Upload
arturo-cabrera
View
16
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
metodo matematico de aproximacion lineal poscicion falsa
Citation preview
1nx
y F(x)
nx
1nxf
nxf
x
Método Posición Falsa o Regula Falsi
El método de la Posición Falsa pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la
rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos
puntos que rodean a la raíz.
Una ventaja al respecto al método de la secante es que inhibe la posibilidad de una divergencia del
método. Por otra parte y respecto al método de la bisección, mejora notablemente la elección del
intervalo ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad. Sin embargo, el método de la Posición
Falsa tiene una convergencia muy lenta hacia la solución. Efectivamente, una vez iniciado el
proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse
Este método funciona por medio de dos puntos sobre el eje x , es decir un intervalo en “ x ” nn xx ,1
, los cuales se evalúan en la función para sacar los puntos correspondientes en el eje de la y , los
puntos a obtener son nn xfxf ,1 , por lo que las coordenadas de los puntos que interceptan a
la función son 11 , nn xfx y nn xfx , .
Se debe considerar que los puntos 1nx y nx deben de contener a la raíz, por lo que el punto 1nx
debe estar a la izquierda y el punto nx a la derecha de la raíz.
Estos dos puntos que interceptan a la función, se unen por medio de una recta, la cual al cruzar el
eje de la “ x ”, genera el siguiente punto de acercamiento 1nx , el cual quedara ubicado entre el
intervalo propuesto nn xx ,1 , como se muestra en la Figura.
1nx
y F(x)
nx
1nxf
nxf
x
1nx
Interesa llegar a la raíz por medio del corte del eje “ x ” de la recta secante, entonces tomando en
cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto FIJO de tal forma que se llegue
a la raíz tenemos entonces los puntos nn xx ,1 y sacamos sus imágenes nn xfxf ,1 (esto se
hace para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “
x ” 2nx
Interesa llegar a la raíz por medio del corte del eje “ x ” de la recta secante, entonces tomando en
cuenta el corte con el eje de las “ x ” de la recta secante y otro punto FIJO de tal forma que se llegue
a la raíz tenemos entonces los puntos nn xx ,2 y sacamos sus imágenes nn xfxf ,2 (esto se
hace para tirar la siguiente recta secante), por lo tanto se obtiene un nuevo corte con el eje de las “
x ” 3nx
Podemos ver que con la tercera recta secante aproximadamente se acerco a la raíz. Entonces estos
pasos se hacen sucesivamente hasta llegar a la aproximación de la raíz.
El método de Posición Falsa parte de dos puntos nn xx ,1 y sus dos imágenes nn xfxf ,1 y
estima el primer corte con el eje de las “x” de la recta secante 1nx , luego se redefinen otros 2
puntos tomando en cuenta el corte con el eje de las “x” 11 , nn xfx deja un punto fijo
nn xfx , y se calcula el siguiente corte con el eje de las “x” 2nx , luego se redefinen otros 2
puntos tomando en cuenta el corte con el eje de las “x” 22 , nn xfx deja un punto fijo
nn xfx , y se calcula el siguiente corte con el eje de las “x” 3nx y así sucesivamente.
La formula a Utilizar es la misma que el método de la secante, solo que con una diferencia, en
la primera Iteración por Posición Falsa se hace por El Método de La secante:
y F(x)
nx
1nxf
nxf
x
1nx 2nx
y F(x)
x
2nx
2nxf
nxf
nx
3nx
1
11
nn
nnnnn
xfxf
xxxfxx
1 nn XXError
A partir de la 2da iteración hasta la iteración “n” se usa la formula de la secante para obtener el
método de Posición Falsa, ahora el error es el que va a cambiar:
1
11
nn
nnnnn
xfxf
xxxfxx
11 nn XXError
Resumiendo la escrito anteriormente tenemos: La técnica que utiliza esta formula recibe el nombre
de Método de POSICION FALSA. Comenzamos con las dos aproximaciones iníciales 0p y 1p , la
aproximación 2p es la intersección del eje de las “x” y la línea que une 00 , pfp y
11 , pfp . La aproximación P3 es la intersección del eje “x” y la línea que une 22 , pfp y
11 , pfp ), y así sucesivamente.
