~r(t)
δt(1.3)
Este vector se puede calcular en los diferentes sistemas de coordenadas
•cartesianas
vx = x
vy = y
vz = z (1.4)
•polares
vρ = ρ
vϕ = ρϕ
vz = z (1.5)
•esfericas
vr = r
vϕ = r sin θϕ
vθ = rθ (1.6)
1..4 Aceleracion
Se llama aceleracion ~a(t) a la segunda derivada del vector posicion respecto deltiempo
~a(t) = ~r(t) = ~v(t) (1.7)
Su expresion en los distintos sistemas coordenados es:
Cinematica de una partıcula 3
•cartesianas
ax = x
ay = y
az = z (1.8)
•polaresaρ = ρ− ρϕ2
aϕ = ρϕ + 2ρϕ
az = z (1.9)
•esfericasar = r − rθ2 − r sin2 θϕ2
aϕ = r sin θϕ + 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ
aθ = rθ − r sin θ cos θϕ2 + 2rθ (1.10)
Mas adelante hablaremos de las componentes intrınsecas de la aceleracion
2. Estudio de curvas en el espacio
2..1 Representacion analıtica de una curva
Hay varias formas de describir una curva en el espacio:
a) Representacion parametrica
x = x(u)
y = y(u)
z = z(u) (2.1)
donde u es el parametro
b) Si dxdu6= 0 se puede utilizar como parametro la propia coordenada x
y = y(x)
z = z(x) (2.2)
c) Interseccion de dos superficies
F1(x, y, z) = 0
F2(x, y, z) = 0 (2.3)
Aqui utilizaremos preferentemente la forma parametrica.
4 Capıtulo 2
2..2 Longitud de un arco de curva. Representacion intrınseca
Dado un punto de coordenadas (x, y, z) el elemento de arco descrito cuando pasamosa otro punto (x + dx, y + dy, z + dz) a lo largo de una curva dada sera
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (2.4)
que en parametricas sera:
ds =√
x2 + y2 + z2 du (2.5)
donde el punto significa derivada con respecto al parametro u. La integracion de laexpresion (2.5) nos permite expresar la longitud de arco s en funcion del parametrou y por tanto utilizar el propio arco s como parametro. Hablaremos en tal caso derepresentacion intrınseca de la curva cuando la parametricemos en la forma~r = ~r(s), es decir:
x = x(s)
y = y(s)
z = z(s) (2.6)
2..3 Vector tangente
Dada una curva intrınseca ~r = ~r(s), se define el vector tangente a la curva como:
~t =d~r
ds(2.7)
Es facil comprobar que se trata de un vector unitario. En efecto:
~t.~t =d~r
ds.d~r
ds=
(d~r
du
du
ds
).
(d~r
du
du
ds
)=
d~r
du.d~r
du
(du
ds
)2
= (x2 + y2 + x2)
(du
ds
)2
= 1 (2.8)
2..4 Vector normal: Curvatura y cırculo osculador
El vector normal se define como:
~n =1
k
d~t
ds(2.9)
donde k es la curvatura definida como
k =| d~t
ds| (2.10)
Cinematica de una partıcula 5
de forma que ~n es obviamente unitario por construccion. Si derivamos con respectoa s la expresion
~t.~t = 1 (2.11)
obtenemos~t.~n = 0 (2.12)
de forma que ~t y ~n son ortonormales.
Se define como cırculo osculador en un punto ~r0 de una curva al cırculo,situado en el plano formado por ~t y ~n, de radio 1
ky centrado en ~r0 + ~n
k.
2..5 Vector binormal: Torsion
Puesto que ~t y ~n son unitarios y perpendiculares podemos definir un vector unitarioy perpendicular a ambos en la forma:
~b = ~t× ~n (2.13)
Por otra parte si hacemos el calculo de la siguiente expresion
~n× d~b
ds= ~n×
(~t× d~n
ds
)= ~t
(~n.
d~n
ds
)− d~n
ds(~n.~t) =
= ~t
[1
2
d
ds(~n.~n)
]= 0 (2.14)
lo que significa que d~bds
esta en la direccion de ~n y por tanto
d~b
ds= −τ~n (2.15)
El coeficiente de proporcionalidad τ , es decir,
τ = −~n.d~b
ds(2.16)
se denomina torsion de la curva.
