mediante procesadores digitales PROCESO u(t) y(t) 2.1 ... · Generalidades sobre Control Digital. ... Para que el computador pueda ejecutar sus diversas actividades en tiempo real

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-1

2. Controladores implementados

mediante procesadores digitales

2.1. Generalidades sobre Control Digital.

Las ventajas del control digital con respecto de las implementaciones analógicas están dadas por

los puntos siguientes: una fácil reconfigurabilidad funcional, un muy amplio rango de ajuste de

parámetros y una gran constancia temporal de los valores ajustados (excepto eventuales derivas

‘offset’ de los convertidores de entrada/salida).

Un sistema controlado por computadora posee la estructura general que se muestra en la Fig. 2.1.

Está constituido por el proceso a controlar (sistema continuo en el tiempo, cuyas señales de

entrada y salida son funciones continuas del tiempo); un muestreador junto con un conversor

analógico-digital discretiza en el tiempo y cuantifica la señal de salida del proceso (y),

conformando los datos de entrada al algoritmo de control implementado en una computadora

digital. El algoritmo calcula el valor numérico de la variable de control (u) que es transformado

en un señal continua mediante un convertidor digital-analógico dotado de un dispositivo de

retención (hold).

RED DE COMUNICACIONES

CONV. D/A CON RETENCIÓN

MUESTREADOR Y CONV. A/D

PROCESO

COMPUTADORA

y(t)

yk

u(t)

uk

Fig. 2.1. Esquema de un sistema controlado por computadora.

Las comunicaciones entre el proceso o, expresándolo con precisión, entre los convertidores A/D

y D/A y la computadora se realiza mediante un enlace de datos o una red de datos. Por cierto,

todas las operaciones utilizan para su sincronización el reloj de la computadora y son gobernadas

por medio de un sistema operativo en tiempo real.


Utilizando una computadora digital para implementar las leyes de control, la secuencia ideal de

operaciones es la siguiente:

1. Esperar la señal de interrupción de reloj

2. Convertir y leer la señal de entrada analógica (y)

3. Calcular la señal de control (u)

4. Actualizar la señal analógica de control

5. Actualizar las variables internas del controlador

6. Ir a 1.

Con esta implementación se minimiza el retardo de cálculo. Dependiendo del sistema operativo

en tiempo real y de los tiempos de conversión A/D y D/A, el retardo de cálculo o retardo

computacional puede variar de muestra en muestra (‘jitter’). Ello puede hacerse aún más

pronunciado si el algoritmo de control incluye pasos iterativos u optimizaciones. Una manera de

reducir la variación en el retardo de cálculo es introducir un paso entero de muestreo como

retardo del controlador haciendo 1( ) ( )k ku t y t , (ver Fig. 2.2-B). El retardo de cálculo se

hace así más determinístico, pero también más prolongado, lo que en general no es bueno para la

performance del sistema a lazo cerrado. En cada caso particular deberá efectuarse un análisis de

la influencia del retardo de cálculo y sus variaciones sobre el comportamiento del sistema.

Fig. 2.2. Dos maneras de sincronizar señales de entrada y salida. En (A) las señales de control son apli-

cadas inmediatamente luego de ser calculadas; en (B) la señales medidas en el instante tk son empleadas

para calcular la señal que será aplicada en el instante tk+1. h = tk – tk-1 es el período de muestreo.

La aplicación de un microcomputador a un sistema de control se realiza implementando

físicamente el esquema de hardware mostrado en la Fig. 2.3. Además del algoritmo de control,

que requiere en la mayoría de los casos un programa pequeño pero que sin embargo ocupa un

gran porcentaje del tiempo de cálculo, el computador admite funciones de servicio a través del


teclado y posibilita la presentación visual de funciones auxiliares que son útiles para el comando

y supervisión del proceso. Muchas computadoras de procesos poseen una interfase de

comunicaciones que facilitan su integración en sistemas jerárquicos de automatización.

Teclado

Display

RAM Memoria

Datos

EPROM Memoria

Programa

CPU

Interface de

Comunicaciones

Interface del Proceso

Converts. A/D y D/A

Timer

Bus

Bus serial

Fig. 2.3. Esquema de un controlador digital de procesos.

Para que el computador pueda ejecutar sus

diversas actividades en tiempo real de acuerdo

a un orden de prioridades, la programación

debe ser subdividida en partes o tareas

(‘tasks’). Estas tareas son iniciadas en tiempos

predeterminados empleando un timer progra-

mable (reloj sincronizador). El timer por una

parte inicia la entrada y salida de las señales

del proceso y, por otra parte, envía una

interrupción a la CPU, la que procede a

ejecutar otro programa. En su forma más

sencilla, el computador posee dos planos o

niveles de programación:

El programa de segundo plano

(‘background’) que ejecuta tareas de

baja prioridad (visualización, super-

visión, servicios).

El programa de primer plano

(‘foreground’), iniciado por la inte-

rrupción del timer, que ejecuta el

algoritmo de control. Posee la máxima

prioridad (programa principal) y no puede ser interrumpido por otras tareas. La Fig. 2.4. muestra

el diagrama de flujo del programa a partir del encendido del computador.

Concluida la fase de inicialización, la intercalación temporal de los programas sigue el andar

indicado en la Fig. 2.5. Regularmente, con el período T de muestreo, se interrumpe el programa

de background y se inicia el programa de primer plano. En primer lugar se salva el estado del

programa interrumpido y luego se leen los datos del proceso (conversión A/D). Luego sigue la

elaboración de los datos de acuerdo con el algoritmo de control, terminando con la entrega de

Fig. 2.4. Secuencia de programa.

Inicialización Hardware

Inicialización Software

Liberar Interrupciones

Multitasking cooperativo

Entrada del Proceso (A/D)

Cálculo Algoritmo ctrl

Salida al Proceso (D/A)

Programa Interrumpible (background)

Señal de Interrupción

Reset

I Return

Int


datos al proceso (conversión D/A) y la restitución del estado del programa de background. El

retorno al segundo plano puede variar ligeramente de acuerdo a las ramificaciones del programa

principal, en el que deberá evitarse la inclusión de lazos de longitud variable a fin de garantizar

que su ejecución se complete dentro del período de muestreo.

Fig. 2.5. Intercalación de niveles.

La programación de segundo plano incluye entre otros: comandos de puesta en marcha, tareas

de diagnóstico y comunicaciones. Se estructura como un multitasking cooperativo simple, de

acuerdo a la figura siguiente.

Fig. 2.6. Multitasking.

Las condiciones de inicio de las diferentes tareas configuran una cadena, ejecutándose en cada

caso la tarea cuya condición se cumple. Dentro de las tareas, el procesador no puede ejecutar

esperas condicionadas: tales esperas deberán convertirse en condiciones de inicio con su

correspondiente tarea asociada. El tiempo de ejecución de cada tarea debe ser lo más corto

posible para que el comportamiento temporal de las restantes tareas no sea perturbado por el

retraso inducido.

El intercambio de datos entre tasks del mismo nivel se realiza mediante estructuras estáticas de

datos globales, o bien mediante empaquetamiento en procedimientos si se utiliza programación

orientada a objetos.

El intercambio de datos entre programas de diferentes niveles requiere de mucho cuidado.

Mediante una sincronización especial se debe asegurar que las estructuras de datos sean

transferidas de manera completa en un ciclo de muestreo del programa de control, evitando que

la señal de interrupción del timer deje incompleta una operación de lectura o escritura de datos.

Foreground

Background

SÍ

NO NO NO

SÍ SÍ


2.1.1. Problemas derivados del muestreo.

La interacción entre señales continuas y discretas vuelven variantes en el tiempo a los sistemas

muestreados. Supóngase en la Fig. 2.1 que una perturbación se sumara a la salida del proceso.

