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MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS.

El Método de redistribución de momentos o método de Cross es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o

nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar

los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera

liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de

ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta

que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos

matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie

de sistemas de ecuaciones por medio de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de

los métodos de desplazamiento del análisis estructural.

Momentos de empotramiento en extremos fijos

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

Rigidez a la Flexión

La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Coeficientes de distribución

Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un

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momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en él, esta distribución se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexión que presenta cada uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisión

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro

cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el

otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el

coeficiente de transmisión.

-Valores típicos:

0,5 para nodos sin empotramiento

0 para nodos empotrados

Convención de signos

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo anti horarios.

Estructuras de marcos

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos.

Ejemplo

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud .

Las rigideces a Flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.

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Cargas concentradas de magnitud   actúan a una

distancia   desde el soporte A.

Carga uniforme de intensidad   actúa en BC.

Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada

de magnitud .

En los siguientes cálculos, los momentos anti horarios son positivos.

Momentos en Extremos Fijos

Coeficientes de Reparto

Coeficientes de transmisión

Los coeficientes de transmisión son   (porque la sección es constante), excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero.

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Distribución de Momentos

Números en gris son momentos balanceados; flechas (→ / ←) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

Resultados

Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de

momentos.

La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos

positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga.

Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados,

usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo

fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz

y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión

es mera coincidencia.

Momentos en articulaciones determinados por el método matricial

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Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que

el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las

juntas. Desarrollando diagramas de momentos flectores completos requiere de

cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y

el equilibrio interno de la sección.

INDETERMINACIÓN ESTATICA.

Se refiere a un exceso de reacciones y fuerzas internas desconocidas, comparadas con las ecuaciones de equilibrio de la estática. Esto da lugar a clasificar las estructuras como estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas. Las fuerzas internas o reacciones desconocidas que no se pueden obtener con las ecuaciones de equilibrio se denominan fuerzas redundantes y el número de fuerzas redundantes define el grado de indeterminación estática o hiperestáticidad. Existen dos tipos de indeterminación estática: externa e interna, la indeterminación externa se refiere al número de reacciones redundantes de la estructura y la indeterminación interna al número de fuerzas de la estructura que no pueden conocerse con las ecuaciones de la estática. El grado total de indeterminación es la suma de ambas.

Las Estructuras se dividen, desde el punto de vista de los métodos de análisis, en isostáticas o estáticamente determinadas, hiperestáticas o estáticamente indeterminadas. Las primeras son aquellas que se pueden resolver utilizando únicamente las ecuaciones de equilibrio de la estática. Por el contrario, para analizar estructuras hiperestáticas es necesario plantear, además de las ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad de deformaciones entre los elementos de la estructura y los apoyos.

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MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES.

En ingeniería estructural, el Método de flexibilidad es el clásico método consistente en deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente conocidas.

Flexibilidad de Miembros

La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que

tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación:

La relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.

Su relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.

Por lo tanto, f = 1/k.

La relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general:

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Donde

m = número de miembros m.

 = vector de las características de deformación del miembro.

 = matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad

del miembro a deformarse bajo fuerzas.

 = vector de fuerzas características independientes del miembro, las

cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes

dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante

equilibrio de miembro.

 = vector de deformaciones características de los miembros causados

por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de

temperaturas) aplicadas a los miembros aislados, desconectados (i.e. con

).

Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos

llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta

junto dentro de una sola ecuación de matriz, soltando el superíndice m:

Donde M es el número total de características de deformación de miembros o

fuerzas en el sistema.

A diferencia del Método matricial de la rigidez, donde las relaciones de rigidez de

los miembros pueden ser fácilmente integradas mediante el equilibrio nodal y

condiciones de compatibilidad, la presente forma de flexibilidad de la ecuación (2)

posee serias dificultades. Con fuerzas de miembros   como las primeras

desconocidas, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la

solución, en general--a menos que el sistema es estáticamente indeterminado.

Ecuaciones de Equilibrio Nodal

Para resolver esta dificultad, primero hacemos uso de las ecuaciones de equilibrio

nodal en disposición de reducir el número de fuerzas desconocidas en miembros

independientes. Las ecuaciones de equilibrio nodal para el sistema tienen la

forma:

Donde

: Vector de fuerzas nodales a todos los N Grados de Libertad del

sistema.

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: La matriz resultante de equilibrio nodal

: El vector de fuerzas derivado desde cargas en los miembros.

En el caso de los sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución

para Q puede ser encontrada inmediatamente (3) siempre que el sistema sea

estable.

El Sistema Primario

Para sistemas Estáticamente Indeterminados , M > N, y por lo tanto, podemos

aumentar (3) con I = M-N ecuaciones de la forma:

El vector X es el también llamado vector de Redundancia fuerzas y I es el

grado de indeterminación estática del sistema. Usualmente elegimos j, k,...,  ,

and   such that  es una reacción en el soporte o una fuerza interna en un

extremo del miembro. Con ajustables elecciones de fuerzas redundantes, el

sistema de ecuaciones (3) aumenta por (4) puede ser ahora resuelto para

obtener:

Sustituyendo en (2) da:

Las ecuaciones (5) y (6) son la solución para el sistema primario el cual es el

sistema original que ha sido hecho estáticamente determinado por cortes que

exponen las fuerzas redundantes . La ecuación (5) efectivamente reduce el

conjunto de fuerzas desconocidas a .

Ecuación de Compatibilidad y Solución

Después, necesitamos crear   ecuaciones de compatibilidad en disposición de

encontrar . Las ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad requerida

a los cortes de sección fijando los desplazamientos relativos   a los

redundantes X a cero. Que es, usando el Método de Unidad de Fuerza Falsa:

o 

Donde

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Ecuación (7b) puede ser resuelta para X, y las fuerzas en miembros son después

encontradas desde (5) mientras los desplazamientos nodales pueden ser

encontrados por

Donde

 es la matriz de flexibilidad del sistema.

El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido

en el lado derecho de la ecuación (7), mientras el movimiento de soportes a otros

lugares debe ser incluido en   y   también.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA.

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FUNDAMENTOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL TOMO II, EDITORIAL:

TRILLAS, AUTOR: JOSE ANTONIO BUENROSTRO, 2da EDICION, 385

Págs.

MECANICA DE MATERIALES PARA INGENIERIA, EDITORIAL:

BALBUENA, 1ra EDICION.

www.estructurasdeaceroprocivil.com.mx

ARCHIVOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL.