Mejoramiento de lasImágenes en el DominioEspacial

2

Objetivos del MejoramientoProcesar una imagen de tal modo que la Imagen resultante sea más adecuada quela original para una aplicación específica.La medida del “Más adecuada”, dependede cada aplicación.Un método para mejorar una imagen parauna aplicación, puede no ser el masadecuado para otra.

3

2 dominiosDominio Espacial : (en el plano de la imagen)

Las Tecnicas se basan en la manipulación directa de los pixeles de la imagen.

Dominio de la Frecuencia : Las técnicas se basan en modificar la Transformadade Fourier de la Imagen.

Hay técnicas de mejoramiento que se basan en combinaciones de los métodos de las dos categorías anteriores.

4

Imágenes mejoradasPara la percepción visual humana

La Evaluación de la calidad de una imagen es un proceso bastante subjetivo.Es difícil normalizar la definición de lo que es unabuena imagen.

Para un programaLa evaluación es más fácil.Una buena imagen es la que produce el mejorresultado del algoritmo de reconocimiento

Siempre hay Prueba y Error antes de elegir el mejor método de mejoramiento de la imagen.

5

Dominio EspacialOperaciones que se realizan directamentesobre pixels.

g(x,y) = T[f(x,y)]g(x,y) = T[f(x,y)]donde

f(x,y) f(x,y) es la imagen de entradag(x,y) g(x,y) es la imagenresultanteT T es un operador sobref,definido sobre un entorno del punto (x,y)(x,y)

6

Máscara/FiltroEl entorno (los vecinos) del pixel, sobre el cual se opera para obtener la nueva imagen, se define con una máscara. El centro de la máscara, se mueve recorriendo todos lospixeles de la imagen original.

•(x,y)

7

Procesamiento puntualCuando la máscara es = 1x1 pixelg(x,y) g(x,y) depende solamente del valor de f f en (x,y)(x,y)TT = es una función que transforma el nivel de gris de un punto.

s = T(r)s = T(r)Donde

rr = nivel de gris de f(x,y)f(x,y)ss = nivel de gris de g(x,y)g(x,y)

8

Mejoramiento del Contraste

Una aplicación es el mejoramiento del contraste

se oscurecen losniveles de gris pordebajo de mse hacen masbrillantes los porencima de m

9

Mejoramiento del Contraste

notar el mapeo no lineal.

Desde negro hastagris oscuro va a negro.Desde gris claro hastablanco, va a blanco

10

UmbralizaciónUn caso extremo de la operación anterior es la umbralización.Produce un imagen(binaria) con dos niveles, blanco y negro.

11

Filtrado con máscaras.Cada pixel resultante se obtiene operandosobre un pixel y los vecinos de la imagenoriginal.gráficamente: imaginar una mascara que se desplaza sobre la imagen a filtrar.

Técnica usada para suavizar imágenes y parahacer imágenes más marcadas en sus bordes.

12

Filtrado con máscaras.

Original -------------------> filtradael pixel de la derecha se obtiene a partir de operaciones sobre el pixel encirculado de la izquierda y sus ochovecinos. Repetir paracada pixel.

13

Transformaciones de nivelesde gris básicas

LinealNegativa (o inversa).

Logarítmica y antilog. Potenciación y radicación.

Input gray level, r

Ou

tpu

t gr

ay le

vel,

s

Negative

Log

nth root

Identity

nth power

Inverse Log

14

Imágenes Negativas

Una imagen con niveles de gris en el rango [0, L[0, L--1]1]con L = 2L = 2nn ; n = 1, 2…Se transforma en una con niveles:

s = (L s = (L –– 1) 1) ––rrSe obtiene la reversa de losniveles de intesidad. Se utiliza para resaltar detalles

blancos inmersos en regionesoscuras de una imagen. Especialmente cuando predominanlas regiones negras.

