Análisis Estructurales No Lineales Aplicando El Método de los Elementos Finitos Usando el Programa “Algor”

Patricio M. Vasco L. Universidad Técnica de Ambato

Centro de Investigaciones Científicas Facultad de Ingeniería Civil

Avenida de los Chasquis y Río Payamino Ambato – Ecuador

Mail: patovasco@engineer.com

RESUMEN

El Método de los Elementos Finitos [MEF], es un procedimiento general para obtener soluciones numéricas, con una precisión aceptable a la solución de muchos problemas complejos de Ingeniería, los cuales son constituidos o modelados mediante continuos. El comportamiento no lineal, es dependiente de varias causas; y se pueden agrupar en tres grupos; el primero debido a cambios de estado, el segundo por no linealidades geométricas, y por último no linealidades en los materiales. El problema básico, es encontrar el estado de equilibrio para un cuerpo que presente una respuesta no lineal, debido a cargas aplicadas. La utilización de Algor se aplica para realizar el modelo, discretizar el elemento, mediante la generación de mallas, y para predecir su comportamiento no lineal, es así como los problemas estudiados han pasado de una solución matemática, a la observación del comportamiento real del modelo analizado. Palabras Clave: Análisis Estructural, Elementos Finitos, Algor.

ABSTRACT

The Finite Elements Method is a general procedure which allow us to get numerical solutions with acceptable accuracy of many complex engineering problems; these problems are modeled by continuous. The non lineal behavior depends of many causes; these might be grouped into three groups: the first one due to changes of condition, the second one due to non lineal geometries, and the last one due to non lineal characteristics in materials. The basic problem is to find the condition of equilibrium for a body that presents a non lineal response due to applied charges. The used of Algor is applied to model and discrete the element generating meshes, it also allow us to predict its non lineal behavior. In this way the studied problems have been passed from mathematical solutions to the observation of the real behavior of the analyzed model. Key Words: Structural Analysis. Finite Elements, Algor.

1.- INTRODUCCIÓN En la actualidad, los problemas que la Ingeniería debe solucionar son en su mayoría de naturaleza no lineal, con el auge de las computadoras se ha vuelto a dar vigencia a varias técnicas numéricas de aproximación funcional, como es el Método de los Elementos Finitos [MEF], el Método de las Diferencias Finitas [MDF], y el Método de los Elementos de Contorno [MEC]. Estos métodos no aportan nuevos elementos en el caso de estructuras simples como barras, vigas o columnas, pero se hacen indispensables para poder resolver adecuadamente estructuras más complejas. El MEF es una potente técnica numérica que permite desarrollar estudios y modelos más realistas para el análisis del comportamiento de las estructuras, evitando de esta manera las fuertes simplificaciones que se imponían en el pasado al idealizar un modelo simplificado de cálculo. Los modelos realizados para el cálculo son de importancia en la obtención de resultados confiables de cualquier procedimiento de solución de estructuras. Su importancia se incrementó significativamente con el gran desarrollo del MEF y la aplicación de técnicas computacionales. Existen innumerables aplicaciones de este tipo de análisis, entre ellas la simulación de problemas de impacto, de conformación mecánica, el análisis de problemas de fractura y/o fragmentación, problemas de contacto, problemas de grandes deformaciones y/o grandes desplazamientos, no linealidades debido a cambios de estado, no linealidades geométricas, y no linealidades en el comportamiento del material. [Beltrán, 1999] “El conocimiento de estas técnicas numéricas resulta actualmente casi imprescindible para aquellos que se desenvuelven en el ámbito de la Ingeniería Civil y la Ingeniería Mecánica, ya que la mayor parte de los análisis de tensiones que se llevan a cabo en la industria están basados en ellas”.(Pág. 1) 1.1.- Aspectos Históricos En la mecánica de sólidos las primeras publicaciones en las que se mostraba que se podían obtener soluciones razonablemente buenas del problema elástico reemplazando porciones de sólido por una barra elástica se fechan en los años cuarenta del pasado siglo [Hrenikoff, 1941.] y [Courant, 1943]. Sin embargo se considera las investigaciones de los Ingenieros [Argyris, 1954], [Turner, et al 1956] y [Clough, 1960] como el verdadero punto de partida del MEF, que en estos últimos cuarenta años a extendido su presencia a prácticamente, todas las ramas de la Ingeniería, la Tabla 1.1 indica una cronología del Método.