3. Triedro intrınseco de una curva en el espacio
Puesto que los vectores ~t, ~n y ~b son unitarios y perpendiculares, en cada punto ~r0
de una curva constituyen una base ortonormal intrınseca a la curva.
6 Capıtulo 2
Los tres planos definidos por estos tres vectores constituyen un triedro de planosperpendiculares que se denomina triedro intrınseco a la curva en el punto ~r0.Estos planos son:
• Plano osculador Es el definido por ~t0 y ~n0 y por tanto perpendicular a ~b0, esdecir el formado por los puntos ~r tales que
(~r − ~r0).~b0 = 0 (3.1)
• Plano normal Es el perpendicular a ~t0, es decir el formado por los puntos ~r
tales que(~r − ~r0).~t0 = 0 (3.2)
• Plano rectificante Es el perpendicular a ~n0, es decir el formado por los puntos
~r tales que(~r − ~r0).~n0 = 0 (3.3)
3..1 Formulas de Frenet
Con las definiciones anteriores es facil comprobar que se verifican las siguientesecuaciones, denominadas Formulas de Frenet.
d~t
ds= k~n
d~n
ds= τ~b− k~t
d~b
ds= −τ~n (3.4)
d
ds
~t~n~b
=
0 k 0−k 0 τ0 −τ 0
~t~n~b
.
Cinematica de una partıcula 7
4. Componentes intrınsecas de la aceleracion
Si pasamos ahora al parametro fısico que es el tiempo, tendremos
s = s(t) (4.1)
de forma que
~v =d~r
ds
ds
dt= v~t (4.2)
dondev = s (4.3)
ya que ~t es unitario. Por tanto el vector velocidad es siempre paralelo al vectortangente.
Si derivamos ahora (4.2) respecto al tiempo tenemos:
~a = v~t + vd~t
ds
ds
dt= v~t + v2k~n (4.4)
que es la representacion intrınseca de la aceleracion. Como vemos esta en el planoosculador. Sus proyecciones en las direcciones de ~t y ~n reciben el nombre de:
• aceleracion tangencialat = v (4.5)
• aceleracion normalan = kv2 (4.6)
8 Capıtulo 2
5. Problemas
Enunciados
1) Una partıcula se mueve sometida a la aceleracion
~a = 2e−t~i + 5 cos t~j − 3 sen t~k
En el instante t = 0 la partıcula esta situada en el punto~i− 3~j +2~k con velocidad~v0 = 4~i− 3~j + 2~k. Calcular la velocidad y la posicion de la partıcula en cualquierinstante.
2) Encontrar la velocidad, aceleracion y componentes intrınsecas de esta para unapartıcula que se mueve en la elipse.
x = acosωt, y = b sin ωt
3) Calcular el elemento de arco, los vectores normal, tangente y binormal y eltriedro intrınseco para la curva
x = R cos2 t, y = R cos t sin t, z = R sin t
4) Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas en los intervalos indicados:a) x = et cos t; y = et sen t; z = et, desde t = 0 hasta t = 2.
b) y = a arcsin xa; z = a
4ln a+x
a−x, desde (0, 0, 0) hasta (x0, y0, z0).
c) x2 = 3y; 2xy = 9z, desde (0, 0, 0) hasta (3, 3, 2).
5) Una partıcula de masa m y carga q se encuentra bajo la accion de un campo
magnetico ~B = (mc/q)ω0~k. Encontrar y analizar la curva que describe la partıcula
en los siguientes casos:a) Parte del origen con velocidad inicial ~v0 = (0, v0, 0).b) Parte del origen con velocidad inicial ~v0 = (0, 0, v0).c) Parte del punto ~r0 = (x0, 0, 0) con velocidad inicial ~v0 = ω0x0(0, 1, 1).
6) Determinar para el caso c) del problema anterior la longitud de arco, los vectorestangente y normal, y el triedro intrınseco para t = 0, t = π
4ω0y t = π
2ω0.
Cinematica de una partıcula 9
7) Estudiar la curva que describe una partıcula situada a t = 0 en el origencon velocidad inicial ~v0 = v0
~j, si se encuentra bajo la accion de una fuerza~F = m (6αt~i +
√6αv0
~k). Determinar asimismo la longitud de arco, los vectorestangente y normal, y el triedro intrınseco para t = 0.
