INTRODUCCINEl MEF permite obtener una solucin numrica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que estn definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma dbil o integral que caracterizan el comportamiento fsico del problema dividindolo en un nmero elevado de subdominios no-intersectantes entre s denominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitos forma una particin del dominio tambin denominada discretizacin. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; adems, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama malla.

Los clculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de base para discretizacin del dominio en elementos finitos. La generacin de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los clculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incgnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El nmero de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al nmero de nodos.

Tpicamente el anlisis de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a travs de relaciones cinemticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecnica de slidos deformables o ms generalmente un problema de mecnica de medios continuos. El mtodo de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de clculo complejos (en dos o tres dimensiones). Adems el mtodo es fcilmente adaptable a problemas de transmisin de calor, de mecnica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (mecnica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagntico. Dada la imposibilidad prctica de encontrar la solucin analtica de estos problemas, con frecuencia en la prctica ingenieril los mtodos numricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la nica alternativa prctica de clculo.

Una importante propiedad del mtodo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente ms finas, la solucin numrica calculada converge rpidamente hacia la solucin exacta del sistema de ecuaciones.

BREVE RESEA HISTRICAEl Mtodo de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utiliz el mtodo de Ritz de anlisis numrico y minimizacin de las variables de clculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema de vibracin. Poco despus, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableci una definicin ms amplia del anlisis numrico.1 El documento se centr en la rigidez y deformacin de estructuras complejas. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el clculo matricial de estructuras. ste parte de la discretizacin de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:

(*)\mathbf{f} = \mathbf{K}\cdot \mathbf{u}

Donde las incgnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector \mathbf{f}) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez \mathbf{K}). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solucin obtenida es exacta.

USO PRCTICO DEL MTODO HACIA 1950Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de cmputo en la dcada de 1950, el clculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los mtodos de clculo predominantes consistan en mtodo iterativos (mtodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos. El clculo de una estructura de edificacin de varios pisos, por ejemplo, poda llevar varias semanas, lo cual supona un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimizacin de la estructura.

La llegada de la computadora permiti el resurgimiento del mtodo de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difciles de aplicar dado que al final conducan a la resolucin de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

DE 1960 A 1970Cuando las aplicaciones prcticas de elementos finitos crecieron en tamao, los requerimientos de tiempo de clculo y memoria de los ordenadores creci. En ese punto el desarrollo de algoritmos ms eficientes se volvi importante. Para la resolucin de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del mtodo matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificacin donde la discretizacin de los prticos en barras, es prcticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volmenes) y con geometras complejas. De ah que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas tcnicas del MEF. Dada su generalidad el mtodo se ampli a otros campos no estructurales como la conduccin de calor, la mecnica de fluidos, etc. donde compiti con otros mtodos numricos como el de mtodo de las diferencias finitas que an siendo ms intuitivos, tenan de nuevo dificultades de planteamiento para geometras complejas.

Con la llegada de los centros de clculo y los primeros programas comerciales en los aos 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases tericas en los centros universitarios.

En los aos 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografa as como la extensin del mtodo a otros problemas como los no lineales. En esta dcada, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente posedo por las industrias aeronuticas, de automocin, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de elementos y se sientan las bases matemticas rigurosas del mtodo, que haba aparecido antes ms como tcnica de la ingeniera que como mtodo numrico de la matemtica.

A PARTIR DE 1980Estructura generada por FEM para el anlisis de tensiones de la cabeza de un pistn de un motor de combustin interna alternativo.Por ltimo, a partir de la dcada de los 80, con la generalizacin de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurndose el uso de pre y postprocesadores grficos que realizan el mallado y la representacin grfica de los resultados. Se contina en el estudio de la aplicacin del mtodo a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, dao continuo, etc.) y en el anlisis de los errores.

En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el mtodo matricial, siendo muchos los programas que mezclan el anlisis por ambos mtodos, debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el anlisis por elementos finitos. As se ha dejado la aplicacin del MEF para el anlisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los prticos siguen todava discretizndose en barras y utilizando el mtodo matricial. Y desde el rpido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de clculo, el MEF ha desarrollado una increble precisin. A da de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados exactos para todo tipo de parmetros.

DESCRIPCIN MATEMTICA DEL MTODOEl desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:

El problema debe reformularse en forma variacional.El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial) debe dividirse mediante una particin en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la particin anterior se construye un espacio vectorial de dimensin finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solucin numrica aproximada obtenida por elementos finitos una combinacin lineal en dicho espacio vectorial.Se obtiene la proyeccin del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la particin. Esto da lugar a un sistema con un nmero de ecuaciones finito, aunque en general con un nmero elevado de ecuaciones incgnitas. El nmero de incgnitas ser igual a la dimensin del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensin tanto mejor ser la aproximacin numrica obtenida.El ltimo paso es el clculo numrico de la solucin del sistema de ecuaciones.Los pasos anteriores permiten construir un problema de clculo diferencial en un problema de lgebra lineal. Dicho problema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensin no-finita, pero que puede resolverse aproximadamente encontrando una proyeccin sobre un subespacio de dimensin finita, y por tanto con un nmero finito de ecuaciones (aunque en general el nmero de ecuaciones ser elevado tpicamente de miles o incluso centenares de miles). La discretizacin en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyeccin sencillo, logrando adems que la solucin por el mtodo de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vrtices de los elementos finitos o puntos destacados de los mismos. Para la resolucin concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse los mtodos convencionales del lgebra lineal en espacios de dimensin finita.

En lo que sigue d es la dimensin del dominio, n el nmero de elementos finitos y N el nmero de nodos total.

FORMULACIN DBILArtculo principal: Formulacin dbilLa formulacin dbil de una ecuacin diferencial permite convertir un problema de clculo diferencial formulado en trmino de ecuaciones diferenciales en trminos de un problema de lgebra lineal planteado sobre un espacio de Banach, generalmente de dimensin no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuaciones algebraicas.

Dada una ecuacin diferencial lineal de la forma:

(1)\mathcal{L}(u) = f

Donde la solucin es una cierta funcin definida sobre un dominio d-dimensional \Omega \subset \R^d, y se han especificado un conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la funcin buscada es un elemento de un espacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuacin (2) es equivalente a:

(2a)\mathbf{A}(u) = f, \qquad\begin{cases} u\in V & f\in V'\\\mathbf{A}:V \to V' & \mathbf{A}\in \mathcal{L}(V,V') \end{cases}

Donde V' es el espacio dual de V, la forma variacional dbil se obtiene buscando la nica solucin u\in V tal que:

(2b)a(u,v) = \langle f,v \rangle, \quad \forall v\in V \qquad \mbox{donde}\begin{cases} a(u,v) = \langle \mathbf{A}u, v\rangle \\\langle f, v\rangle = \int_\Omega f v\ d\Omega \end{cases}

Cuando el operador lineal es un operador elptico, el problema se puede plantear como un problema de minimizacin sobre el espacio de Banach.

DISCRETIZACIN DEL DOMINIODado un dominio \Omega \subset \R^d con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una particin en n "elementos finitos", es una coleccin de n subdominios \scriptstyle \{\Omega^{(e)}\}_{e=1}^n\, que satisfece:

\Omega = \cup_{e = 1}^n \Omega^{(e)}Cada \Omega^{(e)} es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua.\mbox{int}(\Omega^{(i)}) \cap \mbox{int}(\Omega^{(j)}) = \empty, \quad i \ne jUsualmente por conveniencia prctica y sencillez de anlisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma", es decir, existe un dominio de referencia \scriptstyle \hat\Omega \subset \R^d y una coleccin de funciones biyectivas:

\{ F^{(e)} |F^{(e)}:\hat\Omega \to \Omega^{(e)} \}

Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente tambin dominio isoparamtrico. En los anlisis 2D (d = 2) el dominio de referencia \hat\Omega se suele tomar como un tringulo equiltero o un cuadrado, mientras que en los anlisis 3D (d = 3), el dominio de referencia tpicamente es un tetraedro o un hexaedro. Adems sobre cada elemento se considerarn algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirn los vrtices del elemento finito y se requerir la condicin adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre el subconjunto \scriptstyle \Omega^{(i)} \cap \Omega^{(j)}, es decir:

\mathbf{x}\in \Omega^{(i)} \cap \Omega^{(j)}\land (\mathbf{x}\in \mbox{nod}(\Omega^{(i)})) \Rightarrow(\mathbf{x}\in \mbox{nod}(\Omega^{(j)}))

Una vez definida la particin en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensin finita, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servir para aproximar localmente la solucin del problema variacional. El problema variacional en su forma dbil se plantea sobre un espacio de dimensin no-finita, y por tanto la funcin buscada ser una funcin de dicho espacio. El problema en esa forma exacta es computacionalmente inabordable, as que en la prctica se considerar un subespacio de dimensin finita \scriptstyle V^h del espacio vectorial original \scriptstyle V. Y en lugar de la solucin exacta de (2b) se calcula la proyeccin de la solucin original sobre dicho subespacio vectorial de dimensin finita, es decir, se resolver numricamente el siguiente problema:

(2c)a(u^h, v^h) = \langle f, v^h \rangle, \quad \forall v^h\in V^h

Donde:

u^h = \Pi_e(u) \in V^h\,, es la solucin aproximada.\Pi_e:V\to V^h\, \quad V^h \subset V es el proyector ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial asociado a la discretiacin.Si la discretizacin es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento est bien escogido, la solucin numrica obtenida aproximar razonablemente bien la solucin original. Eso implicar en general considerar un nmero muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyeccin de dimensin elevada. El error entre la solucin exacta y la solucin aproximada puede acotarse gracias al lema de Ce, que en esencia afirma que la solucin exacta y la solucin aproximada satisfacen:

(LC)\| u - u^h \|_V \le c \inf_{v^h \in V^h} \| u - v^h \|_V

Es decir, el error depender ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretizacin en elementos fintios \scriptstyle V^h aproxime el espacio vectorial original \scriptstyle V.

Funciones de forma y espacio de la solucinExisten muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar la solucin exacta del problema. Desde un punto de vista prctico resulta til definir un espacio vectorial \scriptstyle \hat{X} de dimensin finita definido sobre el dominio de referencia \scriptstyle \hat{\Omega} formado por todos los polinomios de grado igual o inferior a cierto grado:

P_n(\Omega) \subset \hat{X}

Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espacio vectorial \scriptstyle V^h \subset V que servir para aproximar la solucin como:

(3)V^h = \{ v^h \in V|\ \forall e: v^h \circ F^{(e)} \in \hat{X} \}

Cuando \scriptstyle F^{(e)}\, es una funcin lineal y el espacio \scriptstyle \hat{X} est formado por polinomios entonces la restriccin de \scriptstyle v^h \in V^h es tambin un polinomio. El espacio vectorial \scriptstyle \hat{X} es un espacio polinmico en que la base de dicho espacio est formada por funciones de forma \scriptstyle \hat{N}_i, que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

\hat{N}_i(\xi_j) = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i\ne j \end{cases}

Esto permite definir de manera unvoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define el problema:

\forall \xi \in \hat{\Omega}:\hat{N}_i(\xi) = (N_i^{(e)} \circ F^{(e)})(\xi)

Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitos constituye una particin de todo el dominio:

N_i:\Omega \to \R^d,\qquad\forall x\in \Omega^{(e)} \subset \Omega: N_i(x) = N_i^{e}(x)

Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier funcin definida sobre el dominio original mediante el proyector \scriptstyle \Pi^h:

(4)(\Pi^h v)(\cdot) = \sum_{i=1}^n v(x_i)N_i(\cdot) \in V^h

Resolucin de las ecuacionesFijada una base asociada a una determinada discretizacin del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones \scriptstyle N_i(x) la forma dbil del problema (, cuando la funcin a(\cdot,\cdot) es bilineal) puede escribirse como una ecuacin matricial simple:

a(u^h,v^h) = \langle f,v^h \rangle,\quad \forall v^h \in V^h,\quad \Rightarrow\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a_{ij}(u^h)_i(v^h)_j = \sum_{j=1}^N (f)_j(v^h)_j

Donde N es el nmero de nodos. Agrupando los trminos y teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tanto la ecuacin anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que:

(5)\sum_{j=1}^N \left(\sum_{i=1}^N a_{ij}(u^h)_i - (f)_j \right)(v^h)_j = 0\quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^N a_{ij}(u^h)_i - (f)_j = 0 \quad \Rightarrow\mathbf{K}\mathbf{u} - \mathbf{f} = 0

Este es la forma comn del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuacin diferencial lineal, no dependiente del tiempo. Esta ltima forma es precisamente la forma (*) de la resea histrica. Para resolver numricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el nmero de operaciones que debe realizarse y ahorren memoria.

En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolucin numrica son:

El clculo de la matriz de coeficientes \mathbf{K} = a_{ij}, esto generalmente requiere integracin numrica aproximada lo cual es una nueva fuente de errores en el clculo por el MEF.El uso de un mtodo eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el mtodo de Cramer es totalmente impracticable para N \ge 27!, un ordenador de unos 10 GFlops tardara ms de 2 aos en resolver el sistema por dicho mtodo, mientras que si se usa el mtodo de eliminacin gaussiana tardara menos de una diez milsima de segundo.Para entender la necesidad de la integracin numrica necesitamos ver qu forma tiene tpicamente la forma dbil del problema, expresada en trminos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma dbil involucra integrales de la forma:

\int_\Omega f\ d\Omega = \sum_{e=1}^n\ \int_{\Omega^{(e)}} f\ d\Omega = \sum_{e=1}^n\ \int_{\hat\Omega} (f\circ F^{(e)})J_{F^{(e)}}\ d\hat{\Omega} \approx\sum_{m=1}^{N_{PI}} w_m \hat{f}(\xi_m)J_{F^{(e)}}(\xi_m)

Donde:

\Omega\subset \R^d son el domino sobre el que se plantea el problema.\Omega^{(e)}, \hat{\Omega}, representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparamtrico que da la forma de los elementos finitos.f:\R^d\to \R, \hat{f} := f\circ F^{(e)}, representan la funcin que debe integrarse y su expresin sobre el dominio isoparamtrico.F^{(e)}:\hat{\Omega}\to \Omega^{(e)}, la aplicacin que relaciona el dominio isoparamtrico con cada elemento finito.w_m, \xi_m, son los pesos y los puntos de integracin usados para integracin gaussiana.n, n_{PI}, son el nmero total de elementos y el nmero de puntos de integracin por elemento.Aproximacin del errorDe acuerdo con el lema de Ce (LC) el error cometido en la aproximacin de una solucin exacta mediante elementos finitos viene acotada por el error de aproximacin, es decir, la solucin obtenida mediante el MEF es, tanto ms buena cuanto mejor sea la aproximacin \scriptstyle V^h \subset V. Dado que el error de aproximacin depende crucialmente del tamao de los elementos, cuanto mayor sea su nmero a igualdad de otros factores tanto menor ser el error de aproximacin. A continuacin acotamos este error de aproximacin que acotar el error de la solucin de elementos finitos.

Para ello necesitamos definir el dimetro de cada subdominio o elemento finito:

h_e = \mbox{diam}(\Omega^{(e)}) =\max \{ \|x-y \|: x, y \in \Omega^{(e)} \}, \qquad h := \max_e |h_e|

h es un medida de la finura de la discretizacin es el mximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que el error de aproximacin (y por tanto el error de la solucin mediante elementos finitos) viene acotada por:

(AE)\| u - u^h \|_V = \| u - \Pi^h u \|_V \le C_1 h^{k+1-m}|u|_{k+1,\Omega}, \qquad u\in V \subset H^{k+1}(\Omega)

Donde:

u,\ u^h\,, son respectivamente la solucin exacta y la solucin obtenida mediante elementos finitos.C_1\,, es un nmero real que depende de la forma del dominio, entre otros factores.H^{k+1}(\Omega)\,, es el k+1-simo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio \Omega.|u|_{k+1,\Omega}\,, es la seminorma dada por:|u|_{k+1,\Omega} = \sum_{|\alpha|=k+1} \| D^\alpha u \|_{L^2(\Omega)}siendo \scriptstyle \alpha un multindice y \scriptstyle D^\alpha u la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del espacio L2().

Cmo trabaja el MEF en la prctica?El MEF es un mtodo numrico de resolucin de ecuaciones diferenciales. La solucin obtenida por MEF es slo aproximada, coincidiendo con la solucin exacta slo en un nmero finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solucin aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para los nodos, lo cual hace que la solucin sea slo aproximada debido a ese ltimo paso.

El MEF convierte un problema definido en trminos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un nmero finito de puntos e interpola posteriormente la solucin al resto del dominio, resultando finalmente slo una solucin aproximada. El conjunto de puntos donde la solucin es exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada por retculos. Cada uno de los retculos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programacin algortmica modular las tareas necesarias para llevar a cabo un clculo mediante un programa MEF se dividen en:

Preproceso, que consiste en la definicin de geometra, generacin de la malla, las condiciones de contorno y asignacin de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosmticas de regularizacin de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximacin o una mejor convergencia del clculo.Clculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incgnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no lineal o un problema dependiente del tiempo a veces el clculo consiste en una sucesin finita de sistemas de N ecuaciones y N incgnitas que deben resolverse uno a continuacin de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.Postproceso, el clculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que define la discretizacin, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolacin e incluso determinacin de errores de aproximacin.Preproceso y generacin de la mallaLa malla se genera y sta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La informacin sobre las propiedades del material y otras caractersticas del problema se almacena junto con la informacin que describe la malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos trmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensin mecnica u otra propiedad. Las regiones que recibirn gran cantidad de tensin tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de inters consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y reas de elevada tensin. La malla acta como la red de una araa en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos.

