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Memorias del
Patricia PerryEditora
Cítese como: Perry, P. (Ed.) (2011).
Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica Nacional.
Website: http://encuentrogeometriaupn.com
Comité EditorialLeonor CamargoCarmen SamperPatricia Perry
Apoyo editorialClaudia Vargas y Andrea Pérez
Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones
EditoraPatricia Perry
© 2011 Universidad Pedagógica Nacional© 2011 Autores
Se autoriza la reproducción total o parcial de algún artículo siempre y cuando se haga la cita correspondiente.
ISBN 978-958-44-8826-8
Diseño de logo del 20º Encuentro de Geometría y sus AplicacionesBenjamín Sarmiento y Carmen Samper
Diseño y DiagramaciónGrupo de Comunicaciones Corporativas Universidad Pedagógica Nacional
Publicado por Universidad Pedagógica Nacional, Departamento de MatemáticasCalle 72 No. 11 86Bogotá, Colombia
Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones.
PRESENTACIÓN
El Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones es un evento académico de carácter interna-
cional que tradicionalmente ha organizado la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia)
con el apoyo de otras instituciones. El propósito ha sido convocar a matemáticos, investi-
gadores, profesores y estudiantes de matemáticas o de educación matemática para favorecer
el intercambio de ideas y experiencias. Con el Encuentro se espera contribuir a: la difusión
de resultados de investigaciones en geometría, su didáctica y sus aplicaciones; la forma-
ción de estudiantes de matemáticas y de educación matemática y docentes de primaria, se-
cundaria y educación superior en temáticas relacionadas con la geometría, su didáctica y
sus aplicaciones; el fomento del estudio de los fundamentos de la geometría, su filosofía,
sus métodos, su historia, su didáctica, sus aplicaciones y sus relaciones con otras ramas de
las matemáticas.
El 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones ha sido organizado por la Universidad
Pedagógica Nacional y la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito. Participan tres
invitados de reconocida trayectoria académica en el campo de la Educación Matemática:
Ángel Gutiérrez, de la Universidad de Valencia (España), Paolo Boero, de la Universidad
de Génova (Italia) y Nadia Douek, de la Universidad de Niza (Francia). También participan
profesores e investigadores de varias instituciones educativas colombianas: Colombia
Aprendiendo, Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano, Universidad de los Andes, Uni-
versidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad Industrial de Santander, Universi-
dad Nacional de Colombia, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Universi-
dad Sergio Arboleda, Universidad del Rosario y de las entidades organizadoras.
Para esta versión del Encuentro, las actividades académicas se relacionan con alguna de las
siguientes temáticas: Geometría en la educación matemática, Geometría e historia, Geome-
tría y otras ramas de la matemática, Geometría y artes, Geometría y tecnología, y Tópicos
de geometría.
Las ponencias sometidas a consideración del Comité Académico del Encuentro fueron eva-
luadas por pares académicos. Este libro digital, que no es una compilación de documentos
sino una obra editada, incluye sólo los documentos que además de haber sido aceptados por
los evaluadores pasaron por un proceso adicional de evaluación y de edición académica,
este último con la participación de los autores.