Tabla 1.1.- Cronología del Desarrollo del MEF

DECADA

MATEMÁTICOS FÍSICOS INGENIEROS

1940 Courant

Schoenberg Prager y Synge Hrenikoff McHenry Newmark

1950

Polya Hersch

Weisberger Greenstadt

Synge McMahon

Langefors Agyris

Turner, Clough, Martin y Topp

1960 Friedrichs White -

Clough Melosh,

Bessenling Jones.

El MEF nació como una generalización del cálculo matricial de estructuras, que se basa en la idea de dividir la estructura en barras, dentro de las cuales se conoce la solución en función de ciertos coeficientes que hacen coincidir los movimientos de los nudos extremos, los coeficientes se obtienen planteando el equilibrio de todos los nudos de la estructura y resolviendo el sistema de ecuaciones se determinan los movimientos nodales, se desciende nuevamente al nivel local de cada barra y se obtiene la solución de esfuerzos y movimientos en el conjunto de la estructura por agregación de soluciones locales.

Alguien que trabajaba con sistemas estructurales complejos, que no se idealizaban bien mediante entramados de barras, pensó que podía dividir su estructura en zonas o elementos más complejos que una simple barra. Estos elementos estaban conectados entre si también en nudos pero, a diferencia con el cálculo matricial, dentro de ellos solo conocía la solución de manera aproximada en función de los movimientos nodales. Al igual que en el cálculo matricial, a partir de las soluciones locales se podía plantear el equilibrio de los nudos y obtener los movimientos nodales resolviendo un sistema de ecuaciones. Estos movimientos nodales definían la solución dentro de cada uno de los elementos en que se había dividido la estructura y, por agregación, la solución en toda ella. El MEF surgió en el ámbito del cálculo de estructuras y esto incide en toda la terminología asociada al mismo. En un principio se presentó como un procedimiento de cálculo más, entre los desarrollados por ingenieros ocupados en resolver problemas prácticos. Sin embargo, durante los años sesenta los investigadores descubrieron que la esencia de lo que había sido una generalización del cálculo matricial podía utilizarse, no solo para resolver problemas de cálculo de estructuras, sino también problemas de campo en general, tales como problemas de elasticidad o de conducción de calor y más. La idea básica seguía siendo la misma: la división del dominio de cálculo en pequeños subdominios y la aproximación en ellos de la variable de campo, en función de su valor en puntos llamados nudos. Aparecía así el MEF moderno. Al Haber sido desarrollado con mentalidad práctica (ingenieril), el método tenía hondas raíces matemáticas, en la línea del procedimiento de Ritz para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales que data de 1909, o dentro de los llamados métodos de residuos ponderados. En su aplicación a la elasticidad, el método podía interpretarse también como una forma aproximada de resolver las condiciones de equilibrio derivadas del clásico principio de los trabajos virtuales. Esta generalidad empezó a atraer el interés de los matemáticos, los cuales contribuyeron decisivamente a explicar con rigor las bases del MEF. Sin embargo, debe hacerse notar que la contribución de los matemáticos al MEF ha ido siempre muy por detrás de las aplicaciones prácticas. El MEF nació como una herramienta ingenieril y sus líneas básicas de desarrollo han estado siempre muy vinculadas a la presión de la industria por resolver problemas. En muchas etapas de su evolución se ha concebido y aplicado con éxito una determinada técnica numérica antes de encontrar su justificación matemática rigurosa [Azevedo 2003]. 1.2.- Evolución del MEF El MEF alcanza su mayoría de edad hacia finales de los sesenta, con la aparición de los primeros programas comerciales. En ese momento entra en franca competencia con el único método de cálculo numérico disponible hasta entonces para problemas de campo: el método de diferencias finitas. En el ámbito del análisis de tensiones en sólidos, el MEF se impuso rápidamente, ya que esta libre de las restricciones de tipo geométrico que dificultan el uso de los procedimientos clásicos de diferencias finitas en este campo. El esfuerzo investigador se concentro más en estos años en aplicaciones dentro del ámbito no lineal, las cuales podían empezar a ser utilizadas de manera rutinaria gracias a los avances en la programación de cálculos. Donde si hubo un avance importante fue en la popularización del MEF y en su facilidad de uso, tanto por el acceso a computadoras, como por las capacidades gráficas que proporcionaban. En la década de los ochenta empiezan a comercializarse pre y post-procesadores gráficos para los cálculos de elementos finitos, siendo este un paso muy importante para poder abordar cálculos tridimensionales con geometrías complejas. 1.3.- Presente y Futuro del MEF Un aspecto importante es la integración del cálculo por elementos finitos con las ramas de la ingeniería a las que se las denominan: Ingeniería Virtual, VE Virtual Engineering; Diseño Asistido por Computadora, CAD Computer Aided Design, Ingeniería Asistida por Computadora, CAE Computer Aided Engineering; la Dinámica de Fluidos Computacional, CFD Computational Fluid Dynamics; el Análisis por Elementos Finitos, FEA Finite Element Análisis; entre otros, con el objetivo, siempre, de reducir los tiempos de proyecto o de puesta de productos de ingeniería en el mercado. Dentro del cálculo de tensiones hay que distinguir entre dos tipos generales de aplicaciones: el cálculo lineal y el no lineal. La gran mayoría de los usuarios del MEF en la actualidad, en torno al 80%, realiza cálculos lineales.