8) Un bote parte desde un punto P de una orilla de un rıo y viaja con velocidadconstante (en modulo) v en direccion hacia el punto Q que se encuentra enfrenteen la otra orilla, siendo D la anchura del rıo. Si r es la distancia instantanea de Qal bote, θ el angulo entre r y PQ, y la corriente del rıo tine a velocidad c, probarque el camino del bote viene dado por la expresion
r =D sec θ
(sec θ + tg θ)v/c
Probar tambien que cuando c = v el camino es un arco de parabola.
9) Un punto describe una circunferencia de radio R en el sentido contrario a lasagujas del reloj, de forma que la componente de su aceleracion sobre un diametrofijo, que se tomara como el eje de las X, es nula. Sabiendo que en el instante inicialla componente del vector velocidad paralela al citado diametro vale v0, hallar, enfuncion de θ y del tiempo:
a) Los vectores posicion, velocidad y aceleracion de la partıcula.b) Las componentes intrınsecas del vector aceleracion.
10) Un punto P de una circunferencia de radio R rueda sin resbalar sobre el ejeX con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones parametricas que describenel movimiento de dicho punto. Determinar asimismo la curvatura, la velocidad yla aceleracion, y las componentes intrınsecas de esta. ¿ Cuales son las velocidadesmamima y mınima y a que punto de la curva corresponden?
10 Capıtulo 2
1) Una partıcula se mueve sometida a la aceleracion
~a = 2e−t~i + 5 cos t~j − 3 sen t~k
En el instante t = 0 la partıcula esta situada en el punto ~r0 = ~i − 3~j + 2~k convelocidad ~v0 = 4~i− 3~j + 2~k. Calcular la velocidad y la posicion de la partıcula encualquier instante.
Solucion
Teniendo en cuenta que la aceleracion es ~a = d~vdt
integramos para obtener la ex-presion del vector velocidad
~v =
∫~adt = (−2e−t~i + 5 sin t~j + 3 cos t~k) + ~A
siendo ~A un vector constante de integracion que calcularemos con la condicioninicial ~v(t = 0) = ~v0.
−2~i + 3~k + ~A = 4~i− 3~j + 2~k
Se tiene por tanto que ~A = 6~i− 3~j − ~k
y la expresion para el vector velocidad es
~v = (−2e−t + 6)~i + (5 sin t− 3)~j + (3 cos t− 1)~k
Procediendo de la misma forma, el vector de posicion se calculara a partir delvector velocidad como
~r =
∫~vdt = (2e−t + 6t)~i + (−5 cos t− 3t)~j + (3 sin t− t)~k + ~B
La condicion inicial ~r(t = 0) = ~r0 para la posicion de la partıcula permite ahoracalcular
2~i− 5~j + ~B =~i− 3~j + 2~k
~B = −~i + 2~j + 2~k
y por tanto
~r = (2e−t + 6t− 1)~i + (−5 cos t− 3t + 2)~j + (3 sin t− t + 2)~k
Cinematica de una partıcula 11
020406080–12
–8–4
0
–40
–30
–20
–10
12 Capıtulo 2
2) Encontrar la velocidad, aceleracion y componentes intrınsecas de esta para unapartıcula que se mueve en la elipse.
x = acosωt, y = b sin ωt
Solucion
El vector de posicion para una partıcula que se mueve en una elipse de semiejes ay b viene dado por la expresion
~r = a cos ωt~i + b sin ωt~j
La velocidad sera entonces
~v = ~r = ω(−a sin ωt~i + b cos ωt~j)
cuyo modulo es
v = ω√
a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt
La aceleracion queda de la forma
~a = ~r = −ω2~r
y su modulo
a = ω2√
a2 cos2 ωt + b2 sin2 ωt
–3
–2
–1
0
1
2
3
–1 –0.5 0.5 1
Cinematica de una partıcula 13
La componente tangencial de la aceleracion esta dirigida en la direccion de ~v ysu modulo es
at =~v.~a
v=
ω2(a2 − b2) sin ωt cos ωt√a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt
Por lo tanto la aceleracion tangencial sera
~at = at~v
v=
ω2(a2 − b2) sin ωt cos ωt
a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt(−a sin ωt~i + b cos ωt~j)
Teniendo en cuenta que ~an = ~a − ~at tenemos que la componente normal de laaceleracion es
~an = −abω2 b cos ωt~i + a sin ωt~j
a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt
y su modulo
an =abω2
√a2 sin2 ωt + b2 cos2 ωt
Es facil comprobar que se verifica a2 = a2t + a2
n.
