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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO TODO DE FUKUHEI TAKABEYA Fórmulas fundamental es para vig as y pórticos

Método de Takabeya

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  • UNIVERSIDAD NACIONALPEDRO RUIZ GALLOINGENGENIERA CIVIL

    MTODO DE FUKUHEITAKABEYAFrmulas fundamentales para vigas yprticosDOCERNTE: PORRO AIS OSCAR

    Alumno: Darwin Alfredo Torres GarcaCDIGO: 102323D

    29/07/2014

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    ContenidoINTRODUCCIN .................................................................................................................... 31. DEFINICIN .................................................................................................................. 42. ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS .................................................................. 4

    2.1. Estudio de los ngulo de giro.................................................................................. 43. CASOS PARTICULARES CON ARTICULACIN .................................................................... 64. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGASHORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS............................................................................ 9BIBLIOGRAFA..................................................................................................................... 14

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    MTODO DE FUKUHEI TAKABEYAINTRODUCCINLa principal ventaja a comparacin con la del mtodo de Kani y Cross es el tiempo, sobre todocuando los edificios llegan a ser muy altos el mtodo de Takabeya es ms beneficioso, pues sepudo resolver un edificio de 200 pisos y 30 luces en 78 horas con slo calculadora en aquellostiempos donde era realmente corto para tal problema con tal complicacin, y cuyo mtodoconsiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y losdesplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual sedisminuye considerablemente el nmero de operaciones. Esto lo hace sumamente til. Una vezobtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentosdefinitivos mediante las ecuaciones de ngulos de giro y deflexin.

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    1. DEFINICINEl objeto del clculo esttico de una estructura es obtener el equilibrio de la misma, cuando, lacargar sus distintos elementos, giran y se desplazan los nudos de aquella.

    Conocidos los momentos flectores en los extremos de cada una de las barras, quedadeterminado el clculo de la misma, pues los dems valores estticos pueden deducirse de estosmomentos, por lo cual el clculo consistir esencialmente en la determinacin de los momentosen los extremos de cada barra. En cada nudo actan dos momentos, iguales y contrarios, uno deellos, que gira con el extremo de la barra, es el que debernos considerar como momento endicho extremo, y el otro el que acta exteriormente sobre el citado nudo (fig. 1). Cuando actasobre un nudo un momento flector exterior de sentido positive, el nudo y todos los extremos delas barras que concurren en l reciben momentos positivos en este extremo.

    Empezaremos el clculo suponiendo que al actuar las cargas exteriores existe empotramientoperfecto en los dos extremos de cada barra, o sea, que los nudos permanecen fijos sin poderefectuar ningn giro ni desplazamiento. Cada barra es, por lo tanto, como una viga de ltimoempotrada en sus extremos, para los cuales nos ser fcil calcular los correspondientesmomentos de empotramiento.

    A las fuerzas y momentos exteriores que impiden el desplazamiento y el giro de estos nudos lasllamaremos fuerzas y momentos de sujecin. Determinados los momentos de empotramiento enlos nudos, se calculan luego los momentos y fuerzas de sujecin en cada uno de ellos. El hechode existir equilibrio en un nudo i, equivale a expresar que el momento de sujecin M debe serigual a la suma de todos los momentos de empotramiento de las barras que concurren en dichonudo, as: =

    2. ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS2.1. Estudio de los ngulo de giro

    En esta primera etapa de clculo se supone que los nudos sonindesplazables.

    Cuando se deforma una estructura bajo la accin de ciertascargas exteriores, sin suponer que existe rigidez en los nudos dela misma, cada uno de ellos gira en un determinado valor; porejemplo, para una barra i-k el extremo i girar en un ngulo yel extremo k en un ngulo . Vamos a descomponer el girototal de los extremos de la barra i-k, como superposicin de lastres siguientes y sucesivas etapas (ver fig. 2)

    1. La barra i-k se deforma, flexando, bajo la accin de la

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    carga, sin girar los extremos de la misma.2. El extremo i gira en un ngulo , mientras el extremo k no gira.3. El extremo k gira en un ngulo , mientras el extremo i no gira.

    Se pude, por lo tanto, escribir para el extremo i de la barra i-k:= + 4 + 2 (1 )= + 4 + 2 (1 )Conociendo estos valores podremos obtener el momento total , mediante la ecuacin(1a y 1b), por suma de los mismos, o sea:

    Del momento de empotramiento perfecto en el extremo ( ). Del momento debido al giro del propio extremo (4 ). Del momento debido al giro del extremo contrario de la barra (2 ).