La invariancia temporal requiere que un desplazamiento en el tiempo de la excitación de un

sistema dé por resultado un desplazamiento similar en su respuesta. Dado que la conversión A/D

está gobernada por un reloj, el sistema reaccionará de manera diferente si la perturbación es

desplazada en el tiempo. El sistema se mantendrá invariante en el supuesto que todos los

cambios en las variables del sistema, entradas y perturbaciones se sincronizan con los instantes

de muestreo. Recíprocamente, si la frecuencia de muestreo es suficientemente elevada con

respecto a las frecuencias propias de la dinámica del sistema y sus perturbaciones, el sistema

muestreado podrá considerarse como invariante.

Si las señales senoidales sin(1.8 t - ) y sin(0.2 t) que se grafican en la Fig. 2.7 son

muestreadas a la frecuencia s=2 /h, con h =1; desde el punto de vista de la señal

muestreada las sinusoides no pueden ser distinguidas entre sí.

Fig. 2.7. Para un período de muestreo h =1, las señales de 0.1Hz (línea de puntos) y

0.9Hz (línea continua) poseen los mismos valores en los instantes de muestreo. Desde el

punto de vista de la señal muestreada, la sinusoide de 0.9Hz produce un “alias” de 0.1Hz.

El muestreo es entonces una operación no lineal y acarrea pérdidas de información, en cuanto no

está garantizada la reconstrucción de la señal continua original a partir de la señal muestreada.

El ejemplo que acabamos de analizar, puede comprenderse mejor, si consideramos dos señales

senoidales

1

2

( ) sin( )

( ) sin( )

s

f t t

f t t n t (2.1)

donde s=2 /h es la frecuencia de muestreo y n un entero cualquiera. En los instantes de

muestreo ( , 0,1,2, t kh k ) se tendrán las señales discretas en el tiempo

1

01

2

2 1

( ) sin( )

2( ) sin( ) sin( ) cos(2 ) cos( ) sin(2 )

es decir: ( ) sin( ) ( )

f kh kh

f kh kh n kh kh nk kh nkh

f kh kh f kh

(2.2)

En definitiva, el muestreo produce un plegado del dominio de frecuencias (‘frequency folding’)

alrededor de s. Una de las maneras en que puede expresarse el teorema de Shannon o teorema

del muestreo, establece que una señal continua puede ser reconstruida a partir de su versión

muestreada, si la frecuencia de muestreo es como mínimo el duplo de la componente de mayor

frecuencia que forma parte del espectro de la señal continua [s/2 max].


El ruido de los sensores puede dar origen a señales muestreadas espúreas o alias de baja

frecuencia que al confundirse con la dinámica propia del proceso, causen perturbaciones en el

funcionamiento a lazo cerrado. Resulta entonces necesario insertar antes del convertidor A/D un

filtro analógico (filtro ‘anti-alias’) que limite convenientemente el ancho de banda de la señal

y(t) por debajo de la frecuencia de Nyquist (s/2). La dinámica de este filtro deberá

considerarse en conjunto con la dinámica del proceso para un correcto diseño del sistema de

control.

Del siguiente ejemplo, puede extraerse una idea indicativa de la relación entre el ancho de banda

del prefiltro anti-alias y la frecuencia de muestreo. Supóngase que la configuración elegida para

el filtro sea Butterworth de segundo orden1 , que el ancho de banda sea b y que se desea que

el filtro atenúe por un factor de 16 (1/16 –24db) las señales de la frecuencia de Nyquist

(s/2). Se tendrá así:

2

2 116 por lo tanto .

8

sb s

b

(2.3)

En consecuencia, la frecuencia del modo dominante del sistema a lazo cerrado se encontrará bien

por debajo de s/8. Generalizando, si 1/ NG es la atenuación del filtro a la frecuencia de

Nyquist, resultará el ancho de banda 2 Nb s G .

2.1.2. Dispositivos de Retención.

La manera más simple y común de reconstruir un señal muestreada es hacer que la salida del

dispositivo de retención se mantenga constante hasta el advenimiento del próximo valor

muestreado. Al circuito así instrumentado se lo denomina dispositivo de retención de orden cero

(‘zero-order hold’) ya que la señal continua de salida es un polinomio de orden cero entre los

instantes de muestreo. Si f(kh) representa la señal discreta muestreada con período h, entonces

la señal reconstruida a la salida del dispositivo de retención de orden cero será f(t) dada por

( ) ( ) ; f t f kh kh t kh h (2.4)

Un inconveniente del dispositivo de retención de orden cero es que su salida es discontinua (ver

Fig. 2.8). Estas discontinuidades pueden excitar modos dinámicos pobremente amortiguados del

proceso, como así también provocar desgaste en los actuadores del sistema. Una manera de hacer

continua la salida es utilizar un dispositivo de retención de primer orden (‘first-order hold’). La

señal entre los instantes de muestreo es ahora una interpolación lineal. La señal reconstruida

podrá expresarse

( ) ( ) ( ) ( ) ;

t kh

f t f kh f kh h f kh kh t kh hh

(2.5)

Nótese que la reconstrucción (2.5) no es causal dado que ( )f kh h debiera encontrarse

disponible en el instante kh . El valor de ( )f kh h puede ser reemplazado por una predicción

fácilmente calculable en base a una extrapolación.

1 Butterworth de segundo orden es una configuración anti-alias muy difundida. En casos críticos pueden ser

seleccionados filtros de orden superior o bien de configuraciones alternativas (Tschebyscheff, elípticos, etc.).


Fig. 2.8. Muestreo y reconstrucción de una señal senoidal empleando dispositivos de

retención de orden cero y de primer orden, para un período de muestreo h =1. Los

instantes de muestreo se indican mediante puntos.

Si bien la Fig. 2.8 muestra la innegable ventaja de utilizar un dispositivo de retención de primer

orden cuando la señal de entrada es suave, no debemos perder de vista que es un resultado

meramente académico, ya que una implementación causal del dispositivo manifestará disconti-

nuidades originadas en la extrapolación, pues en (2.5) ha de realizarse el reemplazo de ( )f kh h

por la aproximación

( ) ( )ˆ ( ) ( )

ˆ ( ) 2 ( ) ( )

f kh f kh hf kh h f kh h

h

f kh h f kh f kh h

con lo que la señal reconstruida es ahora

( ) ( ) ( ) ( ) ;

t kh

f t f kh f kh f kh h kh t kh hh

(2.6)

Fig. 2.9. Reconstrucción de una señal senoidal mediante un dispositivo de retención

de primer orden realizado con extrapolación.

Por cierto, la reconstrucción de señales tanto con dispositivos de orden cero como con los de

primer orden, alcanza mayor precisión cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo con respecto

de la frecuencia de la señal. Si llamamos fr(t) a la señal reconstruida a la salida de un

dispositivo de retención correspondiente a la señal original f(t)=sin(t), entonces la

reconstrucción será tanto más precisa cuanto menor sea el error cuadrático [fr – f]2 promediado

en el período T=2 / de la señal.


2

0

1

T

rf f dt h TT

(2.7)

En la figura se muestra el error correspondiente a los dispositivos de retención de orden cero y

de primer orden con extrapolación calculado para un intervalo de valores de la relación entre la

frecuencia de muestreo y la frecuencia de la señal.

Fig. 2.10. Errores cuadráticos según (2.7) para un dispositivo de orden

cero (DOC) y uno de primer orden con extrapolación (DPO-E).

Viendo las formas de onda de las Figs. 2.8 y 2.9, no nos sorprende comprobar que para

frecuencias de muestreo bajas el error sea mayor para el dispositivo de primer orden que para el

de orden cero. Para relaciones de frecuencia de muestreo de 20:1 y superiores, el error para el

dispositivo de primer orden es por lo menos un orden de magnitud inferior al de orden cero.

Para concluir, no podemos dejar de insistir en el concepto de derivación que se encuentra

implícito en la operación de extrapolación: como consecuencia de ello aparece la necesidad de

guardar estrictas precauciones cuando se pretenda utilizar un dispositivo de retención de primer

orden en presencia de señales ruidosas.

2.1.3. Cuantificación (discretización de amplitud).

Como los convertidores A/D y D/A poseen una resolución limitada, las variables convertidas

dejan de ser continuas en amplitud y sufren un proceso de cuantificación, como consecuencia del

cual son representadas por una cantidad finita de dígitos binarios.

