Embed Size (px)
Citation preview
II.04(02).37 - II.04(02).133
Metodología de Comparación de Métodos para la Medición del Riesgo de Mercado en Portafolios
de Inversión
JULIANA FLÓREZ PATIÑO JULIANA ZULUAGA DAZA
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, Septiembre 15 de 2004
II.04(02).37 - II.04(02).133
2
Metodología de Comparación de Métodos para la Medición del Riesgo de Mercado en Portafolios
de Inversión
JULIANA FLÓREZ PATIÑO JULIANA ZULUAGA DAZA
Asesor Javier Ricardo Gómez
Co-Asesor Claudia González
Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, Diciembre 15 de 2004
II.04(02).37 - II.04(02).133
3
PREFACIO
Este proyecto se inició en mayo de 2004 bajo la asesoría del Dr. Fernando Beltrán,
profesor asociado del Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad de Los
Andes. En julio de este año el Dr. Beltrán se trasladó a la Universidad de Auckland en
Nueva Zelanda donde actualmente se desempeña como senior lecturer.
Los profesores Javier R. Gómez MSc. y Claudia González PhD. asumieron en este
momento la asesoría presencial del trabajo, participando en el desarrollo técnico y
estructuración del documento respectivamente. El Dr. Beltrán continuó la supervisión
a distancia, manteniendo una comunicación constante vía internet con nosotras. Su
participación y colaboración fueron indispensables en el proceso de realización de este
trabajo. Sus aportes críticos y constructivos durante estos ocho meses fueron
importantes no sólo para el desarrollo de esta tesis, sino también para nuestro
crecimiento como futuras profesionales. El trabajo en equipo a distancia se basó en la
constancia, la responsabilidad y la confianza, haciendo de ésta una experiencia muy
enriquecedora.
Agradecemos a Fernando su interés por el desarrollo del proyecto, su asesoría
constante y apoyo incondicional. Igualmente agradecemos a Javier y a Claudia todo su
apoyo, tiempo y dedicación.
II.04(02).37 - II.04(02).133
4
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 6
1. LA MEDICIÓN DE RIESGO 9
1.1 HISTORIA Y EVOLUCIÓN 9 1.2 ACUERDO DE BASILEA 10 1.3 LA MEDICIÓN DE RIESGO EN EL SECTOR BANCARIO COLOMBIANO 11
1.3.1 MEDICIÓN 12 1.3.2 CONTROL 14 1.3.3 GESTIÓN 15
2. MARCO TEORICO 18
2.1 VAR 18 2.2 APROXIMACIONES 19
2.2.1 DELTA 19 2.2.2 DELTA – GAMMA 20
3. PROCEDIMIENTO 22
3.1 FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS 23 3.2 SIMULACIÓN 30
3.2.1 SIMULACIÓN HISTÓRICA 30 3.2.2 SIMULACIÓN DE MONTECARLO 32
3.3 APROXIMACIÓN 33 3.3.1 APROXIMACIÓN DELTA 33 3.3.2 APROXIMACIÓN DELTA GAMMA 34
3.4 CALCULO DEL VAR 34 3.5 MAPPING – EWMA 35
4. METODOLOGÍA DE COMPARACIÓN 40
4.1 BACK-TESTING 40 4.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS 42 4.3 COMPARACIÓN DE CUATRO MÉTODOS PARA CADA PORTAFOLIO 43 4.4 COMPARACIÓN ENTRE TODOS LOS MÉTODOS 49 4.5 COMPARACIÓN CON EL MODELO ESTÁNDAR 51
5. CONCLUSIONES 53
6. REFERENCIAS 57
ANEXO 1 59 ANEXO 2 60 ANEXO 3 65 APÉNDICE A 66
II.04(02).37 - II.04(02).133
5
TABLA DE ILUSTRACIONES
Figura 1 – Representación gráfica del VaR...........................................................18 Figura 2 – Aproximación Delta...........................................................................19 Figura 3 – Aproximación Delta Gamma...............................................................21 Tabla 1 - Métodos para calcular el VaR ...............................................................23 Tabla 2 – TES Tasa Fija ....................................................................................26 Tabla 3 – TES UVR ..........................................................................................27 Tabla 4 - YANKEES ..........................................................................................27 Tabla 5 – TES agrupados..................................................................................28 Gráfica 1 – Estructura de deuda del gobierno colombiano......................................29 Gráfica 2 - Valor USD/Pesos y TES Abril 2012 contra el tiempo ..............................29 Tabla 6 –Porcentaje de cada instrumento en el Portafolio ......................................29 Tabla 7 – Ejemplo de implementación de mapping ...............................................37 Figura 4 – Ilustración gráfica del esquema de comparación ...................................44 Tabla 8 - Resultados comparación sobre cada portafolio........................................46 Tabla 9 – Cruces en TES TF 200 ........................................................................47 Tabla 10 – cruces TES UVR 500.........................................................................47 Tabla 11 – Cruces DIVISAS 500 ........................................................................48 Tabla 12 - Cruces portafolio completo 500 ..........................................................48 Tabla 13 - Resumen de resultados de la comparación ...........................................49 Tabla 14 - Comparación mapping – EWMA con método mejor desempeño ..............50
II.04(02).37 - II.04(02).133
6
INTRODUCCIÓN
Los establecimientos de crédito (bancos, corporaciones financieras, etc.) tienen la
necesidad de conocer la exposición al riesgo de mercado financiero que sus portafolios
de inversión presentan día a día. El VaR (o Valor en Riesgo) es una medida
extensamente utilizada en el medio financiero para lograr solventar tal necesidad. El
VaR “se define como la máxima pérdida en el valor del portafolio, que se espera que
ocurra debido a cambios en los precios del mercado sobre un horizonte de tiempo
dado, en todos menos en un pequeño porcentaje de casos. Es el valor máximo de
pérdida que un inversionista podría enfrentar debido a las futuras variaciones de la
rentabilidad del activo.” [Macías 2003] La gran cantidad de literatura académica y de
otra índole sobre el tema presenta una multitud de aproximaciones que
progresivamente van logrando medidas más confiables como resultado de su
aplicación.
Cuando la regulación del sector exige a las instituciones financieras una provisión de
dinero para responder ante sus clientes en caso de eventos que disminuyan el valor
del portafolio de inversión (logrado con la operación de captación), un problema que
surge inmediatamente es la determinación de tal provisión. Si es muy alta entonces la
institución financiera estaría dejando escapar oportunidad de inversión; si, por el
contrario es muy baja el banco podría estar en dificultades de responder a sus clientes
en caso de ocurrencia de eventos adversos.
En este trabajo, se busca resolver el problema de valoración de exposición al riesgo de
mercado financiero de un portafolio de inversión, considerando su importancia en la
determinación de la provisión exigida por el ente regulador en el sector. Para esto, se
ha diseñado una metodología que analiza comparativamente los resultados de
diferentes formas de aproximarse al cálculo de tal exposición. Se hace uso del VaR,
aplicando y combinando los métodos Delta, Delta Gamma, Simulación Histórica y
Simulación de MonteCarlo. Igualmente, se hace uso de mapping y EWMA (volatilidad)
para los casos en los cuales estos procedimientos son aplicables.
Se debe tener en cuenta que las teorías existentes para el cálculo del VaR se ajustan a
mercados desarrollados. En el mercado colombiano, la aplicación de estas teorías se ve
afectada por los problemas que se presentan en un mercado emergente.
II.04(02).37 - II.04(02).133
7
Algunos de estos son1:
Carencia de información tanto histórica como actual
Baja liquidez de los instrumentos y operaciones en derivados limitadas.
Violación de supuestos inherentes a la metodología del VaR: Normalidad,
convexidad y correlaciones.
Resulta entonces conveniente atender estos problemas en el momento de desarrollar
la metodología que se propone, bien sea para superarlos en el proceso o para tenerlos
en cuenta en el análisis de resultados.
El objetivo de este proyecto es crear una metodología que permita comparar diferentes
métodos de cálculo del VaR en portafolios de inversión. Los 4 primeros métodos se
definen combinando los tipos de simulación (Histórica y MonteCarlo) con dos tipos de
aproximación (Delta–normal y Delta-gamma). El quinto presenta los procedimientos de
mapping y Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) como otra posibilidad para
calcular el VaR. Por otro lado, se aplica el modelo estándar propuesto por la
Superintendencia Bancaria y se compara con los métodos mencionados anteriormente.
Se busca analizar la relación que existe entre la estructura de un portafolio
característico de los establecimientos de crédito colombianos y el método de cálculo de
VaR con el fin de establecer cual es el más adecuado para cada grupo de instrumentos,
teniendo en cuenta las particularidades del mercado colombiano. Esto implica el
estudio de diversos métodos, la construcción de portafolios contemplando la variedad
de instrumentos existentes en Colombia y el desarrollo de una aplicación
computacional para la realización de pruebas.
En la primera parte de este documento se introduce el tema de medición de riesgo
haciendo uso del VaR. Este capitulo busca hacer una revisión de la evolución que ha
tenido el tema y la importancia que éste ha adquirido a nivel mundial, contemplando
además las características que enmarcan la medición de riesgo de mercado en el
entorno colombiano. Se hace énfasis en la normativa de La Superintendencia Bancaria
sobre los establecimientos de crédito que operan en Colombia, con relación a la
medición, gestión y control del riesgo de mercado financiero.
El segundo capítulo presenta la teoría de medición de riesgo de marcado haciendo uso
del VaR (Value at Risk). Se explica el procedimiento para su desarrollo, y las
particularidades de su medición en un portafolio. Así mismo, se explica en que
1 Según entrevistas realizadas en el sector financiero a gerentes de áreas de riesgo de diferentes entidades que operan en Colombia.
II.04(02).37 - II.04(02).133
8
consisten y en qué se diferencian los dos tipos de aproximaciones, Delta y Delta
Gamma, que se usan para transformar las tasas a precios.
En el capitulo 3 se presenta la metodología que sigue este trabajo, donde se exhibe la
estructura de los procedimientos que se llevan a cabo al igual que la forma como éstos
se desarrollan. En la primera sección se exhiben los criterios usados para la selección
de los 6 portafolios que se constituyen así: solo TES en pesos, solo TES en UVR,
combinación de TES, solo yankees, solo divisas, y uno final que incluye todos estos
instrumentos. Los procedimientos de simulación y aproximación se explican en las
secciones 2 y 3 de este capítulo, especificando las diferencias según el tipo de
portafolio sobre el cual se esta haciendo la medición de riesgo. En la siguiente sección
se exhibe la forma como se calcula el VaR después de haber realizado los
procedimientos descritos anteriormente. Por último, se explica un quinto método para
calcular el VaR el cual combina el mapping de flujos de los títulos y la volatilidad
variable de estos a través del método exponential weighted moving average (EWMA).
La cuarta parte de este trabajo presenta la metodología de comparación propuesta,
basada en la teoría de diseño de experimentos. En ella se hace uso de las pruebas de
back-testing realizadas sobre los diferentes portafolios y los diferentes métodos
trabajados. Allí mismo se exponen y analizan los resultados de esta comparación.
Finalmente, se presentan las conclusiones del proyecto, las preguntas que quedan
abiertas para futura investigación y los comentarios finales.
II.04(02).37 - II.04(02).133
9
1. LA MEDICIÓN DE RIESGO
1.1 HISTORIA Y EVOLUCIÓN
La idea del Valor en Riesgo, (VaR, por las siglas en inglés de Value at Risk) se remonta
a 1922 cuando la bolsa de valores de Nueva York (NYSE) estableció requerimientos de
capital a las firmas asociadas. De esta forma, se introdujeron en el mundo financiero
las necesidades y los conceptos que posteriormente llevarían al desarrollo de la medida
del VaR como se conoce hoy en día. En la década de los treinta, el SEC (por las siglas
en ingles de Securities and Exchange Commission) fue establecido como el principal
agente regulador de los mercados de valores norteamericanos y formuló los primeros
requerimientos de capital para todas las firmas vigiladas. En 1945 Leavens publicó lo
que se puede considerar la primera medida de VaR basada en un ejemplo de
construcción de portafolio [Holton, 2002]. En 1952, Markowitz y Roy presentaron
publicaciones muy similares de VaR que se diferenciaban en la forma de medición
utilizada [Holton, 2002]. El primero hizo uso de varianza de retorno simple, mientras
que el segundo utilizó una medida que representaba el límite superior del retorno de
un portafolio comparado con la ganancia mínima de dicho portafolio. El uso principal de
estos trabajos fue la optimización de portafolios. En la década de los sesenta, los
estudios al respecto estaban enfocados a la emergente teoría de portafolios, con
alternativas limitadas en las categorías de activos. En los años siguientes los estudios
realizados se basaron en portafolios de futuros y riesgo de cambio de divisas,
incorporando el uso de la simulación de MonteCarlo.
En los años setentas y ochentas se produjeron grandes cambios que generaron una
nueva apreciación del riesgo en las organizaciones. Partió de la liberación de los
mercados financieros, lo que permitió un aumento de la inversión en diferentes países,
generando así el flujo libre de capitales. Entre estos cambios, cabe resaltar el aumento
de instrumentos derivados y la proliferación de agentes especuladores en busca de
oportunidades de arbitraje [Holton, 2002]. Así mismo, se dio un crecimiento
importante en la industria de la información financiera2. En 1975, el SEC reformuló los
requerimientos de capital anteriormente establecidos, acción que repitió en 1980
dadas las grandes transformaciones que por esta época atravesaba el mercado. A
2 Grandes firmas como Reuters y Bloomberg empezaron a crear bases de datos históricas, que servirían para especificar los supuestos probabilísticos necesarios en la medida del VaR.
II.04(02).37 - II.04(02).133
10
mediados de los años ochentas, Kenneth Garbade preparó para su empresa (Bankers
Trust Cross Market research Group) varios reportes donde describía medidas de VaR
sofisticadas cuya caracterización ayudaría a abrir paso al cálculo de métricas del VaR3.
A pesar de su importancia, estos documentos no fueron publicados. Los cambios en
estos 20 años permitieron expandir las categorías de activos sobre las cuales era
posible aplicar el VaR y proporcionaron los medios para el cálculo de éste en los
nuevos contextos. A medida que el mercado se fue desarrollando, las empresas
dedicadas al trading reconocieron la necesidad de contar con una única herramienta
que permitiera la medición de riesgo entre diferentes categorías de activos. El sistema
presentado por el SEC resultó ser una medida rudimentaria del VaR que las empresas
fueron asimilando y usando cada vez más, no solo para el fin con el que fue creado,
sino también para la gestión interna del riesgo. [Holton 2002]
1.2 ACUERDO DE BASILEA
En 1974 se creó (bajo el auspicio del Banco de Pagos Internacional) el Comité de
Basilea para la Supervisión Bancaria compuesto por los gobiernos del G-104, cuyo fin
es “garantizar una supervisión eficaz de las actividades bancarias en todo el mundo”
[Partal]. Con el tiempo, sus funciones han evolucionado y se pueden resumir hoy en
día en [Risk Glossary]: la definición del rol de los entes reguladores en situaciones
inter-jurisdiccionales; el aseguramiento de la supervisión adecuada de los bancos
internacionales o miembros de un holding, por parte de las autoridades reguladoras de
la casa matriz y la promoción de los requerimientos de capital uniformes a nivel
internacional.