Las técnicas de cálculo lineal están lo suficientemente maduras y probadas como para que puedan emplearse de modo generalizado y sin incertidumbres en cuanto a los recursos necesarios para llegar al resultado. El cálculo lineal de tensiones, tanto estático como dinámico, se utiliza sobre todo en la fase de diseño o de proyecto, donde se busca hacer un uso eficiente del material y, en ocasiones, justificar el cumplimiento de una normativa o código de buena practica. Su uso esta muy difundido en el proyecto de elementos mecánicos y estructuras complejas. Las técnicas de cálculo no lineal han alcanzado una madurez suficiente como para poder ser empleadas por la industria de forma rutinaria. No tienen aún la difusión alcanzada por los métodos de cálculo lineal y requieren de computadoras con mayor memoria y velocidad, es decir más potentes, pero se emplean ya ampliamente en campos tales como la simulación y el estudio de la resistencia a impacto de vehículos (“crashworthiness"), el diseño de procesos de conformado de piezas metálicas (forjado, laminación) y el proyecto de componentes elastométricos.

Fig. 1.1.- Simulación del Impacto del vagón de un Tranvía “crashworthiness” El cálculo y la visualización de los resultados permite al ingeniero entender mejor el funcionamiento de sus diseños y, en consecuencia, optimizarlos. En este sentido, el cálculo lineal ha sustituido casi completamente a los ensayos y pruebas de prototipos en que se basaba buena parte del diseño mecánico esto hace solo unas décadas. No porque el cálculo sea mas barato, que muchas veces no lo es, sino porque es mucho mas rápido e interactivo, permite realizar muchas pruebas del tipo que pasaría si...? El cálculo no lineal de tensiones comienza a tener un peso específico grande dentro de las aplicaciones prácticas del MEF. La industria ha impulsado mucho la investigación en esta línea con el objetivo de que, a medio plazo, se puedan llegar a eliminar las incertidumbres que afectan hoy en día a los cálculos no lineales. Aunque se ha avanzado bastante en la ultima década, todavía existen áreas en las que abordar un cálculo no lineal tiene un cierto componente de investigación, ya que no se conocen a priori los recursos que serian necesarios para alcanzar el resultado. Esto, junto con los mayores requisitos de formación y de infraestructura informática que se imponen al usuario, ha retrasado la difusión de los cálculos no lineales. [Lara, 2000].

2.- OBJETIVOS DEL PRESENTE ESTUDIO. El objetivo principal de este trabajo es realizar algunas aportaciones que permitan avanzar en el conocimiento del Método de los Elementos Finitos, la comprensión del análisis no lineal de estructuras de Ingeniería, y concienciar a los usuarios de programas de ingeniería basados en estos métodos del compromiso adquirido en la interpretación y de manejo de resultados. Analizar el comportamiento de una viga en volado sometida a la aplicación de una carga y evaluar las deformaciones que esta presenta debido a efectos de la no linealidad del material, y no linealidad geométrica, presentes por la respuesta de la estructura a dicha carga. Utilizar Técnicas de Simulación enfocadas a desarrollar experimentos en computadoras, [Proyecto PFN-070 FUNDACYT] y aplicar metodologías adecuadas para el uso del Software Algor.