Input gray level, r

Ou

tpu

t gr

ay le

vel,

s

Negative

Log

nth root

Identity

nth power

Inverse Log

15

Ejemplo de una imagen negativa

16

Transformaciones. Log s = c log (1+r)s = c log (1+r)

con c constantey r ≥ 0Mapea un rango angostode niveles de gris bajosde la imagen de entrada, en un rango de niveles de salida más ampliosExpande los valores de los pixeles mas oscuros y comprime los niveles de los más claros o brillantes.

Input gray level, r

Ou

tpu

t gr

ay le

vel,

s

Negative

Log

nth root

Identity

nth power

Inverse Log

17

Transformaciones. Log

Comprimen el rango dinámico de imágenes con grandes variaciones en los valores de los pixels.Un ejemplo son las imágenes del Espectro de Fourier de una imagen. Puede haber un rango de 0 a 106 o mayor. Y se pierde al ser mostrada en 8 bits.

18

Ejemplo de una imagen con rango logarítmico.

Result after apply the log transformation with c = 1,

range = 0 to 6.2

Fourier Spectrum with range = 0 to 1.5 x 106

19

Transf. Log. InversasExpanden los valores altos y comprimenlos más oscuros.

20

Transformaciones con una leyexponencial

s = s = crcrγγc y γ constantes positivasValores de γ menoresque uno, expandenfranjas estrechas de niveles de gris oscuro.Loopuesto para γ mayor queuno.c = γ = 1 funciónIdentidad

Input gray level, r

Ou

tpu

t gr

ay le

vel,

s

Plots of s = s = crcrγγ for various values of γ(c = 1 in all cases)

21

Corrección GammaLos dispositivos con tubos de rayoscatódicos, tienen unarelación intensidad-tensión, del tipoexponencial, con γ ente1.8 to 2.5Esto implica imagen masoscura.Se realiza entonces unacorreción Gamma preprocesando la imagen con s = crs = cr1/1/γγ

Monitor

Monitor

Gammacorrection

γ = 2.5

γ =1/2.5 = 0.4

22

Imagen por ResonanciaMagnética:

(a) Resonancia Magnética de partede la columna, mostrando lesión.

Notar que es predominantementeoscura.Se hace por lo tanto una expansiónde los niveles de gris usando un valor γ < 1 (Recordar que s = s = crcrγγ )

(b) Usando una transformación con ley exponencial con γ = 0.6, c=1

(c) γ = 0.4 (el mejor resultado)(d) γ = 0.3 (comienza a perder

contraste.)

dcba

23

Efecto de disminuir gamaReducir demasiado γ ocasiona perdida de contrate en la imagen, y parece unaimagen “lavada”, sobre todo en el fondo.

24

Problema opuesto al anterior

(a) La imagen aparece “lavada”, demasiado clara, necesitauna compresión de losniveles de gris claros. γ > 1 (diap.20)

(b) Transformación con γ = 3.0 (adecuado)

(c) Con γ = 4.0(adecuado)

(d) Con γ = 5.0(El contraste es alto, perohay areas demasiadooscuras, se pierden detalles)

dcba

25

Transformaciones linealespor tramos.

Ventaja:La forma puede ser tan compleja comoqueramos.

Desventaja:Su definición requiere mayor participación

del usuario.

26

Aumento del contrasteTransformación para el aumentodel rango dinámico de niveles de gris de la imagen. (b) Imagen con bajo contraste: debido a iluminación deficiente, falta de rango dinámico en el sensor, o ajuste incorrecto de la apertura del diafragma de la lente.(c) resultado del aumento del contraste: haciendo que el nivelrmin, vaya al 0 y rmax, al L-1(d) Cuando r1=r2 , y s1=0 y s2= L-1, se obtiene una imagenbinaria, por umbralización.

