UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS SOCIALES Y

HUMANIDADES

PROGRAMA PROFESIONAL DE COMUNICACIÓN SOCIAL

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

CURSO: MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

AUTOR: KIRA LOURDES SAN MIGUEL CHAVEZ # 1

SEMESTRE II

AREQUIPA PERÚ

2015

# 1

INTRODUCCIÓN

El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo

promedio de una colección de valores de una variable, puede servir para

tener una idea bastante clara de la conformación, pero no de la

homogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de

tendencia central aplicada. En el caso de las variables con valores que

pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual

intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado

de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.

A estos indicadores les llamamos medidas de dispersión, por

cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las

observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersión en

los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las

medidas de la estadística descriptiva.

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar

los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen

hasta qué punto estas medidas de tendencia central son representativas

como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la

separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución

respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión

absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las

relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

Las medidas de dispersión son parte de la estadística, la cual se ha

convertido en una disciplina científica que es al mismo tiempo una práctica

política que afecta todos los ámbitos de la vida social, la mayoría de los

actos que realizamos cada día constituyen el objeto de la estadística

1

moderna. En la actualidad interviene en los ámbitos del saber,

conocimiento pero también en la economía. Se puede afirmar que

la historia en sí de la estadística comienza alrededor de 1749 aunque, con

el tiempo, ha habido cambios en la interpretación de la palabra misma de

la estadística, además de que desde años atrás ya se podían observar

formas de estadísticas, casi cuando se consolidaron las sociedades

organizadas en la historia.

En el presente trabajo se desarrollará todo lo referente a medidas

de dispersión, rango, varianza, desviación media, desviación estándar y

coeficiente de variación.

ÍNDICE

2

INTRODUCCIÓN..............................................................................1

CAPÍTULO I. CONCEPTO DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN...........5

CAPÍTULO II. RANGO......................................................................6

2.1 Concepto.................................................................................6

2.2 Ventajas..................................................................................7

2.3 Desventajas.............................................................................9

2.4 Ejercicio de aplicación.............................................................9

CAPÍTULO III. DESVIACIÓN MEDIA..............................................11

3.1 Concepto...............................................................................11

3.2 Ventajas..............................................................................12

3.3 Desventajas...........................................................................12

3.4 Ejercicio de aplicación...........................................................12

CAPÍTULO IV. VARIANZA..............................................................14

4.1 Concepto...............................................................................14

4.2 Ventajas.................................................................................15

4.3 Desventajas...........................................................................16

4.4 Ejercicio de aplicación...........................................................16

CAPÍTULO V. DESVIACIÓN ESTÁNDAR......................................18

5.1 Concepto...............................................................................18

5.2 Ventajas.................................................................................19

5.3 Desventajas...........................................................................20

3

5.4 Ejercicio de aplicación...........................................................20

CAPÍTULO VI. COEFICIENTE DE VARIACIÓN.............................22

6.1 Concepto...............................................................................22

6.2 Ventajas.................................................................................23

6.3 Desventajas........................................................................24

6.4 Ejercicio de aplicación...........................................................24

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................27

4

CAPÍTULO I. CONCEPTO DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN1

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de

variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por

medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están

muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la

variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se

sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

 Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las

observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor

central. Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con

el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de

su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones

respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es

siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar

este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto

(desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado

(varianza).

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del

centro los valores de la distribución.

1 Medidas de dispersión. (s/f). [Página web en línea] Recuperado el 17 de Octubre de 2015 de: http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_esta.html; Profesor en línea. (s/f). [Página web en línea] Recuperado el 17 Octubre de 2015 de: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/estadisticaHistoria.htm

5

CAPÍTULO II. RANGO

2.1 Concepto

Rango es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por

ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de

la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están

los datos de un conjunto.

En estadística, el rango representa la diferencia entre el valor

máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. El rango nos muestra

qué tan distribuidos están los valores en una serie. Si el rango es un

número muy alto, entonces los valores de la serie están bastante

distribuidos; en cambio, si se trata de un número pequeño, quiere decir

que los valores de la serie están muy cerca entre sí. Si quieres saber

cómo calcular el rango, tan solo sigue estos pasos.

