MTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS (Polinomio Interpolante de
Newton)
La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1
datos (x0, (x0)), (x1, (x1)), ..., (xn, (xn)) es:
Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de
cantidades denominadas diferencias divididas.
La notacin para las diferencias divididas de una funcin (x) estn
dadas por:
Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo
con la siguiente regla recursiva:
Retomando el polinomio interpolante de Newton:
Pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + ... +an(x x0)(x x1)(x
xn-1)
Observe que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de en
xi, i=0,1,2,...,nentonces P(xi) = (xi), en
particular Pn(x0) = (x0) = a0. Si se usa la notacin de
diferencia dividida a0= [x0].
Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 x0), como Pn(x1)= (x1) y a0= (x0),
entonces reemplazando se tiene
(x1)=(x0) + a1(x11x0), donde
Si se usa la notacin de diferencia dividida a1= [x0, x1].
De manera similar cuando se evala Pn(x) en x = x2 se obtiene a2
= [x0, x1, x2] (ver ejercicio 15, de este captulo).
En general ai = [x0 ,x1 ,x2, ..., xi], y el polinomio
interpolante de Newton se escribe como:
(2)
En la figura 3.2 se muestra la forma recursiva para calcular los
coeficientes del polinomio interpolante de
Newton para 4 pares de valores (x, (x))
Los elementos de la diagonal (superior) en la figura 3.2 son los
coeficientes del polinomio interpolante de Newton para el caso de
un polinomio de grado 3.
Ejemplo.
Halle el polinomio que interpola los datos:
x 1 2 3 5
f(x) 4 3.5 4 5.6
Solucin: El polinomio interpolante de Newton es de grado 3 ya
que se tienen 4 puntos, usando la frmula (2) el polinomio que
resulta es:
En este caso x0=1, x1=2, x2=3
Para determinar el valor de los coeficientes, se construye la
tabla de diferencias divididas
xi f(xi)
1 4
-0.5
2 3.5 0.5
0.5 -0.1
3 4 0.1
0.8
5 5.6
Luego P3(x)=4 0.5(x - 1) + 0.5(x - 1)(x - 2) 0.1(x - 1)(x - 2)(x
- 3) Observe que P3(1) = 4, P3(2) = 3.5, P3(3) = 4, P3(5) = 5.6
Este ejercicio se resolvi con el mtodo de Lagrange en la seccin
anterior y el clculo para encontrarlo fue mucho mayor.