3.- PROBLEMAS LINEALES, NO LINEALES Y EL MEF Dentro de los problemas de Ingeniería en los que se aplica el MEF, se encuentran aquellos relacionados con la mecánica de los sólidos y la mecánica de los fluidos. Ambos pueden o no ser isotérmicos. Dentro de la mecánica de los sólidos el principal problema es el estudio tenso-deformacional del material, y aquí se encuentran dos grandes grupos de análisis: Comportamiento lineal Comportamiento no-lineal Existen en la ingeniería muchos casos importantes donde el comportamiento del material no se enmarca dentro de la mecánica de sólidos lineal. Dentro de estos problemas es posible citar aquellos en los cuales existen fenómenos de plasticidad, fluencia u otros comportamientos complejos que impiden la utilización de la sencilla hipótesis de elasticidad lineal. Existe una relación biunívoca entre el proceso de discretización y las funciones de aproximación. Los principios variacionales se encuentran relacionados con el comportamiento tenso-deformacional de los sólidos. Por lo anterior este tipo de problemas se puede tratar sin tener que reformular el proceso de discretización geométrica. Los problemas citados involucran una no-linealidad en la relación constitutiva, pero si la no-linealidad se nos presenta en la relación deformación-desplazamientos estamos ante problemas que presentan una no-linealidad geométrica. [Goicolea, et al 2003]. 3.1.- Fundamentos Matemáticos y Formulación del MEF Desde el punto de vista matemático, el Método de los Elementos finitos [MEF] puede entenderse como un procedimiento para resolver numéricamente problemas planteados mediante ecuaciones diferenciales. En esto es similar a otros procedimientos, como el Método de Diferencias Finitas [MDF] o el Método de los Elementos de Contorno [MEC]. La mayoría de estudiosos no tienen necesidad de conocer con toda generalidad las bases matemáticas del MEF, ya que en su vida profesional se limitaron a ser usuarios de programas comerciales de cálculo. Pero se necesita tener claros los conceptos matemáticos indispensables para hacer un uso práctico y correcto de las técnicas numéricas, ya probadas, que incorporan los programas comerciales [Beltrán, 1999]. A continuación se describe de manera breve la formulación del método de los elementos finitos. Esta explicación no pretende ser detallada, pudiéndose encontrar tratamientos más amplios en libros escritos sobre el tema indicados en el apartado 6 de este documento. El método, de manera simplificada, es el siguiente: 1.- Discretización. El continuo se divide mediante líneas o superficies imaginarias en un número de "Elementos Finitos". 2.- Conexiones. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número discreto de puntos denominados "nudos". Los desplazamientos de estos nudos serán las incógnitas fundamentales del problema. 3.- Campo de desplazamientos. Se definen los desplazamientos de un punto cualquiera del elemento en función de los desplazamientos de los nudos del mismo, de manera única, a través de un conjunto de funciones polinómicas, llamadas "Funciones de Forma".

eee aNu ×= Eq. 1 Donde ue son los desplazamientos en cualquier punto del elemento e, ae los desplazamientos nodales del elemento y Ne las funciones de forma.

4.- Campo de deformaciones. Las funciones de forma definirán de manera única el estado de deformación dentro del elemento en función de los desplazamientos nodales. Una vez conocidos los desplazamientos para todos los puntos del elemento, pueden determinarse las deformaciones en cualquier punto. Estas darán siempre por resultado una relación que podrá escribirse en forma matricial, como

eeeeeeeeee aBaNLuL ×=ε⇒××=ε⇒×=ε Eq. 2 donde L es un operador diferencial lineal. 5.- Campo de tensiones. Conocidas las deformaciones, a partir de las ecuaciones constitutivas, pueden determinarse las tensiones. Para un material elástico lineal, la relación entre tensiones y deformaciones viene dada por la matriz De que es la matriz constitutiva del material.

eee D ε×=σ Eq. 3 Utilizando [Eq. 2] se tiene que:

eeee aBD ××=σ Eq. 4

6.- Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nudos, tal que equilibre las tensiones y las cargas repartidas que actúan en el elemento. El procedimiento más usual para establecer dicho equilibrio y relacionar las fuerzas actuantes en los nudos con los desplazamientos en los mismos, se basa en la aplicación del "Principio de los Trabajos Virtuales [PTV]". El Principio de los Trabajos Virtuales establece que una estructura está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores si al imponer a la misma unos desplazamientos arbitrarios (Virtuales) compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales es igual al trabajo que realizan las tensiones sobre las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales. Y puede escribirse como:

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ σ ×δ+×δ+×δ=×δεv

TTT

v

T qatdsudvudv b Eq. 5

En donde q, b y t los vectores de fuerzas nodales, fuerzas por unidad de volumen y fuerzas por unidad de superficie respectivamente.