27

Cortando niveles de grisSe usa para destacar o resaltarun rango específico de niveles de gris.(a) La transformación lleva el rango de niveles de gris [A,B] a un valor determinado (claro en este ej.) y reduce todos los otrosa otro nivel (oscuro en este ej.) (b) La transformación lleva el rango [A,B] a uno determinadopero conserva los otros comoestaban. (c) imagen (d) transform. sg. a)

28

Cortes de la imagen en planos de bits

La idea es destacar la contribución de cada bit, de acuerdo a su peso, en la formación de la imagentotal.Suponiendo una imagendonde cada pixel se representa con 8 bitsLos bits más significactivoscontienen la informaciónvisual mas importante.

Bit-plane 7(most significant)

Bit-plane 0(least significant)

One 8-bit byte

29

Ej.La imagen binaria para el plano de bit 7 se puedeobtener umbralizando la la imagen de entrada con segun la siguientetransformación:

Mapear todos los nivelesentre 0 y 127 a nivel 0Maper todos los nivelesentre 128 y 255 a 255

An 8-bit fractal image

30

Planos en 8 bits

Plano de Bit 6

Plano de Bit

0

Plano de Bit

1

Plano de Bit

2

Plano de Bit

3

Plano de Bit

4

Plano de Bit

5

Plano de Bit 7

31

HistogramaEl Histograma de una imagen digital con nivelesde gris en el rango [0,L-1] es una funcióndiscreta

h(rh(rkk) = ) = nnkkDonde

rk : es el nivel de gris k-ésimonk : es el número de pixels que tienen ese nivel de gris en la imágen.h(rk) : histograma de una imágen con niveles de grisrk

32

Histograma NormalizadoSe divide cada valor del histograma, por el númerototal de pixels de la imagen, nn

p(rp(rkk) = ) = nnkk / n/ nPara k = 0,1,…,L-1p(rp(rkk)) es una estimación de la probabilidad de ocurrencia de un nivel de gris rrkkObviamente que la suma de todos los componentesnormalizados del histograma es igual a 1

33

HistogramaEn la base de numerosas aplicaciones en el dominio espacial. Se usa en Mejoramiento de imágenes.Tambien en compresión y segmentación.

34

Ejemplo rk

h(rk) or p(rk)

Imagen oscura

Imagen clara

Histogramaconcentrado en zonabaja de la escala de grises.

Histogramaconcentrado en zonaalta de la escala de grises.

35

Ejemplo:Imagen con bajo contraste

Imagen con alto contraste

El histograma esangosto y ubicadoen la zona media de la escala de grises.

El histograma cubre un rango amplio de la escala de grises y la distribución de pixeleses casi uniforme, con muy pocas lineasverticalessobresalientes.

36

Ecualización del HistogramaCuando el histograma de una imagen es angosto, y esta centrado en la zona media de los grises, si se distribuye el histograma a un rango másamplio, se mejora la calidad de la imagen.En el campo contínuo el equivalente del histograma sería la función densidad de probabilidades. Haciendo un planteo en el campo contínuo luego se aproxima al discreto.

37

∫==r

r dw)w(p)r(Ts0

Función de Transformación

En el campo contínuo, hay una función de Transformación de la forma:

Cuya función densidad de probabilidad es uniforme (ps(s) ) (ver demostración en libro).

38

Función de transformacióndiscreta

La probabilidad de ocurrencia de un nivelde gris en una imagen se puede aproximarpor

La versión discreta de la transformación

∑

∑

=

=

==

==

k

j

j

k

jjrkk

, ..., L-, where knn

)r(p)r(Ts

0

0

110

110 , ..., L-, where k nn)r(p k

kr ==

39

Ecualización de HistogramaUna imagen, se obtiene, así, mapeando cadapixel, con nivel de gris , rrkk, en uno con nivel , sskk , En el espacio discreto, no se puede probar, en general, que estas transformaciones, produciran el equivalente de una función de densidad de probabilidad uniforme, lo cualsería un histograma uniforme.

40

Ejemploantes después Ecualización de

histograma

41

EjemploAntes Después Ecualización de

histograma

No mejoramucho la calidad porquela imagenoriginal ya tieneun rango de nieveles de grisamplio

42

Ejemplo

Funciones de transformación (1) a (4) obtenidas a partir de loshistogramas de las figuras de la transparencia anterior usando la ecuación Notar que la (4) es aprox. la identidad.