    Por conveniencia se define:

    = (2)El valor de C es una constante de proporcionalidad que nos permitir trabajar con valoresrelativos. Remplazando 2 en 1, se tiene as:= + 4 + 2 (3a)= + 4 + 2 (3b)Definimos rotaciones relativas: = 2 (4a)= 2 (4b)Remplazamos 4 en 3 tenemos: = + (2 + ) (5a)= + + 2 (5b)Cuando a un nudo lo aplicamos la ecuacin de equilibrio = 0, se obtien:0 = + 2 + ( ) (6)Despejando la rotacin debido al nudo i:

    = 2 2 (7)Segn la ecuacin 7 vemos que el primer trmino que est representado por el cociente entreel momento de empotramiento y dos veces el coeficiente de rigidez, lo cual es un trmino quesiempre ser constante para cada nudo, y en consecuencia el segundo nudo representa losgiros en los extremos alejados del nudo de las barras que concurren a l. Para dar unarepresentacin se define:

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    = 2 (8)Y tambin se tiene

    = 2 (9)La ecuacin 7 la podemos escribir como: = + (10)Esta ecuacin es la iteracin buscada. Los siguientes pasos son bsicos para la aplicacin deeste mtodo:

    1. Evalense los coeficientes de giro y momentos de empotramiento .2. Calclese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuacin (6).3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se est trabajando a mano, para

    acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.4. Aplquese a cada nudo la ecuacin (10) y escrbase en el diagrama los resultados

    obtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsrvese que estos valorescorresponden a los al pasar a los nudos opuestos.

    5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una yotra vez hasta obtener convergencia entre los nudos.

    6. Finalmente aplquese las ecuaciones (5) a todos los elementos para obtener losmomentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas sepuede obtener despejando su valor en la ecuacin (4 a)

    3. CASOS PARTICULARES CON ARTICULACINConsideremos que el nudo i est restringido (empotrado) y que el nudo k est articulado, ylo aplicamos en la ecuacin (5b) resulta:= + ( + 2 ) = 0 (11)

    Despejamos : = 2 2 (12)Remplazando (12) en (5a)

    = + (2 2 2 )= 2 + 32 (13)El primer parntesis es igual al momento de empotramiento verdadero para el extremoopuesto articulado:

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    = 2 + 32 (14)Se define adems que: = 34 (15)Entonces la ecuacin (13) se escribe como: = + (2 ) (16)Ejemplo 1

    Analice el prtico mostrado por el mtodo de Takabeya, las vigas tienen una seccion de 30cm x60cm, y las columnas 30cm x 50cm.

    SolucinPASO 1Rigidez relativa

    Tipo Tramo Lon. Seccin Momento Coeficiente de Rigidez CargaMomentoEmpotram.

    b h de Inercia Distribuida Perefecto

    m cm cm cm4 K Representacin Ton/ml Mik Mki

    Vigas 34 6.00 30.00 60.00 6480000 10800 3.63 5.22 -15.666 15.666

    56 6.00 30.00 60.00 6480000 10800 3.63 5.22 -15.666 15.666

    53 3.00 30.00 50.00 3750000 12500 4.2064 3.00 30.00 50.00 3750000 12500 4.20

    Columnas 75 4.20 30.00 50.00 3750000 8929 3

    86 4.20 30.00 50.00 3750000 8929 3

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    Nudo Tramo Valores FactoresPi de Giro

    56 3.6288 -0.1685 57 3 -0.139

    53 4.2 -0.194P5 21.6576 -0.50065 3.6288 -0.168

    6 68 3 -0.13964 4.2 -0.194P6 21.6576 -0.50034 3.6288 -0.232

    3 35 4.2 -0.268

    P3 15.6576 -0.50043 3.6288 -0.232

    4 46 4.2 -0.268

    P4 15.6576 -0.500

    Diagrama de iteracin

    Tipo Tramo Momentos Parciales Momentos Finales Cortantes Finales

    mik mki Mik Mki Vik Vki

    Vigas 34 1.025 -0.795 -11.11 13.61 15.25 -16.0856 0.597 -0.433 -12.90 14.69 15.37 -15.96

    Columnas 53 0.597 1.025 9.32 11.11 -6.81 -6.8164 -0.433 -0.795 -6.98 -8.50 5.16 5.1675 0.000 0.597 1.79 3.58 -1.28 -1.28

    86 0.000 -0.433 -1.30 -2.60 0.93 0.93

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    4. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGASHORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS

    Para el clculo de estructuras con desplazamiento, los momentos finales en los extremos delas barras estn representados por las ecuaciones de ngulo de giros y deflexin:= + 4 + 2 + 6 (17)Definimos: = 6 (18)

    ==Remplazamos 18 en 17 tenemos: = + (2 + + ) (19)el signo positivo de indica que el nivel n se ha desplazado hacia la derecha, con respecto alnivel n+1.

