Mtodo de Variacin de ParmetrosPor: Toms Estrada SnchezGrupo: 211

Lo que necesitamos suponer con respecto al miembro derecho R(x) en la ecuacin f(D)y = R(x) Es que R(x) tiene un comportamiento adecuado para que las integrales que encontremos existan.Para la ecuacin (1), una vez que se conocen las races de la educacin auxiliar f(m) = 0, la funcin complementaria se escribe por inspeccin. Supngase, por ejemplo, que (1) es de orden dos y su funcin complementaria esta dada por yc = c1(x) + c2(x),

Donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o (parmetros) y las y por supuesto funciones conocidas. En este caso se sigue el mtodo de variacin de parmetros. Primero, reemplazamos las constantes c1 y c2 por funciones desconocidas de x. digamos A y B.

y = A(x) + B(x),Donde A y B puedan considerarse como dos nuevas variables dependientes. Aqu A y B reemplazan a los parmetros c1 y c2 de (2), solo que ahora estas cantidades pueden variar. Esta peculiaridad es lo que le da el nombre al mtodo su nombre.Ahora tenemos presentes tres variables independientes A, B, y y. Ellas deben satisfacer las ecuaciones aunque, en general, tres variables pueden satisfacer a un conjunto de tres ecuaciones. Por tanto aqu en este caso, somos libres de imponer una condicin ms sobre A, B, y y.

y' = A'1(x) + B'2(x) + A'(x) + B'(x),Ahora vamos a imponer una tercera condicin demandando que A'(x) + B'(x) = 0 Entonces se transforma en y' = A'1(x) + B'2(x), de lo cual se tiene y'' = A''1(x) + B''2(x) + A''1(x) + B''2(x), Que no involucra ms derivadas de primer orden de Ay B. Finalmente pueden usarse para eliminar y de la (1), y podemos por tanto obtener una ecuacin en A'

Y B' para compararla con el ultimo. De aqu se ve que es posible encontrar A' y B', y entonces determinar A y B, por integracin. Una vez que A y B son conocidas, la ecuacin (3) nos da la y deseada. El mtodo se generaliza fcilmente a ecuaciones de un orden mayor que dos, pero no aparecen ideas esencialmente nuevas y los detalles pueden ser tediosos.

Ejemplo A = tan2x dx = (1 sec2x)dx, As que A= x tan x,

otra vez desdeando la constante arbitraria.

Volviendo a la ecuacin (9), con la A conocida de la ecuacin (14) y la B de la ecuacin (13), escribimos la solucin particularyp = (x tanx)cosx + senx ln sec x oyp = x cosx senx + senx ln sec x

entonces la solucin general de (8) es y = c1 cosx + c3 senx + x cosx + senx ln secxdonde el trmino ( senx) en la yp ha sido absorbido en el trmino de la funcin complementaria c3 senx, ya que c3 es una constante arbitraria.

La solucin (15) puede, como es usual, verificarse por sustitucin directa en la ecuacin diferencial original.