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Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
1 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
2 2
PROFESORES Y ALUMNOS
Estimulados por la Institución “Dr. José María Vargas”, nos dimos a la tarea de presentar a nuestros
colegas y estudiantes una edición que, en realidad viene a ser un texto con un nuevo y actualizado enfoque del
programa de Matemática del tercer año de Educación Media General, así como la modalidad digitalizada y con
la implementación del programa Geogebra (es un Programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje para las
matemáticas para educación en todos sus niveles), para que sea más accesible a la comunidad estudiantil,
profesores y alumnos.
Se trata de un libro de gran utilidad, en el cual se han incluido numerosos ejercicios con una breve
explicación, donde se indican ejemplos y problemas que son de gran utilidad para el desarrollo de los objetivos
propuestos.
En el desarrollo de los temas hemos tenido muy en cuenta el programa vigente emanado del Ministerio
del Poder Popular para La Educación y hemos sido fieles en seguir minuciosamente los objetivos y contenidos
del mismo, haciendo mucho hincapié, allí donde el tema lo permite, en citar ejemplos e ilustrar lo mejor posible
los mismos, de modo que el estudiante los realice de una forma sencilla y entendible y así lograr los
aprendizajes propuestos en el programa del nivel respectivo en que se encuentra.
Al final del texto hemos agregado una amplia gama de autoevaluaciones que le permitan al alumno a
entrenarse para las futuras pruebas en cada lapso y así tener resultados óptimos esperados por todos.
Este esfuerzo, plasmado en este libro, no pretende ser una obra completa y perfecta. Las mismas
características del texto de tener que ceñirse a un programa establecido previamente, nos limita
considerablemente, por estas razones recibiremos de buen agrado las observaciones y críticas constructivas, que
nos hagan llegar, tanto los profesores como los estudiantes, que ayuden al mejoramiento de este texto.
LOS AUTORES
Carrizal, 2016
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
3 3
INDICE
Pág Objetivo 1 Identificar elementos del Conjunto N° Irracionales; Representar sobre una recta números irracionales…………………………..………………………………05
Objetivo 2 Identificar elementos del conjunto de los N° reales;
Efectuar aproximaciones racionales del número real. ………………..………………………………………………28.
Objetivo 3 Calcular la suma de dos números reales utilizando aproximaciones racionales;
Aplicar las propiedades de la adición de números reales; Resolver problemas en los que se utilicen
la adición y sustracción de números reales……………………………………………………………………………31
Objetivo 4 Calcular el producto de dos números reales utilizando aproximaciones reales; Aplicar las propiedades de la multiplicación de números reales; Resolver problemas utilizando la multiplicación y división de números reales…...35
Objetivo 5 Calcular potencias de números reales con exponente entero; Aplicar las propiedades de la potenciación de números reales con exponente entero………………………………………………………………………………………………36
Objetivo 6 Definir la raíz n-ésima de un número real; Resolver problemas que conduzcan al cálculo de la raíz cuadrada
de un número real positivo…………………………………………………………………………………………… .38
Objetivo 7 Expresar mediante radicales, potencias de números reales con exponente racional; Operar con radicales, utilizando las leyes de la potenciación en R con exponente racional; Operar con radicales semejantes……………….………………..46
Objetivo 8 Aplicar el proceso de racionalización de fracciones con radicales……………………………………………………..60
Objetivo 9 Aplicar las relaciones de orden mayor o igual y menor o igual en R; Aplicar la compatibilidad de la adición y multiplicación con relación de orden en R……………………………………………………………..………………. 74
Objetivo 10 Resolver ecuaciones en las cuales se utilice el valor absoluto de números reales……………….………………….76
Objetivo 11 Determinar las coordenadas de un punto dado de la recta real……………………………………………………….80
Objetivo 12 Calcular la distancia entre dos puntos de la recta real………………………………………………………………….86
Objetivo 13 Identificar intervalos de la recta real; Usar la notación de intervalos como subconjuntos de R………..…………….88
Objetivo 14 Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y con valor absoluto; Resolver sistema de inecuaciones de primer grado…………………………………………………………………………………………..94
Objetivo 15 Determinar las coordenadas de un punto del plano respecto al sistema de coordenadas cartesianas; calcular la
distancia entre dos puntos del plano real de coordenadas………………………………...……………………………………………106
Objetivo 16 Determinar gráficamente funciones reales en el plano cartesiano………………..…………………………………..110
Objetivo 17 Analizar las características de la función afín……………………………….………………………………………..112
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
4 4
Objetivo 18 Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas; Resolver analíticamente sistemas de
Ecuaciones…………………………………………………………………………….………...113
Objetivo 19 Analizar las características de la función cuadrática…………………………………………………..…..121
Objetivo 20 Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita………………………………………..……….126
Objetivo 21 Resolver problemas donde se utilicen ecuaciones de segundo con una incógnita……………………………….….129
Objetivo 22 Aplicar el Teorema de Pitágoras………………………………….…………………………….132
Objetivo 23 Aplicar el Teorema de Euclides……………………………………….……………………….137
Objetivo 24 Aplicar el Teorema de Thales………………………………………………………………….141
Objetivo 25 Aplicar semejanza de triángulos………………………………………………………………..152
Objetivo 26 Nociones elementales de Estadística…………………………………………………..………..156
Objetivo 27 y 28 Computación...…………………………………………………………………………..…222
Autoevaluación …………………………………………………………………...……………………………240
GLOSARIO……………………………………………………………………….…………………………...244
BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………266
……………………………………………………………………………………………………
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
5 5
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue
para siempre sin repetirse. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es:
3,1415926535897932384626433832795 (y más...) . Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede
escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como 22
/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no
son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón o (fracción), ¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional: Ejemplo: 9,5 se
puede escribir en forma de fracción así 19
/2 = 9,5 así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números En fracción ¿Racional o
irracional?
5 5/1 Racional
1,75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Identificar elementos del conjunto de los números
irracionales
Representar sobre una recta de números irracionales
1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
6 6
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es
todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras
decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado
muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
7 7
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando
escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se
puede escribir como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los
números tienen valores perfectos . Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no
existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego Pitágoras que vivió
entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque iba contra sus ideas que se basaban en que todo
es susceptible de expresarse en números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales
como los llamados propiamente racionales aunque son diferentes, pues los números irracionales
son inconmensurables (no medible) y no pueden expresarse en la forma racional:
El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.
Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras, apareció el primer número
irracional que es: cuyo valor aproximado es 1,4142135...
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
8 8
Números irracionales y sus propiedades
Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o decimal, aunque
pueden calcularse con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos ni semiperiódicos).
Ejemplos de números irracionales:
√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc.
π (pi) = 3.141592 ...
e (número de Euler) = 2,718281828459…
ϕ (razón de oro) = 1,618033988749…
3,8 : es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es racional.
5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional.
π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite.
413135562,12 : es irracional
¿Qué son números irracionales?
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen
infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados
como fracciones.
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar
aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas
o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
9 9
El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por I o bien por Q*.
Propiedades de los números irracionales
- Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el
orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
- Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de
manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación,
(ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
- Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada
número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da
como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.
- La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
- El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las
operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no
necesariamente es irracional.
- Todos los racionales y todos los irracionales son números reales.
Recuerda que incluidos en los racionales están los enteros y en los enteros,
los naturales.
N⊂Z⊂Q
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
10 10
Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números racionales, son los que
corresponden a los números decimales con infinitas cifras no periódicas y que se denominan números
irracionales a Q , Q ∩ I = 0
Números Irracionales:
413135562,12 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.
1.- Escribe una lista de cinco números racionales
2.- Escribe una lista de cinco números irracionales
N Z Q Z+
Z-
Q+
Q-
I
-5
3
5
3,67
4,21…
8,921…
30
5
2
4
1
2,8
-0,5
ACTIVIDAD 1
ACTIVIDAD 2
Copia en el cuaderno el siguiente cuadro y complétalo con el símbolo ∈
o ∉ según convenga:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
11 11
OPERACIONES EN Q
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros , con
denominador distinto de cero. Se representa por .
Suma y resta de números racionales
Con el mismo denominador
Se suman o se res tan los numeradores y se mantiene e l denominador.
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene e l deno minador.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
12 12
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los deno minadores a co mún deno minador , y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equiva lentes obtenidas.
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
a.-) Propiedad Conmutativa: "El orden de los sumandos no altera la suma" esta propiedad se cumple para
cualquiera que sean los números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad conmutativa de la
adición. abba
b.-) Propiedad Asociativa: la forma como se agrupan los sumandos no altera la suma, esta propiedad se
verifica para cualquiera que sea la terna de números racionales que se sumen, y recibe el nombre de propiedad
asociativa de la adición. )()( cbacba
c.-) Elemento Neutro: Cualquier número racional a/b sumando con cero (0) es igual a a/b. El cero (0) se llama
elemento neutro de la adición. aa 00
d.-) Elemento simétrico: en general si a/b es un número racional, entonces: a/b + (-a/b) = 0 ya que todo número
racional tiene un simétrico u opuesto con respecto a la adición. 0)()( aaaa
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS RACIONALES
1. Interna : a + b
2. Asociat iva : (a + b) + c = a + (b + c) ·
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
13 13
3. Conmutat iva : a + b = b + a
4. Elemento neutro : a + 0 = a
5. Elemento opuesto a + (−a) = 0
¡El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número!!!.
Resuelve aplicando la propiedad asociativa los siguientes ejercicios
1) 5
6
5
8
5
3 2)
7
9
7
3
7
8 3)
4
1
2
1
8
1 4)
5
6
6
5
3
2 5)
49
2
21
3
2
1
6) 2
6
4
7
5
3 7)
5
6
2
7
4
5 8)
7
1
5
1
3
1 9)
7
6
2
5
5
2 10)
17
2
15
3
3
1
Multiplicación en
ACTIVIDAD 3
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
14 14
Propiedades de la mult iplicación de números racionales
1. Interna : a · b
2. Asociat iva: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutat iva: a · b = b · a
4. Elemento neutro : a ·1 = a
5. Elemento inverso :
6. Distributiva : a · (b + c) = a · b + a · c
7. Sacar factor co mún: a · b + a · c = a · (b + c)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
15 15
División de racionales
Ejercic ios resue ltos: operaciones con números racionales :
1.-
2.-
3.-
4.-
Ejercic ios resue ltos de las div isiones de números racionales :
Observa los ejemplos de
ejercicios resueltos con
las operaciones en Q
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
16 16
1.- 2.-
3.-
Ejercic ios resue ltos de las operaciones con números racionales :
1.-
2.-
3.-
Potencias de números racionales
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
17 17
Potencias de exponente entero y base racional
Propiedades
1.- 2.-
3.- Producto de potencias con la misma base :
4. Divis ión de potencias con la misma base :
5. Potencia de una potencia :
6. Producto de potencias con e l mismo exponente :
7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :
Ejercicios resueltos de operaciones con potencias de fracciones:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
18 18
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
19 19
11.-
12.-
13.-
Ejercicios resueltos con las operaciones de fracciones con
potencias:
1.-
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
20 20
Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales
Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis .
Operamos en e l pr imer paréntes is , qui tamos el segundo, s impl i ficamos en el tercero y
operamos en el úl t imo.
Real izamos el producto y lo simpl if icamos .
Real izamos las operaciones del paréntesis .
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
21 21
Hacemos las operaciones de l numerador , div idimos y simpl if ica mos e l resultado .
Ejercicio resuelto:
1.-
Ejercic ios resue ltos de las operaciones combinadas :
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
22 22
1.-
2 . -
3 . -
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
23 23
4 . -
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS RACIONALES
También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta. Por
ejemplo, para calcular el punto que representa el número realiza los siguientes pasos:
el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
24 24
compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del
compás sobre la recta representa el número..
Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno. De manera similar, construyendo cuadrados o rectángulos de
distintas dimensiones se puede construir la raíz cuadrada de muchos números enteros. Dibuja en tu cuaderno un
rectángulo de lados 3 y 2. Su diagonal medirá la raíz cuadrada de 13.
Representación gráfica de un N° irracional: Representar gráficamente el número 2
Como 12 + 1
2 = ( 2 )
2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos construir un triángulo rectángulo
cuyos catetos midan 1.
Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto cuyos extremos son 0 y 1,
la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la hipotenusa 0A igual a 2 .
Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA.
El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional 2 .
Ejemplo: Representar 13x
22 3213 = x
2 = 2
2 + 3
2 =
22 32 x 6,31394 xx
0 1 2 3 4 5 6
13
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
25 25
Represente gráficamente los siguientes números irracionales
1.- 13 2.- 8 3.- 6 4.- 7 5.- 10
6.- 11 7.- 17 8.- 26 9.- 29 10.- 19
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES DECIMALES
SEGÚN SU PERÍODO
-Expresión decimal periódica pura: Se le llama así a esta expresión ya que cuando hay un número decimal que se repita infinitamente por ejemplo:
1/9=0,1111…
Cuando esto ocurre para evitar escribir las demás cifras solamente se debe ponerle una línea en la parte de
arriba de la expresión.
Ejemplos: 6,23
8 ; 2,0
9
2 ; 36,1
11
15
-Expresión decimal periódica mixta: Se le llama así a esta expresión ya que los decimales se repiten en cierto periodo por ejemplo:
4/7= 0.57142857142857.
Al que la expresión nombrada anteriormente se debe poner una raya encima de la expresión para evitar colocar
las cifras repetitivas
Ejemplos: 3,4151515………..es igual a 3,415 se llama período misto, el período comienza después de las
décimas.
13,015
2 ; 416,0
12
5 ;
CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GERNERATRIZ DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de
las formas que indicamos:
1 Pasar de decimal exacto a fracción.
ACTIVIDADES ¡¡¡¡Representa
gráficamente!!
!!!!!!!!!
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
26 26
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma, y por
denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Ejemplo:
2 Pasar de periódico puro a fracción generatriz.Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene
como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por
tantos nueves como cifras tenga el período.
Ejemplo:
3 Pasar de periódico mixto a fracción generatriz.
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma,
menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un número formado por
tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no
periódica.
Dado el decimal: 8,3 5…. dónde: 8 es la parte entera
3 es el ante período
5 es el período
a) Dado f: 3,4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5
-10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5
90f = 311
f= 311
90
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
27 27
Resolver: a) 4,3 4 b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =
f) 7,4 4 g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546
Euclides
Euclides enseñó en Alejandría, donde abrió una escuela que acabaría siendo la más importante del mundo helénico, y alcanzó un gran
prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Ptolomeo I Sóter, fundador de la dinastía ptolemaica que gobernaría
Egipto desde la muerte de Alejandro Magno hasta la ocupación romana. Se cuenta que el rey lo requirió para que le mostrara un
procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para
llegar a la geometría. Este epigrama, sin embargo, se atribuye también al matemático Menecmo, como réplica a una demanda similar
por parte de Alejandro Magno.
La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó de inmediato como libro de texto
ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Tras la caída
del Imperio Romano, su obra fue preservada por los árabes y de nuevo ampliamente divulgada a partir del Renacimiento. Más allá
incluso del ámbito estrictamente matemático, Euclides fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como
Galeno, para la medicina, o Spinoza, para la ética. Ello sin contar la multitud de filósofos y científicos de todas las épocas que, en su
búsqueda de sistemas explicativos de validez universal, tuvieron en mente el admirable rigor lógico de la geometría de Euclides.
EJERCICIOS ¡¡¡¡¡¡¡Ahora es
Fracción
Generatiz!!!!!!
!!!!!
(330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, posteriores
a él, Euclides fue pronto incluido en la tríada de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Sin
embargo, a la luz de la inmensa influencia que su obra ejercería a lo largo de la historia, hay que
considerarlo también como uno de los más ilustres de todos los tiempos.
Pese a que realizó aportaciones y correcciones de relieve, Euclides ha sido visto a veces como un
mero compilador del saber matemático griego. En realidad, el gran mérito de Euclides reside en
su labor de sistematización: partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas,
estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso edificio de la geometría griega.
Juzgada no sin motivo como uno de los más altos productos de la razón humana y admirada como
un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana mantendría su vigencia durante más de
veinte siglos, hasta la aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no euclidianas.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
28 28
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES
Conjunto de los N° Reales: R
Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q) y los irracionales (I), y se
anota con la letra R.
R = Q U I y Q ∩ I = 0
Podemos escribir: N Z Q R es decir: los N° naturales son un subconjunto de los enteros, a su vez
subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales
En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación muy básica sobre la representación gráfica
de los números enteros, es decir, cómo se representan los números enteros sobre un gráfico. Para realizar la
representación gráfica de los números enteros vamos a utilizar una recta y la vamos a dividir en segmentos
iguales (cada segmento será la unidad de medida , por ejemplo centímetros, grados, años, etc…)
Sobre la recta establecemos un punto al que le vamos a llamar origen que será nuestro punto de
referencia para ubicar el resto de los números enteros. Generalmente el origen se encuentra representado
hacia la mitad de la recta que hemos dibujado. El origen es el punto desde el cual empezamos a contar los
números positivos (hacia la derecha del origen) y los números enteros negativos (hacia la izquierda del
origen).
En la semirrecta de la derecha del origen se hace la representación gráfica de los números enteros positivos, y
en la semirrecta de la izquierda, la de los números enteros negativos.
Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:
Identificar elementos del conjunto de los números
reales (R).
Efectuar aproximaciones racionales de números
reales.
2
¡¡Te recomendamos que
leas!!!!!!!
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
29 29
Elegimos un punto cualquiera de la recta (aproximadamente hacia la mitad de la recta que tenemos dibujada)
y a ese punto le asignamos el valor cero.
Luego elegimos otro punto a la derecha del cero y a ese punto le asignamos el valor 1. La distancia entre los
puntos cero y 1 será la unidad de medida que utilizaremos para ubicar el resto de los puntos sobre la recta.
Si marcamos a partir del punto 1 hacia su derecha otro punto con la misma medida que había de punto cero al
punto 1, ese punto va a ser el punto 2, y así sucesivamente.
Si hacemos esta misma operación pero partiendo del cero hacia su izquierda, podremos representar los
números enteros negativos.
APROXIMACIONES POR DEFECTO Y POR EXCESO DE NÚMEROS REALES
La aproximación por defecto, implica la búsqueda de un número con una cierta cantidad de cifras que es
inmediatamente menor que el dado. Por su parte, la aproximación por exceso, es el número con las cifras
decimales inmediatamente mayor.
1- Aproximación de un número irracional
1.1- Aproximar por defecto y por exceso
Al realizar una aproximación por defecto, se busca el número, con un determinado número de cifras
decimales, que es inmediatamente menor que el dado.
En cambio, para aproximar por exceso, se busca el número, con las cifras decimales fijadas,
inmediatamente mayor.
Por ejemplo, dado el número π, al aproximarlo con dos cifras decimales:
- Por defecto es 3,14.
- Por exceso es 3,15.
Al utilizar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior, los errores que se
cometen son:
-Por defecto: 3,141592… – 3,14 < 0,001592…
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
30 30
- Por exceso: 3,15 – 3,141592… < 0,008408…
1.2- Aproximación por redondeo:
Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su derecha:
- Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda.
- Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera.
- Si esta es igual a 5, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se deja la misma cifra, y si es
número impar, se deja en la cifra par siguiente.
En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la redondeada.
Entonces, al aproximar por redondeo, se escoge la aproximación con la que se comete el menor error, en el
caso anterior, π ≈ 3,14
Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que
esté muy próximo al número dado.
Aproximar por redondeo un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la
que se comete un error menor.
Error de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre un número y su aproximación.
Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada,
consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha. La aproximación por truncamiento
es un tipo de aproximación por defecto.
Ejemplo:
Ejemplos: Al aproximar 7,475 en décimas, nos queda 7,4.
Al aproximar 7,447 en décimas, nos queda 7,
Mercedes Hernández Rincón
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Aproximaciones racionales de N° Reales:
Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras decimales.
Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por defecto o exceso.
Por defecto: aproximación un poco menor de un número.
Ejemplos: 96,1))4,1(2) 2 a
(1,41)2= 1,9881
(1,414)2= 1,999396
56,2))6,1(3) 2 b
(1,61)2= 2,5921
(1,616)2= 2,611456
Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.
Ejemplo: 002225,2)415,1(2) 2 a
(2,231)2= 4,977361
(2,232)2= 4,981824
Expresiones Decimales:
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Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no se repite y parte decimal
que se repite siempre. El período no comienza en las décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas
entre la coma y el período.
Ejemplo: 2,56363 2 = parte entera
5 = ante-período
6363 = período
Ejercicios: 5/12 = 0,4166 Parte entera:_____ 5/6 = 0 ,8 33 Parte entera:____
Ante-período:______ Ante-período:____
Período: ______ Período:____
Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera cifra decimal. El período
viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite. Ejemplo: 3,4646 Parte entera: 3
Período: 4646
Expresión generatriz decimal pura o limitada:
Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción generatriz será la que tenga:
Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales, prescindiendo de la coma.
Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4
10f = 10 x 3,4 = 34, 4
-f = -1 x 3,4 = -3, 4
9f 31
f = 31
9
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Expresión generatriz mixta o ilimitada:
Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción generatriz será la que tenga:
a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del período (prescindiendo de la coma) menos la
parte entera seguida del no-período (prescindiendo de la como)
b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el
no-período.
Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21
1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21
-10f = -10 x 3,5 21 = -35, 21
990f 3486
f = 3486
990
Para ahondar sobre esta materia, incluida en el eje temático Números, resolvamos el siguiente
ejercicio
Sea q una aproximación por exceso a la centésima de √2 y p una aproximación por defecto a la centésima de
√2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) q = p II) (p + q) ÷ 2 = √2 III) q = √2 - k, con k un número real positivo.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas.
¿Tienes una alternativa? Revisemos si es la correcta.
De acuerdo al ítem, para analizar las tres igualdades expuestas se debe aplicar la aproximación del valor de
un número irracional por defecto y por exceso. En otras palabras, si por ejemplo tenemos un número
equivalente a 1.235, la aproximación por defecto sería 1.23 y la por exceso, 1.24.
Entonces, si en el enunciado se afirma que q es una aproximación por exceso a la centésima de √2, tenemos
que q es un número racional mayor que √2. En tanto, si p es una aproximación por defecto de √2, p es un
número racional menor que √2.
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34 34
Aclarados esos puntos, podemos determinar si existe una afirmación verdadera entre I, II y III.
Inmediatamente nos percatamos de que I) es falsa, porque dice que q = p, pero ya vimos que q es un número
mayor que √2 y p es un número menor que √2.
Lo mismo ocurre con II), su aseveración no es verdadera, ya que como p y q son aproximaciones de √2, éstos
son números racionales, y como sabemos que la mitad de la suma de dos números racionales es un número
racional, √2 no puede ser el resultado de (p + q) ÷ 2.
Por último III) también es falsa, puesto que q es una aproximación por exceso de √2, y en consecuencia, q es
un número mayor que √2 , lo cual no se condice con la expresión q = √2 - k, siendo k un número real positivo.
De ese modo, la alternativa correcta es la letra E).
.EJERCICIOS PROPUESTOS
1.-Seis personas se quieren repartir un premio de Bs 523000. ¿Cuánto le tocará a cada persona?
2.-Hallar 8 , y escribir las mejores aproximaciones por exceso y por defecto en el orden de las décimas, centésimas y
milésimas. 8= 2,8284271
3.-Una docena de un artículo cuesta Bs 7000 y una persona desea comprar sólo 4 de ese artículo.
4.-Si distribuimos Bs 84372,40 entre 28 personas. ¿Cuántos Bs le tocarán a cada una por defecto?
R. Bs 3013,25 c/u
5.-La compra de 15,50 Kg de pescado costó Bs 38925. ¿Cuál es el valor de cada Kg por exceso?
R. Bs 2511,30
6.-Un campesino tenía 42500 naranjas, vendió las tres quintas partes a 38,75 el millar y el resto a Bs 4,125 el 100 ¿Cuánto
cobró por exceso? R. Bs 1689,40
7.-Una fuente en 20 días ha emanado 128,650 hectolitros de agua y 40,75 decalitros de agua. ¿Qué cantidad ha dado en un día
por exceso? R. 643270,40 litros
8.-Si un litro de vino cuesta Bs 46,75.¿Cuántos litros se comprarán con Bs 606,75 por exceso?
R. 13 litros
9.-Hallar aproximación de 7 por exceso y por defecto con error de orden 0,01. R. 2,65 exceso y 2,63 defecto
10.-Un cerdo que pesa 180,75 Kg se vendió por Bs 6100,30.¿A cuánto se pagó el Kg por defecto? R. Bs 33,70 el Kg
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Suma de números reales:
Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada sumando dado por su
correspondiente número racional de acuerdo a la mejor aproximación decimal propuesta.
Ejemplo: Sumar: 971,10360,8236,2375,0360,858
3
Caso 1 Adición de un número racional con uno irracional
Sumar el racional 5,2 y el irracional 3 5,2 + 3
Como se conocen todas las cifras del racional 5,2 es necesario conocer las cifras del irracional 3 que
son 1,7320508 dependiendo de las aproximación pedida.
5,2 + 1,7 = 6,9 aproximación a las décimas
5,2 + 1,73 = 6,93 aproximación a las centésimas
5,2 + 1,732 = 6,9932 aproximación a las milésimas
Sin aproximación es: 5,2 + 3
En conclusión
Caso 2 Adición de dos números racionales
L a suma de un número racional con uno irracional es otro irracional
Calcular la suma de dos números reales utilizando
aproximaciones racionales.
Aplicar las propiedades de la adición de números reales.
Resolver problemas en los que se utilice la adición y
sustracción de números reales.
3
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36 36
Dados dos números racionales4
1;
3
5 Hallar la suma
25,04
1.....;..........6666,1
12
320
4
1
3
5
1,6 + 0,2 = 1,8 aproximación a las décimas
1,66 + 0,25 = 1,91 aproximación a las centésimas
1,66 + 0,250 = 1,916 aproximación a las milésimas
Sin aproximación es: 12
23
12
320
4
1
3
5
(es el valor real)
En conclusión
Caso 3 Adición de dos irracionales
Dados los irracionales 3 ; 8 Hallar la suma
3 = 1,732 ; 8 = 2,828
1,7 + 2,8 = 4,5 aproximación a las décimas
1,73 + 2,82 = 4,55 aproximación a las centésimas
1,732 + 2,828 = 4,560 aproximación a las milésimas
En conclusión
L a suma de dos irracionales es un racional
L a adición de dos irracionales es otro irracional
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37 37
Actividades1
Actividades2
Recordemos las propiedades
Ejemplos Observar las propiedades que se cumplen en los siguientes ejercicios
Resolver la siguientes sumas por defecto
1) 268,33
5 con aproximación a las centésimas
2) 2869,27
2 con aproximación a las milésimas
3) 3268,1 con aproximación a las décimas
4) 6
754 con aproximación a las décimas
5) 532 con aproximación a las décimas
Resolver la siguientes sumas con aproximación por exceso a las décimas
1) 5
2
6
4
3
5 2)
7
1
2
3
6
4 3)
2
5
5
6
4
3 4) 46,3
9
6
5)3
8
5
2
3
6)
3
432 7)
5
475 8) 67,5
6
9
Asociativa (a+b)+c = a+(b+c)
Elemento neutro a + 0 = 0 + a= a
Conmutativa (a+b) = (b+a)
Elemento simétrico a + (-a) = (-a) + a= 0
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38 38
a) 53323253 Propiedad conmutativa
b) ( )85(28)52 Propiedad asociativa
c) 53)53()53(53 = 0 Elemento simétrico
Actividades 3
Resta de N° reales: Ejemplos:
1) 5,34 – 3,24 = 2,10 2) 84,03,03,144,23,03,16
Esta es una operación de composición interna, que asocia a cada par de números reales a y b otro
número llamado c llamado diferencia. De tal modo que al sumarle a a el simétrico de b nos resulta la diferencia
c. cbaba )(
Recordemos que en esta operación no se cumple la propiedad asociativa
Ejemplos
Efectuar las siguientes sustracciones con aproximaciones
a) 325,8 con aproximación por exceso a las centésimas 7320508,13
52,673,125,8
Completar para que se cumplan las propiedades indicadas
1) Elemento5 neutro 2) 27253 Propiedad asociativa
3) Elemento39 simétrico 4) )22()534( Propiedad conmutativa
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39 39
b) 38
9 con aproximación por exceso a las milésimas
1,125 – 1,046 = 0,079
c) 2
2
2
66 sin aproximación
2
263
2
2
2
66 = 7,348 – 0,707 = 6,641
d) Un padre quiere repartir la cantidad de Bs 500000,00 a dos hermanos, la cual fue distribuida así: al primero le
dan 7
2 partes. ¿Cuánto le toca al otro hermano (aproximación a las centésimas por exceso).
Primero 5000007
2 Bs = 142857,14 Bs aproximación por exceso 142857,15 Bs
Segundo 500000 Bs - 142857,15 Bs = 357142,85
Actividades 4
Efectúa las siguientes operaciones
1) 16542,5)6389,23( con aproximación por defecto a las milésimas
2) 16,025 con aproximación por exceso a las centésimas
3) 3
6
2
3 con aproximación por exceso a las centésimas
4) 13,621 – (4,583 – 0,5) con aproximación por exceso a las décimas
5) )5
32(236 con aproximación por defecto a las milésimas
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40 40
Actividades 5
Operaciones aritméticas y propiedades con números reales
Los números reales (designados por ) son casi todos los números que podemos escribir o conocer.
Según esto, en los reales se incluyen:
Los números racionales (Q) , ya sea como fracciones o como decimales (3/4, 6/8, -0,234, 6, 589, etc.)
Los números naturales (N) y los números enteros Z) (1, 2, 3, 4, 5, etc.)
Los números irracionales (I) :
(pi, phi, raíz de 2, de 3, de 5, etc.)
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal
como 3/4, –21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.
Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es
eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.
Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.
Entre los que no son reales tenemos la raíz cuadrada de menos 1, que es un número imaginario.
Resuelve los siguientes problemas
1) La base de un rectángulo es de 16,3469 cm y su altura es de 4,9854 cm. ¿En cuánto excede la
base a la altura con una aproximación a las centésimas? R. 11,36 cm
2) Se pesa una muestra 6 veces, obteniéndose los siguientes valores: 5,45 gr; 5,44 gr; 5,40 gr;
5,39 gr: 5,46 gr y 5,47 gr. Calcular el valor promedio con error menor a una décima. R. 5,4 gr
3) Con un vernier se midió el diámetro de una esfera. Se efectuaron tres mediciones, 3,5 cm; 3,8
cm; y 3,3 cm. Calcular el valor promedio de las mediciones con un error a una centésima en cm.
R. 3,53 cm
4) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 0,75 Kg , el segundo mes
bajó Kg2
1, el tercer mes aumentó Kg
4
31 , y el cuarto mes bajó Kg
3
2.¿Cuántos Kg aumentó?
R. 1,,33 Kg
Mercedes Hernández Rincón
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El número infinito, tampoco es un número real, al igual que otros que usan los matemáticos.
Propiedades de los reales en la suma o adición
La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero
se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden
sumar entre sí.
La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:
Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
Propiedad Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
Propiedad del Elemento neutro:
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el
resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número.
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42 42
Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción)
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a – b = a + (–b)
La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo.
Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:
13,2 – 17,8 = –4,6
Minuendo – sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y
el resultado es positivo.
Por ejemplo:
27,8 – 12,1 = 15,7
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y
el resultado es negativo.
Por ejemplo:
12,1 – 27,8 = –15,7
• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se
le pone el signo menos.
