Medidas de Tendencia Central y de Posición

8/18/2019 Medidas de Tendencia Central y de Posición

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Prof. José Pérez Leal

Marzo de 2016

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE POSICIÓN

En este trabajo se expone de forma sencilla los conceptos básicos de medidas de tendencia central y

medidas de posición. En principio, se tiene que las medidas de tendencia central son las medidas que van a

permitir al investigador crearse una idea sobre, hacia dónde se encuentran concentrados la mayoría de los

datos y grosso modo las características del comportamiento de la variable estudiada. Por ejemplo si sabemos

que el promedio de edad de una muestra de personas es de 12 años, esperamos que se esté tratando con un

grupo de adolescente cuyas edades se encuentra, la mayoría de los casos muy cercanos a 12 años.

Por otra parte, las medidas de posición o ubicación van a permitir particionar la serie de datos en

porcentajes convenientes para la investigación. Por ejemplo, exactamente dónde se encuentra la edad menor

que permite separar al 30% de las personas mayores del 70% de personas de menor edad del grupo.

Así, se comenzará por la exposición y ejemplificación de las medidas de tendencia central para

posteriormente trabajar con las medidas de posición.

Mediadas de tendencia central

Las medidas de tendencia central, dan una idea de un número alrededor del cual tienden a concentrarse

todo un conjunto de datos y se utilizan con bastante frecuencia para resumir

un conjunto de cantidades o datos numéricos a fin de describir los datos cuantitativos que los forman.

Ejemplos de ello, pueden ser: la edad promedio o la estatura promedio de los estudiantes de la

universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal que son llenadas por una determinada máquina en un

proceso de producción, o las ventas de un negocio, el Coeficiente Intelectual, las medidas de circunferencia

craneal de un conjunto de personas observadas o hasta las calificaciones de los estudiantes de bachilleratos se

estudian aplicando medidas de tendencia central.

Las medidas de tendencia central son también frecuentemente usadas para comparar un grupo de

datos con otro, por ejemplo: el promedio de ventas obtenido por un grupo de vendedores de una zona

comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de

clientes de una sucursal, comparado con el promedio de reclamos de otra sucursal.

Otras características generales de las medidas de tendencia central son las siguientes:

- Permiten apreciar qué tanto se parecen, o se diferencian, los grupos entre sí.

- Son valores que se calculan para un grupo de datos y que se utiliza para describirlos de

alguna manera

- Normalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores incluidos en el grupo.


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- Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor

más pequeño o el más grande, sino un valor que está en algún punto intermedio del grupo,

más exactamente, se acerca a estar al centro de todos los valores, por ello se les llama medidas de

tendencia central.

- Se utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de datos en particular.

- También para comparar un grupo de datos contra otro.

El cálculo de las medidas de tendencia central se hace mediante fórmulas, las cuales cambian

según como se encuentren los datos del grupo con el cual se va a

trabajar, esto es si están como Datos no agrupados o como Datos agrupados (Distribuciones de

frecuencias).

Medidas de tendencia centr al más comunes

Las medidas de tendencia central más comúnmente usadas son:

La Media Aritmética, La Mediana y la Moda o Modo; cada una de estas medidas es representativa de

una serie de datos en una forma particular.

La media aritmética es la que frecuentemente se le denomina promedio, sin embargo, el término es

utilizado también para las otras medidas de tendencia central.

Medidas de Tendencia Central para Datos No Agrupados

La Media Ari tmética

Aún y cuando existen varias medias, como la media armónica y la media geométrica, la media

aritmética es la más frecuentemente utilizada en Estadística y la que se va desarrollar en este material de

estudio.

La media aritmética o promedio aritmético, es la suma de todos y cada uno de los valores de la serie

numérica estudiada, entre la cantidad de datos observados

La media se denota con la letra griega mhu (µ) si se trata de la media de la población, mientras que se

denotará con la equis con la barra encima se trata de una muestra. Para los efectos de este trabajo se tomará

indistintamente la equis barra ( ) para cualquiera de los dos casos.

Expresado en fórmula matemática la media aritmética para datos no agrupados se calcula con la

siguiente fórmula:


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La Mediana

Por otra parte se tiene que la median es un valor tal, que divide a la serie de datos en dos partes iguales

o dos mitades. A partir de la mediana 50% de los datos son menores a ella y el otro 50% es superior. En

resumen:


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Medidas de Tendencia Centr al para Datos Agrupados

Media Ar itmética para Datos Agr upados

Para calcular la media aritmética cuando los datos se presentan agrupados en tablas de frecuencia se

utiliza la fórmula:

Si además de estar agrupados en tablas de frecuencia y los datos se agrupan en intervalos de clases el

Xi que se usará es el punto medio de cada clase.

