3 El Mtodo de Elementos Finitos (MEF)

3.1 Funciones de prueba por tramos para problemas bidimensionales

Los mtodos de residuos ponderados tambin son aplicables a problemas denidos en dominios bidi-mensionales (2D) (y tridimensionales -3D- ). Como ya se ha mensionado para el caso de dominiosunidimensionales, se denen las funciones de prueba (de interpolacin o de forma) por tramos, lo quelleva a dividir el dominio en subdominios e a los que se ha denominado elementos. Los subdo-minios no deben superponerse y tampoco deben quedar brechas entre ellos. Nuevamente la integral delresiduo, denida sobre todo el dominio, se obtendr como la suma de las contribuciones de cada elementoanalogamente al caso unidimensional es decir:

Z

Wl R d =NEXe=1

0@Z

e

Wl R d

1A (1a)Z

W l R d =NEXe=1

0@Ze

W l R d

1A (1b)No perdiendo de vista que:

=NEXe=1

e (2a)

=NEXe=1

e (2b)

donde NE representa el nmero de subdivisiones e (nmero de elementos) en los que se ha divididoel dominio y e es la parte del contorno de e que se encuentra sobre .En el caso de dominios 2D, las formas ms simples de subdominios o elementos son formas triangulares

o cuadrilaterales. Las formas triangulares simples permiten una mejor aproximacin a un dominio conuna geometra realde un problema de ingeniera. Una forma cuadrilateral simple como un rectngulopresenta mayores limitaciones para representar un dominio de geometra irregular (como sera por ejemploel caso de una chapa con un agujero circular).

3.1.1 Aproximacin mediante funciones de forma denidas por tramo.Elementos triangulares.

En la Fig.[1] el dominio se ha dividido en tres tringulos, que constituyen la discretizacin del dominio.En la misma gura se muestra la aproximacin de una funcin u utilizando colocacin por puntos,eligiendo como puntos de colocacin (nodos) los centroides de los tringulos.

1

Figura 1: Aproximacin con funcionesconstantes

El conjunto de funciones utilizado para construir la aproximacin puede considerarse completo, en elsentido que si se aumenta el nmero de subdivisiones del dominio las funciones son capaces de reproducircualquier funcin suave tanto como se desee.Como en el caso unidimensional la aproximacin

^u tiene valor constante dentro de cada elemento,

resultando una funcin discontinua en los lados donde el elemento se conecta con sus vecinos. La funcin^u puede escribirse

u ' ^u =MXm=1

amNm (x; y) en (3)

En el caso particular es:

Nm (x; y) =

1 si e = m0 si e 6= m

(4)

Donde Ne es una funcin de forma global discontinua, que tiene valor 1 en el elemento e y cero en elresto del dominio;

^ue es el parmetro que toma el valor de la funcin u en el nodo e. Desde el punto de

vista de los elementos:

u ' ^u = ueNe = ^ue en el elemento e (5)La aproximacin a las condiciones de contorno ser poco satisfactoria en muchos casos. (Estas fun-

ciones se han presentado para establecer una analoga con el caso unidimensionl pero no son utilizadas).

Uno de los elementos triangulares ms utilizados es el lineal, que se describe a continuacin.

2

Figura 2: Aproximacin con funcioneslineales

En Fig.[2] se muestra la misma subdivision del dominio que en Fig.[1], pero se utilizan funciones deforma lineales. Los nodos en este caso coinciden con los vrtices de los tringulos. Como en el casounidimensional a cada nodo se le asocia una funcin Ni global con las siguientes condiciones:

1. Ni (xj) = ij , siendo xj = (xj ; yj) las coordenadas del nodo j y ij la funcin delta de Kronnecker(ij = 1 si i = j, ij = 0 si i 6= j)

