Metodología de optimización para la planeación del

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Metodología de optimización para la planeación del transporte de productos

agrícolas de pequeños agricultores mediante el uso redes de transportes existentes

Gustavo Rojas1

1Universidad de los Andes

Bogotá, Colombia

[email protected]

Resumen

Esta investigación propone el diseño de una metodología para la planeación de transporte diaria de productos

agrícolas, teniendo en cuenta la disponibilidad de los pedidos preestablecidos y los vehículos disponibles en un

día determinado. Esta planeación diaria se soluciona a través de dos modelos de optimización: un modelo de

optimización completo que minimice el tiempo de transporte de pedidos y vehículos de un día determinado,

teniendo en cuenta las capacidades en peso/volumen de pedidos y vehículos, así como las compatibilidades entre

pedidos; y un modelo de descomposición (Dantzig-Wolfe más asignación) que reduzca los tiempos de ejecución

computacional del modelo completo sin sacrificar optimalidad. Por último, este trabajo propone una generación

de instancias de prueba para aplicar a ambos modelos (pedidos, vehículos disponibles, capacidades,

compatibilidades) utilizando una red vial real geográfica de transporte terrestre, con la finalidad probar la

factibilidad y funcionalidad de los modelos y sacar conclusiones.

1. Introducción

Colombia ha sido declarado como uno de los siete países potencia en el abastecimiento de productos

agrícolas para el mundo en el año 2050 (FAO, 2009), basado en el crecimiento de la población mundial y

en la disponibilidad de tierras para uso agrícola de países en desarrollo. Según el Departamento

Administrativo Nacional de Estadística (DANE, 2016), Colombia cuenta con 43 millones de hectáreas

para uso agropecuario, según el último censo nacional. De estas hectáreas, el 77.3% le pertenece al 0.4%

de las Unidades Productoras Agrícolas-UPA (DANE, 2016). En contraposición, 81.1% de las UPA son

dueños del 3.7% de la tierra (DANE, 2016), lo cual significa que la gran mayoría de personas que viven

del sector del agrícola son pequeños productores. La distribución geográfica de estos productores se

encuentran en los departamentos de Boyacá (14.3%) y Cundinamarca (10.7%) (DANE, 2016).

En el sector de transporte, el 46.3% de las vías pavimentadas se encuentran en regular, mal o muy mal

estado, y el 90.5% de las vías no pavimentadas se encuentran en estas mismas categorías (INVIAS, 2018),

sumado a que el transporte de productos agrícolas de pequeños productores funciona de una forma

empírica, ineficiente y monopolizada hacia los canales institucionales: clientes que usan los productos

para transformarlos en sus empresas o venderlos a usuarios finales (CCI, 2019). El esquema general del

transporte (Ministerio de Transporte de Colombia, 2018) sigue es estilo tradicional donde el agricultor

entrega sus pedidos a un transportador que lo envía a centrales de abasto y de ahí las empresas recogen

los productos en varios viajes con flota propia y alquilada (Ver Anexo 1). De esta cadena,

aproximadamente el 23% de la capacidad promedio de los vehículos que transportan productos agrícolas

en Colombia no se utiliza (Zona Logística, 2017), debido a diferentes razones: falta de visibilidad de

cantidades y frecuencias de pedidos (Zona Logística, 2017); falta de sincronización de recogida de pedidos

en centrales de abasto (CCI, 2019); la falta de flexibilidad y gestión en la administración de la flota propia

(Ministerio de Transporte de Colombia, 2018; Procolombia, 2016; Zona Logística, 2017).

Esto lleva a que la operación logística que soporta todas las relaciones comerciales, sin excepción, utilizan

las formas existentes y tradicionales de transporte de productos agrícolas (CCI, 2019): (i) utilización de

intermediarios tradicionales; (ii) adquisición de flota propia para el transporte desde los diferentes orígenes

hasta sus operaciones, teniendo que administrar y operar su propio aparato logístico. Esta última, está

acotada en una serie de factores para que sea, en teoría, rentable (Fruandes, 2019): (i) el cliente tiene que

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tener la suficiente solvencia económica y experiencia en operaciones logísticas para adquirir y administrar

su propia flota; (ii) los proveedores tienen que tener un suministro de productos agrícolas lo

suficientemente grande para que los fletes no aumenten en exceso los costos de los productos; (iii) el

cliente tiene que estar en la capacidad operativa de rutear, optimizar y programar diariamente su flota

propia.

2. Revisión de literatura

Se revisaron 47 investigaciones encontradas con base en la búsqueda de 13 elementos y sus

combinaciones, con el fin de encontrar propuestas de solución del sector agrícola y otros sectores

aplicables (ver taxonomía en el Anexo 2):

a. Metodología de planeación

b. Múltiples relaciones productor-cliente

c. Transporte terrestre

d. Transporte multimodal

e. Flexibilidad en cambios de ruta vehículos

f. Transporte multi-producto

g. Redes viales reales

h. Productos agrícolas

i. Compatibilidades de productos

j. Descomposición transporte - asignación

k. Modelo de Dantzig-Wolfe para transporte

l. Método Branch & Price

m. Modelos de Asignación productos

Múltiples transportadores sector agrícola: (J. A. Orjuela-Castro, Sepulveda-Garcia, & Ospina-Contreras,

2016) analizan el impacto de redes multimodales en la cadena de abastecimiento para exportación de

Uchuva a través de dinámica de sistemas, y concluyen que estos modelos reducen costos, aumentan los

niveles de eficiencia y de servicio, y eliminan sobrecostos por redundancias en los modelos de transporte

tradicionales. (Patidar, Agrawal, & Pratap, 2018) concluyen que las estrategias que permiten tener

transportes agrícolas sustentables son las basadas en logística ágil, prácticas de pooling (transporte

compartido) y transporte colaborativo.

Múltiples transportadores otros sectores: (Kazemi & Szmerekovsky, 2015) incorporan un modelo de

planeación multimodal para el transporte de gasolina utilizando modelos de ruta más corta, teniendo en

cuenta intermediarios y redes geográficas reales, concluyendo para trabajos futuros la inclusión de

múltiples transportes que surjan desde cualquier punto de la cadena, así como trabajar con redes reales

extraídas de software especializados.

Múltiples productos: (Yang, Xu, & Li, 2017) proponen un algoritmo de Cuckoo Search para minimizar

las pérdidas de producto agrícola en el transporte, encontrando que no existe una variedad de

investigaciones para problemas multi-producto en este tipo de cadenas de abastecimiento y que, por lo

tanto, es necesario seguir investigando en este tema dado que son problemas de optimización

combinatorios complejos (NP-Hard). (Karimi & Bashiri, 2018) proponen un Mixed Integer Linear

Programming (MILP) para solucionar el problema de localización de centros para redes multi-producto,

mejorando la eficiencia cuando la locación se integra con transporte multimodal.

Múltiples orígenes y destinos: (Soysal, Bloemhof-Ruwaard, Haijema, & Van Der Vorst, 2015) proponen

un modelo de Inventory Rounting Problem (IRP) para productos perecederos en transporte monomodales,

cuya conclusión es la reducción de un 24.3% en los costos operativos y cuya recomendación futura es

realizar investigaciones que contemplen cadenas de abastecimiento de productos perecederos con

múltiples proveedores y múltiples cliente (many-to.many).

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Problemas enteros redes de transporte: Estudios como el de (Vanderbeck, 2000) proponen la

descomposición de Dantzig-Wolfe como un método eficiente para la solución de problemas discretos

enteros al combinarlo con métodos de Branch & Price que incluyan cortes en el problema maestro. De

igual forma, (Fadaei, 2015) propone una descomposición de Dantzig-Wolfe para aumentar la eficiencia

en problemas prácticos con limitaciones reales para problemas de transporte.

Metodologías de planeación: (Liotta, Kaihara, & Stecca, 2016) proponen un marco metodológico que

promueve la colaboración entre diferentes actores de la cadena de abastecimiento, concluyendo que los

comportamientos más eficientes se presentan cuando un solo actor administra el transporte o cuando se

crean características colaborativas muy bien definidas (reglas) entre los actores.

