-
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1/6
Viga: 0.25 X 0.25 m2
Columna: 0.25 X 0.25 m2
E: Kg/m2
I Vig= m4
I Col= m4
SOLUCION
Habiendo identificado los nodos de la estructura, definimos la
numeracion de barras, para luego calcular los momentos
de empotramiento perfecto, y reaciones de las barras
identificadas.
Para la Barra 01, Barra 02 Se puede calcular con el uso de
formulas presentes en los textos de analisis
estructural II. Fuente: J. Uribe E.
Para este caso los momentos de empotramiento perfecto en los
nodos son ceros, ademas que las reaciones tambien cero, por no
tener
presencia de cargas intermedias.
Barra 01 Barra 02 Barra 03
N12 N23 N34 0
V12 V23 V34 0
M12 M23 M34 0
N21 N32 N43 0
V21 V32 V43 0
M21 M32 M43 0
Ensamblamos la matriz de momentos, fuerzas de empotramiento del
sistema estructural
N1 KG
V1 KG
M1 KG-M
N2 KG
V2 KG
M2 KG-MN3 KG
V3 KG
M3 KG-M
N4 KG
V4 KG
M4 KG-M
Matriz de fuerzas externas aplicadas al sistema estructural
nodales.
N1 KG
V1 KG
M1 KG-M Son las fuerza aplicadas en el sistema de
coordenadas
N2 KG global. Los mismos que se encuentran en cada nodo
V2 KG discretizado para el analisis.
M2 KG-M
N3 KG
V3 KG
M3 KG-M
N4 KG
V4 KG
M4 KG-M
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
1000
0
0
0
=
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
00
0
EJEMPLO 3
Calcular los desplazamientos en el portico y trazar los
diagramas de momentos, cortantes y la deformada. Si E=2100000
kg/cm2
21000000000
0.000325521
0.000325521
0
0
==
0
0
0
0
0
0
-+
+
2
25 cm-
1000 Kg
10 m
4
3
25 cm
1 10 m
-
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2/6
Matriz del Vector de fuerzas internas del sistema
N1 0 N1 KG
V1 0 V1 KG
M1 0 M1 KG-M
N2 0 N2 KG
V2 0 V2 KG
M2 0 M2 KG-M
N3 0 N3 KG
V3 0 V3 KG
M3 0 M3 KG-M
N4 0 N4 KG
V4 0 V4 KG
M4 0 M4 KG-M
Matriz de Transformacion de las barras
Barra 1
Elem. i j i j L A l m l 2 m 2 i j
1 0 0 0 10 10 0.0625 0 1 0 1 1 2
0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Barra 2
Elem. i j i j L A l m l 2 m 2 i j
2 0 10 10 10 10 0.0625 1 0 1 0 3 3
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Barra 3
Elem. i j i j L A l m l 2 m 2 i j
3 10 10 10 0 10 0.0625 0 -1 0 1 3 4
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
Calculo de matriz de rigidez de cada elemento
Barra 01
Elem A L
1 0.06 10
U1X U1Y R1 U2X U2Y R2
131250000 0 0 -131250000 0 0 U1X
0 82031. 25 4 10156. 25 0 -82031. 25 410156. 25 U1Y
0 410156. 25 2734375 0 -410156. 25 1367187. 5 R1
-131250000 0 0 131250000 0 0 U2X
0 -82031. 25 -410156. 25 0 82031. 25 - 410156. 25 U2Y
0 410156. 25 1367187. 5 0 -410156. 25 2734375 R2
Barra 02
Elem A L
2 0.06 10