En esta expresión TTT Nau ×δ=δ y

TTT Ba ×δ=δε , con lo que simplificado Taδ puede reescribirse el PTV en el elemento como:

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ +×+×=×v

TT

v

T qtdsNdvNDBadvB b Eq. 6

Finalmente se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento

eeee faKq −×= Eq. 7 En donde Ke es la matriz de rigidez del elemento

∫ ∫ ∫ ×=v

Te DBdvBK Eq. 8

y fe es el vector de fuerzas de volumen y superficie

∫ ∫ ∫ ∫ ×+×=v

TTe tdsNdvNf b Eq. 9

7.- La ecuación de equilibrio global de la estructura se obtiene estableciendo que la suma de las fuerzas nodales debe ser igual a la fuerza nodal exterior. Tras el ensamblaje de todas las partes, se llega a la ecuación matricial global de la estructura.

fKa = Eq. 10 En esta ecuación K, a y f son, respectivamente, la matriz de rigidez, el vector de desplazamientos nodales y el vector de fuerzas nodales equivalentes de toda la estructura. Al resolver este sistema y hallar los desplazamientos nodales, podemos determinar las tensiones y deformaciones en cualquier punto del elemento a partir de las expresiones anteriormente definidas. Cabe destacar la importancia que tienen en el desarrollo del MEF aspectos como el tipo de problema a resolver (unidimensional-vigas, bidimensional-tensión plana, deformación plana, placas, láminas), las funciones de forma utilizadas para la interpolación en cada caso, la linealidad o no linealidad del problema (no linealidad de material, no linealidad geométrica), el método de resolución del sistema de ecuaciones resultante y la integración numérica utilizada, entre otras cosas.[ Real, 2001]. 3.2.- Análisis no Lineal Para investigar el comportamiento real de los materiales, es necesario considerar los efectos de la no linealidad geométrica debidos a la influencia de los desplazamientos, la mencionada consideración tolera que las relaciones entre deformaciones y desplazamientos planteadas en la [Eq. 2] sean también no lineales. Para configuraciones estables con no linealidad del material, se utiliza el método de Newton-Raphson. Para resolver los problemas de estabilidad que aparecen al considerar los efectos de la no linealidad geométrica se utilizan dos métodos distintos, el primero es un análisis de autovalores que soluciona la estabilidad instantánea y en casos de comportamiento "postbuckling" posteriores a los fenómenos de deformación deben utilizarse los métodos de longitud de arco. 3.3.- Método de Newton-Rapshon Solución de Problemas No lineales. Un problema no lineal es aquél en el que la rigidez de la estructura va cambiando a medida que ésta se deforma. Todas las estructuras reales se comportan de manera no lineal, aunque a veces es suficiente con realizar un análisis lineal del problema para estudiar su comportamiento. Existen muchos problemas de importancia en los que no se preserva tal linealidad, y es por tanto necesario incluir todas las no linealidades presentes para estudiar el problema. Una vez discretizado el problema no lineal, éste puede plantearse, como un sistema de ecuaciones de la forma:

faK =× Eq. 11 donde ahora la matriz de rigidez K puede depender del campo de desplazamientos incógnita del problema. El problema puede escribirse de la forma:

0fa)a(K)a( =−×=ψ Eq. 12 Donde, K(a)a, representa las fuerzas internas, f las fuerzas externas, y ψ(a) el vector residual entre fuerzas internas y externas. La solución del problema será aquella que haga que exista equilibrio entre fuerzas externas y fuerzas internas:

0E)a(I)a( =−=ψ Eq. 13 Al ser el problema no lineal, no puede resolverse directamente, con lo que la solución se obtiene de forma incremental.

El método de Newton-Raphson, para la resolución del sistema no lineal [Eq. 13] se basa en suponer que si se conoce una solución aproximada del problema a=an , se puede obtener una solución mejorada a=an+1 = an + ∆an aproximando la función residual ψ(an+1) por otra definida a partir de un desarrollo en serie de Taylor de dos términos.

0adad)a()a( nn1n =∆×

ψ+ψ=ψ + Eq. 14

)a(dadan n

1

n

ψ×

ψ−=∆−

Eq. 15

Siendo nt

nn

Kda

)a(dIdad ==ψ la matriz de rigidez tangente.