1. Enlista los elementos de tu conjunto de datos. Para encontrar el

rango de un conjunto, deberás enlistar todos los elementos para

que puedas identificar los números más altos y los más bajos.

Escribe todos los elementos. Los números de este conjunto son:

14, 19, 20, 24, 25 y 28.

2. Puede ser más sencillo identificar el valor máximo y el valor mínimo

en el conjunto si enlistas los números en orden ascendente. En este

ejemplo, acomodaremos los números de esta manera: 14, 19, 20,

24, 24, 25, 28.

3. Al enlistar los elementos en orden también se te facilitarán otro tipo

de cálculos, como encontrar la moda, la media o la mediana del

conjunto.

6

4. Identifica los valores mínimo y máximo del conjunto. En este caso,

el número más bajo del conjunto es 14 y el más grande es 25.

5. Réstale el valor mínimo del valor máximo. Ahora que has

identificado el número más grande y el número más chico en el

conjunto, todo lo que debes hacer es restarlos. Resta 14 de 25 (25 -

14) para obtener 11, el rango del conjunto.

6. Etiqueta claramente tu rango. Una vez que hayas encontrado el

rango, etiquétalo con claridad. Esto te ayudará a evitar confundirlo

con algún otro cálculo estadístico que tengas que hacer, como la

media, la moda o la mediana.

2.2 Ventajas

- Útil cuando se quiere conocer la extensión de las variaciones

extremas (valor máximo de la dispersión).

- Fácil de calcular.

Propiedades del Rango o Recorrido:

El recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e

interpretar puesto que simplemente es la distancia entre los

valores extremos (máximo y mínimo) en una distribución

Puesto que el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende

s ser errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos

o comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o

grandes. Cuando tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la

dispersión con respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás

valores de la variable.

7

La principal desventaja del recorrido es que sólo está influenciado

por los valores extremos, puesto que no cuenta con los demás valores de

la variable. Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido

ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión.

En el control de la calidad se hace un uso extenso del recorrido

cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y cuando

el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un factor de importancia.

Consejos:

El valor de la mediana de cualquier conjunto de datos estadísticos

representa la mitad del conjunto de datos en términos de distribución. Así

que aunque puedas verte tentado a asumir que la mediana de un conjunto

de datos es el rango dividido entre dos, o la mitad del recorrido entre los

extremos del rango, con frecuencia no es así. Para encontrar la mediana

correcta, debes enlistar los elementos en orden, luego localizar el

elemento a la mitad de la lista. Ese elemento es la mediana. Por ejemplo,

si tienes una lista de 29 elementos, el 15vo elemento será equidistante del

lado izquierdo y del lado derecho de la lista, así que el 15vo elemento será

tu mediana, sin importar cómo se relacione este valor con el rango.

También puedes interpretar el rango en términos algebraicos, pero

primero deberás entender el concepto de función algebraica, o de un

conjunto de operaciones para un número dado. Debido a que las

operaciones de funciones pueden hacerse para cualquier número, incluso

uno desconocido, dicho número se representa con una letra,

normalmente x. El dominio es el conjunto de todos los valores posibles por

los que puedas sustituir ese número desconocido. El rango de una

función, es el conjunto de posibles resultados que obtienes al ingresar los

8

diferentes valores para el dominio, y llevando a cabo las operaciones

definidas por la función. Desafortunadamente, no existe una sola manera

de calcular el rango de una función. A veces para observar un patrón claro

tendrás que graficar o calcular unos cuantos valores. También puedes

utilizar tus conocimientos acerca del dominio de una función para eliminar

ciertos valores de salida, o para reducir el conjunto de datos del rango.

2.3 Desventajas

- Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos

valores.

- No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones

con respecto al centro de la distribución.

- No es una medida de dispersión con respecto al centro de la

distribución.

- Solo emplea dos valores en su cálculo.

- Solo toma en cuenta los valores extremos; en medio puede pasar

lo que sea, y depende mucho de la muestra que se tenga.

- No se puede calcular en distribuciones de límite de clase abierto.

2.4 Ejercicio de aplicación

Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la

diferencia entre el valor más alto (Xn o Xmax.) y el más bajo (X1 o Xmin)

en un conjunto de datos.

9

Rango para datos no agrupados;

R = Xmáx.-Xmín = Xn-X1

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año,

a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de

las edades, se tiene que:

R = (Xn-X1) = 34-18 = 16 años

Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos.

Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango

mediante el uso de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el

límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera

clase.

Rango para datos agrupados;

R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1)

Ejemplo:

Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de

distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y

Asociados que fueron los siguientes:

ClasesP.M.

Xifi fr fa↓ fa↑ fra↓ fra↑

10

7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 30 0.33 1.00

21.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 20 0.46 0.67

36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 16 0.63 0.54

50.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 11 0.73 0.37

65.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 8 0.83 0.27

79.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 5 1.00 0.17

Total XXX 30 1.00 XXX XXX XXX XXX

El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:

R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1) = (93.910 – 7.420) =

86.49

CAPÍTULO III. DESVIACIÓN MEDIA2

3.1 Concepto

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor

de la variable estadística y la media aritmética.

2 Profesor en línea. (s/f). [Página web en línea] Recuperado el 17 de Octubre de 2015 de: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/estadistica_Tipos.html

11

Di = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos

de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por 

3.2Ventajas

- Toma en cuenta todos los datos.

3.3 Desventajas

- La desviación media de una muestra no es un buen estimador de

la desviación media de la población, que es lo que en última instancia nos

interesa conocer. 

3.4 Ejercicio de aplicación

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

12

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la

expresión de la desviación media:

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:

x i f i x i  · f i |x -  x| |x - x| · f i

13

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428

21 457.5 98.57

CAPÍTULO IV. VARIANZA

4.1 Concepto

La varianza es una medida de dispersión relativa a algún punto de

referencia. Ese punto de referencia es la media aritmética de la

distribución. Más específicamente, la varianza es una medida de que tan

cerca, o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media

14

aritmética. Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética,

mayor es la varianza; cuando más cerca estén las Xi a su medio menos es

la varianza. 

Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la

varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma)

elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se

define como: el cuadrado medio de las desviaciones con respecto a su

media aritmética"

Matemáticamente, se expresa como:

   

4.2 Ventajas

- Es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos

de datos.

- Utiliza toda la información disponible.

- La varianza de una muestra es un buen estimador de la varianza

de la población y hay toda una teoría de cómo hacerlo. 

Propiedades

“s” siempre un valor no negativo, que puede ser igual o distinta de

0. Será 0 solamente cuando Xi=X

La varianza es la medida de dispersión cuadrática óptima por ser la

menor de todas.

15

Si a todos los valores de la variable se le suma una constante la

varianza no se modifica.

Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante

la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicha constante. 

Siempre es mayor o igual a cero y menor que infinito.

La varianza de una constante es cero.

Si a una variable X la sometemos a Y=a+bX, la varianza de Y será

Var (Y) = b2Var(X).

4.3 Desventajas

- No proporciona ayuda inmediata cuando se estudia la dispersión

de un solo conjunto de datos.

- Como las unidades de la varianza son unidades al cuadrado

(personas al cuadrado, carros al cuadrado, casas al cuadrado) es difícil

explicar qué representa. 

4.4 Ejercicio de aplicación

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

16

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

x i f i x i  · f i x i2  · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12250

[40, 50) 45 9 405 18225

[50, 60) 55 8 440 24200

[60,70) 65 4 260 16900

[70, 80) 75 2 150 11250

42 1820 88050

17

CAPÍTULO V. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

5.1 Concepto

Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del

conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más

utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar

siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se

estima con respecto a este valor.

Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto

que es la raíz cuadrada positiva de esta. La desviación típica se

representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

18

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes

expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

5.2 Ventajas

- Esta expresada en las mismas unidades que la variable en

estudio.

- Utiliza todas las observaciones en su cálculo.

- Fácil de interpretar.

- Las unidades son las mismas de las observaciones, y como es la

raíz cuadrada de la varianza, se pueden hacer inferencias a través de la

varianza y dar explicaciones a través de la desviación estándar. 

Propiedades:

A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de

propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la

desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

19

La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será

siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0 è X = xi (para todo i).

Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.

La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos

los valores de la variable.

Si a todos los valores de la variable se le suma una misma

constante la desviación estándar no varía.

Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma

constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor

absoluto de dicha constante.

5.3 Desventajas

- No posee desventajas.