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
131250000 0 0 -131250000 0 0 U2X
0 82031. 25 4 10156. 25 0 -82031. 25 410156. 25 U2Y
0 410156. 25 2734375 0 -410156. 25 1367187. 5 R2
-131250000 0 0 131250000 0 0 U3X
0 -82031. 25 -410156. 25 0 82031. 25 - 410156. 25 U3Y
0 410156. 25 1367187. 5 0 -410156. 25 2734375 R3
0
1000
0
0
1000
0
0
4EI/L 2EI/L
0.000325521 21000000000 131250000 82031.25 410156.25 2734375
1367187.5
K2=
K1=
I E AE/L 12EI/L^3 6EI/L^2
6EI/L^2 4EI/L 2EI/L
0.000325521 21000000000 131250000 82031.25 410156.25 2734375
1367187.5
L= LT=
I E AE/L 12EI/L^3
I J
L= LT=
I J
L= LT=
I J
0
0 0
- =
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
=
0
0
-
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3/6
Barra 03
Elem A L
3 0.06 10
U3X U3Y R3 U4X U4Y R4
131250000 0 0 -131250000 0 0 U3X
0 82031. 25 4 10156. 25 0 -82031. 25 410156. 25 U3Y
0 410156. 25 2734375 0 -410156. 25 1367187. 5 R3
-131250000 0 0 131250000 0 0 U4X
0 -82031. 25 -410156. 25 0 82031. 25 - 410156. 25 U4Y
0 410156. 25 1367187. 5 0 -410156. 25 2734375 R4
CONVERSION DE MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL A GLOBAL
Barra 01
U1X U1Y R1 U2X U2Y R2
82031. 25 0 - 410156.25 - 82031. 25 0 - 410156. 25 U1X
0 131250000 0 0 -131250000 0 U1Y
-410156.25 0 2734375 4 10156.25 0 1367187.5 R1
-82031.25 0 410156.25 82031.25 0 410156.25 U2X
0 -131250000 0 0 131250000 0 U2Y
-410156.25 0 1367187.5 410156.25 0 2734375 R2
Barra 02
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
131250000 0 0 -131250000 0 0 U2X
0 82031. 25 4 10156. 25 0 -82031. 25 410156. 25 U2Y
0 410156. 25 2734375 0 -410156. 25 1367187. 5 R2
-131250000 0 0 131250000 0 0 U3X
0 -82031. 25 -410156. 25 0 82031. 25 - 410156. 25 U3Y
0 410156. 25 1367187. 5 0 -410156. 25 2734375 R3
Barra 03
U3X U3Y R3 U4X U4Y R4
82031.25 0 410156.25 -82031.25 0 410156.25 U3X
0 131250000 0 0 -131250000 0 U3Y
410156.25 0 2734375 -410156.25 0 1367187.5 R3
- 82031. 25 0 - 410156.25 82031. 25 0 - 410156. 25 U4X
0 -131250000 0 0 131250000 0 U4Y
410156.25 0 1367187.5 -410156.25 0 2734375 R4
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DEL SIS TEMA
U1X U1Y R1 U2X U2Y R2 U3X U3Y R3 U4X U4Y R4
82031.25 0 -410156.25 -82031.25 0 -410156.25 0 0 0 0 0 0 U1X
0 131250000 0 0 -131250000 0 0 0 0 0 0 0 U1Y
-410156.25 0 2734375 410156.25 0 1367187.5 0 0 0 0 0 0 R1
-82031.25 0 410156.25 131332031 0 410156.25 -131250000 0 0 0 0 0
U2X
0 -131250000 0 0 131332031 410156.25 0 -82031.25 410156.25 0 0 0
U2Y
-410156.25 0 1367187.5 410156.25 410156.25 5468750 0 -410156.25
1367187.5 0 0 0 R2
0 0 0 -131250000 0 0 131332031 0 410156.25 -82031.25 0 410156.25
U3X
0 0 0 0 -82031.25 -410156.25 0 131332031 -410156.25 0 -131250000
