Medidas de tendenciaMedia geomtricaLa media geomtrica (MG), de un conjunto denmeros positivos se define como lan-del producto de losnmeros.Por tanto, la frmula para la media geomtrica es dada por

Existen dos usos principales de la media geomtrica:1. Para promediar porcentajes, indices y cifras relativas y2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, produccin u otras actividades o series econmicas de un periodo a otro.EjemploSupongase que las utilidades obtenidas por una compaa constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. Cal es la media geomtrica de las ganancias?.En este ejemploy asi la media geomtrica es determinada por

y as la media geomtrica de las utilidades es el 3.46%.La media aritmtica de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no es muy grande, hace que la media aritmtica se incline hacia valores elevados. La media geomtrica no se ve tan afectada por valores extremos.Se ha calculado que, durante el primer ao de uso, cierta mquina sufre una depreciacin del 16% respecto a su valor de costo, y que, durante el segundo ao, la depreciacin es del 9% del valor que tena al comenzar dicho segundo ao. Encuntrese un tanto por ciento promedio de depreciacin anual.

Medidas de tendenciaMedia armnicaLa media armnica se define como el recproco de la media aritmtica de los recprocos:

Este valor se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo.Observaciones sobre la media Geomtrica y la media ArmnicaEl empleo de la media geomtrica o de la armnica equivale a una transformacin de la variable en log, respectivamente, y el clculo de la media aritmtica de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variacin muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto qumico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocaciones llega incluso al 1% o ms, puede ser ventajoso el empleo de logen lugar depara obtener una distribucin ms simtrica y que se aproxime ms a una distribucin normal. La media aritmtica de loges el logaritmo de la media geomtrica de, de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geomtrica como valor medio de.1. Construya la columna con los datos en Excel.2. Ingrese afy seleccioneestadsticasy luego activeMEDIA. GEOM o MEDIA. ARMO, entonces aparecer una ventana en la que se le pideNmero 1:ingrese el rango de los datosNmero 2:ingrese el rando de otro conjunto de datosEjemploSupongase que una familia realiza un viaje en automvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

Medidas de tendenciaLa medianaSeauna muestra aleatoria deobservaciones. Mediante la escriturase indica el elemento menor de la muestra; porel elemento que le sigue al menor y as sucesivamente hasta llegar aque representa al elemento mayor.La Mediana, de un conjunto de observaciones es el valor para el cual, cuando todas las observaciones se ordenan de manera creciente, la mitad de stas es menor que este valor y la otra mitad mayor.Seauna muestra aleatoria deobservaciones, la Mediana de estos datos se denota y se define de la siguiente manera:

EjemploSuponga que se tienen las duraciones en horas de un cierto tipo de lamparas incandecentes612,623, 666, 744, 883, 898, 964, 970, 983, 1003, 1016, 1022, 1029, 1058, 1085, 1088, 1122, 1135, 1197, 1201.Como hay 20 datos y se encuentran ordenados, entonces la mediana es dada por