Comité Editorial
Bogotá, junio de 2011
ORGANIZACIÓN DEL ENCUENTRO
COMITÉ ORGANIZADOR
Universidad Pedagógica Nacional
Mauricio Bautista, Leonor Camargo, Óscar Molina, Patricia Perry, Carmen Samper, Benjamín Sarmiento
Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
Carlos Álvarez, Alicia Guzmán
COMITÉ DE REVISIÓN ACADÉMICA
Colombia Aprendiendo
Hugo Cuéllar
Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
�������� ����������� ��������������������������������������������
Fundación AprendEs
Miriam Ortiz
Universidad de los Andes
Ángela Restrepo
Universidad Industrial de Santander
Martín Acosta, Jorge Fiallo
Universidad Nacional
Omar Duque, Reinaldo Montañez
Universidad Pedagógica Nacional
Orlando Aya, Mauricio Bautista, Leonor Camargo, Hernán Díaz, Alberto Donado, Feli-pe Fernández, Gloria García, Édgar Guacaneme, Luis Guayambuco, Óscar Molina, Jor-ge Páez, Patricia Perry, Claudia Salazar, Carmen Samper, Benjamín Sarmiento, Nubia Soler
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Clara Rojas
vi
ENTIDAD DE APOYO ADMINISTRATIVO
Fundación Francisca Radke
ENTIDADES AUSPICIADORAS
Belpapel Ltda., Grupo Editorial Norma, Gimnasio Moderno, ICETEX, Proyecto Didácticos Creativos, Sociedad Colombiana de Matemáticas
TABLA DE CONTENIDO
CCoonnffeerreenncciiaass yy ccuurrssiillllooss ddee iinnvviittaaddooss
Ángel Gutiérrez
Reflexiones sobre la enseñanza de la geometría en los niveles de primaria y secundaria 3
Carlos Vasco
La interacción entre modelos y teorías en la enseñanza de la Cronotopía 15
Armando Echeverry y Orlando Aya
La circulatura del cuadrado: una perspectiva desde los métodos numéricos 37
Hugh Hilden, José Montesinos, Débora Tejada y Margarita Toro
Impresión de diseños simétricos en la obra de Escher 49
Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-Humánez
Un enfoque geométrico del Teorema de Sharkovskii 77
Reinaldo Montañez
De los espacios topológicos a las categorías topológicas 85
Reinaldo Núñez
Acerca del Triángulo de Pascal 93
Luis-Enrique Ruiz-Hernández
Geometría afín y topología del prismatoide pentagonal 99
Benjamín Sarmiento
Diseño de mecanismo con Cabri Plus para obtener ecuaciones paramétricasde algunas curvas 119
Jeannette Vargas, Mario Pérez y María Teresa González
El logaritmo: ¿cómo animar un punto que relacione una progresión geométricay una aritmética? 129
Carmen Samper, Patricia Perry, Óscar Molina, Armando Echeverryy Leonor Camargo
Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana 139
Martínez, E. y Acosta-Humánez, P. (2011). Un enfoque geométrico del Teorema de Sharkovskii. En P. Perry(Ed.), Memorias del 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones (pp. 77-84). Bogotá, Colombia: Univer-sidad Pedagógica Nacional.
UN ENFOQUE GEOMÉTRICO DEL TEOREMA DE SHARKOVSKII
Eduardo Martínez y Primitivo Acosta-HumánezUniversidad Sergio Arboleda
[email protected], [email protected]
A continuación se presenta cómo la geometría de las funciones primitivas per-mite evidenciar los comportamientos periódicos y establecer relaciones de tipogenealógico entre períodos relacionados por el Teorema de Sharkovskii, resul-tado fundamental en sistemas dinámicos discretos y, de manera particular, en la dinámica minimal.
1. PRELIMINARES
La dinámica combinatoria encuentra su gé����� �� �� ������ ��-existenciade ciclos de transformaciones continuas en un i���������� ��� ���������� �i-kailovich Sharkovskii. Esta rama de los sistemas dinámicos estudia las rela-
ciones algebraicas y combinatorias de funciones de � en � con dinámica min-
imal. En este contexto, las permutaciones pueden ser utilizadas para describirórbitas minimales (primarias). Por tal razón para el estudio de la dinámicacombinatoria se requieren algunas definiciones del álgebra y de los sistemasdinámicos.
11..11 SSoobbrree ssiisstteemmaass ddiinnáámmiiccooss
Para comprender la dinámica minimal es necesario establecer previamente lasdefiniciones de órbita, punto fijo, punto periódico y, a manera de noción, el caos (ver Devaney, 2003; Alseda, Llibre y Misiurewicz, 2005).