0 U3Y
0 0 0 0 410156.25 1367187.5 410156.25 -410156.25 5468750
-410156.25 0 1367187.5 R3
0 0 0 0 0 0 -82031.25 0 -410156.25 82031.25 0 -410156.25 U4X
0 0 0 0 0 0 0 -131250000 0 0 131250000 0 U4Y
0 0 0 0 0 0 410156.25 0 1367187.5 -410156.25 0 2734375 R4
Reduccion de la matriz de rigidez global segn condicion de
frontera, Matriz reducida
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
131332031.3 0 410156.25 -131250000 0 0 U2X
0 1 313 32 03 1. 3 4 10 15 6. 25 0 - 82 03 1. 25 4 10 156 .2 5
U2Y
4 10 15 6. 25 4 10 15 6. 25 5 46 87 50 0 - 41 01 56 .2 5 1 36
718 7. 5 R2
-131250000 0 0 131332031.3 0 410156.25 U3X
0 - 82 03 1. 25 - 41 01 56 .2 5 0 1 31 33 20 31 .3 - 41 01 56 .2
5 U3Y
0 410156. 25 1367187.5 410156. 25 - 410156.25 5468750 R3
Reemplazamos en la ecuacion fundamental del metodo matricial
En la matrizde fuerzas reem plazamos los resultados obtenidos de
la matriz del verctor de fuerzas internas
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
N2 131332031.3 0 410156.25 -131250000 0 0 U2X U2X
V2 0 1 313 32 03 1. 3 4 10 15 6. 25 0 - 82 03 1. 25 4 10 156 .2
5 U2Y U2Y
M2 4 10 15 6. 25 410 15 6. 25 5 46 87 50 0 - 41 01 56 .2 5 1 36
718 7. 5 R2 R2
N3 -131250000 0 0 131332031.3 0 410156.25 U3X U3X
V3 0 - 82 03 1. 25 - 41 01 56 .2 5 0 1 31 33 20 31 .3 - 41 01 56
.2 5 U3Y U3Y
M3 0 410156. 25 1367187. 5 410156. 25 - 410156.25 5468750 R3
R3
KT=
21000000000 131250000 82031.25 410156.25 2734375 1367187.5
E AE/L 12EI/L^3 6EI/L^2 4EI/L 2EI/L
K1=
K2=
KT=
=
I
0.000325521
K3=
K3=
= L . .
-
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4/6
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
U2X 8.71219E-06 3.26472E-09 -5.232E-07 8.70838E-06 -3.2647E-09
-5.2282E-07 U2X 1000
U2Y 3.26472E-09 7.61837E-09 -6.5294E-10 3.26472E-09 6.80151E-13
-6.5294E-10 U2Y 0
R2 -5.232E-07 -6.5294E-10 2.26526E-07 -5.2282E-07 6.52945E-10
-1.7322E-08 R2 0
U3X 8.70838E-06 3.26472E-09 -5.2282E-07 8.71219E-06 -3.2647E-09
-5.232E-07 U3X 0
U3Y -3.2647E-09 6.80151E-13 6.52945E-10 -3.2647E-09 7.61837E-09
6.52945E-10 U3Y 0
R3 -5.2282E-07 -6.5294E-10 -1.7322E-08 -5.232E-07 6.52945E-10
2.26526E-07 R3 0
U2X 0.008712 8.71219 mm
U2Y 0.000003 0.00326 mm
R2 -0.000523
U3X 0.008708 8.70838 mm
U3Y -0.000003 -0.00326 mm
R3 -0.000523
CALCULO DE ESFUERZOS EN CADA BARRA
La ecuacion para el calculo de los esfuerzos, ya sean estos
momentos flectores, fuerzas en Y, Fuerzas en X, esta dada por la
siguiente ecuacion.
Matriz de esfuerzos es igual a la matriz de rigides global de la
barra multiplicado por la m atriz de desplazamientos y rotaciones
mas la matriz
de fuerzas y momentos de emporamiento perfecto.
