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método de cross
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RESUMEN
El presente informe trata sobre el Mètodo de Cross, este método consiste en aproximaciones
sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el
cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista, este método está ideado para
resolver problemas de estructuras reticulares.
El cálculo para este método es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo
integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. También no es necesario
tener todas las fórmulas de memoria ya que existen tablas de momentos, rigideces y factores
de transmisión, puede resolverse cualquier estructura.
El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la
estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.
INTRODUCCION
En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la estructura que se va a
analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos fijos. Después cada
articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al
momento de ser liberado no está en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta
que el equilibrio es alcanzado.
El método de distribución de momentos desde el punto de vista matemático puede ser
demostrado como el proceso de resolver una serio de sistemas de ecuaciones por iteraciones.
OBEJTIVOS
OBJETIVO GENEREAL:
Entender el método de Cross, de tal manera que nos permita determinar el valor de los momentos en los nudos o apoyos de los elementos hiperestáticos
OBJETIVOS ESPECÍFICO:
MARCO TEORICO
Antecedentes:
El análisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de hormigón
armado en 1950 era una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingeniería, y
para Hardy Cross, que aquí existen tan pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular
los esfuerzos y deflexiones en un marco estáticamente indeterminado, ellos inevitablemente
vuelven a lo que fue conocido como "Distribución de Momentos" o "Método de Hardy Cross".
En el método de distribución de momentos, los momentos en los extremos fijos de los marcos
son gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos tales que el
sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural. Sin embargo, el método
era todavía una aproximación pero podía ser resuelto a ser muy cercano a la solución real.
Método de Cross:
Es un método de análisis estructural para vigas estáticamente y marcos/pórticos planos.
En el método de Cross, para analizar cada articulación o nodo de la estructura, se considera fija
en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada
articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual
al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes
hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de Cross en términos matemáticos puede ser
demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio
de iteración.
El método de redistribución de momentos o método de Cross cae dentro de la categoría de
los métodos de desplazamiento del análisis estructural.
Implementación
En disposición de aplicar el método de Cross para analizar una estructura, debemos tener en
cuenta lo siguiente.
Momentos de empotramiento en extremos fijos
Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del
miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.
Rigidez a la Flexión
La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de
esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada
como el producto del módulo de elasticidad (E) y el segundo momento de área, también
conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es
necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón
aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.
Coeficientes de distribución
Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos
no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un momento no equilibrado
en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en presenta cada uno de estos
miembros.
Coeficientes de transmisión
Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se
permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el
momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión.
Valores típicos:
0,5 para nodos sin empotramiento
0 para nodos empotrados
Convención de signos
Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la
convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas
cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en
momentos positivos sobre el eje Z siendo anti horarios.
Estructuras de marcos
Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de
distribución de momentos.
Ejemplo
La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.
La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.
Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud
Las rigideces a Flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.
Cargas concentradas de magnitud actúan a una distancia
desde el soporte A.
Carga uniforme de intensidad actúa en BC.
Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud
.
En los siguientes cálculos, los momentos anti horarios son positivos.
1.-Momentos en Extremos Fijos
2.-Coeficientes de Reparto
Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son
3.-Coeficientes de transmisión
Los coeficientes de transmisión son 0.5 (porque la sección es constante), excepto para el factor
de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.
4.-Distribución de Momentos
Números en gris son momentos balanceados; flechas (→ / ←) representan el acarreo de
momento desde un extremo al otro extremo de un miembro
Articulación
A Articulación B Articulación
C Articulación
D
Coeficientes de reparto
0 1 0.2727 0.7273 0.6667 0.3333 0 0
Momentos en Extremos Fijos
14.700 -6.300 8.333 -8.333 12.500 -12.500
Paso 1 -14.700 → -7.350
Paso 2 1.450 3.867 → 1.934
Paso 3 -2.034 ← -4.067 -2.034 → -1.017
Paso 4 0.555 1.479 → 0.739
Paso 5 -0.246 ← -0.493 -0.246 → -0.123
Paso 6 0.067 0.179 → 0.090
Paso 7 -0.030 ← -0.060 -0.030 → -0.015
Paso 8 0.008 0.022 → 0.011
Paso 9 -0.004 ← -0.007 -0.004 → -0.002
Paso 10 0.001 0.003
Suma de Momentos
0 -11.569 11.569 -10.186 10.186 -13.657
5.-Resultados
Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos:
La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia.
Momentos en articulaciones determinados por el método matricial:
Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flectores completos requiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la sección.
DEC DMF
Diagrama de esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores.
CONCLUSIONES
Se llegó a entender el método de Cross, para el cálculo de momentos en estructuras hiperestáticas.
RECOMENDACIONES
BIBLIOGRAFIA
R.C. HIBBELER,ANALISIS ESTRUCTRURAL, 8Va edición,2012
José L. CAMBA, Francisco CHACON, APUNTES DE ANALISIS
ESTRUCTURAL I,1982
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci
%C3%B3n_de_momentos#Rigidez_a_la_Flexi.C3.B3n