Definición 1.1.1. (Órbita): La órbita de x es el conjunto de puntos , ( ),x f x
2( ),f x � y se denota como )(xO� . Si f es un homeomorfismo, definimos la
órbita de ),(, xOx como el conjunto de puntos )(xnf para �n �, y la órbita ha-
cia atrás de ),(, xOx� como el conjunto de puntos ),(2),(1, xfxfx
���.
Definición 1.1.2. (Punto fijo y periódico): El punto x se dice fijo para f sixxf �)( , es periódico de período n si xx
nf �)( . El menor entero positivo n que
cumpla esta igualdad se denomina período primo de x . El conjunto de puntos
78
periódicos de período n se denomina )(Per fn . El conjunto de todas las itera-ciones de un punto periódico forman una órbita periódica.
Por ejemplo, en la función 3)( xxf � , los puntos -1, 0 y 1 son puntos fijos. De
manera similar, la función 12)( �� xxg tiene puntos fijos en -1 y 1 los puntos 0y -1 forman una órbita periódica de período 2.
Si bien es cierto que el comportamiento caótico de una función se establece através de transitividad topológica, dependencia sensible y densidad de suspuntos periódicos, los períodos de una función permiten entender también elcomportamiento caótico de una función (este resultado se deriva del Teorema de Sharkovskii o del resultado encontrado por Li y Yorke sobre el período 3)(ver Block y Coppel, 1986).
11..22.. SSoobbrree áállggeebbrraa yy ccoommbbiinnaattoorriiaa
Definición 1.2.1. (Permutaciones): Si X es un conjunto no vacío, una per-mutación de X es una biyección XX �:� . Llamamos al conjunto de todaslas permutaciones de X como
XS . Si � �nX ,...,2,1� se acostumbra denotar al
conjunto de permutaciones de X como nS .
Definición 1.2.2. (Partición): Se define la partición de un intervalo como elconjunto
� �1,...,1,1:1,P ������ niixixi
xixn � .
Definición 1.2.2. Partición de un intervalo
Estas definiciones son necesarias para establecer el conjunto de Permutacionesasociado a una función y el forzamiento entre conjuntos de permutaciones,concepto necesario para dar una interpretación algebraica al Teorema de Shar-kovskii.
Definición 1.2.3. (Conjunto de permutaciones): El conjunt� ���������������������������� � f , denotado por )(Perm f ������� �����������������������������era:U��� ���������� � )(Perm f�� si y sólo si existe una partición nP tal que
)()(i
xixf �� , donde nPixix �)(, � . Es decir,
79
� �nixixi
xixff P)(,,)()(:)(Perm ��� ��� .
Definición 1.2.3. Conjunto de permutaciones de f
Definición (Forzamiento): Sean Sn��� , , �P y �P definidos como � �� :P f�
��fPerm� , �� �gg Perm:P �� �� . � fuerza a (� � )�� si y sólo si �� PP � .
2. DINÁMICA COMBINATORIA
Un apartado importante de los sistemas dinámicos es aquel que corresponde alestudio del comportamiento caótico. Previamente establecimos la posibilidadde acercarnos a dicho comportamiento a través de órbitas periódicas. Veremoscomo el Teorema de Sharkovskii relaciona (fuerza) la existencia de órbitasperiódicas y cómo estas pueden ser estudiadas a través de grafos de Markov yfunciones primitivas.
22..11.. TTeeoorreemmaa ddee SShhaarrkkoovvsskkiiii
En marzo de 1962 se publi� �� ������ ������������������ �����ontinu-ous map of the line into i������ �En este artículo Sharkovskii define una rela-ción de orden para los números enteros positivos �� en la que 21 �� � si la
existencia de un ciclo de orden �1 implica la existencia de uno de orden 2�
(ver Sharkovskii, 1964; Stefan, 1977; Misiurewicz, 1995).
Teorema 2.1.1. (Orden de Sharkovskii): La relación definida previamente ��transforma el conjunto de los enteros positivos en un conjunto ordenado de lasiguiente manera:
1222...2523...2523...119753 2322��������������� ���� .
