Métodos Numéricos II

Teresa Carrillo Ramírez - pág. 1

Fórmula de Lagrange

Objetivo

Reconocer la naturaleza de la fórmula de Lagrange en la construcción

de polinomios mediante el ajuste de puntos tabulados a una función.

Interpolación

Es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que no

se encuentran en la tabla mediante una representación analítica

sencilla.

La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones

“complejas”, con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor

facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria en el

campo de la ingeniería.

Muchos matemáticos famosos tienen su nombre asociado con

procedimientos para interpolación: Gauss, Newton, Bessel, Stirling. La

necesidad de interpolar comenzó con los primeros estudios de

astronomía cuando los movimientos de cuerpos celestes fueron

determinados por observaciones periódicas.

Los métodos de interpolación son la base para muchos otros

procedimientos tales como, diferenciación e integración numérica y

métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias y

parciales.

Además, la interpolación de polinomios sirve como una excelente

introducción de algunas técnicas para suavizar curvas.

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Teresa Carrillo Ramírez - pág. 2

Interpolación o

ajuste de curvas

Para aproximar f(x) por medio de un polinomio a partir de puntos

tabulados, se pueden aplicar dos criterios: el de interpolación

polinomial o el de ajuste de curvas.

La técnica de interpolación consiste en encontrar una función

polinomial que ajuste de forma exacta, es decir, que pase por los

puntos dados en la tabla. Los métodos de ajuste de curvas consisten

en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la

condición de minimizar el error entre los puntos tabulados y el

polinomio.

Cuando la información de la que se dispone es hasta cierto punto

exacta y confiable, se usa un ajuste exacto. Pero si se considera que

pueden existir errores, no tiene sentido buscar que pase por los

puntos, sino que pase entre ellos.

Una vez que se obtiene el polinomio de aproximación se puede

emplear para obtener puntos adicionales a los existentes en la tabla,

lo que se conoce como interpolación.

Fórmula de Lagrange

Si se tiene un conjunto de n + 1 valores de datos (xi , yi) para i = 0, 1, ...

, n para representar a y como una función de valuación única de x, es

posible encontrar un polinomio único de grado n que pasa por los

puntos. Por ejemplo, es posible encontrar una recta única que pasa

por dos puntos, y es posible encontrar un polinomio cuadrático único

que pasa por tres puntos.

Los polinomios de Lagrange se pueden determinar especificando

algunos puntos en el plano por los cuales debe pasar.

Consideremos el problema de determinar un polinomio de grado 1

que pase por los puntos distintos (x0, y0) y (x1, y1). Este problema es el

mismo que el de aproximar una función f, para la cual f(x0) = y0 y f(x1)

= y1, por medio de un polinomio de primer grado, interpolando entre,

o coincidiendo con, los valores de f en los puntos dados.

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Teresa Carrillo Ramírez - pág. 3

Considérese el polinomio

1

01

0

0

10

1

)(

)(

)(

)()( y

xx

xxy

xx

xxxP

−−

+−−

=

cuando x = x0

)()(

)(

)(

)()( 001

01

00

0

10

10

0 xfyyxx

xxy

xx

xxxP ==

−−

+−−

=

cuando x = x1

)()(

)(

)(

)()( 111

01

01

0

10

11 xfyyxx

xxy

xx

xxxP ==

−−

+−−

=

así que P tiene las propiedades requeridas.

Para generalizar el concepto de interpolación lineal, consideremos la

construcción de un polinomio a lo más de grado n que pase por los n

+ 1 puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), ... , (xn, f(xn))

El polinomio lineal que pasa por (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)) se construye

usando los cocientes

)(

)()(y

)(

)()(

01

0

1

10

1

0xx

xxxL

xx

xxxL

−−

=−−

=

Cuando x = x0, L0(x0) = 1, mientras que L1(x0) = 0. Cuando x = x1, L0(x1) =

0, mientras que L1(x1) = 1

Para el caso general, se necesita construir, para cada k = 0, 1, ..., n, un

cociente Ln,k(x) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i ≠ k y que

Ln,k(xk) = 1 cuando x = xk.

Entonces los cocientes de Lagrange están dados por:

∏≠=

+−

+−

−−

=

−−−−−−−−−−

=

n

kii ik

i

nkkkkkkk

nkk

kn

xx

xx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

0

1110

1110

,

)(

)(

)())(())((

)())(())(()(

LL

LL

El “Polinomio de interpolación de Lagrange” se define en el siguiente

teorema.

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Definición

Teorema: Si x0, x1, ... , xn son (n + 1) números diferentes y f es una

función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe

un único polinomio P de grado a los más n con la propiedad de que

)()( kk xPxf = para cada k = 0, 1, ... ,n.

Este polinomio está dado por

∑=

=++=n

k

knknnnn xLxfxLxfxLxfxP0

,,0,0 )()()()()()()( L

Ejemplo:

Las densidades de sodio para tres temperaturas están dadas por

i Temperatura

ti (en °C)

Densidad di

0 94 929

1 205 902

2 371 860

Determinar la densidad para t = 251°C

Para obtener el valor de los cocientes, se sustituye el valor

t = 251, entonces, la densidad del sodio a una temperatura de t =

251°C es d = 890.556117 kg/m3.

Realizando los cálculos con MAPLE:

>PolynomialInterpolation([[94,929], 205,902],

[371,860],x);

> PolynomialInterpolation([[94,929], [205,902], [371,860]],251);

> evalf(%);

− − + 30

850667x2

197949

850667x809141929

850667

757566700

850667

890.5561166

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Consideraciones

Cabe aclarar que, aunque con el método de Lagrange se puede

obtener una expresión en serie de potencias que aproxime a la

función que describe la tabla de datos, esto no es una práctica

común, primero porque generalmente se aplica mediante un

programa de computadora y segundo porque aumenta la posibilidad

de cometer errores humanos.

Un polinomio de interpolación, aunque pase por los puntos que se

utilizaron en su construcción, en general no proporciona valores

exactamente correctos. La razón es que la relación subyacente a

menudo no es un polinomio del mismo grado. Por tanto, a

continuación se calcula un residuo o cota de error incurrido al

aproximar una función mediante un polinomio. Esto se hace en el

siguiente teorema:

Fórmula del error

Teorema: Supóngase que x0, x1, ..., xn son números distintos en el

intervalo [a, b] y que f ∈ Cn+1

[a, b]. Entonces, para cada x en [a, b]

existe un número ξ(x) en (a, b) con

)())(()!1(

))(()()( 10

)1(

n

n

n xxxxxxn

xfxPxf −−−

++=

+

Lε

donde Pn(x) es el polinomio de Lagrange.

Esta fórmula de error es un resultado teórico muy importante,

porque los polinomios de Lagrange se emplean frecuentemente para

derivar la diferenciación numérica y los métodos de integración. Las

cotas de error de estas técnicas se obtienen aplicando la fórmula del

error de Lagrange.

El uso específico de esta fórmula de error se limita a las funciones

cuyas derivadas tienen cotas conocidas, es decir para aquellos casos

en que la función es conocida.

En la práctica el término del error es difícil de aplicar, ya que

normalmente no se conoce el grado óptimo del polinomio.