2.NNEPi=1

Ni (xi) = 1

3.NNEPi=1

@Ni(xi)@xi

= 0

La condicin 1 asegura que el parmetro corresponda al valor de la variable de estado en el nodo. Porotra parte, ahora debe garantizarse la continuidad de la variable en todo el contorno del elemento. Esdecir a lo largo de cada uno de los lados que limita al elemento con sus vecinos, por lo cual la variable deestado debe tener en cualquier punto del lado un nico valor independientemente de cual de los elementosse este considerando. Como los lados tendrn como parmetros comunes los valores asociados a los nodoscontenidos en l, es necesario que el valor de la variable sobre el lado solo dependa del valor de las variablesen los nodos que lo denen, para ello la funcin de interpolacin debe ser nula en los otros nodos y en loslados que no contienen al nodo.La concicin 2 asegura que si el valor de la variable es constante en todos los nodos, ser constante

en todo el elemento, y la condicin 3 establece que el gradiente es nulo en este caso.El elemento ms simple que puede utilizarse en problemas planos es el tringulo lineal. En este caso

el elemento maestro es un tringulo rectngulo, con el ngulo recto en el origen de coordenadas sus ladosson paralelos a los ejes coordenados y tienen longitud unitaria (Fig. [3]).

Figura 3: Elementomaestro trianfular

3

La numeracin de los nodos (vrtices) es tal que el nodo 1 tiene coordenadas (; ) = (1; 0), el 2(; ) = (0; 1) y el 3 (; ) = (0; 0). Si se denen las funciones lineales como:

L1 (; ) =

L2 (; ) =

L3 (; ) = 1 se puede observar que cumplen con las condiciones enumeradas anteriormente, y su represenacin

grca es:

Se tratar de dar a estas funciones un signicado geomtrico, para ello consideramos la siguientegura:

El punto pdentro del elemento tiene coordenadas (; ), uniendo pcon los vrtices del tringulose denen los triangulos A1, A2 y A3 (los subndices indican que son opuestos a los vrtices). De formaanloga para el elemento triangular en coordenadas globales. Si calculamos el rea de los tringulos setiene:

A1 =1

2

A2 =1

2

A3 =1 1

2A1 A2 = 1

2

A =1 1

2

Comparando las funciones Lm y las reas Am vemos que Lm = 2Am. Entonces podemos interpretara las funciones Lm como la relacin entre las reas del tringulo opuesto al nodo m y el rea total deltringulo Lm = Am=A.Si hacemos lo mismo con el tringulo denido en el sistema global, teniendo en cuenta que el rea del

tringulo es la mitad del mdulo del vector obtenido como producto vectorial de dos lados adyacentesdel tringulo, tendremos que el doble del rea de todo el tringulo:

2A = kj ki= (xj xk) (xi xk)= (xj xk) (yi yk) (xi xk) (yj yk)

4

y el doble del rea Ak ser:

2Ak = pj pi= (xj xp) (xi xp)= (xj xp) (yi yp) (xi xp) (yj yp)

Si dividimos estas expresiones y se elimina el subndice p (ya que podra ser cualquier punto dentrodel elemento), se tiene:

Lk =(xj x) (yi y) (xi x) (yj y)

2A

=1

2A[xjyi xjy xyi + xy xiyj + xiy + xyj xy]

Lk =1

2A[(xjyi xiyj) + x (yj yi) + y (xi xj)]

Las otras expresiones pueden obtenerse de manera similar (o permutando los ndices Lk : i! j, Li :j ! k, Lj : k ! i)

Li =1

2A[(xkyj xjyk) + x (yk yj) + y (xj xk)]

Lj =1

2A[(xiyk xkyi) + x (yi yk) + y (xk xi)]

En la denicin de las funciones Li, Lj y Lk aparecen tres constantes en cada una, a las que sedenominar de la siguiente manera:

ai = xj xk bi = yk yj ci = xkyj xjykaj = xk xi bj = yi yk cj = xiyk xkyiak = xi xj bk = yj yi ck = xjyi xiyj

lo que permite escribir en forma general:

Lm =1

2A[cm + xbm + yam] (6)