La Fig. 2.11 muestra una característica típica de cuantificación: se trata de un convertidor A/D

que opera con una palabra de 3 bits incluyendo signo, suficiente para la finalidad de nuestro

análisis. Centrando un paso de cuantificación en cero, podremos representar 3 incrementos en

sentido positivo y 4 en sentido negativo: en total una cantidad par2 de incrementos, lo que origina

2 Ya que con 2 bits podemos escribir 2

2 = 4 valores diferentes, estando reservado el tercer bit para el signo.


la asimetría de la característica estática de conversión. La parte inferior de la Fig. 2.11 muestra

el error de cuantificación del convertidor.

Fig. 2.11. Característica de cuantificación y curva de errores.

Para señales de entrada que excedan el rango de conversión, el convertidor operará como un

limitador, lo que puede conducir a problemas de estabilidad a lazo cerrado3. La cuantificación y

limitación de variables que produce el convertidor A/D son fenómenos no lineales, sobre los que

por el momento no diremos más.

Aclarado lo precedente, adoptaremos con respecto a los convertidores y mientras no digamos

nada en contrario, las convenciones siguientes:

a) El proceso de cuantificación posee una granularidad suficientemente fina como

para no interferir con el funcionamiento del sistema de control;

b) El dimensionamiento de los convertidores es adecuado para representar sin

saturación el rango completo de variación de las señales analógicas (incluyendo

sobrepicos y oscilaciones).

2.2. Modelos matemáticos de sistemas discretos.

2.2.1. Modelado de convertidores A/D y D/A.

El proceso de muestreo de una señal continua mediante un convertidor A/D corresponde a la

modulación de una secuencia de impulsos de Dirac4 igualmente espaciados en el tiempo.

3 En el punto 1.7 del capítulo precedente, al analizar el fenómeno de windup, hemos tenido una muestra de lo que

puede llegar a ocurrir a causa de la saturación en un lazo de control. Aceptemos entonces que en general será sano

evitarla. 4 Tratándose de impulsos de Dirac isoespaciados la única modulación posible es la del área encerrada bajo el pulso.

Valor digital

nd

Valor analógico normalizado

Ve/Vref

Ve/Vref

(Ve/Vref)-nd

Error de cuantificación


( ) ( ) ( )

k

y t t kT y t (2.8)

Fig. 2.12. Modelo gráfico de un convertidor A/D.

Si a los valores numéricos producidos por el procesador digital de un lazo de control, se les

asigna las propiedades de una secuencia de impulsos, su transformación en señal analógica

mediante un convertidor D/A con memoria, se modeliza como un dispositivo de retención de

orden cero, como se indica cualitativamente en la Fig. 2.13.

Fig. 2.13. Modelo gráfico de un convertidor D/A.

Analizando la parte inferior de la Fig. 2.13, donde tenemos representado un muestreador con

dispositivo de retención de orden cero (‘sample and hold’), la señal continua u(t) es muestreada

en los instantes de tiempo t = kT manteniendo el dispositivo de retención su salida constante en

el valor u(kT) hasta el próximo instante de muestreo. Así la función escalonada de salida puede

expresarse como

( ) ( ) para , 0, 1, 2, hu t u kT kT t kT T k (2.9)

Valiéndonos de funciones escalón unitario definidas por

0 para 0

( )1 para 0

tt

t

(2.10)

y*(t)

y(t) y*(t)

y(t)

(t-kT)

y(t)

y(t) y*(t) u

*(t)

P

uh(t) y

*(t)

u*(t)

uh(t)

uh(t)=u(kT) u

*(t)

u(t)


y con la convención adicional u(kT)=0 para k < 0, podemos expresar la señal uh(t) en forma

completa mediante la expresión

0

( ) ( ) ( ) ( )

h

k

u t u kT t kT t kT T . (2.11)

La suma (2.11) es convergente, ya que para cada t existe un único sumando no nulo. La

transformada de Laplace de uh(t) se calcula de la manera conocida y vale

( 1)

0

0

1 1( ) ( ) ( )

1 ( )

L

kTs k Ts

h h

k

TskTs

k

U s u t u kT e es s

eu kT e

s

(2.12)

La expresión (2.12) evidencia que ‘muestrear’ y ‘retener’ pueden ser concebidos, desde un

punto de vista matemático, como dos procesos separados. Mediante el muestreo se produce una

señal u*(t) cuya transformada de Laplace es

*

0

( ) ( )

kTs

k

U s u kT e , (2.13)

que es procesada por un dispositivo de retención con la función de transferencia

1

( )

Ts

H

eG s

s. (2.14)

La f.t. del dispositivo de retención puede asociarse con las funciones de transferencia de los

restantes componentes continuos conectados en cascada con el mismo.

En el tratamiento de sistemas discretos aparecen muchas veces transformadas de Laplace de la

forma (2.13). Se utiliza en estos casos una notación especial, empleando la substitución

Tsz e (2.15)

se define como ‘transformada z’ de la secuencia uk = u(kT) a la operación

0

:Z

k

k k

k

u u z . (2.16)

En general, indicaremos a la transformada z de una secuencia fk mediante una letra mayúscula

con tilde

( ) : Z kF z f , (2.17)

y entre las funciones y F F vale la relación


1

( ) ( ) y concordantemente ( ) ln( )

TsF e F s F z F zT

. (2.18)

El dispositivo de retención de orden cero, provoca un retardo de fase, que puede calcularse en

base a su respuesta en frecuencia. De acuerdo a (2.14), con s = j es

/ 2 / 2

/ 2 / 2

fase

módulo

1 2sin( / 2)( )

j T j T j T

j T j T

H

e e e TG j e e

j j (2.19)

el retardo de fase vale T/2 y corresponde a un retardo de tiempo de medio período de

muestreo.

2.2.2. Descripción de un sistema discreto sencillo.

Un sistema muestreado sencillo como el de la Fig. 2.14, consiste de un muestreador seguido por

un elemento lineal cuya función de transferencia es G(s). Por simplicidad, consideraremos que

la función de transferencia del dispositivo de retención se encuentra incluida en G(s). Para el

cálculo de la señal de salida xa asumiremos que el sistema parte de condiciones iniciales nulas

para t = 0.

G(s) xe xe

* xa

Fig. 2.14. Sistema discreto.

Dados xe(t) para t 0, G(s) y el período de muestreo T, nuestro interés es determinar xa(t).

De acuerdo con (2.13) es

0

( ) ( ) ( )

e e

k

x t x kT t kT (2.20)

ya que la antitransformada de es ( - )kTse t kT . A su vez la respuesta al impulso del elemento

con f.t. G(s) es su función ponderante g(t)=L-1{ G(s)}. Como el sistema es lineal la respuesta

total xa(t) puede ser calculada como la superposición de las respuestas parciales a cada uno de

los impulsos (t-kT) actuantes:

0

( ) ( ) ( )

a e

k

x t x kT g t kT . (2.21)

Resulta adecuado escribir al tiempo t en la forma

, 0,1, 2,

0 1

t nT T n (2.22)


y reformular (2.21)

0

( ) ( ) ( )

a e

k

x nT T x kT g nT T kT (2.23)

expresión que se conoce como suma de convolución y es el equivalente discreto de la integral de

convolución5 de los sistemas continuos.

Vimos al tratar sistemas continuos que la introducción de la transformación de Laplace

simplificó el cálculo de las integrales de convolución; en forma totalmente paralela, la

transformación z contribuye a simplificar el cálculo de las sumas de convolución. Para

demostrarlo, consideraremos primeramente en (2.23) el caso = 0, es decir nos interesamos tan

sólo en conocer la señal de salida en los instantes de muestreo:

0

( ) ( ) ( )

a e

k

x nT x kT g nT kT ; (2.24)

de acuerdo con (2.16) la transformada z correspondiente es

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )n n

a a e

n n k

X z x nT z x kT g nT kT z

(2.25)

Realizando la sustitución m n k se obtiene

0

( ) ( ) ( ) m k

a e

m k k

X z x kT g mT z z

(2.26)

La primera suma de (2.26) puede comenzar en m = 0, ya que por razones de causalidad la

secuencia ponderante es g(mT) = 0 para m < 0. Como los términos de la doble suma dependen

individualmente de k o bien de m, (2.26) puede ser reescrita como el producto de dos

sumatorias simples

0 0

( ) ( ) ( )

m k

a e

m k

X z g mT z x kT z (2.27)

La transformada z de la señal de salida es igual al producto de la transformada de la secuencia de

entrada xe(kT) por la transformada de la secuencia ponderante g(mT).