43

Ejemplo

4242

5323

3424

2332

Imagen 4x4

Escala de grises = [0,9]histograma

0 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7 8 9

No. de pixels

Niveles de grises

9

16 /16

16

0

9

s x 9

No. de pixels

Nivelgris(j)

99998.4≈8

6.1≈6

3.3≈3

00

16 /16

16 /16

16 /16

16 /16

15 /16

11 /16

6 /16

00

161616161511600

000145600

876543210

∑=

k

jjn

0

∑=

=k

j

j

nn

s0

45

Ejemplo

8383

9636

6838

3663

imagen de salida

Escala de gris = [0,9]Ecualización del Histograma

0 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7 8 9

No. de pixels

Nivel gris

46

Especificación de Histograma

La ecualización del histograma lleva a unafunción de transformación que tiende a producir una imagen con histogramauniforme. En cambio, el planteo de Especificación del histograma, permite obtener la forma deseada de histograma para la imagen de salida.Hay un método (aquí no lo describimos).

47

NotasEl proceso de especificar es prueba y error. No hay reglas para especificarhistogramas.

48

NotasLos métodos de procesamiento de Histogramasson metodos globales, en el sentido de que lospixeles se transforman usando unatransformación basada en el nivel de gris y no en la ubicación del pixel.

49

Mejoramiento usando operacionesAritmético/ Lógicas

Las operaciones Aritmetico/Lógicas se realizan pixel a pixel entre dos imágenes.Excepto la NOT que se realiza sobreuna imagen solamente.

50

Operaciones LógicasLas operaciones lógicas se realizan sobreimágenes con niveles de grises, losvalores de los pixeles se operan comonúmeros binarios.La operación NOT equivale a unatransformaicón inversa o negativa

51

Ejemplo de la AND

Imagen original máscara Imagenresultante

52

Ejemplo de la OR

Imagen original máscara Imagenresultante

53

Sustracción de Imágenes

g(x,y) = f(x,y) g(x,y) = f(x,y) –– h(x,y)h(x,y)

La utilidad de la sustracción es en realidad mejorar o resaltar aquello en lo que difieren las imágenes.El mayor campo de aplicación es en imágenes médicas.

54

Sustracción de imágenesa). Imagen fractal original .b). Resultado de hacer cero los 4 bits menos significativos.

Recordar recorte de planos de bits en una imagen. -Los bits mas altos definen la imagen, -Los bits mas bajos contribuyenal detalle fino.-La imagen b). Es casi identica a la a.c). a-b (casi negra)d). Ecualizando el histograma de c se obtiene d.

dcba

55

Sustracción de I se aplica en: Radiografía en modo Mask

Mejoramiento por sustracción.a) Imagen máscara (previa a inyección de contraste). b) Imagen obtenida haciendo la resta de la imagen con contraste inyectado - máscara.La imagen diferencia refleja los cambios.

56

ComentarioSi las imágenes se muestran en 8 bits, al sustraer se puedesalir de rango el resultado (<0). Se debe entonces ajustar la escala de grises a [0, 255].Dos métodos:

Sumar 255 y luego dividir por 2. (simple pero puede no aprovechar todo el rango, y ademas trunca al dividir) El otro método consiste en (desplazar y expandir)

primero, encontrar el mínimo y el máximo (max) nivel de gris de la imagen diferencia.Restar el mínimo a todos para llevar a cero el nuevo mínimo. Ajustar el resto de los niveles multiplicando cada nivel por255/max. Donde max es el nuevo max en los niveles del paso anterior.