14 Capıtulo 2
3) Calcular el elemento de arco, los vectores normal, tangente y binormal y eltriedro intrınseco para la curva
x = R cos2 t, y = R cos t sin t, z = R sin t
Solucion
El elemento diferencial de arco viene dado por medio de la expresion ds2 = dt2(x2+y2 + z2). En este caso
x = −R sin 2t
y = R cos 2t
z = R cos t
Operando obtenemos para el elemento diferencial de arco
ds = R√
1 + cos2 t dt = R
√3 + cos 2t
2dt
00.2
0.40.6
0.81
–0.6–0.4
–0.20
0.20.4
0.6
–1
–0.5
0
0.5
1
En cuanto al vector tangente, tomara la forma
~t =d~r
dt
dt
ds=
√2
3 + cos 2t(− sin 2t, cos 2t, cos t)
que en el punto con t = π/4 es el vector√
2
3
(−1, 0,
1√2
)
Cinematica de una partıcula 15
Para calcular el vector normal es preciso determinar primero el vector ~K,
~K =d~t
dt
dt
ds=
2
R(3 + cos 2t)2×
(− cos 2t(6 + cos 2t),− sin 2t(6 + cos 2t), cos t sin 2t− sin t(3 + cos 2t))
La curvatura sera simplemente el modulo de ~K y el vector normal vendra dadopor ~n = 1
kd~tds
, que en el punto considerado es el vector
~n =1
2√
10(0,−6,−
√2)
El vector binormal es el vector perpendicular a ~t y ~n que en t = π/4 es
~b(π/4) = ~t(π/4)× ~n(π/4) =1
2√
15(3√
2,−√
2, 6)
Por ultimo el triedro intrınseco en t = π/4 esta constituido por los planos normal,rectificante y osculador; es trivial comprobar que en este punto tienen, respectiva-mente, las ecuaciones
√2x− z = 0,
6y +√
2z − 4 = 0,
3√
2x−√
2y + 6z − 4√
2 = 0
16 Capıtulo 2
4) Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas en los intervalos indicados:a) x = et cos t; y = et sen t; z = et, desde t = 0 hasta t = 2.
b) y = a arcsin xa; z = a
4ln a+x
a−x, desde (0, 0, 0) hasta (x0, y0, z0).
c) x2 = 3y; 2xy = 9z, desde (0, 0, 0) hasta (3, 3, 2).
Solucion
El elemento diferencial de arco ds se determina a partir de la expresion
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
a) x = et cos t; y = et sen t; z = et,En este caso tenemos la curva en forma parametrica y por lo tanto
ds2 = dt2(x2 + y2 + z2)
donde el punto indica derivadas con respecto al parametro t. Es facil comprobarque
ds =√
3etdt
que una vez integrada proporciona la longitud de arco, que en el intervalo consid-erado sera
ds =√
3
∫ 2
0
et dt =√
3(e2 − 1)
b) y = a arcsin xa; z = a
4ln a+x
a−x,
En este caso el elemento diferencial de arco vendra dado por
ds2 = dx2
(1 +
(dy
dx
)2
+
(dz
dx
)2)
donde a partir de las expresiones para y y z se tiene
dy
dx=
a√a2 − x2
,dz
dx=
a2
2(a2 − x2)
Operando obtenemos
s =1
2
∫ x0
0
3a2 − 2x2
a2 − x2dx = x0 + z0
c) x2 = 3y; 2xy = 9z,Para este caso podemos expresar y y z en funcion de x
y =x2
3, z =
2
27x3
Cinematica de una partıcula 17
La longitud de arco en el intervalo indicado sera simplemente
s =
∫ 3
0
(2
9x2 + 1
)dx = 5
02
46
810 5 10 15 20 25 30
010203040506070
18 Capıtulo 2
5) Una partıcula de masa m y carga q se encuentra bajo la accion de un campo
magnetico ~B = (mc/q)ω0~k. Encontrar y analizar la curva que describe la partıcula
en los siguientes casos:a) Parte del origen con velocidad inicial ~v0 = (0, v0, 0).b) Parte del origen con velocidad inicial ~v0 = (0, 0, v0).c) Parte del punto ~r0 = (x0, 0, 0) con velocidad inicial ~v0 = ω0x0(0, 1, 1).