http://1.bp.blogspot.com/-iFUAU3xgz_o/U73v68PdJ0I/AAAAAAAAAT0/Ywi1C6Nx_iM/s1600/Formula_Media_Aritmetica_02.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-iFUAU3xgz_o/U73v68PdJ0I/AAAAAAAAAT0/Ywi1C6Nx_iM/s1600/Formula_Media_Aritmetica_02.jpg


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http://1.bp.blogspot.com/-7zsUXF03WEs/U738v_SgerI/AAAAAAAAAUc/Eukab1enO3o/s1600/Ejemplo_Mediana_02.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-7zsUXF03WEs/U738v_SgerI/AAAAAAAAAUc/Eukab1enO3o/s1600/Ejemplo_Mediana_02.jpg


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Moda para Datos Agrupados

Como se comentó en los datos no agrupados, la moda viene a representar el valor que más se repite en

la serie de datos y el dicha serie puede haber una moda, dos modas o más de dos modas. Si existe una sola

moda se dice que la serie es unimodal , si existen dos modas se dice que la serie de datos es Bimodal y si

existen tres o más modas se dice que la serie es Multimodal.

Para el caso de tener datos agrupados en tablas de frecuencia se utiliza la siguiente fórmula para su

cálculo:

http://1.bp.blogspot.com/-Di8AGISJ6So/U739xSL9T2I/AAAAAAAAAUo/cGMG9VU3niA/s1600/Ejemplo_Moda_002.jpg


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Medidas de Ubicación o de posición

Los estadísticos de posición van a ser valores de la variable caracterizados por superar a cierto

porcentaje de observaciones en la población (o muestra). Como base de las medidas de posición se tiene a

fundamentalmente a los percentiles, y asociados a ellos también se expondrán los cuartiles y los deciles.

Cuartiles

Se comenzará por los cuartiles como primera medida de posición a estudiar

Al igual que la mediana, que el valor que divide a la serie de datos en dos partes iguales de 50% cada

una. Los cuartiles son tres y dividen a la serie de datos en cuatro (4) partes iguales de 25% cada una de ellas.

____________ Q1 ____________ Q2 ____________ Q3 ___________

25% 25% 25% 25%

Ejemplo: Cálculo de cuartiles con una variable discreta Dada la siguiente distribución en el número de

hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.

http://2.bp.blogspot.com/-AE-MC1Rrwq0/U73-JymQ4rI/AAAAAAAAAUw/7nlTKMEj0eQ/s1600/Moda001.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-AE-MC1Rrwq0/U73-JymQ4rI/AAAAAAAAAUw/7nlTKMEj0eQ/s1600/Moda001.jpg


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Solución:

1. Primer cuartil:

n/4 = 25; Primera Fa > n/4 = 39; luego Q1 = 2

2. Segundo cuartil:

2n/4 = 50; Primera Fa > 2n/4 = 65; luego Q2 = 3

3. Tercer cuartil:

3n/4 = 75; Primera Fa > 3n/4 = 85; luego Q3 = 4

Para variables continuas, organizadas o agrupas en una tabla de frecuencia la fórmula general para el

cálculo de los cuartiles es:

Donde:

Li: es el límite inferior del intervalo de clases donde se ubica el cuartil solicitado

k: número del cuartil a ser calculado (k = 1, 2, 3)

Fant: Frecuencia acumulada anterior a la del intervalo de clase donde se localiza el cuartil que se está

calculando

f i: Frecuencia absoluta del intervalo donde se localiza en cuartil

Ic: Longitud del intervalo de clase donde está el cuartilEjemplo:

Calcular los cuartiles en la siguiente distribución de una variable continua:


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Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

En primer lugar se busca la clase donde se encuentra posicionados los nk/10 deciles que se van a

calcular, en la tabla de las frecuencias acumuladas.


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Se aplica entonces la fórmula

La cual tiene la misma estructura básica de las fórmulas para el cálculo de la mediana y los cuartiles

Ejemplo


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Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra (k.n/100), en la tabla de las frecuenciasacumuladas.

Luego se aplica la fórmula general


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Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES

Chao, Lincoln (1999) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. México. Mc Graw-Hill.

Pérez Leal, J. (2014) Medidas de Tendencia Central. (Artículo en lína) disponible en: http://estadistica-

jpleal.blogspot.com/2014/07/medidas-de-tendencia-central.html (Consulta: 2016, febrero 21)

Pérez Leal, José (2014) Medidas de Tendencia Central. [Artículo en línea] disponible en: http://estadistica-

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Pérez-Tejada, Haroldo (2008) Estadística para las Ciencias Sociales y Comportamiento de la Salud. 3era

edición. México. CENGAGE Learning

Ríus, F., y otros (s/f) Bioestadística: métodos y aplicaciones. Universidad de Málaga. España. [Libro en línea]

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Rivas González, Ernesto (2000) Estadística General. CArac as – Venezuela. Ediciones de la Biblioteca

Central UCV

Romero Méndez, Ulises (s/f) ¿Cómo se Construye una Tabla de Frecuencias? [Documento en línea]

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