57

Promediado de ImágenesSea una imagen con ruido g(x,y) formadapor la suma de ruido η(x,y) a una imagenf(x,y)

g(x,y) = f(x,y) + η(x,y)

58

Si el ruido tiene media cero y no estácorrelacionado se puede mostrar que si

),( yxg = imagen formada promediando k imágenes ruidosas diferentes

∑=

=K

ii yxg

Kyxg

1),(1),(

Promediado de Imágenes

59

entonces

),(2

),(2 1

yxyxgK

ησσ =

= variancias de g y η),(2

),(2 , yxyxg ησσ

si K aumenta, esto indica que la variabilidad (ruido) de un pixel en cada posición (x,y) disminuye.

Promediado de Imágenes

60

Promediado de ImágenesAsi

),()},({ yxfyxgE =

)},({ yxgE = valor esperado de g(salida después de

promediar)

= imagen original f(x,y)

61

Promediado de ImágenesNota: las imágenes gi(x,y) (con ruido) deben estar alineadas para evitarintroducir borroneado en la imagen de salida.

62

Ejemplo :En astronomía las imágenestienen muy bajos niveles de luz, por lo tanto el ruido de los sensores influye mucho.a) imagen original b) imagen con ruido aditivoGausiano, con media cero y desviación estandard de 64.c). -f). resultados de promediar K = 8, 16, 64 and 128 imágenes ruidosas

fedcba

63

Ejemplo :Se muestran las imágenesdiferencia entre la original sin ruido a ( de la transparenciaanterior) y cada una de laspromediadas c a f. Se puede ver en esta figuracómo a medida que aumentak, se produce una reduccióndel ruido en la imagen, pues:Disminuye el valor medio y la desviación estándar a medidaque aumenta K.

fedcba

64

Filtrado espacial

65

Filtrado espacial

El Filtro tb se llama: mascara/kernel/template o ventana)Los valores de la subimagen del filtro se llaman coeficientes y no pixeles.Aquí usaremos máscaras de orden impar3x3, 5x5,…convolución de una máscara con una imag.

66

Proceso de filtrado espacialSimplemente hay que mover la máscarasobre cada pixel de la imagen.En cada pixel (x,y), la salida o respuestadel filtro en ese pixel se calcula:

∑=

=

+++=mn

iiii

mnmn

zw

zwzwzwR ...2211

67

Filtrado linealEl filtrado Lineal de una imagen f de MxN con una máscara de mxn está dado por:

Para generar una imagen completa, filtrada, se debeaplicar para x = 0, 1, 2, … , M-1 and y = 0, 1, 2, … , N-1

68

Filtros espaciales de suavizado (Smoothing)

Se usan para ‘borronear’ y reducir ruido.El borroneado (blurring) se usa en etapasde preprocesamiento, tales como

quitar pequeños detalles de una imagen antes de extraer un objeto. Unir pequeños cortes en lineas o curvas.

La reducción del ruido se puede hacer con un filtro lineal o no lineal.

69

Filtros lineales de suavizado

La salida es simplemente el promedio de lospixeles vecinos, seleccionados por la máscara.Se llaman filtros promediadores o pasabajos.

70

Filtros lineales de suavizadoReemplazar el valor de un pixel por el promediode los niveles de grises de los vecinos, reduce las transiciones abruptas o muy marcadas de los niveles de grises.Transiciones fuertes:

ruido aleatorio en una imagenbordes de los objetos en la imagen

por lo tanto, el suavizado reduce ruidos(deseable) y borronea los bordes (indeseable)

71

Filtros Lineales de suavizadode 3x3

La constante que multiplicala mascara es: 1/suma de los coeficientes del filtro.

Promedio pesado

El centro es el de mas peso. Los otros en razóninversa de su distancia al centro.

Filtro box

72

Filtros de promedio pesadoLa idea de dar el mayor peso al pixel del centro y reducir los coeficientes del filtro según la distancia al centro, esintentar reducir el borroneado en el proceso de suavizado.