En 1991 entró en vigor el Acuerdo de Basilea establecido por este comité en 1988. Uno
de los objetivos del acuerdo era responder a los problemas de solvencia de las
entidades financieras con el fin de proteger a los clientes de los bancos centrando su
atención en el riesgo crediticio. En 1990 se publicó una enmienda donde se
incorporaba la medición del riesgo de mercado basada en la medida del VaR,
resultando ser desde ese momento un criterio de supervisión a nivel mundial. En 2001
3 Las medidas de VaR propuestas modelaban los bonos según la sensibilidad del precio a cambios en la tasa. Asumía normalidad en los valores del portafolio y la desviación estándar de este valor era determinada haciendo uso de una matriz de covarianza con diferentes maturities. 4 El Grupo de los Diez (G-10) es el grupo de países que han acordado participar en los Acuerdos Generales para la Obtención de Préstamos (AGP). Miembros: Alemania, Japón, Bélgica, Países Bajos, Canadá, Reino Unido, Estados Unidos, Suecia, Francia, Suiza e Italia. [Fondo Monetario Internacional, marzo 2004]
II.04(02).37 - II.04(02).133
11
se presentó una propuesta más desarrollada, contemplando las grandes
transformaciones que ha sufrido el sector en los últimos años; la nueva propuesta de
acuerdo entrará en vigencia en 2005.
1.3 LA MEDICIÓN DE RIESGO EN EL SECTOR BANCARIO COLOMBIANO
Los establecimientos de crédito en Colombia están regidos por la Superintendencia
Bancaria. Desde 1999, esta institución ha venido incorporando los aspectos más
relevantes de los estándares internacionales en materia de medición, control y gestión
de riesgo de mercado. Igualmente ha hecho énfasis en la relación directa existente
entre el riesgo de mercado y el patrimonio requerido.
Para el control de la relación entre el patrimonio y el riesgo en las entidades vigiladas,
la Superintendencia Bancaria hace uso de la “relación de solvencia”, medida
especificada en el capitulo XIII de la circular Básica Contable Financiera
[Superintendencia Bancaria, 2001-b]. Esta debe ser revisada por las entidades
vigiladas, mensualmente en forma individual y semestralmente en forma consolidada
(con sus filiales y subsidiarias). La Relación de Solvencia es una medida de la cantidad
de capital disponible para cubrir tanto el riesgo crediticio como el de mercado y se
define como:
[Fórmula 1.1]
APNR es el valor de los activos ponderado por el nivel de riesgo crediticio
PA es el porcentaje de aplicación5 y
VeR es el Valor en riesgo (de mercado)6
5 En la circular externa 007 de 2002, se establece que :
AÑO PORCENTAJE DE APLICACIÓN (PA)
2002 60% 2003 80% 2004 en adelante 100%
6 En la norma colombiana, VaR toma el nombre VeR o Valor en Riesgo. De aquí en adelante se utilizará indistintamente ambas denominaciones.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ RMVeRPAAPNR
TécnicoPatrimonio
*9
100
II.04(02).37 - II.04(02).133
12
El patrimonio técnico de la institución no puede ser inferior al 9% del total de sus
activos (en moneda nacional y extranjera) ponderado por sus niveles de riesgo
(crediticio y de mercado).
Para calcularlo, se tienen en cuenta el Patrimonio Adicional y el Patrimonio Básico7; la
relación entre estos dos determina el Patrimonio Técnico como se muestra a
continuación:
Si Patrimonio Adicional > Patrimonio Básico, entonces:
Patrimonio Técnico = Patrimonio Básico x 2 Si Patrimonio Adicional < ó = Patrimonio Básico, entonces:
Patrimonio técnico = Patrimonio Básico + Patrimonio Adicional Si Patrimonio Básico < ó = 0, entonces:
Patrimonio Técnico = 0
Esta relación es el instrumento del que se vale la Superintendencia para medir y
controlar el desempeño de sus vigilados, buscando que las entidades estén en total
capacidad de responder a las obligaciones que tienen con sus clientes. La inclusión del
riesgo de mercado en esta relación, hace necesario que las instituciones financieras
trabajen por hacer de ésta, una medida adecuada y confiable.
En 1996, la Superintendencia Bancaria de Colombia inició el proceso de
reglamentación para la medición de riesgo en las instituciones financieras. A partir de
2001, por medio de la circular externa 042 [Superintendencia Bancaria, 2001-a], se
obliga a todas las entidades de crédito (vea anexo 1) a realizar el cálculo del riesgo de
su portafolio de inversión haciendo uso del VaR, con el fin de lograr una medida
apropiada del riesgo de mercado y por consiguiente, de la relación de solvencia.
1.3.1 Medición En la circular 042 se establece que las entidades deben calcular el riesgo de mercado
bien sea usando el modelo estándar propuesto por la Superintendencia (y la matriz de
varianza covarianza definida por ella), o un modelo interno a la entidad que cumpla
con los requisitos exigidos.
Según el Modelo Estándar de la Superintendencia Bancaria, el VaR se calcula a partir
de los factores de riesgo por ella determinados. Estos factores se dividen en cuatro
categorías que son: tasa de interés (DTF, Tasa de repos, Tasa Interbancaria, Tasa real,
LIBOR, Tasa Crédito Consumo, Money Market USD, Tasa de TES), tasa de cambio
7 El patrimonio básico está compuesto por capital suscrito y pagado, aportes sociales, donaciones y reservas entre otros. El patrimonio adicional está compuesto por valorizaciones, provisiones y bonos convertibles en acciones entre otros. [Superintendencia Bancaria, Circular Básica Contable Financiera – Capítulo XIII]
II.04(02).37 - II.04(02).133
13
(TRM, EURO, YEN), valor UVR y precio de acciones (IGBV). Cabe anotar que a un
instrumento hay asociado uno o varios factores de riesgo. Por ejemplo, a los TES en
UVR están asociados dos factores, la tasa TES del título específico y el valor de la UVR.
En los requisitos cuantitativos8 se establece que el período de observación (histórico de
datos como tasas o precios) para el cálculo de los parámetros estadísticos debe ser de
al menos 4 años (excepto cuando se evalúa el riesgo en tasa de cambio, caso en el
cual el período es de 2 años). El intervalo de confianza debe ser del 98% y en caso de
contemplar correlaciones entre diferentes factores de riesgo y las principales
categorías de riesgo, la metodología de estimación debe ser consistente y el back-
testing (pruebas sobre las estimaciones del VaR) debe corroborar los resultados.
Cualquier Modelo Interno escogido por un establecimiento de crédito, bien sea un
software especializado o un modelo creado por la entidad, debe cumplir como mínimo
con los requisitos que el Modelo Estándar cumple, con el fin de contar con la precisión
y confiabilidad exigida por la entidad vigilante.
Existe un método de cálculo del VaR para cada categoría de factores de riesgo, pues
cada una de ellas se constituye en una agrupación de instrumentos del mismo tipo,
para los cuales los cálculos son semejantes. La importancia de estos factores es que
influyen directamente en los diferentes instrumentos transados en las entidades
financieras y por ello deben considerarse en la medición de riesgo de mercado.
El riesgo de tasa de interés se calcula haciendo uso de la medida de duración y el valor
presente de los flujos, considerando la posición que en el portafolio tenga cada título
que lo compone. La duración se entiende como el tiempo en años que se demorará la
recuperación de la inversión en un activo. Existen diferencias en el cálculo de la
duración dependiendo si el instrumento es pactado a tasa fija, variable o mixta. En el
caso de tasa fija, se aplica el procedimiento usual directamente (vea el apéndice A). Si
se trata de tasa variable se considera que la duración es igual al número de periodos
antes de la revisión de la tasa o fecha de repreciación del instrumento9. Para el caso de
tasa mixta, se separa la parte fija de la parte variable, se calcula la duración
8 También son requisitos [Superintendencia Bancaria, 2001-b]: - La posición en los libros de tesorería deberán emplear un cambio en los precios de 10 días de negociación. - Para las posiciones en el libro bancario se deberá emplear un cambio en los precios para un periodo de un año. - En el cálculo del VaR bajo diferentes factores de riesgo se deben tener en cuenta escenarios extremos (stress testing). - Se deben considerar métodos técnicos donde se agreguen los valores en riesgo del libro de tesorería con los del libro bancario. 9 Se entiende por fecha de repreciación el momento en el cual se revisa la tasa de interés, según lo pactado contractualmente, para ajustarla a las condiciones vigentes en el mercado. [Superintendencia Bancaria, 2001-b]
II.04(02).37 - II.04(02).133
14
individualmente y posteriormente se pondera según la proporción que corresponda a
cada parte. En este último caso, se aplica el procedimiento usual (vea el apéndice A) a
cada parte.
Para el caso de riesgo de tasa de cambio y valor de UVR, primero se encuentra la
posición neta en cada moneda (sea divisa o UVR), que corresponde a la diferencia
entre la suma de las posiciones activas y la suma de las posiciones pasivas
denominadas o indexadas a cada divisa10. Posteriormente, es necesario convertir esta
medida a moneda legal (peso colombiano) para finalmente estimar la máxima pérdida
probable (vea el apéndice A).
En el caso de riesgo por precio de acciones, el nivel de bursatilidad define la forma
como se deben llevar a cabo los cálculos del VaR (vea el apéndice A)
Los anteriores son los procedimientos a llevar a cabo cuando se calcula el VaR a través
del modelo estándar. En Colombia, todas las entidades financieras reportan el riesgo
de mercado a la Superintendencia haciendo uso de este modelo.11
1.3.2 Control La Superintendencia Bancaria como entidad vigilante de las instituciones financieras,
está encargada de recopilar la información de éstas con el fin de monitorear y
controlar el manejo y exposición al riesgo de las entidades tanto individual como
conjuntamente.
Las entidades deben mostrar resultados sobre la exposición al riesgo diariamente para
el libro de tesorería y quincenalmente para el libro bancario12. El reporte consolidado
se debe presentar como mínimo mensualmente en los formatos previstos por la
Superintendencia Bancaria.
Con el fin de determinar la consistencia, precisión y confiabilidad del VaR medido en la
entidad, se deben realizar pruebas de desempeño (back-testing) a través de los
siguientes tipos:
Pruebas Sucias: Las pruebas sucias comparan valores derivados de portafolios
diferentes, ya que comparan el VaR del período T+1 (estimado con el portafolio
del día T) con las pérdidas y ganancias reales del período T+1 .13
10 Acá se contemplan las posiciones en derivados como forwards y opciones sobre divisas. 11 Solo un banco presentó un modelo propio y éste no fue aceptado por diferencias en la longitud de tiempo asociada a la medición del VaR Dicho modelo proponía la medición del VaR cada tres días, mientras que la Superintendencia Bancaria busca que esta medición se haga diariamente. 12 En el libro de tesorería se registran las operaciones en los mercado monetario, de capitales, de derivados y las transacciones con títulos valores. En el libro bancario se registran las operaciones de captación, la cartera de créditos, la constitución de avales y garantías y en general, operaciones autorizadas que no se contemplen en el libro de tesorería. 13 Diariamente para el Libro de Tesorería y quincenalmente para el Libro Bancario.
II.04(02).37 - II.04(02).133
15
Pruebas Limpias: Las pruebas limpias comparan los valores en riesgo estimados
para el día T+1 usando el portafolio final del día T contra las pérdidas y ganancias
que se habrían presentado en el día T+1 en caso de haber mantenido el mismo
portafolio final del día T.14
Sobre los resultados obtenidos en estas pruebas, la Superintendencia Bancaria podrá
multiplicar por un factor de ajuste que corrija las debilidades encontradas, asegurando
una medida confiable del VaR.
Las metodologías empleadas para las pruebas de back-testing al igual que los
resultados de las mismas deberán estar completamente documentadas y a disposición
de la Superintendencia Bancaria.
En general, el modelo estándar es aceptado por las entidades como una metodología
apropiada para el control que la Superintendencia debe llevar con respecto a la
relación de solvencia. Algunos especialistas en la medición de riesgo en los
establecimientos de crédito15 consideran que la estructura generalizada que tiene este
modelo, presenta algunos inconvenientes a la hora de usar la medida del VaR para la
gestión interna.
1.3.3 Gestión Los establecimientos de crédito deben medir su exposición al riesgo en las categorías
de:
Tasa de Interés (DTF, Tasa de repos, Tasa Interbancaria, Tasa real, LIBOR, Tasa
Crédito Consumo, Money Market USD y Tasa de TES), Tasa de Cambio (TRM, EURO y
YEN), Valor de la UVR y Precio de Acciones (IGBV).
Las entidades deben cumplir con ciertos requisitos cualitativos para garantizar la
idoneidad y eficacia de la gestión del riesgo de mercado [Superintendencia Bancaria,
2001-b]. Primero, el desarrollo de políticas, procedimientos y límites adecuados es
indispensable. Segundo, la implementación dentro de los procesos de toma de
decisiones de la entidad, logrando la efectiva medición y monitoreo, del riesgo
haciendo uso de sistemas de gestión y control adecuados. Tanto la realización de
auditorias y controles internos, como la supervisión activa y continua por parte de la
Junta Directiva y la Alta gerencia, son necesarias para garantizar una gestión integra y
eficaz en toda institución financiera.
14 Semanalmente para el Libro de Tesorería y quincenalmente para el Libro Bancario. 15 Entrevistas realizadas en el sector financiero a gerentes de áreas de riesgo de diferentes entidades que operan en Colombia.
II.04(02).37 - II.04(02).133
16
La entidad debe establecer límites tanto a pérdidas máximas como a niveles máximos
de exposición a los diferentes tipos de riesgos. Estos límites deben ser consistentes
con el patrimonio técnico y el capital de tesorería. El área encargada de control de
riesgo debe producir un reporte diario donde se muestren estos límites y su grado de
utilización. Así mismo, se deben especificar las mediciones por tipo de riesgo, por área
de negocio y por portafolio, permitiendo la cuantificación de los efectos de las
diferentes posiciones, sobre las utilidades, el patrimonio y el perfil de riesgo. Para la
construcción de dicho documento, la Superintendencia Bancaria exige a las entidades
contar con un sistema de monitoreo, control y gestión de riesgos que permita un
manejo conjunto de toda esta información.
Los componentes de este sistema, las metodologías, los parámetros y procedimientos
empleados en la medición de riesgos deben estar documentados en detalle.
Se debe tener en cuenta que el modelo estándar calcula el VaR sobre el libro bancario
y el libro de tesorería conjuntamente. Muchas de las entidades buscan una medida del
VaR enfocada directamente a su portafolio de inversión y no sobre todos sus activos.
