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MTODO DE RAYLEIGH Un mtodo muy aceptado por los cdigos de
construccin actuales es el Mtodo de Rayleigh, el cual permite
calcular con buena aproximacin la frecuencia fundamental de un
sistema de grados de libertad mediante un proceso relativamente
sencillo. Este mtodo fue desarrollado utilizando la ley de la
conservacin de la energa, permitiendo analizar sistemas de mltiples
grados de libertad como un sistema equivalente de un grado de
libertad, en funcin de una sola coordenada generalizada.
Funciones de desplazamiento y propiedades generalizadas
La mayora de las estructuras pueden ser idealizadas como un
voladizo vertical, cuyos desplazamientos se relacionan con las
coordenadas generalizadas mediante
(, ) = ()() Donde () es la coordenada generalizada dependiente
del tiempo que corresponde al desplazamiento del extremo libre del
voladizo y () es la funcin de forma para cualquier punto
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a lo largo del mismo. En los sistemas con mltiples grados de
libertad se hace necesario expresar las fuerzas elsticas y
amortiguadoras en funcin de los desplazamientos relativos
(, ) = ()() y velocidades relativas a los extremos de cada
elemento
(, ) = ()() Para formular la ecuacin de movimiento en trminos de
una coordenada generalizada es necesario que las masas estn
concentradas al nivel de los pisos y se encuentren acopladas
simplemente. Aplicando el principio del trabajo virtual , en las
cuales dado un desplazamiento virtual, el trabajo de las fuerzas en
equilibrio dinmico es igual a cero
+ + () = 0 El desplazamiento virtual puede ser escrito como
(, ) = ()() donde
(, ) = ()() ()() = ()()
Las fuerzas de inercia, amortiguamiento y elstica pueden ser
expresadas como
= = = = = =
Que siendo sustituidas en la aplicacin del trabajo virtual,
resulta la siguiente ecuacin de movimiento en trminos de las
coordenadas generalizadas
+ + = () Donde , , y son los parmetros generalizados (masa
generalizada, amortiguamiento generalizado, rigidez generalizada y
fuerza generalizada, respectivamente) , definidos por
= 2
= 2
= 2
=
-
Para una aceleracin en la base dependiente del tiempo, la fuerza
generalizada se convierte en
= L Donde L es el factor de participacin del terremoto
L =
Puede resultar conveniente expresar el amortiguamiento
generalizado en trminos del porcentaje de amortiguamiento crtico de
la siguiente manera
= 2
= 2
Donde representa la frecuencia circular del sistema generalizado
y est dada por
=
El Mtodo de Rayleigh Dado un sistema elstico sin
amortiguamiento, la mxima energa potencial en trminos de la
coordenada generalizada puede escribirse como
max =
2
=
2
Y la energa cintica
max =22
2
2
=22
2
De acuerdo con el principio de conservacin de la energa, estos
valores mximos deben ser iguales entre s e iguales a la energa
total del sistema. Por tanto, el mtodo de Rayleigh consiste en
determinar la frecuencia natural del sistema mediante la igualacin
de ambas energas mximas
=
-
Y el perodo es
= 2
Multiplicando y dividiendo por y utlilizando (, ) = ()() ,
= 2
2
La cual aparece en el artculo 32 del RNC-07.
EJERCICIO DE APLICACIN MTODO DE RAYLEIGH Calcule el periodo
fundamental, la configuracin del primer modo y la frecuencia
natural de la estructura mostrada a continuacin, usando el mtodo de
Rayleigh.
1 = 2 = 3 = 0.25 kip s2/2
4 = 0.23 kip s
2/2
todos los = 180 kip/in
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Solucin
1. Seleccin de las fuerzas laterales Las cargas laterales en el
mtodo de Rayleigh vienen dadas por las fuerzas de inercia, es
decir, el producto de cada masa con su respectiva aceleracin.
Puesto que solo conocemos las masas, las fuerzas de inercia se
escogen arbitrariamente, con valores descendentes desde las masas
superiores hacia las inferiores. Como en nuestro caso las
propiedades de la estructura son similares en cada nivel, se asume
que las aceleraciones, y por tanto las cargas inerciales, varan
linealmente desde el nivel del techo. Dado que la magnitud de las
fuerzas de inercia es irrelevante, asumimos los valores de 8, 6, 4
y 2 kip para cada nivel (de las masas superiores a las inferiores)
por conveniencia en los clcul os.
2. Cortante de piso Empleando el mtodo de las secciones, con las
fuerzas de inercia como cargas externas, calculamos el cortante en
cada uno de los niveles de la estructura. Dicho de una manera
simple, el cortante en un nivel es igual a la suma de las fuerzas
laterales en las masas superiores al mismo.
4 = 4 = 8 kip
3 = 4 + 3 = 8 + 6 = 14 kip
2 = 4 + 3 + 2 = 8 + 6 + 4 = 18 kip
1 = 4 + 3 + 2 + 1 = 8 + 6 + 4 + 2 = 20 kip
3. Desplazamientos relativos de cada nivel De la ley de Hooke se
tiene que el desplazamiento relativo de las masas es igual al
cortante dividido por la rigidez del entrepiso.
1 =11
=8
180= 0.0444 in
2 =22
=14
180= 0.0778 in
3 =33
=18
180= 0.1000 in
4 =44
=20
180= 0.1111 in
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4. Desplazamiento total de cada nivel Es la acumulacin de los
desplazamientos relativos por cada nivel.
1 = 1 = 0.1111 in
2 = 1 + 2 = 0.1111 + 0.1000 = 0.2111 in
3 = 1 + 2 + 3 = 0.1111 + 0.1000 + 0.0778 = 0.2889 in
4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 0.1111 + 0.1000 + 0.0778 + 0.0444 = 0.3333
in
5. Funcin de forma Se obtiene dividiendo los desplazamientos de
cada nivel entre el mximo desplazamiento (el del nivel
superior)
4 =44
=0.3333
0.3333= 1.0000
3 =34
=0.2889
0.3333= 0.8667
2 =24
=0.2111
0.3333= 0.6333
1 =14
=0.1111
0.3333= 0.3333
6. Masa generalizada
= 2
4
= (0.23)(1)2 + (0.25)(0.8667) 2 + (0.25)(0.6333)2 +
(0.25)(0.3333) 2 == 0.5458 kip s2/2
7. Fuerza generalizada
= 4
= (8)(1) + (6)(0.8667) + (4)(0.6333) + (2)(0.3333) = 16.40
kip
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8. Perodo fundamental
= 2
= 2
(0.5458)(0.3333)
(16.4)= 0.6618 s
9. Frecuencia natural
=
=
(16.4)
(0.5458)(0.3333)= 9.4941 rad/s
10. Configuracin del primer modo de vibracin
11 =11
=0.1111
0.1111= 1.0000
21 =21
=0.2111
0.1111= 1.9000
31 =31
=0.2889
0.1111= 2.6000
41 =11
=0.3333
0.1111= 3.0000
Resumen de los clculos
METODO DE RAYLEIGH
Nivel K (k/in) m
(K*s^2/in) P (K) V (K) ( V/K) v (mi)(i^2) (Pi)(i)
4 0.23 8 0.3333 1 0.2300 8
180 8 0.0444
3 0.25 6 0.2889 0.8667 0.1878 5.2000
180 14 0.0778
2 0.25 4 0.2111 0.6333 0.1003 2.5333
180 18 0.1000
1 0.25 2 0.1111 0.3333 0.0278 0.6667
180 20 0.1111 0.0000 0.0000 0.5458 16.4000