Medidas de tendenciaMedidas de posicin relativaEstas medidas son tambin llamadas cuantilas, cuantiles o fractiles y cuyo objetivo es describir el comportamiento de una variable dividiendo la serie de valores en diferente nmero de partes porcentualmente iguales, las ms usadas son: los cuartiles (cuartas partes), los deciles (decimas partes) y los centiles o percentiles (centsimas partes).Los CuartilesSon aquellos nmeros que dividen a stas en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles, Q1, Q2 y Q3. El primer cuartil Q1, es el valor en el cual o por debajo del cual queda aproximadamente un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesin (ordenada); El segundo cuartil Q2 es el valor por debajo del cual queda el 50% de los datos (Mediana), el tercer cuartil Q3 es el valor por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.Los DecilesSon ciertos nmeros que dividen el conjunto de observaciones (ordenadas) en diez parte porcentualmente iguales. Los deciles se denotan por D1, D2, . . . , D9. El decil 5 corresponde al cuartil 2 (mediana).Los PercentilesSon ciertos nmeros que dividen el conjunto de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. El percentil 50 equivale a la mediana.Considerando la definicin de la mediana, esta ser el segundo cuartil, el quinto decil o el 50avo percentil o centil. En cualquiera de estas medidas el valor matemtico que se obtenga ser representativo del nmero de datos o menos que corresponde al valor relativo planteado. (Ejemplo: el primer cuartil es un valor representativo del 25% o menos de los valores de una distribucin, es decir, los valores inferiores de la distribucin).El procedimiento para encontrar el valor de cualquier percentila partir de datos clasificados, es el siguiente:1. Encontrarla posicindel percentilmediante el calculo de.2. Sino es un entero, entonces la posicines el siguiente entero ms grande y entonces el valor dees el dato ordenado en la posicin de este entero ms grande.3. Sies un entero, entonces la posicin del percentil sery as el valor del percentil es el promedio de las observaciones ordenadasy.EjemploA continuacin se presentan 20 observaciones en orden del tiempo de falla, en horas, de un material aislante elctrico (adaptadas del trabajo de Nelson, Applied Life Data Analysis, 1982):204228252300324444624720816912

1176129613921488151225202856319235283710

Para encontrar el percentil 10,, el valor dees 0.10,es un entero, el nmero de la posicin es, el cual es el promedio de las observaciones segunda y tercera. Por tanto, el percentil 10 es, lo cual significa que el 10% de los tiempos de fallas del material electrico aislante es aproximadamente inferior a 240 horas.El percentil 88 se encuentra de manera similar. Puesto que ahora k=0.88, nk=20, que no es un entero, y el nmero de la posicin es. Por tanto, el percentil 88 es la observacin ordenada nmero 18, esto es=3192; es decir el 88% de los tiempos de fallas del material electrico aislante es aproximadamente inferior a 3192 horas.1. Suponga que las notas de los estudiantes de un curso en un examen parcial tuvo una media aritmtica de 3.5, pero el profesor decide colocar como nueva nota, el 80% de su nota anterior ms uno. Cal es la nueva nota promedio del curso?. (esta transformacin es conocida como la curva del ocho).2. Cmo se encuentran ubicados la media, la mediana y la moda cuando la distribucin es simtrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda?.3. Determine un conjunto de datos tales que: La media, mediana y moda sean iguales La mediana sea mayor que la media La media sea mayor que la mediana.4. Durante deteminado ao, los precios de tres artculos de primera necesidad aumentaron en el 3%, el 8% y el 9% de su respectivo precio promedio del ao anterior. Determinese el tanto por ciento medio del aumento en el precio de dichos artculos.5. Para cada uno de los conjuntos de datos del numeral 3, encuentre los cuartiles 1, 2 y 3 e interprtelos

20 ohm(18, 19, 20, 21)10 ohm(9,10,11,12)

Sea A>10 = 11,12, 18, 19, 20, 21Sea B < 19 = 9,10,11,12,18C (a+b) = 28 = (19+9) (18+10)

Cuantas placasLas placas tienen 3 letras y 4 nmeros.. = 26 al cubo por ( 10 a la 4) 175,760,000 Sin repeticin P(26,3)* P(10,4) =( 26! / 23! )* 10!/6! = 78,624,000

Al menos haya una repeticin de una letraA = P(26,3)* P(10,4) =( 26! / 23! )* 10!/6! = 78,624,000P ( A ) = / (A)= 78,624,000/175,760,000= 0.4473Al menos una repeticin;P(A) = 0.5527

Cardinalidad del espacio muestral365 a la 21 = 6.42 * 10 la 21365! / 21! = nPr= 365P21= 3.576583099*10 a la 53

= 36521 = 6.42 x1053 365!/344! =3.57 / 6.42=0.5507

12 botellas verdes y 5 rojasFormas de combinar12 C 5 = 792