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    Aplicando la ecuacin de equilibrio al = 0, se obtien:0 = + 2 + ( ) + ( )Despejando la rotacin debido al nudo i:

    = 2 2 2 (20)Si recordamos las definiciones que se hicieron en las ecuaciones 7 y 8 tenemos:= + ( + ) (21)Si las fuerzas horizontales estn aplicadas nicamente en los niveles de placa, para esto elequilibrio horizontal requiere que: = ( ) (22)En donde: representa la fuerza de corte en el piso n

    es el corte en el extremo inferior de la columna q del piso n, como se indica en elsiguiente esquema

    Figura 3 Equilibrio de fuerzas horizontales en el piso n.

    Pero: = + , (23)Remplazando 23 en 22, resulta: = + , (24)Si todas las columnas del piso tiene la misma altura, esta se puede sacar de la suma ydespejando: = + ,Remplazando la ecuacin (19) en (24):= + , + 3 ( + ) + 2

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    Cuando no existen cargas aplicadas directamente sobre las columnas, el primer sumando escero y si todas las columnas son de igual altura, es constante para el piso. Por tanto, laexpresin anterior se puede reescribir as:= 3 ( + ) + 2Despejando = = 2 32 ( + ) (25)Los desplazamientos relativos iniciales de piso y coeficiente de desplazamiento de columna= 2 (26)y = 32 (27)

    Con lo que la ecuacin 25 se simplifica a: = + ( + ) (25 )Esta ecuacin es la que nos servir para la iteracin para evaluar el desplazamiento relativodel piso n.

    Al terminar el proceso no se obtendr un balance perfecto, para esto se hacer una correccin quese distribuir de forma proporcional a las rigideces de las barras que concurres en l, tal como: =Pasos a seguir:

    1. Evalense los coeficientes de giro , los de desplazamiento y momentos deempotramiento .

    2. Calclese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuacin (6), y losdesplazamientos relativos iniciales de cada piso , mediante la ecuacin (26) .

    3. Adptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se est trabajando a mano, paraacelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.

    4. Aplquese a cada nudo la ecuacin (21) y escrbase en el diagrama los resultadosobtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsrvese que estos valorescorresponden a los al pasar a los nudos opuestos.

    5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 25 unay otra vez hasta obtener convergencia entre los nudos.

    6. Repita los pasos 4 y 5 para obtener una convergencia de en todos los nudos y deen todos los pisos.

    7. Finalmente aplquese las ecuaciones (19) a todos los elementos para obtener losmomentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientosde pisos verdaderos y se puede obtener despejando su valor en la ecuacin (4 a)y 18 respectivamente.

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    EJERCICIO 2: Analizar el prtico siguiente:

    SOLUCION

    Calculo de rigideces relativas

    Tipo Tramo Longitud Seccin Momento Coeficientede Rigidezb h de Inercia

    m cm cm cm4 KikVigas 34 5.00 30 50.00 0.0375 7.50E-03

    56 5.00 30 50.00 0.0375 7.50E-0353 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-0364 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-03

    Columnas 75 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-0386 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-03

    coeficientes degiroNudo Tramo Pi

    kik uik=-Kik/(2kik)

    5

    56 7.50E-03 -0.18557 6.40E-03 -0.15853 6.40E-03 -0.158

    2kik 4.06E-02 -0.500

    6

    65 7.50E-03 -0.18568 6.40E-03 -0.15864 6.40E-03 -0.158

    2kik 4.06E-02 -0.500

    334 7.50E-03 -0.27035 6.40E-03 -0.230

    2kik 2.78E-02 -0.500

    443 7.50E-03 -0.27046 6.40E-03 -0.230

    2kik 2.78E-02 -0.500

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    coeficiente de desplazamiento

    ik =-3Kik/(2kik)Columna Kik

    75 0.019 -0.75086 0.019 -0.750

    2kik 0.038 -1.50075 0.019 -0.75086 0.019 -0.750

    2kik 0.038 -1.500

    desplazamientos iniciales relativos de pisoi=Mik/(2kik)

    Niveles Q=Hi (Ton) hn(m.) 2kik n1er Nivel 10.95 4.20 0.026 1796.642do Nivel 3.44 3.00 0.026 403.18

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    Tipo TramoLongitud Momentos

    ParcialesMomentosParciales

    MomentosFinales Cortantes Finales

    (m) m'ij m'ji m''ij m''ji Mij Mji Vij Vji

    Vigas1 2 3 4 5 6 7 -(7+6)/1 -(7+6)/1

    34 5.00 0.348 0.348 0.000 0.000 3.67 3.67 -1.47 -1.4756 5.00 1.077 1.077 0.000 0.000 11.36 11.36 -4.55 -4.55

    Col

    53 3 1.077 0.348 -2.997 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.7264 3 1.077 0.348 -2.997 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.7275 3 0.000 1.077 -5.448 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.6686 3 0.000 1.077 -5.448 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.66

    BIBLIOGRAFA1. Cesar Fonceca Ponce, Estructuras Hiperestticas, Mexico, Universidad Autnoma de

    Mexico, 2007