Se quiere que ψ(ai) sea prácticamente nulo, de modo que hay que seguir iterando hasta obtener un valor suficientemente cercano a cero. En la Figura 3.1 puede verse una representación gráfica del método y cómo en cada paso es preciso resolver un nuevo sistema de ecuaciones lineales para ∆an.

Fig. 3.1.- Método de Newton-Raphson.

En el caso de los problemas no lineales, se debe obtener una solución convergente a un mínimo costo, los programas computacionales desarrollados garantizan el ahorro de tiempo en los análisis como el programa Algor por ejemplo. No obstante, para utilizar esta opción o cualquier otro programa basado en FEA es necesario un conocimiento exacto del comportamiento de la estructura estudiada y del algunas nociones del método utilizado para su solución.

I(a)=K(a)a

I(a2)

a

I(a1)

Kt0

f

ψ(a2) ψ(a1)

E

∆a0 ∆a1 ∆a2 ∆a3

a0 a1 a2 a3

3.4.- No linealidad del material. Los materiales utilizados en la Ingeniería tienen un comportamiento tenso-deformacional complejo en el que las relaciones entre tensiones y deformaciones no son lineales, de modo que la ecuación de equilibrio general, que puede escribirse como:

0fdvB)a( T

v=−σ×=ψ ∫ Eq. 16

se resuelve mediante el método de Newton-Raphson a través de la definición de una matriz de rigidez tangente KT. Si el material es elástico no lineal σ=σ (ε), y en este caso

∫∫ ××=××ε

ε×σ×=ψ=v

TTT

vBdvDBdv

dadddB

dadKT Eq. 17

donde εσ=

ddDT es la matriz elástica tangente.

Algunos materiales además de tener un comportamiento no lineal, tienen propiedades de recuperación inelástica de modo que aparecen deformaciones residuales una vez que dejan de actuar las fuerzas exteriores en el elemento. en esos casos debe calcularse la matriz elastoplástica tangente correspondiente al problema estudiado. 3.5.- No linealidad geométrica. Para considerar los efectos de la no linealidad geométrica, debemos tomar en cuenta que los desplazamientos no son despreciables y que la geometría de los elementos varía durante la actuación de las fuerzas exteriores de modo que las deformaciones no pueden aproximarse de forma lineal a infinitesimales de primer orden. Esto supone tener en cuenta los términos de segundo orden en las relaciones entre deformaciones y desplazamientos y plantear el equilibrio de la estructura en la configuración deformada de la misma. El problema debe replantearse de la siguiente manera: (Equilibrio con PTV)

0fdvB)a(v

T =−σ×=ψ ∫ Eq. 18

En este caso B se deduce de la definición de las deformaciones

Bdad =ε Eq. 19 Y ahora B se distingue con una barra porque para grandes desplazamientos las deformaciones son una función no lineal de los desplazamientos y la matriz B depende de a. .[ Real, 2001]. 3.6.- Materiales Utilizados en la Ingeniería Civil Dentro de los materiales más utilizados en la ingeniería civil se puede citar al acero y al hormigón, utilizándose por separado cada uno o combinados entre sí para dar lugar al hormigón armado, u hormigón pretensado en el caso de que las barras de acero se encuentren con un estado tensional inicial. El acero suele presentar un comportamiento elástico lineal hasta la tensión de fluencia y a partir de allí presenta deformaciones plásticas. Las curvas tensión-deformación son prácticamente iguales para tracción y compresión, dependiendo la forma de las mismas del tipo de tratamiento térmico y mecánico al que ha sido sometido el material durante su fabricación. Por otro lado, los hormigones y morteros presentan microfisuras, especialmente en la interfase pasta-agregado, aún antes de ser sometido a cargas. Este estado inicial es decisivo en el comportamiento futuro del material.