Por ejemplo:
–21,8 – 12,1 = –33,9
• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.
Por ejemplo:
27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7
• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.
Por ejemplo:
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27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7
Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma.
Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:
54,2 – 33,1 = 21,1
y ese resultado es distinto de
33,1 – 54,2 = –21,1
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo
con todos los números reales.
Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:
Propiedad Interna:
El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.
Propiedad Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero:
Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:
Propiedad Conmutativa:
La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos
números reales, entonces:
Propiedad del Elemento neutro:
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44 44
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
Propiedad del Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
Propiedad Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de
los sumandos.
Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
Propiedades de los reales en la División
La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y
el divisor . Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo:
1,86 ÷ 3,1 = 0,6
Dividendo divisor cociente
La excepción es que el divisor no puede ser cero . Esto es, no se puede dividir entre cero
Pero, ojo, que el dividendo sí puede ser cero , y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.
Por ejemplo:
0 ÷ 5,41 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:
• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
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45 45
• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la
multiplicación.
Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:
Como vemos en:
6,24 ÷ 3 = 2,08
y ese resultado es distinto de
3 ÷ 6,24 ≈0,4807
La división no es una operación asociativa:
Como vemos en:
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 1
mientras que
8 ÷ (4 ÷ 2) = 4
Operaciones: Suma y producto de números reales
Las operaciones definidas para números racionales pueden extenderse para números reales.
Para presentar las operaciones entre números reales necesitamos algunos conceptos previos.
Un número irracional viene dado por una secuencia de dígitos. Estos dígitos definen aproximaciones sucesivas
del número. Veamos algún ejemplo:
Ejemplo
Para al número 2√ las aproximaciones son:
1,4
1,41
1,414
1,4142
1,41421
…
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46 46
Ejemplo
Para el número π las aproximaciones son:
3,1
3,14
3,141
3,1415
3,14159
…
Para calcular la operación entre dos números reales utilizamos las aproximaciones sucesivas. Operando las dos
aproximaciones obtenemos los dígitos del resultado.
Ejemplo
Para la suma de 2√ y π, vamos aproximándola por truncamiento de racionales:
1,4+3,1=4,5
1,41+3,14=4,55
1,414+3,141=4,555
1,4142+3,1415=4,5557
1,41421+3,14159=4,55580
…
Si hacemos el cálculo de esta suma mediante una calculadora obtenemos que 2√+π=4,55580621596…
Y observamos que el valor que hemos obtenido con las aproximaciones se acerca al valor de la calculadora.
Ejemplo
Para la resta de 2√ y π, procedemos de un modo muy similar:
1,4−3,1=−1,7
1,41−3,14=−1,73
1,414−3,141=−1,727
1,4142−3,1415=−1,7273
1,41421−3,14159=−1,72738
…
Si calculamos en una calculadora obtenemos que 2√−π=−1,72737909121… valor al que se aproxima nuestra
diferencia de racionales truncados.
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Ejemplo
Para el producto de 2√ y π, tenemos que:
1,4⋅3,1=4,34
1,41⋅3,14=4,4274
1,414⋅3,141=4,441374
1,4142⋅3,1415=4,4427093
1,41421⋅3,14159=4,44286799
…
Este cálculo, mediante calculadora, nos da 2√⋅π=4,442882938… que corresponde al mismo valor que se obtiene
por producto de racionales truncados.
Ejemplo
Finalmente, para el cociente de 2√ y π, procedemos del mismo modo:
1,4/3,1=0,451612903
1,41/3,14=0,449044586
1,414/3,141=0,450175103
1,4142/3,1415=0,450167118
1,41421/3,14159=0,450157404
…
Si calculamos en una calculadora obtenemos que
2√/π=0,4501581580785…
Y observamos que el valor que obtenemos se va acercando al real.
Suma de números reales
Dados dos números reales cualesquiera a y b denotamos con a+b a su suma.
El punto que corresponde al número a+b se obtiene trasladando la longitud del segmento 0b¯¯¯ a partir del
punto correspondiente a a, hacia la derecha si b es positivo, y hacia la izquierda si b es negativo.
Propiedades de la suma
1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se cumple:
a+(b+c)=(a+b)+c
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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es decir, al sumar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se suman los dos primeros
y al resultado le sumamos el tercero, da el mismo resultado que si primero sumamos los dos últimos, y al
resultado le sumamos el primero.
2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales a y b se cumple:
a+b=b+a
es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.
3. Elemento neutro: existe un número real, el 0, que sumado a cualquier otro número real a, da a como resultado:
a+0=a
4. Elemento opuesto: para todo número real a existe otro número real, que denotamos −a, que al sumarlos nos dan
el neutro 0 como resultado. Llamamos −a al elemento opuesto de a. Gráficamente es el punto simétrico
de a respecto al 0.
Todas estas propiedades, se resumen diciendo que el conjunto R es un grupo conmutativo o grupo abeliano con
la operación +.
Observemos que restar un número real a otro, consiste en sumar su opuesto: a−b=a+(−b).
Producto de números reales
Si a y b son dos números reales, designamos su producto con a⋅b.
Podemos construir gráficamente el producto entre dos números a y b aplicando el teorema de Tales.
Empezamos colocando sobre la recta real los números a y b , así como la unidad.
Trazamos una recta auxiliar que pase por el punto 0, y situamos en ella, a partir de 0 la longitud 0b¯¯¯,
obteniendo así un punto P.
Unimos ahora los puntos P y 1 con una recta, y trazamos la paralela a esta que pasa por el punto a. Dicha
paralela corta la recta auxiliar en un punto P′.
La longitud del segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ es exactamente a⋅b.
Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:
01¯¯¯¯0a¯¯¯¯=0P¯¯¯¯0P′¯¯¯¯¯¯⇒01¯¯¯¯⋅0P′¯¯¯¯¯¯=0a¯¯¯¯⋅0P¯¯¯¯
Pero al tener que, 0a¯¯¯¯=a,0P¯¯¯¯=b y 01¯¯¯¯=1, entonces:
01¯¯¯¯⋅0P′¯¯¯¯¯¯=0a¯¯¯¯⋅0P¯¯¯¯⇒1⋅0P′¯¯¯¯¯¯=a⋅b⇒0P′¯¯¯¯¯¯=a⋅b
Así que trasladando la longitud 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta a partir de 0 obtendremos el punto correspondiente al
número a⋅b.
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Ejemplo
Para multiplicar gráficamente los números 0,8 y 0,5 debemos marcarlos sobre la recta real, junto com el
número 1.
Trazamos una recta auxiliar que pase por 0 y marcamos el punto P en ella.
Trazamos la recta paralela a 1P¯¯¯¯ que pase por 0,5 marcando así el punto P′.
Trasladando la distancia 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta real encontramos el punto correspondiente a 0,8⋅0,5=0,4=P′′.
Propiedades del producto:
1. Propiedad asociativa: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se cumple:
a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
es decir, al multiplicar tres números reales distintos, no importa por cuales se empieza: si se multiplican los dos
primeros y al resultado le multiplicamos el tercero, da el mismo resultado que si primero multiplicamos los dos
últimos, y al resultado le multiplicamos el primero.
2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números reales a y b se cumple:
a⋅b=b⋅a
Mercedes Hernández Rincón
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es decir, el orden de los factores no altera el producto.
3. Elemento unidad: existe un número real, el 1, que multiplicarlo a cualquier otro número real a, da a como
resultado:
1⋅a=a
4. Elemento inverso: para todo número real a existe otro número real, que denotamos a−1, o bien 1a, que al
multiplicarlos nos dan la unidad 1 como resultado. Llamamos a a−1 elemento inverso de a.
Observamos que todas estas propiedades también definen el conjunto de números reales como un grupo
abeliano con la operación ⋅. Para construir gráficamente el inverso de a situamos sobre la recta real los números a,1 y 0.
Trazamos una recta auxiliar por 0, y situamos en ella, desde 0, un segmento de longitud 1.
Sea P el extremo de dicho segmento.
Unimos P con a y trazamos una paralela a aP¯¯¯¯¯ que pase por 1, encontrando así un punto P′.
El segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ tiene longitud a−1.
Efectivamente, usando el teorema de Tales tenemos que:
01¯¯¯¯0a¯¯¯¯=0P′¯¯¯¯¯¯0P¯¯¯¯
Pero tenemos que 0P¯¯¯¯=01¯¯¯¯=1 y 0a¯¯¯¯=a, con lo que obtenemos que:
0P′¯¯¯¯¯¯1=1a⇒0P′¯¯¯¯¯¯=1a=a−1
Así que para encontrar el punto a−1 debemos trasladar el segmento 0P′¯¯¯¯¯¯ sobre la recta real.
Ejemplo
Para dibujar el número inverso de 3,3−1=13, nos marcamos sobre la recta los puntos 3,1 y 0:
A continuación marcamos sobre una recta auxiliar un punto P trasladando el segmento 01¯¯¯¯.
Trazamos la recta que une el punto P con el punto 3, y construimos una paralela a esta que pase por el punto 1,
marcando de esta forma el punto P′ sobre la recta auxiliar.
Una vez hecho esto, solamente nos queda trasladar el punto P′ sobre la recta real, obteniendo así el
punto P′′=3−1.
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Además, también se da que dividir un número real a otro, consiste en multiplicar su inverso:
ab=a⋅1b=a⋅b−1
Existe también una última propiedad que relaciona la suma y el producto de números reales:
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: dados tres números reales cualesquiera a,b y c, se
cumple que:
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
Esta propiedad, junto con todas las de la suma y todas las del producto definen a R como una estructura
que denominamos cuerpo conmutativo con unidad.
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Producto de N° Reales: Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales:
Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor.
Se efectúa el producto.
El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.
Ejemplos: 1)Resuelve 41,1
34,1.
41,1
34,1.
3
23,2
41,1
34,1.
2
34,1.
3
5
Propiedades de la multiplicación de N° reales:1) Conmutativa: a . b = b. a
Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 = 2) 5,3.4
6 3) 3.5
2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 = 2) 2
7.4,6.4
3) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
Resuelve. 1) 5 .1 = 2) 6 . 1 = 3) 7 .1 = 4) -5 . 1 = 5) 1.3
4) Elemento Simétrico: a . 1/a = 1 Resuelve: 1) 11
1.11
2
1.2)2
5) Distributiva: a . { b c} = a . b a . c Resuelve: 1) 3 . (3,5 + 4) 2) 6
4 . ( 6 + 2,5)
Calcular el producto de dos reales utilizando aproximaciones
racionales.
Aplicar las propiedades de la multiplicación de números reales.
Resolver problemas utilizando la multiplicación y división de
números reales.
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Casos de Multiplicación en R
Caso 1 Multiplicación de un racional por un irracional
Multiplicar 8
9(racional) por 3 (irracional)
Como 8
9=1,125 y 3 = 1,7320508
1,1 . 1,7 = 1,8 aproximación por defecto a las décimas
1,12 . 1,73 = 1,93 aproximación por defecto a las centésimas
1,125 . 1,732 = 1,948 aproximación por defecto a las milésimas
En conclusión
Actividades 1
L a multiplicación de un racional por un irracional da un irracional
Multiplicar atendiendo a la aproximación indicada en cada caso.
1) 2.8
9 con aproximación por defecto a las décimas
2) 3.8
1 con aproximación por defecto a las centésimas
3)7
4.5 con aproximación por defecto a las milésimas
4)6
5.65 con aproximación por defecto a las centésimas
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54 54
Caso 2 Multiplicación de dos racionales
Multiplicar los racionales 8
3 y
8
5
Como8
3 =0,375 y
8
5= 0,625
0,3 . 0,6 = 0,1 aproximación por defecto a las décimas
0,37 . 0,62 = 0,22 aproximación por defecto a las centésimas
0,375 . 0,625 = 0,234 aproximación por defecto a las milésimas
En conclusión
Actividades 2
L a multiplicación de dos racionales da como resultado un racional
Multiplicar atendiendo a la aproximación indicada en cada caso.
1)5
1.
8
9 con aproximación por defecto a las décimas
2)6
5.
7
6 con aproximación por defecto a las milésimas
3)7
4.
5
3 con aproximación por defecto a las milésimas
4)6
5.
3
4 con aproximación por defecto a las centésimas
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Caso 3 Multiplicación de dos números irracionales
Multiplicar 3 y 52
Como 3 = 1,7320508 ; 52 = 2,236058
1,7 . 2,2 = 3,7 aproximación por defecto a las décimas
1,73 . 2,23 = 3,85 aproximación por defecto a las centésimas
1,732 . 2,236 = 3,872 aproximación por defecto a las milésimas
En conclusión
Actividades 3
L a multiplicación de dos irracionales, el resultado puede ser racional o un irracional
Multiplicar atendiendo a la aproximación indicada en cada caso.
1)3
12.
4
103 con aproximación por defecto a las milésimas
2) 7).2
5.2( con aproximación por defecto a las diezmilésimas
3) )3
376,2).(
5
32( con aproximación por defecto a las centésimas
4) )8.4
10).(
3
715(
con aproximación por defecto a las décimas
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56 56
División en R
Ejemplos
Dividir 3,263 y 2, 468 con aproximación a las milésimas
3,263 2, 468 = 1,322
Dividir5
2)76,252( con aproximación por defecto a las centésimas
5
2)76,252( = 08,812,1.22,712,1).76,246,4(
2
24,2).76,223,2.2(
2
5).76,252(
Actividades 4
Resolver las siguientes divisiones atendiendo a la cada aproximación
1) 3,896 0,4 con aproximación por defecto a las décimas
2) )625()261,3612( con aproximación por defecto a las milésimas
3)12
2)
8
17
4
13()
6
7
3
7( sin aproximación
4)9
1)
3
1
90
7
30
7( sin aproximación
5)12,78 123,1001 con aproximación por defecto a las diezmilésimas
6) 3163 8,184 con aproximación por defecto a las milésimas
7) )18
6584(
con aproximación por defecto a las décimas
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
57 57
Identifica los números racionales e irracionales:
a) 34,3458______ b) 5,3434________ c) 7
2 _______ d) 6/8 _______ e) 56,2 _______
f) 2,02003______ g) 7 ______ h) 3 ______ i) ℮ = 2,71828______
Determina, para cada número real que se especifica, sí la aproximación
que se da es por defecto o por exceso:
a) 3,31 de ℮ 6 _____ b) 2,3 de 5 ______ c) 3,2 de π ________ d) 2,45 de 6,25 _____
e) 3,17 de 10 ______ f) 1,12 de 1,25_______
Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura, y sus partes:
a) 5/13 b) 81/4 c) 24/5 d) 125/90 e) 20/12
f) 2/7 g) 11/20 h) 10/3 i) 52/99 j) 6/12
Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:
a) f=3,456 b) f=44 ,28 c) f= 35,285 d) f= 59,4
e) f= 126,835 f) f= 23,567 g) f= 30,54 h) f=349,34
Suma los siguientes N° reales: a) 5/4 + 3/6 + 2
3 b)
3
4 + 2,36 + 7
c) 7,52 + 6 + 2 d) 6 + 1,28 + 0,34
2 3 4
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Aplica las propiedades de la suma de N° reales:
a) Conmutativa 3 + 7 b) Conmutativa 8 + 9
4 2
c) Asociativa 5 + 1,34 + 3 d) Asociativa 8 + 4 + 0,32
2 3
e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 + 0 =
5 7
f) Elemento simétrico √2 + 3 = g) Elemento simétrico 3 + 8 =
5 2
Problemas de suma y resta de N° reales:
a) Un terreno mide 32.000m2. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la longitud; la segunda ¼; tercera 2/5;
la cuarta 1/5 y la quinta 1/8. ¿Cuántos metros corresponden a cada parte?
b) Una torta pesa 4 Kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y Javier 2/9. ¿Cuánto Kg le tocó a
cada uno?
c) La distancia entre dos ciudades es de 356 Km. Si un vehículo parte de una ciudad hacia la otra, y
hace el siguiente recorrido: la primera hora recorre 1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la
tercera hora 1/5; y la cuarta hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?
Representa los N° irracionales:
a) √25 b) √29 c) √34 d) √45 e) √41
f) √52 g) √58 h) √61 i) √32 j) √74
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PROPIEDADES DE LA POTENCIA EN NÚMEROS REALES
La potencia como operación matemática se considera una multiplicación abreviada. En ella se diferencian dos
partes la base, que es el número que se multiplicará, y el exponente, éste nos indica la cantidad de veces que se
multiplicará la base por sí misma.
La operación potencia dentro de los diferentes conjuntos numéricos respeta determinadas propiedades, en este
caso se analizarán para el conjunto de los números reales. Es importante tenerlas en cuenta porque aprendiéndolas se
pueden resolver en forma más dinámica los ejercicios combinados que siempre son un dolor de cabeza para los
estudiantes.
Propiedades:
Producto de potencia de igual base: cuando se da el producto entre dos potencia de igual base, el resultado es
una potencia de igual base y el exponente es la suma de los exponentes de los factores.
Calcular potencias de números reales con exponente
entero.
Aplicar las propiedades de la potenciación de
números reales con exponente entero.
5
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Cociente de potencia de igual base: cuando se da el cociente o división entre dos potencia de igual base, el
resultado es una potencia de igual base y el exponente es la resta de los exponentes del divisor y dividendo.
Potencia de otra potencia: Cuando una potencia se encuentra elevada a otro exponente, el resultado es
una potencia de igual base elevado al producto de los exponentes.
Potencia de exponente negativo: Si una base se encuentra elevada a un exponente menor que cero, se
invierte la base, (en el caso de números fraccionarios el denominador se convierte en numerador y el numerador
en denominador) y se eleva al opuesto del exponente ( su valor absoluto).
Y por último toda potencia cuyo exponente sea 0 da como resultado 1.
Todo número elevado a la 0 da 1.
Distributiva de la Potencia con respecto a la multiplicación: La potencia es distributiva con respecto
a la multiplicación y división de reales pero NUNCA con respecto a la suma y resta.
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Distributiva de la potencia con respecto a la división de reales
Actividades 1
Actividades 2
Actividades 3
Escribe como producto o como potencia según lo indique las expresiones dadas
1) 3 + 3 + 3 + 3 2) 5 . 5 . 5 . 5 . 5 3) 7 + 7 + 7 4) 2 . 2 . 2. 2. 2
5) (a+b) . (a+b).(a+b) 6) (ab) + (ab) 7) a.a.a.a.a. n veces 8) 3333
Resuelve las siguientes operaciones
1) 35 2)
3
4
5
5 3)
3
3
4
4) 4
)5(
5) 23)(
5) (x+y) 4 (x+y)
8 6) (ab)
3 . (ab) 7) (4+4+4).(3+3).2
3 8)
3
4)3( 0
Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades
1) 38 . 3
3 2) 5
5 5
2 3)
23)7( 4) 3)2.3( 5) 3
2
4
)3
3(
6)
2
2234
3232
)5.3.4(
)4.5.3(
7)
3
53
2
05
3
2.4.
4
2.3 8) (ab)
y. (ab)
x 9)
3
6
43
)2.(3
)2.()3.()2( 10)
4)3.3(
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62 62
Raíz enésima de un N° real:
ban = signo radical
a = cantidad sub-radical
n = índice de la raíz
b = raíz n-sima de a
Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz enésima de “a” sí cumple que
bn = a (a 0 y b 0 cuando “n” es par).
b ban b
n = a
Cálculo de raíces cuadradas:
Ejemplo:
1) Sea calcular 625
a) Formamos grupos de os cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede tener 1 ó 2 cifras. 25.6
Se extrae 6 con un error menor que la unidad: 6 = 2
625 2
c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2
6 . 25 2
-4
2
Definir la raíz n-ésima de un número real.
Resolver problemas que conduzcan al cálculo de la
raíz cuadrada de un número real positivo.
6
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63 63
d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a partir de la derecha.
6 . 25 2
-4
22.5
e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.
6.25 2
-4 4
22.5
f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.
6.25 25 Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225
-4 45 x 5 =225
22.5
- 22.5 0
Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) Sea calcular √123 b) Sea calcular √2345 c) Sea calcular √1345
d) Sea calcular √2763 e) Sea calcular √354 f) Sea calcular √276
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
64 64
En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación muy básica sobre la raíz cuadrada
La raíz cuadrada ¿Qué es una raíz cuadrada?
Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado un número.
La raíz cuadrada de un número x se simboliza así: x
Para elevar al cuadrado un número natural simplemente se multiplica el número por sí mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 72 = 49.
Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso. Por ejemplo (si sólo hallamos las raíces positivas):
√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.
√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.
√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.
√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.
√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01. √1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.
La raíz cuadrada y el cuadrado
Hay una conexión simple entre estos conceptos.
Elevar al cuadrado un número n significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la
raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.
¡¡Te recomendamos que
leas!!!!!!!
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
65 65
Mira los ejemplos:
Cuadrar el número 9
Raíz cuadrada del número 9
Área = 92
lado = 9
Área = 9
lado = 9 = 3.
¿Cómo se la calcula?
1) Se puede encontrar el resultado de una raíz cuadrada haciendo uso de una calculadora. En ella hay un botón
para la raíz cuadrada, que está representado por el símbolo de la raíz (el radical) o por las siglas en inglés "sqrt".
Se presiona esta tecla antes o después de insertar el número del que se desea hallar la raíz, dependiendo de la
calculadora.
Nota que cuando tu calculadora da por ejemplo que 6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos
cifras decimales), eso no significa que la raíz sea exactamente ese número. En realidad, si la raíz no es un
número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningún
periodo en sus cifras decimales. La calculadora sólo da una aproximación con tantas cifras cuantas caben en su
pantalla.
2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar 17 . Primero se hallan dos números naturales
entre los cuales se encuentra la raíz. En el caso de √17, el resultado se encuentra entre 4 y 5 ya que 16 es 4 y
25 es 5.
Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 está muy cerca de 16, voy a estimar que √1
17 es aproximadamente 4.1.
Entonces se efectúa la prueba elevando al cuadrado el número estimado: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17.
Entonces 4.1 no es suficientemente grande, voy entonces a probar con 4.15.
4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe estar entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:
4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado está entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?
4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado está entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?
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66 66
4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado está entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?
4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado está entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?
4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?
4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?
4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado está entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?
Y etcétera.
3) Algoritmo babilónico.
Esta es otra manera de calcular la raíz cuadrada. Este método da una respuesta más exacta cuantas más veces se utiliza. En él, se usa el promedio y la división así:
Primero se halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.
Luego se divide el número cuya raíz se quiere encontrar con la aproximación. Luego se calcula el promedio de
estos dos resultados - y éste será tu nueva aproximación para la raíz. Y se repite el proceso.
Por ejemplo:
Hallar 44 . La aproximación inicial puede ser 7.
Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.
Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.
Ahora repetimos el proceso utilizando este promedio (6.642857) como mi nuevo valor aproximado de 44.
Por lo tanto, de forma análoga a lo que hicimos antes, dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y
hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.
Una vez más, repetimos el proceso: dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el
promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925. Etcétera.
4) Algoritmo decimal.
¿Y qué de las raíces negativas?
Si elevas un número negativo a la segunda potencia (lo elevas al cuadrado), el resultado es positivo: (-5) × (-5) = 25
(porque negativo por negativo es positivo).
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
67 67
De allí deducimos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y -5!
Las dos raíces cuadradas de 64 son 8 y -8, ya que ambos 82 y (-8)2 dan como resultado 64.
NOTA: Cuando se usa el símbolo radical siempre se hace referencia a la raíz NO negativa. Por ejemplo 16 = 4
(y no -4).
¿Se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo?
Bueno, este caso difiere de la situación anterior. Esta vez tenemos un número negativo "debajo de la
raíz", como por ejemplo 25 .
¿Se puede hallar un número cuyo segunda potencia sea -25?
Pues, 5 no sirve ya que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que (-5) × (-5) = 25.
Resulta que no hay solución ... en el conjunto de los números reales.
Pero... si te aventuras a estudiar números imaginarios, si hay solución: 25 = 5i, donde i es la unidad
imaginaria.
Actividades 1
Actividades 2
Hal1ar el resultado de las siguientes raíces
1) 64 2) 3 64 3) 184 4) 5 32 5) 3 125
6) 9 7) 4 8) 5 243 9) 5 225 10) 4 16
Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números reales positivos
1) 121 2) 289 3) 841 4) 196 5) 529
6) 169 7) 3969 8) 4900 9) 400 10) 100
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
68 68
Actividades 3
Actividades 4
PROBLEMAS QUE CONDUCEN AL CÁLCULO DE UNA RAÍZ CUADRADA
Ejemplos
1.-La suma de los cuadrados de dos números es 481 y el número menor es 15. Hallar el número mayor.
a2 = cuadrado del número mayor a
2 + b
2 = 481 condiciones del problema
b2 = cuadrado del número menor a
2 + (15)
2 = 481 sustituyendo b=15
a2 + 225 = 481 operando
a2 = 481- 225 despejando a
2
a
2 = 256
256a extrayendo la raíz
a=16 número mayor
Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números con aproximación 0,1
1) 7 2) 5 3) 2 4) 24 5) 36
6) 27 7) 122 8) 326 9) 501 10) 1989
Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números con aproximación 0,001
1) 6,46 2) 93,54 3) 0,258 4) 0,19 5) 18,39
6) 2,456 7) 2,13 8) 1,163 9) 9,1768 10) 15,76
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
69 69
2.-La superficie de una moneda de Bs 500 es de 637,62 mm2 .Calcular su radio.
Datos Ecuación
S= 637,62 mm2
S=π. r2 Despejando r
2
r= ¿
Sr 2 ;
Sr Sustituyendo
Solución mmrmmrmm
r 24,1406,20314,3
62,637 22
3.-Un nadador cruza un río cuyas aguas tienen una velocidad de 2 Km/h. Si nada perpendicularmente a la
corriente con una velocidad de 5 Km. Calcular la velocidad resultante.
Aplicando el Teorema de Pitágoras
Solución 222yxr VVV ; 22
yxr VVV = 22 )/5()/2( hKmhKmVr
2222 /25/4 hKmhKmVr = 22 /29 hKmVr = 5,38 Km/h
Actividades 5
Resuelve los siguientes problemas
1.- Calcular la longitud del lado de un cuadrado que tiene un área de 196m2. R. 14 m
2.- El área de un círculo es de 50,24 cm2. ¿Cuál es el radio? R. 4 c m
3.- Calcular el radio de un cilindro sabiendo que el área de la base es de 1017,36 mm2
R. 18 mm
4.- El volumen de un cilindro es de 157 cm3 y su altura es de 0,02 cm. Calcular su radio. R. 50 cm
5.-Se tiene un circulo que tiene un área de 1661,06 cm2 . Hallar el radio R. 23 c m
6.-La altura de un cilindro es de 6,5 m y su volumen es de 19614,01 m. ¿Cuál es el radio? R. 31 m
Datos
Vx= 2 Km/h (velocidad de la corriente)
Vy= 5 Km/h (velocidad del nadador)
Vr= ¿
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
70 70
Radicales y exponentes radicales
Si a es un número real, entonces su raíz cuadrada es el número real no negativo cuyo cuadrado
es a. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, pues 42 = 16. De modo parecido, la raíz cuarta del número no
negativo a es el número real no negativo cuya curta potencia es a. Por lo tanto, la raíz cuarta de 16 es 2, pues
24 = 16. Se puede definir raíces sexta, octava, y así sucesivamente.
Muy bien, ¿Y qué tal las raíces impares?
Hay una diferencia pequeña con las raíces impares: Por ejemplo, la raíz cúbica de cualquier número a es el
número único cuyo cubo es a. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 (pues 23 = 8). Note que se puede tomar la
raíz cúbica de cualquier número: positivo, negativo, o cero. Por ejemplo, la raíz cúbica de 3 8 es -2, pues
(-2)3 = -8. Al contrario de las raíces cuadradas, raíces cúbicas pueden ser negativas. En realidad, la raíz cúbica
de a tiene siempre el mismo signo que a. Las otras raíces impares son definidas en la manera parecida.
Raíz n-ésima de un número real
Ya has recordado cómo calcular las raíces cuadradas y cúbicas oralmente y utilizando la tabla,
y viste que ambas son las operaciones inversas de elevar al cuadrado y al cubo respectivamente, es decir
que:
Esta idea puede ser generalizada definiendo la raíz de índice n como la operación inversa
de la potenciación de exponente n. Para hacerlo observa que:
Expresar mediante radicales, potencias de números reales
con exponente racional.
Operar con radicales, utilizando las leyes de la potenciación
en R con exponente racional.
Operar con radicales semejantes.
7
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
71 71
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa, por ejemplo:
5 es raíz cuadrada de 25 porque 52 = 25 y
- 5 es raíz cuadrada de 25 porque (-5)2 = 25
por lo que 25 tiene dos raíces cuadradas. A la raíz positiva se le llama raíz aritmética.
Los números negativos no tienen raíz cuadrada.
Todo número real tiene una raíz cúbica, por ejemplo:
2 es raíz cúbica de 8 porque 23 = 8 y
- 2 es raíz cúbica de - 8 porque (-2)3 = -8. esta raíz es única y es la raíz cúbica aritmética.
Esto nos permite escribir la siguiente definición:
Definición de raíz n-ésima
Sea y , n > 1 se llama raíz n-ésima de a a todo número real x, tal que satisface la
ecuación xn = a. Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz n-ésima.
Ejemplo:
Determina todas las raíces de:
a) cuarta de 16. ; b) quinta de - 32. ; c) sexta de - 3.
Respuesta:
a) 2 y - 2 son raíces cuartas de 16, ya que 24 = 16 y (-2)4 = 16.
b) - 2 es raíz quinta de 32, ya que (-2)5 = 32.
c) - 3 no tiene raíz sexta, pues en el conjunto de los números reales no es posible hallar la raíz de
índice par de números negativos.
En general se cumple que:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
72 72
Para recordar...:
a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces n-ésimas, una positiva y otra negativa. Los
números reales negativos no tienen raíz n-ésima cuando n es par.
b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n-ésima del mismo signo que a.
En el caso de n par se llama raíz aritmética a la positiva y en el caso de n impar la única que existe se
llama raíz aritmética.
Para indicar la raíz aritmética de a se utiliza el símbolo: .
1. El símbolo es el signo de raíz y se llama radical.
2. El número a se llama cantidad subradical o radicando y es el número al cual se le calcula la raíz n-
ésima.
3. El número natural n se llama índice del radical e indica al exponente al que hay que elevar la raíz para
obtener la cantidad subradical; cuando n = 2 no se escribe y se sobreentiende que se calcula la raíz
cuadrada.
PARTES DE UN RADICAL
En la imagen, el tres es el radicando y el cuatro el índice, lo que se debe obtener es la cuarta raíz
de tres. Normalmente se llama radical a cualquier raíz indicada de un número o de una expresión
algebraica.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
73 73
Ejemplo:
Determina la raíz indicada en cada inciso:
a) ; b) ; c)
Respuesta:
a) = 2, porque 24 = 16. ; b) = - 1; porque (-1)5 = - 1.
c) no tiene sentido, ya que no se puede calcular la raíces de índice par de números negativos en el
conjunto de los números reales.
Para cualquier número real a para el cual la raíz n-ésima tiene sentido se cumple la
igualdad: .
Observa que: si n es par.
De esta manera se cumple que:
En general se cumple que:
y en particular: .
Radicación en R: La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 „o elevados a 3,
den el número expuesto en la parte sub.-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz cuadrada, y si es elevado
a 3 se llamará raíz cúbica.
Simplificación de radicales:
Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub.-radical por el mismo
número.