( ) ( ) ( ) a eX z G z X z (2.28)

La transformada z de la secuencia ponderante

0

( ) ( )

m

m

G z g mT z (2.29)

se denomina ‘función de transferencia z’ o ‘función de transferencia de pulsos’.

5 Si nuestro sistema fuera continuo, escribiríamos

0( ) ( ) ( )

a ex t x g t d .


De acuerdo a la (2.23) la señal de salida puede ser determinada para tiempos diferentes del

instante de muestreo. Para cada valor del parámetro entre 0 y 1 se obtiene una secuencia

fn() = xa(nT+T). Si se aplica a esta secuencia la transformación z, la transformada obtenida

dependerá también del parámetro , por lo que será en general

0

( , ) ( ) ( ) n

n n

n

F z Z f f z

. (2.30)

Y en particular para nuestro caso

0

( , ) ( ) n

a a

n

X z x nT T z

(2.31)

si se reemplaza xa(nT+T) por su equivalente (2.23) y se substituye m = n–k , se obtendrá en

forma totalmente similar a (2.26) y (2.27)

0 0

( , ) ( ) ( )m k

a e

m k

X z g mT T z x kT z

(2.32)

( , ) ( , ) ( )a eX z G z X z (2.33)

Llamaremos en lo sucesivo a ( , )G z ‘función de transferencia z modificada’. La transformada

z de xe en (2.33) no depende de ya que el comportamiento del sistema, según la Fig. 2.14,

depende exclusivamente de los valores muestreados xe(kT) y no es influido por los valores

intermedios xe(nT+T), 0 < 1.

Las interrelaciones entre las cantidades generadas a partir de f(t) por muestreo y transformación

se grafican en la figura siguiente.

f(t)

F(s)

f(kT+T)

( , )F z

f(kT)

( )F z

t = kT + T

t = kT = 0

= 0

L Z Z

Z

Z

Fig. 2.15. Transformaciones.


Para la descripción del sistema de la Fig. 2.14 mediante las transformadas (2.28) o (2.33), se

deberán determinar las expresiones de ( ), ( ) o ( , )G s G z G z . En la práctica se utilizan

tablas, como las incluidas en el Apéndice A de estos apuntes, que poseen las columnas

( ), ( ), ( ) y ( , )f t F s F z F z . La relación entre ( ), ( ) y ( , )F s F z F z es muy frecuentemente

utilizada, siendo denotada por los símbolos Z y Z cuya interpretación está dada por

1( ) ( ) : ( )t kT

F z F s F s

Z Z L (2.34)

1( , ) ( ) : ( )t kT T

F z F s F s

Z Z L (2.35)

2.2.3. Interconexión de sistemas muestreados.

Los métodos que acabamos de desarrollar para un sistema simple, pueden ser aplicados a

sistemas muestreados con realimentación o a sistemas con múltiples muestreadores sincrónicos.

En los siguientes ejemplos se calculará siempre la transformada z modificada de la señal de

salida; con = 0 se obtendrá la trasformada z standard.

G1(s) xe xe

* xa

G2(s)

Fig. 2.16. Sistema en ‘serie continua’.

Para el sistema de la Fig 2.16 vale

1 2( , ) ( ) ( ) ( )a eX z X z G s G s Z (2.36)

y, abreviadamente podemos escribir

1 2 1 2( ) ( ) ( , )G s G s G G z Z . (2.37)

Podemos formular una primera regla general: para simplificar un diagrama de bloques discreto

se agrupan los componentes continuos que no se encuentren separados por muestreadores.

G1(s) xe x xa

G2(s)

Fig. 2.17. Sistema en ‘serie discreta’.

Los dos muestreadores de la Fig. 2.17 trabajan en sincronismo, resulta entonces:

2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )a eX z X z G z X z G z G z . (2.38)


G1(s) xe xa

G2(s)

Fig. 2.18. Dispositivo continuo previo al muestreador.

Para el sistema de la Fig. 2.18 se tiene:

1 2( , ) ( ) ( , )a eX z X G z G z . (2.39)

G1(s) xe u xa

G2(s)

–

Fig. 2.19. La Fig. 2.18 a lazo cerrado.

En el sistema de lazo cerrado de la Fig. 2.19

11 1 2

1 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( )

ee

X G zU z X G z G G z U z U z

G G z

(2.40)

resultando:

21

1 2

( , )( , ) ( )

1 ( )a e

G zX z X G z

G G z

. (2.41)

G1(s) xe u xa

G2(s)

–

Fig. 2.20. La Fig. 2.17 a lazo cerrado.

En la Fig. 2.20 ambos muestreadores son sincrónicos, por lo que es

1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eU z X z G z G z G z U z

1

1 2

( )( ) ( )

1 ( ) ( )e

G zU z X z

G z G z

(2.42)

y, en consecuencia:

1 2

1 2

( ) ( , )( , ) ( )

1 ( ) ( )a e

G z G zX z X z

G z G z

. (2.43)


Por último, si se cierra un lazo de realimentación alrededor del sistema de la Fig. 2.16, se

obtendrá

1 2

1 2

( , )( , ) ( )

1 ( )a e

G G zX z X z

G G z

. (2.44)

2.2.4. Relación entre la secuencia temporal y la posición de los polos de su transformada z.

El comportamiento de las señales de salida de los sistemas muestreados queda definido

primordialmente por la posición de los polos de su transformada z. Esta relación es asimismo

significativa desde el punto de vista de la representación de estados, en la que los polos de la

función de transferencia z corresponden a los autovalores del sistema dinámico.

Ejemplo 1:

1

0 0

( ) con

akT

k

akT k k aT

k k

f e

F z e z c c e z

La fórmula de la suma de la serie geométrica se obtiene fácilmente de

2

0

2 1

1

1

( ) 1 (a)

( ) (b)

(1 ) ( ) 1 (a) - (b)

1 ( )

1

Nk N

k

N N

N

N

S N c c c c

c S N c c c c

c S N c

cS N

c

Para |c| < 1

0

1lim ( )

1

k

Nk

c S Nc

(2.45)

Por lo que resulta

( ) para akT aT

aT

zF z e z e

z e

Z (2.46)

Para a real aparece un polo sobre el eje real positivo del plano z. Si a > 0 la secuencia fk es

creciente ubicándose el polo en z > 1. Para a = 0 la secuencia es constante (secuencia unitaria)

( ) ( ) 1

zF z kT

z

Z (2.47)

y el polo se ubica en z = 1. Para a < 0 la secuencia resulta decreciente y el polo se ubica en el

intervalo 0 < z < 1. Los casos tratados se muestran en las figuras 2.21 a), b), c).


Fig. 2.21. Correlación entre secuencias temporales y posición de los polos en el plano z.

Ejemplo 2: ( ) ( )1cos( )

2

akT akT j kT akT j kT

kf e kT e e .

Según la Ec.(2.46) es

21 cos cos( )( ) ( )

2

j j aT

aT j T aT j T aT j T aT j T

z e z e z z e TF z F z

z e z e z e z e

(2.48)

comparar con e)


Vemos en (2.48) que aparecen dos polos complejos conjugados en la expresión de la transforma-

da z, con el módulo eaT

y la fase T con respecto del eje real positivo. Para a > 0 la

oscilación es creciente y los polos se ubican por fuera del círculo de radio unitario centrado en el

origen del plano z. Para a = 0 la oscilación es de amplitud constante y corresponde a un par de

polos sobre la circunferencia unidad. La oscilación decreciente para a < 0 da origen a un par de

polos en el interior del círculo unitario. El la Fig. 2.21 d) y e) se muestran dos casos.