73

Forma General : máscara de suavizado

filtro de orden mxn (m y n impares)

∑∑

∑∑

−= −=

−= −=

++= a

as

b

bt

a

as

b

bt

tsw

tysxftswyxg

),(

),(),(),(

suma de todos los coeficientes de la máscara

74

Ejemplo:a). Imagen original de 500x500 pixelb). - f). resultados de filtradocon máscaras cuadradas de tamaños= 3, 5, 9, 15 and 35, respectivamente.Notas:

una mascara grande eliminaobjetos pequeños de una imagenel tamaño de la máscara determinael tamaño relativo de objetos queserán fundidos con el fondo.

fedcba

75

Ejemplo

imagen originalResultado después de

suavizar con una máscarapromediadora de 15x15

umbralización(thresholding)

Despues de suavizar y umbralizar, quedan los objetos másgrandes y mas brillantes.

76

Filtros No lineales, estadísticos.Se basan en ordenar los niveles de grisde los pixeles de la zona bajo filtrado y reemplazar el central según un criteriopor ejemplo:

filtro de mediana: R = mediano{zk |k = 1,2,…,n x n}filtro de max : R = max{zk |k = 1,2,…,n x n}filtro de min : R = min{zk |k = 1,2,…,n x n}

n x n es el tamaño de la máscara.

77

Filtros de medianareemplaza el valor de un pixel por el valor del mediano, de los pixeles vecinos, incluido élmismo.Ejemplo: si los pixeles de la imagen considerados son:

Se ordenan de acuerdo al nivel de gris:(10,15,20,20,20,20,20,25,100)

y se elige el que está en la posición media,notar que los valores repetidos también se colocan.

78

Filtros de mediana

La principal función de los filtros de mediana eshacer que puntos con distintos niveles de grisse parezcan mas a sus vecinos.Tiene buena capacidad para reducción de ciertotipo de ruido aleatorio (ruidoruido llamadollamado salsal y y pimientapimienta) , con menosmenos borroneadoborroneado queque loslosfiltrosfiltros de de suavizadosuavizado linealeslineales..

79

Filtros medianosFuerza los puntos con niveles de grisdiferentes a ser mas parecidos a sus vecinos.Elimina cluster aislados de pixeles que son claros u oscuros respecto a sus vecinos, y cuyaarea es menor que n2/2 (la mitad del area del filtro), con un filtro mediano de orden n x n .Los pixeles eliminados, en realidad son forzados a un nivel de gris igual al nivel de intensidad de mediano de los vecinos. Clusters mayores son afectados mucho menos.

80

Ejemplo : Filtros Medianos

a) Imagen-X de impreso con ruido sal y pimienta. b) reducción del ruido con mascara 3x3 promediadora c) reducción del ruido con filtro mediano de 3x3.

81

Filtros espaciales de sharpening

Para resaltar detalles finos en unaimagen. O para mejorar detalles que se hanborroneado, por error o como efectonatural de un método particular de adquisición de la imagen.

82

Blurring(borroneado) vs. SharpeningPromediar los vecinos, conduce a ciertoborroneadopromediado es análogo a integraciónsharpeningsharpening podemos sospechar que esanálogo a parecido a diferenciacidiferenciacióónnespacialespacial..

83

Operador derivativoLa fuerza de respuesta de un operadorderivativo es proporcional al grado de discontinuidad de la imagen en el punto en el cual se aplica el operadorpor lo tanto, la diferenciación de una imagen :

resalta los bordes y otras discontinuidades (ruido)atenúa las areas con valores de niveles de grises quevarían en forma suave.

84

Derivada de primer-ordenUna definición básica de la derivada de primer orden de una funciónunidimensionala f(x) es la diferencia

)()1( xfxfxf

−+=∂∂

85

Derivada de primer-ordenCualquier definición de derivada de 1er orden que se use debe cumplir lassiguientes características:

cero en segmentos planos (gris constante)distinto de cero en inicio de rampo o escalón.distinto de cero a lo largo de rampa.

86

Derivada de segundo ordenSimilarmente la derivada de segundoorden de f(x) es

)(2)1()1(2

2

xfxfxfx

f−−++=

∂∂

87

Derivada de segundo ordenAnálogamente cualquier definición de la derivada de segundo orden debe cumplirque sea:

cero en segmentos planos (gris constante)distinto de cero al comienzo y fin de rampa y escalóncero a lo largo de rampas constantes.