A las funciones Lm denidas por (6) se las conoce como coordenadas de rea y pueden utilizarse paraescribir las funciones de forma de elementos triangulares de grado k > 1. Los polinomios que se obtienenconstituyen polinomios completos de grado k y los trminos que lo componen responden al tringulo dePascal :

1 grado 0x y grado 1

x2 xy y2 grado 2x3 x2y xy2 y3 grado 3

Observar que el tringulo de Pascal sugiere las posiciones de los nodos en el elemento triangular.Las funciones de forma para elementos triangulares cuadrticos sern:

Nodo Coordenada Funciones1 (; ) = (1; 0) N1 (Lm) = 2L1

L1 12

2 (; ) = (0; 1) N2 (Lm) = 2L2

L2 12

3 (; ) = (0; 0) N3 (Lm) = 2L3

L3 12

4 (; ) =

12 ;

12

N4 (Lm) = 4L1L2

5 (; ) =0; 12

N5 (Lm) = 4L2L3

6 (; ) =12 ; 0

N6 (Lm) = 4L3L1

5

3.1.2 Aproximacin mediante funciones de forma denidas por tramo.Elementos rectangulares.

En este caso hay una mayor similitud con el elemento unidimensional. El elemento maestro es un cuadradocon el centroide en el origen de coordenadas cuyos lados tienen longitud 2 como se indica en la Fig. [3b)]

Figura 3: Elemento rectangular lineal a) Encoordenadas globales b) Elemento maestro

Al igual que en el caso unidimensional, obtenemos elementos Lagrangeanos si utilizamos polinomios deLagrange como funciones de forma. Las condiciones que deben cumplir son las mismas que se enumeraronpara el elemento triangular. Las funciones nodales pueden obtenerse como el producto de las funcionesunidimensionales.El elemento ms simple es el bilineal. La funcin asociada al nodo 1:

N1(;) =1

2(1 ) 1

2(1 )

=1

4(1 ) (1 )

y las restantes son:

N2(;) =1

4(1 + ) (1 )

N3(;) =1

4(1 + ) (1 + )

N4(;) =1

4(1 ) (1 + )

que se pueden englobar en una sola expresin:

Nm(;) =1

4(1 + m) (1 + m)

siendo (m; m) las coordenadas locales de los nodos dada en la siguiente tabla:

Nodo m m1 1 12 1 13 1 14 1 1

Siguiendo el mismo procedimiento, pueden obtenerse las funciones de forma de un elemento La-grangeano de mayor orden. Las funciones de forma para el elemento Lagrangeano de 9 nodos son:

6

Nodo Coordenada Funcin1 (; ) = (1;1) N1 (; ) = 14 ( 1) ( 1)2 (; ) = (1;1) N2 (; ) = 14 ( + 1) ( 1)3 (; ) = (1; 1) N3 (; ) =

14 ( + 1) ( + 1)

4 (; ) = (1; 1) N4 (; ) = 14 ( 1) ( + 1)5 (; ) = (0;1) N5 (; ) = 12 (1 + ) (1 ) ( 1)6 (; ) = (1; 0) N6 (; ) =

12 (1 + ) (1 ) ( + 1)

7 (; ) = (0; 1) N7 (; ) =12 (1 + ) (1 ) ( + 1)

8 (; ) = (1; 0) N8 (; ) = 12 (1 + ) (1 ) ( 1)9 (; ) = (0; 0) N9 (; ) = (1 + ) (1 ) (1 + ) (1 )

En el caso del elemento rectangular, aparece un mayor nmero de trminos respecto de los que indicael tringulo de Pascal para un polinomio completo de orden k, los trminos en exceso estn asocidados atrminos de un polinomio de orden superior.Por ejemplo en el elemento Lagrangeano cuadrtico aparece un nodo en el centroide del elemento

