MÉTODO DE BOUSSINESQ

Existen varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo. Para saber de que manera se distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo se debe aplicar la solución del matemático francés Joseph Boussinesq (1883) quién desarrolló un método para el cálculo de incremento de esfuerzos (esfuerzos inducidos) en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo.

La solución de Boussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi-espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico.

Figura (b). Bulbo de presión para una fundación cuadrada (Coduto, 1998).

La solución original de Boussinesq (1885) para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto A de la Figura, debido a una carga puntual P aplicada en la superficie; fue

realizada inicialmente para el sistema de coordenadas polares  .Para este sistema, el incremento de esfuerzos en el punto A es:

Figura Solución de Boussinesq para el sistema de coordenadas polares.

Posteriormente, estas ecuaciones fueron transformadas al sistema de coordenadas rectangulares, Fig., donde el valor de z es medido en forma descendente y es igual a la

profundidad del plano horizontal que contiene al punto donde se calculan los esfuerzos, siendo x y y las dimensiones laterales. Las ecuaciones presentadas por Boussinesq para el cálculo de esfuerzos se presentan a continuación:

Donde:

 Coeficiente de Poisson referido a esfuerzos efectivos.

Figura. Solución de Boussinesq para el sistema de coordenadas rectangulares.

Las ecuaciones sirven para determinar el incremento de esfuerzos normales horizontales (esfuerzos laterales) y dependen del coeficiente de Poisson del medio; mientras que la ecuación dada para el incremento de esfuerzo normal vertical   es independiente de tal coeficiente.

La ecuación puede rescribirse de la siguiente forma:

Donde:

 La variación de I1 para varios valores de r/z está dada por la siguiente Tabla.

Tabla Variación de   para varios valores de  .

La siguiente Tabla muestra valores típicos para el coeficiente de Poisson de varios tipos de suelo.

Tabla Valores del coeficiente de Poisson para diferentes tipos de suelo

TEORIA DE FADUM

Fadum desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en medio demiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensinal introduciendo los parámetros:

m= xzn= y

z

σ z=I . q

Donde:I: Valor de influencia que depende de m y n.m: Relación entre el ancho del rectangulo y la profundidad z.n: Relación entre el largo del rectangulo y la profundidad z.

Expresando la fórmula para una carga lineal:

∆ σ z ( zP )= 12 π

n

(m2+1 )√m2+n2+1 ( 1

m2+n2+1+

2

m2+1 )Abreviando:

∆ σ z ( zP )=P0∆σ z= Pz P0Espresándose la fórmula para una carga rectangular:

∆σ zw

= 14 π ( 2mn√m2+n2+1

(m2+n2+1 )+m2n2 (m2+n2+2m2+n2+1 )+tan−1 2mn√m2+n2+1

(m2+n2+1 )−m2n2 )Abreviando:

∆σ zw

=w0∆σ z=w0−w

MÉTODO GRÁFICO DE NEWMARK

Newmark desarrolló en 1942, un método gráfico sencillo con el cual se puede calcular rápodamente los esfuerzos verticales σz para cualquier condición de carga uniformemente distribuida sobre la superficie del medio. Este método es muy útil cuando se tiene varias áreas cargadas, aplicando cada una de ellas, presiones diferentes a la superficie del medio.

Con la idea de transmitir un incremento de esfuerzos constante a una cierta profundidad z, Newmark calculó el radio del área circular cargada uniformemente al despejar r de la siguiente ecuación:

σ z=q[1−( 1

1+ (r / z )2 )32]

Por lo tanto:

r=z [ 1

(1−σ zq )2/3−1]

Si en la expresion anterior se da un valor a σz/q constante y se incrementa progresivamente éste calculando para cada incremento el radio del área cargada correspondiente, se tendrán una serie de círculos concéntricos, cuyas franjas inducirán el mismo nivel de esfuerzos a la profundidad z considerada. Si se dividen en partes iguales todos y cada uno de los círculos, los trapecios circulares que se forman contribuirán al esfuerzo σz total en la misma proporción; dicho esfuerzo vale:

I=σ z /qn

Donde:n es el numero de trapecios circulares inscritos en cada círculo concéntrico.I es el valor de influencia de cada trapecio circular, es decir, la contribución al esfuerzo total de cada trapecio.σz induce una carga uniformemente districuida q sobre un área de cualquier geometría a una profundidad z, se determina por medio de la siguiente expresion:

σ z=n. I . q

En forma mas general:

σ z=∑i=1

n

ni I qi

Donde: i respresenta los distintos valores de la intensidad de carga aplicada q.

Para determinar el esfuerzo vertical inducido por el área cargada con la carta de Newmark, se dibuja la planta de cimentación a la misma escala que la carta, luego se coloca el centro de la misma en el punto sobre el que se desea conocer el esfuerzo y se cuentan los trapecios circulares que quedan dentro del área cargada; el esfuerzo vertical se calcula con las 2 ecuaciones anteriores según sea el caso.

En la figura se muestra la carta de Newmark dibujada a la escala 1:200

Si se desea calcular el esfuerzo σz a cualquier otra profundidad con la misma carta de Newmark, sólo debe dibujarse la planta de cimentación a la escala dad por la siguiente expresión:

EPC=ZZ0ECN

Donde:

EPC es la escala a la que debe dibujarse la planta de cimentación.

ECN es la escala a la cual se dibujó la carta de Newmark.

Z es la profundidad a la que se desea conocer el esfuerzo σz .

Z0 es la profundidad usada para dibujar la carta de Newmark.