Para T = se cancela un polo con un cero y la transformada queda

cos( ) cos( ) cos

kakT aT

aT

zF z e k e

z e

Z Z (2.49)

ilustrándose la situación en la Fig. 2.20 f).

Para |T| > aparece una secuencia que ya ocurriera para |T| < , obteniéndose en ambos

casos la misma transformada. Pero observemos que |T| > significa que la frecuencia

angular supera el máximo valor admisible max = muestreo/2 = /T según el teorema de

Shannon, por lo cual no nos sorprende la aparición de un alias.

Ejemplo 3:

Si una secuencia se compone tan sólo de una cantidad finita de elementos (0 a N), es

decir si se cumple fk = 0 para k > N , entonces la transformada z toma la forma

1

1 0 10 1( )

N NN N

N N

f z f z fF z f f z f z

z

(2.50)

y posee un polo de multiplicidad N en z = 0. Ver Fig. 2.21 h).

Cuando se muestrea una señal continua f(t) cuya transformada de Laplace es ( )F s , a cada polo

si de F(s) corresponderá un polo de ( ) ( )F z f kTZ en is T

iz e con igual multiplicidad. Así,

en el ejemplo 1 es ( ) 1/( )atF s e s a L . Al polo s = a le corresponde el polo en aT

iz e .

En el ejemplo 2, la transformada de Laplace de cos( )ate t posee dos polos en s a j , a

los que corresponden los polos en aT j Tz e .

La relación entre la secuencia temporal y los ceros de su transformada z no es sencilla. Partiendo

de la regla que una multiplicación de 1( ) por F z z corresponde a un retardo (o desplazamiento

hacia la derecha) de la secuencia temporal, la influencia de un cero simple puede explicitarse

como

1( )aT aT aT

bz c z zF z b cz

z e z e z e

.


La secuencia correspondiente consiste en la suma de la secuencia , 0akTbe k , más la

secuencia desplazada un intervalo a la derecha ( 1) , 1a k T aT akTce ce e k es decir:

1 para 0

( ) para 1

k aT akT

b kf F z

b ce e k

Z (2.51)

Esta secuencia difiere de una secuencia exponencial, únicamente en el valor f0 para k=0.

Concordantemente si ( )F z posee N ceros, éstos influirán en los valores de f0, f1, ... fN-1. A

partir de fN la forma de las secuencias depende exclusivamente de los polos, influyendo los ceros

únicamente en los factores multiplicativos. Una síntesis de las propiedades de las transformadas

z, se incluye en el Apéndice B.

2.3. Resolución de sistemas discretos.

Consideraremos algunos ejemplos aplicativos de sistemas discretos, utilizando en su resolución

los métodos desarrollados precedentemente y algunas herramientas de software standard.

2.3.1. Un sistema intrínsecamente discreto.

Muchos sistemas económicos pueden considerarse en su funcionamiento como intrínsecamente

discretos en el tiempo: así por ejemplo un depósito en caja de ahorros va capitalizando intereses

a fines de cada mes, la reposición de mercaderías en un supermercado se realiza diariamente, etc.

En estos sistemas poco importa cómo evolucionen las variables a lo largo del período de

muestreo, únicamente se consideran sus valores en los instantes de muestreo.

La siguiente es una formulación simplificada de un modelo de regulación de existencias en el

depósito de mercaderías de una fábrica, mediante adecuación de la producción a la demanda.

Sean

i[k] := nivel de inventario en el período k (cantidad de unidades en existencia)

d[k] := demanda acumulada en el intervalo [k–1, k]

e[k] := entregas de Producción (fábrica) a Depósito en el período k

N := plazo de entrega de Producción (tiempo de fabricación), expresado en

períodos,

f[k] := orden de fabricación en el período k (cantidad de unidades a producir).

Consideraremos a todas estas magnitudes como variaciones respecto de sus valores medios, de

tal manera que puedan asumir valores negativos. El modelo de regulación responde a la siguiente

formulación matemática

i[k] = i[k–1] + e[k] – d[k] balance de entradas-salidas de inventario;

(2.52) e[k] = f[k–N] retardo de fabricación;

f[k] = – K i[k] ecuación de producción; el valor de la constante K

determina cuántas unidades producir de acuerdo a la

variación del inventario.


Resolveremos las ecuaciones de diferencias (2.52) primeramente en forma directa, partiendo de

los siguientes valores numéricos:

a) Demanda en escalón 100 unidades, 0, 1, 2,d k k

b) Retardo de fabricación N = 2 períodos,

c) Política de producción K = 1.

Si reemplazamos valores en (2.52) llegamos a una expresión recursiva que define el esquema de

cálculo:

1 2

(0) 0 0 100 100

(1) 100 0 100 200

(2) 200 100 100 200

(3) 200 200 100 100

(4) 100 200 100 0

(5) 0 100 100 0

(6) 0 0 100 100

i k i k K i k d k

i

i

i

i

i

i

i

(2.53)

Constatamos en (2.53) que, a partir de k = 6 la secuencia se repite periódicamente, hecho que se

muestra en el diagrama siguiente.

Fig. 2.21. Evolución de la variación de stock calculada por (2.53). Se incluyen

las líneas de puntos al solo objeto de facilitar la visualización.

Como controlistas, observamos que la política de hacer variar la producción justo en sentido

contrario a la variación de inventario (K = 1), lleva al sistema de control de stock a operar en el

límite de estabilidad, por lo que nos sentimos tentados a proponer una mejor política de

producción. Queda para ejercicio del lector responder a la pregunta: ¿Cuál?

Hasta el presente, nos hemos limitado a resolver las ecuaciones (2.52) por recursión en el

dominio del tiempo. Aplicando ahora la transformación z a las Ecs.(2.52) tendremos la

siguientes expresiones, donde hemos omitido el tilde

sobre las transformadas ya que, al ser el


sistema intrínsecamente discreto, no existen funciones o variables continuas con las que puedan

ser confundidas.

1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

( ) ( )

( ) ( )

N

I z z I z E z D z

zI z E z D z

z

E z z F z

F z K I z

(2.54)

Las (2.54) nos muestran que nuestro sistema puede ser considerado como un sistema regulador

en el que la demanda D(z) actúa como una variable de perturbación:

K F(z) E(z) I(z)

1

z

z

–

Nz

–

D(z)

Fig. 2.22. El sistema de inventario como regulador perturbado.

La función de transferencia de D(z) a I(z) es

1

( )

( ) ( 1)

N

N

I z z

D z z z K

. (2.55)

Para evaluar la respuesta, emplearemos como ya lo hiciéramos los valores numéricos K=1 y

N=2. Según (2.47) de

100; 0, 1, 2, resulta ( ) 1001

zd k k D z

z

siendo entonces

2 3

2 3 2

100( ) 100

1 1 2 2 1

z z zI z

z z z z z z

. (2.56)

Procederemos en primer lugar a antitransformar numéricamente I(z): para ello dividimos el

numerador en el denominador de la expresión (2.56), véase página siguiente.

No nos sorprende en absoluto obtener en (2.57) el mismo resultado que alcanzáramos en (2.53)

ya que, salvo errores de cálculo, debemos llegar a lo mismo por otra vía.

Vamos ahora a realizar la antitransformada analítica de (2.56) siguiendo el método de los

residuos, ver Apéndice B, expresiones (B.15) a (B.17).


3 3 2 0 1 2 3 4 5 6

3 2

2

2 1

( ) 100 ( 2 2 1) 100 200 200 100 0 0 100

100 200 200 100

200 200 100

200 400 400 200

I z z z z z z z z z z z z

z z z

z z

z z z

2

2

1

1

1

200 300 200

200 400 400 200

100 200 200

100

z

z

z z

z z

z

2 3

3

1200 200 100

100

zz z

z

(2.57)

Calcularemos en primer término los polos de (2.56)

1

2

3 2,3

1

0.5 3 / 2

0.5 3 / 2; 1 .

z

z j

z j z

(2.58)

Por la presencia de polos complejos conjugados con módulo unitario, es decir ubicados sobre la

circunferencia de radio uno en el plano z, tenemos la seguridad de que la secuencia de salida

poseerá una componente oscilatoria no amortiguada.