(nodo 9), que solo tiene contribucin en la matriz global por parte de la matriz del elemento al quepertenece, razn por la cual suelen eliminarse los grados de libertad (parmetros asociados a esos nodosinternos) por el procedimiento de condensacin esttica.Consideraciones de este tipo llevaron a que se desarrollen elementos cuadrticos y de mayor orden que

solo tengan nodos en el contorno del elemento, que se conocen como elementos serendpitos. Las expre-siones de las funciones de forma serendpitas lineales son las mismas que para el elemento Lagrangeano.Las funciones serendpitas de orden superior pueden obtenerse por inspeccin, como se muestra a conti-nuacin:

^N1 (; ) =

1

4(1 ) (1 )

7

N5 (; ) =1

2

1 2 (1 )

N8 (; ) =1

2(1 ) 1 2

luego, si se observan las guras la funcin asociada al nodo 1 ser:

N1 (; ) =^N1 1

2N5 1

2N8

=1

4(1 ) (1 ) 1

4

1 2 (1 ) 1

4(1 ) 1 2

=1

4(1 ) (1 ) ( 1)

8

De manera similar se obtienen las restantes funciones, siendo:

Nv (; ) =1

4(1 + v) (1 + v) (v + v 1) para v = 1; 2; 3; 4

Nm (; ) =1

2

1 2 (1 + m) para m = 5; 7

Nm (; ) =1

2(1 + m)

1 2 para m = 6; 8

Otra forma de obtener los coecientes es planteando un sistema de ecuaciones cuya solucin suministralos coecientes de las funciones de forma. Por ejemplo para obtener las funciones del elemento cuadrtico(teniendo en cuenta el tringulo de Pascal) e imponiendo como condiciones que Ni

j ; j

= ij con:

Ni (; ) = a1 + a2x+ a3y + a4x2 + a5xy + a6y

2 + a7x2y + a8xy

2

nos llevar a un sitema de 8 ecuaciones y 8 incgnitas, para cada funcin, cuya solucin son los ochocoecientes ak.

3.1.3 Integracin por partes en dos y tres dimensiones (teorema de Green)

Considerese integrar por partes la siguiente expresin en dos dimensionesZ Z

@

@xdxdy (7)

Integrando primero respecto a x, y utilizando la expresin conocida de la integracin por partes:

xdZxi

udv = (uv)x=xdx=xi

xdZxi

vdu (8)

= [(uv)x=xd (uv)x=xi]xdZxi

vdu

Utilizando la notacin de la ecuacin [7]

Z Z

@

@xdxdy =

ysZyi

( )xs ( )xi

dy

Z Z

@

@x dxdy

Si se considera el segmento de contorno d en la pate derecha del dominio, se observa que:

dy = nx d

Donde nx es el coseno director entre la direccin normal saliente al segmento d y la direccin positivadel eje x. Si se considera un segmento a la izquierda del dominio la expresin es la misma . Observar que

9

en el primer caso el signo de nx es positivo y en el segundo es negtivo. Entonces el primer trmino de laderecha de la (8) puede expresarse como una integral de linea alrededor del dominio completo (contornocerrado) realizada en sentido antihorario. I

nxd

Se debe tener en cuenta que si el dominio est denido por varias curvas cerradas, esta integracindebe hacerse en cada una de ellas. La expresin general para todos los casos es:Z Z

@

@xdxdy =

I

nxdZ Z

@

@x dxdy

Si la derivada es en la direccin y, entonces:

Z Z

@

@ydxdy =

xsZxi

h( )ys ( )yi

idx

Z Z

@

@y dxdy

dx = ny d

Donde ny es el coseno director entre la direccin normal saliente al segmento d y la direccin positivadel eje y. Analogamente al caso anterior: I

nydZ Z

@

@ydxdy =

I

nydZ Z

@

@y dxdy

3.1.4 Mapeamiento de la geometra

El mapeamiento de la geometra consiste en interpolar la geometra del elemento utilizando aproxima-ciones similares a las que se utilizan para interpolar la variable de estado. Si se utilizan las mismasfunciones, entonces:

x (; ) =NNEXm=1

Nm (; )xm (9)