La propagación de estas microfisuras durante la carga contribuye al comportamiento no-lineal para bajos niveles de tensión y produce una expansión volumétrica cercana a la falla. Existe evidencia experimental de dos fenómenos que se producen en el hormigón e interactúan entre si: Crecimiento de microfisuras. Deslizamiento entre partículas El crecimiento de microfisuras juega un papel fundamental en el comportamiento del hormigón, ya que da como resultado una degradación de las propiedades elásticas. En este estado se producen deslizamientos que dan lugar a lo que normalmente se conoce como acoplamiento plástico-degradable. Por otro lado, como la pasta de cemento tiene una resistencia a tracción mucho menor que la del agregado, tiene lugar un vínculo débil en el sistema compuesto, y esto trae como consecuencia una resistencia a tracción mucho menor que a compresión. En el caso del hormigón armado, por tratarse de un material compuesto, su comportamiento depende de la respuesta de cada uno de sus componentes, que a su vez interactúan entre sí. El comportamiento mecánico de este tipo de materiales está altamente influenciado por la disposición topológica de sus componentes, y suele presentar un comportamiento inicialmente anisótropo.[Ortiz, 1995] 3.7.- Comportamiento y Simulación de Materiales Cada material tiene un comportamiento muy complejo y dependiente de muchos factores, entre ellos la temperatura y su historia. Esto hace que su descripción constitutiva sea muy compleja y que no sea posible su perfecta representación físico-matemática. En lugar de formular una ecuación para cada tipo de material se escriben ecuaciones descriptivas de materiales ideales. Estos tienen una formulación físico-matemática diseñada para aproximar la respuesta de un material real dentro de ciertos límites. De aquí se desprende que cada sólido real será estudiado por medio de un sólido ideal, que a su vez será simulado mediante un modelo constitutivo introducido dentro de un método de aproximación numérica. Existen materiales que presentan un comportamiento más claro y con menos dispersión que otros, así por ejemplo los materiales metálicos han sido mejor descritos por estos modelos matemáticos que los geomateriales. Los modelos constitutivos descomponen el comportamiento de los materiales ideales en dos procesos mecánicos con características y rangos muy diversos: Elástico (lineal o no-lineal), e Inelástico. En general cada modelo es válido en un cierto rango o para algunos materiales en determinadas condiciones. No se ha desarrollado hasta el momento ningún modelo que sea válido para todos los materiales bajo todas las condiciones posibles. 3.8.- Clasificación de Materiales para Simulación A continuación se presenta una clasificación general de los distintos tipos de modelos constitutivos existentes para simular el comportamiento de materiales. Esta clasificación está basada en los modelos de la Mecánica de Sólidos Local [Crisfield, 1991]. Modelos basados en la Mecánica de Fractura Modelos basados en la Mecánica del Sólido No Local Modelos basados en la Mecánica del Sólido Local:

Modelos para Materiales Simples:

Materiales Isótropos: Modelos Elásticos [Basados en la Teoría de la Elasticidad] Modelos Inelásticos: Basados en la Teoría de Daño Basados en la Teoría de la Plasticidad Basados en la Teoría de la Viscoelasticidad Basados en la Teoría de la Viscoplasticidad Basados en la Teoría de Fractura Difusa Combinación de las teorías Mencionadas

Materiales Anisótropos:

Modelos Elásticos [Basados en la Teoría de la Elasticidad] Modelos Inelásticos Basados en la Teoría de Daño Basados en la Teoría de la Plasticidad Basados en la Teoría de la Viscoelasticidad Basados en la Teoría de la Viscoplasticidad Basados en la Teoría de Fractura Difusa Combinación de las teorías Mencionadas

Modelos para Materiales Compuestos:

Teoría de Mezclas Teoría de Homogenización

4.- ANÁLISIS ESTRUCTURALES DE UNA VIGA EN CANTILIVER En este ejemplo se analiza una viga en volado, bajo la una solicitación de una carga en su extremo libre, con el objetivo de mostrar el fenómeno de la localización de las deformaciones para elementos bidimensionales y tridimensionales; con el modelo que representa la geometría real de la viga se realiza un análisis en un tiempo de aplicación de carga establecido en 10 segundos para verificar su comportamiento No Lineal debido a no linealidades del material y su geometría por deformaciones iniciales, se utiliza el programa Algor para realizar el cálculo por MEF y el Análisis de resultados gracias a las bondades de visualización que posee éste programa. 4.1.- Cálculo Analítico del Problema El análisis de una viga en voladizo ha sido clásico en los problemas de ingeniería, la Fig. 4.1 indica la geometría de la viga además las propiedades mecánicas para realizar los cálculos.

Densidad = 2400 kg/m3

Módulo de Elasticidad = 2.146e10 N/m2

Relación de Poisson = 0.2

Coeficiente de Expansión = 9.9e-6 1/ºC

Fig. 4.1.- Viga en Voladizo Problema Planteado.