Teorema 2.1.1. Orden de Sharkovskii
Esto quiere decir que al encontrar un ciclo de orden n en una función, existenen ella ciclos de orden m , con mn � .
Los grafos de Markov son utilizados para estudiar la estructura de las órbitasperiódicas. Estos describen a la órbita periódica a través de las relaciones exis-tentes entre las particiones que la definen y sus imagines (ver Bernhardt, 1984;Acosta-Humánez, 2008).
80
Definición 2.1.2. (Grafo de Markov). Sean ��1, ixix �, 1...,,2,1 �� ni tales
que 1� ixix , y )(Perm f�� . El Grafo de Markov (también conocido como
grafo dirigido) de f y � tiene 1�n vértices 1, , ...,1 2 nJ J J � . Existirá una flecha
de kJ a iJ si y sólo si � � � � �1,1, ��� k
xkxf
lx
lx .
Si bien es cierto que el teorema de Sharkovskii establece la existencia de órbi-tas periódicas y garantiza la existencia de nuevos períodos a partir de períodos conocidos, no es tarea fácil encontrar funciones continuas de � en � con di-
chos comportamientos (el lector puede tratar de encontrar una función conti-nua con un punto de período 10, por ejemplo). Las funciones primitivas per-miten encontrar ejemplos de funciones con comportamientos periódicos a par-tir de una órbita establecida. Su construcción está inspirada en las funcionesque Sharkovskii utilizó para la demostración de su teorema.
Definición 2.1.3. (Función Primitiva): Dada una permutación nS�� la
función primitiva f asociada está definida de la siguiente manera:
� � �;1 kkf ��
� � � � � � � ;11112 ������� ktktkttkf ��
� � � ;1si,13 � xxf �
� � � .10y,...,1donde;si,4 ����� tnknxnxf �
Definición 2.1.3. Función primitiva f asociada a f
22..22.. AApplliiccaacciióónn aall aannáálliissiiss ddee óórrbbiittaass
A continuación aplicaremos los grafos de Markov y las funciones primitivaspara interpretar el Teorema de Sharkovskii. Dada una permutación � , estable-ceremos su función primitiva y a través de ella su grafo de Markov (ver Acos-ta-Humánez y Martínez, sometido a consideración), para así poder evidenciaren ella el Teorema de Sharkovskii.
Ejemplo 2.2.1. Consideremos la permutación ���
����
��
321546
654321� . La
función primitiva asociada f es:
82
Gracias a estas representaciones es posible evidenciar, por ejemplo, la existen-cia de: un punto fijo en 3J , una órbita de segundo orden en 1J y 4J y una ór-
bita de orden 4 en2
,5
,1 JJJ y 4J .
Ejemplo 2.2.2. Veremos a continuación un ejemplo en el que el grafo de Mar-kov y la función primitiva nos permitirán conocer comportamientos no con-templados en el teorema de Sharkovskii y encontrar que una función es caóti-
ca. Consideremos la permutación ���
����
��
1432
4321� . La función primitiva aso-
ciada g es:
�
���
���
�
��
��
�
41
43313
311
12
xsi
xsix
xsix
xsi
xg
Ejemplo 2.2.2. Función primitiva g asociada a""""� �
� � � �
� � � �
�"
�"�"
�"
�"�"
Y su gráfica es:
Figura 3. Función primitiva g asociada a ���
����
��
1432
4321�
Los intervalos para construir el grafo de Markov de g y � son:
� �2,11�J � � � � � �4,33
,3,22
,2,112
, ���� JJJJ . Se puede ver que: � ,1 2
f J J!
�2 3f J J� y �
3213JJJJf ��� .
84
Stefan, P. (1977). A theorem of Sharkovskii on the existence of periodic orbits of continu-ous endomorphisms of the real line. Communications in Mathematical Physics, 54,237-248.