Solucion
La ecuacion del movimiento para la partıcula es, teniendo en cuenta la expresionpara el campo magnetico ~B
md~v
dt=
q
c(~v × ~B) = mω0(~v × ~k)
Esta ecuacion vectorial puede escribirse en componentes como
dvx
dt= ω0vy
dvy
dt= −ω0vx
dvz
dt= 0
Integrando las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones para las compo-nentes del vector velocidad
vx = α sin(ω0t + β)
vy = α cos(ω0t + β)
vz = γ
siendo α, β y γ constantes de integracion. Las componentes del vector de posicionse obtendran tras una nueva integracion:
x = a− α
ω0
cos(ω0t + β)
y = b +α
ω0
sin(ω0t + β)
z = c + γt
Tenemos por lo tanto seis constantes de integracion a determinar con las condi-ciones iniciales correspondientes a cada uno de los casos.
Cinematica de una partıcula 19
a) La partıcula parte del origen con velocidad inicial ~v0 = (0, v0, 0). Las constantesde integracion con estas condiciones iniciales son β = 0, α = v0, γ = 0 y a =α/ω0, b = c = 0. Sustituyendo los valores anteriores el resultado es
x =v0
ω0
(1− cos ω0t)
y =v0
ω0
sin ω0t
z = 0
Las ecuaciones anteriores constituyen la trayectoria de la partıcula bajo esas condi-ciones iniciales. Es facil comprobar que, eliminando entre ellas el tiempo, la orbitaque describe la partıcula en este caso es la circunferencia de radio v0/ω0 y concentro en el punto (v0/ω0, 0),
(x− v0
ω0
)2
+ y2 =
(v0
ω0
)2
b) En este caso suponemos que la partıcula parte del origen con velocidad ~v0 =(0, 0, v0). Las constantes de integracion son ahora α = 0, γ = v0 y a = b = c = 0;la sustitucion de estos valores en las ecuaciones nos dan para la trayectoria unalinea recta de ecuacion
z = v0t
c) La partıcula parte del punto ~r0 = (x0, 0, 0) con velocidad ~v0 = (0, ω0x0, ω0x0), encuyo caso los valores para las constantes de integracion son α = x0ω0, β = 0, γ =x0ω0, a = 2x0y b = c = 0.
Las ecuaciones de la trayectoria son
x = 2x0 − x0 cos ω0t
y = x0 sin ω0t
z = x0ω0t
que corresponden a las ecuaciones parametricas de una espiral cilındrica como lade la figura
20 Capıtulo 2
–1–0.5
00.5
1
–3–2
–10
12
3
0
4
8
12
Cinematica de una partıcula 21
6) Determinar para el caso c) del problema anterior la longitud de arco, los vectorestangente y normal, y el triedro intrınseco para t = 0, t = π
4ω0y t = π
2ω0.
Solucion
Consideremos los resultados obtenidos en el apartado c) del problema anterior. Elvector de posicion de la partıcula es
~r = (x0 cos ω0t, x0 sin ω0t, x0ω0t)
y por tanto el elemento diferencial de arco ds sera
ds =√
2x0ω0dt
Se define el vector tangente a una curva como el vector ~t = d~rds
, que para nuestrocaso sera
~t =d~r
ds=
d~r
dt
dt
ds=
1√2(− sin ω0t, cos ω0t, 1)
El vector normal se define como ~n = 1K
d~tds
, donde
~K =d~t
ds=
d~t
dt
dt
ds=
1
2x0
(− cos ω0t,− sin ω0t, 0)
y por tanto~n = (− cos ω0t,− sin ω0t, 0)
siendo la curvatura K = 1/(2x0). El vector binormal sera
~b = ~t× ~n =1√2(sin ω0t,− cos ω0t, 1)
La torsion de una curva viene definida a partir de la derivada con respecto al arcodel vector binormal
τ = −~n.d~b
ds=
1
2x0
Calculemos ya el triedro intrınseco a la curva en cada punto dado por el vectorde posicion ~r0. Se trata de un conjunto de tres planos construidos a partir de losvectores tangente, normal y binormal.El plano osculador, definido por ~t0 y ~n0 y por tanto perpendicular al vector ~b0,dado por la ecuacion
(~r − ~r0).~b0 = 0
El plano normal, definido por ~n0 y ~b0 y por tanto perpendicular al vector ~t0, dadopor la ecuacion
(~r − ~r0).~t0 = 0
22 Capıtulo 2
El plano rectificante, definido por ~t0 y ~b0 y por tanto perpendicular al vector ~n0,dado por la ecuacion
(~r − ~r0).~n0 = 0
Veamos cuales son dichos planos para cada uno de los valores de t del enunciado.