Ejemplo: Ejercicios resueltos
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Simplificar
a) 35125 ; b) 55125 6 36 ; c) ababbaba 3)3(39 4 24 2224 22
CAMBIO DE LA FORMA RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO
Una expresión de la forma n ba se puede escribir con exponente fraccionario mediante la siguiente
regla.
Ejemplo
Expresar con exponente fraccionario los siguientes radicales
n ma = n
m
a ; 3 45 = 3
4
5
Actividades 1
CAMBIO DE EXPONENTE FRACCIONARIO A LA FORMA RADICAL
Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del
exponente, la cantidad subradical es la base de la potencia elevada a un exponente igual al numerador.
Ejemplos
aa 2
1
; 4 34
3
55
El exponente de la cantidad subradical se escribe en el numerador y el índice de la raíz
se escribe en el denominador del exponente racional.
Escribir con exponente fraccionario
1) 3 2 2) 4 abc 3) 5 32nm 4)
4 35ab 5) 3 3227 ba
6) 3 28 7)
7 342 bac 8) 5 36 zxyb 9) abc 10)4 37x
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
75 75
Actividades 2
POTENCIACIÓN EN R CON EXPONENTE RACIONAL
Potencia de exponente racional positivo simbólicamente n mn
m
XX
Potencia de exponente racional positivo simbólicamente n m
n
m
X
X1
ó también
n
mn
m
X
X1
Potenciación de radicales simbólicamente n mmmn yxyx .)(
Ejemplo
1) 182.92.323)23( 2222
2) 3 23 233 243 2223 2223 22222)2(4)4( aaaaaa
3) 61235276128)33()33.22(2)22()3322( 222
Actividades 3
Escribir en forma de radicales
1) 3
2
3 2) 2
1
a 3) 4
7
4
5
qp 4) 24
3
4
3
)( ba 5)
3
1
3
7
3
4
4
y
x
6) n
w
n
r
yx 7) 2
3
6 8) 2
5
2
4
2
3
cba 9) 6
3
x 10) 6
5
6
4
6
3
zyx
Si queremos elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia
el coeficiente y la cantidad subradical, luego se simplifica el resultado.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
76 76
RADICACIÓN DE RADICALES O RAÍZ DE UNA RAÍZ
mnm n XX
Ejemplos
1) 44 44 55 xxxxxx ; 2) 33 23
2
6
46 43 4222216
3) 44 4 222232 aaa ; 4) 66
1
12
2
12 24 3 2 )()()()())( yxyxyxyxyx
Actividades 4
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DE INDICE DIFERENTE A IGUAL INDICE (MINIMO
COMÚN ÍNDICE)
En esta operación se siguen los pasos siguientes:
1) Se calcula el mínimo común de los índices el cual será el índice común.
Resolver aplicando la regla anterior
1) 2)32( 2) 36 85 )95( nm 3) 2)( yx 4) 2)36( 5) 2)274(
6) 23 )46( 7) 2)2435( 8) 23 )94( a 9) 2)3( ax 10) 2)52(
Para hallar la raíz de una raíz, se multiplican los índices entre sí, se escribe
la misma cantidad subradical, luego se simplifica el resultado si es posible.
Simplificar
1) 8x 2) 5 63125 yx 3) 4 4)( nm 4) 3 43nm 5) 1110243 nm
6) 3 64 7) 5 3729 a 8)
13124 ba 9) 3 256 10) 3 18764 nm
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
77 77
2) Se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de
su radical.
Ejemplos
Transformar a un índice común los radicales 3 2 y 4 3
3 2 ; 4 3 El mcm de los índices (3 y 4) es 12
12 42 ; 12 33 1216 ; 12 27
Actividades 5
RADICALES SEMEJANTES
Ejemplos
1) 3 65 xy ; 3 68 xy Son semejantes porque tienen el mismo índice 3 y la misma cantidad subradical 6xy
2) 4 23 a ; 6 3a No son semejantes porque tienen diferentes índices (4 y 6) y la cantidad subradical
también es diferente.
3) Dados los siguientes radicales 150 y 216 determinar si son semejantes
Solución: Para determinar si estos radicales son semejantes se tienen que simplificar a su mínima expresión,
descomponiéndolos en sus factores primos, así:
Transformar a un índice común cada par o terna de radicales
1) 3 ; 4 5 2) 3 2a ;
4 2b ; 6 4c 3)
9 63m ; 3 32y 4) 8 ; 3 4 5) 5 27ab ; 3 24yx
6) 4 6 ; 8 7) 3 2x ; 9 5y ; 6 3z 8) 3 4 x ; 4 3 32 9) 3 a ; 5 b 10)
8 42x ; 4 342 x
Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más
simple, tienen el mismo índice y el mismo subradical.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
78 78
150 2 216 2
75 3 108 2
25 5 54 2
5 5 27 3
1 9 3
3 3
1
150= 2.3.52 216= 2
3.3
3
150 = 25.3.2 = 653.25
216 = 33 3.2 = 663.23.23.3.2.2 22
Como podemos observar 150 y 216 son semejantes por tener el mismo índice y la misma parte subradical.
Actividades 6
1) Observa los siguientes radicales: 23 ; 35 ; 24 ; 38 ; 27 a) Agrupar los radicales que son semejantes
b) ¿Qué criterio se utilizó para hacer dicha agrupación?
2) Dado los radicales 2 y 162
a) ¿Son semejantes? Justificar la respuesta
b) Simplificar 162 .¿Qué resultado se obtiene?
c) Responder nuevamente la pregunta a.
3) Dados los siguientes grupos de radicales, determinar cuáles son semejantes
a) 125 ; 20 ; 45 ; 180 b) 5 ; 53 ; 56 ; 53
c) 18 ; 24 ; 54 d) ba3
3
4 ;
36 ab ; 33
9
2ba
e) 3 4 yx ; 6 28 yx ; 3 1073 yxx f) 5
3
5
1
5
2
cba ; 2
1
2
1
2
1
cba ; 4
7
4
1
4
3
cba
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
79 79
Extracción de factores en un radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
1 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando .
Ejemplo:
2 Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Ejemplo:
3 Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice.
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el
exponente del factor dentro del radicando .
Ejemplo:
INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR BAJO EL SIGNO RADICAL
Para introducir un factor bajo el signo radical se eleva el factor a una
potencia igual al índice de la raíz.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
80 80
Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Ejemplo:
a)
b)
Ejemplos
Introducir cada factor bajo el signo radical,
a) 32 23 xx Se introduce en el signo radical 3x2 y se eleva al cubo por ser 3 el índice de la raíz
3 32 2)3( xx =3 63 23 xx =
3 6227 xx =3 754x
b) 32
32)32(
x
xx Se introduce (2x+3) y se eleva al cuadrado por ser el índice 2
32
)32(32 2
x
xx = )32)(32( xx = )3()2( 22 x = 94 2 x
Actividades 7
AMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Introducir los factores bajo el signo radical
1) xx 54 2 2) 36 3) 342 xyzzyx 4) 5
5
2 5) 3243 . abccba
6) yx
xyx
2)( 7) 3 23 22 yxx 8)
4 36 32 aa 9) mnnm 27 23
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
81 81
Amplificar por x el radical c ba =
cx xba . en donde a R+ c 2 ; x 1
Ejemplos
a) Amplificar por 2: 6 122.3 2.63 6 aaa
b) Amplificar por 5: 3055
155.6
55
5.36
3
222 a
x
a
x
a
x
Actividades 8
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
La simplificación de radicales, consiste en reducir un radical a su forma más simple, de tal manera que
la cantidad subradical sea entera y de menor grado posible.
Para amplificar una raíz, se multiplica el índice de la raíz y los exponentes de la
cantidad subradical por un mismo número natural mayor que la unidad.
Amplificar por 3
1)5 3a 2)
4 63x 3) 3 4352 ba
Amplificar por 4
4)342 abc 5)
6 623 bca 6) 3 4327 baz
Amplificar por 8
7) 32 yxx 8) ab 9) 6 42316 bca
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
82 82
Ejemplos
Simplificar
a) 35648 cba ; b) yxx 34 189 c) 3
5
a) 35648 cba Se descompone el 48 en sus factores primos. Así: 48= 24 . 3 y con la parte literal se hacen
arreglos necesarios para que los exponentes sean divisibles por el índice de la raíz, así:
a6= a
6 ; b
5= b
4 b
; c
3= c
2c
35648 cba = 246432 bccba Se escribe debajo el signo radical la descomposición factorial y los arreglos de
la parte literal. Luego se dividen todos los exponentes por el índice de la raíz
quedando:
bccba 32 232= bccba 34 23
b) yxx 34 189
Se toma 9x4 como factor común
)2(9 3 yxx Se descompone el 9 en 32 y la x3 en x2 . x
)2(3 22 yxxx Se simplifica dividiendo los exponentes entre el índice de la raíz
)2(3 22 yxxx
c) 3
5
En este caso cuando el denominador es irracional se multiplican ambos términos de la fracción
por una cantidad tal, para que el denominador tenga raíz exacta.
3
5
= 15
3
1
9
15
3.3
3.5
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
83 83
Actividades 9
OPERACIONES CON RADICALES
Suma y sustracción de radicales
Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el
mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para
poder realizar estas operaciones.
Ejemplos:
Si tienes dificultad para entender las respuestas, ve la operación sin la raíz. Recuerda que si
no hay un número antes del signo de raíz, ese número es 1.
1.- 3 + 1 = 4 ; 2.- 5 – 2 = 3 ; 3.- 6 – 1 + 4 = 9 ; 4.- –5 – 3 – 1 = –9
Simplificar los siguientes radicales
1) 16 2) 144 3) x9 4) 249y 5) 38x
6) 3 327y 7) 9
4 8) 250y 9) 2232 yx 10) 349 cb
NOTA IMPORTANTE
Una expresión radical está simplificada si se cumple lo
siguiente:
No existen potencias que sean factores del
radicando.
Ningún radicando contiene una fracción.
Ningún denominador contiene un radical.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
84 84
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Para poder sumar o restar radicales tienen que ser semejantes, si no lo son, se deja la operación indicada.
Radicales semejantes
Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando.
Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes
Ejercicios de sumas y restas de radicales
a) b)
c) d)
e) f)
g)
h)
i)
RESPUESTAS
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
85 85
Multiplicación de radicales del mismo índice:
Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se multiplican las partes sub-
radicales.
1) 333 63.2 2) 5 55 45 2 62.3 aaa
Multiplicación de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican .
a)
b)
Ejercicios de multiplicación de radicales
a)
b)
División de Radicales con igual índice: Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común
y se dividen las partes sub.-radicales.
Con mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el
mismo índice .
Cuando terminemos de realizar una operación e xtraeremos factores del radical , s i es
posible.
Reducción de radicales a índice común
1.-Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices , que será el común índice mci
2.-Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se
multiplica por sus exponentes correspondientes.
a)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
86 86
División de radicales con diferente índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical , si es posible.
Ejercicios de división de radicales
a)
b)
Potencia de radicales:
Para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte sub-radical a dicha potencia.
Para elevar un radical a una potencia , se eleva a dicha potencia el radicando y se deja
el mismo índice .
Ejemplo:
1
2
Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual al producto de los índices.
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los
dos índices .
Ejemplos: 1
2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
87 87
RACIONALIZACIÓN
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que
permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el
cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
1 Racionalización del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
Ejemplos:
1
2
2 Racionalización del tipo Se multiplica numerador y denominador por
.
Ejemplos:
Aplicar el proceso de racionalización de fracciones
con radicales.
8
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
88 88
Actividades 1
3 Racionalización del tipo
Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y
denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
Ejemplos:
1
2
Racionalizar con denominador monomio
1) 11
7 2)
53
40 2ba 3)
4 33
4 4)
3 22 yx
xyxy 5)
2
yx
6) a
ax
52
15 7)
3 5
6 8)
4 33
5
x
x 9)
22 2xx
xy 10) 3
23
xy
yx
Mercedes Hernández Rincón
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89 89
3
Actividades 2
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones
equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama
racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta
multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y
denominador por
Racionalizar con denominador binomio
1) 27
310
2)
28
105
3)
yx
yx
23
4)
252
24
5)
3324
3625
6) 511
6
7)
27
4
8)
23
5
9)
25
25
10)
yxyx
yxyx
Mercedes Hernández Rincón
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90 90
Otro ejemplo. Racionalizar
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por para eliminar la raíz del denominador:
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
, como vemos da el mismo resultado.
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz
cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una
suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
91 91
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión
del tipo
Otro ejemplo: , ahora multiplicamos numerador y denominador por
Ecuación Irracional Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se
aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la
ecuación, para destruir la raíz.
Ejemplo: Resolver x + 25 – x2 = 7
Pasamos al otro miembro la x : 25 – x2 = 7 – x
Elevamos al cuadrado los dos miembros : ( 25 – x2 )
2 = (7 – x)
2
Producto notable: 25 – x2 = 49 – 14x + x
2 donde: a
2 – 2ab + b
2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
92 92
2x2 – 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado :
x = -(-14) ± (14)2 – 4 . 2 . 24 x1 = 14 ± 196 - 192
2 . 2 4
x1 = 14 + 2 x1 = 4 x2 = 14 – 2 x2 = 3
4 4
Actividades 1
Ejercicios:
a) 4x – 3 - x + 6 = x – 3 b) x + 40 – x2 = 8
c) x + 26 – x2 = 6 d) x + 65 – x
2 = 9
e) x + 16 – x2 = 4 f) 3 + x – 8 = 14 – x
g) x + 20 – x2
= 6 h) 4 + x – 7 = 13 – x
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
93 93
R E S U M E N de todo el tema
Expresión de un radical en forma de potencia
Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al
exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
94 94
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices , que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica
por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores . Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando .
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando .
Un exponente es mayor que el índice , se divide dicho exponente por el índice .
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
95 95
exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.
a)
b) =
c) =
d) =
Suma de radicales Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando
sonradicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
a)
b)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
96 96
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
97 97
Producto de radicales
Radicales del mismo índice Para multiplicar radicales con el mismo índice se
multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .
Radicales de distinto índice Primero se reducen a índice común y luego se
multiplican.
a)
b)
Cociente de radicales : Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los
radicandos y se deja el mismo índice.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
98 98
a)
b)
Radicales de distinto índice : Primero se reducen a índice común y luego se
dividen.
a)
b)
Potencia de radicales : Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha
potencia el radicando y se deja el mismo índice.
a)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
99 99
b)
Raíz de un radical : La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo
índice es el producto de los dos índices.
a)
b)
c)
d)
Racionalizar radicales : Consiste en quitar los radicales del denominador , lo que
permite facil itar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
100 100
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
a)
b)
2.- Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
a)
3.-Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos
un radical.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
101 101
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
a)
b)
c)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
102 102
1- Números: menor, mayor e igual
Son palabras que nos permiten entender comparaciones entre los números naturales y de esa forma poder
ordenarlos según uno sea mayor, menor o igual que otro.
Si un número es menor que otro tiene menos cantidad de cifras o números más pequeños. Si queremos
ordenarlos de menor a mayor, debemos ubicar el menor a la izquierda y sucesivamente hacia la derecha, los
mayores.
2- Símbolos
Los símbolos que utilizaremos son >, <, =.
Significados:
> : Mayor Que
< : Menor Que
= : Igual Que
3-Tips
- Los números se pueden ordenar de mayor a menor o viceversa.
- Para ordenar los números rápidamente podemos contar cuantos dígitos tienen.
- Si tienen la misma cantidad de dígitos, debemos saber cuál está más cerca del cero y ese es el menor.
Lo importante es saber que la punta del signo siempre tiene que mirar al número menor y la abertura mira al
número mayor.
Algunos ejemplo:
Aplicar e las relaciones de orden > y < en R.
Aplicar la compatibilidad de la adición y
multiplicación con relación de orden en R.
9
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
103 103
Si te das cuenta no importa el orden de los números. Siempre la punta del signo está mirando al número
16, que en este caso es el menor.
RELACIÓN Y EN R
En la recta numérica observamos que los números situados a la derecha del cero son positivos y los que
están a la izquierda son negativos.
Como por ejemplo, establezcamos una comparación con 32 y 3 y decimos que 32 es mayor que
3 por estar 32 a la derecha de 3 .
En general:
Se denota así: a > b y se lee a es mayor que b
Análogamente podemos establecer:
Dados dos números a y b R, decimos que “a” es mayor que “b”, si “a” está situado
a la derecha de “b” sobre la recta numérica.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
104 104
Se denota así: a b y se lee a es menor que b
Al avanzar de izquierda a derecha en la recta numérica las coordenadas de los puntos son mayores.
En una recta numérica podemos concluir:
Si un punto está a la derecha de otro, su coordenada es mayor.
Si un punto está a la izquierda de otro, su coordenada es menor.
Ejemplos
a) 5 -3 (5 es mayor que -3) porque 5 está a la derecha de -3
b) -6 -1 (-6 es menor que -1) porque -6 está a la izquierda de -1
c) -7 -10 (-7 es mayor que -10) porque -7 está a la derecha de -10
Esta relación se puede expresar así: x y x – y 0
x y y - x 0
Existen otros dos símbolos para indicar desigualdad que son (menor o igual a) y (mayor o igual a).
RELACIÓN MAYOR O IGUAL A( ) EN R
Dados dos números a y b R, decimos que a es mayor que b si se cumple alguna de las siguientes
condiciones:
“a es mayor que b”
Condiciones
“a es igual a b”
Estas dos condiciones se denotan así: a b
Dados dos números a y b R, decimos que “a” es menor que “b”, si “a” está
situado a la izquierda de “b” sobre la recta numérica.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
105 105
RELACIÓN MENOR O IGUAL A ( ) EN R Dados dos números a y b R, decimos que a es menor que b si se cumple alguna de las siguientes
condiciones:
“a es menor que b”
Condiciones
“a es igual a b”
Estas dos condiciones se denotan así: a b
Ejemplos
b) Utilizando el símbolo “<” ordena de forma decreciente el siguiente grupo de números con una aproximación
por defecto a las décimas
3,5 ; 3
8 ; 3
Relación en R Relación en R
1016 porque 16-10=6 R+
4
3 3 porque 3 -
4
3=1,2 R
+
3
5
2
7 porque
2
7-
3
5= 1,83 R
+
3
2 7 porque 7 -
3
2=1,97 R
+
3 4 porque 3 4
4
9
4
9porque
4
9 =
4
9
1515 porque 15 = 15
π πporque π =π
Relación en R Relación en R
3
20,5 porque 0,6-0,5=0,1 R
+
8 > 3 porque 2,82-1,73=1,09 R+
5 3 porque 2,23-1,73=0,5 R+
2 2 porque 21,41 R+
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
106 106
Solución: como 3
8= 2,6 ; 3 = 1,73 entonces ordenado 3 <
3
8< 3,5
c) Usando el símbolo “” ordena de forma decreciente los siguientes números
9
2;
5
3;
2
1; 0,4
Solución: como 9
2= 0,47 ;
5
3= 0,6 ;
2
1=0,5 entonces ordenado
5
3
2
1
9
2 0,4
Actividades 1
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN CON RELACIÓN A LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN ADICIÓN DE UN NÚMERO REAL A AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD
Ejemplos
a) Dada la desigualdad 5 3 sumar 3 a ambos miembros
5 + 3 3 + 3
8 1,73 + 3 8 4,73
Dada las siguientes relaciones, señalar con una V si es verdadera o con una F si es falsa
1) -2 < -1 _____ 2) -8 < -4 _____ 3) -3 -7 _____ 4) -15 -20 _____ 5)-21-27 _____
6) -9 -12_____ 7) -6-(-4)_____ 8) -9-(-6) _____ 9)0-(-2) _____ 10)6 > - (-2) _____
Dados a,b,c,d R
Si se suma a los dos miembros una desigualdad
un mismo número real, el sentido de la
desigualdad no se altera.
Si a b a + c b + c
Si a b a + c b + c
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
107 107
b) Dada la desigualdad 9 6 sumar -6 a ambos miembros
9 + (-6) 6 + (-6)
3 2,44 - 6 3 -3,56
Actividades 2
MULTIPLICACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL POSITIVO
Ejemplo
Dada la desigualdad 3 2 multiplicar por 3 a ambos miembros
3. 3 3. 2
3. 1,73 3. 1,41
5,19 4,23
Dada las siguientes desigualdades
1) 4 3 Sumar 3 a ambos miembros 2) - 5 3 Sumar -2 a ambos miembros
3) -3+7<8 Sumar 4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Sumar 5 a ambos miembros
5) 0 > – 4 Sumar 2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Sumar -6 a ambos miembros
7) 6 -2 2- 6 Sumar 5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Sumar 9 a ambos miembros
9) 12 5 3π Sumar -4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Sumar 10 a ambos miembros
Dados a,b,c,d R
Si se multiplican los dos miembros de una
desigualdad por un mismo número real
positivo, el sentido de la desigualdad se
mantiene.
Si a b y c > 0 a.c b.c
Si a b y c > 0 a.c b.c
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
108 108
Actividades 3
MULTIPLICACIÓN DE AMBOS MIEMBROS DE UNA DESIGUALDAD POR UN NÚMERO REAL NEGATIVO
Ejemplo
Dada la desigualdad 3 5 multiplicar por -6 a ambos miembros
-6. 3 -6. 5
-18 -6. 2,23
-18 -13,38
Dada las siguientes desigualdades
1) 4 3 Multiplicar 3 a ambos miembros 2) - 5 3 Multiplicar 2 a ambos miembros
3) -3+7<8 Multiplicar 4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Multiplicar 5 a ambos miembros
5) 0 > – 4 Multiplicar 2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Multiplicar 6 a ambos miembros
7) 6 -2 2- 6 Multiplicar 5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Multiplicar 9 a ambos miembros
9) 12 5 3π Multiplicar 4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Multiplicar 10 a ambos miembros
Dados a,b,c,d R
Si se multiplican los dos miembros de una
desigualdad por un mismo número real
negativo, el sentido de la desigualdad se altera.
Si a b y c 0 a.c b.c
Si a b y c 0 a.c b.c
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
109 109
Actividades 4
Actividades 5
Dada las siguientes desigualdades
1) 4 3 Multiplicar -3 a ambos miembros 2) - 5 3 Multiplicar -2 a ambos miembros
3) -3+7<8 Multiplicar -4 a ambos miembros 4) 9- 5 2 + 3 Multiplicar -5 a ambos miembros
5) 0 > – 4 Multiplicar -2 a ambos miembros 6) -8+ 2 2 + 7 Multiplicar -6 a ambos miembros
7) 6 -2 2- 6 Multiplicar -5 a ambos miembros 8) 8 - 6 π+ 5 Multiplicar -9 a ambos miembros
9) 12 5 3π Multiplicar -4 a ambos miembros 10) 7+ 15 3+ 7 Multiplicar -10 a ambos miembros
Colocar sobre el guión el signo que corresponde ;
1) 5 _____2 5 + 3 _______ 2 + 3
2) 3 _____ 8 3 .2 _______ 8 .2
3) 4
3 _____ 2,3
4
3.(-3) _______2,3 . (-3)
4) 3,26 _____2,76 3,26.3 _______ 2,76 . 3
5) 4
7 _____
7
4
4
7 . (-2,3) _______
7
4. (-2,3)
6) 6,63 _____ 2,34 6,63. (-8) _______ 2,34 . (-8)
7) 9_____5
3 9 .
4
3 _______
5
3.4
3
8) 4
13_____
5
8
4
13+
2
1 _______
5
8+
2
1
9) 14 _____ 6
5 14 .2 _______
6
5. 2
10)2-x _____5 (2-x) . -1 ____ 5 . (-1)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
110 110
En este capítulo vamos a ver una pequeña explicación sobre Valor absoluto
Observa la recta numérica representada en la figura dada a continuación. Si medimos la distancia que existe entre
0 y 3 encontramos que es igual a la distancia que existe entre 0 y -3, esa distancia es de 3 unidades.
La distancia entre 0 y un número real positivo x es igual a la distancia entre el 0 y el número real negativo –x.
A esta distancia se la conoce con el nombre de valor absoluto de un número real x y se denota así:
Valor absoluto de x = |x| = x
Valor absoluto de -x = |-x| = x
Alguien puede pensar que el valor absoluto de un número es el número de unidades que representa sin importar
su signo.
De estas dos relaciones podemos concluir que:
El valor absoluto de un número siempre es positivo
Resolver ecuaciones en las cuales se utilice el valor
absoluto de números reales.
10
¡¡Te recomendamos que
leas!!!!!!!
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
111 111
Distancia entre dos números reales
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto
de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
Ejemplo:
La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| =
= |4 + 5| = |9|
Ejemplos
a) Encuentre el valor absoluto de enteros: a) |-6| ; b) |9|; c) |0| ; d) -|-4|
a) |-6| = 6 -6 son 6 unidades desde 0
b) |9|= 9 9 son 9 unidades desde 0
c) |0| = 0 0 son 0 unidades desde 0
d) -|-4| = -4 son 4 unidades desde 0
Todo número decimal y fracción también tiene un valor absoluto, el cual es su distancia que tiene desde
cero.
b) Encontrar el valor absoluto de: |-4
3| y |8,5|
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
112 112
Solución: |-4
3| =
4
3 ; |8,5|= 8,5
Actividades 1
Propiedades del Valor Absoluto
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
Ejemplo:
|5| = |−5| = 5
2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |a · b| = |a| ·|b|
Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
|−10| = |5| · |2|
10 = 10
3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los
sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
Hallar el valor absoluto de:
1) | π | 2) | 3 | 3) |-2| 4) | 5
2 |
5) | 6 | 6) |2
7| 7) |
5
2 | 8) | 11 |
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
113 113
Ejemplo:
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| = |5| + |2|
3 ≤ 7
OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplos
Resolver:
a) |3
2+4| = |
3
122 | =|
3
14 | =
3
14
b) | 8 – 15 + 4| + 9 + |5
2+
4
3| = |-3| + 9 + |
20
158 | = |-3| + 9 + |
20
23| = 3 + 9 +
20
23=
20
23240 =
20
263= 13
20
3
c) |2
54|= 102
2
104
2
104
2.2
2.54
2
Actividades 2
Resolver los siguientes ejercicios
1) |12
2| 2) |
2
99 | 3) |
a3
3| 4) | 160250 | 5) | 10.6 |
6) |2
5 | 7) | 5032 | 8) | 63283 | 9) | 1923004 | 10) | 3.21 |
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
114 114
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EN R
x si x 0
f: R R´ f(x) =
-x si x < 0
Ejemplos
Dadas las funciones, hallar en cada uno su valor:
a) f(x) = |2x+4| Hallar f(2) y f(-2)
f(2) = |2.(2) + 4| = |4+4|= |8|=8 f(-2) = |2.(-2) + 4| = |-4+4|= |0|=0
b) f(x)= | 3 . x-3 2 | Hallar f( 6 )
f( 6 )= | 3 . 6 -3 2 | = | 2318 |= | 233.2 2 |= | 2323 |=|0|=0
Actividades 3
Una función valor absoluto es una aplicación que va de R en R, tal que a cada
número real le corresponde su valor absoluto
1) Dada la función f(x) = 4
5 + |4x+2| Hallar f(3)
2) Dada la función f(x) = | 325 x | Hallar f(4) ; f(16)
3) Dada la función f(x) = | 43
1 x | Hallar f(-3) ; f(-12)
4) Dada la función f(x) = |-8x – 2| Hallar f(-2) ; f(-3)
5) Dada la función f(x) = |5x + 4 | + |x-2| Hallar f (4
9) ; f (
3
1)
6) Dada la función f(x) = | 6 . x+ 2 | Hallar f( 3 )
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
115 115
ECUACIONES DE LA FORMA |ax + b|=0
Cuando se resuelve este tipo de ecuaciones se hallan todos los valores que confirman la igualdad,
basándose en las propiedades de valor absoluto.
a) Resolver la ecuación |x| = 6
Solución: Utilizando la propiedad obtenemos x=6 ó x= -6
El conjunto solución es: -6 ,6
b) Resolver la ecuación |x| = 0
Solución: El único número real cuyo valor absoluto es igual a 0 es 0
El conjunto solución para |x|=0 es 0
c) Resolver la ecuación |x| = -3
Solución: El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones a esta ecuación.
El conjunto solución es (vacío)
d) Resolver la ecuación |2w-1| = 5
Solución: A simple vista no parece ser de la forma |x|=a. Sin embargo hagamos
2w -1 = x y 5= a, y entonces verá la ecuación de esta forma.
Buscamos los valores de w tales que 2w-1 esté exactamente a 5 unidades del 0 en la recta numérica.
Así: 2w-1 debe ser igual a 5 ó -5
2w -1 = 5 ó 2w -1 = -5
2w= 5+1 ó 2w = -5 + 1
2w= 6 ó 2w= -4
w= 2
6 ó w=
2
4
w= 3 ó w= -2
El conjunto solución es: 3,-2
|x|= a x = a ó x = -a
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
116 116
Comprobación
Cada una de las soluciones 3 y -2 hacen que 2w-1 esté a 5 unidades del 0 en la recta numérica.
El conjunto solución es -2,3
e) Resolver la ecuación | 3
2 w -6| +4 = 6
Solución: iniciamos por restar 4 de ambos lados de la ecuación para dejar solamente el valor absoluto en un
lado de la ecuación.
| 3
2 w -6| +4-4 = 6-4
| 3
2 w -6| = 2
Seguidamente se procede como en el ejemplo anterior escribiendo los dos casos:
3
2 w -6 = 2 ó
3
2 w -6 = -2
3
2 w = 2+6 ó
3
2 w = -2 +6
3
2 w = 8 ó
3
2 w = 4
mcm=3 mcm=3
2w= 8.3 2w= 4.3
2w=24 2w= 12
w=2
24 w=
2
12
w=12 w=6
El conjunto solución es: 6,12
w=3
|2w-1|=5
|2(3)-1|=5
|6-1|=5
|5|=5
5=5 cierto
w=-2
|2w-1|=5
|2(-2)-1|=5
|-4-1|=5
|-5|= 5
5=5 cierto
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
117 117
Actividades 4
RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA |a|= |b|
Propiedad
Cuando se resuelva una ecuación con valor con una expresión con valor absoluto en ambos lados
del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben
ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.
Ejemplos
a) Resolver la ecuación |w+3| = |2w-7|
Solución: Sea w+3= x y 2w – 7 = y, observamos quees ta ecuación es de la forma |x|=|y|
Resolver los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de valor absoluto
1) |4x+1|=2
3) | 2
x | =4
5) 5 = |3(4-x) – 18 |
7) | 2
35 x | +2 = 6
9) |4x -11| =5
2) |21-6x+8x|=27
4) |17-x-2x| = -1
6) | 5 (5-2x) – 7 (2x-5) | = 12
8) | 6
3 zx | -3 = 6
10) |2(9x-49) -15x | = 46
Si |x| = |y|, entonces x=y o x= -y
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
118 118
Usamos la propiedad anterior y obtenemos las dos ecuaciones
w + 3 = 2w – 7 ó w + 3 = -(2w – 7)
Ahora resolveremos cada una de las ecuaciones
w + 3 = 2w – 7 ó w + 3 = -2w + 7
w -2w = – 7-3 ó w + 2w = 7 - 3
-w = – 10 ó 3w = 4
w = 10 ó w = 3
4
Conjunto solución 10, 3
4
Comprobación
b) Resolver la ecuación: | 5)53( x | = 3
w=10
|w+3|=|2w-7|
|10+3|=|2(10)-7|
|13|=|20-7|
|13|=|13|
13=13
w= 3
4
|w+3|=|2w-7|
|3
4+3|=|2(
3
4)-7|
|3
94 |=|
3
8-7 |
|3
13|= |
3
13 |
3
13=
3
13
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
119 119
Solución: Usando la propiedad anterior obtenemos las dos ecuaciones:
5)53( x = 3 5)53( x = - 3
x)53( = 53 x)53( = - 53
Despejando x Despejando x
53
53
x
53
53
x
Se racionaliza el denominador multiplicando por la conjugada del denominador así:
53
53.