Con base en esta revisión y con el contexto anteriormente mencionado, esta investigación propone

responder, ¿es posible diseñar una metodología para mejorar las estrategias de transporte directo de

múltiples productos agrícolas desde múltiples productores a múltiples clientes con los que tienen

relaciones comerciales existentes, a través del uso multimodal de las capacidades disponibles de vehículos

que pertenecen a redes de transporte de productos agrícolas existentes?

3. Definición del problema y propuesta de solución

Con base en el contexto colombiano y en la revisión de literatura mencionada anteriormente, esta

investigación tiene como objetivo diseñar una metodología de planeación diaria que permita, a través de

modelos de optimización, transportar múltiples productos agrícolas desde múltiples puntos de origen hacia

múltiples puntos de destino utilizando vehículos disponibles en ese día, a través de una red vial real. Para

esto, y dividiendo este objetivo, el trabajo se descompone en las siguientes secciones: (4) metodología

para la planeación de transporte diaria de productos agrícolas, teniendo en cuenta la disponibilidad de los

pedidos preestablecidos y los vehículos disponibles en un día determinado; (5) modelo de optimización

que minimice el tiempo de transporte de pedidos y vehículos de un día determinado, teniendo en cuenta

las capacidades en peso/volumen de pedidos y vehículos, así como las compatibilidades entre pedidos; (6)

esquema de descomposición para el modelo de optimización completo sin sacrificar optimalidad; (7)

diseño de instancias de prueba (red vial real, pedidos, vehículos disponibles, capacidades,

compatibilidades) para ejecutar y comparar el modelo de optimización completo y la descomposición

propuesta (8) análisis descriptivos de resultados de la ejecución de instancias.

Es importante aclarar que este trabajo incluye red geográfica real, múltiples pedidos, múltiples puntos

geográficos de origen y destino, múltiples vehículos, limitaciones de compatibilidad y pedidos

preestablecidos; asimismo, excluye problemas de tipos de empaque y problemas de empaquetamiento en

vehículos.

4. Metodología de planeación diaria

El interés de esta investigación se centra en el transporte de pedidos entre agricultores y clientes con

relaciones comerciales ya existentes, es decir, que previamente se ha realizado el esfuerzo comercial y de

negociación de calidades y disponibilidades de los productos que se venden y, ahora, es necesario

transportar esos productos previamente acordados. Estas relaciones comerciales existentes entre

agricultores y clientes se caracterizan por dos aspectos principales: (i) tienen una cantidad de entrega

definida de cada producto agrícola acordado entre las partes, previo al momento de transportar los

productos; (ii) tienen predefinida una frecuencia de envío, es decir, se pacta entre las partes el día

específico en el que los productos están disponibles para ser transportados

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Por otro lado, los vehículos que transportan productos agrícolas pueden tener dos estados de

disponibilidad: primero, vehículos que tienen un origen y un destino predefinido a causa de otras

negociaciones y, por lo tanto, tienen un espacio disponible inferior a la capacidad del vehículo; segundo,

vehículos que no tienen un destino predefinido y, por ende, tienen disponibilidad de toda la capacidad de

carga del vehículo. La confirmación de disponibilidad de los vehículos en Colombia, se conocen con tres

días de anterioridad en promedio (Ministerio de Transporte de Colombia, 2018b), razón por la cual no

sería posible ni práctico hacer una planeación de transporte semanal o mayor. A continuación, se presenta

el diseño de la metodología planteada en este trabajo (resumen en la Figura 1), con el fin de materializar

las oportunidades presentes en el comportamiento de los diferentes actores de interés:

i. Levantamiento de información necesaria

a. Compatibilidades entre productos agrícolas para su transporte: definir qué productos

pueden ser transportados juntos y cuáles no.

b. Pedidos que se encuentran disponibles diariamente en una semana determinada

i. Para cada pedido se debe identificar el punto de origen, el punto de destino, la

capacidad disponible en peso (kilogramos) y volumen (metros cúbicos), y el tipo

de producto a transportar

ii. Si un agricultor le despacha al mismo cliente diferentes productos agrícolas, cada

producto se considera como un pedido diferente para analizar las compatibilidades

c. Vehículos disponibles diariamente durante la misma semana

i. Para cada vehículo se debe identificar el punto de origen, el punto de destino (si

aplica), el tipo de vehículo, la capacidad disponible en peso (kilogramos) y volumen

(metros cúbicos), y el día en el que está disponible

ii. Cada vehículo debe tener un único punto de origen y destino. Si un vehículo tiene

diferentes destinos, cada trayecto se considera como una ruta diferente para planear

(cambian puntos y capacidades disponibles)

ii. Planeación de pedidos de un solo día de la semana

a. La planeación se realiza con tres días de anticipación (ver Figura 2)

b. Se toman todos los pedidos que van a estar disponibles para ese día y se suman con los

pedidos que no se pudieron planear el día anterior (si aplica)

c. Se confirman las disponibilidades de los pedidos con los agricultores

d. Se toman solamente los vehículos disponibles para ese día

e. Se confirman las disponibilidades con los transportadores, así como su capacidad (en peso

y volumen), punto de origen y punto destino

f. Se corren los modelos de optimización (secciones posteriores)

g. Se realizan validaciones y ajustes a las novedades que presente el modelo: pedidos no

asignados previamente, cambios de última hora en disponibilidades, cambios de ruta

h. Se confirman las asignaciones a los transportadores, agricultores y clientes

iii. Ajuste a pedidos que no fueron asignados

a. Si un pedido no es asignado en la planeación del día que está disponible, este pedido pasa

a la planeación del siguiente día (ver Figura 2)

b. Se notifica a productores y clientes del nuevo agendamiento de pedidos

iv. Ciclicidad

a. Diariamente, se realizan las etapas i., ii. y iii.

b. Se agregan todos los cambios de pedidos y vehículos que estén disponibles para los días

futuros de planeación

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Figura 1 – Metodología para la planeación diaria de productos agrícolas de pequeños agricultores en

redes de transporte existentes. (Elaboración propia)

Figura 2 – Esquema ilustrativo de la planeación diaria por semana propuesta. (Elaboración propia)

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5. Modelo de optimización completo

Los supuestos que aplican para todos los modelos de optimización y, en general, para toda la presente

investigación son los siguientes: la compatibilidad de pedidos es relevante sólo durante el transporte de

productos; todos los pedidos tienen un origen y un destino predeterminado; los vehículos que no tienen

un destino previo pueden terminar en cualquier punto geográfico; los vehículos pueden realizar varios

viajes y su último destino será su destino preestablecido; no se tienen en cuenta los problemas de alta

complejidad de los empaques (diseño, vida útil, etc.); los pedidos pueden cambiar de medio de transporte

en cualquier momento; dado que son pequeños productores, se desprecian tiempos que cargue y

descargue; el foco está en el transporte desde las zonas rurales a la ciudad, no en la optimización de última

milla (ruteos dentro de la ciudad); la librería Open Street Maps Network X (osmnx) de Python, software

donde se desarrollan y ejecutan los modelos, está actualizada a la realidad de la infraestructura vial de

Colombia en vías principales y secundarias, y transforma correctamente la red vial real de una zona

específica deseada en un grafo.

5.1. Descripción

Este modelo es planteado como un Mixed Integer Linear Programming (MILP) dada la naturaleza de las

variables de decisión (Desaulniers et al., 2005), e incluye: minimización el tiempo de transporte de todos

los vehículos (ecuación 01), sujeto a las restricciones de capacidad máxima de transporte cada viaje de

cada vehículo por cada arco que recorre (ecuación 02), las restricciones de balance de cantidades de pedido

en cada nodo para satisfacer la demanda (ecuación 03), las restricciones de balance de flujo de vehículos

a través de la red hasta llegar a destino (ecuación 04), las restricciones de compatibilidad de pedidos que

se transportan en un mismo vehículo en cada arco del grafo (ecuaciones 05, 06 y 07) y las restricciones de

naturaleza de las variables (ecuaciones 08, 09 y 10).

5.2. Formulación

Conjuntos

𝑁: Conjunto de nodos presentes en la red vial

𝐴: Conjunto de arcos de la red vial

𝑃: Conjunto de pedidos a ser transportados en el día

𝑉: Conjunto de vehículos disponibles en el día

𝐾: Conjunto de tipos de capacidad (1 si es peso, 2 si es volumen)

Parámetros

𝑡𝑖,𝑗𝑣 : Tiempo promedio en horas del vehículo v ∈ V para recorrer el arco (i,j) ∈ A

𝜙𝑝𝑘: Factor de conversión del pedido p ∈ P al tipo de capacidad de tipo k ∈ K

𝑠𝑣𝑘: Capacidad del del vehículo v ∈ V de tipo k ∈ K

𝑏𝑝𝑖𝑝

: Oferta/Demanda de la cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P en el nodo i ∈ N

𝑏𝑣𝑖𝑣: Oferta/Demanda del número de vehículos de v ∈ V en el nodo i ∈ N

𝑀: Constante de valor muy grande y finito 𝑜𝑝

𝑞: Compatibilidad del pedido p ∈ P con el pedido q ∈ P. Toma valor de uno (1) si son compatibles o cero (0) de lo

contrario.

Variables

𝑥𝑖,𝑗𝑝,𝑣

: Cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P transportados en el vehículo v ∈ V a través del arco (i,j) ∈ A

𝑤𝑖,𝑗𝑣 : Número de viajes que realiza el vehículo v ∈ V a través del arco (i,j) ∈ A

𝑢𝑖,𝑗𝑝,𝑣

: {1 Si el pedido p ∈ P es asignado al vehículo v ∈ V a través del arco (i, j) ∈ A0 De lo contrario

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Función Objetivo

min 𝑧 = ∑ ∑ 𝑡𝑖,𝑗𝑣 ∗ 𝑤𝑖,𝑗

𝑣

(𝑖,𝑗)∈𝐴𝑣∈𝑉

(01)

Restricciones

∑ 𝜙𝑝𝑘 ∗ 𝑥𝑖,𝑗

𝑝,𝑣

𝑝∈𝑃

≤ 𝑠𝑣𝑘 ∗ 𝑤𝑖,𝑗

𝑣 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (02)

∑ ∑ 𝑥𝑖,𝑗𝑝,𝑣

𝑗∈𝑁𝑣∈𝑉

− ∑ ∑ 𝑥𝑗,𝑖𝑝,𝑣

𝑗∈𝑁𝑣∈𝑉

= 𝑏𝑝𝑖𝑝

; ∀𝑖 ∈ 𝑁 | (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑝 ∈ 𝑃 (03)

∑ 𝑤𝑖,𝑗𝑣

𝑗∈𝑁

− ∑ 𝑤𝑗,𝑖𝑣

𝑗∈𝑁

= 𝑏𝑣𝑖𝑣 ; ∀𝑖 ∈ 𝑁 | (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (04)


≤ 𝑢𝑖,𝑗𝑝,𝑣

∗ 𝑀 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (05)


≥ 𝑢𝑖,𝑗𝑝,𝑣

; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (06)


+ 𝑢𝑖,𝑗𝑞,𝑣

≤ 1 + 𝑜𝑝𝑞

; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑞 ∈ 𝑃 | 𝑝 ≠ 𝑞 (07)


≥ 0 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (08)

𝑤𝑖,𝑗𝑣 ∈ ℤ+ ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (09)


∈ {0,1} ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (10)

6. Esquema de Descomposición

El modelo de optimización completo descrito anteriormente se ha definido como un MILP, lo cual implica

que su método de solución en un optimizador es más complejo y con un mayor tiempo de ejecución, en

comparación a si este mismo modelo tuviese el 100% de sus variables continuas (variables relajadas).

Adicionalmente, si dividimos el conjunto de restricciones (sin incluir las restricciones de naturaleza de las

variables) en dos grupos, donde en el grupo 1 están las restricciones 02, 03 y 04, y en el grupo 2 las

restricciones 05, 06 y 07, es posible hacer el siguiente análisis:

i. En el grupo 1: Este grupo de restricciones representa un problema de transporte para cada

pedido y para cada vehículo en una misma red dada, donde el flujo está limitado por la

capacidad de cada viaje de cada vehículo en cada arco, también conocido como un problema

de transporte multi-producto con capacidades variables en arcos (depende del número de viajes

de los vehículos que fluyen a través de un arco determinado), siendo entonces un problema

NP-Hard (Karimi & Bashiri, 2018). Esto implica que entre mayor sea el número de arcos en

la red, mayor el número de pedidos o mayor el número de vehículos, mayor será la complejidad

del problema y el tiempo de ejecución de la solución, sumado a la complejidad de resolver un

MILP.

Por lo tanto, si se quiere aumentar la eficiencia computacional de este grupo de restricciones,

teniendo en cuenta que los arcos, los pedidos y los vehículos dependen de la instancia a

solucionar y no del modelo en sí, es posible recurrir a métodos de descomposición que den

ventajas en tiempos de ejecución computacional, entendiendo la estructura de este grupo de

restricciones (Desaulniers et al., 2005): las restricciones 03 y 04 son independientes entre sí,

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teniendo cada una la estructura de un modelo de optimización de flujo de costo mínimo

(problemas de optimización cuyo tiempo de solución es eficiente dado que es posible relajar

las variables de decisión y obtener soluciones enteras, dada su propiedad de unimodularidad

en la matriz de restricciones), y siendo todas acopladas por las restricciones 02, dado que estas

restricciones incluyen todas las variables de decisión de las restricciones 03 y 04.

Esto permite concluir que, en conjunto, las restricciones 02, 03 y 04 pueden ser solucionadas

a través de un modelo de descomposición de Dantzig-Wolfe (Desaulniers et al., 2005), donde

las restricciones 02 (de acople) pertenecen al problema maestro de la descomposición y cada

una de las restricciones 03 y 04 hacen parte de un problema auxiliar que, en conjunto, forman

una estructura diagonal en bloque (ver Figura 3a). Asimismo, para garantizar la integralidad

de las variables de decisión que aplican, se complementa el método de descomposición de

Dantzig-Wolfe con métodos Branch & Price (Vanderbeck, 2000).

ii. En el grupo 2: Las restricciones 05, 06 y 07 representan un problema de asignación de pedidos

a viajes de vehículos para cada uno de los arcos del grafo (red), teniendo en cuenta las

compatibilidades entre pedidos. Esto implica que entre más arcos tenga la red, más compleja

y demorada va a ser su solución, o incluso, puede que no se llegue a una solución en un tiempo

computacional de ejecución razonable.

Por lo tanto, sería más eficiente poder aplicar este modelo de asignación de pedidos a vehículos

para aquellos arcos donde realmente se sepa que van a fluir pedidos, y así reducir

exponencialmente la cantidad de arcos a los cuales aplicar este modelo. En consecuencia, se

obtendría un modelo de asignación por cada arco activo (arco donde realmente fluyen pedidos),

uno independiente del otro (ver Figura 3b).

(a) (b) .

Figura 3 – (a) Estructura general de la descomposición de Dantzig-Wolfe propuesta. (b) Estructura

general del modelo de asignación propuesto (Elaboración propia)

Con base en este análisis, y con el objetivo de estructurar modelos de optimización que puedan llegar a

ser escalables y más eficientes que el modelo completo (Fadaei, 2015), se propone el modelo de

descomposición descrito en la Figura 4 cuya estructura está dada por:

• Un modelo de descomposición de Dantzig-Wolfe cuyo objetivo sea encontrar las rutas más cortas

de cada pedido y cada vehículo, cumpliendo con las restricciones de capacidad variable en cada

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arco; los pedidos no son asignados en este modelo a un vehículo en particular, sólo se garantiza

que el número de viajes que fluyen por cada arco tiene la capacidad de transportar los pedidos que

fluyen por dicho arco, lo que permite que un pedido, al cambiar de un arco a otro en su solución,

pueda cambiar o no de vehículo. Este modelo necesita una inicialización con una solución factible

inicial y utiliza técnicas de Branch & Price en su programación para garantizar la integralidad de

las soluciones que apliquen.

• Un modelo de asignación cuyo objetivo sea asignar los pedidos que fluyen a través para cada arco

activo a los viajes que realizan los vehículos en dicho arco, teniendo en cuenta las restricciones de

compatibilidad entre pedidos. Este modelo solo aplica a los arcos activos y no a todos los arcos de

la red.

Figura 4 – Modelo de descomposición propuesto para el problema completo. (Elaboración propia)

6.1. Modelo de descomposición de Dantzig-Wolfe

6.1.1. Descripción

Este modelo de optimización busca encontrar la ruta más corta para los pedidos a entregar en un día de la

semana determinado y para todos los vehículos que tienen un destino predeterminado y que están

disponibles ese mismo día de la semana. Dado que los pedidos no pueden transportarse sin un vehículo

que soporte su capacidad, la capacidad de los arcos dependerá entonces de la cantidad de viajes que hagan

los vehículos por un determinado arco.

El modelo se estructura como una descomposición de Dantzig-Wolfe (Desaulniers et al., 2005) de la

siguiente forma: (1) un problema maestro que incluye las restricciones de capacidades para cada arco de

la red analizada y cada tipo de capacidad (peso y volumen), es decir, que garantiza que la capacidad de

los viajes de los vehículos que fluyen a través de cada arco son capaces de transportar la totalidad de

pedidos que fluyen por ese mismo arco; (2) tantos problemas auxiliares como pedidos y vehículos se estén

evaluando, cada uno con la finalidad de encontrar la ruta más corta de un pedido/vehículo entre su punto

de origen y punto destino preestablecidos. La relación entre estos problemas es la relación clásica de este

tipo de modelos: el problema maestro actualiza las funciones objetivo de los problemas auxiliares a través

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del envío de las variables duales de sus restricciones, y los problemas auxiliares actualizan las columnas

del problema maestro a través del envío de las rutas encontradas, hasta que la condición de optimalidad

sea alcanzada.

Ahora bien, para poder ejecutar la descomposición de Dantzig-Wolfe, es necesario inicializar el problema

maestro con una solución factible inicial, es decir, es necesario crear un modelo que genere una solución

inicial al problema completo. Para este caso, la solución con la que inicialice el problema maestro debe

dar una ruta para cada vehículo y para cada pedido garantizando que las rutas de los vehículos puedan

transportar los pedidos que fluyen en la red. Esta investigación propone el modelo de inicialización a

través de un modelo de asignación inicial que determine los pedidos que debe recoger cada vehículo según

un criterio dado y un modelo de ruteo (metamodelo) para cada vehículo teniendo en cuenta los pedidos a

recoger previamente asignados por el modelo de asignación inicial.

El resultado es este modelo son las rutas más eficientes para cada pedido y para cada vehículo. Como se

mencionó anteriormente, el modelamiento planteado no asigna un pedido particular a un determinado

vehículo, sólo garantiza que las capacidades de transporte en cada arco se cumplan. Esto permite que un

pedido determinado pueda transportarse a través de varios vehículos de ser necesario y su asignación

estará dada por el modelo de asignación.

El esquema general y las relaciones entre la inicialización, el problema maestro y los problemas auxiliares

se muestran en la Figura 5.

Figura 5 – Esquema general de relación entre los diferentes modelos de la descomposición de Dantzig-

Wolfe (Elaboración propia)

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6.1.2. Problema maestro

Se plantea el problema maestro de acuerdo con la descomposición de Dantzig-Wolfe planteada por

(Desaulniers et al., 2005), con el objetivo de minimizar el tiempo de transporte de pedidos y vehículos,

con la particularidad de que es necesario hacer una partición entre las variables relacionadas con los

problemas auxiliares de pedidos y las variables relacionadas con los problemas auxiliares de vehículos.

Las variables duales resultantes de cada restricción, una vez se optimiza el modelo, son enviadas a los

problemas auxiliares para actualizar los costos cada función objetivo hasta que la condición de optimalidad

se cumpla. En ese momento, el resultado de la función objetivo y de las variables del último problema

maestro corrido serán la solución a todo el modelo de descomposición de Dantzig-Wolfe.

Este problema contiene las restricciones de acople de los problemas auxiliares: las restricciones de

capacidad de los arcos (todos los de la red) por tipo de capacidad (peso o volumen) (ecuación 11), las

restricciones de combinación lineal propias de un modelo de Dantzig-Wolfe (ecuaciones 12, 13 y 14) y

las restricciones de no negatividad de las variables de decisión (ecuaciones 15 y 16). A continuación, se

describe la formulación del problema maestro propuesto en la presente investigación:

Conjuntos






𝐸: Conjunto de soluciones encontradas

Parámetros


𝑑𝑖,𝑗: Distancia en kilómetros correspondiente al arco (i,j) ∈ A

𝜙𝑝𝑘: Factor de conversión del pedido p ∈ P al tipo de capacidad k ∈ K

𝑦𝑖,𝑗𝑝,𝑒

: Cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P transportados a través del arco (i,j) ∈ A en la solución e ∈ E

𝑤𝑖,𝑗𝑣,𝑒

: Número de viajes que realiza el vehículo v ∈ V a través del arco (i,j) ∈ A en la solución e ∈ E

𝑠𝑣𝑘: Capacidad del vehículo v ∈ V de tipo k ∈ K

𝑐𝑝: Factor de conversión medio, calculado como el inverso de la velocidad promedio de la flota disponible multiplicado

por la capacidad en kilogramos promedio disponible de la flota del día (h/(km*kg)).

Variables de decisión

𝜆𝑝,𝑒: Peso que representa el punto extremo de la ruta e ∈ E en la solución de la ruta óptima del pedido p ∈ P

𝜆𝑣,𝑒: Peso que representa el punto extremo de la ruta e ∈ E en la solución de la ruta óptima del vehículo v ∈ V

Función objetivo:

min 𝑧 = ∑ ∑ ( ∑ 𝑑𝑖,𝑗 ∗ 𝑐𝑝 ∗ 𝜙𝑝1 ∗ 𝑦𝑖,𝑗

𝑝,𝑒

(𝑖,𝑗)∈𝐴

)

𝑝∈𝑃

∗ 𝜆𝑝,𝑒

𝑒∈𝐸

+ ∑ ∑ ( ∑ 𝑡𝑖,𝑗𝑣 ∗ 𝑤𝑖,𝑗

𝑣,𝑒

(𝑖,𝑗)∈𝐴

)

𝑣∈𝑉

∗ 𝜆𝑣,𝑒

𝑒∈𝐸

(11)

Restricciones

∑ ∑(𝜙𝑝𝑘 ∗ 𝑦𝑖,𝑗

𝑝,𝑒) ∗ 𝜆𝑝,𝑒

𝑝∈𝑃𝑒∈𝐸

− ∑ ∑(𝑠𝑣𝑘 ∗ 𝑤𝑖,𝑗

𝑣,𝑒) ∗ 𝜆𝑣,𝑒

𝑣∈𝑉𝑒∈𝐸

≤ 0 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (12)

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∑ 𝜆𝑝,𝑒

𝑒∈𝐸

= 1 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 (13)

∑ 𝜆𝑣,𝑒

𝑒∈𝐸

= 1 ; ∀𝑣 ∈ 𝑉 (14)

𝜆𝑝,𝑒 ≥ 0 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 (15)

𝜆𝑣,𝑒 ≥ 0 ; ∀𝑣 ∈ 𝑉 (16)

6.1.3. Problemas auxiliares de pedidos

Por cada pedido a transportar desde un origen a un destino se crea un problema auxiliar de dicho pedido

independiente a los demás pedidos y a los vehículos de ese día, de forma que cada uno de estos problemas

auxiliares se convierte en un modelo de optimización de ruta más corta, lo cual facilita la formulación a

un problema de flujo en redes de costo mínimo.

Para cada problema auxiliar, la función objetivo corresponde a la minimización del costo total de

transportar la cantidad de kilogramos de un pedido desde su origen a su destino (ecuación 17), donde el

parámetro del costo de transporte es igual al costo reducido de los costos de transportar ese pedido en el

problema maestro. Este cálculo se realiza con base en las variables duales de las restricciones de capacidad

del problema maestro que se resuelve en esa iteración de forma previa (este conjunto de restricciones se

representa en la literatura con la letra griega π)., por lo cual la solución de cada problema auxiliar se ve

afectado dependiendo de los valores que tomen dichas variables.

Las únicas restricciones para cada problema auxiliar son las restricciones de balance propias de un

problema de optimización lineal de flujo en redes de costo mínimo (ecuación 18) y las restricciones de no

negatividad (ecuación 19).

Una vez que se resuelve cada problema auxiliar, el valor de la función objetivo de cada uno es comparado

con el valor de la variable dual correspondiente a la restricción de combinación lineal del pedido

correspondiente (normalmente, ese tipo de variables duales se representa con la letra griega σ). De esta

forma es posible saber si, para un pedido particular, existe una solución prometedora con respecto a la

solución encontrada previamente por el problema maestro. La condición de optimalidad se describe a

continuación:

• Si zp ≥ 𝜎𝑝 entonces la solución encontrada previamente en el problema maestro para ese pedido

es óptima.

• Si zp < 𝜎𝑝 entonces la solución encontrada en el problema auxiliar es más prometedora que la que

previamente se había encontrado en el problema maestro para ese pedido, por lo cual es necesario

actualizar la ruta encontrada en el problema auxiliar en el problema maestro.

A continuación, se describe la formulación del problema auxiliar para cada pedido propuesto en la presente

investigación:

Conjuntos



13



Parámetros

𝑑𝑖,𝑗: Distancia en kilómetros correspondiente al arco (i,j) ∈ A


𝑏𝑖𝑝

: Oferta/Demanda en kilogramos del pedido p ∈ P en el nodo i ∈ N

𝑐𝑝: Factor de conversión medio, calculado como el inverso de la velocidad promedio de la flota disponible multiplicado por

la capacidad en kilogramos promedio disponible de la flota del día (h/(km*kg)).

𝜋0𝑖,𝑗𝑘 : Variable dual asociada a la restricción de capacidad del problema maestro para el arco (i,j) ∈ A del tipo de capacidad k

∈ K


𝑦𝑖𝑗𝑝

: Cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P transportados a través del arco (i,j) ∈ A

Función objetivo

zp𝑝∈𝑃min = ∑ (𝑑𝑖,𝑗 ∗ 𝑐𝑝 ∗ 𝜙𝑝

1 − ∑ 𝜙𝑝𝑘 ∗ 𝜋0𝑖,𝑗

𝑘

𝑘∈𝐾

) ∗ 𝑦𝑖,𝑗𝑝

(𝑖,𝑗)∈𝐴

(17)

Restricciones

∑ 𝑦𝑖,𝑗𝑝

𝑗∈𝑁

− ∑ 𝑦𝑗,𝑖𝑝

𝑗∈𝑁

= 𝑏𝑖𝑝

; ∀𝑖 ∈ 𝑁 | (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 (18)

𝑦𝑖,𝑗𝑝

≥ 0 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 (19)

6.1.4. Problemas auxiliares de vehículos

Por cada vehículo disponible en el día se crea un problema auxiliar de dicho vehículo independiente a los

demás vehículos y a los pedidos de ese día, de forma que cada uno de estos problemas auxiliares se

convierte en un modelo de optimización de ruta más corta, lo cual facilita la formulación a un problema

de flujo en redes de costo mínimo.

Para cada problema auxiliar, la función objetivo corresponde a la minimización del costo total del número

de viajes que haga un vehículo de un nodo a otro hasta llegar a su destino (si aplica) (ecuación 20), donde

el parámetro del costo de transporte es igual al costo reducido de los costos de transporte para ese vehículo

en el problema maestro. Este cálculo se realiza con base en las variables duales de las restricciones de

capacidad del problema maestro que se resuelve en esa iteración de forma previa (este conjunto de

restricciones se representa en la literatura con la letra griega π)., por lo cual la solución de cada problema

auxiliar se ve afectado dependiendo de los valores que tomen dichas variables.

Las únicas restricciones para cada problema auxiliar son las restricciones de balance propias de un

problema de optimización lineal de flujo en redes de costo mínimo (ecuación 21) y las restricciones de no

negatividad (ecuación 22).

Una vez que se resuelve cada problema auxiliar, el valor de la función objetivo de cada uno es comparado

con el valor de la variable dual correspondiente a la restricción de combinación lineal del vehículo

correspondiente (normalmente, ese tipo de variables duales se representa con la letra griega σ). De esta

forma es posible saber si, para un vehículo en particular, existe una solución prometedora con respecto a

14

la solución encontrada previamente por el problema maestro. La condición de optimalidad se describe a

continuación:

• Si zv ≥ 𝜎𝑣 entonces la solución encontrada previamente en el problema maestro para ese pedido

es óptima.

• Si zv < 𝜎𝑣 entonces la solución encontrada en el problema auxiliar es más prometedora que la que

previamente se había encontrado en el problema maestro para ese pedido, por lo cual es necesario

actualizar la ruta encontrada en el problema auxiliar en el problema maestro.

A diferencia de los problemas auxiliares de pedidos, donde el segundo término de los costos reducidos se

le resta al primero, a los problemas auxiliares de vehículos se le suma el segundo término al primero. Esto

debido al signo negativo que tiene la matriz que acompaña a las variables de decisión asociadas a los

vehículos.

A continuación, se describe la formulación del problema auxiliar para cada vehículo propuesto en la

presente investigación:

Conjuntos





Parámetros



𝑏𝑖𝑣: Oferta/Demanda en número de vehículos de v ∈ V en el nodo i ∈ N

𝜋0𝑖,𝑗𝑘 : Variable dual asociada a la restricción de capacidad del problema maestro para el arco (i,j) ∈ A del tipo de capacidad k

∈ K


𝑤𝑖,𝑗𝑣 : Número de viajes que realiza el vehículo v ∈ V a través del arco (i,j) ∈ A

Función objetivo

zv𝑣∈𝑉min = ∑ (𝑡𝑖,𝑗

𝑣 + ∑ 𝑠𝑣𝑘 ∗ 𝜋0𝑖,𝑗

𝑘

𝑘∈𝐾

) ∗ 𝑤𝑖,𝑗𝑣

(𝑖,𝑗)∈𝐴

(20)

Restricciones

∑ 𝑤𝑖,𝑗𝑣

𝑗∈𝑁

− ∑ 𝑤𝑗,𝑖𝑣

𝑗∈𝑁

= 𝑏𝑖𝑣 ; ∀𝑖 ∈ 𝑁 | (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 (21)

𝑤𝑖,𝑗𝑣 ≥ 0 ; ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 (22)

6.1.5. Condición de optimalidad global

El criterio de optimalidad para el modelo propuesto de descomposición de Dantzig-Wolfe se define como:

si para cada uno de los problemas auxiliares creados (pedidos y vehículos) en una misma iteración, la

15

solución encontrada no mejora a la previamente encontrada en el problema maestro, entonces la solución

del problema maestro de dicha iteración es la solución óptima global del problema de descomposición de

Dantzig-Wolfe, es decir, que para cada problema auxiliar s ∈ S (S={P ⋃ V}) su solución objetivo es peor

que la del problema maestro: z𝑠 ≥ 𝜎𝑠 ; ∀𝑠 ∈ 𝑆.

6.1.6. Inicialización de la descomposición de Dantzig-Wolfe

Dada la naturaleza de la descomposición de Dantzig-Wolfe es necesario crear una solución básica factible

inicial para poder ejecutar el problema maestro por primera vez (Desaulniers et al., 2005). Esta

inicialización debe respetar la integralidad de las variables de decisión que apliquen del problema

completo, las restricciones de dicho problema, y debe tratar de generar una solución de buena calidad

(rutas que no sean excesivamente largas y sin un sentido lógico de ruteo) para mejorar el tiempo

computacional de la descomposición.

La presente investigación plantea encontrar esa solución básica factible inicial de la siguiente forma:

i. Diseñar un modelo de optimización lineal para asignar los pedidos disponibles en el día a los

vehículos disponibles en dicho día con base en los siguientes criterios:

a. Preferir asignar pedidos a los vehículos de mayor velocidad

b. No superar la capacidad de los vehículos

c. Asignar cada pedido a un solo vehículo

d. No superar la cantidad máxima de pedidos que puede recoger un vehículo, dada por la

proporción entre el número de pedidos y el número de vehículos multiplicado por un factor

de factibilidad.

e. Los vehículos pueden hacer varios viajes para satisfacer la demanda de un mismo pedido

f. La asignación tiene en cuenta la compatibilidad de los pedidos en un mismo vehículo

ii. Rutear los vehículos con base en los pedidos que le fueron asignados y en el destino que tenga

previamente (si aplica), teniendo en cuenta los siguientes criterios

a. Los vehículos recogen los pedidos en orden ascendente

b. Un vehículo transporta un solo pedido a la vez (lo recoge en el punto de origen y lo lleva

al punto destino) y no recoge el siguiente pedido hasta que no transporta la cantidad total

demandada del pedido actual

c. Los desplazamientos entre puntos de origen y destino se definen a través de un modelo de

optimización de costo mínimo.

A continuación, se plantea el modelo de asignación del literal (i) y el algoritmo de ruteo propuesto en la

presente investigación:

6.1.6.1. Asignación inicial de pedidos a vehículos

El objetivo de este modelo es asignar los pedidos a los vehículos más veloces (ecuación 23), de acuerdo

con las siguientes restricciones: las dimensiones del pedido no pueden superar la capacidad del vehículo

al que sea asignado (ecuación 24); todos los pedidos deben ser asignados a un solo vehículo (ecuación

25); la cantidad de pedidos asignados a un vehículo no puede superar el criterio propuesto en la presente

investigación (ecuación 26); los pedidos no compatibles no pueden ser asignados al mismo vehículo

(ecuaciones 27, 28 y 29); la naturaleza de las variables de decisión (ecuaciones 30 y 31). Este modelo da

como resultado una asignación inicial de pedidos del día a los vehículos más veloces disponibles en ese

día. A continuación, se describe la formulación del problema de asignación inicial:

16

Conjuntos



Parámetros

𝑔𝑣: Velocidad de viaje promedio (en km/h) del vehículo v ∈ V


𝑙𝑝: Cantidad de kilogramos demandada del pedido p ∈ P



𝑞: Compatibilidad del pedido p ∈ P con el pedido q ∈ P. Toma valor de uno (1) si son compatibles o cero (0) de lo contrario.

Variables

𝑥𝑝𝑣: {

1 Si el pedido p ∈ P es asignado al vehículo v ∈ V0 dlc

ℎ𝑝𝑣 : Cantidad de viajes del vehículo v ∈ V para transportar la totalidad de demanda del producto p ∈ P

Función objetivo:

min 𝑧 = ∑ ∑ (1

𝑔𝑣

) ℎ𝑝𝑣

𝑣∈𝑉𝑝∈𝑃

(23)

Restricciones

∑ 𝜙𝑝𝑘 ∗ 𝑙𝑝 ∗ 𝑥𝑝

𝑣

𝑝∈𝑃

≤ ∑ 𝑠𝑣𝑘 ∗ ℎ𝑝

𝑣

𝑝∈𝑃

; ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑘 ∈ 𝐾 (24)

∑ 𝑥𝑝𝑣

𝑣∈𝑉

= 1 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 (25)

∑ 𝑥𝑝𝑣

𝑝∈𝑃

≤ max (1 ; 3 ∗|𝑃|

|𝑉|) ; ∀𝑣 ∈ 𝑉 (26)

ℎ𝑝𝑣 ≤ 𝑥𝑝

𝑣 ∗ 𝑀 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (27)

ℎ𝑝𝑣 ≥ 𝑥𝑝

𝑣 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (28)

𝑥𝑝𝑣 + 𝑥𝑞

𝑣 ≤ 1 + 𝑜𝑝𝑞

; ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑞 ∈ 𝑃 | 𝑝 ≠ 𝑞 (29)

ℎ𝑝𝑣 ≥ 0 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (30)

𝑥𝑝𝑣 ∈ {0,1} ; ∀𝑝 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (31)

6.1.6.2. Ruteo de vehículos con la asignación dada

Una vez existe una asignación inicial de pedidos a vehículos, es necesario rutear cada vehículo a través de

la red, atendiendo la demanda de los pedidos asignados y llevando el vehículo a su destino preestablecido

(si aplica). Esta investigación propone entonces el siguiente algoritmo para realizar dicho ruteo para cada

vehículo, dando criterios heurísticos para formar la ruta (orden de recogida y entrega de pedidos) y

utilizando modelos de optimización de ruta más corta para optimizar el tiempo de recorrido entre puntos

17

definidos. Este metamodelo permite generar soluciones lógicas y de buena calidad, y así mejorar el tiempo

computacional del resto de la descomposición. El diagrama general de este algoritmo se presenta en el

Anexo 3:

i. Si el vehículo no tiene pedidos asignado:

a. Si tiene un destino previo, ejecutar un modelo de flujo de redes de costo mínimo con oferta

(+1) en el nodo de origen y demanda (-1) en el nodo destino.

b. Si no tiene un destino previo el vehículo permanece en el nodo de origen.

ii. Si el vehículo tiene pedidos asignados, el vehículo recoge los pedidos de forma ascendente y

solo transporta un pedido a la vez de la siguiente forma:

a. Se ejecuta un modelo de flujo en redes de costo mínimo (ruta más corta) desde el nodo

origen del vehículo hasta el punto de origen del primer pedido.

b. Luego, se ejecuta un modelo de ruta más corta desde el punto de origen del pedido hasta

su destino.

c. Si el vehículo tiene que realizar varios viajes para entregar la totalidad de demanda de ese

pedido:

i. Se ejecuta un modelo de ruta más corta desde el punto de destino el pedido hasta

su origen.

d. Si existe un pedido a recoger posterior:

i. Se ejecuta un modelo de ruta más corta desde el punto destino del pedido actual al

punto de origen del siguiente pedido.

ii. Se repiten los pasos desde (ii-a).

e. Si no existen más pedidos que entregar:

i. Si el vehículo tiene un destino previo:

1. Se ejecuta un modelo de ruta más corta desde el punto destino del pedido

actual hasta el punto destino del vehículo.

ii. Si el vehículo no tiene destino previo, finaliza su ruta en el punto destino del último

pedido entregado.

Los resultados que genera este metamodelo de ruteo de vehículos son las rutas de origen a destino de cada

vehículo y de cada pedido, siendo estas las soluciones iniciales que ingresan al problema maestro como la

primera columna de la matriz de restricciones. El resto de las columnas del problema maestro se generarán

a través de los problemas auxiliares de pedidos y vehículos.

6.2. Modelo de Asignación

6.2.1. Descripción

El modelo de descomposición de Dantzig-Wolfe da como resultado las rutas que sigue cada pedido y cada

vehículo de forma que se cumplan con las demandas de los pedidos y vehículos, se cumplan las

restricciones de capacidad en cada arco y se generen las rutas más eficientes posibles. Sin embargo,

respecto al modelo original, todavía no tiene la certeza de qué pedidos van en qué vehículos en qué tramos

de cada ruta. Es ahí donde tiene cabida el modelo de asignación propuesto en esta investigación, dado que

genera un problema de asignación de pedidos a vehículos en cada arco activo (arcos por donde fluyen

pedidos).

Este planteamiento presenta las siguientes ventajas con respecto al modelo original completo:

18

• Ejecutar modelos de asignación únicamente en los arcos donde ya se sabe que fluyen pedidos y no

en toda la red que se esté analizando.

• Transportar un determinado pedido en diferentes vehículos a lo largo de rutas eficientes

previamente encontradas hasta que toda la demanda es satisfecha en el nodo destino.

A continuación, se presenta la formulación propuesta en esta investigación para el modelo de optimización

lineal para la asignación de pedidos a vehículos en cada arco activo:

6.2.2. Modelos de asignación por arco activo

El objetivo de cada uno de estos modelos de asignación es minimizar la cantidad de asignaciones

realizadas entre pedidos y vehículos (ecuación 32). Esto se puede interpretar como una forma de tratar de

asignar la mayor cantidad de kilogramos de un pedido a la menor cantidad de vehículos posibles, evitando

dividir demasiado los pedidos en los diferentes vehículos disponibles de un arco activo.