Barra 01
N1 U1x F1x
V1 U1y F1yM1 R1 M12
N2 U2x F2x
V2 U2y F2y
M2 R2 M21
U1X U1Y R1 U2X U2Y R2
N1 82031. 25 0 - 410156.25 - 82031. 25 0 - 410156.25 U1X 0 0
V1 0 131250000 0 0 -131250000 0 U1Y 0 0
M1 -410156.25 0 2734375 410156.25 0 1367187.5 R1 0 0
N2 -82031.25 0 410156.25 82031.25 0 410156.25 U2X 0.00871 0
V2 0 -131250000 0 0 131250000 0 U2Y 0.00000 0
M2 -410156.25 0 1367187.5 410156.25 0 2734375 R2 -0.00052 0
N1 -500.078 0 N1 -500.078113 Kg
V1 -428.495 0 V1 -428.494912 Kg
M1 2858.05 0 M1 2858.04619 kg-m
N2 500.078 0 N2 -500.078113 Kg
V2 428.495 0 V2 -428.494912 Kg
M2 2142.73 0 M2 -2142.73493 kg-m
Barra 02
N2 U2x F2X
V2 U2y F2Y
M2 R2 M23
N3 U3x F3X
V3 U3y F3Y
M3 R3 M32
U2X U2Y R2 U3X U3Y R3
N2 131250000 0 0 -131250000 0 0 U2X 0.008712 0
V2 0 82031. 25 410156. 25 0 -82031. 25 410156. 25 U2Y 0.000003
0
M2 0 410156. 25 2734375 0 -410156. 25 1367187. 5 R2 -0.000523
0
N3 -131250000 0 0 131250000 0 0 U3X 0.008708 0
V3 0 -82031. 25 - 410156.25 0 82031. 25 - 410156. 25 U3Y
-0.000003 0
M3 0 410156. 25 1367187. 5 0 -410156. 25 2734375 R3 -0.000523
0
=
=
= +
= +
= + =
= Ki +*
= Ki +*
[ ]
+
=
Mij
Fiy
Fix
Ri
Uiy
Uix
Ki
Mi
Vi
Ni
*
-
7/25/2019 Mef. Capitulo III Porticos Marco Antonio Churacutipa
Mamani
5/6
N2 499.922 0 N2 499.921887 Kg
V2 -428.495 0 V2 -428.494912 Kg
M2 -2142.73 0 M2 -2142.73493 kg-m
N3 -499.922 0 N3 499.921887 Kg
V3 428.495 0 V3 -428.494912 Kg
M3 -2142.21 0 M3 2142.21418 kg-m
Barra 03
N3 U3x F3X
V3 U3y F3Y
M3 R3 M34
N4 U4x F4X
V4 U4y F4Y
M4 R4 M43
U3X U3Y R3 U4X U4Y R4
N3 82031.25 0 410156.25 -82031.25 0 410156.25 U3X 0.008708 0
V3 0 131250000 0 0 -131250000 0 U3Y -0.000003 0
M3 410156.25 0 2734375 -410156.25 0 1367187.5 R3 -0.000523 0
N4 - 82031. 25 0 - 410156.25 82031. 25 0 - 410156.25 U4X
0.000000 0
V4 0 -131250000 0 0 131250000 0 U4Y 0.000000 0
M4 410156.25 0 1367187.5 -410156.25 0 2734375 R4 0.000000 0
N3 499.922 0 N3 499.921887 Kg
V3 -428.495 0 V3 -428.494912 Kg
M3 2142.21 0 M3 2142.21418 kg-mN4 -499.922 0 N4 499.921887
Kg
V4 428.495 0 V4 -428.494912 Kg
M4 2857 0 M4 -2857.005 kg-m
= Ki *
= + =
+
= +
= + =
-
7/25/2019 Mef. Capitulo III Porticos Marco Antonio Churacutipa
Mamani
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DIAGRAMAS
MODELO MATEMATICO CORTANTE
MOMENTO FLECTOR