53
53
x
53
53.
53
53
x
22
2
)5()3(
)53(
x
)5()3(
2515159
2
x
53
)5(5.32).3( 2
x
2
2
53
53
x
2
1528
x 1x
154x
Conjunto solución: -1, -4, 15
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
120 120
Actividades 5
Actividades 6
Calcular el valor absoluto con aproximación a las milésimas
1) | 35 |-2
3) 6 | 7 | -3 | 132 |
5) 273552482
7) 82454
9) 52336
2) 82454
4) 232
2
6) 75121
8) 1533
9
10) 42
615
x
x
Resolver las siguientes ecuaciones
1) 63
423
xx
3) 03)36( x
5) 4
3 85 xx
7) 5234 xx
9) 42
65
x
x
2) 936 xx
4) xx3
5432
6) 5.69.5 xx
8) 03)36( x
10) 5353 xx
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
121 121
Ejercicios
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
Ejemplo 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1. 2.
3.
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
122 122
En estudios realizados hasta el momento se puede establecer que:
Existe un punto y sólo uno en la recta numérica que corresponde a un número real.
Existe exactamente un número real correspondiente a un punto dado en la recta numérica.
Estas dos proposiciones concluyen que la relación que hace corresponder a un número real un punto sobre
la recta es una función biyectiva.
Ejemplo
En la figura se muestra parte del sistema de coordenadas reales o recta numérica
Como se puede observar en la figura:
a) La coordenada de A es 2 y se escribe A(2)
b) La coordenada de B es 5 y se escribe B(5)
c) La coordenada de C es -3 y se escribe C(-3)
E n donde: 2 es la abscisa de A ; 5 es la abscisa de B y -3 es la abscisa de C
Determinar las coordenadas de un punto dado de la
recta real.
11
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
123 123
CARACTERÍSTICA DE LA RECTA REAL
1) Es densa: entre dos números reales dados existe otro número real, es decir, en la recta real no existen
espacios vacíos. Ejemplo. Tenemos dos números 2, 134 y 2, 135 se puede calcular otro número
comprendido entre dichos números y uno de ellos es:
1345,22
269,4
2
135,2134,2
2) Es ordenada: la recta real es ordenada por existir un orden en los números reales.
3) Es abierta: la recta real no tiene límites ni hacia la derecha ni hacia la izquierda del cero, ellos se extienden
desde + hasta - .
Ejemplos
Dada la recta real
a) Si af y bf tienen la misma longitud, ¿Cuál es la coordenada de f?
Solución: como af y bf tienen la misma longitud, el punto f está ubicado en la mitad de la longitud de ab. Por
consiguiente su coordenda es: f=2 +0,5 = 2,5
b) Si cg y dg tienen la misma longitud, ¿Cuál es la coordenada de g?
Solución: como las longitudes de cg y dg son iguales g está situado en la mitad del segmento y por
consiguiente su coordenada es: g= -1-1= -2
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124 124
Actividades 1
Actividades 2
1) En la figura se representa un sistema de coordenadas en una recta, donde los puntos
tienen sus coordenadas:
Responder: n
a)¿Cuál es la coordenada de a; b; k; d
b)¿Cuál es la coordenada de e; m; f; g
c) Si ai y ib tienen igual longitud. ¿ cuál es la coordenada de i?
d) Si bj, jc y ck tienen igual longitud, ¿cuáles son las coordenadas de j y k ?
e) Si em y fm tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de m?
f) Si gn y hn tienen la misma longitud, ¿ cuál es la coordenada de?
1) Representar los elementos del conjunto S sobre la recta real
S= -5; -3; 2,5; 15; 4
2) En la siguiente figura mostramos varios puntos sobre la recta real:
a) Escribe las abscisas de cada punto
b) Si bh y ch tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de h?
c) Si fi y ei tienen la misma longitud, ¿cuál es la coordenada de i?
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
125 125
Sistema de Coordenadas
Definiciones:
a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.
b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por infinitos puntos, por lo
tanto, una recta es un conjunto de puntos.
Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * *
a b
Se anota: ab recta “ab”
c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está formado por infinitos puntos,
por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una recta es un subconjunto del plano que las contiene.
Sistema de Coordenadas y
II I x
III IV
Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro subconjuntos llamados cuadrantes.
Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema
de coordenadas rectangulares.
Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas dadas.
Ejemplo:
L’
0 L
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126 126
Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte son (a y b)
L’
b
0 a L
Se observa que el par (a , b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a, b) ε R x R.
Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).
Representar puntos en el plano:
a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,5)
y
5
4
3
2
1
x
-2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
p
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127 127
Actividades 1
Curiosdades Matemáticas
Descomponer números
*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias
formas.
Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos
cubos perfectos, de dos maneras distintas?.
Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+9
3=12
3+1
3
*Prueba tu habilidad con los números:
a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves?
b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?.
Ejemplo: 100=111-11.
c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.
Ejercicios: Representar los siguientes puntos:
1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9) 2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)
3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9) 4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)
5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0) 6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)
7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3) 8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
128 128
DISTANCIA Y VALOR ABSOLUTO
La distancia de un punto A a otro B está dado por la longitud del segmento y se denota así:
d(AB).
Observemos en la recta R que = 4 y = 1 y lo denotamos así: d(AB) = 4 y d(BC)=1
Para calcular la distancia entre dos puntos se toma el valor absoluto de la diferencia entre coordenadas de
los puntos.
Determinar la distancia entre A y B, entre B y A.
d(A,B) = |A-B| = |0-4| = |-4|= 4 d(B,A) = |B-A| = |4-0| = |4|= 4
Para determinar la distancia entre A y B o entre B y A se aplica la propiedad del valor absoluto.
|A-B| = |B-A|
Quiere decir que: d(A,B) = d(B,A)
En general:
Si A es un punto de abscisa x y B es un punto de abscisa y la distancia entre A y B
es igual al valor absoluto de la diferencia de las abscisas o coordenadas.
d(A,B) = |y-x|
Calcular la distancia entre dos puntos de la recta real.
12
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
129 129
Ejemplos a) Dado el punto A(6), hallar la distancia desde el punto A hasta el origen.
d(A,0) = |A| = |6| = 6 ; d(A,0) = 6
b) Dados los puntos A(10) ; B(6), hallar la distancia AB
d(A,B) = |A-B| = |10-6| = |4|=4 ; d(A,B) = 4
Actividades 1
Actividades 2
Dados los puntos A(9); B(5); C(4); D(2), hallar:
1) d(A,0) 2) d( B,0) 3) d( C,0) 4) d(D,0) 5) d( A,B)
6) d( C,B) 7) d( D,A) 8) d(B,D) 9) d(C,A) 10) d(A,C)
Dados los puntos A(5); B(-8); C(10); D(5
3), E(
6
18 ); F( 6) hallar:
1) d(A,B) 2) d( B,C) 3) d( C,D) 4) d(A,F) 5) d( B,D)
6) d( A,D) 7) d( D,A) 8) d(D,B) 9) d(D,C) 10) d(A,E)
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
130 130
NÚMEROS, SEGMENTOS Y SEMIRRECTAS
En la recta siguiente se ha señalado la semirrecta correspondiente a los números x que son mayores o
iguales que 2
En esta se muestra el segmento correspondiente a los números x comprendidos entre -2 y 3, excluido el -
2 e incluido el 3.
Como el -2 está excluido se indica con un hueco (o), el 3 está incluido y se indica con un punto negro
( ).
Actividades 1
1) Para cada uno de los casos siguientes, dibujar una recta numérica y
señalar en ella la semirrecta o segmento que corresponda
a) Números menores que 5
b) Números comprendidos entre -2 y 6 ambos incluidos
c) Números mayores o iguales que -3
Identificar intervalos en la recta real.
Usar la notación de intervalos como subconjunto de R.
Representar intervalos en la recta de R.
13
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
131 131
Representar intervalos:
Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b. A cada uno de estos números le corresponde un punto
de la recta real.
a b
A B
Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en la recta real se interpreta
como el segmento comprendido entre los puntos a y b.
Definición de intervalo Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos
dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que
b(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que
a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos
los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los
números reales mayores o iguales que a y menores que b.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
132 132
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Nomenclatura para varios conjuntos Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más
de estos intervalos, se utiliza el símbolo unión; y el símbolo ∩ intersección) entre ellos.
Ejemplos Representar gráficamente
1) 3 , 6 ∩ -5 , 8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
entonces 3 , 6
2) -3 , 5 ∩ 2 ,
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
entonces 2 , 5
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
133 133
Ejercicios
Elige la opción correcta:
1En el interva lo es tá fo rmado por . . .
todos los números mayores que 2 sin estar este incluido.
todos los números mayores que 2 inluido este .
todos los números mayores que 2 y menores que 10 000.
2El intervalo es equivalente a la expres ión. . .
3El intervalo es equivalente a la expres ión. . .
4Escr ibir es equiva lente a escr ibi r
5La representación ind ica todos los números. . .
mayores o iguales que 3. mayores que 3. menores que 3.
6La representación gráfica ind ica todos los números. . .
menores que 1. menores o igua les que 1. mayores o iguales que 1 .
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
134 134
7La representación gráfica es equiva lente a escr ibir . . .
8La representación gráfica se corresponde con la expresión. . .
9La representación gráfica se corresponde con la expresión. . .
10El intervalo se representa gráficamente como. . .
Si t ienes dudas puedes consultar la teoría
Puntuación:
Actividades 2
1)Escribir tres números reales pertenecientes a cada intervalo
a) [-1,5] b) (-3,-2) c) [-2,5;2] d) [7,25; 7,24] e) (4;8) f)[5,9]
2) Representar en una recta numérica
a) -3<x b) 0 > x c) x -5 d) 2,15x
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
135 135
a)Expresar en forma de conjunto los siguientes intervalos y escribir qué tipo de intervalo es:
Intervalo Forma de conjunto Tipo de intervalo
[2,6] {xR / 2 x 6} Cerrado por ambos lados
(-5,9) {xR/-5<x<9} Abierto por ambos lados
(2
1, 15 ) {xR/
2
1<x< 15 }
Semiabierto por la izquierda
(7,) {xR/x>7} Infinito
b) Representar gráficamente el siguiente intervalo
A={xR/ 1< x 3}
Actividades 3
a)Expresar en forma de conjunto los siguientes intervalos y escribir qué tipo de intervalo es:
Intervalo Forma de conjunto Tipo de intervalo
[2,4] {xR / 2 x 4} Cerrado
(-2,7)
(3
1, 13 )
(4,)
(-, 4
9 )
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
136 136
Actividades 4
a)Expresar en forma gráfica y de intervalo los siguientes conjuntos:
1) A={xR/5 x 10} 2) B={xR/-3 x 6}
3) C={xR/ x 12} 4) D={xR/ x 5}
5) E={xR/x -6} 6) F={xR/2 x}
7) G={xR/5 x 13} 8) H={xR/ x π}
9) I={xR/3 x 9} 10) J={xR/x
4
5 }
OPERACIONES CON INTERVALOS Y SEMIRRECTAS
Unión e intersección de intervalos Los intervalos son conjuntos numéricos y con ellos podemos realizar operaciones de unión e
intersección.
Unión de intervalos
Ejemplos
a) Calcular gráficamente: [1,3] [2,5]
Se denomina unión de dos intervalos A y B al conjunto formado por los elementos
que pertenecen al intervalo A o al intervalo B
A B={x/x A o x B}
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
137 137
Solución: [ 1,3] [2,5] = [1,5]
b) Calcular gráficamente: (4,) (-,1]
Solución: ( 4,+) (-,1] = [-,1]
Intersección de intervalos
Ejemplos
a) Representar gráficamente: [-1,2) [1,3]
Se denomina unión de dos intervalos A y B al conjunto formado por los elementos
que pertenecen simultáneamente al intervalo A y al intervalo B
A B={x/x A y x B}
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
138 138
Solución: [-1,2) [1,3] = [-1,2)
b) Representar gráficamente: (-,4] (2,+)
Solución: (-,4] (2,+) = (2,4]
c) Representar gráficamente: (-2, +] (3,+)
Solución: [-2, +) [3, +) = [3, +)
Actividades 5
Representar gráficamente
1) [3,6] [5,7] 2) (-2,8) (-1,9)
3) (-,3] [2, + ) 4) (- ,6) [-3,7]
5) (-6,0) [1,6] 6) [-4,4 ] (5,7]
7) {xR/2 x 7} {xR/2x8} 8){xR/ -5x 1} {xR/-3x3}
9) {xR/4 x 5} {xR/2 x 4} 10) {xR/x 7} {xR/x 3}
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
139 139
Desigualdades e inecuaciones de primer grado
Una expresión de la forma 5x – 2 2x + 4 es una inecuación para ciertos valores de x.
Concepto de inecuación
Inecuaciones: Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la transforma en
una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una inecuación es una semirrecta.
Resolución de inecuaciones Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades o criterios.
1.- Propiedades de suma y resta de las desigualdades Si sumamos o restamos una misma expresión polinómica en ambos miembros de una desigualdad, obtenemos
una desigualdad equivalente.
Si x y x+a y+a
o
Si x y x-ba y-b
Si x y x+a y+a
o
Si x y x-b y-b
2.- Propiedades de multiplicación y división de las desigualdades para números positivos Puede multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por, o entre cualquier número positivo y obtener
una desigualdad equivalente.
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde cada una
de estas expresiones es un miembro de la inecuación.
Los valores de las incógnitas que hacen que sea cierta la desigualdad son llamados
soluciones de la inecuación.
Resolver inecuaciones de primer grado con una
incógnita.
Resolver inecuaciones de primer grado con valor
absoluto.
Resolver sistema de inecuaciones de primer grado.
14
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
140 140
Si x y y a 0 ax ay
Si x y y a 0 a
x
a
y
Si x y y a 0 ax ay
Si x y y a 0 a
x
a
y
3.- Propiedades de multiplicación y división de las desigualdades para números negativos Puede multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por, o entre cualquier número negativo y obtener
una desigualdad equivalente. Esto invierte el sentido de la desigualdad.
Si x y y a 0 ax ay
Si x y y a 0 a
x
a
y
Si x y y a 0 ax ay
Si x y y a 0 a
x
a
y
Ejemplos
Uso e las propiedades de suma y resta para resolver y graficar desigualdades a) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 3x – 2 < 2(x-2)
3x – 2 < 2(x-2)
3x – 2 < 2x-4 Propiedad distributiva
3x – 2 + 2< 2x-4+2 Sume 2 a ambos miembros
3x < 2x – 2 Simplifique
3x - 2x < 2x – 2x -2 Reste 2x (o sume -2x) en ambos miembros
x < -2 Simplifique
Cualquier número menor que -2 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:
b) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 4(x+1) 3x+7
4(x+1) 3x+7
4x +4 3x+7 Propiedad distributiva
4x +4-4 3x+7-4 Reste 4 a ambos miembros
4x 3x + 3 Simplifique
4x- 3x 3 Reste 3x (o sume -3x) en ambos miembros
x 3 Simplifique
En forma de intervalo ( - , -2)
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
141 141
Cualquier número mayor o igual que 3 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:
Uso de las propiedades de la multiplicación y división con números positivos
a) Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 5x +3 2x+9
5x +3 2x+9
5x +3-3 2x+9 -3 Reste 3 (o sume -3)
5x 2x+6 Simplifique
5x - 2x 2x – 2x + 6 Reste 2x (o sume -2x)
3x 6 Simplifique
3
3x
3
6 Divida entre (o multiplique por el recíproco de 3)
x 2 Simplifique
Cualquier número menor o igual que 2 es una solución. La gráfica de esta desigualdad es:
Uso de las propiedades de la multiplicación y división con números negativos
Resolver y graficar la desigualdad en una recta numérica: 3 (x -2) 5x + 2
3 (x -2) 5x + 2
3x -6 5x + 2 Propiedad distributiva
3x-6+6 5x+2+6 Sumamos 6 a ambos miembros
3x 5x + 8 Simplificando
3x -5x 5x-5x +8 Restamos 5x ( o sumamos -5x)
-2x 8 Simplificando
2
2
x
2
8
Dividimos por -2 (o multiplicamos por -2 e invertimos el sentido de desigualdad)
x -4 Simplifique
( - , 2]
En forma de intervalo [3 , +)
Cualquier número mayor o igual que -4 es una
solución. La gráfica de esta desigualdad es: [-4, +)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
142 142
En conclusión si se suma un número positivo o negativo a los dos miembros de una desigualdad,
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la primera.
ab a+ c b + c
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad
que resulta no varía su sentido. Si se multiplican o dividen por un mismo número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14
x ≥ 14 – 2 = x ≥ 12 = x ≥ 4
3 3
0 1 2 3 4 5
4 ,
1 Resolver las s iguientes inecuaciones
1
3
2 Resuelve el s is tema:
2
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
143 143
3 Resolver las inecuaciones:
1 7x2 + 21x − 28 < 0
4 Resuelve :
1
5 Resolver las inecuaciones:
1
Resolución de Problemas por medio de una desigualdad
a) Se tiene un triángulo que tienen una base de 5 cm. ¿Cuál debe ser su altura, si el área es de 302 cm o más?
DATOS
FÓRMULA RESOLUCION
b= 5cm
S= 30 cm2
h= ?
2
.hbS
2
.5 h 30 Corresponde al enunciado original
2.302
2..5
h Se multiplica por 2
605 h Simplificando
5
60
5
5
h Se divide por 5 ambos miembros
h12
b) Un camión se desplaza por una autopista en línea recta con una rapidez de 10 Km/h. La distancia recorrida se
expresa en función del tiempo por la ecuación x=10t + 2. Hallar el intervalo de tiempo cuando el camión se
encuentre entre el Km 22 y el Km 42.
2 −x2 + 4x − 7 < 3
2 x4 − 25x
2 + 144 < 0
3 x4 − 16x
2 − 225 ≥ 0
2
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
144 144
RESOLUCION
Condición del problema 22 x 42
Sustituyendo x tenemos 22 10t+2 42
Sumamos (-2) 22 - 2 10t+2 -2 42- 2
Resolvemos 20 10t 40
Dividiendo por 10 tenemos 2 t 4
El intervalo de tiempo es [2,4 ], que está comprendido entre 2h y 4h después de
haber iniciado el recorrido.
Actividades 5
a) Escribe la información dada como una desigualdad
1) La temperatura t en su refrigerador se encuentra entre 20°F y 40°F.
2) El salario S de José para este año está entre Bs 12000 y Bs 13000.
3) c) En un camión se cargan dos contenedores de igual peso y otro bulto de 4
unidades. ¿Entre qué valores puede oscilar el peso de cada contenedor sabiendo que la
carga máxima del camión es de 18 toneladas.
4) José obtuvo calificaciones entre 14, 15, 18 y 19 puntos en sus primeros cuatro
exámenes. ¿Cuál debe ser la calificación de su quinto examen para conservar un
promedio de 18 puntos o más.
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145 145
INECUACIONES VALOR ABSOLUTO
Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Resolver inecuaciones que contienen expresiones con valor absoluto.
Expresar la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto en la forma de intervalo o
como conjunto.
Trazar en la recta real la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto.
Introducción
En el tema de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0En esta
sección vamos a ver que la solución de la ecuación ∣ x ∣ = a determina la frontera
entre ∣ x ∣ < a y∣ x ∣ > a Donde x es una variable o una expresión algebráica y a un número real positivo.
El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a,
entonces x = a o x = - a .
Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos: Aislar la
expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de
desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los
intervalos en la recta numérica.
Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.La solución
la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar
de distintas formas:
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Como intervalo
Como conjunto
Gráficamente
Ejemplos
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la
inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de
cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación
determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14 x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada
intervalo.
Intervalo Punto de
Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el
punto de prueba.
( - ∞ , 14 ) x = 0 ∣ 0 - 20 ∣ = 20
( 14 , 26 ) x = 15 ∣ 15 - 20 ∣ = 5
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147 147
( 26 , ∞ ) x = 27 ∣ 27 - 20 ∣ = 7
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman
todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado
izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En
la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto:
x 14 ≤ x ≤ 26
Expresando la solución como intervalo
[ 14 , 26 ]
Gráficamente
Ejemplo 2:
Resolver la siguiente inecuación ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. Aplicando propiedades de
desigualdades podemos realizar operaciones para aislar la expresión con valor absoluto al lado izquierdo de la
ecuación. ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 ≥ 0 ∣ 3 - 4 x ∣ - 9 + 9 ≥ 0 + 9 ∣ 3 - 4 x ∣ ≥ 9
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo
de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos
en la recta numérica.
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Vamos a resolver la ecuación:
∣ 3 - 4 x ∣ = 9
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
3 - 4 x = - 9 3 - 4 x - 3 = - 9 - 3 - 4 x = - 12 - 4 x - 4= - 12 -
4 x = 3
3 - 4 x = 9 3 - 4 x - 3 = 9 - 3 - 4 x = 6 -
4 x - 4 =6 - 4 x = - 3 2
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
Intervalo Punto de
Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el
punto de prueba.
( - ∞ , - 3 2 ) x = -2 ∣ 3 - 4 ( - 2 ) ∣ = ∣ 3 + 8 ∣ = 11
( - 3 2 , 3 ) x = 0 ∣ 3 - 4 ( 0 ) ∣ = ∣ 3 - 0 ∣ = 3
( 3 , ∞ ) x = 4 ∣ 3 - 4 ( 4 ) ∣ = ∣ 3 - 16 ∣ = 13
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos
los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado
izquierdo de la inecuación, ahora veamos cuál de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la
tabla, vemos que los intervalos de la primera y tercera fila cumplen con ser ≥ 9 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
njunto: x ≤ - 3 2 ó x ≥
Expresando la solución como intervalo ( - ∞ , - 3 2 ] ∪ [ 3 , ∞ )
Gráficamente
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149 149
Actividades 6
Resolver los siguientes sistemas
Sistemas de Inecuaciones: es el conjunto formado por varias inecuaciones, cuyo objeto es hallar las soluciones
que son comunes a todas ellas.
Resolver un sistema de inecuaciones consiste en determinar el intervalo solución de cada una de ellas y después
hallar el conjunto intersección de dichos intervalos.
Para hallar la intersección del conjunto solución se recurre a la representación gráfica sobre la recta real.
Reglas para resolver un sistema de inecuaciones
Se resuelven por separado cada una de las inecuaciones del binomio.
Se halla la intersección de las soluciones de cada inecuación, que será la solución del sistema.
S= S1 S2
Ejemplos
a) ¿Cuál es la solución del sistema?
2x + 2 3 (I)
x -1 2 (II) Se resuelven las inecuaciones por separado
2x + 2 3 (I)
2x 3 -2
x2
1
Solución:[ 2
1,)
x -1 2 (II)
x 2+1
x3
Solución:[3,)
Se halla la intersección [ 2
1,) [3,) = [3,)
1) 424 x 2) 3x+2 37 x
3) 1158 x 4) 5 467 x
5) 8 x46 6)
10
15 x
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150 150
Solución gráfica:
b) ¿Cuál es la solución del sistema?
x + 3 2 (I)
x -1 4 (II) Se resuelven las inecuaciones por separado
x + 3 2 (I)
x 2-3
x-1
Solución:(-,-1]
x -1 4 (II)
x 2+1
x3
Solución:[3,)
Se halla la intersección [ 2
1,) [3,) = [3,)
Solución gráfica
Ejercicios: Determina el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, dando la
respuesta en forma de intervalo y en forma gráfica.
a) x + 3>1 b) 2x – 2 2 c) 2x + 3 < x -1
3
2x + 1 < 5 x + x – 1 3 x + 1 > x + 2
2 3 3 5
4.- 3(x + 2) > -1 + 1 > x + 1 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2
4 2 3
2 x – 4 – 3x + 1 < x + 3 x + 3y = -11 3x + 4y =22
d) x + 2>5 e) 3x +1 >5 f) 3x + 2 < x -1
3
3x - 1 < 20 x + + 1 <4 x + 1 > x + 2
2 5 3
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151 151
g.- 3(x + 2) > -1 + 1 > x + 1 h.- 2x + 5 < -2 i.- 3x – 2 > 2
2 4 3
2 x – 4 – 3x + 1 < x + 3 x + 3 > -12 3x + 4>22
3 2 4
El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:
Expresión
con valor
absoluto
a > 0
Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x| = a
La distancia de x al origen es a
x = ± a
|x| < a
La distancia de x al origen
es estrictamente menor que a
- a < x < a
|x| ≤ a
La distancia de x al origen es menor o
igual que a
- a ≤ x ≤ a
|x| > a La distancia de x al origen x >a ó x < - a
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152 152
es estrictamente mayor que a
|x| ≥ a
La distancia de x al origen es mayor o
igual que a
x ≥ a ó x ≤ - a
0 < |x| < a
La distancia de x al origen
es estrictamente menor que a y estricta
mente mayor que 0 0 < |x| ⇔ x≠ 0
|x| < a ⇔ - a < x < a
Por tanto:
0 < |x| <a ⇔ x≠ 0 y - a < x < a
e < |x| <
a
(e > 0 ,
e < a)
La distancia de x al origen
es estrictamente menor que a y estricta
mente mayor que e e < |x| ⇔ x > e ó x < - e
|x| < a ⇔ - a < x < a
Por tanto:
0 < |x| < a ⇔
- a < x < -e ó e < x < a
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153 153
• |x| < a se expresa como: - a < x < a
• |x| > a se expresa como: x < - a ó x > a
• |x| ≤ a se expresa como: - a ≤ x ≤ a
• |x| ≥ a se expresa como: x ≤ - a ó x ≥ a
esión con
valor
absoluto
d > 0
Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto
|x - c| = d
La distancia entre x y c es d
x - c = ± d ⇔
x = d + c ó x = - d +c
|x - c| < d
La distancia entre x y c es estrictamente menor que d
- d < x - c < d ⇔
- d + c < x < d + c
|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d
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154 154
- d ≤ x - c ≤ d ⇔
- d + c ≤ x ≤ d + c
|x - c| > d
La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d
x - c > d ó x - c < - d
Por tanto:
x > c + d ó x < c – d
|x - c| ≥ d
La distancia entre x y c es mayor o igual que d
x - c ≥ d ó x - c ≤ - d
Por tanto:
x ≥ c + d ó x ≤ c – d
0 < |x - c| < d
La distancia
entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor
que 0
0 < |x - c| ⇔ x - c ≠ 0 ⇔ x ≠c
|x - c| < d ⇔ - d + c < x < d + c
Por tanto:
0 < |x - c| < d ⇔
x ≠c y - d + c < x < d + c
e < |x- c| <
d
(e > 0 , e <
d)
La distancia de x al origen
es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que e e < |x - c| ⇔ x > c + e ó x < c - e
|x| < d ⇔ - d < x < d
Por tanto:
0 < |x| < d ⇔
c - d < x < c - e ó c + e < x < c + d
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
155 155
COORDENADAS DE UN PUNTO DEL PLANO
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares,
llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas:
El eje horizontal se l lama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por ( x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina
coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama
coordenada y del punto u ordenada del punto.
15 Determinar las coordenadas de un punto del plano
respecto al sistema de coordenadas cartesianas.
Calcular la distancia entre dos puntos del plano real
de coordenadas conocidas.
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156 156
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para
localizar puntos en un plano.
Actividades 1
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la
ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Escribir en forma de radicales
1) Dados los siguientes puntos A(5,8); C( )4
1,
2
1; D( 3,2 ); E(0,-5), señalar cuál es la abscisa y
cuál es la ordenada de cada uno de ellos.
2) Si k es la proyección sobre el eje x del punto B(5,3), cuál es la abscisa de k
3) Representar gráficamente los siguientes puntos en un sistema de coordenadas cartesianas
a) A( -5,3 ); B( 0,2
1 ) ; C(1, -1) b) D(-3, -3) ; E(2,0) ; H(4, 4)
c) I(6, 3 ) ; B(0,0); K( 0, 6 ) d) L(-1, -1) ; M(4, -2) ; N(-2,-2)
4) Los vértices de una figura geométrica son: P(5,0) ; Q(3,2); R 81,0) ; S(3, -2) . Representar la
figura y escribir su nombre.
5) Si los vértices de una figura geométrica son los puntos A(3,0); B(0,3); C(-3,0);D(0, -3)
Dibujar la figura determinada por dichos puntos
¿Qué nombre recibe dicho cuadrilátero?
¿Cuánto mide su diagonal?
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157 157
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:
(1)
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas,
luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
Demostración
Sean A (x1, y1) y B (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos A y B denotada por está dada por:
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158 158
Hemos localizado los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) así como también el segmento de recta
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas
se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1 R P2 y en el cual podemos aplicar
el Teorema de Pitágoras:
Pero: ;
y
Luego,
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.
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159 159
Calcular la distancia entre dos puntos.
Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son congruentes.
Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son diferentes.
Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son : (x2 – x1) y (y2 – y1) . y
y2 P2=(x2,y2)
y1
P1(x1,y1) x2 – x1
x1 x2 x
Formula:
2
12
2
1221 )()(),( yyxxPPd
Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de : P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)
1394)3()2()21()31(),( 2222
21 PPd
554)1()2()10()13(),( 2222
32 PPd
24)2()0()02()33(),( 2222
13 PPd
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
160 160
y P1(3,2)
2
1
-.1 0 1 2 3 x
P3(3,0)
P2(1,-1)
Actividades 1
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Ejercicios: Representa los siguientes puntos:
1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)
3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)
5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
161 161
Ejemplos
Dados los puntos A(2,2) y B(4,4), hallar la distancia entre los puntos A y B y el punto medio
x1=2 ; y1=2 ; x2=4 ; y2=4 ; d(AB)= ?
Ecuaciones: 212
212 )()(),( yyxxBAd
y Pm=
2,
2
2121 yyxx
3284422)24()24(),( 2221
2 BAd
Xm 32
6
2
42
2
21
xx Pm= 3,3
Actividades 2
1) Dados los puntos A(2,3); B(0,0); C(1,3), hallar d(AB) ; d(AC); d(BC) y encontrar el punto
medio de cada segmento.
2) Dados los puntos G(2
1,4); H(-3,2); I(
3
1,2), hallar d(GH) ; d(GI); d(HI) y encontrar el punto
medio de cada segmento.
Dado un segmento se llama punto medio de él al punto
del segmento que está a igual distancia de los extremos.
Para determinar las coordenadas del punto medio del segmento
se usa la expresión:
Pm=
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162 162
Concepto de función
Representación gráfica de una función
Una función y=f(x) es una relación de dependencia entre dos magnitudes
o variables, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
Determinar gráficamente funciones reales en el plano
cartesiano.
16
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163 163
Tabla de valores y representación
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f(x)
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al
dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores
algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano,
determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica
de la función.
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 4 6 8 10
Gráfico de una función
Gráfico de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes
correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x ∈ D(f)}
Sistema de coordenadas cartesianas
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares, que se cortan en
un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se llama eje de abscisas, y a su
perpendicular por O, eje de ordenadas.
Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo un punto
determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de ordenadas, su correspondiente
imagen.
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164 164
FUNCIONES DE PRIMER GRADO O FUNCIÓN AFIN
Una función de primer grado se reconoce porque el mayor exponente de la variable es 1.