88

Filtros espaciales de sharpening

89

a)imagen.b) perfil de niveles de gris a lo largo de una linea de la imagen por el punto luminoso.c) perfil simplificado con indicación de derivadas.

90

Notar que derivada 1ra es distinta de cero en toda la rampa, mientras que la derivada 2da solo al czo y final de la rampa. (bordes gruesos en primer caso y finos en el segundo)

91

La respuesta del ruido puntual es mayor en el caso de la derivada 2da.

Una derivada segunda resalta más loscambios abruptos que una derivadaprimera.En el caso del escalón, las magnitudes de las dos derivadas son iguales pero la 2da tiene un pico negativo (efecto de doble linea.

92

Las derivadas primeras en general producen lineas mas gruesas.Las derivadas segundas destacan mejor los detalles finos.Las derivadas de primer orden en general tienen respuesta mas marcada a saltos escalón de grisesLas derivadas de 2do orden producen una doble respuesta a cambios escalón.

93

Derivadas de primer y segundoorden de f(x,y) (en dos dimensiones)

Para una imagen, función de dos variables, f(x,y), estamos en el caso de derivadasparciales respecto de cada eje espacial.

yyxf

xyxf

yxyxf

∂∂

+∂

∂=

∂∂∂

=∇),(),(),(f

2

2

2

22 ),(),(

yyxf

xyxff

∂∂

+∂

∂=∇(operador lineal)

Laplaciano

Operador gradiente

94

Forma discreta del Laplaciano

),(2),1(),1(2

2

yxfyxfyxfx

f−−++=

∂∂

),(2)1,()1,(2

2

yxfyxfyxfy

f−−++=

∂∂

de

Se sigue,

)],(4)1,()1,(),1(),1([2

yxfyxfyxfyxfyxff−−+++

−++=∇

95

La máscara del Laplaciano

96

Mascara de Laplaciano con unaextensión a la diagonal

97

Otras implementaciones de máscaras para el Laplaciano

Dan el mismo resultado,pero tenerlo en cuenta cuandose combina (suma/resta) una imagen filtrada con el Laplaciano con otra imagen.

98

Efectos del operador LaplacianoComo es un operador derivativo,

resalta las discontinuidades en niveles de gris de la imagen.desenfatiza las regiones con variaciones

lentas de niveles de grises.Tiende a producir imágenes con

lineas de bordes grisáceas y otrasdiscontinuidades, en valores oscuros, fondos sin detalles.

99

Corrección del fondo sin detalles

Facilmente se realiza sumando la imagenoriginal y la imagen filtrada.Atenti con el filtro de Laplaciano usado

⎩⎨⎧

∇+∇−

=),(),(),(),(

),( 2

2

yxfyxfyxfyxf

yxg

Si el coeficiente central de la máscara del Laplaciano es negativo

Si el coeficiente central de la máscara del Laplaciano es positivo

100

Ejemploa). Imagen del polo Norte de la Lunab). Imagen filtrada con Laplaciano con

c). Imagen anterior escalada para mostrarmejord). Imagen mejoradasumandola a la original.

111

1-81

111

101

Máscara de un Laplaciano + adición

Para simplificar los cálculos, se puedefabricar una máscara que haga ambasoperaciones en la imagen original, el filtrado con el Laplaciano y la adición de la imagen original.

102

Laplaciano + adición

)]1,()1,( ),1(),1([),(5

),(4)]1,()1,( ),1(),1([),(),(

−+++−++−=

+−+++−++−=

yxfyxfyxfyxfyxf

yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxg

0-10

-15-1

0-10

103

Ejemplo

Fig. 3.41 a)mascara Laplaciana compuesta b) otra máscara c)imagen de microscopio elect.d) y e) resultados de filtrar con máscaras a) y b) respectivamente. Notar que e) es mas ‘afilada’que d).

