Mtodo de distribucin de momentos

El Mtodo de redistribucin de momentos o mto-do de Cross[1] es un mtodo de anlisis estructural pa-ra vigas estticamente indeterminadas y marcos/prticosplanos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en1930 en una revista de la ASCE. El mtodo solo calculael efecto de los momentos ectores e ignora los efectosaxiales y cortantes, lo cual es suciente para nes prcti-cos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las compu-tadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el dise-o y anlisis de estructuras, el mtodo de redistribucinde momentos fue el ms ampliamente usado en la prc-tica. Posteriormente otros mtodos como el mtodo ma-tricial de la rigidez que se puede programar de maneramucho ms sencillo han llegado a ser ms populares queel mtodo de redistribucin de momentos de Cross.

1 IntroduccinEn el mtodo de redistribucin de momentos, para anali-zar cada articulacin o nodo de la estructura, se consideraja en una primera fase a n de desarrollar losMomentosen los Extremos Fijos. Despus cada articulacin ja seconsidera liberada secuencialmente y el momento en elextremo jo (el cual al momento de ser liberado no es-t en equilibrio) se distribuyen a miembros adyacenteshasta que el equilibrio es alcanzado. El mtodo de dis-tribucin de momentos en trminos matemticos puedeser demostrado como el proceso de resolver una serie desistemas de ecuaciones por medio de iteracin.El mtodo de redistribucin de momentos cae dentro dela categora de losmtodos de desplazamiento del an-lisis estructural.

2 ImplementacinEn disposicin de aplicar el mtodo de redistribucin demomentos para analizar una estructura, lo siguiente debeser considerado.

2.1 Momentos de empotramiento en extre-mos jos

Momentos de empotramiento en extremos jos son losmomentos producidos al extremo del miembro por cargasexternas cuando las juntas estn jas.

2.2 Rigidez a la Flexin

La rigidez a la exin es la propiedad que tiene un ele-mento que le permite resistir un lmite de esfuerzos deexin sin deformarse. La rigidez exional (EI/L) de unmiembro es representada como el producto del mdulo deelasticidad (E) y el Segundo momento de rea, tambinconocido como Momento de Inercia (I) dividido por lalongitud (L) del miembro, que es necesaria en el mtodode distribucin de momentos, no es el valor exacto peroes la Razn aritmtica de rigidez de exin de todos losmiembros.

2.3 Coecientes de distribucin

Los coecientes de distribucin pueden ser denidos co-mo las proporciones de los momentos no equilibrados quese distribuyen a cada uno de los miembros. Un momentono equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembroconcurrente en l, esta distribucin se hace directamenteproporcional a la rigidez a la exin que presenta cadauno de estos miembros.

2.4 Coecientes de transmisin

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otroextremo del miembro cuando se permite el giro en el apo-yo. La razn demomento acarreado sobre el otro extremoentre el momento en el extremo jo del extremo iniciales el coeciente de transmisin.

-Valores tpicos:

0,5 para nodos sin empotramiento 0 para nodos empotrados

2.5 Convencin de signos

Un momento actuando en sentido horario es consideradopositivo. Esto diere de la [convencin de signos] usualen ingeniera, la cual emplea un sistema de coordenadascartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje po-sitivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivossobre el eje Z siendo antihorarios.

1

2 3 EJEMPLO

2.6 Estructuras de marcosEstructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser anali-zadas utilizando el mtodo de distribucin de momentos.

3 Ejemplo

Example.

La viga estticamente indeterminada mostrada en la gu-ra ser analizada.

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitudL = 10m .

Las rigideces a Flexion son EI, 2EI, EI respectiva-mente.

Cargas concentradas de magnitud P = 10 kN ac-tan a una distancia a = 3m desde el soporte A.

Carga uniforme de intensidad q = 1 kN/m actaen BC.

Miembro CD est cargado a la mitad de su claro conuna carga concentrada de magnitud P = 10 kN .

En los siguientes clculos, los momentos antihorarios sonpositivos.

3.1 Momentos en Extremos Fijos (mo-mentos de empotramiento perfecto)

MfAB =Pab2

L2=

10 72 3102

= 14:700 kN m

MfBA = Pa2b

L2= 10 3

2 7102

= +6:300 kN m

MfBC =qL2

12=

1 10212

= 8:333 kN m

MfCB = qL2

12= 1 10

2

12= +8:333 kN m

MfCD =PL

8=

10 108

= 12:500 kN m

MfDC = PL

8= 10 10

8= +12:500 kN m

3.2 Coecientes de Reparto

DBA =3EIL

3EIL +

42EIL

=310

310 +

810

= 0:2727

DBC =42EIL

3EIL +

42EIL

=810

310 +

810

= 0:7273

DCB =42EIL

42EIL +

4EIL

=810

810 +

410

= 0:6667

DCD =4EIL

42EIL +

4EIL

=410

810 +

410

= 0:3333

Los coecientes de reparto de las juntas A y D sonDAB = DDC = 1 .

3.3 Coecientes de transmisinLos coecientes de transmisin son 12 (porque la seccines constante), excepto para el factor de acarreo desde D(soporte jo) a C el cual es cero.

3.4 Distribucin de MomentosNmeros en gris sonmomentos balanceados; echas ( / ) representan el acarreo de momento desde un extremoal otro extremo de un miembro.

3.5 Resultados Momentos en articulaciones, determinados por elmtodo de distribucin de momentos.

MA = 0 kN mMB = 11:569 kN mMC = 10:186 kN mMD = 13:657 kN mLa convencin de signos usual en ingeniera esusada aqu, i.e. Los momentos positivos causanelongacin en la parte inferior de un elementode viga.

Para propsitos de comparacin, los siguientes son losresultados generados, usando un mtodo matricial. No-ta que en el anlisis superior, el proceso iterativo fue lle-vado a >0.01 de precisin. El hecho de que el resultadode anlisis de matriz y el resultado de anlisis de distri-bucin de momentos iguale a 0.001 de precisin es meracoincidencia.

Momentos en articulaciones determinados por elmtodo matricial

3MA = 0 kN mMB = 11:569 kN mMC = 10:186 kN mMD = 13:657 kN mLos diagramas completos de cortante y momento ec-tor son como sigue. Nota que el mtodo de distribucinde momentos solo determina los momentos en las juntas.Desarrollando diagramas de momentos extores comple-tos requiere de clculos adicionales usando los momentosdeterminados en las articulaciones y el equilibrio internode la seccin.

4 Referencias[1] Onalca/Santa Teresa del Tuy (7 de abril de 2012).

TEORIA DE ESTRUCTURAS II - UNIDAD 1 - ME-TODODECROSS. Consultado el 08 de marzo de 2013.

5 Vase tambin Teorema de los tres momentos

4 6 TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

6 Text and image sources, contributors, and licenses6.1 Text

Mtodo de distribucin de momentos Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo%20de%20distribuci%C3%B3n%20de%20momentos?oldid=79774141 Colaboradores: Sabbut, CEM-bot, Davius, Muro Bot, Luckas-bot, Jkbw, -Erick-, Linux65, Edson Gonzlez,ING 4LB3R70, Ingjoseantonio, Sisito1990, KLBot2, Invadibot, PabloOKWiki, Ballack93, Lec 910 y Annimos: 12

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Introduccin Implementacin Momentos de empotramiento en extremos fijos Rigidez a la Flexin Coeficientes de distribucin Coeficientes de transmisin Convencin de signos Estructuras de marcos

Ejemplo Momentos en Extremos Fijos (momentos de empotramiento perfecto) Coeficientes de Reparto Coeficientes de transmisin Distribucin de Momentos Resultados

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