Son funciones de primer grado: f(x)= 3x; f(x)=3x+1; f(x) = 2x-5
Ejemplos
a) Dada la función f(x)= 2x y el conjunto A={0,1,2,3,4}. Determinar el rango, representarla gráficamente y
escribir dos características de la gráfica.
Obtengamos el conjunto de las imágenes a través de la siguiente tabla:
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
165 165
b) Dada la función f(x)= 3x – 1. Si el Dom f={0,1,2,-1,-2} hallar el rango t representarla gráficamente.
Rgo f= {-1,2,5,-4,-7}
Observaciones:
La representación gráfica de una función de la forma f(x)= ax+b es una recta
Para representar la recta basta con conocer dos puntos de la misma
La inclinación de la recta depende del coeficiente de la x en la función.
b representa el punto de corte con el eje y
FUNCIONES CUADRÁTICAS
a) Función cuadrática f(x)= x2
Dada la función f: R R; f(x)=x2, la representación gráfica de esta función es una curva llamada parábola,
donde su vértice está sobre el origen de coordenadas (punto 0,0). La variable x2 es de segundo grado y por ello
la función se denomina cuadrática.
Representar gráficamente la función f(x)= x2.
Determinar: Rango de la función
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
166 166
Observaciones:
Dom f=R (- , ), se le puede asignar cualquier valor de x (positivo o negativo).
Rgo f= (0,)
b) Dada la función f(x)= x2 + 1 . Construir la gráfica.
La representación gráfica es una parábola que no toca ningún punto del eje x.
c) Función cuadrática de la forma y= f(x)= ax2 + bx + c
Dada la función f(x)= x2 – 2x + 3. Representarla gráficamente
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
167 167
Observaciones:
Para cada valor x existe una imagen en el eje y en tal sentido el dominio dela función pertenece al
conjunto de los números reales.
Rgo f= [2, ). Este valor determina que la función, no es sobreyectiva, ni biyectiva.
Cuando representamos gráficamente una función de la forma ax2 + bx + c donde a0, se obtiene una
curva denominada parábola. Donde los valores a, b y c dictaminan si la parábola corta o no al eje x.
En general:
FUNCIÓN HIPERBÓLICA
Su expresión general es:
Una función polinómica de la función ax2 + bx + c se llama función cuadrática o
de segundo grado, cuyo gráfico es una curva denominada parábola.
f(x)=
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
168 168
La función definida por esta fórmula se le llama proporcionalidad inversa. Cuando y es el
cociente de una constante por x se dice que y es inversamente proporcional a x, esto quiere decir que en la
misma proporción que aumente y disminuye x.
Así, si x se hace el doble y se convierte en la mitad, por eso su producto es constante, y . x = k, donde k
es la constante de proporcionalidad diferente de cero.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA FUNCIÓN HIPERBÓLICA
La representación gráfica de la función f: R R; f(x)= x
1está conformada por dos curvas simétricas
llamadas hipérbolas y por ello la función recibe el nombre de hiperbólica.
Ejemplos
Dada la función f(x)= x
3
Dom (f) = R – {0} = R*
puesto que la división por cero no está definida.
Rg(f)= R – {0} =
R* No existe ningún valor para x que cumpla f(x) =0
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169 169
TIPO DE FUNCIÓN
La función es inyectiva, porque los elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas del rango.
La función no es sobreyectiva, ya que el conjunto de llegada R no coincide con el rango R* R.
La función no es biyectiva por no ser sobreyectiva.
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA f: R R, f(x)= x
Ejemplo: dada la función f(x)= 2x
a) Representarla gráficamente b) Hallar el dominio
c) Hallar el rango d) Tipo de función
Dándole valores a x construyamos la siguiente tabla:
a) Representación gráfica
b) Dominio de la función.- la raíz cuadrada está definida sólo para números positivos , por tal motivo se deben
encontrar los valores de x que hagan el radicando positivo.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
170 170
202 xx Dom (f) = [-2, +)
c) Rango de la función Rgo f) [0, +)
d) Tipo de función: Inyectiva.
ACTIVIDADES 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
171 171
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
172 172
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
173 173
FUJNCIÓN AFÍN
Ejemplos
Consideremos la función definida como f(x) = y= 2x + 1.Para su representación gráfica demos a la x un
conjunto de valores arbitrarios: -1, 0, 1, 2
Sustituimos la x en la función por cada valor y efectuamos las operaciones para construir una tabla de
datos.
Cuando x = -1 y= 2 (-1) +1 y= -2 + 1 y= -1
Cuando x = -0 y= 2 (0) +1 y= 0 + 1 y= 1
Cuando x = 1 y= 2 (1) +1 y= 2 + 1 y= 3
Cuando x = 2 y= 2 (2) +1 y= 4 + 1 y= 5
Con estos valores construimos una tabla de datos:
Otros ejemplos de funciones son:
x -1 0 1 2
y -1 1 3 5
Analizar las características de la función afín.
17
Luego ubicamos los pares ordenados, obteniendo la siguiente
gráfica.
La gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.
Corta el eje de ordenada 1.
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174 174
y= 3x +2 ; y=2x – 4 ; y= 2x ; y= 5x + 1
A estas funciones, cuya representación gráfica es una línea recta se les llama funciones afines o lineales.
Ejemplos
El siguiente cuadro ilustra varios ejemplos de función afín, donde se señalan los valores m y b
Función afín
y= mx + b
Valores de m
Valores de b
y= 2x + 1 2 1
y= -4x -5 -4 -5
y= x2
1 + 1
2
1
1
y=3
4
3x
4
3
-3
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Una función afín es toda función f: R R definida como f(x) = mx+b,
donde m y b son números reales y m 0.
Si hacemos f(x) = y puede escribirse. y= mx + b
b: representa la ordenada en el origen.
m: representa la pendiente de la línea recta
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175 175
Ejemplo
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Representar gráficamente la función afín.
Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).
Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números. A este
conjunto se le llama dominio de la variable.
La función afín es del tipo: y = mx + n
Si m < 0 la función es
decreciente y ángulo que forma la recta
con la parte positiva del eje OX
es obtuso.
Si m > 0 la función es
creciente y ángulo que forma la recta
con la parte positiva del eje OX
es agudo.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
176 176
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
1.- y = 2x – 1
x y = 2x-1
0 -1
1 1
2. y = -¾x - 1
x y = -¾x-1
0 -1
4 -4
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
177 177
Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2
y
x = -2--------- y = 2(-2) = -4
x = -1---------y = 2(-1) = -2 4
x = 0---------y = 2(0) = 0 3
x = 1---------y = 2(1) = 2 2
x = 2---------y = 2(2) = 4 1
x
-2 -1 0 1 2 x
-1
-2
-3
-4
Actividades 2
Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2
1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5 4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4
2 6.- y = 6x - 2 7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
178 178
LA RECTA Y SUS PENDIENTES
El coeficiente m en la función y= mx + b representa la pendiente de la recta y mide lo que varía la y por cada
crecimiento unitario de la variable x.
Si m 0, la pendiente de la recta es positiva (recta creciente)
Si m 0, la pendiente de la recta es negativa (recta decreciente)
Si m=0 , la pendiente de la recta es nula (recta horizontal al eje x)
Si m= , pendiente de la recta tiende a infinita (recta paralela al eje y)
CARACTERÍSTICAS DE LA PENDIENTE
Actividades 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
179 179
ECUACIÓN DE LA PENDIENTE (m) DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS
PUNTOS
Ejemplos
1) Hallar la pendiente de la recta que une los puntos P(-5,3) y Q(2,-4)
Solución
Reemplazamos directamente en la expresión dela pendiente que tendrá que:
17
7
52
7
)5(2
34
12
12
xx
yym
2) Usando la expresión de la pendiente de una recta demostrar que los siguientes puntos A(4,1); B(5,-2)
y C(6,-5) son colineales.
Solución
¿Cómo es el ángulo (agudo, obtuso, 0° , 90°) que forman las siguientes
rectas con el eje de las abscisas (x). Haz el gráfico correspondiente.
1) y= 3x + 2 2) y= -4x + 3 3) y= -x + 5
2 4) y=4
5) 5
3
2
1 xy 6) y= -6 7) x= 0,25 8) y= -2x -3
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos sobre la recta.
La pendiente de la recta viene dada por el cociente entre la diferencia de las
ordenadas y la diferencia de las abscisas.
La pendiente de una recta es independiente del par de puntos seleccionados.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
180 180
Tres puntos son colineales si están ubicados sobre una misma recta.
Para ello debemos calcular las pendientes m1 entre A y B , m2 entre A y C, m3 entre B y C.
345
121
m 3
46
152
m 3
56
253
m
Como se cumple que las tres pendientes son iguales se deduce que los puntos son colineales.
ACTIVIDAD 4
Determinar la pendiente de la pendiente de la recta que pasa por los
siguientes puntos:
1) (1,1) y (3,3) 2) (2,1) y (-4,2) 3) (1,3) y (2,6) 4) (-1,1) y (-3,3)
5) (0,-3) y (2,6) 6) (-2,1) y (-6,3) 7) (1,4) y (3,7) 8) (1,-2) y (2,-4)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
181 181
CUANDO UN PUNTO PERTENECE A UNA RECTA
Para saber si un punto P(x1,y1) pertenece a una recta, se sustituye dicho punto en la función afín que
representa a la recta y si la relación se transforma en una identidad, el punto P pertenece a la recta.
Ejemplos
Determinar si los puntos P1 (3,7) y P2 (3,4) pertenecen a la recta y= 2x +1
Solución para P1:
Sustituimos x=3 ; y y= 7 en la ecuación dada
y= 2x + 1
7= 2.3 + 1
7= 6 + 1
7= 7 Como es una identidad, entonces el punto (3,7) pertenece a la recta
Solución para P2:
Sustituimos x=3 ; y y= 4 en la ecuación dada
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
182 182
y= 2x + 1
4 2.3 + 1
4 6 + 1
4 7 Como no es una identidad, entonces el punto (3,4) no pertenece a la recta y= 2x+1
ACTIVIDAD 6
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Consideremos la siguiente función afín: 4
32 xy
4
32 xy Si eliminamos el denominador en la función tenemos:
384 xy Si igualamos a cero se tiene que:
0384 xy Ordenamos la expresión obtenida.
Colocamos primero el término en x, luego el término en y, finalmente el término
independiente.
038 yx Si llamamos:
A al coeficiente de x.
B al coeficiente de y.
C al término independiente. Tenemos:
1) Dada la recta y=-2x+6
a) P1 (0,6 ) b) P2 ( 3 , 0 ) c) P3 (1,1) d) P4 (5 , -4 ) e) P5 ( 3 ,2 ) f) P6 (-2 , 4 )
Determinar qué puntos pertenecen a la recta dada
2) Dada la recta 2
1
4
3 xy y los puntos
1) P1 (16
17,
4
3) 2) P2 (
5
4,
5
2) 3) P3 (
40
23,
10
1) 4) P4 (
8
7,
2
1) 5) P5 (
7
8,
2
1) 6) P6 (
6
7,
4
5)
Determinar qué puntos pertenecen a la recta dada
3) Hallar el valor de k de tal forma que la recta 2kx + y + k =0 pase por el punto P(0,-3)
Respuestas 1) P1 ; P2; P4 y P6 2) P1 ; P3; P4 y P5 3) k= 3
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
183 183
0 CByAx es una forma de escribir bmxy
Para calcular m y b se utilizan las siguientes expresiones:
B
Am y
B
Cb Indistintamente utilizaremos cualquiera de las dos ecuaciones como
ecuación de la recta.
Ejemplos
Determinar la expresión de la función afín de la siguiente ecuación general:
-3x + 6y + 6 = 0
Solución:
Tenemos que A= -3 ; B= 6 ; C= 6
Para calcular el coeficiente de la x usamos la ecuación: 2
1
2
1
6
3
m
B
Am
Para calcular el punto por donde corta la recta el eje y usamos la ecuación: 116
6 b
B
Cb
Obteniéndose que: 12
1 xy
Otra forma de conseguir el mismo resultado es despejando y en la ecuación:
-3x + 6y + 6 = 0
- 6y = 3x-6 12
1
6
6
6
3 xy
xy
NOTA:
Si la ecuación de la recta se escribe como y=mx+b, entonces la pendiente m es el coeficiente de
la x.
Si la ecuación de la recta está en su forma general Ax + By + C=0, entonces la pendiente es
B
Am y el punto por donde corta la recta el eje y es
B
Cb .
ACTIVIDAD 7
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
184 184
ACTIVIDAD 8
Determinar la expresión de la función afín de la siguiente ecuación
1) 2x+4y+3=0 2) 01
2
3 yx
3) 3x+y-8=0 4) 2
3
1 yx
5) 2x+10-3y=0 6) 052 yx
7) 3x+1=y 8) 0123 yx
9) 2x+y-3=0 10) 2x+2y=6
Hallar el valor de k de tal forma que la recta 4x=ky+7 tenga pendiente 6
Calcular la pendiente y la ordenada en el origen para las rectas
1) x-3y+12=0 2) 023 xy
3) 2x-3y+12=0 4) 934 yx
5) y-2=0 6) 01776 yx
7) 2x-5y-28=0 8) 73
2
1 yx
9) 4x+7y-28=0 10) 5x=2y+16
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
185 185
FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Esta es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1 , y1) con pendiente m. Esta
ecuación es llamada también ecuación punto pendiente de la recta.
Ejemplos
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa a través del punto P(2, -3) con una pendiente m=-4
Solución
La ecuación es de la forma punto- pendiente )( 11 xxmyy
Reemplazamos los valores conocidos x1=2; y1=3; m= -4 )2(4)3( xy
843 xy
Igualando a cero la ecuación 0834 yx
Esta es la ecuación pedida: 054 yx
2) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 3) con una pendiente m=-3
Solución
La expresión de la recta que cumple con estas condiciones viene dada por )( 11 xxmyy
Sustituyendo x1=2; x2=3; y m= 3
y-3 = 3(x-2)
y-3 = 3x – 6 Aplicando la propiedad distributiva
-3x+y-3+6=0 Igualando la ecuación a cero
-3x+y+3= 0 Operando -3+6
3x-y-3= 0 Multiplicando por (-1)
Luego la ecuación de la recta pedida es: 3x-y-3= 0
Sea una recta pendiente conocida m y que pasa por el punto P1(x1,y1)
P(x,y) es cualquier otro punto con x x1, entonces P está sobre la
recta sólo si la pendiente de la recta que pasa por P1 y P es m (son
colineales), es decir: que puede escribirse así:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
186 186
3) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 7) y cuya pendiente m=4
5
Solución
Apliquemos la fórmula )( 11 xxmyy
Reemplazando los valores obtenidos se tendrá que: x1=1; y1=7; y m= 4
5
y-7 = 4
5(x-1)
4(y-7) = 5(x – 1) Eliminando denominadores
4y-28=5x-5 Aplicando la propiedad distributiva
-5x+4y-28+5= 0 Ordenando e igualando la ecuación a cero
-5x+4y-23= 0 Operando -28+5
5x-4y+23= 0 Multiplicando por (-1)
Luego la ecuación de la recta pedida es: 5x-4y+23= 0
ACTIVIDAD 9
DADOS DOS PUNTOS DE UNA RECTA, DETERMINAR LA ECUACIÓN
Si una recta pasa a través de dos puntos dados, puede encontrar y graficar su ecuación usando la
forma de punto pendiente como se muestra en el ejemplo siguiente.
Ejemplos
Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene una pendiente
1) P( 2, 1) ; m= 2 2) P( 1, -3) ; m= 3
3) P( 0, 3) ; m= -2 4) P( 1, -2) ; m= 5
5) P( 2, 4) ; m= 3 6) P( 3, 4) ; m= 5
7) P( -2, -4) ; m= 4
1 8) P( -2, -4) ; m=
2
1
9) P( -1, -1) ; m= 2
1
10) P( 2, 3) ; m= -4
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
187 187
Dados los puntos A(1,2) y B(3,4), determinar la ecuación y graficarla:
Solución:
ACTIVIDAD 10
Como tenemos los puntos Ay B podemos calcular la pendiente m 12
12
xx
yym
Sustituyendo los valores en m, sabiendo que x1=1 ; y1=2; x2=3; y2=4 12
2
13
24
1
m
Aplicamos la forma punto pendiente y-y1 = m (x-x1)
Elegimos el punto A(1,2) y reemplazamos los valores x1=1 ; y1=2; y m= 1 y-2= 1(x-1)
Aplicando la propiedad distributiva y-2= x-1
Igualando a cero -x+y-2+1=0
Multiplicando por (-1) x-y+1=0
a) Encuentre una ecuación de la recta que pasa a través de los puntos dados.
1) P1( 3, 2) ; P2( 1, 1) 2) P1( 2, 5) ; P2( 4, 11) 3) P1( 2, 3) ; P2( 7, 8) 4)P1( -3, -1) ; P2( 4, 3)
5) P1( 1, 7) ; P2( 6, -3) 6)P1( 2, 4) ; P2( 3, 10) 7) P1( 4, 4) ; P2( 6, 7) 8)P1( 0, -3) ; P2( 4, 0)
Para graficarla utilizaremos los
puntos dados A(1,2) y B(3,4)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
188 188
DADOS DOS PUNTOS DETERMINAR LA PENDIENTE m Y LA ORDENADA EN EL ORIGEN b
DE UNA RECTA
Ejemplos
Determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b de la recta que pasa por los puntos P1(-5,-7) y
P2(3,-4):
Solución:
Como tenemos P1 y P2 podemos calcular m 12
12
xx
yym
Sustituyendo los valores en m sabiendo que x1 =-5 ; y1 = -7; x2 =3; y2= -4 8
3
)5(3
)7(4
m
Aplicamos la forma punto-pendiente y-y1= m(x-x1)
Elegimos el punto P1(-5,-7) y reemplazamos los valores: y-(-7)= 8
3 (x-(-5))= y+7=
8
3(x+5)
y1 = -7; x1 =-5 y m= 8
3:
Aplicando la propiedad distributiva y + 7= 8
3x +
8
15
Despejando la variable “y” y = 8
3x +
8
15-7 y=
8
3x -
8
41
Comparando con la ecuación-ordenada en el origen y= mx + b
b) Determinar la ecuación de la recta que
tiene asociada la tabla.
x -2 -1 0 1 2 3
y -7 -4,5 -2 0,5 3 5,5
c) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,0)?
1) 2x-y+1=0 2) x + y -1=0 3) x – y +2=0 4) x + y – 3= 0
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
189 189
Esta es la ordenada en el origen pedida 8
41b
OTRA FORMA DE OBTENER LA ORDENADA EN EL ORIGEN b ES:
A partir de los dos puntos calculamos m 12
12
xx
yym
Sustituyendo los valores en “m” sabiendo que x1:= -5; y1=-7= x2=3; y2=-4 8
3
)5(3
)7(4
m
Aplicando la forma punto-pendiente y-y1= m(x-x1)
Tomamos un punto cualquiera P2(3,-4) y sustituimos y-(-4)= 8
3 (x-3)
Hallamos la ecuación de la línea recta y+4= 8
3 (x-3)
Eliminando denominadores 8x+32=3(x-3)
Aplicando la propiedad distributiva 8x+32=3x-9
Expresamos la ecuación en la forma general -3+8y+41=0
Comparamos con la forma general Ax+By+C=0
La ordenada en el origen b se calcula aplicando 8
41
B
Cb
Observa que se obtienen los mismos resultados
ACTIVIDAD 11
ECUACIÓN PENDIENTE E INTERSECCIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
Un caso especial de la forma punto-pendiente es aquel en el cual el punto dado es el punto donde
la línea cruza el eje y.
Considerando la recta l de pendiente m como se muestra en la figura. Sea P(0,b) el punto de
corte con el eje y.
Hallar la pendiente y la ordenada en el origen b de la recta que pasa por los puntos
1) P1( -3, 5) ; P2( 0, 7) 2) P1( -5, -7) ; P2(3,-4) 3) P1( 3, 0) ; P2( 0, 4) 4)P1( 2, 3) ; P2( 7, 8)
5) P1( -3, 4) ; P2( -2, 0) 6)P1( 6, 3) ; P2( 4, 8) 7) P1( -2, -3) ; P2(1, -6) 8)P1( 0, -3) ; P2( 4, 0)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
190 190
Ejemplos
Determinar una ecuación de la recta que tenga una pendiente igual a 6 y una intersección en y igual a -4.
Graficar la línea.
Solución:
En este ejemplo m=3 y b= -4. Sustituyendo en la forma pendiente intersección, obtenemos:
y= mx + b y= 3x + (-4) y= 3x-4
La forma pendiente e intersección de la ecuación d la línea que tiene pendiente m y
una intersección en y de b es: y= mx + b
Aplicando la forma punto-pendiente y-y1 = m (x-x1)
Sustituyendo los valores conocidos
Aplicando la propiedad distributiva
Despejando y tenemos
Grafiquemos la función y= 3x-4 dándole valores a x para obtener
los valores de y.
Si x= -1 y= 3(-1)-4 = -7
Si x=0 y= 3(0)-4 = -4
Si x=1 y= 3(1)-4 = -1
Y obtenemos la siguiente tabla
x -1 0 1
y -7 -4 -1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
191 191
ACTIVIDAD 12
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Según la posición de las rectas se pueden presentar los siguientes casos: paralela, perpendiculares
o secantes.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
m1 || m2 m1 = m2
Dada la pendiente y la intersección de una recta encontrar y graficarla.
1)Pendiente igual a 2 y una
intersección en e igual a -3
2) Pendiente igual a -4 y una
intersección en e igual a 6
3) Pendiente igual a 4
3 y una
intersección en e igual a 8
7
4) Pendiente igual a 2,5 y una
intersección en e igual a -4,7
5) Pendiente igual a -3,5 y una
intersección en e igual a 5,9
6) Pendiente igual a -6 y una
intersección en e igual a -7
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
192 192
CÓMO DETERMINAR SI DOS RECTAS SON PARALELAS, PERPENDICULARES O
SECANTES.
Ejemplos
1) Demuestre si cada par de rectas son paralelas, perpendiculares o secantes
a) L1: x – 3y = 6
L2: 2x – 6y = -12
b) L3: 2x +y = 5
L4: x – 2y =
c) L5: 2x +y = 6
L6: x + y = 4
Solución:
a) Encontramos la pendiente de cada recta
Para L1
x – 3y = 6
-3y= -x +6 Despejamos y
23
1;
3
6
3
1 xyxy
m1= 3
1
Para L2
2x – 6y = -12
-6y= -2x -12 Despejamos y
23
1;
6
12
6
2 xyxy
m2= 3
1
Como las pendientes son iguales las rectas son paralelas, como se ilustra en la figura 1
b) Dadas las rectas L3 y L4 hallar la pendiente en cada caso
Para L3
2x + y = 5
y= -2x +5 Despejamos y
m3= -2
Para L4
x – 2y = 4
-2y= -x +4 Despejamos y
22
1 xy
m4= 2
1
Al efectuar el producto: m3 . m4 =(-2) . 12
1 , observamos que el producto es -1 por lo tanto las rectas
son perpendiculares, como se ilustra en la figura 2.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
193 193
c) Dadas las rectas L5 y L6 hallar la pendiente en cada caso
Para L5
2x + y = 6
y= -2x +6 Despejamos y
m6= -2
Para L6
x +y = 4
y= -x +4 Despejamos y
m6= -1
Como podemos observar las pendientes son diferentes y su producto no es -1 puesto que
m5 . m6 =(-2).(-1)= 2. Concluyendo, las rectas son secantes como se ilustra en la figura 3.
Conclusiones:
Dos rectas con la misma pendiente son paralelas.
Dos rectas cuyas pendientes tengan un producto igual a -1 son perpendiculares.
Dos rectas cuyas pendientes son diferentes y su producto no es -1, son secantes.
d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos
P1(4,1) y P2(-2,2).
Solución
Calculemos la pendiente 6
1
42
12
m
Como las rectas son paralelas se deduce que: m1 = m2
Conociendo un punto y la pendiente la ecuación será de la forma: y-y1 = m (x-x1)
Reemplazando los valores de P(2,-3) y m=6
1 tenemos y-(-3)=
6
1 (x-2)
Efectuando las operaciones indicadas e igualando a cero y+3= 3
1
6
1 x
Eliminando denominadores y+3 03
1
6
1 x
Resolviendo términos semejantes y ordenando 6y+18+x-2=0
Obteniendo la ecuación pedida x+6y+16=0
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
194 194
e) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -3) y es perpendicular a la recta que une los
puntos P1(2,-3) y P2(4,2).
Solución
Calculemos cualquiera de las pendientes, por ejemplo m1
2
5
2
32
24
)3(2
m
Como las rectas son perpendiculares, el producto de m1. m2=-1 y
m2 será igual a:
m1. m2=-1; m2 =
1
1
m
; m2 =
5
2
2
5
1
;
Como el punto es (1,-3) y la pendiente 5
2 la ecuación será de la
forma:
y-y1 = m (x-x1)
Reemplazando los valores tenemos:
y-(-3)= 5
2 (x-1)
y+3=5
2 (x-1)
Eliminando denominadores 5y+15= 22 x
Igualando a la cero
5y+15+2x-2=0 5y+2x+13=0
La ecuación pedida es: 2x+5y+13=0
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
195 195
ACTIVIDAD 13
SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( 4
3 ,
2
1 ) y es paralela a la recta x+3y=1
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (7 , -3) y es perpendicular a la recta 2x-5y=8
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por
los puntos (2,-3) y (4,2).
4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (4, -2) y es paralela a la recta que pasa por los
puntos (2,-1) y (5,7).
5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2, -1) y es perpendicular a la recta
que pasa por los puntos (3,1) y (-2,5).
6)
7)
8)
9)
10) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-3, 6) y es paralela a la recta
2x+4y-7=0
Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos
incógnitas.
Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones.
18
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
196 196
Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente, forman un
sistema. Su forma más simplificada sería:
ax + by = c
a´x + b´y = c´
Las incógnitas son x e y ; las demás letras representan números; a,b , a´y b´ se llaman coeficientes; c y
c´ términos independientes.
Una solución del sistema es toda pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus
ecuaciones.
Resolver un sistema es encontrar su solución. Gráficamente la solución de un sistema viene dada por los
puntos de intersección de las rectas que representan a las dos ecuaciones.
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS
Los sistemas, según el número de soluciones se clasifican en:
Determinados
Compatibles (tiene soluciones) (tiene una única solución)
Indeterminados
Sistema Lineal (tiene infinitas soluciones)
Incompatibles (no tiene soluciones)
Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema. Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado
por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman en una identidad.
Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.
Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:
3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1
2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1
2
Sustituimos x por 1:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
197 197
y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2
2 2 2
A(1,2) B(3,5)
Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5
2 2 2
Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x
Sustituimos x por 0:
y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)
Sustituimos x por –1
y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)
y
6
C
5 B
4 D
3
2
A
1
-1 0 1 2 3 x
Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:
1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
198 198
3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10
Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.
a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las soluciones de la
primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución común.
La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.
y L
L’
x
b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las soluciones de la primera
ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.
La representación gráfica de este sistema es una línea recta.
y
x
c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las soluciones de la primera
ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya una solución común.
La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.
y L
L’
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
199 199
x
Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.
a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las transformaciones necesarias para
que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo
cual nos apoyamos en las siguientes propiedades:
a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación equivalente(tiene las
mismas soluciones).
a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación equivalente a estas.
Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8
2x + y = 7 1 2x + y = 7
-2x – 4y = -16
2x + y = 7
-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:
y = -9/-3 y = 3 x + 2y = 8
x + 2(3) = 8
x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2
Ejercicios:
1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
200 200
2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1
4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2
x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22
b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las incógnitas en una de las
ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.
Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8
-7x + 8y = 25 x = 8 +5y
Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25
-56 – 35y + 8y = 25
-35y + 8y = 25 + 56
-27y = 81
y = 81/-27 = y = -3
encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)
x = 8 – 15
Ejercicios:
1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
201 201
x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1
4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10
2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10
c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las
ecuaciones para después igualar sus valores.
Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y
5 4
8x + 4 = 5y
2x – 3y = -8
8x – 5y = -4
sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y
8
2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y
2
igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y)
8 2
-8 + 10y = -64 + 24y
10y – 24y = -64 + 8
-14y = -56
y = -56/-14
y = 4
sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8
2x – 12 = -8
x = -8 +12
2
x = 4/2 = x = 2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
202 202
Ejercicios:
1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10
4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6
4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9
x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7
1 Resuelve por sus t i tución, igua lac ión, reducción y gráficamente el s is tema:
2
3 Hal la las soluciones de l s i stema:
4 Resueve:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
203 203
5 Resuelve por sus t i tución, igua lac ión, reducción y gráficamente el s is tema:
6 Resuelve el s is tema:
7 Hal la las soluciones de l s i stema:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Se llama función cuadrática a toda función real de variable real, definida de la siguiente manera:
f(x) = ax2 + b x + c, donde a ,b, c sin números reales y a ≠ 0. Es decir:
f : R R x f(x) = ax2 + bx + c
Si a = 0 la función sería una función afín, de la forma f(x)= b(x) + c
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola y su ecuación es:
y = ax2 + bx + c
Estas gráficas:
Son fáciles de trazar
Son simétricas con respecto a una recta verticales
Su forma es cóncava o convexa, etc.
Analizar las características de la función cuadrática.
19
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
204 204
Ejemplos
Dadas las siguientes funciones, cuáles son cuadráticas
y= 2x2 + 2x + 3
Aquí tenemos una función cuadrática, ya que de
acuerdo a la definición: a=2; b=2; c= 3
Aquí a0
y= -3x2
Ésta es una función cuadrática porque:
a= -3 y a0
y= x+4
Ésta no es una función cuadrática porque a=0 y
cuando esto sucede la función es afín.
x2 + y =
ésta es una función cuadrática puesto que a=1 y
en consecuencia a0
Actividades 1
Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax 2
+ bx + c
donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o
menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
Escribir en el cuaderno las siguientes funciones e identificar cuáles son cuadráticas
1) y= -2x+4x2 2) yx 2
4
3 3) 2x+5= y 4) y= -4x
2 + 1 5) x
2 – 3x =0
6) y= 2x2 – 5x + 10 7) y= 3x
2 8) y=x
2 – 6x + 5 9) y= x
5 + 3x -8
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
205 205
ax 2
es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los
términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se
dice que la ecuación es incompleta .
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos
siempre una curva llamada parábola .
Como contrapartida, diremos que una parábola es la
representación gráfica de una función cuadrática .
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien
definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la
generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o
brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5
Parábola del puente, una función cuadrática.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
206 206
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que
adquiera x , los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos
f (x) = 0 .
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
207 207
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la
expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término
constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola
con el eje de las X (abscisas) .
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .
Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Ver: PSU: Matemática;
Pregunta 34_2010
Pregunta 18_2006
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las
ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
208 208
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representar la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de
abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir,
intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la
parábola.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
209 209
Su ecuación está dada por:
Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de
intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor
máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde
el discriminante )
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
210 210
CONCAVIDAD DE UNA PARABOLA , EJE DE SIMETRÍA
Criterio de concavidad y convexidad
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando
el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de
vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1))
y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
211 211
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1))
y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1 Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2 Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de
discontinuidad (si los hubiese).
3 Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
212 212
Si f''(x) > 0 es convexa.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
4 Escribimos los intervalos:
Convexidad: (0, ∞)
Concavidad: (−∞, 0)
Ejemplo
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
213 213
Ejemplo: Dado f(x) = 3x2 dónde x = -2,-1,0,1,2
x f(x) = 3x2 y
-2 3(-2)2= 3. 4 12
-1 3(-1)2
= 3 .1 3
0 3(0)2 = 3 . 0 0
1 3(1)2 = 3 . 1 3
2 3(2)2 = 3 .4 12
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
214 214
Representación gráfica: f(x)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 x
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
215 215
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Ejemplo
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
216 216
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2
a) f(x)= 3 + x2
b) f(x)= x2 + 2 c) f(x)= 2x
2 – 1
d) f(x)= 6x2 – 2 e) f(x)= 2 + x
2 f) f(x)= 10 – x
2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
217 217
3
g)f(x) = x2 + 6 h) f(x)= 4x
2 – x i) f(x)= x
2 + 5x
2
Representa las funciones cuadráticas
1 y = −x² + 4x – 3 2 y = x² + 2x + 1
3 y = x² + x + 1
4 Hal la el vér t ice y la ecuación del eje de simetr ía de las siguientes parábolas:
1 y = (x − 1)² + 1 2 y = 3(x − 1)² + 1
3 y = 2(x + 1)² - 3 4 y = -3(x − 2)² − 5
5 y = x² − 7x – 18 6 y = 3x² + 12x – 5
5 Ind ica, s in dibujar las, en cuantos puntos cor tan a l eje de absc isas las s iguientes parábolas :
1 y = x² − 5x + 3 2 y = 2x² − 5x + 4
3 y = x² − 2x + 4 4 y = −x² − x + 3
6 Una función cuadrá tica t iene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1 , 9) .
Calcular e l va lor de a .
7 Se sabe que la función cuadrá tica de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1 ,1) , (0 , 0) y ( -1 ,1 ) .
Calcula a , b y c .
8 Una parábola t iene su vér t ice en e l punto V(1, 1) y pasa por el punto (0 , 2) . Hal la su ecuac ión.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
218 218
Ecuación de Segundo Grado con una incógnita
Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma:
Ax2 + Bx + C = 0 ; A ≠ 0
Resolución de la ecuación de segundo grado: Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la ecuación de segundo grado.
Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la función o raíces de la ecuación.
En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo tanto una ecuación de
segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo transforman en una
identidad.
Fórmula: a
cabbx
2
..42
La fórmula se llama resolvente de una ecuación de 2do
grado, la cual permite hallar directamente las raíces
de la ecuación, sin más que sustituir en dicha resolvente los valores de A, B y C..
Resolver ecuaciones de segundo grado.
20
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
219 219
Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 6 = 0
donde: a = 1
b = -5
c = 6
x = -(- 5) ± (-5)2 – 4 . 1 . 6 x = 5 ± 25 - 24
2 . 1 2
x1 = 5 + 1 x1 = 5 + 1 x1 = 6 x1 = 3
2 2 2
x2 = 5 – 1 x2 = 4 x2 = 2
2 2
Actividades 1
Ejercicios:
1) x2 + 3x – 10 = 0 2) - x
2 + x + 12 = 0 3) 2x
2 + 5x – 3 = 0
4) 3x2 – x – 2 = 0 5) 6x
2 + x – 1 = 0 6) –4x
2 + 5x + 6 = 0
7) x2 + 4x + 3 = 0 8) x
2 – 5x + 4 = 0 9) 2x
2 + 0x – 8 = 0
10) x2 + (7 − x)
2 = 25 11) 7x
2 + 21x − 28 = 0
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
220 220
Planteamiento de Problemas
Múltiples problemas, tanto como la aplicación de otras ciencias como de la vida real, se resuelven
mediante ecuaciones de segundo grado.
Para hallar la solución de un problema hay que seguir las mismas pautas que se utilizan para resolver las
ecuaciones de primer grado, es decir plantear una ecuación que concuerde con el enunciado, resolverla y
comprobar el resultado comparándolo con el enunciado.
Ejemplos
a) La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 724, hallar los números.
Llamaremos: x número menor
(x+2) número mayor
Según el enunciado tenemos: x2 + (x+2)
2 = 724
Resolviendo el producto notable: x2 + x
2 + 4x + 4 = 724
Igualando a cero: 2x2 + 4x – 720= 0
Simplificando por 2 x2 + 2x – 360= 0
Aplicando la ecuación de segundo grado a
acbbx
2
42 donde a=1; b=2; c= -360
1.2
)360)(1(422 2 x
2
144042 x
2
14442x
182
36
2
3821
x
2
382x
202
40
2
3822
x
Resolver problemas en donde se utilicen ecuaciones de
segundo grado con una incógnita .
21
Solución: los números son 18 y -20; el
número -20 no cumple con el enunciado de
este problema.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
221 221
b) Hallar dos números positivos sabiendo que uno es el triple del otro más cinco y que el producto de ambos es
igual a 68.
Condición: x número menor
Según el enunciado tenemos: x (3x+5) = 68
Efectuando operaciones: 3x2 + 5x - 68 = 0
Aplicando la ecuación de segundo grado a
acbbx
2
42 donde a=3; b=5; c= -68
3.2
)68)(3(455 2 x
6
816255 x
6
8415x
42
24
6
2951
x
6
295x
3
17
6
34
6
2952
x
c) ¿ Cuál será el número, sabiendo que la suma del triplo del mismo con el doble de su inverso es igual a 5
Condición: x número menor ; x
1el inverso
Según el enunciado tenemos: 3x+ 52
x
Eliminando el denominador: 3x2 + 2 = 5x
Trasponiendo términos: 3x2 -5x + 2= 0
Aplicando la ecuación de segundo grado a
acbbx
2
42 donde a=3; b=-5; c= 2
3.2
)2)(3(455 2 x
6
24255 x
6
15x
16
6
6
151
x
6
15x
3
2
6
4
6
152
x
Solución:
x1= 4 x2= -17/3
Solución:
x1= 1 x2= -2/3
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
222 222
Actividades 1
Resolver los siguientes problemas sobre ecuaciones de segundo grado
1 Escr ibir una ecuac ión de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2 .
2 Factor izar :
3 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuac ión x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
4 La suma de dos números es 5 y su p roducto es −84. Hal la dichos números.
5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13
años. Calcula la edad de Pedro.
6 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la finca.
7 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la
longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².
8 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena
uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
9 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante
a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
10 Hal la un número entero sab iendo que la suma con su inver so es .
11 Dos números na tura les se d i ferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580.
¿Cuáles son esos números?
12 Dos caños A y B l lenan juntos una pisc ina en dos horas, A lo hace por sí so lo en tres horas
menos que B. ¿Cuántas horas tarda a c ada uno separadamente?
13 Los lados de un tr iángulo rec tángulo t ienen por medidas en cent ímetros t res números pares
consecut ivos. Hal la los va lores de dichos lados.
14 Una p ieza rec tangular es 4 cm más la rga que ancha. Con e l la se construye una caja de 840
cm3 cor tando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las
dimensiones de la caja .
15 Un caño tarda dos horas más que o tro en l lenar un depósi to y abr iendo los dos juntos se
l lena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto t iempo tardará en l lenar lo cada uno por separado?
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
223 223
Teorema de Pitágoras:
Enunciado
B Los puntos A, B, y C del plano determinan un triángulo rectángulo y sus lados están formados por los vectores AB= a
y AC = b . La diferencia de estos vectores es el vector CB = a – b .
A C
El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )
En un tr iángulo rec tángulo , e l cuadrado de la hipotenusa es igua l a la suma de los cuadrados de los cate tos.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras:
1 Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Aplicar el Teorema de Pitágoras en la resolución de
problemas.
22
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
224 224
Ejemplo: Los ca te tos de un tr iángulo rec tángulo miden en 3 m y 4 m respect ivamente. ¿Cuánto
mide la hipotenusa?
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular e l otro cateto
Ejemplo: La hipotenusa de un tr iángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus cate tos 3 m. ¿Cuánto mide o tro
cate to?
3 Conociendo sus lados , averiguar s i es rectángulo
Para que sea rec tángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igua l a la suma de los cuadrados de los dos
menores.
Ejemplo: Determinar s i e l t r iángulo es rec tángulo.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
225 225
Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.
Hallar el valor de la hipotenusa B / CB /
2 = / BA /
2 + / CA /
2
x2 = (4m)
2 + (3m)
2
4 m x x2 = 16m
2 + 9m
2
x = 25 m2
x = 5 m
A 3 m C
Actividades 1
Resuelve los siguientes problemas
1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm.
Hallar el otro cateto.
2 En un tr iángulo rec tángulo, las proyecciones de los cate tos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.
Calcular la a l tura re la t iva a la h ipo tenusa .
3 La hipo tenusa de un tr iángulo rec tángulo mide 405.6 m y la proyecc ión de un ca te to sobre el la 60 m.
Calcular :
1 Los catetos.
2 La a l tura re la t iva a la hipotenusa .
3 El área del t r iángulo.
4 Calcular los lados de un tr iángulo rectángulo sab iend o que la proyecc ión de uno de los catetos sobre
la hipo tenusa es 6 cm y la a l tura re la t iva de la misma cm.
5 Una escalera de 10 m de longi tud es tá apoyada sobre la pared. E l pie de la esca lera dista 6 m de la
pared. ¿Qué al tura alcanza la escalera sobre l a pared?
6 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado.
¿Serán iguales sus áreas?
7 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
8 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
9 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y
en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último
círculo.
10 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular
los lados no paralelos y el área.
11 Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
226 226
PITAGORAS
Gracias al video de Disney, supimos que Pitágoras hizo las bases de la música en cuanto a las notas. Además, que los intervalos
musicales no podrían existir sin números. Por otro lado, considera las notas musicales ( escala de do) y las comparas con relaciones de
distancias del sistema solar.
- Averiguamos que tuvo un tipo de grupo de discípulos, llamados los Pitagóricos, que atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras.
- Dentro de sus aportes más importantes están: sólidos regulares, números perfectos, números amigables, estudio de medias, números
irracionales y los números figurados.
Por último, la conclusión más importante es la que tiene que ver con un pensamiento de Pitágoras, el ver en situaciones que no
parecieran tener que ver con la matemática, a los números. Ver números en todas partes.
de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del
trapecio.
12 El área de un cuadrado es 2304 cm2. Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo
perímetro.
13 En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el
exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
14 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el
área de la corona circular así formada.
15 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
16 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.
Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
17 Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.
18 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento
circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
19 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la
circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
20 Calcular el área de la corona c ircular determinada por las c ircunferencias inscr i ta y circun scr i ta a
un cuadrado de 8 m de d iagonal .
Pitágoras fue un importante matemático antiguo griego, y sus aportes siguen siendo utilizados hoy en día.
En cuanto a la explicación del teorema de Pitágoras, aprendimos la demostración geométrica de éste como se ve en una
entrada previa. Actualmente es una de las piedras angulares de la arquitectura moderna
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
227 227
Primer Teorema de Euclides:
En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al producto de la longitud de la hipotenusa
por la proyección de dicho cateto sobre ella.
/ AB /2 = / AC / . / AD / .
Segundo Teorema de Euclides: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura
correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha
hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.
Ejemplos:
1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide
el valor de la hipotenusa AC.
B
A D C
Aplicamos el 1er
Teorema: / AB /2 = AD . AC AC = AB
2
AD
/ AC / = ( 8m)2 AC = 64m
2 AC = 32 m
2m 2m
Aplicar el Teorema de Euclides en la resolución de
problemas.
23
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
228 228
2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD
= 4m y DC = 8 m. Hallar el valor de BD.
B Aplicamos el segundo Teorema.
A D C
/ BD /2 = AD . DC = / BD / = mm 8.4
/ BD / = m32 = m52 = .24 m
Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema correspondiente:
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 m y uno de sus catetos 6 m. Hallar el valor del otro cateto.
B
10 m solución: 8 m
X
A C
6 m
2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa AC . Se conocen AD = 3m , DC =
6m . Hallar AB.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
229 229
B
Solución: 3 3
A D C
El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y
AD = 5 m . Hallar: BC. B
x solución: 300
10 m
A 5 m C
2) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:
A
Solución: x1= -5
x + 1 x x2 = 1
B x + 2 C
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
230 230
3) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:
A
5
2 solución: x = 1
C x B
6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.
B solución: DC = 2,49 m
AD = 1,12 m
2 m 3m
A D C
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
231 231
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas
son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplos
1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
Aplicar el Teorema de Thales en la resolución de
problemas.
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Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
232 232
2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
Teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene
otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Ejemplo:
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
233 233
Aplicaciones del teorema de Thales
El teorema de Thales se ut i l i za para divid ir un segmento en varias partes igua les.
Ejemplo:
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1 Se d ibuja una semirrecta de or igen e l extremo A de l segmento.
2 Tomando co mo unidad cualquier medida, se seña lan en la semirrec ta 3 unidades de medida a par t ir de A
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
234 234
3 Por cada una de las divis iones de la semirrec ta se trazan rec tas parale las a l segmento que une B
con la úl t ima divis ión sobre la semirrec ta. Los puntos ob tenidos en el segmento AB determinan las 3
par tes iguales en que se divi de.
EJEMPLOS DEL TEOREMA DE TALES
TEOREMA DE TALES
TALES DE MILETO
Fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la
historia de la filosofía occidental y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de
Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia(el sabio astrónomo), y habría tenido,
según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras Fue además uno de los más
grandes matemáticas de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.
TEORIA:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
235 235
EJEMPLOS:
ejemplo #1
si sabemos que dicha línea es paralela a la base y que divide a la primera rampa de longitud 5 m y la segunda
tambien de 5m ( a ambos lados)
sabemos también que la vale mide 10 m ¿cuánto mide la línea paralela a la base que divide aun triángulo de la
pirámide en 2 rampas?
según el teorema de thales tenemos
que longitud total del lado del triángulo isósceles de la pirámide (20m) dividido por la longitud de uno
cualquiera de los segmentos iguales(5m) debe ser igual al cociente de la base sobre la línea paralela:
es decir:
10m/5m=20 m/?
entonces ?=10 m.
ejemplo #2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
236 236
Ejemplos
1.Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
1614
14/10=x/4 x=14.4/10= 5.6cm
2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Este ejercicio es
para ti
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
237 237
El teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo
AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
4/2 = 6/b b=3cm
4/2 = a/4 a=8cm
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
238 238
Aplicaciones del teorema de Thales
El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
239 239
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la
semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
Semejanza de triángulos cualesquiera
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
A y A´ B y B´ C y C´
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
a/a´ = b/b´= c/c´ = a+b+c/a´+b´+c´ = p/p´= r
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.
a/a´- b/b´-c/c´ = r s/s´=r´
Ejemplos
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra
de 0.90 m.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
240 240
0.9/0.5 = 4.5/x x = 6.5.4.5/0.9 = 32.5m
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que mide en 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de dibujo
CUROSIDADES MATEMATICAS
El matemático ignorante
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, nos podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, me confesó que tan sólo sabía multiplicar y
dividir por 2. - A pesar de todo, me dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.
Le propuse que multiplicara 75 por 38. Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:
- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?. - No -le dije- es 37'5. - De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales,
así que no los pongo.
Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1.
Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo
152, 304, 608, 1216 y 2432.
Al final tenía escrito,
Me dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que
tenían a su derecha) con lo que quedó
Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38+76+304+2432=2850, que es el
resultado correcto. Probé con otros números y también funcionaba el método. ¿Sabrías dar una explicación matemática?.
75 38
37 76
18 152
9 304
4 608
2 1216
1 2432
75 38
37 76
9 304
1 2432
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
241 241
Semejanza de triángulos
1. Criterios de semejanza de triángulos
2. Algunos ejercicios de los triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son
proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:
Ejemplo: Los triángulos siguientes son semejantes:
Aplicar semejanza de triángulos en la resolución de
problemas.
25
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
242 242
En efecto: < A = < A" ; < B = < B" ; < C = < C"
Postulado: en el triángulo ABC:
Si // , entonces:
Ejemplo
àº
En el triángulo GAW,
= 4, 8 , = 5
Encuentra =à
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A ) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos
triángulos son semejantes.
Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y < B = < E
Entonces ABC DEF
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
243 243
Ejemplo:
Según la figura, si ,
¿Es ABC DCE?
Si , entonces
(Alternos internos entre paralelas)
y ( alternos internos entre paralelas)
Por lo tanto: ABC DCE
CRITERIO lado - ángulo - lado (L .A .L)
Dos triángulos son semejantes si tienen
Dos lados proporcionales y congruentes
El ángulo comprendido entre ellos.
Decir, en los triángulos ABC y DEF,
Si ( A = ( D y Entonces ABC DEF
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
244 244
Ejemplo: ¿Son semejantes los triángulos?
Como
Entonces CRJ LBQ
CRITERIO lado - lado - lado (L. L. L. )
Dos triángulos son semejantes si tienen sus
Tres lados respectivamente proporcionales.
Es decir, en los triángulos ABC y DEF:
Si
Entonces ABC DEF
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
245 245
Ejemplo:
¿Son semejantes los triángulos TMQ y CJX?
Como:
Entonces ABC DEF
ALGUNOS EJERCICIOS DE LOS TRIANGULOS.
Actividades 1
1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24
m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.
2. Si los triángulos ABC y A"B"C" tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus
lados.
3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo
del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
246 246
INTRODUCCIÓN
La estadística está relacionada con el estudio de procesos cuyo resultado no es predecible y también con
la obtención de conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis.
PROMEDIO
Es el valor representativo de un conjunto de datos, también se conoce como Medidas de centralización.
TIPOS DE MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Media aritmética, mediana y moda.
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Media aritmética ( X ) . Es el valor promedio de una distribución y se calcula sumando las puntuaciones
y dividiendo por el número de puntuaciones
Ecuación:
n
x
n
xxxX n.......21
Ejemplos
Calcular la media aritmética de las siguientes cantidades: 12; 18; 10; 8; 5; 3
Ecuación:
n
x
n
xxxX n.......21
3,99
56
6
358101812
X
Cálculo de la Mediana.- Se pueden presentar dos casos:
Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones
elementales de estadística.
Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones
elementales de probabilidad.
26
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
247 247
Caso 1
Ejemplos
Dados los siguientes valores: 9; 15; 17; 29, calcular la Mediana
16162
32
2
1715
MeMe
Caso 2
Ejemplos
Dados los siguientes valores: 5; 12; 20 30; 47 , calcular la Mediana. Me= 20
Moda (Mo).-Es el valor que se repite con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común.
Ejemplos
Hallar la moda de los siguientes números: 8; 5; 9; 7; 3; 4; 10; 8; 9; 2; 8
Mo= 8
DISTRIBUCIÓN DE DATOS EN INTERVALOS DE CLASES
Los pesos de los alumnos de un salón de clases son:
Si el número de puntuaciones es par, la mediana es el punto medio entre los
dos valores centrales, cuando las puntuaciones están ordenadas.
Si el número de puntuaciones es impar, la mediana es la puntuación que se
encuentra en la mitad, cuando éstas están ordenadas.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
248 248
Agrupar a todos los alumnos en n intervalos de clases (n=5). Para agrupar estos datos se procede así:
Se calcula el rango (es la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de números).
Ecuación: 245983 iS LLR
Se calcula la amplitud del intervalo (c)
Ecuación ;1
n
Rc
5
5
25
5
124
c
Pasamos a agrupar los datos tomando en cuenta el intervalo de clases (5).
Clases: 59 - 63
64 - 68
69 - 73
74 - 78
79 - 83
ACTIVIDAD 1
1) Las calificaciones obtenidas en física del 3er año son:
Agrupar a estos alumnos en 6 intervalos de clases
2) La siguiente tabla presenta las calificaciones obtenidas por 20 estudiantes del 1er año en la asignatura de
matemática:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
249 249
a) Organizar los datos en intervalos de clases igual a 2
b) Calcular la nota promedio a partir de los datos organizados en intervalos de clases.
c) ¿Cuál es la moda?
d) ¿Cuál es la media aritmética?
3) A continuación se presentan las calificaciones obtenidas por los alumnos de un determinado curso:
a) Organizar los datos en intervalo de clases igual a 5.
b) Determinar el rango.
c) Determinar la amplitud del intervalo.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Frecuencia absoluta o frecuencia (f). Es el número de veces que se repite un valor en jun conjunto de
datos.
Ejemplos
Las edades de las personas que asistieron a una conferencia fueron:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
250 250
Frecuencia acumulada (Fa). Es la suma de todas las frecuencias anteriores a dicho valor y a la suya
propia.
Ejemplos
PARA DATOS AGRUPADOS
Media aritmética ( X )
Ecuación: n
fPmX
. donde: Pm= Marca de clases
f= frecuencias
n= sumas de las frecuencias de cada marca de clases
Ejemplos
Calculemos la media aritmética a partir de la siguiente tabla, la cual está formada por los pesos de los
alumnos de un salón de clases:
28,6938
2633.
4277.61.612
6359
n
fPmX
fPmPm
Mediana (Me)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
251 251
Ecuación: cfm
Pmn
LmMe .2
De donde:
Me = Mediana
Lm = Límite inferior que contiene la mediana
n= Número de datos
Pm= Frecuencia acumulada anterior al intervalo que contiene la mediana
c= Amplitud de los intervalos
f= Frecuencia del intervalo que contiene la mediana
Ejemplos
Calcular la mediana partiendo de la tabla anterior: cfm
Pmn
LmMe .2
Determinar el intervalo donde se encuentra la mediana así: 192
38
2
n
El intervalo que lo contiene es: [64-68)
Datos:
Lm = 64
Fm = 7
fm= 12
c= 5
n=38
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
252 252
Moda (Mo)
Ecuación: cff
fLiMo .
1
11
De donde:
Li = Límite inferior
f+1 = frecuencia de la clase siguiente a la modal
f-1 = frecuencia de la clase anterior a la clase modal
c= Amplitud de la clase modal
Clase modal= 64 – 68. Sustituyendo en la ecuación, calculamos Mo
9,669,2645.58,0645.10
1064 MoMo Mo= 66,9
HISTOGRAMA
Elaborar un histograma y polígono de frecuencia con los siguientes datos
Datos:
Li= 64 ; c= 5
f+1 = 10 ; f-1 = 7
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
253 253
En este histograma, la moda se encuentra en el rectángulo de mayor altura
ACTIVIDAD 2
Resolver los siguientes ejercicios:
1) Ordenar los siguientes números en forma creciente y en forma decreciente:
a) 17 45 38 27 6 48 11 57 34 22
b) 19 63 21 9 34 51 2 9 19 88
2) La puntuación final en matemática de 80 estudiantes de UCV se registran en la tabla
Con relación a esta tabla, encontrar:
a) La puntuación más alta.
b) La puntuación más baja
c) El rango
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
254 254
d) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.
e) Las puntuaciones de los cinco estudiantes de mayor puntuación.
f) La puntuación del décimo estudiante de mayor puntuación.
g) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación de 75 o mayor?
h) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron puntuación mayor que 65 pero no mayor que 85?
j) ¿Qué puntuaciones no tienen ninguno de los estudiantes?
3) Con los datos del ejercicio N° 2
a) Elaborar una tabla agrupando los datos por clases, tomando como intervalo de clases igual a 4.
b) Completa la tabla con la frecuencia absoluta y la frecuencia acumulada.
4) ¿ Cuáles son los puntos medios de los intervalos que se te dan a continuación?
a)[ 66 ; 69 ] ; b) [ 8 ; 16 ] ; c) [09 ; 18 ] ; d) [4,5 ; 10,2] e) [400 ; 499] ; f) [ 70 ; 65 ]
5) La siguiente tabla muestra el peso de 22 estudiantes:
6) Con los datos del ejercicio N° 5 construye una tabla para datos, con un intervalo de clases igual a 3.
a) Completa en tu cuaderno la tabla.
b) ¿Cuál es la suma de f ?
c) ¿Cuál es el total de la suma de x, f ?
d) ¿ Cuál es la media aritmética ?
a) ¿Cuál es el total de la suma de la frecuencia?
b) ¿Cuál es la suma total de Pm. f ?
c) ¿Cuál es la media?
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
255 255
7) Un grupo de cuatro alumnos de 3er año obtuvieron las siguientes calificaciones:
a)¿Cuál es la calificación promedio de cada uno?
8) Las calificaciones de un estudiante en siete exámenes fueron: 85; 84; 91; 72; 68; 87 y el 78
a) Ordénalas en forma creciente
b) ¿ Por qué calificación está representada la mediana?
9) Hallar la media, mediana y moda de:
a) 3; 5 ; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6.
b) 51,6 ; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
10) ¿Cuál es la medida de centralización más apropiada en:
b) En una tienda de ropa para niño, el dueño reflexiona sobre las tallas
de medias.
c) Un ingeniero que estudia la duración de 400 tubos de radio
fabricado por WAS & Cía.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
256 256
11) Dado el siguiente cuadro que indica el número de veces que 40 familias fueron durante los meses de agosto
y septiembre de este año a la playa:
a) Hallar la mediana de una distribución de frecuencia de 5 clases
b) Escribir las conclusiones
12) Calcular la moda y la media en cada caso
Espacio Muestral (E)
Ejemplos
S i lanzamos un dado tendríamos seis resultados posibles y lo representamos por el conjunto
E={1,2,3,4,5,6} es el espacio muestral del evento
Se llama espacio al conjunto de resultados posibles que se obtienen al
realizar un evento, donde el resultado está determinado por el azar. El
cardinal del conjunto corresponde al número de posibilidades.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
257 257
EVENTO
Ejemplos
S i lanzamos una moneda al aire hay dos resultados posibles cara o sello.
El espacio muestral lo representaremos por el conjunto:
E={cara, sello}
En el evento nos referimos a un solo resultado cara o sello y se denota así:
E1={cara} y E2={sello} Los subconjuntos E1 y E2 son los eventos del espacio muestral E.
Definición de Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para
poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
Recogida de datos.
Organización y representación de datos.
Análisis de datos.
Obtención de conclusiones.
Un evento, es un subconjunto del espacio muestral E de un experimento
Conceptos:
Población
Una población es el conjunto de todos los e lementos a los que se somete a un estudio estadíst ico.
Individuo
Un individuo o unidad estadíst ica es cada uno de los e lementos que componen la poblac ión.
Muestra.- Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, e l número de
indiv iduos de una muestra es menor que e l de la población.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
258 258
Muestreo.- El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una
proporción reducida y representativa de la población.
Valor.- Un valor es cada uno de los dist intos resultados que se pueden obtener en un estudio
estadíst ico. S i lanza mos una moneda a l aire 5 veces obtenemos dos va lores: cara y cruz.
Dato.- Un dato es cada uno de los va lores que se ha obtenido a l real izar un estudio estadíst ico.
Si lanza mos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara , cruz, cara, cruz .
Una variable estad íst ica es cada una de las caracter ís t icas o cual idades que poseen los i ndividuos
de una poblac ión .
Tipos de variable estadísticas Variable cualitativa
Las variables cual itat ivas se re fieren a característ icas o cual idades que no pueden ser medidas
con números . Podemos dis t inguir dos t ipos:
Variable cualitativa nominal
Una variable cua li ta t iva nominal presenta modalidades no numér icas que no admiten
un cr i ter io de o rden .
Ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa.
Una variable cualitat iva ordinal presenta modalidades no numéricas , en las que existe un orden .
Ejemplos:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa Una variable cuanti tat iva es la que se expresa mediante un número , por tanto se pueden realizar operaciones
ari tméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquel la que so lo puede tomar un número f ini to de va lores entre
dos valores cualesquiera de una característ ica .
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
259 259
Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 .
Variable contínua Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.
Distribución de frecuencias
La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos
estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
Tipos de frecuencias
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o
sumatoria.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total
de datos.
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o
iguales al valor considerado.
Se representa por Fi.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y
el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
260 260
Ejemplo:
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29,
29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el
recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.
xi Recuento fi Fi ni Ni
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29
6 9 0.194 0.290
30
7 16 0.226 0.516
31
8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
261 261
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si
las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A
cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Amplitud de la clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.
Marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para
el cálculo de algunos parámetros.
Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33 , 35, 38 , 42, 43, 38, 36 , 34, 29, 25, 17, 7 , 34, 36 , 39, 44 , 31, 26, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39,
37, 34, 32, 35, 28 , 38, 41, 48, 15, 32, 13 .
1º Se local izan los va lores menor y mayor de la dis tr ibución. En este caso son 3 y 48 .
2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la di ferencia y que sea divis ible por el número
de interva los queramos es tablecer .
Es conveniente que e l número de intervalos osc i le entre 6 y 15.
En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos e l n úmero hasta 50 : 5 = 10 interva los .
Se forman los interva los teniendo presente que e l l ími te infer ior de una clase per tenece a l in tervalo, pero e l
l ími te superior no per tenece inte rvalo , se cuenta en e l siguiente interva lo.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
262 262
c i f i F i n i N i
[0 , 5) 2 .5 1 1 0 .025 0.025
[5, 10) 7 .5 1 2 0 .025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0 .075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0 .075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
263 263
Diagrama de barras y polígonos de frecuencias
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo
discreto.
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la
variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.
Ejemplo:
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente
resultado:
Grupo sanguíneo fi
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.
También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos
mediante segmentos.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
264 264
Ejemplo:
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad. También se puede real izar trazando los puntos que
representan las frecuencias y uniéndolos mediante seg mentos .
Ejemplo:
Las tempera turas en un día de o toño de una c iudad han sufr ido las s iguientes var iac iones:
Hora Temperatura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para
las variables cualitativas.
Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a
la frecuencia absoluta correspondiente.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
265 265
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplos
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no
practica ningún deporte.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 144°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se
han agrupado en clases.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
266 266
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y
por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de
cada rectángulo.
Ejemplo:
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci fi Fi
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 105 5 63
[110, 120) 115 2 65
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
267 267
65
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de
frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
268 268
f i h i
[0 ,
5) 15 3
[5 ,
7) 20 10
[7 ,
9) 12 6
[9 ,
10) 3 3
50
Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.
Tipos de parámetros estadísticos Hay tres tipos parámetros estadísticos:
De centralización.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
269 269
De posición
De dispersión.
Medidas de centralización
Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
La medidas de centralización son:
Media aritmética La media es el valor promedio de la distribución.
Mediana
La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir
divide la serie de datos en dos partes iguales.
Moda
La moda es el valor que más se repite en una distribución.
Medidas de posición
Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.
Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.
La medidas de posición son:
Cuartiles
Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales.
Deciles
Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Percentiles
Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
270 270
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo = 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,
la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos
puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
271 271
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Ejemplo:
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
272 272
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por
un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
fi hi
[0, 5) 15 3
5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
MEDIANA Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones
centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
273 273
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de
las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo: Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi Fi
[60,
63) 5 5
[63,
66) 18 23
[66,
69) 42 65
[69,
72) 27 92
[72, 8 100
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
274 274
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)
MEDIA ARITMETICA
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total
de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo:
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
75)
100
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
275 275
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula
la puntuación media.
xi fi xi · fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
276 276
Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la
misma igual a cero.
La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a
un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media
aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar só lo para variables cuantitat ivas .
2. La media e s independiente de las a mpli tudes de los intervalos .
Mercedes Hernández Rincón
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277 277
3. La media es muy sensib le a las puntuaciones extremas . Si tenemos una distr ibuc ión con los
siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igua l a 74 kg, que es una medida de centra lización poco representat iva de la
dis tr ibución.
4. La media no se puede ca lcular si hay un interva lo con una a mpli tud indeterminada .
x i f i
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
100
En este caso no es posib le ha llar la media porque no podemos calcular la marca de clase de úl t imo
intervalo.
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278 278
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos
ordenados en cuatro partes iguales.
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
279 279
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuarti les de la d istr ibuc ión de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
280 280
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
281 281
DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles.- En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la
tabla de las frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
fi Fi
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
282 282
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
283 283
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
PERCENTILES Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
P50 coincide con D5.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
284 284
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.
ai es la amplitud de la clase.
Ejercicio de percentiles Calcular e l percenti l 35 y 60 de la distribución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
285 285
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Percentil 35
Percenti l 60
DESVIACION MEDIA Desviación respecto a la media
La desviac ión respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la var iable
es tadís t ica y la media aritmét ica .
D i = |x - x |
Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores abso lutos de las desviaciones respecto a la
media .
La desviación media se representa por
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la distribución:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
286 286
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expresión de la desviación media es:
Ejemplo:
Calcular la desviación media de la dis tr ibución:
xi fi xi · fi |x -x| |x - x| · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
287 287
[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428
21 457.5 98.57
VARIANZA La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Ejercicios de varianza
Ejercicio 1:
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
288 288
Ejercicio 2:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
289 289
42 1 820 88 050
Propiedades de la varianza 1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por
el cuadrado de dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede
calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza , a l igua l que la media, es un índ ice muy sensible a las puntuac iones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posib le ha llar la varianza .
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones
es tán e levadas a l cuadrado.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
290 290
DESVIACIÓN TÍPICA
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las
anteriores.
Ejercicios de desviación típica
Ejercicio 1:
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
291 291
Ejercicio 2:
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
292 292
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean
iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación
típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasdesviaciones
típicas se puede calcular la desviación típica total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la desviación típica 1 La desv iac ión t ípica , al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
293 293
2 En los casos que no se pueda hal lar la media tampoco será posible hallar la desv iación t ípica .
3 Cuanta más pequeña sea la desviación t ípica mayor será la concentración de datos alrededor de la media .
COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y PUNTUACIONES TÍPICAS
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que
sus medias sean positivas.
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.
Ejercicio:
Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones típicas
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.
xi = Xi − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica.
Este proceso se llama tipificación.
Las puntuaciones típicas se representan por z.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
294 294
Observaciones sobre puntuaciones típicas
La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.
La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.
Las puntuaciones típicas son adimensionales, es decir, son independientes de las unidades utilizadas.
Las puntuaciones típicas se utilizan para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.
Ejercicio
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y
52.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de
70 kg y el de Ana es 65 kg. ¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más
grueso?
José es más grueso respecto de su grupo que Ana respecto al suyo.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
295 295
PROBABILIDAD La probabilidad tiene dos maneras de definirse:
a) La probabilidad clásica (a priori)
b) La probabilidad con base experimental (a posteriori)
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD CLÁSICA (A PRIORI)
ECUACIÓN
N
n
posibles
favorables
casos
casos
de
de
número
númeroobabilidadP Pr
Ejemplos Si se lanza un dado cuál es la posibilidad de que salga 6?
Solución: Cuando lanzamos un dado, tenemos una de cada seis posibilidades de que salga 6, la probabilidad
de este evento está a razón de 6
1.
Para determinar la probabilidad (P) de un evento tenemos que conocer:
n= número de casos favorables= 1
N= número de casos posibles= 6
1666,06
1
N
nP Esto nos indica que la probabilidad de que salga 6 es del 16,66%
La probabilidad clásica (a priori) es el cociente entre el número de casos favorables y el
número de casos posibles.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
296 296
PROBABILIDAD CON BASE EXPERIMENTAL (A POSTERIORI)
Ecuación
N
nerimento
evento
un
un
lugar
ocurre
tiene
que
que
veces
veces
de
de
número
númeroobabilidadP
expPr
Ejemplos
Se lanza una moneda de Bs 100 al aire 30 veces, obteniendo los siguientes resultados.
Número de
lanzamientos
Cara Sello
30 12 18
a) Calcular la probabilidad de que salga cara
b) Calcular la probabilidad de que salga sello
Solución: La probabilidad de que salga cara es=
6,030
18Pr
lanzada
cara
fue
salió
que
que
veces
veces
de
de
número
númeroobabilidadP equivale (60%)
La probabilidad con base experimental es el cociente que existe entre el número de
veces que ocurre un caso de interés entre el número de veces que tiene lugar un
experimento.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
297 297
Actividades 1
1) ¿De cuántos modos puede dividirse una entrevista de 10 preguntas, para formar 12 entrevistas de 5
preguntas cada una?
2) Determinar la probabilidad en los siguientes casos:
a) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.
b) La obtención de 7 puntos de una sola lanzada de un par dados.
c) La aparición de un as, el 10 de diamante o el 2 de corazones en una sola extracción de una
baraja de 52 cartas.
3) De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 blancas y 5 azules, se extrae una al azar, determinar la
probabilidad de que sean : a) roja; b) blanca; c) azul; no roja ; e) roja o blanca
4) Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado.
5) Pedro y Juan juegan 12 veces a las damas, de los cuales Pedro gana 6 veces, Juan gana 4 veces y 2
terminan empatados. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:
a) Pedro gane las tres partidas; b) Dos partidas terminen empatados; c) Pedro y Juan ganen
alternativamente; d) Juan gane al menos una partida.
6) Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen dos personas al azar, hallar la
probabilidad de que: a) sean esposos; uno sea hombre y otro mujer.
7) Una clase consta de 10 niños y 20 niñas de los cuales la mitad de los niños y la mitad de las niñas
tienen los ojos verdes . Hallar la probabilidad de que una persona escogida al azar sea niño con los ojos
verdes.
8) Imagínate una rifa en la que han vendido 320 ticket con los números del 1 al 320. Tu has comprado
un ticket que tiene número 75, ¿Cuál es tu probabilidad de ganar?
9) Una bolsa contiene 100 esferas enumeradas de 1 al 100. Antes de sacar al azar una esfera de la bolsa
has apostado que la esfera que salga será el 42, el 45 o el 47. ¿Qué oportunidades tienes de ganar?
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
298 298
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
299 299
PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Una sucesión de experimentos en los cuales cada uno tenga un número finito de resultados con
probabilidades de se denomina proceso estocástico finito. El diagrama de árbol es una manera de
describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento.
Ejemplos
Tenemos las tres cajas siguientes:
Caja I Contiene 10 bombillos de los cuales 4 fundidos
Caja II Contiene 6 bombillos con 1 fundido
Caja III Contiene 8 bombillos con 3 fundidos
Escojamos al azar una caja y luego sacamos al azar un bombillo. ¿Cuál es la probabilidad p de que el
bombillo esté fundido?
Aquí realizamos una serie de experimentos:
Escogemos una de las tres cajas.
Escogemos un bombillo bueno (B) y fundido (F)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
300 300
La probabilidad de que esta trayectoria de árbol suceda es, según el teorema de la multiplicación, el producto
de la probabilidad de cada una de las ramas de trayectoria, es decir , que la probabilidad de escoger la caja I y
luego un bombillo fundido es: 15
2
5
2.
3
1
Como hay tres trayectorias que conducen a una lámpara defectuosa, la suma de las probabilidades
de todas las trayectorias es la probabilidad buscada.
120
253
8
3.
3
1.
6
1.
3
1.
5
2.
2
1p
Actividades 2
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
301 301
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
302 302
La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las
posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la
arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos:
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda
ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es
más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplos:
Al lanzar una moneda salga cara.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
303 303
Al lanzar un dado se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien
por la letra griega Ω).
Ejemplos:
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos:
Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
304 304
TIPOS DE SUCESOS
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es
un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .
Ejemplo:
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
305 305
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo
Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Ejemplo:
Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es
un suceso elemental común. Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo:
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya
sucedido o no B.
Ejemplo:
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
306 306
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .
Ejemplo:
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos a leator ios .
Si t i ramos una moneda e l espac io se sucesos está formado por :
S= { , {C}, {X}, {C,X}}.
Observamos que el pr imer elemento es e l suceso imposible y el ú l t imo e l suceso seguro .
Si E t iene un número f ini to de elementos, n, de e lementos e l número de sucesos de E es 2n
.
Ejemplos:
Una moneda E= {C, X}.
Número de sucesos = 22
=4
Dos monedas E= {(C,C) ; (C,X) ; (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 24
=16
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 26
= 64
Unión de sucesos
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como "A o B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
Propiedades de la unión de sucesos Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
307 307
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
Final del formulario
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A B se lee como "A y B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {6}
Propiedades de la intersección de sucesos Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplif icación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
308 308
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3".
Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Propiedad de la diferencia de sucesos
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.
Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
309 309
Leyes de Morgan
Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
p(A B) = p(A) + p(B)
Propiedades de la probabilidad
1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso
contrario es:
2. Probabilidad del suceso imposible es cero.
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su
intersección.
4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
Ejemplo:
La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
310 310
La computadora es una máquina que recibe información, la elabora y proporciona unos resultados. Su
propiedad más característica es la de tratar la información a gran velocidad.
La computadora consta de dos partes: Hardware (parte física) y Software (parte lógica)
HARDWARE
Es toda parte física de la computadora integrada por el conjunto de circuitos electrónicos y dispositivos
mecánicos que, actuando conjuntamente bajo la dirección del Software realizan el tratamiento y
almacenamiento de la información.
COMPONENTES BÁSICOS DEL HARDWARE
El Hardware está integrado por tres bloques principales: la unidad central del sistema de cómputos, los
periféricos de entrada y los periféricos de salida.
Unidad central del sistema de cómputos.- es el conjunto de circuitos que gobiernan el funcionamiento de
toda la computadora y el lugar donde se realizan las operaciones sobre los datos a procesar.
Distinguir los subsistemas que conforman un
computador.
Identificar las actividades fundamentales de la
programación.
27
28
Unidad central
Periféricos de entrada
Periféricos de salida
Programas de aplicación
Programas de sistemas
Hardware
Software
Elementos de la computadora
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
311 311
Tarjeta de interfase
Tarjeta de principal
Fuente de alimentación
Elementos de la unidad central de cómputos Unidad de CD ROM
Unidad de disco flexible
Disco duro
Gabinete o caja
Dispositivos periféricos son los que hacen posible la comunicación de la unidad central con el entorno.
Hay dispositivos de que son los que permiten introducir información al computador para ejecutar
determinados procesos.
Además hay dispositivos de salida que son los que reciben la respuesta del computador impresa o
auditiva.
Lápiz óptico
Teclado
Escáner
Cámara fotográfica digital
Periféricos de entrada Ratón o mouse
CD ROM
Micrófono
Cámara de video digital
Joysticks
Monitor
Periféricos de entrada Impresora
Graficadores o Plotters SOFTWARE
Comprende la parte lógica del computador y se compone de todos los programas, rutinas y sistemas que
permiten al computador ejecutar funciones.
TIPOS DE SOFTWARE
El software está representado por dos tipos de programa: los de aplicación y los operativos.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
312 312
Los de
aplicación
Son aquellos programas que se encuentran listos para su uso final y
sirven para realizar una determinada.
Los operativos
Son aquellos programas que tienen como finalidad ayudar a la
creación de otros programas, como es el caso de los lenguajes de
programación y de los sistemas operativos.
Los lenguajes de programación permiten decir al computador la tarea que va a realizar a través de una
serie de caracteres, palabras y reglas sintácticas, que se pueden emplear para escribir un programa de
computadora.
Los sistemas operativos son un conjunto de procedimientos para compartir más eficientemente los
recursos físicos y la administración de la computadora.
SISTEMA OPERATIVO
Es el conjunto de programas que hacen funcionar al computador controlando toda la actividad, sus
recursos y la interrelación entre los programas de aplicación y los diversos elementos del computador.
FUNCIONES BÁSICAS DEL SISTEMA OPERATIVO
Ayudar a organizar todo el trabajo.
Regular, controlar, ordenar y establecer una interrelación de comunicación entre la arquitectura del
computador, sus periféricos y los programas de aplicación que se ejecutan.
Permitir la comunicación entre los usuarios, el computador y las aplicaciones que se ejecutan en el
sistema.
Unificar las características de los diferentes equipos de computación.
PROGRAMACIÓN
Un programa es una secuencia de instrucciones que indican a la máquina que funciones debe de realizar
y en qué orden.
En la programación se utilizan los términos entrada y salida para designar, respectivamente, a la
información que se suministra al programa, y a la que éste produce como resultado de la ejecución de todos sus
pasos.
LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN
Es una serie de caracteres, palabras, sonidos y reglas sintácticas que se pueden emplear para escribir un
programa de computador que permita la solución de problemas generales o particulares. Entre los tipos de
lenguaje de programación están:
Lenguaje de bajo nivel son lenguajes que sólo permiten complicadas combinaciones de unos (1) y ceros
(0)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
313 313
Lenguaje de alto nivel, son lenguajes para el programador. En estos las instrucciones tienen códigos que
describen la acción a realizar.
ANÁLISIS Y DIAGRAMAS DE FLUJO
Escribir las instrucciones que constituyen un programa es sólo la última fase de un complejo trabajo de
análisis del problema específico y de su síntesis en una estructura compatible con la máquina.
El análisis del problema a resolver lleva a sintetizar incluso las operaciones más complejas en una serie
de funciones elementales representables gráficamente mediante los símbolos adecuados. De esta representación
gráfica se pasa a la escritura de las instrucciones propiamente dichas.
PLANTEAMIENTO DE UN PROGRAMA
Para cada problema de aplicación completa hay que suministrar al computador el programa adecuado.
En las aplicaciones más complejas, para obtener el resultado final, hacen falta diversos programas, cuyo
conjunto se denomina procedimiento.
Antes de iniciar la estructura de un programa hay que conocer los aspectos del problema y el método a
seguir para resolverlo.
Esta fase (planteamiento) es la más delicada, puesto que un error de evaluación puede dar a resultados
negativos o incompletos. El planteamiento de un programa se puede dividir en tres fases.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
314 314
a) Algoritmo para representar el proceso de cambiar un caucho desinflado de un automóvil
1) Identificar el caucho desinflado
2) Verificar si se tiene un caucho de repuesto
3) Si no lo tiene, comprar uno nuevo y sustituir el desinflado por el nuevo.
4) Si lo tiene, observar el estado en que está el caucho de repuesto
5) Si el repuesto está en mal estado llevarlo a reparar y luego sustituir el desinflado.
DIAGRAMA DE FLUJO PARA REPRESENTAR EL PROCESO DE CAMBIAR UN CAUCHO DESINFLADO DE
UN AUTOMÓVIL.
Ejemplos
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
315 315
b) Elaborar un diagrama de flujo en donde se encuentre el valor de A, de tal forma que el valor resultante de P sea el
siguiente:
Nociones elementales de Informática:
Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la
comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.
Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.
Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una
escritura.
e) Formas de procesamiento de datos:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
316 316
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético.
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por:
Monitor o pantalla.
Teclado.
C .P.U
Impresora.
Mouse.
Fax.
Scanner.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
317 317
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
318 318
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e
lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones
nas.
Unidad de Control
Controla los cálculos y el orden
de las instrucciones
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Traduce el
lenguaje de
máquina a
palabras y
números
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
319 319
Unidad Central de Procesamiento
Características de los computadores:
Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
Tienen gran velocidad de cálculo.
Tienen gran capacidad de almacenamiento.
Tienen gran precisión.
Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la
oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.
Tareas administrativas del computador:
a) Gestión de personal.
b) Proceso de nóminas.
c) Control de inventarios.
d) Gestión de almacén.
e) Facturación y contabilidad.
f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
g) Información de productores, partes y materiales.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
320 320
h) Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
Control de procesos industriales.
Robótica industrial.
Diseño.
Otros.
Aplicaciones tecno-científico:
Predicciones meteorológicas.
Control ambiental.
Control de comunicación satelital.
Programas de simulación (vuelos).
Otros.
Aplicaciones médicas:
a) Control clínico del paciente.
b) Mantenimiento de hospitales.
c) Tomografía computarizada.
d) Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin
ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito
de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.
Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
321 321
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
documento punched
card
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
322 322
Representación gráfica de algoritmos :
1) Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla
dándole vuelta
al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la
con llave? Llave llave en la
cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir comple-
salir tamente la
puerta
fin
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
323 323
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N = 0 SUM = 0
N = N + 1
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
324 324
SUM = SUM + N
Si
Es N < 20
No
Imprima SUM fin
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.
2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)
3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
325 325
5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
6.- Imprimir
Comienzo
N = 0 X = 0
SUM = 0
X = X + 2
N = N + 1
SUM = SUM + X
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
326 326
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima
fin
1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.
2) Representar el algoritmo para bañarse.
3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.
4) Representar el algoritmo para levantarse.
Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos
1) Leer los N° enteros positivos A y B
2) Asignar a las variables PROD y N el valor 0
3) Sumar a PROD el valor en A
4) Aumentar a N en 1.
5) Si N < B pasar a instrucción3.
6) Imprimir: PROD
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
327 327
Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.
1) Leer los N° enteros positivos A y B.
2) Asignar a las variable COC el valor 0.
1) Efectuar A – B y asignarlo a A.
2) Aumentar a COC en 1.
3) Asignar a RES el valor A.
4) Imprimir: COC y RES
Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros
positivos, utilizando divisiones sucesivas.
1) Leer los números enteros positivos A y B.
2) Si A > B, pasar a instrucción 4.
3) Intercambiar valores de A y B.
4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
328 328
5) Si R = 0 pasar a instrucción 7
6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.
7) Imprimir; MCD (A , B) = B
AUTOEVALUACION
SELECCIÓN SIMPLE
Instrucciones: Lea cuidadosamente cada una de las siguientes preguntas y Marque con una equis (X) la
respuesta correcta.
1) A una función de la forma y = ax2 + bx + c se le conoce con el nombre de
____ Función cuadrática _____ Función lineal
____ Función radical _____ Función Afín
2) El campo de existencia de una función se denomina
______ Rango ______Dominio
______ Solución ______Intervalo
3) El gráfico de una función cuadrática es una parábola vertical que se abre o es cóncava hacia arriba si
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
329 329
_____ A > 0 _____ A < 0
_____ A ≥ 0 _____ A ≤ 0
4) Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible indeterminado si tiene
_____ tres soluciones _____ infinitas soluciones
_____ dos soluciones _____ Tiene una solución
5) Si el discriminante de una ecuación de segundo grado, da como resultado igual a cero, la ecuación
_____ No tiene solución ______Tiene dos raíces reales distintas
_____ Tiene una única raíz real ______ Tiene infinitas soluciones
6) Para un sistema compatible, las dos rectas tienen pendientes distintas, por lo tanto
_____ coinciden una con otra ______son paralelas entre si
_____ se cortan en dos puntos ______se cortan en un punto
7)
_____ Parábola ______Circunferencia
_____Elipse ______Hipérbola
8) Son las distancias desde cada punto P de la hipérbola hasta los focos
_______Excentricidad _______ Asíntotas
_______Diámetro _______Radios vectores
9) Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando
______ Tiene una solución ______Tiene infinitas soluciones
_____ No tiene soluciones ______Tiene dos soluciones
10) En la resolvente. si el discriminante da como resultado un número negativo se cumple en la ecuación:
______ Una solución _______Dos soluciones
______ Ninguna solución _______infinitas soluciones
11) La radicación es el proceso inverso de la
______ Potenciación _______ Multiplicación
______ Racionalización _______ División
12) Toda potencia de exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el
______Denominador _______Numerador
______Exponente _______Indice
13) Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tienen el mimo índice y el
mismo
______Radical ______Indice
______ Subradical ______Raíz
14) Toda pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus ecuaciones se llama
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
330 330
______Solución del sistema ______Solución de la ecuación
______Compatible indeterminado ______Sistemas incompatibles
15) La representación gráfica de la función cuadrática es
______Una parábola ______Una elipse
______Una recta ______Un vector
16) Una función es cóncava, cuando su gráfica abre hacia
______Arriba ______El exponente
______Abajo ______ Los lados
17) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de
______La hipotenusa _______De los teoremas
______Los catetos _______De los lados
18) Son aquellas expresiones donde el periodo comienza en la primera cifra decimal
______Periódica pura ______Fracción generatriz
______Periódica mixta ______Ilimitada periódica mixta
19) Para halla la raíz de una raíz se
______Multiplican los índices entre si ______Se restan los índices
______Se dividen los índices entre si ______Se suman los índices
20) Transformar el denominador irracional en un número racional de una expresión fraccionaria se llama
______Racionalizar ______Potenciación
______Radicalizar ______Simplificación
COMPLETACIÓN
Instrucciones: Coloque en el espacio en blanco la(s) palabra (s) o cantidad(es) que completen correctamente el
enunciado.
21) Un sistema de ecuaciones se dice que es compatible cuando tiene una __________
22) La solución de un sistema de ecuaciones lineales es común a cada ______________
23) Las parábolas verticales son simétricas porque sus puntos son simétricos respecto a la recta vertical que
pasa por su _______________
24) El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números______________________
25) La solución de una ecuación lineal son las coordenadas de los puntos de la _______________
26) La distancia de un punto A a otro B está dado por _____________________________
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
331 331
27) Los intervalos son conjuntos numéricos y con ellos podemos realizar operaciones
de_______________________________________________________________________
28) Al conjunto formado por los elementos que pertenecen al intervalo A o al intervalo B se
denomina_______________________________________________________________
29) Una expresión de la forma 5x -2x + 4 es una__________________________________
30) Si m > 0, entonces la pendiente de la recta es __________________________________
VERDADERO Y FALSO. Coloque en el espacio una V o una F si considera la proposición verdadera o
falsa respectivamente. Si la considera falsa justifique.
31). ____Cuando la pendiente de la recta es igual a cero, la recta es paralela al eje x y la ecuación será Y = b
_________________________________________________________________________
32)._____ Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente, forman un
sistema.
_________________________________________________________________________
33).______Si a = 0 la función seria función afín, de la forma F(x) = bx + c
_________________________________________________________________________
34)______Una ecuación de segundo grado con dos incógnita es una ecuación en la que el exponente máximo de
las incógnitas es 2.
_________________________________________________________________________
35._____El máximo o mínimo de una parábola se le llaman también vértices de la parábola
36. ____El discriminante de una ecuación cuadrática AX2 + BX + C = 0 es el número B2
- 4A
_________________________________________________________________________
37._____ El vértice de una parábola vertical es el punto más alto o más bajo de esa figura
______________________________________________________________________
38.______El rango de una función es el conjunto de las imágenes de los elementos del
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
332 332
del dominio de la función.
_________________________________________________________________
39.______El método de igualación consiste en eliminar una de las variables combinando en
forma apropiada las ecuaciones
_________________________________________________________________________
40._____El máximo o mínimo de una parábola se le llaman también vértices de la parábol
GLOSARIO DE TÈRMINOS MATEMÀTICOS, PARA EJERCITAR CRUCIGRAMAS ( MODALIDAD DE FORMA DE EVALUACIÒN). Estrategia pedagógica de
evaluación en la Unidad Educativa Dr” José M. Vargas, implementada por la Prof. Mercedes D. Hernández R.
A
Acutángulo: Triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.
Aleatorio: Relativo al azar
Aligación Directa: Determinar el precio medio de una mezcla conocidas las cantidades de las sustancias que se mezclan y sus precios respectivos.
Aligación Inversa: Determinar las cantidades que deben mezclarse de cada sustancia conocido el precio medio de la mezcla y los precios de cada sustancia.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
333 333
Altura de un triángulo: Segmento que une el vértice con el lado opuesto en forma perpendicular.
Ángulo: Abertura formada por dos semirectas con un mismo origen denominado vértice.
Ángulos Adyacentes: Son los que tienen un lado común y el otro lado pertecen a la misma recta.
Ángulo Agudo: Ángulo que mide menos de 90º.
Ángulos Complementarios: Son dos ángulos que suma 90º.
Ángulos Consecutivos: Son los que tiene un lado común.
Ángulo del centro: Ángulo formado por dos radios.
Ángulo diedro: Cada una de las regiones determinadas por dos semiplanos que se cortan. Los semiplanos se llaman caras del ángulo diedro.
Ángulo Extendido (Llano): Mide 180º.
Ángulo inscrito: Ángulo formado por dos cuerdas con un extremo común.
Ángulo Llano (Extendido): Mide 180º.
Ángulo Obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º.
Ángulo poliedro: Figura determinada por tres o más semirrectas de origen común, no coplanares, y tales que el plano determinado por dos de ellas consecutivas deje a las
restantes en un mismo semiespacio.
Ángulo Recto: Mide 90º
Ángulo semiinscrito: Ángulo formado por una cuerda y una tangente trazada por un extremo de la cuerda.
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos que suman 180º.
Ángulo triedro: Figura determinada por la intersección de tres diedros cuyas aristas concurren a un punto común llamado vértice.
Apotema: El apotema de un polígono regular, es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el centro
Arco: Parte de una circunferencia.
Asíntota: Una curva tiene como asíntota una recta, si la distancia de un punto P de la curva a la recta tiende a cero cuando el punto P se aleja indefinidamente del origen de
coordenadas recorriendo la curva. También se puede decir que una asíntota es una tangente a la curva en el infinito.
Axioma: Proposición aceptada sin necesidad de demostración dada su evidencia
Axioma de continidad: Axioma de la recta real que afirma la existencia de una biyección entre los puntos de la recta y los números reales.
Axioma de Zermelo: Axioma que supone la existencia de un método para, dada una familia de conjuntos, designar un elemento particular en cada uno de ellos: si C es una
familia de conjuntos, existe una función f tal que f(A) es un elemento de A, para cada conjunto A de C.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Axioma de paralelismo: si dos rectas son cortadas por una transversal y la suma de los ángulos interiores, situados a un lado de esa transversal es menor de dos rectos, las
dos rectas se cortan a ese mismo lado de la transversal. Axiomas de Kolmogorov: Conjunto de axiomas que caracterizan la noción de probabilidad y que constituyen el modelo matemático de los fenómenos aleatorios. Axiomas de Peano: Axiomas de la aritmética con los que se definen los números naturales. Axiomas de Zermelo-Fränkel: Axiomas, en número de nueve, que formalizan la teoría de conjuntos; el octavo es el axioma de elección.
Barrow (Regla de): Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x Î (a, b), entonces
Bicuadradas (Ecuaciones): Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar en la forma ax4 + bx2 + c = 0, donde a, b y c son tres números reales.
Binomio: Expresión algebraica de dos terminos. Ejemplo, 5a - 2b.
Bisectriz: Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo
Catetos: Lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
Censo: Recuento de población.
Centil: Percentil
Cero de una función: Todo punto para el cual f(x) = 0.
Cíclico (Polígono): Polígono que se puede inscribir en una circunferencia.
Cifra Significativa: Todas las cifras excepto el cero.
Cilindro: Cuerpo geométrico que se obtiene por la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados.
Circulo: Región interior de una circunferencia.
Circunferencia: 1. Lugar geométrico de todos los puntos que están en un mismo plano y que equidistan de un punto llamado centro. 2. Linea curva, plana, cerrada cuyos puntos
equidistan de otro punto dado, llamado centro.
Circunferencia de Apolonio: Es la que tiene por diámetro la distancia entre el punto de división interior y el punto de división exterior de un trazo dividido armonicamente.
Circunferencia Goniométrica: Circunferencia de radio 1, que se utiliza para definir las funciones trigonométricas.
Coeficientes binomiales: Coeficientes de los monomios que aparecen al desarrollar las potencias del binomio.
Combinatoria: Parte de la matemática que analiza las diferentes formas de agrupar elementos y calcular el número de posibilidades.
Combinación lineal: Un vector en el plano, es combinación lineal de dos vectores dados, si es la suma de dos vectores ponderados de los vectores dados.
Complejos Iguales: Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Composición de Funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x). Conjunto Finito: Conjunto que tiene un número limitado de elementos. Conjunto Infinito: Conjunto de un número ilimitado de elementos. Conjunto por Comprensión: Es en el que se enuncia la propiedad común de sus elementos. Ejemplo: Las vocales. Conjunto por Extensión: Cuando se señalan todos los elementos del conjunto. Ejemplo Las Vocales = {a, e, i, o, u}
Conjuntos Solapados: Conjuntos que tienen elementos comunes.
Congruencia (de figuras): Dos figuras son congruentes si tiene sus lados homógos congruentes.
Congruencia (de números): Dado m un número entero, diremos que dos números enteros a y b son congruentes módulo m si a - b es múltiplo de m.
Conmutativa: Propiedad que no cambia el resultado de una operación al alterar el orden de los elementos que operan.
Cono: Cuerpo sólido engendrado por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto forma la base circular del cono, mientras que la hipotenusa (generatriz) forma la superficie cónica.
Cono Oblicuo: Cono, cuyo eje cae en forma oblicua a la base.
Cono Recto: Cono, cuyo eje cae perpendicularmente a la base.
Cono Truncado: Porción de cono comprendida entre la base y un plano paralelo a la misma.
Constante: Cantidad cuyo valor se mantiene inalterable.
Constante de proporcionalidad: Si las variables x e y están relacionadas por y = kx, se dice que k es la constante de proporcionalidad entre ellas.
Convexa (Función): Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de dicho intervalo.
Coordinables: Dos conjuntos son coordinables cuando tienen el mismo número de elementos.
Coplanarios: Puntos situados en un mismo plano.
Corolario: Es una consecuencia inmediata de un teorema.
Corona Circular: Figura plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Cosecante: Función trigonométrica que corresponde a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Es inversa a la función seno.
Coseno: Función trigonométrica que corresponde a la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Criptografía: Disciplina que se ocupa de codificar información y descifrar información codificada.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Cuadrado: Paralelógramo de cuatro lados iguales y cuatro ángulos congruentes (rectos).
Cuadrado de un Binomio: Es igual al cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Cuadrado de un Trinomio: Es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más o menos el doble producto del primer término por el tercero, más o menos el doble producto del segundo término por el tercero.
Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.
Cuarta Proporcional: Es cualquiera de los cuatro términos de una proporción discreta.
Cuartil: Se llama cuartiles de una distribución de datos estadísticos, a los intervalos que se obtienen al dividir en cuartos el conjunto de datos, ordenados de mnor a mayor.
Cubo de un Binomio: Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término.
Cuenta: Relación entre los ingresos y los gastos.
Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Cuerpo poliédrico: Cuerpo limitado por caras planas.
Cuerpo redondo: Cuerpo limitado, a lo menos, por una cara curva.
Cuña Esférica: Porción de volumen de una esfera, comprendida entre un huso esférico y el diámetro de la esfera que pasa por los extremos del huso.
Deca: Prefijo griego que significa 10.
Década: Período de diez años.
Decaedro: Poliedro de diez caras.
Decágono: Polígono de diez lados.
Decágono Regular: Poligono de diez lados iguales. Sus ángulos también son de igual medida.
Decágramo: Medida de masa equivalente a diez gramos.
Decálitro: Medidad de capacidad equivalente a diez litros.
Decámetro: Medida de longitud equivalente a diez metros.
Decena: Conjunto formado por diez unidades.
Deci: Prefijo que significa décima parte.
Decígramo: Medida de masa equivalente a la décima parte del gramo.
Decílitro: Medida de capacidad equivalente a la décima parte del litro.
Décima: Cada una de las diez partes iguales en que se divide una unidad o un todo.
Decímetro: Medida de longitud equivalente a la décima parte del metro.
Décuplo: Que contiene un número 10 veces.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Deducción: Conclusión basada en un conjunto de proposiciones verdaderas.
Delta: Cuarta letra del alfabeto griego que tiene la forma de un triángulo.
Demostración: Proceso por el cual, mediante una serie de razonamientos lógicos, se llega a establecer la verdad de una proposición o teorema a partir de cierta hipótesis.
Denominador: Parte de una fracción que indica en cuiántas partes está dividido un todo o la unidad.
Descomposición Factorial: Descomponer un número en sus factores primos.
Desigualdad: Relación matemática que indica que dos expresiones no son iguales.
Desviación: En Estadística, diferencia d cada valor con el promedio.
Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos de una figura geométrica.
Diagrama: Figura gráfica que explica un fenómeno estadístico, físico, químico, matemático, etc.
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Equivale al doble del radio y es la máxima cuerda que se puede trazar en una
circunferencia.
Diedro (Ángulo): Cada una de las regiones determinadas por dos planos que se cortan.
Diplo: Prefijo griego que significa doble.
Disco: Es la unión de la circunferencia con el círculo.
Discriminante: A la expresión b2 - 4ac se la denomina discriminante y se denota por la letra griega D. Si a, b y c son números reales y el discriminante es mayor
que cero, las soluciones o raíces de la ecuación serán reales y distintas; si el discriminante es igual a cero, las raíces serán reales e iguales y si el discriminante es menor
que cero, la ecuación no tendrá soluciones reales pero sí en el campo complejo, donde habrá dos raíces conjugadas.
Disjuntos: Conjuntos cuya intersección es vacía.
Dispersión: Principal medida cuantitativa de la di`persión de una distribución de datos.
Dividendo: Número que se divide por otro.
Divina proporción: Proporción de la forma (a+b)/a = a/b, que se satisface entre los lados a y b de un rectángulo armoniosamente proporcionado.
División armónica de un trazo: Consiste en dividir un trazo interior y exteriormente en la misma razón.
División exterior de un trazo: Consiste en encontrar un punto en su prolongación, de modo que los segmentos determinados por dicho punto y los extremos del trazo, están en
una razón dada.
División interior de un trazo: Consiste en encontrar un punto en el trazo de modo que los segmentos que determina dicho punto, estén en esa razón.
Docena: Conjunto formado por 12 unidades.
Dodecaedro: Poliedro de 12 caras.
Dodecágono: Polígono de 12 lados.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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E
e: Número irracional transcendente que puede obtenerse como límite de la sucesión: (1 + 1/n )n cuando n tiende a infinito.
Ecuación: Es toda igualdad válida sólo para algún(nos) valor(es) de la(s) variable(s). Ejemplo, 6x = 18; x - y = 7
Ecuación bicuadrada: Ecuación de cuarto grado de la forma ax4 + cx2 + e = 0.
Ecuación cuadrática: Ecuación de segundo grado o cuadrática se expresa mediante la relación ax2 + bx + c = 0, donde a es distinto de 0. Ecuación cúbica: Las ecuaciones de tercer grado o cúbicas son del tipo ax3 + bx2 + cx +d = 0, donde a es distinto de 0.
Ecuación cuártica: Las ecuaciones de cuarto grado o cuárticas, ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, para a distinto de 0.
Ecuación Diferencial: Ecuación que contiene derivadas.
Ecuación Exponencial: Se refiere a la ecuación en la cual la incógnita aparece en algún exponente.
Ecuación Incompleta Pura: Ecuación cuadrática de la forma ax2 + c = 0.
Ecuación Incompleta Binomia: Ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx = 0.
Ecuación Literal: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por letras.
Ecuación Logarítmica: Ecuación en la cual aparecen expresiones logarítmicas.
Ecuación Numérica: Ecuación cuyas cantidades conocidas están representadas por números.
Ecuación Trigonométrica: La ecuación trigonométrica es aquella cuyas incógnitas son el asunto principal de las funciones trigonométricas.
Ecuaciones compatibles: Ecuaciones que tienen al menos una solución común.
Ecuaciones equivalentes: Ecuaciones que tienen las mismas soluciones.
Ecuaciones Independientes: Ecuaciones que no poseen las mismas soluciones.
Ecuaciones Simultáneas: Ecuaciones para las cuales se verifican valores iguales de las incógnitas.
Equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados iguales.
Elemento: Cada uno de los objetos pertenecientes a un conjunto.
Elipse: Lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos dados es constante. Los puntos dados se denominan focos de la elipse.
Endomorfismo: Homomorfismo de una estructura en sí misma.
Eneágono: Polígono de nueve lados.
Eneágono Regular: Polígono de nueve lados iguales.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Épsilon: Quinta letra del alfabeto griego.
Equidistante: Que está a la misma distancia.
Equivalente: Que tiene igual valor.
Error Absoluto: Diferencia entre el valor exacto y el valor encontrado en una medida.
Error Relativo: Cociente entre el error absoluto y la medidad exacta.
Escalar: Magnitud que queda completamente determinada por un número real.
Escaleno (Triángulo): Triángulo que tiene sus tres lados desiguales.
Escaleno (Trapecio): Trapecio con un par de lados paralelos.
Escalonada (Función): Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en
R, f:[a,b] --> R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los
intervalos de la partición.
Esfera: Cuerpo limitado por una superficie cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.
Euclídeo: Que hace referencia a Euclides o se basa en sus principios matemáticos.
Evaluar: Valorar una cosa.
Eventos Incompatibles: Se refiere a dos sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, de intersección vacía.
Excéntricas: Figuras cuyos centros no coinciden.
Exponente: Número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad.
Extremos Relativos: Máximo y mínimo relativo de una función real.
F
F: Letra usada para designar una función.
Factor: Cada uno de los términos de una multiplicación.
Factorial: Producto obtenido al multiplicar un número pósitivo dado, por todos los enteros positivos inferiores a ese número. Se simboliza por n!
Finito: Que tiene fin, término o límite.
Fracción Decimal: Fracción que tiene por denominador una potencia positiva de 10.
Fracción Impropia: Fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.
Fracción Irreductible: Fracción que no se puede simplificar más.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Fracción Ordinaria: Fracción cuyos términos son números enteros.
Fracción Propia: Aquella cuyo numerador es menor que el denominador.
Fracciones Equivalentes: Aquellas que tienen el mismo valor.
Función Contínua: Una función f(x) es continua en x = x0 si y sólo si:
1º) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x0.
2º) Existe f(x0) tal que f(x0) = L
Función Lineal: Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) = ax + by. Su representación gráfica eas una recta.
Función Primitiva: Dada una función cualquiera f(x), definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho
intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
G
Gamma: Tercera letra del alfabeto griego.
Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre los puntos, lineas, ángulos, superficies y cuerpos.
Geometría Plana: Trata de las figuras cuyos puntos y lineas están situados en un plano.
Geometría del Espacio: Trata de las figuras cuyos elementos no están todos en el mismo plano.
Grado de un término algebraico: Es la suma de los exponentes de la parte literal de un término algebraico.
Grado Sexagesimal: Está dividido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto está dividido en 60 partes llamados segundos.
Grupo Cíclico: Grupo engendrado por un conjunto reducido a un solo elemento.
H
Hecta: Prefijo que significa cien.
Hectárea: Medida de superficie que equivale a 10.000 metros cuadrados.
Hectógramo: Medida de peso equivalente a 100 gramos.
Hectólitro: Medida de capacidad equivalente a 100 litros.
Hectómetro: Medida de longitud equivalente a 100 metros.
Hemisferio: Cada una de las dos partes de una esfera, limitadas por un círculo máximo.
Heptaedro: Poliedro de siete caras.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
341 341
Heptágono: Polígono de siete lados.
Heptágono Regular: Polígono de siete lados iguales.
Herón (Fórmula de): Fórmula para encontrar el área de un triángulo en función de los lados.
Hexa: Prefijo que significa seis.
Hexaedro: Poliedro de 6 caras regulares, más conocido como cubo.
Hexágono: Polígono de seis lados.
Hexágono Regular: Polígono de seis lados iguales. Sus ángulos interiores son iguales y miden 120° cada uno.
Hexagrama: Figura plana compuesta de dos triángulos equiláteros que se cortan entre sí, de modo que cada lado de uno es paralelo a un lado del otro y forman un hexágono.
Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Hipotenusa: El mayor de los lados de un triángulo rectángulo y que s opuesto al ángulo recto.
Hipótesis: Enunciado o proposición que se toma como base de un razonamiento matemático.
Homogéneo: Compuesto o formado por elementos de igual naturaleza.
Homólogos: Elementos homólogos son los que tienen la misma posición en figuras de igual forma.
Huso Esférico: Porción de superficie esférica comprendida entre dos semicirculos máximos.
I
i: Simbolo de la unidad imaginaria.
Icosaedro: Poliedro de veinte caras.
Icosaedro Regular: Poliedro de veinte caras iguales que son triángulos equiláteros.
Idénticas (Figuras): Las que son iguales en forma y tamaño.
Identidad: Igualdad que se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s) que contiene. Ejemplo, x + y = y + x.
Igualación: Método para resolver sistemas de ecuaciones.
Incentro: Punto en que se cortan las bisectrices interiores de un triángulo. Este punto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación.
Incompatible (Sistema): Sistema de ecuaciones que no tiene ninguna solución común.
Inconmesurables (Números): Números que no tienen submúltiplos comunes.
Indivisible: Número que no admite división exacta, como ser, los números primos.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
342 342
Inecuación Lineal: Se llama inecuación lineal con una incógnita a una expresión de cualquiera de los cuatro tipos siguientes:
donde
Infinitesimal: Cantidad infinitamente pequeña de límite cero.
Infinito: Magnitud mayor que cualquier cantidad dada.
Inscrito (Ángulo): Ángulo cuyo vértice está sobre una circunferencia y vale la mitad del arco que subtiende.
Interpolación: Método para encontrar valores de una sucesión entre otros dos conocidos.
Intersección: Elementos comunes a dos o más conjuntos.
Intervalo o Clase: En Estadística, agrupación de datos o sucesos a fin de facilitar su estudio.
Inverso: El inverso de un número es otro número que multiplicado por el primero, da la unidad.
Involución: Transformación geométrica que si a un punto A hace corresponder B, a B le hace corresponder A.
Isogonal: Que tiene los ángulos iguales.
Isomorfismo: Correspondencia biunívoca entre dos conjuntos que conservan las operaciones. Toda aplicación biyectiva que cumpla que f(a*b) = f(a)*f(b) es un isomorfismo.
Isósceles (Triángulo): Triángulo que tiene dos de sus lados iguales.
Isósceles (Trapecio): Trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes.
K
Kilo: Prefijo que significa mil.
Kilógramo: Unidad de masa que equivale a mil gramos.
Kilolitro: Medida de capacidad equivalente a mil litros.
Kilómetro: Medida de longitud que equivale a mil metros.
Kilómetro Cuadrado: Unidad de superficie equivalente a la de un cuadrado de lado 1 kilómetro.
L
Largo: Longitud de una cosa.
Lateral: Relativo a los bordes de los polígonos o a las caras de los poliedros.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
343 343
Líneas Paralelas: Líneas que no se juntan por mucho que se prolonguen.
Lineas Perpendiculares: Líneas que la cortarse forman un ángulo de 90°.
Linea Quebrada: Linea formada por varias rectas que tienen un punto en común.
Líneas Secantes: Líneas que se cortan en un punto.
Logaritmo: El logaritmo de un número, respecto de otro llamado base, es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.
Lugar geométrico: Conjunto de puntos que cumple con una determinada condición.
M
Macro: Prefijo que significa grande.
Mantisa: Parte decimal de un logaritmo.
Máximo Común Divisor: El mayor número entero que es divisor de un conjunto de números enteros.
Media Aritmética: Cociente entre la suma de los términos de una sucesión y el número de ellos.
Media Armónica: Inversa de la media aritmética de los inversos de los términos de una sucesión.
Media Geométrica: Cada uno de los medios de una proporción continua y es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
Mediana (de un triángulo): Segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo.
Mediana (de un trapecio): Segmento que une los puntos de los lados no paralelos del trapecio.
Mediatriz: Recta perpendicular, en el punto medio, a un segmento.
Mega: Prefijo que significa un millón.
Megámetro: Medida de longitud que equivale a 1.000 kilómetros.
Mensurable: Que se puede medir.
Metría: Sufijo que significa medida.
Micra: Medida de longitud equivalente a la millonésima parte de un metro.
Micro: Prefijo que significa la millonésima parte de la unidad principal.
Mili: Prefijo que indica milésima parte.
Milígramo: Milésima parte de un gramo.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
344 344
Milímetro: Milésima parte del metro.
Milla: Unidad de longitud equivalente a 1.609,347 metros.
Millón: Mil veces mil.
Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes a varios números.
Minuendo: Cantidad de la que se resta otra en una sustracción.
Miria: Prefijo que significa diez mil.
Mitad: Cada una de las dos partes en que se divide un todo.
Mixto: Número compuesto de un entero y una fracción.
Moda: Medida de tendencia central usada en Estadística, correspondiente al término que más se repite.
Monotonía: Propiedad de la desigualdad. a < c entonces a + b < c + b.
Monomio: Expresión algebraica de un solo término. Ejemplo, 7a
Muestreo: Estudia las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la misma.
Multinomio: Expresión algebraica de tres o más términos.
Multiplicación: Operación aritmética que consiste en sumar tantas veces un número como lo indica otro número. Ambos son los factores y el resultado es el producto.
Múltiplo: Cantidad aritmética o algebraica que es producto de otras dos que son divisores de ellas.
N
IN: Símbolo que designa al conjunto de los números naturales, o sea el 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Nonius: Instrumento que sirve para medir con exactitud las fracciones de una división.
Numerable: Conjunto con el que se puede establecer una correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales.
Numerador: Parte de una fracción que indica las partes que se toman de una partición.
Número abstracto: El que no se refiere a una unidad de especie determinada.
Números amigos: Par de números enteros positivos tales que la suma de los divisores positivos de cada número menores que él es igual al otro número.
Número cardinal: Cada uno de los enteros considerados en abstracto.
Número complejo: Número de la forma a + ib con a y b, números reales e i2 = -1. También pueden ser representados por pares ordenados (a,b) donde a y b son
números reales. El elemento a recibe el nombre de parte real y b parte imaginaria.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
345 345
Número compuesto: El que se expresa con dos o más guarismos. Número que no es primo (exepto el uno).
Número concreto: El que expresa cantidad de especie determinada.
Número congruente: Cada uno de los miembros de un par de enteros que, divididos por un tercero llamado módulo, dan restos iguales.
Número cósico: Número que es potencia exacta de otro.
Número e: Número irracional transcendente que puede obtenerse como límite de la sucesión: (1 + 1/n )n cuando n tiende a infinito.
Número de Fermat: Todo número de la forma 22n+1; para cada n=1,2,3, ...
Número deficiente: El que es inferior a la suma de sus partes alícuotas.
Número dígito: El que puede expresarse con un solo guarismo. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Número entero: El que consta exclusivamente de una o más unidades, por oposición a los quebrados y los mixtos.
Número Factorial: Es el producto de números consecutivos naturales
n! = (n)·(n-1)·(n-2)·.........3·2·1
En esta expresión se define que 0! = 1 y que 1! = 1.
Número fraccionario (o quebrado): Número que expresa una o varias partes de la unidad.
Número imaginario: Número que resulta de extraer la raíz cuadrada de un número negativo.
Número impar: Número que no es divisible exactamente por dos.
Número mixto: Número compuesto de entero y fracción.
Número negativo: Número menor que 0.
Número ordinal: el que expresa idea de orden o sucesión.
Número par: Número divisible exactamente por dos.
Número perfecto: Número entero y positivo igual a la suma de sus divisores positivos, excluido él mismo.
Números pitagóricos: Ternas de números enteros positivos tales que el cuadrado de uno de ellos es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Si las longitudes
de los dos lados de un triángulo son enteros y pitagóricos, el triángulo es rectángulo.
Número plano: Número que procede de la multiplicación de dos enteros.
Número poligonal: Número natural de la sucesión n0 = 1, n1 .. nr ..., en la que nr = nr-1 + (m-2)r +1, donde m es un número natural mayor que dos. Para m = 3,4,5... se
obtienen los números triangulares, cuadrangulares, pentagonales... El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico formado con triángulos,
cuadrados, pentágonos..., respectivamente.
Número positivo: Número mayor que 0.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Número primo: El que sólo es exactamente divisible por sí mismo y por la unidad. Los primeros son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Número rectangular: Que se puede disponer, en base a figuras, en forma de rectángulo.
Número sólido: Número obtenido de la multiplicación de tres enteros.
Número sordo: Número que no tiene raíz exacta.
Número superante: Número que es superior a la suma de sus partes alícuotas.
Número transfinito: Número cardinal que no es entero.
Número trascendente: Número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.
Número triangular: Número natural de la sucesión n0 = 1, n1 ... nr ..., en la que nr = nr-1 + r +1,... El número nr es el de los puntos marcados en un esquema geométrico
formado con triángulos.
O
Oblicuángulo: Triángulo que no tiene ningún ángulo recto.
Obtusángulo: Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
Octógono: Polígono de ocho lados.
Octante: Cada una de las ocho partes iguales en que se puede dividir un círculo.
Octavo: Cada una de las ocho partes que se puede dividir un todo o una unidad.
Operación binaria: Operación que se realiza con dos elementos al mismo tiempo.
Ordenada: Segunda componente del par ordenado (x,y) que determinan un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesianas.
Origen: Punto de intersección de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas.
Ortocentro: Punto del triángulo donde se cortan las alturas. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Ortoedro: Paralelepípedo cuyas bases son rectángulos y sus aristas laterales perpendiculares a las básicas.
Ortogonal: Lo que está en ángulo recto.
Óvalo: Curva cerrada con dos ejes de simetría perpendiculares entre sí y compuesta de varios arcos de circunferencia tangentes entre sí.
P
Pantógrafo: Instrumento que sirve para hacer dibujos a escala.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
347 347
Par: Todo número entero múltiplo de 2. Se representa por 2n.
Parábola: Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan, a la vez, de un punto dado y de una recta dada. El punto dado es el foco y la recta dada, la directriz de
la parábola.
Paradoja: Razonamiento que parece demostrar que es cierto algo que evidentemente es falso.
Paralelepípedo: Prisma cuyas bases son paralelógramos.
Paralelógramos: Cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades: Los lados opuestos tienen la misma
longitud, los ángulos opuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio.
Paralogismo: Razonamiento incorrecto.
Paréntesis: Signo () en el que quedan encerradas ciertas operaciones y que indica el orden en que deben efectuarse.
Paridad: Igualdad o semejanza de las cosas entre sí.
Parte: Porción determinada de un todo.
Parte Alicuanta: Parte que no divide exactamente a un todo.
Parte Alicuota: Parte que divide exactamente a un todo.
Partición: Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos y cuya unión es [a,b].
Penta: Prefijo que significa cinco.
Pentadecágono: Polígono de 15 lados.
Pentadecágono Regular: Polígono de 15 lados iguales. Cada ángulo interior mide 156°.
Pentágono: Polígono de 5 lados.
Pentágono Regular: Polígono de 5 lados iguales. Cada ángulo interior mide 108°.
Perímetro: Longitud de una curva cerrada.
Perímetro de un Polígono: Corresponde a la suma de las longitudes de sus lados.
Período: Cifra o cifras que se repite(n) en una fracción decimal periódica.
Perpendicular: Rectas que se cortan formando ángulos rectos.
Pi: Número irracional que corresponde a la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Pirámide: Cuerpo geométrico que tiene como base un polígono cualquiera y como caras laterales triángulos con un vértice común.
Pirámide truncada: Porción de pirámide comprendida entre la base y un plano paralelo a ella.
Planimetría: Parte de la martemática que se ocupa del cálculo de áreas mediante planímetros.
Planímetro: Instrumento utilizado para medir áreas de figuras planas.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
348 348
Planos Coaxiales: Planos que tienen en común una recta.
Planos Paralelos: Planos que no tienen ningún punto en común.
Planos Secantes: Planos que se intersectan.
Polidígitos: Números constituídos por más de una cifra.
Poliedro: Sólido limitado por polígonos llamados caras.
Poliedro Regular: Poliedro cuyas caras son polígonos regulares.
Polígono: Figura plana limitada por una linea poligonal cerrada.
Polígono Circunscrito: Un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando sus lados son tangentes a la misma.
Polígono Convexo: Polígono cuyos ángulos interiores son todos menore o iguales a 180°.
Polígono equiangular: Polígono que tiene todos sus ángulos interiores iguales.
Polígono equilateral: Polígono que tiene todos sus lados iguales.
Polígono Inscrito: Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices son puntos de la circunferencia.
Polígono Circunscrito: Todos los lados del poligono son tangentes a una circunferencia.
Polígono Regular: Es el polígono que tiene de igual medida sus lados y congruentes sus ángulos.
Polígonos Semejantes: Dos polígonos son semejantes si tienen ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Polinómica: Forma desarrollada de un número que nos indica el valor relativo de sus cifras.
Polinomio: Expresión algebraica que consta de varios términos.
Porcentaje: Es una razón cuyo consecuente es 100. Ejemplo, 13% = 13/100.
Postulado: Principio que se admite sin demostración.
Potencia: Producto de un número, llamado base, por sí mismo, n veces.
Potencia de un punto: Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia, al producto de los segmentos de cualquier secante que pase por ese punto, comprendidos
entre éste y las intersecciones de la secante con la circunferencia.
Primo: Número divisible sólo por sí mismo y por la unidad. Los primeros naturales son: 2, 3, 5, 7, 11,...
Primos entre sí: Números cuyo único divisor es el 1.
Prisma: Poliedro limitado por varios paralelógramos y por dos polígonos iguales cuyos plano son paralelos.
Producto de dos binomios con un término común: Es igual al cuadrado del primer término común, más la suma algebraica de los términos diferentes multiplicada por el término
común, más o menos el producto de los términos diferentes. Ejemplo, (a + 5)(a + 7) = a2 + 12a + 35.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
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Progresión aritmética : Sucesión de números reales tal que la diferencia entre cada término y su precedente es una diferencia constante; a esta diferencia "d" se la
denomina razón de la progresión, tal como: 2, 5, 8, 11, 14,...
Progresión geométrica : Sucesión de números reales tal que cada término se obtiene multiplicando su precedente por un valor constante "r", denominado razón de la
progresión. Por ejemplo 3, 6, 12, 24, 48, ....
Proporción: Es la igualdad de dos razones. Ejemplo, como 3:5 = 0,6 y 6:10 = 0,6 entonces ambas razones son de igual valor con lo que se forma la proporción 3:5 = 6:10. En
una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Proporción armónica: Conjunto de tres números en los que el mayor forma con el menor, la misma razón que la existente entre la diferencia del mayor y el del medio, y el medio y el menor. Por ejemplo: 3; 4 y 6.
Proporción Continua: Es la proporción cuyos medios son iguales.
Proporcionalidad Directa: Dos cantidades son directamente proporcionales si al multiplicar una, varía también la otra en el mismo factor. Ejemplo, un dulce vale $70, entonces 9
dulces valen 9·70 = $630.
Proporción Discreta: Es la proporción cuyos medios son distintos.
Proporcionalidad Inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales si al multiplicar una, la otra disminuye en el mismo factor. Ejemplo, 4 trabajadores demoran 20 días
en hacer una obra, 8 trabajadores demoran en hacer la misma obra 10 días.
Proporciones Iteradas: Son igualdades de dos o más razones. Ejemplo, a:b:c = 2:3:5.
Punto de Aglomeración: Un punto p es un punto de aglomeración de la sucesión (sn) cuando existen infinitos términos de la sucesión tan cerca de p como se desee.
Punto de Fuga: Punto en el horizonte al que llegan todas las lineas paralelas la cual da, en un dibuko, la sensación de perspectiva.
Punto Notable: Nombre que se le da al ortocentro, incentro, circuncentro, centro de gravedad.
Q
Q: Símbolo con el que se representa el conjunto de los números racionales.
Quebrada(Linea): Linea formada por varias rectas, una a continuación de la otra, con distinta dirección. Pueden ser abiertas o cerradas.
Quebrado (Número): Término con el que también se designa una fracción.
Quinario: Conjunto de cinco elementos
Quincuagésimo: Cada una de las partes que resultan al dividir un todo o una unidad.
Quintal: Medidad de peso que equivale a 100 kg.
Quinto: Cada una de las partes que resultan al dividir un todo o unidad en cinco partes iguales.
Quíntuplo: Cinco veces una cantidad.
R
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
350 350
IR: Símbolo con el cual se designa a los números reales.
Racionalizar: Operación que consiste en eliminar la raíz del denominador.
Radián: Unidad de medida de ángulos que equivale a un ángulo que con el vértice en el centro de la circunferencia subtiende un arco de longitud igual al radio de esta
circunferencia.
Radicación: Operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar la base de una potencia, dados el resultado de ella y su exponente.
Radical: Simbolo que indica la operación de extraer raíz.
Radio (De una circunferencia): Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Radio (De una esfera): Segmento que une el centro de la esfera con un punto cualquiera de la superficie esférica.
Radio (De un polígono): Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
Radio Vector: Segmento orientado que va del foco a un punto de la parábola o elipse.
Raíz (De una ecuación): Solución de una ecuación.
Raíz Cuadrada: Expresión radical de índice dos.
Raíz Cúbica: Expresión radical de índice tres.
Rango: En estadística, es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos ordenados.
Razón: Comparación entre dos cantidades por cuociente. Ejemplo, si un niño tiene 5 años y otro 3 años, decimos que sus edades están, respectivamente, en la razón 5:3.
Recíproco: Corresponde al valor inverso de un número, de manera tal que al efectuar el producto entre ambos, resulta 1.
Recta: Es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una linea recta.
Rectas Convergentes: Rectas que tienen un punto en común.
Rectas Paralelas: Rectas, en un mismo plano, que no tienen puntos en común.
Rectángulo (Triángulo): Triángulo que tiene un ángulo recto.
Rectángulo (Cuadrilátero): Paralelógramo con lados opuestos iguales y sus cuatro ángulos congruentes.
Rectángulo (Trapecio): Trapecio que tiene un lado perpendicular a las bases.
Reducción: Nombre dado a uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones.
Reflexiva: Propiedad de las relaciones binarias que indica que todo elemento está relacionado consigo mismo.
Región: Parte del espacio.
Regla de Tres Simple: Regla que permite resolver aquellos problemas en que, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente proporcionales, y
un nuevo valor de una de ellas, se pide hallar el valor que le corresponde a la otra.
Regla de Tres Compuesta: Regla que permite resolver aquellos problemas en que la magnitud en que está la incógnita depende de otras dos o más y es directa o inversamente
proporcional a cada una de ellas, tomadas separadamente, permaneciendo figas las demás.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
351 351
Regla de Ruffini: Regla para dividir un polinomio por (x + a) o (x - a).
Relación de Inclusión: Relación que indica que un conjunto está incluído en otro conjunto.
Revolución: Rotación alrededor de un eje de cualquier figura.
Rombo: Paralelógramo de cuatro lados y dos pares de ángulos congruentes.
Romboide: Paralelógramo que tiene dos lados opuestos iguales y dos pares de ángulos opuestos congruentes.
Rotación: Giro alrededor de un eje.
S
Sagita: Perpendicular del arco a su cuerda en el punto medio.
Secante: Recta que intercepta a la circunferencia en dos puntos no coincidentes. Toda secante determina una cuerda. // Se llama secante de dos o más rectas a otra recta que las
intersecta.
Sección: Figura que resulta de la intersección de una superficie con un sólido.
Sección Cónica: Sección que se origina al cortar con un plano un cono circular recto.
Sector Circular: Región limitada por dos radios y el arco subtendido por ellos.
Sector Esférico: Porción de volumen de esfera que está engendrada por un sector circular que gira alrededor de un diámetro de la esfera. Está formada por un casquete y su cono.
Segmento: Porción de recta limitada por dos puntos.
Segmento Circular: Región limitada por una cuerda y el arco determinado por ella.
Segundo: Unidad de tiempo que equivale a la 60 ava parte de un minuto.
Semana: Período de tiempo de siete días.
Semejantes (Figuras): Figuras cuyos ángulos homólogos son congruentes y sus segmentos homólogos proporcionales.
Semejantes (Términos): Términos que tienen el mismo factor literal. Por ejemplo 5ab y -7ab.
Semestre: Período de seis meses.
Semi: Prefijo que significa mitad.
Seno (De un ángulo): Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Serie: Suma de una sucesión ordenada de términos.
Serie Aritmética: Serie cuyos términos forman una progresión aritmética.
Serie Convergente: Serie que tiene un límite definido.
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
352 352
Serie Divergente: Serie que no tiene un límite definido.
Serie geométrica: Serie cuyos términos forman una progresión geométrica.
Sexagesimal: Que tiene por base el número 60.
Sexagésimo: Cada una de las 60 partes iguales en que se puede dividir un todo.
Sexto: Cada una de las seis partes iguales en que se puede dividir un todo.
Sextuplo: Seis veces una cantidad.
Siglo: Período de tiempo correspondiente a cien años.
Símbolo: Representación convencional de un número, cantidad, relación, operación, etc.
Simetral: La simetral de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un trazo.
Simetría Axial: Es la simetría con respecto a un eje o recta.
Simetría Especular: Es la simetría respecto a un plano.
Simplificar: Es transformar una fracción en otra equivalente cuyos términos son menores que la fracción original.
Sistema de Numeración: Conjunto de normas que se utilizan para escribir y expresar cualquier número.
Sucesión: Conjunto de números dispuestos en un orden definido y que siguen una determinada ley de formación.
Sucesión monótona creciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es menor o igual que el siguiente.
Sucesión monótona decreciente: Sucesión en la cual un término cualquiera es mayor o igual que el siguiente.
Sucesiones convergentes: Son las que tienen límite.
Sucesos Independientes: Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no afecta el resultado del otro.
Suma por su diferencia: Es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
T
Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
Tercera Proporcional: Corresponde al cuarto término de una proporción continua.
Término Algebraico: Expresiones que contiene números y variables(letras). Ejemplo, 5xy.
Términos Semejantes: Son los que tienen la parte literal en forma idéntica. Ejemplo, 5xy; -7xy.
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Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
353 353
Totalmente Ordenado: Dado que el conjunto de los números reales R es totalmente ordenado y dados dos números reales a y b, siempre es cierta alguna de las tres relaciones
siguientes:a<b ó a>b ó a=b
Transversal de gravedad: Segmentos que unen el vértice con el punto medio del lado opuesto en un triángulo.
Trapecios: Cuadriláteros con un par de lados paralelos.
Trapezoides: Cuadriláteros sin lados paralelos.
Triángulos Semejantes: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales o sus lados proporcionales.
Trinomio: Expresión algebraica de tres términos. Ejemplo, 3x + 2y - 5z
V
Valor Absoluto: Valor de una cifra, independiente del lugar que ocupe o del signo que vaya precedida.
Valor Relativo: Valor que depende de la posición que dicha cifra ocupa en el número.
BIBLIOGRAFIA
NAVARRO, E………………………………..Matemática 9no
Grado. Distribuidora
Zacarías. Caracas Venezuela.1987.
SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no
Grado. Ediciones
Mercedes Hernández Rincón
Asdrúbal Hernández Rincón Matemática 3er Año
354 354
CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993
FIGUERA Y, Júpiter. Matemática .1er.año.Ciclo Diversificado. Ediciones CO-BO. Caracas. Venezuela 1993
MENDIOLA, Esteban. Matemàtica.1er.Año de Ciencias. Editorial. Biosfera. Caracas. Venezuela. 1993.
ALVAREZ , Ramón y otros. Matemática 1. Editorial Santillana. Caracas. Venezuela. 2008
DICCIONARIO DE MATEMÀTICAS. Editorial. Cultural. S.A. España. 2001.
PULIDO, Jesús………………………….Estadística General. Caracas I.U.M.P. 1986.
MICROSSOF ENCARTA 99