Imagen de microscopio electrónico de filamento de tungsteno después de falla térmica.

104

Nota

0-10-15-10-10

000010000

⎩⎨⎧

∇+∇−

=),(),(),(),(

),( 2

2

yxfyxfyxfyxf

yxg

= +

0-10-14-10-10

0-10-19-10-10

000010000

= +

0-10-18-10-10

105

Mascara de unsharp

Restar una imagen borrosa o suavizada produce una imagen resaltada (sharpened)

),(),(),( yxfyxfyxfs −=

imagen ‘afilada’ = imagen original – borrosaimagen ‘afilada’ = imagen original – borrosa

106

Filtrado High-boost (boost=elevador)

Forma general de máscara de UnsharpA ≥ 1

107

filtrado High-boost

Si se usa un filtro Laplaciano para crearimágenes con bordes resaltados fs(x,y) con suma de la imagen original:

⎩⎨⎧

∇+∇−

=),(),(),(),(

),( 2

2

yxfyxfyxfyxf

yxfs

108

filtrado High-boost

queda

⎩⎨⎧

∇+∇−

=),(),(),(),(

),(2

2

yxfyxAfyxfyxAf

yxfhb

Si coeficiente central de la mascara Laplaciana esnegativa.

Si el coeficiente central de la máscara espositivo.

109

Máscaras para High-boost

A ≥ 1si A = 1, se convierte en el filtradoLaplaciano estandard.

110

Ejemplo

Fig.3.43(a) igual que fig.3.41c, pero más oscura.(b) Laplaciano de (a) calculado con A=0, y la máscara indicada.(c) Imagen filtrada A=1(d) igual que (c)pero A=1.7

111

Operador gradienteLas derivadas primeras se implementanunsando la magnitudmagnitud del del gradientegradiente (o (o simplementesimplemente gradientegradiente)).

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∇

yfxf

GG

y

xf

21

22

2122 ][)f(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

+=∇=∇

yf

xf

GGmagf yx

la magnitud se vuelve no linearyx GGf +≈∇

aproximada

vector

112

Mascara para el gradiente

La aproximación mas simple , 2x2

z9z8z7

z6z5z4

z3z2z1

113

GradienteDefinicion de Roberts para diferencias cruzadas, 2x2

z9z8z7

z6z5z4

z3z2z1

)( and )( 6859 zzGzzG yx −=−=

212

682

592

122 ])()[(][ zzzzGGf yx −+−=+=∇

6859 zzzzf −+−≈∇

114

Máscaras para elgradiente

Operador de Sobel, 3x3

z9z8z7

z6z5z4

z3z2z1

)2()2()2()2(

741963

321987

zzzzzzGzzzzzzG

y

x

++−++=++−++=

yx GGf +≈∇

El valor de peso 2 espara lograr suavizadodando mas importanciaal punto central.

115

NotaLa suma de los coeficientes en todas lasmáscaras es igual a cero, indicando quedan una respuesta igual a cero en un area de nivel de gris constante.

116

Ejemplo

117

Ejemplo de combinación de métodos.

Se quiere resaltar la imagen original con mas detalles del esqueleto.problemas: rangodinámico estrecho de los niveles de gris, y alto contenido de ruido, hace dificilmejorar la imagen.

118

Ejemplo de combinación de métodos

1. Laplaciano para resaltar detallesfinos

2. gradiente para resaltar losbordes

3. transformaciones de niveles de gris para mejorar su rangodinámico.

119

(a) Imagen del esqueleto(b)Laplaciano de (a), (escaladapara verla mejor).(c)Imagenresaltada de sumar (a) y (b)(d) Sobel de (a)

120

(e) Imagen Sobelsuavizada con un filtropromediador 5x5 (f) Imagen de la máscara formadapor el productode de (c) y (e)(g)Imagenresaltada de sumar (a) y (f)(h) resultadofinal aplicandouna leyexponencial paratransformar (g)Comparar g y h con a.