Tenemos entonces

3 3

3 2

1

1 1

100 100( )

2 2 1 ( 1)( 0.5 3 / 2)( 0.5 3 / 2)

Res ( ) lim ( 1)k

z z

z zI z

z z z z z j z j

I z z z

2100

( 1)

kz

z

2

1

0.5 3 / 2 0.5 3 / 2

100( 1)

( 0.5 3 / 2)Res ( ) limk

z j z j

z z

z jI z z

2100

( 1) ( 0.5 3 / 2)

kz

z z j

2

/ 2 /3

( 0.5 3 / 2)

100( 0.5 3 / 2) (0.5 3 / 2) 3 3 3100 0.5 100 1

3 2 3( 1.5 3 / 2)

kk

kj j

z j

j jj j e e

j

(2.59)

Por cierto, el residuo correspondiente a la raíz z3 será el conjugado del residuo que acabamos de

calcular.

1 / 2 / 3

0.5 3 / 2

3Res ( ) 100 1

3

kk j j

z jI z z e e

. (2.60)


La expresión analítica de la secuencia i[k] será entonces

1

/ 2 /3 / 2 /3

Res ( )

3100 100

3

3 3100 200 cos 100 200 sin

3 3 2 3 3

i

k

z zi

j jk j jk

i k I z z

i k e e e e

i k k k

(2.61)

Como era de esperar, para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

se obtiene la secuencia {–100, –200, –200, –100, 0, 0, –100,...}.

Con el objeto de ganar experiencia en el manejo de las tablas de transformadas, intentaremos

encontrar la expresión de i[k] mediante una descomposición de I(z)/z en fracciones parciales.

Descomponemos I(z)/z y no simplemente I(z) al objeto de, una vez terminado el procedi-

miento, multiplicar las fracciones por z y así obtener funciones racionales que contienen z en el

numerador, tal como las incluidas en las tablas del Apéndice A. Por otra parte, resulta

aconsejable dejar sin descomponer los elementos correspondientes a polos complejos, a fin de

operar exclusivamente con coeficientes reales.

Partiendo entonces de (2.56) se tiene

2

2 2

2

( ) 100 100 100

11 1 1

100 100( )

1 1

I z z

z zz z z z z

z zI z

z z z

(2.62)

La primera fracción corresponde a la transformada de un escalón de amplitud –100 como

podemos comprobar en la primera línea de la tabla de página A-1. La segunda fracción

corresponde a la forma

00 2

0

sin( )sin( )

2 cos( ) 1

z Tt

z z T

Z

contenida (para =1) en la segunda línea de la página A-3. Siendo nuestro sistema intrínseca-

mente discreto el valor de T corresponde a la unidad (o período de operación). Comparando las

fracciones se obtiene:

0 0 0

0 0

2cos 1 cos 0.5 3

sin 1 1/ sin 2 3 / 3


Por lo tanto, de (2.62) obtenemos

2

100 100 2 3( ) 100 100 sin

1 3 31

z zI z k k

z z z

Z Z (2.63)

y, nuevamente y como no podía ser de otra manera, llegamos a la expresión

3

100 200 sin3 3

i k k

(2.64)

coincidiendo con (2.61).

2.3.2. Respuesta de un sistema con componentes continuos.

Para el sistema de control muestreado de la Fig. 2.23, se desea calcular la respuesta y(kT) ante

un escalón unitario de excitación w(t) = (t), con los parámetros K=0.326 y T=1.

1 Tse

s

w e u y

–

( 1)

K

s s

Fig. 2.23. Sistema de control muestreado.

La transformada z de la función de transferencia a lazo abierto se obtiene aplicando la (2.36)

1( )( )

( ) 1

Ts

o

eY z KG z

E z s s s

Z (2.65)

Recordando (B.2) y definiendo

2 2( )

1

KG s

s s

, la (2.65) queda

2 2 2

1

2 2 2

( ) 1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

Ts Ts

oG z e G s G s e G s

zG s z G s G s

z

Z Z Z

= Z Z Z (2.66)

Para calcular la transformada z, expandiremos primeramente G2(s) en fracciones parciales:

2 2 2

1 1 1 1( )

1 1 1

K KG s K

s s s s s s s s

Z Z Z = Z (2.67)


Según Apéndice A, pág. A-1, línea 2:

22

1

1

Tz

s z

Z

y según pág. A-2, línea 3:

11

1 1

T

T

e z

s s z z e

Z

Reemplazando estos valores en (2.66) queda

2

11 1( )

111

T T

o TT

e zz Tz T eG z K K

z z z ez z ez

. (2.68)

Con T=1 y K=0.326 según lo especificado tendremos

0.718

( ) 0.12( 1)( 0.368)

o

zG z

z z

. (2.69)

Para el escalón w(t) = (t) resulta ( )1

zW z

z

, con lo que la transformada z del error actuante

e(t) se calcula como

2

2

1 1 0.368( ) ( )

1 1.248 0.4541 ( ) 1 ( )

( 0.368)( )

( 0.624 0.255 )( 0.624 0.255 )

o o

z z zE z W z

z z zG z G z

z zE z

z j z j

(2.70)

Aplicando el cálculo de residuos según (B.16)

1 2.353 0.393

0.624 0.255

1 2.353 0.393

0.624 0.255

1

Res ( ) 0.714 0.674

Res ( ) 0.714 0.674

( ) Res ( )i

kk j j

z j

kk j j

z j

k

z zi

E z z e e

E z z e e

e kT E z z

(2.71)

Y siendo ( ) 1 ( )y kT e kT resulta para la secuencia de salida la expresión

2.353 0.393 2.353 0.393( ) 1 0.714 0.674 0.714 0.674

( ) 1 1.42 (0.674) cos 0.393 2.353 .

k kj j j j

k

y kT e e e e

y kT k

(2.72)


La Fig. 2.24 grafica la secuencia y(kT). Dado que en la Fig. 2.23 la función escalonada u

excita a un sistema dinámico continuo con dos polos más que ceros en su función de

transferencia, está garantizada la continuidad tanto de y(t) como de su derivada dy/dt, por lo

que estamos plenamente autorizados a unir los puntos de la secuencia y(kT) con una curva

continua, resultando entonces innecesario calcular y(kT+T).

Fig. 2.24. Respuesta al escalón de comando, sistema de la Fig. 2.23.

A continuación analizaremos la calidad de los resultados que podemos obtener empleando las

herramientas de software proporcionadas por Matlab. Debemos mencionar aquí que en la

página web de la Cátedra se encuentran disponibles los manuales correspondientes al Control

System Toolbox.

Para comenzar debemos definir el sistema continuo de la Fig. 2.23: 2

0.326

1

K

s s s s

.

Emplearemos las variables num y den para definir los polinomios numerador y denominador

respectivamente. La función de transferencia se genera con la función tf(num,den) y se

almacena en la estructura sysc.

>> num=[0.326];

>> den=[1 1 0];

>> sysc=tf(num,den)

Transfer function:

0.326

-------

s^2 + s

La funcion c2d(sys,T,’método’) convierte al sistema continuo sys en discreto, con el

período de muestreo T y aplicando un método especificado. Si es ’método’='zoh' la

conversión se efectúa presuponiendo que un muestreador con dispositivo de retención de orden

cero ('zoh' = zero order hold ) se encuentra conectado a la entrada del sistema continuo.

Para nuestro caso T = 1 de modo que, si almacenamos en sysd la estructura del sistema dis-

creto será:


>> sysd=c2d(sysc,1,'zoh')

Transfer function:

0.1199 z + 0.08614

----------------------

z^2 - 1.368 z + 0.3679

Sampling time: 1

Observamos que procediendo de esta manera, hemos obtenido la función de transferencia de lazo

abierto (2.69).