y (; ) =NNEXm=1

Nm (; ) ym

donde (xm; ym) son las coordenadas, respecto del sistema global de referencia, del nodo m y Nm es lafuncin de forma asociada al nodo m. Debido a las caractersticas de las funciones de forma, los nodos delelemento maestro se correspondern con los nodos en el plano xy y adems las coordenadas de los puntosque se encuentran en el contorno del elemento quedan denidas exclusivamente por las coordenadas delos nodos que denen cada ladoasegurando que los elementos no se superpongan y no haya brechasentre ellos.Aplicando regla de la cadena para obtener las derivadas de las funciones de forma respecto de las

coordenadas globales queda.

@Nm (; )

@x=

@Nm (; )

@

@

@x+@Nm (; )

@

@

@x

@Nm (; )

@y=

@Nm (; )

@

@

@y+@Nm (; )

@

@

@y

Matricialmente

10

"@Nm(;)

@x@Nm(;)

@y

#=

"@@x

@@x

@@y

@@y

#"@Nm(;)

@@Nm(;)

@

#De las expresiones del mapeo (9) se pueden obtener

@x

@=

NNEXm=1

xm@Nm@

@x

@=

NNEXm=1

xm@Nm@

@y

@=

NNEXm=1

ym@Nm@

@y

@=

NNEXm=1

ym@Nm@

siendo estos los coecientes de la matriz Jacobiana:

J =

"@x@

@y@

@x@

@y@

#cuya inversa es:

J1 =

"@@x

@@x

@@y

@@y

#Para realizar la integral en coordenadas locales (; ) debemos modicar los lmites y el diferencial de

rea por:

de = det (J) dd

expresin que relaciona el diferencial de rea en el plano xy con el diferencial de rea del elementomaestro por medio del determinante Jacobiano, que deber tener siempre signo positivo para que laexpresin tenga sentido.

Para el caso del elemento triangular el mapeamiento no reviste ningun cambio desde el punto devista prctico, pero para el elemento rectangular la forma general presentada para el mapeamiento per-mite utilizar cudrilteros de forma arbitraria y no solo rectangulares. Para los casos de un cuadrilterocualquiera ya no es prctico realizar la integracin en forma analtica, y en general no es posible, por locual se recurre a integrar numricamente utilizando cuadratura de Gauss - Legendre (fuera del alcancede este curso).

Si solo se permite que el elemento rectangular cambie de tamao pero permanezca siendo un rectngulode lados paralelos a los ejes x e y, las expresiones se simplican, a:

11

x () =(xj + xi)

2+(xj xi)

2

y () =(yl + yi)

2+(yl yi)

2

de la gura

Lx = xj xi = xk xl xe0 = xj+xi2 = xk+xl2Ly = yl yi = yk yj ye0 = yl+yi2 = yk+yj2

teniendo esto en cuenta y despejando y se obtiene:

(x) =x xe0Lx=2

(y) =y ye0Ly=2

a partir de stas:@@x =

2Lx

dx = Lx2 d@@y =

2Ly

dy =Ly2 d

dA = dxdy dA = Lx2 dLy2 d

3.1.5 Aproximacin a la solucin de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales

Los pasos a seguir para encontrar la solucin aproximada de una ecuacion diferencial en derivadas parcialesen un dominio bidimensional, son los mismos que para una ecuacin diferencial ordinaria. Recordar:

Establecer el problema (ecuacin diferencialy condiciones de contorno) Planteo del residuo

A (u) = L (u) + p en

B (u) = M (u) + r en

R = L^u+ p

R = M^u+ r

Z

WlRd+

Z

W lRd = 0

Encontrar la forma dbil del residuo (integracin por partes) Funciones de prueba y de peso (determinar el elemento) Discretizar el dominio Evaluar las integrales del residuo Aplicar las condiciones de contorno Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas

Referencias:

El Mtodo de elementos nitos, O: C. ZienkiewiczFinite Elements and Approximation; O. C. Zienkiewicz & K. Morgan

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