MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION

Instituto Politécnico NacionalEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Profesional Azcapotzalco

Resistencia de Materiales IIProfesor: Ing. Salomón Peralta López

Caballero Hernández Angel Grupo: 5RV1

MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION

Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que

por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máquinas para trabajos

de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las deformaciones deben

permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a

realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de yeso

o escalona, se suele limitar la deflexión máxima a 1/360 de claro, para que no

aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones del estudio

de la deformación de las vigas es, por otra parte la obtención de ecuaciones de

deformación que, junto con las condiciones de equilibrio estático, permitan

resolver las vigas estáticamente indeterminadas.

Se utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. Aunque

basados en los mismos principios, difieren en su técnica y en sus objetivos

inmediatos. En primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del método

de la doble integración, que simplifica mucho su aplicación. Otro método, el del

área de momentos, se considera el más directo de todos en especial si se desea

conocer la deformación en un punto determinado, y es no solamente sencillo sino

extremadamente rápido. Otra variante de este método es que es muy cómodo de

aplicar.

Otros métodos son el de la viga conjugada y el de superposición. El método de la

viga conjugada es realmente una variante del método del área de momentos, pero

difiere en su aplicación práctica. El método de superposición no es un método

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distinto, utiliza las fórmulas obtenidas para las deformaciones, en ciertos tipos

fundamentales de cargas, para obtener las soluciones correspondientes a cargas

que sean combinaciones de estos tipos fundamentales.

La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva

elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje

longitudinal, inicialmente neutro.

En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva, y como calcular el

desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa

x.

Se toma el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección

inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre

que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la

longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En

consecuencia la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto

también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ = dy/dx, puede

hacerse sin error apreciable, igual a θ.

El producto EI que se llama rigidez a la flexion, es normalmente constante a lo

largo de la viga.

Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente y dx por ds no tienen

influencia apreciable en la exactitud de la expresión de la ecuación de la elástica

de una viga y en efecto sustituyendo 1/ Þ por su valor exacto.

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Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos

también tendrá la variación correspondiente. Esto requeriría una ecuación de

momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas

aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo

que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente dos

constantes para cada tramo también. La determinación de estas constantes se

hace laboriosa y se está expuesto a errores. Afortunadamente, estas

complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos

válida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.

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Ecuación de Singularidad

Dentro de la amplia variedad de funciones matemáticas existentes se encuentran algunas que presentan comportamientos extraños e inesperados cuando se le asignan determinados valores a la/s variable/s independiente/s. Dicho comportamiento se describe con el nombre de singularidad de la función.

Concepto intuitivo de continuidad

Intuitivamente se asocia la idea de continuidad de una función al hecho de no levantar el lápiz cuando se representa la función. Las discontinuidades generalmente se clasifican en varios tipos, siendo las llamadas de salto uno de los tipos más frecuentes. Dentro de dicho tipo existen las discontinuidades de salto puntuales, en las que la función se desvía un único punto del camino más razonable; las discontinuidades de salto finito, en las cuales la función salta un valor y prosigue de forma continua a partir de ahí; y por último las discontinuidades de salto infinito, en las que la función alcanza un valor infinito. Estas últimas son las que reciben el nombre de singularidades.

Criterio de análisis de continuidad en funciones de una variable:

Una función es continua en si y sólo si:

1. está definido.

2. Existe el límite de cuando tiende a .

3. El límite de cuando tiende a coincide con .

Funciones singulares

Existe una gran variedad de funciones elementales que contienen singularidades en sus dominios. Una de las más comunes suele ser la hipérbola elemental

. Esta función posee una singularidad en el punto , en dicho punto la función presenta un comportamiento que tiende al infinito. Dicha función pone de manifiesto la característica de que toda función racional cuyo denominador se anule presentará una singularidad en el punto en el que eso

suceda. Así pues la función presentará una

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singularidad en el punto . Otras funciones que contienen singularidades

son ó .

Análisis de las singularidades

Normalmente las singularidades no pueden estudiarse empleando técnicas aritméticas elementales, ya que suelen implicar operaciones que son imposibles de realizar (por ejemplo, dividir por cero). En lugar de eso, el método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al límite. Estudiando el límite de una función en su punto singular se puede obtener información valiosa de su comportamiento en ese punto. Como

ejemplo comentar que nadie puede calcular que toma en el punto el valor infinito, sin embargo, estudiando el valor que toma su límite en ese punto y analizando la tendencia de la función en las cercanías es posible asegurarlo.

Singularidades en variable compleja

Sea , y una función se dice que es singular en si no es analítica en .

Además, si es una singularidad de , decimos que es una singularidad no

aislada si es singular en . Es decir, a una distancia arbitraria, sigo encontrando otra singularidad. es una singularidad aislada, si es una singularidad y no es no aislada. Dentro de las singularidades aisladas, las podemos clasificar en:

Evitables: Puede definirse un valor tal que sea analitica en .

Polares: tiende a al acercarse a .

Esenciales: El límite no es independiente del camino, y aún más, la función toma valores por todo el plano complejo (excepto uno) en un entorno a y lo hace infinitas veces.

Es posible estudiar el tipo de singularidad no aislada, mediante el desarrollo de Laurent en la corona centrada en . Si la serie principal (la de potencias

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negativas) tiene finitos términos, se trata de una singularidad polar, caso contrario, es esencial. Lógicamente se desprende, que si el desarrollo de Laurent se reduce a una serie de Taylor, la singularidad es evitable.

Interpretación física de las singularidades

El estudio de las singularidades desde el punto de vista matemático se limita específicamente a resolver el problema de la función que no está definida en el punto de estudio. Teorías tales como el electromagnetismo clásico de Maxwell contienen singularidades en sus ecuaciones básicas. En la teoría de Maxwell una de las singularidades más conocidas es la que predice un campo eléctrico infinito en el lugar donde se encuentra colocada una carga puntual.

Una de las singularidades más famosas de la física es la que se encuentra en la solución de Schwarzschild de las ecuaciones de campo de la relatividad general, singularidad en el continuo espacio-tiempo que predice la existencia de agujeros negros.

Actualmente uno de los campos de discusión abiertos más apasionante de la física es aquel que pretende estudiar si hubo o no singularidad en el principio del universo y si la habrá en el final del mismo.

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