De la misma forma, se percibe que la agregación que hace la Superintendencia
Bancaria respecto a los factores de riesgo, no permite una relación adecuada entre
éstos y los instrumentos de cada portafolio (se entiende que a cada tipo de
instrumento se asocia al menos un factor de riesgo). Un ejemplo es el caso de los TES;
éstos existen dentro de los portafolios con variedad de clases (pesos, UVR, IPC) y
tasas, por lo que diferentes factores de riesgo deberían ser considerados. Sin embargo,
el modelo estándar define un solo factor de riesgo llamado “Tasa de TES”. Por estas
razones, la mayoría de las entidades financieras han trabajado con modelos internos
que cumplan sus expectativas de medición de riesgo a nivel de gestión interna.
Algunas entidades ven la necesidad de entender el proceso que lleva a la métrica del
VaR, por lo que prefieren desarrollar el modelo que lo calcule, en vez de adquirir un
software.
La cultura de la medición de riesgo de mercado se vio impulsada por la publicación de
la circular 042, haciendo que las entidades vieran su importancia tanto para reportar al
ente controlador como para gestión interna. Cabe anotar que las entidades con casa
matriz en el exterior ya realizaban una medición (algunos con software especializado)
en el momento en que apareció la nueva normatividad. Para el caso de los
establecimientos colombianos, el proceso ha sido más lento ya que han tenido que
desarrollar sus propios modelos solucionando los problemas del mercado colombiano.
II.04(02).37 - II.04(02).133
17
Uno de estos problemas es la falta de información. Considerando que el cálculo del VaR
requiere una matriz de varianza covarianza (la cual se construye con datos históricos),
cada entidad crea y actualiza su propia matriz buscando resolver de una forma
particular este problema específicamente. Uno de los motivos por los que se carece de
información es la baja liquidez de los títulos que se transan en el mercado colombiano.
A su vez, este problema puede generar alta volatilidad, afectando la distribución de los
retornos y por ende llevar a la violación de algunos supuestos (en particular la
normalidad de los retornos) de los modelos teóricos. Es importante resaltar que la
violación de los supuestos se da tanto en mercados emergentes como en mercados
desarrollados16, lo que ha llevado a la búsqueda de modelos que permitan la relajación
de estos supuestos.
16 Entrevista a Pamela Cardozo, autor del artículo Valor en riesgo de los activos financieros colombianos aplicando la teoría de valor extremo.
II.04(02).37 - II.04(02).133
18
2. MARCO TEORICO
Con el fin de introducir los conceptos que en este trabajo se utilizan para el cálculo del
VaR, a continuación se presenta una breve descripción de cada uno de ellos. La
comprensión inicial de estos términos permite al lector tener una visión más clara de
los procedimientos que se llevaron a cabo y que se explican más adelante.
2.1 VAR
Se entiende por riesgo de mercado el cambio potencial en el valor de una posición
(activa o pasiva sobre un instrumento) como consecuencia de las variaciones en los
precios del mercado. Una forma de medir este riesgo es haciendo uso de la medida de
Valor en Riesgo (VaR). El VaR “se define como la máxima pérdida en el valor del
portafolio, que se espera que ocurra debido a cambios en los precios del mercado
sobre un horizonte de tiempo dado, en todos menos en un pequeño porcentaje de
casos. Es el valor máximo de pérdida que un inversionista podría enfrentar debido a
las futuras variaciones de la rentabilidad del activo.” [Macías 2003] El VaR está dado
en unidades monetarias y se interpreta así: Hay x% de confianza en que el portafolio
de inversión (o un elemento del portafolio) no perderá más de US$ R en los siguientes
n días [Hull 2003].
En la siguiente figura (1.1) se muestra la distribución de los retornos (esta puede ser
de un instrumento o de un portafolio). Sobre ella, la medida del VaR esta dada por
1.645 veces la desviación estándar de los retornos, si el nivel de confiabilidad es del
95%. Igualmente, se podría ver el VaR como el percentil 5 de esta distribución.
Figura 1 – Representación gráfica del VaR
II.04(02).37 - II.04(02).133
19
Existen diferentes formas mediante las cuales se puede calcular el VaR. En principio se
puede partir de los datos históricos, bien sea de las tasas de los activos o de los
precios de los mismos (en Colombia las transacciones se llevan a cabo hablando en
términos de tasa y no de precio). Sobre estos se puede realizar una simulación para
pronosticar los valores futuros, haciendo uso de la Simulación histórica o de
MonteCarlo. Al partir de las tasas se pueden hacer dos tipos de aproximaciones para
obtener el precio: Delta, que hace referencia a la Duración, o Delta Gamma, que hace
referencia tanto a la Duración como a la Convexidad.
La metodología para el cálculo del VaR de un instrumento será diferente de la de un
portafolio. Esta diferencia radica en la consideración de las correlaciones existentes
entre los instrumentos que conforman un portafolio. Si un portafolio esta compuesto
por dos activos que tienen una correlación negativa, el riesgo será menor que el de un
portafolio cuyos activos tienen una correlación cercana a uno. Teniendo en cuenta que
la diversificación en un portafolio puede reducir el riesgo, no es posible hacer una
suma directa del VaR de cada activo ignorando su relación.
Es importante entender que las fortalezas y debilidades del VaR como medida de
riesgo, dependen del tipo de riesgo que este siendo medido, el objetivo de la medida
de riesgo y el nivel de confianza con el que se estiman las pérdidas. [Picoult, 1998]
2.2 APROXIMACIONES
2.2.1 Delta Este enfoque consiste en aproximar el cambio porcentual del precio a partir de la tasa,
teniendo en cuenta la relación que existe entre estos dos datos. Se utiliza cuando los
cambios en el valor del portafolio pueden ser aproximados como una variación lineal
de los cambios en los factores de riesgo. Para entenderlo podemos partir del siguiente
esquema:
Figura 2 – Aproximación Delta
P*
ERROR
i i+∆i
Duración Modificada
tasa
Precio
II.04(02).37 - II.04(02).133
20
Como se puede ver en la figura, a medida que la tasa aumenta el precio disminuye,
esta relación se muestra en la curva azul. La duración modificada (definida como el
cambio en el precio debido a cambios en la tasa) es la línea tangente a un punto sobre
esta curva y representa su derivada. A medida que ∆i se hace mayor, se genera un
error en el cálculo del precio ya que se ignora la curvatura de la relación. Este error es
la distancia que se forma entre la línea de duración y la curva de Precio vs. Tasa, y se
corrige parcialmente en el enfoque delta gamma, el cual se explicará mas adelante. El
error por convexidad ocurre en ambas direcciones en las que se tome el cambio en las
tasas (aumentando hacia la derecha o disminuyendo hacia la izquierda), y se
incrementará a medida que aumenta el tamaño de la variación y la convexidad de la
curva [Alarcón].
En el enfoque delta, el cambio en el precio se define como:
[Fórmula 2.1]
tasaDP ∆−=∆ * donde
-D = Duración modificada
tasa∆ = es una tasa definida como la tasa actual multiplicada por el cambio porcentual
simulado.
2.2.2 Delta – Gamma Este enfoque se utiliza cuando la relación entre el precio y los factores de riesgo no es
lineal, obligando a contemplar la convexidad de la curva precio vs. tasa. Se parte del
enfoque delta pero se incluye la segunda derivada del precio vs. la tasa, es decir el
segundo término en la expansión de Taylor, con el fin de disminuir el error de
convexidad que se presentaba. Se puede decir que el grado de convexidad depende en
general del horizonte de tiempo y del tamaño mismo de los flujos.
P*
ERROR DG
i i+∆i tasa
Precio
ERROR D
II.04(02).37 - II.04(02).133
21
Figura 3 – Aproximación Delta Gamma
En la figura anterior la línea verde representa la aproximación que se hace usando el
enfoque Delta-Gamma, en contraposición a la línea negra obtenida por el enfoque
Delta. Como se puede ver, al incluir el término de la convexidad, el error de
aproximación al precio a medida que aumenta la tasa, disminuye en comparación con
el error existente al contemplar solamente el término de la duración. Es claro que el
error se reduce en la medida que el enfoque utilizado para aproximar la tasa al precio
contemple más características de la relación entre la tasa y el precio. En este sentido,
el enfoque Delta es apropiado si la relación entre estas dos medidas es lineal, mientras
que el enfoque Delta-Gamma es más adecuado si la relación es cuadrática [Risk
Glossary].
En el enfoque delta gamma, el cambio en el precio se define como:
[Fórmula 2.2]
2**5.0* tasaCtasaDP ∆+∆−=∆
donde
-D = Duración modificada
C = Convexidad
tasa∆ = es una tasa definida como la tasa actual multiplicada por el cambio porcentual
simulado.
II.04(02).37 - II.04(02).133
22
3. PROCEDIMIENTO
Se trabajaron inicialmente portafolios de un solo tipo de instrumento y se avanzó hasta
llegar a un portafolio que incluye todos los tipos de instrumentos que se consideran en
este trabajo. Los portafolios que se crearon son de tres clases. La primera incluye
portafolios de un solo tipo de instrumento (TES Tasa Fija17, TES UVR, Yankees o
Divisas), la segunda es la unión de dos categorías del mismo tipo de instrumento (TES
Tasa Fija y TES UVR) y la tercera es un portafolio con los instrumentos considerados
anteriormente (incluye TES TF y UVR, Divisas y Yankees).
El proceso mediante el cual se lleva a cabo el cálculo del VaR en este proyecto se
puede expresar en 3 pasos:
Partiendo de los datos históricos del valor de las tasas18 de los títulos que conforman
un portafolio, se realizan simulaciones para así pronosticar posibles escenarios de la
variación de la tasa en el futuro. Para ello se utilizan métodos de simulación. Haciendo
uso de dichos pronósticos de las variaciones de tasas, se calcula el posible cambio en
el precio del título y del portafolio (para cada escenario) utilizando métodos de
aproximación. Finalmente, con estos cambios en el precio es posible definir el VaR
como el percentil 5 de la distribución de estos valores.
El desarrollo de este trabajo se basa en la utilización de varios métodos que combinan
los diferentes procedimientos para la simulación de los datos de entrada con dos
procedimientos para la transformación de éstos. Se pretende que los datos de entrada
para cada método sean los mismos, variando sólo el sistema (método) mediante el
cual se calcula el VaR. Esto permite realizar una comparación directa de los métodos,
pues la diferencia en los resultados obtenidos por cada uno radica en el proceso
mediante el cual se transforman los datos de entrada y no en éstos como tal.
Se diseñaron los siguientes métodos para el cálculo del VaR: El primer método consiste
en simular históricamente los datos de entrada (tasas) y usar la aproximación Delta
para el paso de tasas a precios. El segundo método usa la simulación histórica y la
17 A pesar de que los TES tasa fija pueden ser denominados bien sea en pesos, UVR o dólares, en Colombia se hace referencia a los TES en pesos como “TES tasa fija”. A lo largo del documento el término TES tasa fija se refiere a los TES denominados en pesos. 18 La relación tasa / precio es uno a uno. Es equivalente partir de las tasas o de los precios históricos; sin embargo, los precios convergen a 100 (valor facial), hecho que dificulta el cálculo de los cambios porcentuales. Por ejemplo, cuando falta un día para el vencimiento, el precio del título es prácticamente 100, ya que 100 mañana es prácticamente 100 hoy. Con las tasas la diferencia es más clara por tratarse de valores mucho menores y permite mayor exactitud en el cálculo del cambio porcentual.
II.04(02).37 - II.04(02).133
23
aproximación Delta-Gamma. El tercero y el cuarto usan simulación de MonteCarlo; el
primero de éstos con aproximación Delta y el segundo con aproximación Delta-Gamma
(vea la tabla 1).
Simulación
Histórica MonteCarlo
Delta Método 1 Método 3 Aproximación
Delta Gamma Método 2 Método 4
Tabla 1 - Métodos para calcular el VaR
Así, cada método cuenta con un procedimiento de simulación para llevar a cabo el
primer paso, y con un procedimiento de transformación para llevar a cabo el segundo.
En ese punto el cálculo del VaR es semejante para todos los métodos.
Por otro lado, se propone un último método para calcular el VaR. Partiendo de la curva
cero cupón se realiza un mapping sobre los flujos de los títulos que conforman un
portafolio, y se calculan los precios. A partir de estos precios y teniendo en cuenta que
la volatilidad no es constante a través del tiempo, se utiliza el método EWMA
(Exponentially Weighted Moving Average) para encontrar una medida del VaR.
3.1 FORMACIÓN DE PORTAFOLIOS
Para la conformación de los portafolios, inicialmente se identificaron los tipos de
instrumentos que pueden conformar un portafolio de inversión en las instituciones
financieras colombianas. Se creó un inventario de éstos y se procedió a estudiar su
funcionamiento en el mercado colombiano (Vea anexo 2). Posteriormente, con base en
las entrevistas realizadas en el sector bancario, se escogieron aquellos que son
comúnmente usados por los establecimientos de crédito y que representan un alto
porcentaje de participación en sus portafolios. Estos son: TES, divisas y yankees. Los
TES son el instrumento de mayor liquidez en el mercado colombiano y están presentes
en prácticamente todos los portafolios de inversión de instituciones financiera; los más
utilizados son los TES Tasa Fija y TES en UVR. En cuanto a las divisas, las monedas
escogidas, USD, EURO y JPY son las más frecuentes en los portafolios de las entidades
financieras. Respecto a la deuda externa existen los Yankees, Bulldogs, Samurai y
Eurobonos, siendo los primeros los más transados en el mercado colombiano19.
II.04(02).37 - II.04(02).133
24
Activos como acciones y bonos corporativos son frecuentes, especialmente en
entidades con casa matriz o miembros de algún grupo económico, pero su porcentaje
de participación es muy bajo y difieren altamente entre entidades. Es decir, mientras
una entidad tiene bonos FOGAFIN, otra maneja acciones colombianas (de Bavaria por
ejemplo) y otra, acciones de su casa matriz; en total, estos activos no representan
más del 3% del portafolio de inversión. Dado que se busca hacer un análisis general,
se consideró conveniente trabajar con aquellos tipos de instrumentos voluntarios20 y
divisas comunes para todas las entidades del sector.
Habiendo seleccionado los tipos de instrumentos para el portafolio, se procedió a
buscar los títulos de cada tipo que están actualmente activos en el mercado
colombiano. Sobre ellos, se analizó el volumen de transacción en el año 2004
(información obtenida del Banco de la República) y la cantidad de datos (precios y
tasas) disponibles históricamente (información obtenida de Bloomberg). Los criterios
para la selección de un periodo histórico adecuado en la simulación son: la
consideración de un ciclo económico de características similares al actual o un periodo
inmediatamente anterior a la fecha en la cual se va a calcular el VaR. Dado que en
Colombia el mercado de valores es reciente21, no existen los datos históricos
suficientes que permitan seleccionar un período diferente al inmediatamente anterior.
Con el fin de crear portafolios lo más reales posibles, se trabajó con base en los
volúmenes transados de cada título en lo corrido del año. En principio, se planteó el
uso de 500 datos tanto para las simulaciones históricas como para la estimación de las
distribuciones a usar en la simulación de MonteCarlo. Así mismo, se fijó la fecha cero
en el 31 de mayo del 2004, lo que implica que se calculó el VaR para 60 días a partir
19
Emisión de Bonos de Deuda Externa (USD$M) 2000 2001 2002 2003 TOTAL YANKEES 1,072 1,000 1,007 1,540 4,620 EUROBONOS 773 1,119 1,893 SAMURAI 242 242 BULLDOGS 0 Fuente: Ministerio de Hacienda (Mayo 2004) 20 Existen instrumentos que son de carácter obligatorio para las instituciones financieras, como los Bonos de Paz y los Bonos de seguridad. Su porcentaje de participación en los portafolios de las entidades es bastante bajo y dado que son obligatorios, no hay poder de decisión sobre su posesión, por lo que no tiene sentido calcular el VaR sobre éstos. 21 Una forma de medir que tan reciente es el mercado puede ser a partir del 2001 fecha en que aparece la Curva Cero Cupón para valoración de TES Tasa Fija.
II.04(02).37 - II.04(02).133
25
del primero de junio del mismo año22. Devolviéndonos 500 fechas sobre la fecha cero,
el primer dato histórico corresponde al 16 de septiembre del 2002. Para organizar los
datos, en las fechas en las cuales no se transan los títulos se utiliza el dato anterior
suponiendo que no hubo variación en las tasas durante esas fechas.
Para el caso de los TES, se encontró que algunos de los títulos con alto nivel de
volumen transado no tenían 500 datos disponibles. En este punto se utilizaron dos
criterios: que los títulos escogidos representaran un porcentaje significativo de los
títulos transados en el 2004 y que existiera una cantidad significativa de datos
históricos. Dado que las dos condiciones no se cumplen para todos los títulos, se
decidió trabajar con dos casos paralelos: uno con menor número de títulos, para los
cuales hay 500 datos históricos (Caso 1), y otro con mayor número de títulos (los más
transados) y 200 datos (Caso 2), teniendo en cuenta el porcentaje de transacción.
Cabe anotar que el conflicto entre volumen transado y número de datos disponibles se
puede dar porque dicho título no estuvo en el mercado durante todo el periodo
histórico escogido pero sí lo estuvo durante el 2004, periodo para el cual se analizó el
volumen transado. Tomada esta decisión y teniendo en cuenta que posteriormente se
trabajaría un portafolio con todos los instrumentos, se seleccionaron las mismas
fechas, los mismos periodos y los mismos casos para todos los portafolios.
Con base en los porcentajes de volumen transado y los dos casos propuestos, se
encontraron los títulos que se deben incluir para cada caso y el porcentaje de
participación de cada titulo en cada portafolio. La identificación de los títulos, llamada
mnemotécnico, se divide en 4 partes así: las primeras tres letras se refieren al tipo de
TES (Clase B) y la denominación, donde TFI se refiere a TES en pesos y TUV se refiere
a TES en UVR. La siguiente letra define el tipo de negociación, donde P indica
negociación solo del principal, C negociación solo del cupón y T negociación de
principal y cupón. El primer número de dos cifras se refiere al plazo en años definido
como el tiempo entre la fecha de emisión y la fecha de vencimiento. Finalmente, los
últimos 6 números indican la fecha de vencimiento del título bajo la estructura
dd/mm/aa.
Para el caso de los TES Tasa Fija transados entre enero y mayo del 2004, se puede ver
que en el Caso 1 los títulos seleccionados solo representan el 72.63% mientras que en
el Caso 2 este porcentaje aumenta a 97.99%. Los títulos que no son incluidos en
22 El objetivo de calcular el VaR sobre 60 días es tener varias medidas de éste para cada portafolio y cada método, lo que permite analizar un comportamiento y comparar.
II.04(02).37 - II.04(02).133
26
ninguno de los dos casos, a pesar de contar con 200 datos, presentan una liquidez
muy baja como para ser tenidos en cuenta (Vea la Tabla 2).
Títulos Vol. Transado
(%) Caso 1
(500 datos) Caso 2
(200 datos)TFIT10260412 25.83% 35.00% 27.50% TFIT07220808 18.78% 25.00% 20.00% TFIT02270505 14.71% 15.00% TFIT05250706 12.42% 17.00% 13.00% TFIT05140307 9.60% 13.00% 10.00% TFIT04091107 7.47% 8.00% TFIT03110305 3.65% 5.00% 4.00% TFIT06120210 3.18% TFIT01110604 1.08% TFIT10250112 1.02% 2.00% 1.00% TFIT05030506 0.53% 1.00% 0.50% TFIT05040205 0.52% 1.00% 0.50% TFIT05081105 0.29% 1.00% 0.50% TFIT02060504 0.28% TFIT03250604 0.26% TFIT03160404 0.26% TFIT07120209 0.14% Suma 100% 100% 100%
% explicado del Total de los TES TF Transados 100.00% 72.63% 97.99%
Tabla 2 – TES Tasa Fija
Realizando un análisis similar para los TES en UVR (vea la tabla 3), se puede ver que
los títulos escogidos para el Caso 1 representan el 59.76% de la totalidad de TES en
UVR, mientras que para el Caso 2 representan 99.2%. Los títulos que no fueron
incluidos en ninguno de los dos casos, tenían menos de 200 datos históricos y su
porcentaje de participación no era realmente significativo por lo que no se tuvieron en
cuenta.
II.04(02).37 - II.04(02).133
27
Títulos Vol. Transado
(%) Caso 1
(500 datos)Caso 2
(200 datos)TUVT07220910 30.41% 31.00% TUVT07210906 19.06% 33.00% 19.00% TUVT10150512 10.85% 17.00% 11.00% TUVT05210605 10.12% 18.00% 10.00% TUVT10170112 9.92% 15.00% 10.00% TUVT12250215 9.03% 9.00% TUVT07260707 6.05% 11.00% 6.00% TUVT07120107 3.19% 4.00% 3.00% TUVT05250504 0.80% TUVT10020911 0.33% 1.00% 0.50% TUVT07220108 0.24% 1.00% 0.50% Suma 100% 100% 100%
% explicado del Total de los TES UVR Transados
100% 59.76% 99.20%
Tabla 3 – TES UVR
Finalmente para los Yankees se sigue el mismo procedimiento que para los TES,
encontrando nuevamente unos Yankees con alto porcentaje de Volumen Transado pero
con insuficiencia de datos históricos (los datos usados corresponden al volumen de
estos títulos transado por JP MORGAN, HSBC, Commerzbank). Se trabajaron los
mismos dos casos planteados anteriormente, el primero con 5 Yankees y el segundo
con 7 Yankees (vea la tabla 4).
Yankees Vol. Transado (%)
Caso 1 (500 datos)
Caso 2 (200 datos)
US195325AR62 Govt 12.43% 21.00% 14.00% US195325AU91 Govt 15.68% 26.00% 17.00% US195325BD67 Govt 9.30% US195325BB02 Govt 15.96% 18.00% US195325AM75 Govt 9.37% 15.00% 10.00% US195325AK10 Govt 8.19% 14.00% 9.00% US195325Az88 Govt 14.14% 24.00% 16.00% US195325ba29 Govt 14.93% 16.00% Suma 100% 100% 100%
% explicado del Total de los Yankees Transados
100.00% 59.81% 90.70%
Tabla 4 - YANKEES
Se escogieron los mismos dos casos para divisas a pesar de que éstas no presentan el
problema de la falta de información histórica.
II.04(02).37 - II.04(02).133
28
Para el portafolio compuesto por TES de los dos tipos se agruparon los títulos del
portafolio de TES Tasa Fija y los del portafolio de TES UVR y se recalcularon los
porcentajes de participación de cada titulo teniendo en cuenta que los TES Tasa Fija
representan un porcentaje del portafolio mucho mas alto que los TES UVR (vea la tabla
5).
Títulos Vol. Transado
(%) Caso 1
(500 datos)Caso 2
(200 datos)TFIT10260412 24.77% 33.00% 25.00% TFIT07220808 17.75% 23.00% 18.00% TFIT02270505 14.00% 14.00% TFIT05250706 11.71% 16.00% 12.00% TFIT05140307 9.01% 12.00% 9.00% TFIT04091107 7.04% 7.00% TFIT03110305 3.37% 5.00% 3.00% TFIT10250112 0.98% 1.00% 1.00% TFIT05040205 0.51% 1.00% 0.50% TFIT05030506 0.49% 0.50% 0.50% TFIT05081105 0.27% 0.50% 0.50% Total TF 89.89% 92.00% 90.50% TUVT07220910 3.31% 3.00% TUVT07210906 1.97% 3.00% 2.00% TUVT12250215 1.05% 1.00% TUVT05210605 0.99% 1.00% 1.00% TUVT10170112 0.97% 1.00% 1.00% TUVT10150512 0.80% 1.00% 0.50% TUVT07260707 0.68% 1.00% 0.50% TUVT07120107 0.28% 0.50% 0.30% TUVT10020911 0.03% 0.25% 0.10% TUVT07220108 0.02% 0.25% 0.10% Total UVR 10.11% 8.00% 9.50% Total general 100% 100% 100%
Tabla 5 – TES agrupados
Finalmente se unieron todos los portafolios de un solo instrumento para conformar un
portafolio que contenga todos los instrumentos Dado que la estructura de los
portafolios en las entidades financieras es información confidencial, y teniendo la
intención de crear un portafolio lo más real posible, se supuso que el gobierno
mantiene un equilibrio adecuado en su estructura de deuda por lo que las entidades
podrían tener una composición similar en su portafolio de inversión. Se partió así de la
composición de deuda interna y externa que tiene el gobierno, donde la deuda externa
se reparte entre monedas, como se muestra a continuación (vea la gráfica 1).
II.04(02).37 - II.04(02).133
29
Deuda Externa
13%
84%
3%
USD
EUROJPY
Deuda del Gobierno
43%57%EXTERNAINTERNA
Gráfica 1 – Estructura de deuda del gobierno colombiano23
Para construir la estructura del portafolio, se supuso que a los Yankees les corresponde
un porcentaje de la proporción de dólares. Igualmente, se reconoció un
comportamiento similar entre el valor USD/$ y las tasas TES con vencimiento en abril
del 2012 (vea la gráfica 2). Por esta razón se le asignó a la posición en dólares el
mismo porcentaje que tienen los TES de abril del 2012 en el portafolio de TES tasa fija.
24002500260027002800290030003100
Sep
-02
Nov
-02
Ene
-03
Mar
-03
May
-03
Jul-0
3
Sep
-03
Nov
-03
Ene
-04
Mar
-04
May
-04
Jul-0
4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
TRM Abril 20012 (tasa)
Gráfica 2 - Valor USD/Pesos y TES Abril 2012 contra el tiempo
Teniendo esto en mente, la estructura del portafolio con todos los instrumentos se
muestra en la tabla 6 para los dos casos (500 y 200 datos):
Instrumento %
Interna (TES) 53%Externa 47% Yankees 27.00% USD 12.50% EURO 6.00% JPY 1.50%
Tabla 6 –Porcentaje de cada instrumento en el Portafolio
23 http://www.minhacienda.gov.co/pls/portal30/docs/FOLDER/ENDEUDAMIENTO/PERFILES2/
II.04(02).37 - II.04(02).133
30
Se debe tener en cuenta que la proporción de cada título en cada portafolio (de un solo
instrumento) se mantiene constante sin importar el peso que tenga dicho instrumento
en este portafolio.
3.2 SIMULACIÓN
Habiendo definido los portafolios, se procedió a calcular el VaR por los diferentes
métodos propuestos. La primera fase de cada uno de los métodos se refiere al
proceso de simulación, bien sea histórica o de MonteCarlo. Para los TES y los Yankees
se simulan las tasas y para las divisas se simula el valor de éstas. La segunda fase se
refiere a la aproximación que permite la transformación de tasas a precios y puede ser
Delta o Delta Gamma; esta fase no se llevó a cabo para el portafolio de divisas.
3.2.1 Simulación Histórica Este método busca simular los movimientos en las tasas o los precios (asociados a los
factores de riesgo) con base en los datos del pasado. Lo que se pretende es sumar a
los datos actuales, los cambios porcentuales que ocurrieron en el pasado y con esto
calcular los nuevos valores del portafolio (o del instrumento).
Como propone Luis Francisco Alarcón [2002], el punto clave de esta metodología es la
selección de un periodo histórico adecuado, para el cual se cuente con suficiente
información. Existen dos criterios para hacer esta selección: se puede escoger un
periodo inmediatamente anterior al momento del cálculo del VaR o se puede elegir un
periodo con características similares a las del período de tenencia del portafolio.
Para el primero de estos casos, se supone que los datos en el futuro se comportaran
igual a como lo hicieron en el pasado. Muchas veces, los cambios en los valores (sea
de tasas o de precios) están relacionados con factores del entorno, por lo tanto, al usar
la simulación histórica basada en datos inmediatamente anteriores, se contemplan
eventos que sucedieron en el pasado (y que no necesariamente se repetirán) y se
ignora cualquier comportamiento futuro que sea previsible. Para el segundo caso, el
inconveniente se encuentra en la subjetividad para definir la similitud en características
de los periodos y por ende suponer que las circunstancias del periodo histórico se
repiten en el periodo a simular.
A continuación se presenta el procedimiento llevado a cabo sobre los instrumentos
definidos en los diferentes portafolios.
II.04(02).37 - II.04(02).133
31
TES y Yankees Teniendo las tasas completas y organizadas desde el 16 de septiembre del 2002 o
desde el 13 de noviembre del 2003 (según el caso) hasta el 31 de mayo del 2004, se
procedió a calcular el cambio porcentual de las tasas, definido como:
[Fórmula 3.1]
1
1%−
−−=∆
t
tt
tasatasatasa
tasaslasde
Este cambio porcentual de las tasas indica cuanto puede variar la tasa de un título de
un día a otro.
Finalmente se obtuvieron 500 o 200 escenarios del delta de la tasa24, los cuales se
usaron en la segunda fase para pasar de tasas a precios. El delta de tasa se define
como:
[Fórmula 3.2]
ActualTasatasaladetasa *%∆=∆
Donde la tasa actual corresponde a la Tasa del 31 de Mayo del 2004. Dado que este
procedimiento se realizó tanto para TES como para Yankees es necesario resaltar que
la tasa de los Yankees esta medida en dólares y la de los TES UVR en unidad de valor
real; posteriormente fue necesario hacer el cambio a pesos.
Divisas En este procedimiento se partió del valor de la moneda frente al peso para las fechas
anteriormente determinadas, obteniendo un cambio porcentual de estos valores.
[Fórmula 3.3]
1
1
PrPrPr
Pr%−
−−=∆
t
tt
ecioecioecio
eciodel
Dado que esta es una simulación histórica y que se tienen datos de todos los
instrumentos para las mismas fechas, la correlación entre los títulos esta implícita en
los datos.
24 Se entiende que estos escenarios representan las formas como la tasa puede cambiar de un día a otro. En este caso, del 31 de mayo al 1 de junio del 2004.
II.04(02).37 - II.04(02).133
32
3.2.2 Simulación de MonteCarlo
La Simulación de MonteCarlo busca simular los movimientos en las tasas o los precios
en un horizonte de tiempo, partiendo de valores históricos para obtener una
distribución que explique su comportamiento. Con base en esta distribución se calculan
los valores aleatorios que son usados para el cálculo del VaR.
Es claro que con este procedimiento no existen los inconvenientes que se presentan
con la simulación histórica. Al definir una distribución para predecir variaciones futuras
y sobre ella simular valores aleatorios, se omite la suposición de que lo que ocurrió en
el pasado ocurrirá igualmente en el futuro. Sin embargo, un problema que presenta la
simulación de MonteCarlo es que en algunos casos no existen distribuciones
disponibles a las cuales sea posible ajustar una serie de datos.
A continuación se presenta el procedimiento llevado a cabo sobre los instrumentos
definidos en los diferentes portafolios.
TES y Yankees
Para este procedimiento se partió de los cambios porcentuales de las tasas
encontrados en la primera fase de la simulación histórica. En este caso la organización
por fechas no es relevante siempre y cuando se tengan 500 y 200 datos, ya que estos
se utilizan para determinar la distribución de los cambios porcentuales. Se hizo uso de
CRYSTAL BALL para determinar las distribuciones de cada grupo de datos y
simularlos25. Para este procedimiento se debe tener en cuenta la relación existente
entre los títulos y se debe incluir una matriz de correlaciones que es tenida en cuenta
por el programa en el momento de realizar las simulaciones. Si se está manejando el
portafolio de sólo TES en pesos, se inserta la matriz de correlaciones entre los títulos
pertenecientes a este portafolio. Por otro lado, si se está trabajando con el portafolio
completo, la matriz de correlaciones contempla las relaciones entre todos los títulos
incluidos en el portafolio. La segunda parte de esta simulación fue igual a la segunda
parte de la Simulación Histórica, donde se calculó el delta de la tasa. Se realizaron
5000 simulaciones para cada fecha.26
25 Cabe anotar que este procedimiento es válido cuando se quiere calcular el VaR una vez. Para mayor detalle sobre cómo hacer el cálculo para varios días, remítase a la sección de back-testing. 26 Para el primer caso, se realizaron 5.000 y 10.000 simulaciones. Dada la complejidad computacional, el tiempo requerido para este procedimiento y habiendo encontrando diferencias a nivel del quinto decimal, se consideró adecuado trabajar con 5.000 simulaciones.
II.04(02).37 - II.04(02).133
33
Divisas Se partió del cambio porcentual de los valores de las monedas encontrado en la
simulación histórica y se determinó la distribución de estos datos a través de CRYSTAL
BALL. Posteriormente se simuló este precio en CRISTAL BALL con base en la
distribución hallada anteriormente, realizando el mismo número de simulaciones
explicado anteriormente.
3.3 APROXIMACIÓN
3.3.1 Aproximación Delta Esta aproximación (aplicada sobre TES y Yankees únicamente) se utilizó para obtener
un cambio porcentual en el precio, partiendo del delta de la tasa, definido como:
[Fórmula 3.4]
tasaDuración
PP
∆−=∆ *
El cambio porcentual del precio de los Yankees esta dado en dólares. Para pasarlo a
pesos se debe obtener el cambio porcentual de la tasa representativa del mercado
contemplando las mismas fechas y llevar a cabo la siguiente operación:
[Fórmula 3.5]
( ) 1)%1(*)(1$ −∆+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+=
∆ TRMUSDPP
PP
Para los TES UVR, el cambio porcentual de los precios esta expresado en unidades de
valor real, por lo tanto para hacer el cambio de moneda local, se realizó un
procedimiento similar al de los Yankees, tal que
[Fórmula 3.6]
( ) 1)%1(*)(1$ −∆+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+=
∆ UVRUVRPP
PP
En este momento los procesos se encuentran en el mismo punto para todos los
instrumentos, ya que mediante las simulaciones de las divisas se obtuvieron cambios
porcentuales de éstas en pesos y los cambios porcentuales de los precios de los TES
están dados en esta misma moneda.
II.04(02).37 - II.04(02).133
34
3.3.2 Aproximación Delta Gamma
Al igual que la aproximación Delta, esta aproximación se utilizó para obtener el cambio
porcentual de los precios mediante el delta de la tasa. Como se ha explicado
anteriormente, dado que este método contempla la medida de convexidad y no solo la
de duración, supone ser más precisa.
El cambio porcentual del precio se define como:
[Fórmula 3.7]
2)(**21* tasaConvexidadtasaDuración
PP
∆+∆−=∆
Nuevamente, el cambio porcentual del precio de los Yankees esta en dólares y el de los
TES UVR en unidades de valor real, por lo que se pasaron a pesos siguiendo el mismo
procedimiento explicado anteriormente. Se llegó entonces al punto donde los cambios
porcentuales de los precios de todos los instrumentos están expresados en pesos.
3.4 CALCULO DEL VAR
Para llegar a la medida del VaR se realizó un histograma sobre los cambios
porcentuales de los precios bajo los diferentes escenarios o simulaciones y se obtuvo el
percentil 5 (teniendo en cuenta que se estaba trabajando con un nivel de confianza del
95%) valor que corresponde a la medida del VaR.
Suponiendo que se tiene un solo instrumento, el VaR estaría dado por el percentil 5 del
histograma directamente. Si se tiene un portafolio con varios títulos del mismo tipo de
instrumento (uno de TES TF, TES UVR, Divisas o Yankees), para obtener el VaR se
debe ponderar el cambio porcentual del precio de cada título (en cada escenario) por el
peso que éste tiene dentro del portafolio. Así se define un cambio porcentual en el
valor total del portafolio; realizando un histograma sobre estos datos se encontró el
percentil 5 correspondiente al valor en riesgo (VaR).
Finalmente, si se tiene un portafolio con varios títulos de diferentes tipos, basta con
ponderar el cambio porcentual de cada “subportafolio” por su porcentaje de
participación en el portafolio total, obteniendo el cambio porcentual del valor del
portafolio que contiene todos los títulos. Una vez más, el VaR corresponde al percentil
5 del histograma de estos datos.
II.04(02).37 - II.04(02).133
35
3.5 MAPPING – EWMA
Mapping La técnica del mapping fue expuesta por JP Morgan en su documento técnico de Risk
Metrics en 1996. Esta metodología ha sido revisada y complementada en el articulo
“The Return to Risk Metrics: The Evolution of a Standard” publicada en el 2001. El
mapping se utiliza sobre instrumentos que presentan pagos parciales como son los
Bonos y su objetivo es simplificar la estructura sobre la cual se hacen los cálculos del
VaR.
Para efectos de la valoración de los instrumentos, la descomposición de un portafolio
en varios flujos futuros es adecuada. Sin embargo la existencia de tantos flujos (caso
que se da al considerar muchos instrumentos dentro de un portafolio) puede hacer que
la medición del VaR sea un procedimiento tedioso. Es así como el mapping busca
eliminar esta dificultad descomponiendo los flujos y llevándolos a un número k de
nodos estándares.
A continuación se presentan los pasos que definen la técnica del mapping.
1. Encontrar los f lujos futuros de cada instrumento, haciendo uso del valor
nominal, la tasa cupón y la fechas de pago.
2. Definir los nodos: Risk Metr ics propone una ser ie de nodos (1d 1m 3m 6m 1a
2a 3a 4a 5a 7a 9a 10a 15a 20a 30a) ya que para estos, cuenta con la
información de correlaciones y volat i l idades. Dado que en el mercado
colombiano se presenta el problema de falta de información, la def in ic ión de
nuevos nodos con el mismo cri ter io no es fact ib le, razón por la cual se usarán
los nodos propuestos por Risk Metr ics.
3. Haciendo uso de la curva cero cupón, se debe hal lar la tasa spot para cada
uno de los nodos def in idos en el paso anterior. La construcción de la curva se
hace con el método de Nelson y Siegel usando los betas y e l tao publ icado por
la BVC (cada instrumento debe tener una curva cero cupón, es decir que s i e l
portafol io esta compuesto por TES en pesos y TES en UVR debe exist i r una
curva para cada uno de estos instrumentos).
4. Para cada uno de los f lujos (ubicada cada uno en un t iempo t) se debe
encontrar tL (Nodo ubicado a la izquierda del f lujo) y tR (Nodo ubicado a la
derecha del f lujo).
5. Encontrar e l factor de interpolación defin ido como
[Fórmula 3.8]
II.04(02).37 - II.04(02).133
36
LR
R
tttt
−−
=α
el cual ayudará a def inir la tasa spot para el f lujo y la proporción del f lujo
que ira a cada uno de los nodos adyacentes.
6. Hal lar la tasa cupón del f lujo (zt) mediante la interpolación de tasas spot de
los nodos vecinos (zL tasa spot del nodo ubicado a la izquierda y zR tasa spot
del nodo ubicado a la derecha del f lujo)
[Fórmula 3.9]
RLt zzz )1( αα −+=
7. Teniendo en cuenta que se debe mantener el Valor Presente de cada uno de
los f lujos (VPt) se debe preservar la s iguiente equivalencia
[Fórmula 3.10]
CeWeWeXVPt RRLLt tZR
tZL
tZ ++== −−− *** donde
X es el valor monetario del flujo
WL es la parte del flujo asignado al nodo
izquierdo
WR es la parte del flujo asignado al nodo
derecho
C es una cantidad de dinero, ubicada en el tiempo cero, que permite mantener el Valor
presente del flujo.
A continuación se muestra el procedimiento a seguir para hallar WL, WR y C.
[Fórmula 3.11]
LLtt tZLL
tZ
L
t eWtetZVP −− −=−=∂∂
**α LLtt tZtZ
LL ee
ttW *** −= α
RRtt tZRR
tZ
R
t eWtetZVP −− −=−−=∂∂
**)1( α RRtt tZtZ
RR ee
ttW ***)1( −−= α
Para hallar C, se debe reemplazar WL y WR (hallados anteriormente) en la
ecuación de VPt tal que
[Fórmula 3.12]
tt tZ
RL
tRLt ett
ttttC −−−
−= *)(*)(
II.04(02).37 - II.04(02).133
37
A continuación se presenta la imagen (vea la tabla 7) de la implementación del
mapping para:
TITULO: COLTES 15 11/05
FECHA VENCIMIENTO: 08/11/05
CUPÓN: 15% pago anual
Tabla 7 – Ejemplo de implementación de mapping
El anterior procedimiento se realizó para todos los títulos que pertenecen a un mismo
portafolio. Una vez se obtuvo el mapping de cada título, se halló el mapping
acumulado del portafolio ponderando el mapping del título por el porcentaje de
participación que éste tiene en el portafolio. En este caso se realizó el mapping sobre
los portafolios de: TES TF, TES UVR y TES conjunto, ya que se cuenta con los
parámetros necesarios para calcular la curva cero cupón en pesos y en UVR. Dado que
no se cuenta con información para calcular una curva en USD que corresponda a los
yankees, no se hizo mapping sobre este portafolio.
II.04(02).37 - II.04(02).133
38
EWMA La volatilidad es una medida estadística de la tendencia del precio a subir o bajar
significativamente en periodos adyacentes. Existen diferentes métodos para medir la
volatilidad en una serie, estos se pueden agrupar en dos, aquellos que suponen
volatilidad constante en el tiempo y aquellos que suponen volatilidad variable.
Debido a que la volatilidad en la serie de precios de un título generalmente no es
constante a través del tiempo y dado que no se le puede asignar el mismo peso a una
volatilidad antigua que a una reciente, J.P Morgan propuso el modelo EWMA. En éste
se usa un factor de decaimiento cuyo valor determina la cantidad de volatilidades
anteriores que influyen en la actual. Por ejemplo, un factor de decaimiento λ de 0.94
implica que se tienen en cuenta aproximadamente 30 volatilidades de días anteriores,
mientras que con un λ de 0.97 se contemplan alrededor de 100 volatilidades [Best,
1998]. Con el modelo EWMA la medida de la volatilidad para el periodo t se define
como:
[Fórmula 3.13]
21
21
2 *)1(* −− −+= ttt Xλσλσ
donde
σ2: es la volatilidad
λ: Factor de decaimiento
X2 t-1: Retorno sobre los precios del periodo anterior
Con las tasas correspondientes a la curva cero cupón se obtuvieron los precios
correspondientes a cada nodo. Se calculó el retorno sobre los precios y con la fórmula
3.13 se obtuvo σ el cual se usó para el cálculo directo del VaR.
El VaR para un nodo se define como:
VaRk = DISTR.NORMAL.INVR(95%)*σk*Mappingk
Donde
σk: es la volatilidad del nodo k
Mappingk: es el mapping para el nodo k
Una vez se halla el VaR para cada nodo, el VaR del portafolio se define como:
[Fórmula 3.14]
NODOST
PF VaRnCorrelacioVaRVaRNODOS
**=
II.04(02).37 - II.04(02).133
39
donde
VaRNODOS: es el vector del VaR de todos los nodos
Correlación: es la matriz de correlación entre los retornos de los nodos
Este quinto método se desarrolló siguiendo un procedimiento diferente al que se
desarrolló en los otros 4 métodos. El procedimiento de mapping crea una relación
directa entre la medida de VaR y la curva cero cupón, la cual funciona como base para
la valoración de títulos en Colombia. Inherente al modelo hay un proceso de simulación
sobre la curva y no sobre la tasa o el precio como se hacía en la simulación histórica y
la de MonteCarlo. Paralelamente, el método EWMA considera una volatilidad que varía
con el tiempo, a diferencia de los métodos anteriores en los cuales se consideraba una
volatilidad constante.
II.04(02).37 - II.04(02).133
40
4. METODOLOGÍA DE COMPARACIÓN
Para hacer una comparación de diferentes formas de calcular el VaR no basta contar
con una cifra que refleje el riesgo de mercado. Las bondades de un método con
respecto a otro se pueden ver en el comportamiento que dicha cifra tenga en un
periodo de tiempo, comparándola con el valor real de pérdidas y ganancias del
portafolio. Con esto en mente se realizaron pruebas de Back-Testing sobre cada uno
de los portafolios y con los resultados de ellas se diseñó una metodología que permitió
comparar los primeros cuatro métodos.
4.1 BACK-TESTING
Las pruebas de back-testing consisten en comparar la estimación de las pérdidas
máximas que puede tener un portafolio de un día a otro (VaR), con las pérdidas o
ganancias reales27; esto se hizo para 60 días (Junio 1, 2004 – Agosto 21, 2004) en
cada uno de los portafolios (TES TF, TES UVR, TES conjunto, divisas, yankees y
completo) y para cada uno de los casos (Caso 1 – 500 datos, Caso 2 – 200 datos).
Estas pruebas se denominan limpias, ya que los portafolios definidos no cambiaron de
un día a otro. Como se muestra en la gráfica 3 se comparan los resultados del VaR de
los primeros cuatro métodos con el cambio real en el precio del
portafolio
27 Las perdidas reales de un portafolio se entienden como el cambio porcentual en las perdidas o ganancias observadas para cada título ponderado por el porcentaje del título en ese portafolio, esto para cada uno de los días entre Junio 1, 2004 y Agosto 20, 2004.
II.04(02).37 - II.04(02).133
41
TES TF 500
-2.00%
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
02/06/2004
09/06/2004
16/06/2004
23/06/2004
30/06/2004
07/07/2004
14/07/2004
21/07/2004
28/07/2004
04/08/2004
11/08/2004
18/08/2004
Fecha
% P
yG O
VaR
REAL H D H DG MV MC D MC DG
Gráfica 3 – Ejemplo back testing para TES tasa fija 500 datos
El back-testing de los métodos que incluyen simulación histórica consistió en actualizar
los datos históricos, manteniendo los 500 o 200 datos, según la fecha para la cual se
quería calcular el VaR. Cuando el VaR se calculó para el primero de junio del 2004 se
tuvieron en cuenta datos desde el 25 de junio de 2002 hasta el 31 de mayo de 2004
(para 500 datos) y desde el 22 de agosto de 2003 hasta el 31 de mayo de 2004 (para
200 datos). Para calcular el VaR para el dos de junio de 2004, el dato real del 31 de
mayo pasó a ser un dato histórico y manteniendo el número de datos, se eliminó el
dato histórico más antiguo.
El procedimiento de esta prueba para los métodos que incluyen simulación de
MonteCarlo fue más complejo. Considerando la complejidad computacional que implica
la actualización de los datos históricos (de los cambios porcentuales de las tasas) sobre
los cuales se determina una distribución, fue necesario asumir una distribución
constante para cada uno de los títulos en cada uno de los días que se quería calcular el
II.04(02).37 - II.04(02).133
42
VaR. Esta distribución se estimó usando CRISTAL BALL y se pretendía cambiar los
parámetros con base en los datos históricos disponibles. Sin embargo, dadas las
dificultades en el cálculo de los parámetros (al tener medias negativas) fue necesario
asumir normalidad para todos los títulos. Para realizar el cálculo del VaR para los 60
días propuestos fue necesario digitar los parámetros para cada título y correr el
programa con 5.000 simulaciones para cada día.
4.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Con base en la teoría de diseño de experimentos y los resultados de back-testing fue
posible analizar los primeros cuatro métodos desarrollados.
Los experimentos son utilizados para estudiar el desempeño de un sistema. Un sistema
se define como un conjunto de procesos que transforman unas entradas en salidas. A
su vez, un proceso es una combinación de factores que pueden o no ser controlables.
El objetivo de un experimento es entonces determinar la influencia que tienen estos
factores en la salida que arroja el sistema [Montgomery, 2001]. A cada factor se le
asignan niveles que pueden ser cualitativos o cuantitativos. La salida se puede
expresar en términos de variables de respuesta, las cuales deben ofrecer información
relevante acerca del proceso que se está estudiando.
Se trabajó un diseño denominado “2k Factorial”, donde k se refiere al número de
factores, y la base 2 a la cantidad de niveles que tiene cada factor. En estos términos
se definieron los factores como: simulación y aproximación, donde histórica y
MonteCarlo son los posibles niveles del primero y Delta y Delta Gamma son los
posibles niveles del segundo. Como se puede ver, estos niveles son de carácter
cualitativo. Las variables de respuesta que permitieron el análisis comparativo fueron
dos y se obtuvieron de los resultados de back-testing. La primera se definió como el
número de veces que las pérdidas reales superaron el VaR estimado en el lapso
considerado (60 días) y la segunda es el promedio de las distancias al cuadrado y se
definió como:
[Fórmula 4.1]
n
VaRXi
ii∑=
−60
1
2)(
donde
Xi: pérdida o ganancia real en el día i
II.04(02).37 - II.04(02).133
43
VaRi: pérdida máxima estimada para el día i
n: lapso que se tuvo en cuenta (60 días)
La importancia de la variable de respuesta denominada cruces es medir la exactitud
del cálculo del VaR para un nivel de confianza establecido. Esto quiere decir que el
número de cruces debe ser igual al 5% (trabajando con un nivel de confianza del 95%)
del número de veces que se estimó el VaR (60). En caso de no ser igual, es preferible
que sea menor, ya que esto implicaría un nivel de confianza más alto pero que a la vez
incluye el 95% establecido.
La variable de respuesta denominada promedio de distancia2 tiene como fin medir qué
tan lejos se encuentra el VaR de la pérdida real. Teniendo en cuenta que el VaR es
usado para establecer la cantidad de dinero que los establecimientos de crédito deben
reservar para responder ante sus clientes en caso de eventos inesperados, si la
distancia es muy grande, las entidades estarían reservando más dinero del necesario
perdiendo así oportunidades de inversión. Se esperaría entonces que el VaR estuviera
cerca a las pérdidas reales (lo que implica una distancia pequeña) sin sobrepasar el
5% de cruces.
A partir de la metodología de diseño de experimentos se buscó analizar
comparativamente el efecto que tienen los procedimientos de simulación y de
aproximación sobre el desempeño de los métodos propuestos (Vea la tabla 2). El
efecto puede ser individual, es decir, el efecto que tiene la simulación sin importar la
aproximación utilizada, o el efecto que tiene la aproximación independientemente de la
simulación utilizada. Así mismo, se puede contemplar el efecto de la interacción entre
dos niveles, donde cada nivel debe pertenecer a un factor diferente.
Se realizaron dos comparaciones relevantes; la primera, indicando el efecto que tienen
los factores sobre cada portafolio y la segunda, analizando el efecto de los factores
sobre el uso de 500 o 200 datos.
4.3 COMPARACIÓN DE CUATRO MÉTODOS PARA CADA PORTAFOLIO
Para cada uno de los portafolios sobre los cuales se realizaron las pruebas de back-
testing se hizo un análisis del efecto que tiene el tipo de simulación y el tipo de
aproximación en el cálculo del VaR a través de las variables de respuesta (número de
II.04(02).37 - II.04(02).133
44
cruces y el promedio de la distancia2). El siguiente esquema (vea la figura 4) es una
ilustración gráfica del experimento que se llevó a cabo para cada portafolio y cada una
de sus variables de respuesta.
Figura 4 – Ilustración gráfica del esquema de comparación
donde
vr: número de cruces o promedio de las distancias2
HD: resultado de la variable de respuesta dado que se usó simulación histórica y
aproximación delta.
HDG: resultado de la variable de respuesta dado que se usó simulación histórica y
aproximación delta gamma.
MCD: resultado de la variable de respuesta dado que se usó simulación de MonteCarlo
y aproximación delta.
MCDG: resultado de la variable de respuesta dado que se usó simulación de
MonteCarlo y aproximación delta gamma.
Para poder analizar los efectos es necesario hacer énfasis en la magnitud y dirección
que cada uno tenga. Si su magnitud es significativamente diferente de cero, se podría
decir bien que existe un efecto individual o un efecto de interacción. Para el primero de
estos casos se analiza, además, la dirección para determinar cual de los niveles de
dicho factor es el que proporciona un mejor desempeño del proceso.
El efecto de la simulación independientemente del nivel de la aproximación se calculó
cómo:
SIMULACIÓN
Delta Delta gamma
MonteCarlo Histórica
APROXIMACIÓN
(vr MCD) (vr MCDG)
(vr HD) (vr HDG)
II.04(02).37 - II.04(02).133
45
[Fórmula 4.2]
S = 0.5 * [(MCDG - HDG) + (MCD - HD)]
Si esta medida es negativa, quiere decir que la variable de respuesta en la simulación
histórica es mayor que la variable de respuesta en la simulación de MonteCarlo y por
ende, un movimiento hacia el nivel de MonteCarlo en este factor implica un mejor
desempeño del método. Si esta medida es positiva, ocurre lo contrario y un
movimiento hacia el nivel histórico trae consigo un mejor desempeño del método.
El efecto de la aproximación independientemente del nivel de simulación se calculó
como:
[Fórmula 4.3]
A = 0.5 * [(MCDG - MCD) + (HDG - HD)]
La interpretación de los resultados es similar a la que se expuso anteriormente. Una
medida negativa de A implica un mejor desempeño cuando se utiliza la aproximación
delta gamma. Paralelamente, una medida positiva de A implica un mejor desempeño
cuando se utiliza la aproximación delta.
Finalmente, el efecto de interacción se calculó como:
[Fórmula 4.4]
SA = 0.5 * [(MCDG - HDG) – (MCD - HD)]
La magnitud de esta medida se analiza comparativamente con la magnitud de los
efectos individuales. Si la primera resulta ser significativamente inferior, se concluye
que el efecto de interacción no es relevante. Por el contrario, si es igual o mayor, se
considera que la combinación de los factores tiene un efecto apreciable sobre la salida.
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
II.04(02).37 - II.04(02).133
46
Tabla 8 - Resultados comparación sobre cada portafolio
Como lo indica la tabla 8 y con base en la explicación anterior, se puede ver que para
el portafolio de TES TF para 500 datos no hay efecto de ninguno de los factores sobre
la variable de respuesta cruces. En cuanto a la variable de respuesta distancia, se
puede ver que la simulación histórica implica una menor distancia. Por lo tanto se
concluyó que en este portafolio el mejor desempeño lo tienen los métodos que
incluyen simulación histórica sin importar la aproximación, ya que con estos la
distancia entre la medida del VaR y la pérdida real es menor sin afectar el número de
cruces.
En cuanto al portafolio de TES TF para 200 datos, existe un efecto causado por el tipo
de simulación. Que la variable de respuesta cruces sea negativa implica que el uso de
la simulación de MonteCarlo genera menos cruces que el uso de la simulación histórica.
Sin embargo, dado que la variable distancia es positiva, esta medida es mayor usando
MonteCarlo que usando histórica. Por otro lado, en cuanto al efecto de la
aproximación, se puede ver que para la variable de respuesta distancia, la
aproximación delta presenta una mayor distancia que la aproximación delta gamma,
por esto el uso de esta última es el más adecuado. Dado que el efecto de la simulación
es diferente según la variable de respuesta fue necesario remitirse al número de cruces
para verificar que éstos fueran iguales o cercanos al 5%. Como se puede ver en la
tabla 9, el número de cruces para la simulación histórica con aproximación delta
gamma es igual al 5% cumpliendo así con el nivel de confianza establecido. Teniendo
en cuenta además que la simulación histórica presenta una menor distancia, se
concluyó que esta es la simulación más apropiada. Así, para el portafolio de TES TF
con 200 datos el método de mejor desempeño es la simulación histórica con
aproximación delta gamma.
II.04(02).37 - II.04(02).133
47
TES TF 200 H DG MC DG cruces 3 1
% 5.0% 1.7% Tabla 9 – Cruces en TES TF 200
Para el caso del portafolio de TES UVR para 500 datos, al mirar el efecto de la
simulación con respecto a la variable de respuesta cruces, la medida de la simulación
de MonteCarlo es menor. Con respecto a la variable de respuesta distancia, la medida
de la simulación histórica es menor. Para el efecto de la aproximación, dado que el
efecto de la variable de respuesta es positivo, se dice que la medida para la
aproximación delta es menor, y por ende más adecuada. Se presentó nuevamente la
duda sobre cual efecto de simulación resulta ser más indicado, por ello se hizo
nuevamente el análisis sobre el porcentaje que el número de cruces obtenido
representa sobre las 60 mediciones (Vea la tabla 10). Como el número de cruces de la
simulación histórica con la aproximación delta supera el 5%, la estimación del VaR
realizada por este método superaría el nivel de confianza establecido y por ende tiene
un mejor desempeño el método con simulación de MonteCarlo y aproximación Delta.
TES UVR 500 H D MC D cruces 4 2
% 6.7% 3.3% Tabla 10 – cruces TES UVR 500
Para el portafolio de TES UVR con 200 datos se puede ver que sólo hay efecto del
factor simulación con respecto a la variable de respuesta distancia. Dado que este
efecto es positivo se concluyó que los métodos con simulación histórica, sin importar la
aproximación usada, tienen un mejor desempeño.
El portafolio de Yankees, tanto para 500 como para 200 datos hay efecto de ambos
factores. Para el efecto de la simulación, dado que la variable de respuesta distancia
fue positiva, se concluye que los métodos que aplican histórica presentan menor
distancia que los métodos que aplican MonteCarlo. En cuanto al efecto de la
aproximación, dado que la variable de respuesta distancia fue negativa, los métodos
que utilizan la aproximación delta gamma tienen una menor distancia. Así, se concluyó
que el método más adecuado para estimar el VaR del portafolio de Yankees es aquel
que aplica simulación histórica y aproximación delta gamma.
II.04(02).37 - II.04(02).133
48
Para el portafolio formado por divisas solo existe el efecto de la simulación, ya que
sobre este portafolio no se puede aplicar una aproximación. En el caso de 500 datos el
efecto del número de cruces fue positivo lo que implica una medida más alta para los
métodos que incluyen simulación de MonteCarlo. Por el contrario, el efecto sobre la
variable de respuesta distancia es mayor para los métodos que usan simulación
histórica, por lo tanto fue necesario revisar el número de cruces como tal (Vea la tabla
11). Dado que los dos superan el nivel de confianza establecido, se concluyó que el
método más apropiado para el cálculo del VaR del portafolio de divisas es la simulación
de MonteCarlo, ya que este presenta un nivel de confianza más cercano al 95% y una
distancia más pequeña, permitiendo una menor reserva de dinero y por ende una
mayor cantidad de dinero disponible para invertir.
Para el caso de 200 datos, el efecto de la variable de respuesta distancia es positivo
concluyendo que la simulación histórica presenta una menor distancia y es por ende el
método de mejor desempeño.
DIVISAS 500 H MC cruces 1 2
% 1.7% 3.3% Tabla 11 – Cruces DIVISAS 500
Para el portafolio completo de existe efecto causado por ambos factores. En el caso de
500 datos, el efecto de la simulación sobre la variable de respuesta cruces fue
negativo, indicando que los métodos que incluyen la simulación de MonteCarlo
producen menor número de cruces. Por otro lado, este mismo efecto sobre la variable
distancia fue positivo indicando que los métodos que usan la simulación histórica
presentan menor distancia. El efecto de las aproximaciones solo existe sobre la
variable de respuesta distancia, donde este tiene una medida menor para los métodos
que incluyen la aproximación delta gamma. Para seleccionar el método adecuado fue
necesario revisar que el número de cruces no violara el nivel de confianza (vea la tabla
12). Dado que los dos cumplen con el nivel de confianza establecido, pero el método
con simulación histórica y aproximación delta gamma se acerca más al 5%, este se
seleccionó como el de mejor desempeño.