1) t = 0Los vectores de posicion, tangente, normal y binormal son en este caso
~r0 = (x0, 0, 0), ~t0 =1√2(0, 1, 1)
~n0 = (−1, 0, 0), ~b0 =1√2(0,−1, 1)
El triedro intrınseco esta constituido por los planos
z − y = 0, y + z = 0, x = x0
2) t = π4ω0
Los vectores de posicion, tangente, normal y binormal son en este caso
~r0 = x0
(1√2,
1√2,π
4
), ~t0 =
1√2
(− 1√
2,
1√2, 1
)
~n0 =1√2(−1,−1, 0), ~b0 =
1√2
(1√2,− 1√
2, 1
)
El triedro intrınseco esta constituido por los planos
1√2(x− y) + z =
π
4x0, x + y =
√2x0,
1√2(y − x) + z =
π
4x0
3) t = π2ω0
Los vectores de posicion, tangente, normal y binormal son en este caso
~r0 =(0, x0,
π
2x0
), ~t0 =
1√2
(−1, 0, 1)
~n0 = (0,−1, 0), ~b0 =1√2
(1, 0, 1)
El triedro intrınseco esta constituido por los planos
x + z =π
2x0, z − x =
π
2x0, y = x0
Cinematica de una partıcula 23
7) Estudiar la curva que describe una partıcula situada a t = 0 en el origen
con velocidad inicial ~v0 = v0~j, si se encuentra bajo la accion de una fuerza ~F =
m(6αt~i+√
6αv0~k). Determinar asimismo la longitud de arco, los vectores tangente
y normal, y el triedro intrınseco para t = 0.
Solucion
La segunda ley de Newton nos proporciona la ecuacion del movimiento
~F = md2~r
dt= m(6αt~i +
√6αv0
~k)
01000
20003000
0 2 4 6 8 10 12 14
0
50
100
150
200
250
Integrando la ecuacion anterior podemos calcular las componentes del vectorde posicion
x = αt3 + at + x0
y = bt + y0
z = z0 + ct +1
2
√6αv0t
2
donde a, b, c, x0, y0, z0 son constantes de integracion a determinar haciendo uso delas condiciones iniciales. Teniendo en cuenta que la partıcula parte del reposo convelocidad ~v0 = (0, v0, 0), tenemos que estas constantes toman los valores a = c =x0 = y0 = z0 = 0 y b = v0. La trayectoria para la partıcula es
x = αt3
y = v0t
z =1
2
√6αv0t
2
24 Capıtulo 2
Pasemos ya a analizar la curva anterior. En primer lugar calculamos el elementodiferencial de arco que sera de la forma
ds = (3αt2 + v0) dt
Los vectores tangente, normal y binormal quedan
~t =d~r
ds=
1
v0 + 3αt2(3αt2, v0,
√6αv0t
)
d~t
ds=
K =
~n =1
K
d~t
ds=
1
v0 + 3αt2(√
6αv0t,−√
6αv0t, v0 − 3αt2)
~b = ~t× ~n =1
v0 + 3αt2(v0, 3αt2,−√6αv0t
)
y la curvatura y la torsion toman el mismo valor
K = τ =
√6αv0
(v0 + 3αt2)2
Por ultimo, para calcular el triedro intrınseco en t = 0, utilizamos los vectores~r0 = (0, 0, 0), ~t0 = (0, 1, 0), ~n0 = (0, 0, 1), ~b0 = (1, 0, 0). Los planos osculador,normal y rectificante tienen por ecuaciones, respectivamente,
x = 0, y = 0, z = 0
Cinematica de una partıcula 25
8) Un bote parte desde un punto P de una orilla de un rıo y viaja con velocidadconstante (en modulo) v en direccion hacia el punto Q que se encuentra enfrenteen la otra orilla, siendo D la anchura del rıo. Si r es la distancia instantanea de Qal bote, θ el angulo entre r y PQ, y la corriente del rıo tine a velocidad c, probarque el camino del bote viene dado por la expresion
r =D sec θ
(sec θ + tg θ)v/c
Probar tambien que cuando c = v el camino es un arco de parabola.
