Método de Newton - Wikipedia, La Enciclopedia Libre

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Método de NewtonDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o emétodo de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces deuna función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los

ceros de su primera derivada.

Índice

1 Historia

2 Descripción del método

3 Obtención del Algoritmo

4 Convergencia del Método

4.1 Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

4.2 Teorema de Convergencia Global del Método de Newton

5 Estimación del Error6 Ejemplo

7 Código en MatLab

8 Véase también

9 Referencias

10 Enlaces externos

Historia

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes numero terminoruminfinitas ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado

en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y

publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en

forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a

polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios

para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla

al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François

Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din

al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de

Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en

1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el

mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este

resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció

posteriormente.

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La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente

en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor aproximación

que xn para la raíz x de la función f .

Descripción del método

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el

sentido de que no está garantizada su convergencia global.

La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar

un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.

Así, se ha de comenzar la iteración con un valor

razonablemente cercano al cero (denominado punto dearranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto

inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia

función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o

pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las

probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual

exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez

que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la

recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen

de dicha recta será, según el método, una mejor

aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán

sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido

lo suficiente.

Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 ydefinimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f .

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma

analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar

las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables

sistemas de ecuaciones, etcetera.

Obtención del Algoritmo

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del

método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una

distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por

un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto

de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X).

Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ( ,

( )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la

raíz, , se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:


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Ilustración de una iteración del método de Newton

(la función f se muestra en azul y la línea de latangente en rojo). Vemos que es una

aproximación mejor que para la raíz de la

función .

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede

ver que es una mejor aproximación que para el

cero ( x) de la función f .

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es

desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un

entorno del punto :

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en :

Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que , luego, sustituyendo en la

expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de

iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación , se puede considerar el siguiente método de iteración

de punto fijo:

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:


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Por tanto, imponiendo subíndices:

Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

Convergencia del Método

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la

convergencia tipo ∆² de Aitken o el método de Steffensen.

Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es

posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g( x) = f ( x)/ f' ( x),

resultando:

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g( x) y g' ( x) si f ( x) no es fácilmente

derivable.

Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual sobre la base de

tratar el método como uno de punto fijo: si g '(r )=0, y g'' (r ) es distinto de 0, entonces la convergencia es

cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.

Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está

garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de

bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método

converja y cumpla el teorema de convergencia local.

Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

Sea . Si , y , entonces existe un r >0 tal que si

entonces la sucesión xn con verifica que:

para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito.

Si además , entonces la convergencia es cuadrática.


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Teorema de Convergencia Global del Método de Newton

Sea verificando:1

1.

para todo2.

para todo3.

4.

Entonces existe un único tal que por lo que la sucesión converge a s.

Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si es raíz, entonces:

para una cierta constante . Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada

nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para

hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el procesoiterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos( x) = x3. Podríamos tratar de encontrar

el cero de f ( x) = cos( x) - x3.

Sabemos que f '( x) = -sin( x) - 3 x2. Ya que cos( x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero

está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5


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Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos

Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10

ilustrando la convergencia cuadrática.

Código en MatLab

Programa escrito en Matlab para ejecutar el método Newton-Raphson.

%Método Newton-Raphson

%

%Es un método para aproximar la solución de una ecuación de una sola

%variable por medio de la aproximación de su derivada y con un punto fijo,

%cercano a la raíz.

%

%f=Función previamente definida en consola (use el siguiente comando en consola "f = @(x)(escriba aquí su f

%ff=derivada analítica de la función f (difinida previamente con el mismo comando anterior);

%a=punto cercano a la raíz; e=margen de error; n=numero de

%iteraciones maximo permitido

%

%El ingreso de datos es de la forma np(f,ff,a,e,n)

%

%by Francisco Peña Gallardo (Peñovsky Freeman)%UMSNH

%

function np(f,ff,a,e,n)

fprintf('Método de Newton-Raphson\n');

fprintf('by Peñovsky Freeman\n');

format long

x0=a;

i=0;

error=1;

fprintf('Iter. \t m \n');

while error>=e || i==n

f0=feval(f,x0);

f1=feval(ff,x0);

x1=x0-(f0/f1);

i=i+1;

error=abs((x1-x0)/x1);

fprintf('%d \t %d \n',i,x1)

if feval(f,x1)==0

sprintf('Nos alegramos porque encontramos la raíz')


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return

end

x0=x1;

end

w = feval(f,x0);

fprintf('\nLa raíz aproximada es:\t \t %f\n',x0);

fprintf('\nCon una tolerancia de:\t \t %f\n',e);

fprintf('Número de Iter:\t \t \t \t %d \n',i);

disp('Función:');

disp(f);

fprintf('El valor de f(x) en %f es: f(x) = %f\n',x0,w)

return

end

Véase también

Fórmulas de Newton–Cotes

Referencias

Miguel Pasadas. Universidad de Granada, ed. «Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales» (http://www.ugr.es

/~mpasadas/ftp/Tema2_apuntes.pdf).

1.

Tjalling J. Ypma, Historical development of the

Newton-Raphson method, SIAM Review 37 (4),531–551, 1995.

P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear

Problems. Affine Invariance and Adaptive

Algorithms. Springer Series in Computational

Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004.

ISBN 3-540-21099-7.C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with

Newton's Method , no 1 in Fundamentals of

Algorithms, SIAM, 2003. ISBN 0-89871-546-6.

J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative

Solution of Nonlinear Equations in Several

Variables. Classics in Applied Mathematics,

SIAM, 2000. ISBN 0-89871-461-3.

W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W.

T. Vetterling, Numerical Recipes in C: The Art

of Scientific Computing, Cambridge University

Press, 1992. ISBN 0-521-43108-5 (availablefree online, with code samples: [1]

(http://www.nrbook.com/a/bookcpdf.html)),

sections 9.4 [2] (http://www.nrbook.com

/a/bookcpdf/c9-4.pdf) and 9.6 [3]

(http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c9-6.pdf).

W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W

T. Vetterling, Numerical Recipes: The Art o

Scientific Computing, Cambridge University

Press, 2007. ISBN 0-521-88068-8 (available for

a fee online, with code samples [4]

(http://www.nrbook.com)).

W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, WT. Vetterling, Numerical Recipes in Fortran,

Cambridge University Press, 1992. ISBN

0-521-43064-X (online, with code samples: [5]

(http://library.lanl.gov/numerical/bookfpdf

/f9-4.pdf))

Endre Süli and David Mayers, An Introduction

to Numerical Analysis, Cambridge University

Press, 2003. ISBN 0-521-00794-1.

Weisstein, Eric W. «Newton's method and

Convergence» (http://mathworld.wolfram.com

/NewtonsMethod.html). En Weisstein, Eric W MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Consultado el 29 de agosto de 2009.

Enlaces externos

Método de Newton aplicado al cálculo de la raíz cuadrada de un número (http://neoparaiso.com

/logo/metodo-newton.html)

El método de Newton en Mathcad Application Server (http://web.archive.org/web/http://twt.mpei.ac.ru


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8/8

/mas/worksheets/newton.mcd) (con animación)

Método de Newton-Raphson: Notas, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica

(http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/newton_raphson.html)

Código Matlab – Método de Newton-Raphson (http://saforas.wordpress.com/2008/10/25/codigo-matlab

%E2%80%93-metodo-de-newton-raphson)

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