INTRODUCCINEn la simulacin hay muchas formas para la generacin de variables aleatorias partiendo de algoritmos que utilizan series de nmeros aleatorios, una variable aleatoria, son aquellas que tienen un comportamiento probabilstico en la realidad. El algoritmo concreto a utilizar depender de la distribucin a generar, pero de forma general tendr las siguientes etapas. 1.- generar uno o ms nmeros aleatorios U (0,1) 2.-transformacion dependiente de la distribucin 3.-obtener X de la distribucin deseada Las variables aleatorias pueden ser generadas por ms de un mtodo, dependiendo de su eleccin de criterios de eficiencia o calidad, por ejemplo, mtodo de la transformada inversa que aprovecha las posibilidades de inversin de la funcin de distribucin, es el ms extendido, es eficiente y preciso; mtodo de composicin, la funcin de distribucin puede ser expresada por una

combinacin de otras funciones, estos son algunos de los mtodos, pero tambin podemos encontrar el mtodo de la transformacin directa, mtodo de aceptacin rechazo y el mtodo de convolucin los cuales explicaremos mas a detalle a continuacin, junto con los dos primeros.

1

Mtodo de convolucinEn matemticas y, en particular, anlisis funcional, una convolucin es un operador matemtico que transforma dos funciones f y g en una tercera funcin que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versin trasladada e invertida de g. Una convolucin es un tipo muy general de promedio mvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la funcin caracterstica de un intervalo. La convolucin de y se denota . Se define como la integral del producto

de ambas funciones despus de desplazar una de ellas una distancia .

El intervalo de integracin depender del dominio sobre el que estn definidas las funciones. En el caso de un rango de integracin finito,f y g se consideran a menudo como extendidas, peridicamente en ambas direcciones, tal que el trmino g(t - ) no implique una violacin en el rango. Cuando usamos estos dominios peridicos la convolucin a veces se llama cclica. Desde luego que tambin es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolucin lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo. Si e son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad

de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendr dada por la convolucin f * g. Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolucin. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto estn dados por la convolucin de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aqu (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).

2

Generalizando los casos anteriores, la convolucin puede ser definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable definidas sobre un grupo topolgico localmente compacto. Una generalizacin diferente es la convolucin de distribuciones.

La distribucin de probabilidad de la suma de dos o ms variables aleatorias independientes es llamada la convolucin de las distribuciones de las variables originales. El mtodo de convolucin es entonces la suma de dos o ms variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribucin de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales. Adems, muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc, se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. El mtodo de convolucin se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinacin lineal de K variables aleatorias:

X= b1x1+b2x2+.bkxk En este mtodo se necesita generar k nmeros aleatorios (u1, u2,..., uk) para generar (x1, x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los mtodos anteriores y as poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolucin.

A continuacin se dan unos ejemplos de aplicacin de esta tcnica: Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.

Una variable Binomial de parmetros n y p es la suma de nvariable Bernoulli

con probabilidad de xito p.3

La

chi-cuadrado

con v grados

de

libertad

es

la

suma

de

cuadrados

de v normales N (0,1).

La suma de un gran nmero de variables de determinada distribucin tiene

una distribucin normal. Este hecho es usado para generar variables normales a partir de la suma de nmeros U (0,1) adecuados.

Una variable Pascal es la suma de m geomtricas.

La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.

Adems, este mtodo permite la interaccin de variables aleatorias para realizar un tipo de distribucin. En el caso de la distribucin uniforme la frmula a utilizar sera la siguiente: U(a, b) = a + (b-a) Aleatorio ()

4

Mtodo de transformacin inversaEl mtodo de la transformada (o transformacin) inversa, tambin conocido como mtodo de la inversa de la transformada, es un mtodo para la generacin de nmeros aleatorios de cualquier distribucin de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su funcin de distribucin (cdf). Este mtodo es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresin analtica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El mtodo de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es ms eficiente desde el punto de vista computacional. El mtodo se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull. Teorema de inversin. Sea X una variable aleatoria con funcin de distribucin de probabilidad acumulada F, continua e invertible, y sea su funcin inversa. .

Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribucin uniforme en Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniforme en variable aleatoria satisface la distribucin F.

entonces la

El problema que resuelve el mtodo de la transformada inversa es el siguiente:

Sea X una variable aleatoria cuya distribucin puede ser descrita por la cdf F. Se desea generar valores de X que estn distribuidos segn dicha distribucin. Numerosos lenguajes de programacin poseen la capacidad de generar nmeros pseudo-aleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribucin uniforme estndar. Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribucin, entonces la probabilidad de que el nmero caiga dentro de cualquier subintervalo (a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o sea b a. El mtodo de la transformada inversa funciona de la siguiente manera:

5

1. Se genera un nmero aleatorio a partir de la distribucin uniforme standard; se lo llama u. 2. Se calcula el valor x tal que ; y se lo llama xelegido.

3. Se toma xelegido como el nmero aleatorio extrado de la distribucin caracterizada por F.

Sea

(por definicin de

)

(aplicando F, que es montona, a ambos lados) (porque , dado que U es uniforme en el intervalo unitario

6

MTODO DE COMPOSICIN.Este mtodo se aplica cuando la funcin de distribucin F se puede expresar como una combinacin de otras funciones F1, F2,..1 F (Z) =ri=1i

Fi (z) 0< 1 para i=1,.,r

ri =1 i=1

Algoritmo1. Generar aleatoriamente un entero aleatorio I tal que Pr (I=i) = i for i=1,.., r. 2. Generar aleatoriamente Z de la distribucin FI (Z). 3. Return Z. Se tienen mtodos eficientes para generar valores de v. a. X1 y X2, con funciones de probabilidad de masa X1 :{pj j = 0, 1} X2 :{ qj j = 0, 1.} El mtodo de composicin permite generar una v.a. X con funcin de probabilidad de masa P(X = j) = pj + (1 )qj j = 0,1,, 0 < < 1

X1 con probabilidad X

X2 con probabilidad 1-

EJEMPLO: Distribucin de Laplace ( )| |

a=2

U1=0.5899

U2=0.7688

7

x = a ln u

2

x = 2(ln0.7688)

x = 0.5258

Mtodo de aceptacin y rechazo

Este mtodo se debe a Von Neumann y bsicamente consiste en muestrear una variable aleatoria respecto a una funcin de distribucin apropiada y someter a dicha variable a un test para determinar si se acepta o no. Tcnicamente lo que se hace es expresar la funcin de distribucin respecto a la cual se quiere obtener valores de una variable aleatoria de forma adecuada y as aplicar el mtodo. Sea X la variable aleatoria de la cual se quiere obtener valores distribuidos con funcin de distribucin de probabilidad Fx (x) con x I. Para ello se representa fx (x) de la siguiente manera:

Fx (x) = C h(x) g(x)

Donde C1, h(x) es una funcin de densidad de probabilidad y 0 < g(x)