PF COMPLETO 500 H DG MC DG cruces 1 0
% 1.7% 0.0% Tabla 12 - Cruces portafolio completo 500
II.04(02).37 - II.04(02).133
49
Finalmente, para el portafolio completo de 200 datos el efecto de la simulación sobre
ambas de respuesta es negativo indicando que los métodos que aplican simulación de
MonteCarlo son más adecuados. En cuanto al efecto de la aproximación sobre la
variable de respuesta distancia es negativo, lo que llevó a concluir que la aproximación
delta gamma es más apropiada. El mejor desempeño lo tiene entonces el método que
aplica simulación de MonteCarlo y aproximación delta gamma.
En resumen, la comparación basada en la teoría de diseño de experimentos arrojó
como resultados los que se presentan en la tabla 13. Como se puede ver, hay
diferencias
PORTAFOLIO MÉTODO DE MEJOR DESEMPEÑO
TES TF 500 S. Histórica TES UVR 500 S. MonteCarlo & A. Delta YANKEES 500 S. Histórica & A. Delta Gamma DIVISAS 500 S. MonteCarlo TODO 500 S. Histórica & A. Delta Gamma TES TF 200 S. Histórica & A. Delta Gamma TES UVR 200 S. Histórica YANKEES 200 S. Histórica & A. Delta Gamma DIVISAS 200 S. Histórica TODO 200 S. MonteCarlo & A. Delta Gamma Tabla 13 - Resumen de resultados de la comparación
4.4 COMPARACIÓN ENTRE TODOS LOS MÉTODOS
Esta comparación aplica para los portafolios compuestos por TES, es decir TES TF y
TES UVR, recordando que el método de mapping y EWMA no es aplicable a los
portafolios de yankees ya que no se cuenta con una curva cero cupón para estos
instrumentos.
Dado que el método de mapping y EWMA no contempla como posibles factores
simulación y aproximación no fue posible incluirlo en el análisis comparativo que se
realizó con base en diseño de experimentos. Sin embargo, una forma de análisis es a
través de las mismas variables de respuesta comparándolo con el método de mejor
desempeño obtenido anteriormente. Si el método de mapping y EWMA es mejor que el
método de mejor desempeño encontrado anteriormente, se concluiría que el método
de mapping y EWMA es el más adecuado. En caso contrario, el método encontrado a
II.04(02).37 - II.04(02).133
50
través de la comparación basada en diseño de experimentos seguiría siendo el de
mejor desempeño.
En la tabla 14 se presentan las variables de respuesta (cruces y distancia) para los
métodos que se compararon en cada uno de los portafolios especificados
anteriormente.
TES TF 500 TES UVR 500 TES TF 200 TES UVR 200 CRUCES MV 0 1 0 0 CRUCES Mejor Desempeño 0 2 3 0 DISTANCIA MV 0.00010 0.00006 0.00010 0.00006 DISTANCIA Mejor Desempeño 0.00011 0.00002 0.00005 0.00003 Método de mejor desempeño H MC D H DG H
Tabla 14 - Comparación mapping – EWMA con método mejor desempeño
Con base en estos resultados se concluyó que dado que ningún número de cruces
supera el 5%, la selección del método más adecuado se basa en la variable de
distancia. Dado que la medida de distancia es menor en el método de mapping y
EWMA solo para el portafolio de TES TF 500 datos, este es el único caso en el cual el
método de mapping y volatilidad resulta ser una mejor elección. Para el portafolio de
TES UVR con 500 datos, el método de simulación de MonteCarlo y aproximación delta
siguió siendo el de mejor desempeño. Para el portafolio TES TF 200, el método
simulación histórica y aproximación delta gamma continuó siendo el más adecuado.
Así mismo, para el portafolio TES UVR 200, la simulación histórica sigue siendo la de
mejor desempeño independientemente de la aproximación utilizada.
Como se ve en las gráficas (vea el anexo 2) la estimación del VaR usando el método de
mapping y EWMA en los 60 días analizados, genera una medida del VaR cada vez
menor28, por lo que en la gráfica se ve una tendencia creciente. Se encontró que la
serie de estimaciones calculadas por este método siempre empieza por debajo de las
mediciones de VaR de los otros métodos y en la mayoría de los casos termina por
encima. Para el caso de TES TF 500 se puede ver que la serie de estimaciones por el
método de mapping y EWMA rápidamente cruza las series de estimaciones de los otros
métodos. Por lo tanto, durante la mayor parte del lapso analizado, la distancia de la
serie de mapping y EWMA con respecto a la serie de pérdidas reales resulta ser
menor. Con este criterio el método de mapping y EWMA para el portafolio de TES TF
500 presenta un mejor desempeño.
28 Esto sucede por que el sigma calculado por el método EWMA es decreciente en el lapso de tiempo analizado.
II.04(02).37 - II.04(02).133
51
4.5 COMPARACIÓN CON EL MODELO ESTÁNDAR
Para el cálculo del VaR mediante el modelo estándar se siguió el procedimiento
propuesto por la Superintendencia Bancaria en la circular externa 042 de 2001 (para
más detalles ver Apéndice A). Igualmente se utilizaron los resultados de las pruebas
de backtesting descritas en la sección 4.1.
Los datos relevantes para este modelo son suministrados a todas las entidades por
medio de la Circular Básica Contable Financiera [Superintendecia Bancaria 2001 – b].
Estos son la matriz de correlación entre los 13 factores de riesgo al igual que las
variaciones máximas probables (volatilidad) para cada uno de ellos, cabe anotar que
esta información no ha sido modificada desde su publicación en el 2001.
Como se puede ver en las gráficas (ver anexo 2) el VaR calculado para 60 días usando
el modelo estándar aparece como una línea recta, lo que se debe a la baja frecuencia
con la que se actualiza la información descrita anteriormente.
En el caso del portafolio de TES tasa fija 500 datos, es claro que en el primer mes la
medida del VaR es muy cercana para todos los métodos. Sin embargo, el VaR
calculado por el método estándar se mantiene constante mientras que la estimación
por otros métodos disminuye. Por esta razón se puede concluir que el modelo estándar
no es el método de mejor desempeño para este portafolio. Para el caso de 200 datos,
se puede ver que el VaR calculado por el método estándar se encuentra por debajo del
VaR calculado mediante los métodos que combinan simulación y aproximación. El
número de cruces para este último método es cero y la distancia es mayor,
concluyendo entonces que el método de mejor desempeño para este portafolio
continua siendo simulación histórica con aproximación delta gamma.
Para los portafolios de TES UVR, Divisas y el portafolio con todos los instrumentos,
tanto para 500 como para 200 datos, es posible ver que el VaR calculado por este
método se encuentra durante el periodo estudiado por debajo del VaR encontrado por
los otros métodos. Debido a lo anterior, no fue necesario usar una medida cuantitativa
en términos de número de cruces y distancia al cuadrado, ya que a simple vista se
puede concluir que el método de mejor desempeño sigue siendo aquel encontrado a
través de la metodología basada en diseño de experimentos.
Tomando los portafolios compuestos por yankees, tanto para 200 como para 500
datos, es posible ver que el VaR calculado por el modelo estándar está por encima del
VaR encontrado por los otros métodos. Dado que el número de cruces para todos los
métodos es cero y que la distancia para el modelo estándar es menor, se concluyó que
II.04(02).37 - II.04(02).133
52
éste último método es el de mejor desempeño para estos portafolios. En este caso se
puede ver que el factor de correlación entre los factores de riesgo que afectan los
yankees (tasa real y USD) tiene un valor de -0.56, lo que implica que se produce una
alta diversificación y esto hace que el riesgo se haga más pequeño.
Para los portafolios que incluyen todos los instrumentos, es claro que el VaR
encontrado a través del modelo estándar se encuentra por debajo de las estimaciones
realizadas por los otros métodos y en el caso de 500 datos esta diferencia es mucho
más marcada. Así, se concluyó que los métodos encontrados según la metodología de
comparación basada en diseño de experimentos, simulación histórica con aproximación
delta gamma para el caso de 500 y simulación de MonteCarlo con aproximación delta
gamma para el caso de 200, son los más aconsejados para estos portafolios.
El desempeño de este modelo se pudo ver afectado por la baja frecuencia de
actualización de la información suministrada por la Superintendencia Bancaria, al igual
que por la agrupación en 13 factores de riesgo que no permite contemplar el efecto de
la diversificación entre los instrumentos. Por ejemplo, dado que para los TES existe un
sólo factor de riesgo (Tasa de TES) independientemente de si los TES están
expresados en pesos o en UVRs, no habría ninguna diferencia entre tener un título de
uno o de otro con respecto a la tasa de interés. La diferencia entre éstos radicaría en
la variación del valor de la UVR, reflejado en el facto de riesgo UVR. Como se puede
ver en las matrices de correlación utilizadas en los métodos que incluyen simulación de
MonteCarlo o mapping (ver anexo 3), entre los TES expresados en diferentes monedas
hay factores de correlación significativos que tienen un efecto notorio en la
diversificación de un portafolio que incluya ambos tipos de instrumentos (TES TF y TES
UVR). Para el caso del modelo estándar, esta diversificación no es contemplada.
II.04(02).37 - II.04(02).133
53
5. CONCLUSIONES
En este proyecto se buscó calcular el VaR para cinco portafolios de inversión utilizando
cinco métodos diferentes. Cuatro de estos portafolios estaban conformados por un
solo tipo de instrumento, TES en pesos, TES en UVR, yankees o divisas; el quinto
portafolio contenía todos estos instrumentos, reflejando una estructura general de los
portafolios de inversión de los establecimientos de crédito en Colombia. Dado que no
se contó con la información de un portafolio real, éste se construyó con base en las
entrevistas realizadas en el sector. De estas se obtuvieron ideas sobre cuales eran los
instrumentos más comunes y esta información se complemento con el volumen
transado de los títulos, escogiendo entonces los más transados de cada tipo de
instrumento. Finalmente, para definir la participación de cada grupo de instrumentos
en el portafolio total, se tuvo en cuenta la estructura de deuda del gobierno
colombiano. Buscando trabajar sobre un portafolio lo más semejante posible a la
realidad, se definieron dos casos paralelos cuya diferencia radica en la cantidad de
datos históricos incluidos en el análisis (200 o 500) y la cantidad de títulos que
conformaron cada portafolio. El objetivo fue analizar el desempeño de estos métodos
aplicando una metodología de comparación basada en la teoría de diseño de
experimentos.
Desde el principio se identificaron los problemas propios para la medición de riesgo en
mercados emergentes como lo es el colombiano. Estos son la falta de información
histórica, la baja liquidez de los títulos transados y la modelación bajo supuestos que
no necesariamente se cumplen. El desarrollo reciente del mercado financiero
colombiano sumado a la iliquidez de los títulos se refleja en la falta de series históricas
de datos, al igual que en vacíos en fechas donde no hubo transacción. Para superar
esta dificultad fue necesario trabajar con las series de datos disponibles
correspondientes a las fechas inmediatamente anteriores al período del análisis (junio
1 de 2004 – agosto 20 de 2004). De igual manera, en las fechas donde no hubo
transacción sobre alguno de los títulos se tomó el dato histórico más reciente y se
mantuvo constante hasta la siguiente fecha de transacción.
Las normas respecto a la medición de riesgo de mercado en el mundo existen hace
aproximadamente 15 años, con la entrada en vigencia del Acuerdo de Basilea. En
II.04(02).37 - II.04(02).133
54
Colombia esta normatividad existe hace tan sólo 3 años con la publicación de la
circular externa 042 de la Superintendencia Bancaria. Esto hace que los métodos de
cálculo del VaR estén en pleno desarrollo y que hasta ahora se estén formando bases
de datos para alimentarlos. El modelo estándar propuesto por la Superintendencia
Bancaria es considerado adecuado para reportar el riesgo de mercado a esta entidad.
Este agrupa los factores de riesgo importantes de una forma general lo que permite
llevar un control global sobre las entidades vigiladas. A pesar de esto las entidades
consideran necesario un modelo propio que se adecue más a sus necesidades
particulares para así llevar a cabo una mejor gestión interna de sus portafolios. Es por
esto que resultó relevante hacer un estudio de diferentes métodos para el cálculo del
VaR, concluyendo para cada portafolio cual de los métodos presentaba un mejor
desempeño.
Con respecto a las simulaciones realizadas cabe anotar que fue necesario suponer
normalidad en el caso de MonteCarlo ya que se presentaron dificultados en la
estimación de los parámetros correspondientes a otras distribuciones. El software
utilizado para este procedimiento presentó el inconveniente de no tener una
plataforma que vincule directamente EXCEL con CRYSTAL BALL. Esto hizo que la
introducción de los datos fuera un proceso muy pesado.
Se trabajaron las aproximaciones delta y delta gamma con el fin de analizar la
influencia que tiene la inclusión de la convexidad en la medición de VaR. Si bien en la
comparación se identificaron diferencias en el efecto que tiene cada tipo de
aproximación, en términos porcentuales estas son muy pequeñas. Sin embargo, si
estas diferencias se aplican sobre una cantidad de dinero considerable, el valor del
riesgo medido en dinero resultaría importante y por ende lo sería la diferencia entre la
medida obtenida usando cada una de las aproximaciones.
El método de mapping y EWMA para el cálculo del VaR, presentó un avance con
respecto a los otros en dos puntos importantes. Por un lado el procedimiento de
mapping creó una relación directa entre la medida de VaR y la curva cero cupón. La
importancia del uso de esta curva radica en que ésta es la base para la valoración de
los títulos en Colombia y que al analizarla se contemplan las correlaciones existentes
entre los títulos. Por otro lado, en cuanto al método EWMA la importancia de este
II.04(02).37 - II.04(02).133
55
radica en la consideración de una medida de volatilidad variable, que refleja con mayor
precisión los movimientos de los retornos de los títulos.
Dado que la medida del VaR como tal no puede llevar a ninguna conclusión respecto al
desempeño del método mediante el cual se calculó, fue adecuado implementar la
prueba de back testing ya que esta proporcionó información relevante para el tipo de
comparación propuesta. Las dos variables escogidas para desarrollar la comparación
incorporaron información decisiva que permitió corroborar el cumplimiento del nivel de
confianza y establecer el porcentaje de dinero que se debe reservar para que no se
guarde ni más ni menos de lo recomendado y poder hacer frente a las obligaciones con
los clientes sin perder oportunidades de inversión. Para poder realizar el procedimiento
de back testing fue necesario implementar cada uno de los métodos para un solo día y
posteriormente extender este procedimiento para los otros días con el uso de
programación en VISUAL BASIC y diversas herramientas computacionales.
Los métodos que combinaban simulación histórica y de MonteCarlo con aproximación
delta y delta gamma se pudieron comparar usando la teoría de diseño de experimentos
ya que compartían factores para los cuales era posible analizar su efecto. Para poder
comparar el método de mapping y EWMA se utilizaron las mismas variables de
respuesta, generando una comparación equivalente a la anterior.