Solucion
��
��
�� ��
��
ϕ
La velocidad del bote escrita en el sistema de coordenadas con vectores unitarios~jr y ~jϕ viene dada por
~u = (c cos ϕ− v)~jr − c sin ϕ~jϕ
En estas coordenadas el vector velocidad se escribe en general en la forma
~u = r~jr + rϕ~jϕ
Comparando las dos expresiones anteriores tenemos las ecuaciones diferenciales
r = c cos ϕ− v,
rϕ = −c sin ϕ
Interesa determinar una relacion entre r y ϕ. Las ecuaciones anteriores proporcio-nan la ecuacion diferencial
dr
dϕ=
dr
dt
dt
dϕ=
r
ϕ= −r
c cos ϕ− v
c sen ϕ
26 Capıtulo 2
La solucion de esta ecuacion es
r = r0(tg(ϕ/2))v/c
sin ϕ
siendo r0 la constante de integracion a determinar utilizando las condiciones ini-ciales r(π/2) = D. El valor para esta constante es entonces r0 = D, y en conse-cuencia
r =D
2
(senϕ/2)v/c−1
(cosϕ/2)v/c+1
Caso c<Vo, c=Vo
0
1
0.5
que proporciona la expresion para el camino que sigue el bote.• Consideremos ahora el caso particular en el cual c = v; el camino vendra
dado simplemente por
r =D
2(cosϕ/2)2
Pasando a coordenadas cartesianas, teniendo en cuenta que x = r cos ϕ, y = r sen ϕes facil ver que la expresion para el camino seguido por el bote se escribe en estecaso particular como
x = D
(2− 1
cos2(ϕ/2)
), y = 2D
sen(ϕ/2)
cos(ϕ/2)
y por tanto
y2 = −2D
(x− D
2
)
Se trata por lo tanto de una parabola con vertice en el punto (D/2, 0) y foco enel origen de coordenadas.
Cinematica de una partıcula 27
Caso c>Vo
0
1
• Volviendo al caso general en el cual v 6= c, las expresiones correspondientespara x e y son
x =D
2
(senϕ/2)v/c−1
(cosϕ/2)v/c+1cos ϕ
y =D
2
(senϕ/2)v/c−1
(cosϕ/2)v/c+1sen ϕ
Para el instante inicial en el cual el bote se encuentra en el punto P , ϕ = π/2 yse tiene que x = 0, y = D. Para un valor del angulo ϕ = 0, el bote llegara a laorilla opuesta y entonces y = 0 mientras que el valor de la coordenada x dependedel valor de v/c. Si v/c > 1 entonces x = 0, y si v/c < 1 el eje X es una asintotade la curva. Como vimos anteriormente, para el caso particular en que v = c lacoordenada x para ϕ = 0 es exactamente x = D/2. Por lo tanto para que elbote llegue a la otra orilla es condicion necesaria que v > c. En el caso particularv = c el bote alcanzara la otra orilla pero no en el punto Q, sino que lo hara a unadistancia D/2 de Q. Las graficas muestran el camino seguido por el bote en losdistintos casos
28 Capıtulo 2
9) Un punto describe una circunferencia de radio R en sentido contrario a lasagujas del reloj, de forma que la componente de su aceleracion sobre un diametrofijo, que se tomara como el eje de las X, es nula. Sabiendo que en t = 0 lacomponente del vector velocidad paralela al citado diametro vale v0, hallar, enfuncion de ϕ y del tiempo:
a) Los vectores posicion, velocidad y aceleracion de la partıcula.b) Las componentes intrınsecas del vector aceleracion.