Podemos ahora calcular la función de transferencia de lazo cerrado

( )( )

( ) 1 ( )

o

o

G zY z

W z G z

, (2.73)

valiéndonos de la función feedback(sys1,sys2) de Matlab, donde sys1 es la f.t. de la rama

directa y sys2 es la f.t. de la rama de realimentación del sistema. Como en nuestro caso la

realimentación es unitaria, tendremos

>> yw=feedback(sysd,1)

Transfer function:

0.1199 z + 0.08614

---------------------

z^2 - 1.248 z + 0.454

Sampling time: 1

Si nos interesa conocer tan solo la forma de la respuesta ante un escalón de entrada, nos bastará

invocar la función step(sys) y analizar el gráfico resultante:

>> step(yw)

Fig. 2.25. Respuesta y(kT) calculada por Matlab.

Observamos en la Fig. 2.25 que Matlab representa y(kT) simplemente como una función

escalonada, sin realizar ninguna especulación de continuidad respecto de lo que ocurre entre los


sucesivos instantes de muestreo. Por cierto, existe plena coincidencia entre las Figs. 2.24 y 2.25

en los instantes de muestreo.

Si nos interesa conocer la forma analítica de ( )Y z para un escalón ( )1

zW z

z

, usaremos

>> y=yw*tf([1 0],[1 -1],1)

Transfer function:

0.1199 z^2 + 0.08614 z

---------------------------------

z^3 - 2.248 z^2 + 1.702 z - 0.454

Sampling time: 1

donde tf(num,den,Tmuestreo)es la forma empleada para definir la transformada z de una

función, ya que el período de muestreo debe estar explícitamente definido.

Puede llegar a interesarnos que Matlab nos calcule la transformada inversa de ( )Y z . Para ello

debemos calcular primeramente los residuos de ( ) /Y z z tal como se aconseja en el Apéndice A.

3 2

( ) 0.1199 0.08614

2.248 1.702 0.454

Y z z

z z z z

(2.74)

Nos valdremos de la función [r,p,k]=residue(num,den) para calcular los residuos r sobre

cada uno de los polos p de (2.74).

>> [r,p,k]=residue([0.1199 0.08614],[1 -2.248 1.702 -0.454])

r =

1.0002

-0.5001 + 0.5039i

-0.5001 - 0.5039i

p =

1.0000

0.6240 + 0.2542i

0.6240 - 0.2542i

k =

[]

El cálculo que acabamos de realizar tiene el siguiente significado

( ) 1.0002 0.5001 + 0.5039 0.5001 0.5039

1 0.6240 0.2542 0.6240 0.2542

Y z j j

z z z j z j

(2.75)

Es decir:

0.5001 + 0.5039 0.5001 0.50391.0002

( )1 0.6240 0.2542 0.6240 0.2542

j z j zzY z

z z j z j

. (2.76)


La antitransformada de la primera fracción de (2.76) es inmediata: se trata de un escalón de

amplitud 1.002; a continuación vamos a antitransformar la segunda fracción empleando el

cálculo simbólico de Matlab. Definimos z como variable simbólica y formamos la expresión

simbólica de la segunda fracción:

>> syms z

>> B=(-0.5001 + 0.5039i)*z/(z-0.6240 - 0.2542i)

B =

(-5001/10000+5039/10000*i)*z/(z-78/125-1271/5000*i)

Vemos que los coeficientes de la expresión simbólica B quedan en formato de fracción de

números enteros. Podemos ahora aplicar la función iztrans(B) para antitransformar B.

>> iztrans(B)

ans =

-5001/10000*(78/125+1271/5000*i)^n+5039/10000*i*(78/125+1271/5000*i)^n

Matlab emplea n como indicador standard de instante de muestreo; algunas versiones admiten

la invocación iztrans(B,k) para sustituir n por k . Acabamos de calcular entonces

10.5001 + 0.5039

0.5001 + 0.5039 0.6240 0.25420.6240 0.2542

kj zj j

z j

Z (2.77)

Podemos llevar la expresión (2.75) a forma polar, empleando comandos elementales de Matlab:

>> abs(-0.5001 + 0.5039i)

ans =

0.7099

>> angle(-0.5001 + 0.5039i)

ans =

2.3524

>> abs(0.6240 + 0.2542i)

ans =

0.6738

>> angle(0.6240 + 0.2542i)

ans =

0.3868

con lo que (2.77) toma la forma

1 2.3524 0.3868

0.3868 2.3524

0.5001 + 0.50390.7099 0.6738

0.6240 0.2542

0.7099 0.6738

kj j

k j k

j ze e

z j

e

Z (2.78)


Correspondientemente, la antitransformada de la tercera fracción de (2.76) es la conjugada de la

que acabamos de calcular:

0.3868 2.352410.5001 0.5039

0.7099 0.67380.6240 0.2542

k j kj ze

z j

Z . (2.79)

La antitransformada completa de (2.76) calculada mediante Matlab es:

( ) 1.0002 1.4198 (0.6738) cos 0.3868 2.3524 .ky kT k (2.80)

Comparando (2.80) con nuestros cálculos manuales Ec. (2.72), observamos ligeras diferencias

atribuibles a errores numéricos acumulados por los redondeos en la solución Matlab.

Concluimos que las herramientas de software brindan la posibilidad de evaluar rápidamente el

comportamiento de un sistema discreto; sin embargo, a la hora de la determinación de soluciones

analíticas, se hace necesario proceder con cautela por la influencia de los errores numéricos.

2.3.3. Aplicación de la transformada z modificada a sistemas continuos con tiempo muerto.

Analizaremos el sistema simple con tiempo muerto de la Fig. 2.26, donde F(s) indica la función

de transferencia de los componentes racionales del sistema completo G(s), el que incluye un

tiempo muerto Tm. En F(s) consideraremos incluida la f.t. del dispositivo de retención de orden

cero que eventualmente pudiera formar parte del sistema muestreado.

( ) ( ) mT sG s F s e

xe xa

Fig. 2.26. Sistema muestreado con tiempo muerto.

Se busca entonces la expresión de la función de transferencia z

0

( ) ( ) ( ) mT sk

k

G z g kT z F s e

Z . (2.81)

El tiempo muerto Tm se considera expresable por la cantidad entera m de períodos de muestreo

más próxima por exceso, menos una fracción , es decir:

; 0 1mT mT T . (2.82)

La función ponderante de la parte continua vale

( ) ( ) ( )mg t f t T f t mT T (2.83)

Sustituyendo y aplicando la fórmula del retardo de una secuencia (B.2) en (2.81) obtenemos


0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k k m k

k k k

G z g kT z f kT mT T z z f kT T z

( ) ( , ) ( )m mG z z F z z F s

Z (2.84)

Con ayuda de las tablas del Apéndice A, se calcula la transformada z modificada ( , )F z del

sistema sin tiempo muerto, sustituyendo para el valor de obtenido en la (2.82). Esta

expresión se multiplica por z-m

y el resultado es la transformada buscada.

Sea por ejemplo el sistema de la Fig. 2.27: deben determinarse las funciones de transferencia z

para los valores del período de muestreo T=2 y T=0.25 .

1 Tse

s

xe xa

1.6

1 2

se

s

Fig. 2.27. Sistema con tiempo muerto.

La función de transferencia excluido el tiempo muerto es

1( )

1 2

TseF s

s s

Recordando la metodología empleada en (2.66) se obtiene

0.5 0.5 0.50.5

0.5 0.5

1 1 1 1 1( , )

1 2 0.5

11( , ) ,

1

T T TT

T T

z zF z

z s s z s s

e e e zz z z eF z

z z z e z e

Z Z

(2.85)

que reemplazada en (2.84) da

0.5 0.5 0.5

0.5

1( )

T T T

m T

e e e zG z

z z e

(2.86)

Para un período de muestreo T=2 se tiene: Tm = 1.6 = 2m–2 ; m=1; T =0.4; =0.2

0.181 0.451( )

0.368

zG z

z z

. (2.87)

Y para T=0.25 calculamos: Tm = 1.6 = 0.25m–0.25 ; m=7; T =0.15; =0.6

7

0.072 0.046( )

0.882

zG z

z z

. (2.88)


Observando (2.87) y (2.88) nos encontramos frente al notable resultado que la función de

transferencia de un sistema muestreado con tiempo muerto resulta racional en z. En

consecuencia, la ecuación característica de un sistema de control discreto con tiempo muerto es

también racional en z, lo que hace que los cálculos resulten mucho más sencillos que en el caso

continuo.