ALGORITMO DEL METODO DE POSICION FALSA
Paso 1 : Tener un punto inicial que encierre a la raíz (xn−1 , xn)
Paso 2: Calcular la PRIMERA aproximación a la raíz por el corte con el
eje de las “ x” por el Método de la Secante
• xn+1 = xn −f(xn) (xn − xn−1)
f(xn)−f(xn−1)
Error = |xn − xn+1|
Paso 3: De la segunda iteración hasta la Iteración “ n ” Iterar por el
Método de la Posición Falsa con la misma fórmula de la secante
de xn+1 = xn −f(xn) (xn − xn−1)
f(xn)−f(xn−1) y dejar fijo el punto (xn , f(xn) ), Calcular el
Error del método Error = |xn−1 − xn+1|
Paso 4: Para ambos pasos 2 y 3 Calcular Error < Tolerancia ó exactitud
• Si Error < Tolerancia ó exactitud , se encontró la raíz con el número de
cifras consecutivas especificada.
• Si Error > Tolerancia ó exactitud , Regresar al paso 3 para cambiar el
intervalo tomando en cuenta xn+1 y luego iniciar otra iteración
hasta que Error < Tolerancia ó exactitud
Ejemplo
Aplique el método de Posición Falsa para encontrar la raíz en el intervalo 4,3 de la función
xexxf 23 con una 410*1 tol
1era Iteración (n=1):
Como la tolerancia contiene 4 decimales (410*1
=0.0001), trabajaremos el método agregando 2
decimales mas, esto se hace para ver el comportamiento del error con el fin que en algún momento
pf no llegue a ser cero directamente ya que eso es casi imposible que suceda, por lo tanto todos
los cálculos los haremos con 6 decimales, pero el método para el criterio de paro si se toma en
cuenta 410*1
para el error.
Aplicando la formula de Posición Falsa se hace por la formula de la secante para encontrar el primer
corte del eje de las “x” de la recta secante con los primeros puntos 4,3 tenemos: (
431 nn xyx )
1
11
nn
nnnnn
xfxf
xxxfxx
511704.33343
34434
3242
42
1
ee
eX n
Calculamos el error, que es la misma fórmula del Error de Newton
488296.0511704.341 nn XXError , No es menor que 410*1
, como no se cumple que
tolxx nn 1 410*1488298.0 se hace otra iteración.
Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:
n 1nx nx 1nx ERROR
1 3 4 3.511704 0.488296
2da Iteración: (ahora la segunda iteración hasta “n-sima” por el método de Posición Falsa )
Como el error no es menor o igual que la tolerancia, tenemos que hacer otra interacción, hay que
redefinir un nuevo intervalo, los datos que tomamos para el nuevo intervalo y encontrar el siguiente
corte con el eje de las “x”, es el primer corte con el eje de las “x” y un punto FIJO ( nx ), esto son (
3.511704 , 4 ) para esta iteración.
680658.3511704.3343
511704.34434
511704.3242
42
1
ee
eX n
Calculamos el error, que para esta iteración y todas las demás es
168954.0680658.3511704.311 nn XXError , No es menor que 410*1
, como no se
cumple que tolxx nn 11 410*1168954.0 se hace otra iteración.
Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:
n 1nx nx 1nx ERROR
1 3 4 3.511704 0.488296
2 3.511704 4 3.680658 0.168954
3era Iteración (n=3):
Como el error no es menor o igual que la tolerancia, tenemos que hacer otra interacción, hay que
redefinir un nuevo intervalo, los datos que tomamos para el nuevo intervalo y encontrar el siguiente
corte con el eje de las “x”, es el segundo corte con el eje de las “x” y un punto FIJO ( nx ), esto son (
3.680658 , 4 ) para esta iteración.
721560.3680658.3343
680658.34434
680658.3242
42
1
ee
eX n
Calculamos el error, que para esta iteración y todas las demás es
040901.0721560.3680658.311 nn XXError , No es menor que 410*1
, como no se
cumple que tolxx nn 11 410*1040901..0 se hace otra iteración.
Haciendo una tabla de los cálculos que tenemos hasta el momento:
n 1nx nx 1nx ERROR
1 3 4 3.511704 0.488296
2 3.511704 4 3.680658 0.168954
3 3.680658 4 3.721560 0.040901
Seguimos haciendo las iteraciones hasta que tolxx nn 11 , completando el método tenemos lo
siguiente:
n 1nx nx 1nx ERROR
1 3 4 3.511704 0.488296
2 3.511704 4 3.680658 0.168954
3 3.680658 4 3.721560 0.040901
4 3.721560 4 3.730592 0.009032
5 3.730592 4 3.732544 0.001952
6 3.732544 4 3.732964 0.000420
7 3.732964 4 3.733054 0.000090
La solución a la aproximación a la raíz es 1nx de la 7 iteración 733054.3x