Solucion
• El vector de posicion de la partıcula viene dado por
~r = R(cos ϕ~i + sen ϕ~j)
• y los vectores velocidad y aceleracion seran:
~v = R(− sen ϕ~i + cos ϕ~j)ϕ
~a = −R(cos ϕ~i + sin ϕ~j)ϕ2 + R(− sen ϕ~i + cos ϕ~j)ϕ
respectivamente. Puesto que la componente de la aceleracion sobre el eje X esnula, ax = 0, tendremos la siguente ecuacion para ϕ
− cos ϕϕ2 − sen ϕϕ = 0
cuya solucion, con las condiciones iniciales vx = v0, toma la forma
ϕ = − v0
R sen ϕ
Los vectores velocidad y aceleracion se escrben entonces en terminos de ϕ en laforma
~v = v0(~i− cotan ϕ~j)
~a = − v20
R sen3 ϕ~j
Si deseamos escribir los vectores en funcion del tiempo, bastara con integrar denuevo la ecuacion diferencial para ϕ, obteniendose de esta forma
cos ϕ =v0
R(t− t0)
• El modulo de la velocidad es:v =
v0
sin ϕ
Cinematica de una partıcula 29
de forma que el vector tangente es:
~t =~v
v= (sen ϕ,− cos ϕ)
y el normal sera
~t =~v
v= (cos ϕ, sen ϕ)
• A continuacion pasamos a calcular las componentes intrınsecas de la aceleracion.
at = ~a.~t =v2
0
R
cos ϕ
sin3 ϕ
an = ~a.~n = −v20
R
1
sin2 ϕ
30 Capıtulo 2
10) Un punto P de una circunferencia de radio R rueda sin resbalar sobre el ejeX con velocidad angular ω. Encontrar las ecuaciones parametricas que describenel movimiento de dicho punto. Determinar asimismo la curvatura, la velocidad yla aceleracion, y las componentes intrınsecas de esta. ¿ Cuales son las velocidadesmamima y mınima y a que punto de la curva corresponden?
Solucion
Supongamos inicialmente el centro de la circunferencia en el punto de coordenadas(0, R) y el punto P en el extremo derecho del dimetro horizontal. Sea φ = ωt elangulo descrito por la circunferencia en un tiempo t. En estas condiciones es facilcomprobar que las ecuaciones parametricas que describen el movimiento de P son
x = R(ωt + cos ωt),
y = R(1− sin ωt)
A continuacion procedemos a determinar la curvatura. Para ello calculamos enprimer lugar el elemento diferencial de arco
ds = Rω√
(1− sin(ωt))2 + cos2(ωt) dt = Rω√
2(1− sin(ωt))dt
El vector tangente sera
~t =d~r
ds=
d~r
dt
dt
ds=
1√2
(√1− sen(ωt),−
√1 + sen(ωt)
)
Cinematica de una partıcula 31
La curvatura de la curva en cada punto vendra dada por el modulo del vector ~K
~K =d~t
ds=
1
4R
(−
√1 + sen(ωt)
1− sen(ωt),−1
)
y sera por tanto
K =1
4R
√2
1− sin(ωt)
de forma que el vector normal es :
~n = −√
2(√
1 + sen(ωt),√
1− sen(ωt))
• El Vector velocidad es:
~v = Rω (1− sen(ωt),− cos(ωt))
cuyo modulo es:v =
√2Rω
√1− sin(ωt)
y por tanto~v =
√2Rω
√1− sin(ωt)~t
Los valores maximos y mınimos de la velocidad, estos se encuentra respec-tivamente para ωt = 3π
2+ 2nπ y ωt = π
2+ 2nπ (siendo n un numero entero),
y toman, respectivamente, los valores vmax = 2ωR y vmin = 0. Los puntos dela curva donde la velocidad es maxima corresponden a puntos de coordenadasR(3π
2+ 2nπ, 2), mientras que aquellos donde la velocidad es nula se localizan en
los puntos R(π2
+ 2nπ, 0):• En cuanto al vector aceleracion sera:
~a = Rω2 (− cos(ωt), sin(ωt))
cuyo modulo es constantea = Rω2
y sus componentes normal y tangencial son:
at = ~a.~t = −Rω2
√2
√1 + sin(ωt)
an = ~a.~n =Rω2
√2
√1− sin(ωt)
Como consecuencia de lo anterior se deduce que el modulo de la aceleracionpermanece constante a lo largo de la curva aunque no lo hacen sus componentesintrınsecas.