Las tareas asignadas al preproceso son:

El continuo se divide, mediante lneas o superficies imaginarias en un nmero de elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informticos de mallado durante la etapa de preproceso.Se supone que los elementos estn conectados entre s mediante un nmero discreto de puntos o nodos, situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos sern las incgnitas fundamentales del problema, tal y como ocurre en el anlisis simple de estructuras por el mtodo matricial.Se toma un conjunto de funciones que definan de manera nica el campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito en funcin de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podra venir definido por: u = N1u1 + N2u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.Estas funciones de desplazamientos definirn entonces de manera nica el estado de deformacin del elemento en funcin de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del material, definirn a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando as una relacin entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = Ku, que como vemos es similar a la del clculo matricial.Clculo y resolucin de sistemas de ecuacionesEn un problema mecnico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de anlisis estructural esttico o un problema elstico, el clculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir de manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito.

Cuando el problema es no lineal en general la aplicacin de las fuerzas requiere la aplicacin incremental de las fuerzas y considerar incrementos numricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos. Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesin de instantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantneo en cada instante. En general estos dos ltimos tipos de problemas requieren un tiempo de clculo sustancialmente ms elevado que en un problema estacionario y lineal.

PostprocesoActualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos ms comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados obtenidos del la resolucin del sistema son tratados, para obtener representaciones grficas y obtener magnitudes derivadas que permitan extraer conclusiones del problema.

El post-proceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal manera que sea ms fcilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o no aceptables. En el clculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura.

Problemas termomecnicosUn amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) estn disponibles para la minimizacin la maximizacin:

Masa, volumen, temperaturaEnerga tensional, esfuerzo tensionalFuerza, desplazamiento, velocidad, aceleracinSinttica (definidas por el usuario)Hay mltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son:

Puntuales, presin, trmicas, gravedad, y cargas centrfugas estticasCargas trmicas de soluciones del anlisis de transmisin de calorDesplazamientos forzadosFlujo de calor y convencinPuntuales, de presin, y cargas de gravedad dinmicasCada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es construida con el tiempo. Algunos ejemplos de elementos son:

Elementos tipo barraElementos tipo vigaPlaca/Cscara/Elementos compuestosPanel de sndwichElementos slidosElementos tipo muelleElementos de masaElementos rgidosElementos amortiguadores viscososMuchos programas MEF tambin estn equipados con la capacidad de usar mltiples materiales en la estructura, como:

Modelos elsticos isotrpicos / ortotrpicos / anistropicos generalesMateriales homogneos / heterogneosModelos de plasticidadModelos viscososTipos de anlisis ingenierilesEl programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse de manera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuenta deformaciones plsticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plsticas, y algunos incluso son capaces de verificar si se presentara fractura en el material.

Algunos tipos de anlisis ingenieriles comunes que usan el mtodo de los elementos finitos son:

Anlisis esttico se emplea cuando la estructura est sometida a acciones estticas, es decir, no dependientes del tiempo.Anlisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos. Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y el consecuente fallo.Anlisis de fatiga ayuda a los diseadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el especimen. Este anlisis puede mostrar las reas donde es ms probable que se presente una grieta. El anlisis por fatiga puede tambin predecir la tolerancia al fallo del material.Los modelos de anlisis de transferencia de calor por conductividad o por dinmicas trmicas de flujo del material o la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades trmicas en el material que tiene una difusin lineal de calor.

Resultados del MEFEl MEF se ha vuelto una solucin para la tarea de predecir los fallos debidos a tensiones desconocidas enseando los problemas de la distribucin de tensiones en el material y permitiendo a los diseadores ver todas las tensiones involucradas. Este mtodo de diseo y prueba del producto es mejor al ensayo y error en donde hay que mantener costos de manufactura asociados a la construccin de cada ejemplar para las pruebas.