0.30

0.30

5.00 5000 N

Para el cálculo analítico del desplazamiento en el extremo libre utilizamos las ecuaciones deducidas por métodos de integración de ecuaciones diferenciales en Resistencia de Materiales:

IE8Lw

IE3LPd

43

×××+

×××= Eq. 20

En donde P es la carga aplicada en el borde, E el módulo de rigidez del material, I la inercia de la sección en análisis, L la longitud del elemento y w la carga distribuida correspondiente al pesos propio de la viga. Aplicando [Eq. 20] obtengo el desplazamiento en el borde de la viga en voladizo.

000675.010e146.28580.2116

000675.010e146.2355000d

43

×××+

×××=

m002579.0d = 4.2.- Cálculo por el MEF utilizando el Programa ALGOR Para la resolución del problema en Algor utilizaremos cuatro modelos para los análisis estructurales, la Tabla 4.1 indica las consideraciones de discretización para elementos finitos utilizadas para el cálculo de los desplazamientos en el borde de la viga.

Tabla 4.1.- Propiedades de los Elementos Utilizados en cada Tipo de Análisis

Análisis Nudos Elementos Condiciones Borde Tipo a) 2 1 1 Restringido b) 21 20 1 Restringido c) 63 40 3 Restringido d) 189 80 9 Restringido

En la Figura 4.2 se indican los resultados gráficos obtenidos en el programa gracias a estas herramientas de visualización de esfuerzos y deformaciones que poseen los programas de ingeniería que tienen características indicadas en el apartado 1.3 de este documento. La Tabla 4.2 resume los resultados obtenidos luego de realizar el análisis en el programa FEA, los cuales son semejantes debido a la sencillez del modelo estudiado.

Tabla 4.2.- Resumen de resultados del Análisis

Análisis Despazamiento (m)

Momento Máximo(Nm)

Esfuerzo Von Mises(N/m2)

Esfuerzo Tresca (N/m2)

a) 0.02968 51460 - - b) 0.02588 51460 - - c) 0.02580 - 1.0737 e +7 1.0970 e +7 d) 0.02571 - 1.0854 e +7 1.1032 e +7

Analítico 0.02579 - - -

Fig. 4.2.- Resultados Gráficos de los Análisis en Algor

a) 1

c) 1

b) 1 b) 2

a) 2

d) 2d) 1

c) 2

En la Figura 4.3 se indica la curva de linearización de esfuerzos que el programa calcula para esta viga, en Algor esta opción solamente es disponible para elementos modelados en 3D [Algor, 2002].

Fig. 4.3.- Linearización de Esfuerzos en la Viga Analizada. Otra de las ventajas de utilizar programas FEA es el poder analizar el mismo modelo para varias condiciones que se planteen para investigar mucho más acerca de su comportamiento estructural, la Figura 4.4 indica el comportamiento de la viga en voladizo bajo la aplicación de la carga en un tiempo de 10 segundos, en el cual la viga alcanza la máxima deformación para el modelo (d) en los análisis realizados.

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0 2 4 6 8 10 12

Tiempo (s)

Def

orm

ació

n (m

)

Fig. 4.4.- Comportamiento de la Viga

5.- CONCLUSIONES

1. Analizar estructuras mediante MEF no significa utilizar un programa basado en FEA, si no es necesario un conocimiento exacto o una apreciación ingenieril del comportamiento de la estructura a ser analizada, a más de una base teórica y de los principios del método aplicado.

2. Es necesario para quienes estamos inmersos en el estudio de técnicas FEA, CAE, que utilizan procedimientos de cálculo como MEF, MEC, MDF, para la resolución a problemas de ingeniería; modelar ejemplos que permitan la comprensión del método, así como su comparación con los resultados obtenidos analíticamente y con un programa de elementos finitos.

3. Se modeló una viga con un extremo libre y el otro empotrado, el modelo que idealiza la estructura planteada es el realizado con elementos isoparamétricos de ocho nudos, se evaluaron los desplazamientos (no linealidad geométrica) y su comportamiento después del rango elástico del material.

4. Hoy en día resulta relativamente frecuente que se lleven a cabo cálculos por personal que desconoce casi absolutamente los fundamentos del MEF y sus limitaciones y que, por tanto, es incapaz de evaluar los resultados que esta obteniendo.

6.- REFERENCIAS 1. Algor, Inc 2002

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