La comparación entre los portafolios completos para los casos paralelos de 500 y 200
datos presenta ruido debido a la diferencia en la cantidad de títulos que cada uno
tiene. Es importante resaltar que el portafolio de 200 datos explica mejor un portafolio
real de un establecimiento de crédito en Colombia, ya que incluye los títulos mas
transados en el mercado durante los primeros meses del 2004. Considerando que el
alcance de este proyecto no permitió crear una comparación directa entre estos dos
casos, quedó abierta la pregunta de qué factor tiene mayor influencia en la medida del
VaR, bien una aproximación mas exacta a un portafolio real o el uso de una mayor
cantidad de datos históricos. Dado que el objetivo por el cual se creó el caso de 200
datos fue aproximarse mejor a un portafolio real haciendo énfasis en los portafolios de
inversión de los establecimientos de crédito colombianos, se concluyó que el método
correspondiente al portafolio con todos los títulos para el caso de 200 datos,
Simulación de MonteCarlo y aproximación delta gamma, es el de mejor desempeño ya
que mantiene el nivel de confianza establecido (a través del criterio de número de
II.04(02).37 - II.04(02).133
56
cruces) y reserva una cantidad de dinero adecuada que permite responder a los
clientes en eventualidades sin dejar de aprovechar posibilidades de inversión
(mediante la medición de distancia entre las perdidas reales y el VaR).
El desempeño del modelo estándar pudo verse afectado por dos razones. Por un lado
la baja frecuencia de actualización de la matriz de correlaciones y de las volatilidades
de los factores de riesgo, suministrados por la Superintendencia Bancaria. Por otro
lado la agrupación generalizada de los factores de riesgo, lo que conlleva a no tener en
cuenta el efecto de la diversificación entre títulos en la medición de riesgo. Es
importante que la entidad vigilante actualice los datos que suministra a las entidades
ya que al no hacerlo puede estar sub o sobre estimando el riesgo de mercado. Esto
afecta su objetivo final que es llevar un control adecuado del riesgo que asume cada
entidad.
Para futuras investigaciones resultaría interesante implementar el método de mapping
y EWMA u otros modelos de volatilidades (ARCH, GARCH) para yankees y por
consiguiente para un portafolio que incluyera todos los instrumentos, ampliando así el
alcance de la comparación acá propuesta. Igualmente se propone la inclusión de
instrumentos derivados en una comparación de este tipo ya que estos son cada vez
más comunes en los portafolios de inversión de las entidades financieras colombianas.
La información del mercado cambia diariamente, por lo que resultaría útil implementar
el modelo estándar actualizando los datos (matriz de correlaciones y volatilidades) y
así determinar el comportamiento que tiene el VaR contemplando este cambio.
Paralelamente en el campo de la ingeniería de sistemas resultaría de gran utilidad el
desarrollo de una plataforma que haga mas amigable para el usuario la lectura de
datos desde EXCEL para las simulaciones en CRYSTAL BALL.
II.04(02).37 - II.04(02).133
57
6. REFERENCIAS
Alarcón, L.F. (2002) Métodos de Cálculo del Valor en Riesgo para Portafolios de
Entidades Financieras. Artículo facilitado por el autor.
Best, Philip. (1998) Implementing Value at Risk, cap 4. John Wiley & Sons Ltd.
Bolsa de Valores de Colombia http://www.bvc.com.co [Junio,2004]
Camacho, M.T. (2003). Estimación de valor en riesgo para un portafolio de bonos
usando el Método GARCH. Tesis de grado, Universidad de Los Andes.
Cardozo, Pamela. (2003) Valor en Riesgo de los Activos Financieros Colombianos
aplicando la Teoría de Valor Extremo. Tesis de grado, Universidad de Los Andes
Fondo Monetario Internacional http://www.fmi.org [Mayo 10, 2004]
GIRAFA (2002). Métodos de determinación del valor en riesgo y su aplicación al
sistema bancario colombiano, Ed. Fernando Beltrán.
Holton, Glyn A. (2002) History of Value-at-Risk: 1922-1998. Recuperado de
http://econwpa.wustl.edu:8089/eps/mhet/papers/0207/0207001.pdf [Mayo 10,
2004]
Hull, John. (2003) Options, Futures and other derivatives, cap 16. Prentice Hall.
Macías, Fabio. (2003) Estimación del valor en riesgo para un portafolio de TES:
Simulación de MonteCarlo y aproximación Delta-Gamma. Tesis de grado,
Universidad de Los Andes.
Montgomery, D. (2001) Design and Analysis of Experiments, cap 6. John Wiley &
Sons
Partal, A. Repercusiones del nuevo Informe del Comité de Basilea en los países en
desarrollo. Recuperado de http://www.eticaed.org/Partal.pdf [Agosto 20, 2004]
Picoult, Evan. (1998), Calculating Value al Risk with MonteCarlo Simulation. En
Dupire, B (Ed), MonteCarlo Methodologies and Applications for Pricing and Risk
Management (Pg. 209 – 230). Risk Books.
RISK GLOSSARY. Basle Committee on Banking Supervision. Recuperado de
http://www.riskglossary.com/articles/basle_committee.htm [Septiembre 8, 2004]
RISK GLOSSARY. Delta and Gamma. Recuperado de:
http://www.riskglossary.com/articles/delta_and_gamma.htm#delta-gamma
[Junio 4, 2004]
Serrano, Camilo. (2004) Cálculo del Valor en Riesgo de un portafolio de bonos
TES. Tesis de grado, Universidad de Los Andes.
II.04(02).37 - II.04(02).133
58
SUPERINTENDENCIA BANCARIA (2001 - a). Circular Externa 042. Recuperado de
http://www.superbancaria.gov.co [Abril 20, 2004]
SUPERINTENDENCIA BANCARIA (2001 - b). Circular Básica Contable Financiera,
caps. XII, XX y XXI. Recuperado de http://www.superbancaria.gov.co [Abril 20,
2004]
II.04(02).37 - II.04(02).133
59
ANEXO 1 Se consideran establecimientos de crédito las instituciones financieras cuya función principal consista en captar en moneda legal recursos del público en depósitos, a la vista o a término, para colocarlos nuevamente a través de préstamos, descuentos, anticipos u otras operaciones activas de crédito.
Tipo de entidad Definición Legal
Bancos
Son instituciones financieras que tienen por función principal la captación de recursos en cuenta corriente bancaria, así como también la captación de otros depósitos a la vista o a término, con el objeto primordial de realizar operaciones activas de crédito.
Corporaciones Financieras
Son instituciones que tienen por función principal la captación de recursos a término, a través de depósitos o de instrumentos de deuda a plazo, con el fin de realizar operaciones activas de crédito y efectuar inversiones, con el objeto primordial de fomentar o promover la creación, reorganización, fusión, transformación y expansión de empresas en los sectores que establezcan las normas que regulan su actividad.
Compañías de Financiamiento Comercial
Son instituciones que tienen por función principal captar recursos mediante depósitos a término, con el objeto primordial de realizar operaciones activas de crédito para facilitar la comercialización de bienes o servicios.
Cooperativas Financieras
Son organismos cooperativos especializados cuya función principal consiste en adelantar actividad financiera, entendiéndose por ésta la de depósitos, a la vista o a término de asociados y de terceros para colocarlos nuevamente a través de préstamos, descuentos, anticipos u otras operaciones activas de crédito y, en general, el aprovechamiento o inversión de los recursos captados de los asociados y de terceros.
Banca de Segundo piso
Son Bancos que no operan directamente con particulares, lo que significa que no tienen entrada directa para el público. Su régimen de propiedad es público o estatal en razón a que tiene como finalidad apoyar a aquellos sectores productivos prioritarios de la economía y a los segmentos empresariales que por sus condiciones están limitados para acceder al mercado y requieren de un servicio de fomento especializado.
Tomado de Superintendencia Bancaria de Colombia. Recuperado el 26 de marzo de 2004 de http://www.superbancaria.gov.co
II.04(02).37 - II.04(02).133
60
ANEXO 2
TES TF 500
-2.00%
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG O
VaR
REAL H D H DG MV MC D MC DG M Estandar
TES TF 200
-2.00%
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
H D H DG REAL MV MC D MC DG M Estandar
II.04(02).37 - II.04(02).133
61
TES UVR 500
-0.02000
-0.01500
-0.01000
-0.00500
0.00000
0.00500
0.01000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL HD HDG MV MC D MC DG M Estandar
TES UVR 200
-0.020000
-0.015000
-0.010000
-0.005000
0.000000
0.005000
0.010000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL H D H DG MV MC D MC DG M Estandar
II.04(02).37 - II.04(02).133
62
YANKEES 500
-0.020000
-0.015000
-0.010000
-0.005000
0.000000
0.005000
0.010000
0.015000
0.020000
0.025000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL HD HDG MC D MC DG M Estandar
YANKEES 200
-0.020000
-0.015000
-0.010000
-0.005000
0.000000
0.005000
0.010000
0.015000
0.020000
0.025000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL HD HDG MC D MC DG M Estandar
II.04(02).37 - II.04(02).133
63
DIVISAS 500
-0.03000
-0.02500
-0.02000
-0.01500
-0.01000
-0.00500
0.00000
0.00500
0.01000
0.01500
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL H MC M Estandar
DIVISAS 200
-0.030000
-0.025000
-0.020000
-0.015000
-0.010000
-0.005000
0.000000
0.005000
0.010000
0.015000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL H MC M Estandar
II.04(02).37 - II.04(02).133
64
TODO 500
-0.010000
-0.008000
-0.006000
-0.004000
-0.002000
0.000000
0.002000
0.004000
0.006000
0.008000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL HD HDG MC D MC DG M Estandar
TODO 200
-0.010000
-0.008000
-0.006000
-0.004000
-0.002000
0.000000
0.002000
0.004000
0.006000
02/06
/2004
09/06
/2004
16/06
/2004
23/06
/2004
30/06
/2004
07/07
/2004
14/07
/2004
21/07
/2004
28/07
/2004
04/08
/2004
11/08
/2004
18/08
/2004
Fecha
% P
yG o
VaR
REAL HD H DG MC D MC DG M Estandar
II.04(02).37 - II.04(02).133
65
ANEXO 3
II.04(02).37 - II.04(02).133
66
APÉNDICE A
Riesgo de Tasa de Interés
El riesgo de tasa de interés se calcula haciendo uso de la medida de duración y el valor
presente de los flujos, considerando la posición que en el portafolio tenga cada título
que lo compone. Una posición se clasifica como activa si es una contingencia deudora o
como pasiva si es una contingencia acreedora.
La duración se entiende como el tiempo en años que se demorará la recuperación de la
inversión en un activo y se deduce como se muestra a continuación:
VPNi
F
DUR
n
jj
j
j tjt∑=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 1
*)1(
Fj: Flujo de fondos al final del período j, j =1,..., n.
tj: Número de períodos entre el momento del cálculo y el vencimiento del flujo j.
ij: Tasa de descuento para el plazo j.
n: Número de flujos de fondos futuros pendientes.
VPN: Valor presente neto, definido como:
VPN Fij
jj
n
tj=+=
∑( )11
Para cada una de las posiciones i (clasificada como activa o pasiva) en una banda de
tiempo k29 el valor en riesgo está dado en moneda legal (pesos), expresa la máxima
pérdida que tendrá dicha posición y se calcula así:
kikik
ik iVPNY
VPNVaRik ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=∆= **)1(
DURik
donde:
ikVPN∆ : Cambio en el valor de la posición i para la banda k.
DURik: Duración de la posición i para la banda k.
ki∆ : Variación máxima probable en las tasas de
interés para el plazo k.
Yik : Rentabilidad de la posición i de la banda k.
29 La Superintendencia Bancaria definió periodos de tiempo sobre los cuales se hace la medición del riesgo independientemente para posteriormente ponderarlos. Estas “bandas de tiempo” dadas en meses son: 0 – 1 , 1 – 2, 2-3, 3-6, 6-12, 12-24 y 24 o más. [Superintendencia Bancaria, 2001 – b ANEXO f269]
II.04(02).37 - II.04(02).133
67
VPNik : Valor presente de los flujos de la posición i
en la banda k
Para cambios en la tasa de interés, el VaR Total de un portafolio en una banda de
tiempo contempla la máxima pérdida en posiciones activas y pasivas conjuntamente y
está dado por:
∑∑ −=k
pasivasposicionesi
activasposicionest VaRVaRVaR
Riesgo de tasa de cambio
La posición neta en cada moneda (sea divisa o UVR) se encuentra como se muestra a
continuación:
( ) ( )∑∑==
∆++−∆++=m
jjjj
m
jjjjjDivisa PFVPPAFCPAPN
11
PNDIVISAj: Posición Neta en la moneda j, donde j=1,..., m
PAj: Posición Activa, incluyendo contingencias deudoras, en la moneda j.
FCj: Nominal de los contratos forward de compra de divisas, en la divisa j
∆Aj: Valor equivalente de las posiciones largas en opciones de compra (largo call) y de
las posiciones cortas en opciones de venta (corto put) en la divisa j. El valor
equivalente será igual al delta de las opciones multiplicado por el valor nominal de los
contratos.
PPj: Posición Pasiva, incluyendo contingencias acreedoras, en la moneda j.
FVj: Nominal de los contratos forward de venta de divisas, en la divisa j
∆Pj: Valor equivalente de las posiciones largas en opciones de venta (largo put) y de
las posiciones cortas en opciones de compra (corto call) en la divisa j. El valor
equivalente será igual al delta de las opciones multiplicado por el valor nominal de los
contratos.
m: Número de monedas.
Este valor luego es convertido a moneda legal utilizando las tasas de cambio30 vigentes
(ej)
jjDivisajLegal ePNPN *=
PNLegalj= Valor en moneda legal de la Posición Neta j
ej= Tasa de cambio para la moneda j
30 Para la UVR, la expresión tasa de cambio corresponde al valor de la unidad.
II.04(02).37 - II.04(02).133
68
La estimación de las máximas pérdidas probables debido a variaciones en la tasa de
cambio de cada moneda sigue la siguiente ecuación:
jjLegalj ePNV ∆=∆ *
donde:
jV∆ : Cambio en el valor de la posición neta en la moneda j.
je∆ : Variación máxima probable en la tasa de cambio de la moneda j (cifra para las
divisas dada por la Superintendencia Bancaria)
Debe tenerse en cuenta que la evaluación al riesgo por tasa de cambio para cada
divisa sólo debe efectuarse cuando las posiciones bien pasivas o activas, sean
superiores al 3% de los activos totales de la entidad.
Riesgo de Precio de Acciones
El riesgo de precio en acciones se calcula de dos formas dependiendo del nivel de
bursatilidad (cantidad de acciones transadas en la Bolsa de Valores de Colombia).
Acciones de media y alta bursatilidad
precioPosVaR BB AccionesAcciones ∆= *
Acciones de baja o ninguna bursatilidad
precio*PosVaR NBNB AccionesAcciones ∆= *5.1
VaR Acciones: Valor en riesgo por variación en el precio de acciones.
Pos Acciones: Valor en libros de las posiciones en acciones que mantenga la entidad.
∆precio: Variación máxima probable en los precios de acciones.