Asimismo, cada modelo de asignación (uno por cada arco activo) debe cumplir con las siguientes

restricciones: La totalidad de kilogramos de un pedido debe ser asignado a uno o varios vehículos

(educación 33); las dimensiones de todos los pedidos asignados a un vehículo no deben superar las

dimensiones de capacidad disponibles de dicho vehículo en ese arco (ecuación 34); Pedidos no

compatibles no pueden ser asignados a un mismo vehículo (ecuaciones 35, 36 y 37); naturaleza de las

variables (ecuaciones 38 y 39).

A diferencia de los anteriores modelos, el conjunto de vehículos se reemplaza por el conjunto de viajes de

los vehículos, y este conjunto se obtiene de los resultados de las variables 𝑤𝑖,𝑗𝑣 en el modelo de

descomposición de Dantzig-Wolfe. Esto con el fin de asignar cada pedido a un viaje específico del

vehículo en un arco determinado, en caso de que este haga varios viajes en dicho arco; con esto se garantiza

que la capacidad del viaje soporte realmente el transporte del pedido en un arco dado.

Los resultados que arroja este modelo son las asignaciones de cada pedido a cada viaje de los vehículos

en cada arco activo. De esta forma, es posible saber la ruta que hace cada pedido y en qué vehículo va en

cada trayecto de dicha ruta. La formulación de este modelo se presenta a continuación:

Conjuntos

𝐴′: Conjunto de arcos activos por donde fluyen pedidos

𝑃′: Conjunto de pedidos que fluyen por el arco analizado

𝑉′: Conjunto de viajes de vehículos disponibles que fluyen por el arco analizado


Parámetros

𝑦𝑝(𝑖,𝑗)

: Cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P’ que fluyen a través del arco (i,j) ∈ A’

𝑠𝑣𝑘: Capacidad del viaje v ∈ V’ de tipo k ∈ K

𝜙𝑝𝑘: Factor de conversión del pedido p ∈ P’ al tipo de capacidad k ∈ K


𝑞: Compatibilidad del pedido p ∈ P’ con el pedido q ∈ P’. Toma valor de uno (1) si son compatibles o cero (0) de lo

contrario.

19

Variables

𝑥𝑝,𝑣(𝑖,𝑗)

: Cantidad de kilogramos del pedido p ∈ P’ asignados al viaje v ∈ V’ a través del arco (i,j) ∈ A’

𝑢𝑝,𝑣(𝑖,𝑗)

: {1 Si el pedido p ∈ P es asignado al viaje v ∈ V′ a través del arco (i, j) ∈ A’

0 dlc

Función objetivo

z𝑖,𝑗(𝑖,𝑗)∈𝐴′min = ∑ ∑ 𝑢𝑝,𝑣

(𝑖,𝑗)

𝑣∈𝑉′𝑝∈𝑃′

(32)

Restricciones

∑ 𝑥𝑝,𝑣(𝑖,𝑗)

𝑣∈𝑉′

= 𝑦𝑝(𝑖,𝑗)

; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ (33)

∑ 𝜙𝑝𝑘 ∗ 𝑥𝑝,𝑣

(𝑖,𝑗)

𝑝∈𝑃′

≤ 𝑠𝑣𝑘 ; ∀𝑣 ∈ 𝑉′ ∀𝑘 ∈ 𝐾 (34)


≤ 𝑢𝑝,𝑣(𝑖,𝑗)

∗ 𝑀 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ ∀𝑣 ∈ 𝑉′ (35)


≥ 𝑢𝑝,𝑣(𝑖,𝑗)

; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ ∀𝑣 ∈ 𝑉′ (36)


+ 𝑢𝑞,𝑣(𝑖,𝑗)

≤ 1 + 𝑜𝑝𝑞

; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ ∀𝑞 ∈ 𝑃′ | 𝑝 ≠ 𝑞 (37)


≥ 0 ; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ ∀𝑣 ∈ 𝑉′ (38)


∈ {0,1} ; ∀𝑝 ∈ 𝑃′ ∀𝑣 ∈ 𝑉′ (39)

7. Generación de instancias de prueba

7.1. Construcción de la red vial real

Es necesario construir una red (grafo) para la corrida de instancias de prueba que se base en una red vial

real dentro de Colombia. Esta red debe ser una zona específica y debe considerar el sentido de las vías, su

distancia y distribución geográfica real. La zona específica que se determine para esta investigación

dependerá de los siguientes criterios:

• Las principales fuentes de abastecimiento de productos agrícolas de pequeños productores son

Cundinamarca y Boyacá, por ende, la zona seleccionada debe estar dentro de estos departamentos.

• El foco de esta investigación se centra en el transporte en carreteras primarias y secundarias, no en

transporte de última milla en pueblos y ciudades. En consecuencia, la red escogida debe estar

compuesta por carreteras primarias y secundarias rurales en más de un 80%, permitiendo centrar

las soluciones de las variables de decisión en escoger las carreteras a transitar por los vehículos y

pedidos y no centrar el esfuerzo computacional en definir si el transporte se hace en una calle y

otra dentro de una zona urbana.

• La red debe contener múltiples opciones de ruta entre varias zonas para que sea de interés aplicar

los modelos de optimización; aplicar los modelos en zonas con sólo una opción de carretera

principal no es práctico ni retador para probar los modelos de optimización

• La red debe incluir la mayor cantidad de pueblos, municipios y veredas.

20

• El tamaño de la red (número de nodos y arcos) debe ser lo suficientemente grande para tener varias

opciones y ruta, pero debe ser de un tamaño que permita ejecutar los modelos de optimización de

las instancias que se propongan en un tiempo computacional razonable.

Con base en estos criterios, y después de realizar varias pruebas con las instancias que se proponen en el

Anexo 4 con varias zonas del departamento de Cundinamarca y Boyacá, se define la siguiente red:

Nombre de la red: Municipios aledaños al municipio de Bojacá

Área de cubrimiento: 150 km2

Número de poblaciones: 22

Número de nodos: 201

Número de arcos: 528

Distribución geográfica de la red: Figura 6a

Distribución poblaciones en la red: Figura 6b

A esta red inicial, es necesario adicionar un nodo ficticio y conectarlo en un solo sentido a todos los nodos

de la red original: el sentido va desde un nodo de la red original hacia el nodo ficticio y la distancia de

estos arcos creados es de 0 kilómetros. Esta modificación se realiza para poder garantizar que todos los

vehículos tienen un destino, es decir, que todos los vehículos que no tengan un destino preestablecido se

les asignará como destino el nodo ficticio, y así garantizar el funcionamiento de los modelos de

optimización planteados anteriormente. Con esta modificación, el tamaño de la red (grafo) final para la

corrida de instancias es:

Número de nodos final: 202

Número de arcos final: 729

Figura 6 – (a) Distribución geográfica de la red. (Librería osmnx, Python, 2019); (b) Distribución

geográfica de las poblaciones contenidas en la red. (Elaboración propia)

21

7.2. Construcción de instancias de prueba para la corrida de modelos

Una vez se tiene creada la red sobre la cual se van a ejecutar los modelos de optimización, es necesario

crear las instancias de prueba para un día de planeación. Esta investigación sigue los siguientes pasos para

la creación de instancias:

i. Definir 10 puntos de origen distribuidos en toda la red, a través de coordenadas (latitud, longitud).

Estos representan la ubicación geográfica de pequeños agricultores.

ii. Definir 10 puntos de destino distribuidos en toda la red, a través de coordenadas (latitud, longitud).