Las grandes ventajas del clculo por ordenador se pueden resumir en:

Hace posible el clculo de estructuras que, bien por el gran nmero de operaciones que su resolucin presenta (entramados de muchos pisos, por ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo) las cuales eran, en la prctica, inabordables mediante el clculo manual.En la mayora de los casos reduce a lmites despreciables el riesgo de errores operativos.MEF de Orden SuperiorLos ltimos avances en este campo indican que su futuro est en mtodos de adaptacin de orden superior, que responde satisfactoriamente a la creciente complejidad de las simulaciones de ingeniera y satisface la tendencia general la resolucin simultnea de los fenmenos con mltiples escalas. Entre las diversas estrategias de adaptacin para los elementos finitos, los mejores resultados se pueden lograr con la hp-adaptabilidad. La adaptatividad orientada a un objetivo esta basada en la adaptacin de la malla de elementos finitos, con el objetivo de mejorar la resolucin en una cantidad especfica de inters (en lugar de reducir al mnimo el error de la aproximacin en alguna norma global), y la hp-adaptabilidad se basa en la combinacin de refinamientos espaciales (h-adaptabilidad), con una variacin simultnea del orden del polinomio de aproximacin (p-adaptabilidad). Existen ejemplos donde la 'hp-adaptabilidad' result ser la nica manera de resolver el problema en un nivel requerido de exactitud

LimitacionesEn general el MEF tal como se usa actualmente tiene algunas limitaciones:

El MEF calcula soluciones numricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de entrada, no puede hacerse un anlisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como variar la solucin si alguno de los parmetros se altera ligeramente. Es decir, proporciona slo respuestas numricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas generales.El MEF proporciona una solucin aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error de la solucin, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el mtodo, los problemas no lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error.En el MEF la mayora de aplicaciones prcticas requiere mucho tiempo para ajustar detalles de la geometra, existiendo frecuentemente problemas de mal condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia de la solucin aproximada hacia la solucin exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulacin requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometras simplificadas o casos menos generales que el que finalmente pretende simularse, antes de empezar a lograr resultados satisfactorios.

Mtodo implcito y mtodo explcitoEn problemas dinmicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos mtodos para integrar en el tiempo. En ambos mtodos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la solucin slo para un cierto nmero de instantes (para el resto de valores del tiempo se puede interpolar la solucin por intervalos). La diferencia entre un instante en el que se busca la solucin y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dos principales variantes del clculo por FEM son:

Mtodo implcito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse pasos de tiempo ms largos.Mtodo explctio, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que la convergencia no siempre est asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente pequeo.El mtodo implcitoEstos clculos suelen usarse para el cclulo de rigidez (aunque a veces tambin se pueden calcular en dinmico). Entre los mtodos implcitos algunos son incondicionalmente convergentes (no divergen exponencialmente de la solucin exacta) slo para cierta eleccin fija de los parmetros del mtodo.

Los clculos por el mtodo implcito (o semi-implcito a la parte ms rgida del sistema) requieren mucho ms tiempo de computacin para dar un paso en el tiempo, ya que deben invertir una matriz de tamao muy grande, por esto, se suelen emplear mtodos de intereacin, en vez de mtodos directos. En compensacin, se pueden usar pasos de tiempo mucho ms grandes ya que son estables.

El mtodo explcitoUn mtodo explcito es el que no requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo. En estos clculos se realiza una simulacin con modificacin de la malla a lo largo del tiempo. En general los mtodos explcitos requieren menor tiempo de computacin que los mtodos implcitos aunque frecuentemente presentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempo mximo para que la computacin sea numricamente estable. Los mtodos explcitos suelen ser condicionalmente convergentes pero no incondicionalmente convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

\Delta t \le \min_k \frac{2}{\omega_k}

Siendo \omega_k\, las frecuencias propias del sistema.Se est realizando un clculo explcito, se est realizando un anlisis dinmico del mecanismo u estructura, en el que suele haber pasos de tiempo muy cortos para que sea estable, aunque se puede lograr una alta precisin para sistemas dinmicos.En los elementos finitos explcitos es preferible el uso de elementos sencillos, como cuadrilteros con un punto de integracin y estabilizacin frente a modos de energa nula, frente a elementos de orden superior.

Los mtodos explcitos encuentran su campo de aplicacin ptimo en problemas de dinmica rpida, en los que se producen fuertes no linealidades y el empleo de intervalos de tiempo pequeos pasa a ser una necesidad.

Una ventaja importante del mtodo explcito es la resolucin de las ecuaciones a nivel exclusivamente local, sin plantear en ningn momento sistemas de ecuaciones globales acopladas. Esto permite el uso de algoritmos elemento por elemento, que facilitan el clculo en paralelo. Planteados como mtodos de relajacin dinmica o relajacin viscosa, se enmarcan junto con mtodos iterativos de resolucin de ecuaciones no lineales, como los mtodos de relajacin de Gauss-Seidel, o gradiente conjugado precondicionado con tcnicas de elemento por elemento. Siendo muy interesante para el clculo en paralelo.