5.4 Ejercicio de aplicación

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación estándar de la distribución de la tabla:

20

x i f i x i  · f i x i2  · f i

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12250

[40, 50) 45 9 405 18225

[50, 60) 55 8 440 24200

[60,70) 65 4 260 16900

[70, 80) 75 2 150 11250

42 1820 88050

21

CAPÍTULO VI. COEFICIENTE DE VARIACIÓN3

6.1 Concepto

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar

los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen

hasta qué punto estas medidas de tendencia central son representativas

como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la

separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución

respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión

absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las

relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

El problema de las medidas de dispersión absolutas es que

normalmente son un indicador que nos da problemas a la hora de

comparar. Comparar muestras de variables que entre sí no tienen

cantidades en las mismas unidades, de ahí que en ocasiones se recurra a

medidas de dispersión relativas.

Un problema que se plantea, tanto la varianza como la desviación

estándar, especialmente a efectos de comparaciones entre distribuciones,

es el de la dependencia respecto a las unidades de medida de la variable.

Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones

que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son

iguales se utiliza el llamado "Coeficiente de Variación de Pearson", del que

se demuestra que nos da un número independiente de las unidades de

medidas empleadas, por lo que entre dos distribuciones dadas diremos

que posee menor dispersión aquella cuyo coeficiente de variación sea

3 Camacho, J. (2003). Medidas de dispersión. Universidad de La Laguna. Santa Cruz de Tenerife, España.

22

menor., y que se define como la relación por cociente entre la desviación

estándar y la media aritmética; o en otras palabras es la desviación

estándar expresada como porcentaje de la media aritmética.

Definición del Coeficiente de Variación

Dónde: C.V. representa el número de veces que la desviación típica

contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es

la dispersión y menor la representatividad de la media.

6.2 Ventajas

- Es la única medida de dispersión que permite comparar el nivel de

dispersión de dos muestras de variables diferentes.

- Emplea toda la información disponible en su cálculo.

- Fácil de calcular

- Sirve para comparar la variabilidad de dos poblaciones con

distintas magnitudes. 

Propiedades del Coeficiente de Variación:

Si a todos los valores de la variable se le suma una misma

constante el coeficiente de variación queda alterado.

6.3 Desventajas

23

- No es una medida de dispersión con respecto al centro de la

distribución de los datos.

6.4 Ejercicio de aplicación

Suponga que usted trabaja en una compañía de ventas, que ofrece

como premio de incentivo al mejor vendedor del trimestre anterior las

entradas al palco empresarial en la serie final de béisbol de las grandes

ligas en los Estados Unidos (E, E, U, A).

De los registros de ventas se tienen los siguientes datos de ventas,

expresados en porcentajes de cumplimiento de las metas fijadas

mensualmente:

Vendedor A 95 105 100

Vendedor B 100 90 110

El promedio trimestral de cumplimiento de las metas de ventas de

ambos vendedores es igual y equivale al 100%, pero Ud. Sólo le puede

dar el premio de incentivo a uno de ellos. ¿Cuál usted escogería? ¿En

base a qué criterio’. Explique.

Este problema se resuelve utilizando el coeficiente de variación,

para estos efectos es necesario encontrar la desviación estándar trimestral

de las ventas de cada uno de la siguiente manera:

Vendedor A

24

Xi ( xi – x ) ( xi - x )2

95 95 – 100 = -5 (-5)2 = 25

105 105 – 100 = 5 ( 5)2 = 25

100 100 – 100 = 0 ( 0)2 = 0

Total XXX 50

La desviación estándar es δ=√(50/3) = √16.667 = 4.08, luego

entonces el coeficiente de variación es igual a:

CV= 0.0408

Vendedor B

Xi ( xi - x ) ( xi - x )2

100 100 – 100 = 0 ( 0 )2 = 0

90 90 – 100 = -10 (-10)2 = 100

110 110 – 100 = 10 ( 10)2 = 100

25

Total XXX 200

La desviación estándar es δ=√(200/3) = √66.667 = 8.16, luego

entonces el coeficiente de variación es igual a:

CV= 0.0816

Respuesta: Dado que el vendedor A tiene menor coeficiente de

variación, A él le corresponde recibir el premio de incentivo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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28