Fig. 2.28. Respuesta al escalón, sistema con tiempo muerto, períodos de

muestreo T=2 y T=0.25 unidades de tiempo.

2.4. Respuesta en frecuencia de los sistemas muestreados.

Si un sistema discreto cuya respuesta impulsiva es g(k) es excitado por una sinusoide de

frecuencia variable u(t) = sin(t) muestreada con período T, el sistema recibe a su entrada la

señal u*(n)=sin(nT) por lo que generará a su salida una sucesión de impulsos y(n).

u(t) = sin(t) sin(nT) y(n)

xa

g(k)

T

Fig. 2.29. Sistema con excitación senoidal.

Aplicando convolución calculamos los impulsos de salida

0 0 0

( ) ( ) sin Im ( ) Im ( )n n n

j n k T j nT j kT

k k k

y n g k n k T g k e e g k e

(2.89)

Si el sistema es estable para la frecuencia de muestreo s =2/T, entonces g(n)0 cuando

n, por lo que para valores elevados de n (estado de régimen) tendremos que

*

0 0

( ) ( ) ( )n

skT skT

k k

G s g k e g k e

, (2.90)


con lo que y(n) quedará de la forma:

*( ) Im ( )j nTy n e G j (2.91)

o bien, expresado como función sinusoidal

* *( ) ( ) sin( ) ; con arg ( )y n G j nT G j . (2.93)

Si hacemos el cambio de variables j Tz e en (2.93) la expresión quedará de la forma

( ) ( ) sin( )j Tz e

y n G z nT

(2.94)

con lo que la salida del sistema es una señal sinusoidal que tiene la misma frecuencia que la

señal de entrada, se encuentra desfasada respecto de ella y su módulo depende de ( )j Tz e

G z

.

Resulta clara la similitud con el caso continuo.

Como ejemplo ilustrativo, compararemos la respuesta en frecuencia del sistema continuo

2

5( )

5G s

s s

(2.95)

con las respuestas en frecuencia del mismo sistema integrado en un sistema discreto, con

muestreadores de período T=0.1 y T=1 y dispositivo de retención de orden cero. Nos

valdremos para ello de las instrucciones pertinentes de Matlab.

Fig. 2.30. Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden muestreado.


>> sys=tf([5],[1 1 5]);

>> sysd1=c2d(sys,0.1,'zoh');

>> sysd2=c2d(sys,1,'zoh');

>> bode(sys,sysd1,sysd2)

Observamos en el gráfico que el comando bode() limita automáticamente la máxima

frecuencia de graficación al valor correspondiente a la frecuencia de Nyquist para los sistemas

discretos ( = y =10, para T=1 y T=0.1 respectivamente).

2.5. Espectro de una señal muestreada.

Recordando el punto 2.1.1. y la expresión (2.8), una señal f(t) muestreada con período T, a la

que designamos f *

(t), puede considerarse como una secuencia infinita de impulsos de Dirac

modulados por el valor de f(t) en el instante de muestreo.

*

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

f t f t t kT f kT t kT

(2.96)

donde hemos supuesto, para facilitar la posterior aplicación de la transformación de Laplace que

f(t) = 0 para t 0.

La secuencia infinita de impulsos de Dirac es una función periódica de período T y es

representable mediante una serie de Fourier cuyos coeficientes se calculan como:

/ 2

2 /

/ 2

1( )

T

j nt T

n

kT

C t kT e dtT

, (2.97)

como tan solo un elemento de la sumatoria (el correspondiente a k =0) se encuentra compren-

dido dentro de los límites de integración es

/ 2

2 /

/ 2

1( )

T

j nt T

n

T

C t e dtT

; (2.98)

dado que el impulso de Dirac sólo existe para t =0, la exponencial se hace uno (1) y (2.98) vale:

/ 2

/ 2

1 11 ( )

T

n

T

C t dtT T

, (2.99)

ya que por definición el área encerrada por (t) vale 1.

La expresión (2.99) nos dice que todos los coeficientes de la serie de Fourier correspondiente a

un tren de impulsos son iguales entre sí y valen 1/T. Por consiguiente la representación en serie

del tren de impulsos es

2 / 2 /1 1( ) cos(2 / )j nt T j nt T

n

k n n n

t kT C e e nt TT T

(2.100)


En (2.100) aparecen únicamente los términos en cosenos ya que el tren de impulsos es una

función par. Valga una aclaración respecto de las variables de sumación k y n: no son más que

índices y al aparecer en diferentes términos de la ecuación, nada nos impediría usar el mismo

nombre para los dos; de hecho algunos autores lo hacen. Nosotros por una cuestión de

‘prolijidad’ los diferenciamos: k aparece como marcador en el tren de impulsos y n aparece

como índice de los coeficientes de Fourier.

Si reemplazamos el tren de impulsos en (2.96) por su representación en serie, obtenemos:

* 2 /1( ) ( ) ( ) ( ) j nt T

k n

f t f t t kT f t eT

. (2.101)

Estamos ahora en condiciones de calcular la transformada de Fourier de la señal muestreada

* * 2 /1

( ) ( ) ( ) j nt T j t

n

F f t f t e e dtT

F

(2.102)

que se puede reescribir como

* ( 2 / )1( ) ( ) j n T t

n

F f t e dtT

. (2.103)

Como la transformada de la función continua f(t) es

( ) ( ) j tF f t e dt

, (2.104)

la relación entre las transformadas de Fourier de la señal continua y la muestreada resulta ser

* 1( ) ( 2 / )

n

F F n TT

. (2.105)

La transformada de Fourier F *

() de la señal muestreada f *

(t) está compuesta por la superposi-

ción de infinitas copias de F(), separadas entre sí por múltiplos del valor de la frecuencia de

muestreo m = 2 /T. Si el espectro de amplitudes contiene componentes de frecuencias

superiores a m /2 (frecuencia de Nyquist), entonces las copias desplazadas de F() se

superpondrán y la señal original no podrá ser reconstruida mediante un filtro pasabajos aplicado

a la señal muestreada. Aparecen aquí los problemas de alias que tratamos en el punto 2.1.1. La

Fig. 2.31 ejemplifica las relaciones que acabamos de exponer.

Aplicando la transformación de Laplace a (2.101)

* * 2 / 2 /1 1( ) ( ) ( ) ( )j nt T j nt T

n n

f t F s f t e f t eT T

L L L , (2.106)


Fig. 2.31. Espectros de señales muestreadas.

y recordando que un amortiguamiento temporal corresponde en el dominio transformado a un

desplazamiento en la variable s, de (2.106) se deduce:

* 1 1( ) ( 2 / ) ( )m

n n

F s F s j n T F s jnT T

(2.107)

Fig. 2.32. Mapeo de la franja principal del plano s sobre la totalidad del plano z.

Al igual que se repite el espectro de frecuencias en el dominio de Fourier, vemos que la

transformada de Laplace de la señal muestreada se repite con desplazamiento periódico a lo

largo del eje j en el plano s. Ello a su vez significa que las singularidades de la transformada


continua F(s) son repetidas en franjas horizontales sucesivas (normales al eje j). La franja del

plano s comprendida entre –jm/2 y +jm/2 se denomina franja principal y es la región que se

mapea sobre la totalidad del plano de la variable z a través de la transformación z=eTs

(Fig.2.32).

Fig. 2.33. Mapeo correspondiente al círculo unitario en el plano z.

Cuando un punto recorre el segmento [/T, +/T] del eje j en el plano s, el punto

correspondiente en el plano z recorre la circunferencia de radio unitario centrada en el origen.

En la Fig. 2.33, la región de estabilidad de la franja principal del plano de s se mapea en el

interior del círculo unitario en el plano z, siempre bajo la transformación z=eTs

.

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