Estos representan la ubicación geográfica de clientes.

iii. Definir la cantidad de pedidos a transportar

iv. Para cada pedido:

a. Escoger un producto agrícola para el pedido del Anexo 5

b. Definir una cantidad en kilogramos (kg) y metros cúbicos (m3) que ocupa el pedido

c. Calcular el factor de conversión siendo 1 para peso y la división entre metros cúbicos y

kilogramos para volumen

d. Escoger un pequeño agricultor (origen) y un cliente (destino)

e. La cantidad demandada es la misma cantidad de kilogramos, asignando la cantidad con

signo positivo al origen y la cantidad con signo negativo al destino

v. Cuando se tengan definidos todos los pedidos, se extrae la matriz de compatibilidades de acuerdo

con la categorización de productos propuesta por (UC Postharvest Technology Center, 2019)

vi. Para cada vehículo:

a. Seleccionar el tipo de vehículo de acuerdo con la lista del Anexo 6

b. Definir un punto de origen (latitud, longitud) dentro de la red establecida

c. Definir un punto de destino (latitud, longitud) dentro de la red establecida. Si no se quiere

un vehículo con destino preestablecido, se define el destino con coordenadas (0,0) (nodo

ficticio)

d. Seleccione la cantidad de kilogramos disponibles. Si el vehículo no tiene un destino

preestablecido se asume que tiene toda la capacidad de carga disponible

e. La disponibilidad en volumen (en m3) de cada vehículo se calcula con base en el Anexo 6

f. La velocidad promedio (en km/h) se extrae del Anexo 6.

g. La oferta del punto de origen será igual a (+1) y la demanda en el punto de destino será

igual a (-1)

vii. Cuando se tengan definidos todos los vehículos disponibles para la planeación, se calcula el

parámetro de factor de conversión medio: es el inverso de la multiplicación entre el promedio de

las velocidades (en km/h) de los vehículos disponibles y la capacidad de peso (en kg) de dichos

vehículos.

Con base en estos pasos, esta investigación propone las instancias del Anexo 4, con el fin de evaluar la

calidad de las soluciones y los tiempos de ejecución computacional del modelo completo y el modelo de

descomposición, en diferentes escenarios. Estas instancias se crean variando el número de vehículo

disponibles y el número de pedidos disponibles. Adicionalmente, cada combinación de número de pedidos

y vehículos tiene dos instancias con el fin de analizar la influencia de las compatibilidades en el tiempo

de ejecución de los modelos y el cambio de orígenes y destinos de los pedidos, por lo cual la instancia

terminada en “1” será una instancia con la mayoría de los pedidos compatibles entre sí para su transporte,

y la instancia terminada en “2” tendrá una baja compatibilidad de pedidos entre sí para su transporte.

22

8. Resultados computacionales

8.1. Características de ejecución

Los modelos de optimización se desarrollan en el lenguaje de programación Python 3.7. y utilizando el

optimizador Gurobi 8.1.1. para resolver los problemas de optimización. Las características de la máquina

en la cual se ejecutan todas las instancias de prueba son: procesador Intel® Core™ i7; memoria RAM de

12GB; disco duro de estado sólido (SSD) de 1TB.

Las instancias de prueba son ejecutadas en serie, es decir, que una instancia se ejecuta hasta que la anterior

haya finalizado. Sus resultados son guardados en una base de datos para su presentación y posterior

análisis. El tiempo máximo de ejecución para cada instancia de prueba es de 3.5 días.

8.2. Resultados de los modelos

En el Anexo 7 se muestran los resultados obtenidos para cada una de las 65 instancias solucionadas a

través del modelo completo y el modelo de descomposición propuesto. Los resultados del modelo de

descomposición se discriminan en el tiempo de ejecución de la inicialización, el tiempo de ejecución de

la descomposición de Dantzig-Wolfe y el tiempo de ejecución del modelo de asignación, con el fin de

analizar el desempeño de los modelos, analizar cuellos de botella y recomendaciones futuras de aplicación.

Este anexo muestra también una proporción entre el tiempo total del modelo de descomposición en

comparación con el tiempo de ejecución del modelo completo.

Estos resultados permiten validar el correcto planteamiento y funcionamiento de los modelos de

optimización propuestos en las 65 instancias planteadas y permiten hacer análisis desde diferentes puntos

de vista.

8.2.1. Modelo completo Vs. Modelo de descomposición

El modelo de descomposición pudo tener resultados óptimos para las 65 instancias propuestas dentro del

límite de tiempo máximo establecido para cada instancia, mientras que el modelo completo sólo pudo

tener resultados óptimos en el 55.38% de estas. Adicionalmente, de las 36 instancias que pudo solucionar

el modelo completo, sólo en 9 de ellas el tiempo de ejecución fue más bajo que en el modelo de

descomposición, es decir, que el modelo completo es un modelo eficiente para instancias donde la suma

de pedidos y vehículos no mayor a 6. Para instancias mayores, el modelo de descomposición genera

mejores resultados en términos de eficiencia computacional.

Por otro lado, de las 36 instancias donde es posible comparar ambos modelos, el valor de la función

objetivo de cada instancia fue el mismo tanto para el modelo completo como para el modelo de

descomposición, lo cual permite asegurar que el modelo de descomposición genera soluciones óptimas

para estas instancias y muy probablemente para las instancias más grandes.

La brecha entre los tiempos de ejecución del modelo completo y el modelo de descomposición se observan

en las Gráficas 1 y 2, donde se observa la eficiencia del modelo completo en las instancias más pequeñas

y la eficiencia del modelo de descomposición en instancias grandes.

23

(a) (b)

Gráfica 1 – Tiempos de ejecución (en segundos) del modelo completo y modelo de descomposición en

(a) las instancias de la 1 a la 12; (b) las instancias de la 13 a la 36 ( Elaboración propia)

8.2.2. Relación entre pedidos y vehículos

Uno de los resultados más interesantes de la corrida de las instancias planteadas es que permite observar

ciertas generalidades:

• Los tiempos de ejecución en instancias donde hay mayor número de pedidos que de vehículos son

mayores en comparación a instancias del mismo tamaño con un número de vehículos mayor o

igual al número de pedidos. Esto se debe a que los trayectos de los vehículos (variables enteras en

el modelo) en instancias con mayor número de pedidos que de vehículos son mucho más largas,

lo cual aumenta el número de ramificaciones en el Branch & Price si el modelo no encuentra, desde

el inicio de la solución, soluciones enteras, afectando así el tiempo computacional.

• Entre mayor sea el número de pedidos y vehículos mayor será el tiempo de ejecución de las

inicializaciones y el tiempo de ejecución de los problemas auxiliares. Esto se debe a que las

inicializaciones buscan generar rutas a vehículos pasando por todos los pedidos y, por ende, su

tiempo de ejecución aumenta a medida que los pedidos y vehículos aumentan; y a que la cantidad

de problemas auxiliares de resolver son directamente proporcionales al número de pedidos y

vehículos, es decir, que hay tantos problemas auxiliares como vehículos y pedidos existan en la

instancia.

• Las instancias donde el número de vehículos es superior al número de pedidos se resuelven en un

tiempo menor con respecto a instancias del mismo tamaño, pero con el mismo número de vehículos

y pedidos.

8.2.3. Distribución promedio del tiempo en el modelo de descomposición

El tiempo de ejecución del modelo de descomposición se distribuye en las diferentes inicializaciones que

el modelo hace a través del Branch & Price, así como de los diferentes problemas maestros y problemas

auxiliares que se ejecutan a través de cada iteración y de cada ramificación del Branch & Price. La

distribución promedio del tiempo de ejecución se puede observar en la Gráfica 3.

24

Gráfica 3 – Distribución promedio del tiempo de ejecución del modelo de descomposición

La mayor cantidad de tiempo de ejecución en el modelo de descomposición se encuentra en los problemas

auxiliares (69.72%) y en las inicializaciones (28.47%). Si se analiza nuevamente la estructura de los

problemas auxiliares, se encuentra que es son modelos de ruta más corta, por lo cual son modelos

altamente eficientes a nivel de ejecución computacional. Por su parte, el modelo de inicialización es un

metamodelo que no necesariamente es el modelo más eficiente dado que se diseña pensando en obtener

una solución factible inicial más que en una eficiencia de ejecución computacional. Lo anterior, permite

observar oportunidades de aumento de eficiencia computacional en el modelo de inicialización, pero no

en los problemas auxiliares.

Sin embargo, más allá de la distribución del tiempo, la verdadera oportunidad está en la cantidad de tiempo

que se requiere para solucionar el modelo de descomposición, que hace que se tengan que realizar muchas

inicializaciones y muchas ejecuciones de cada problema auxiliar. Esta investigación propuso un método

de solución Branch & Price para encontrar la solución óptima. Esto implica un gran tiempo de ejecución

computacional para hallar la solución óptima. Así que una forma de reducir los tiempos de ejecución del

modelo de descomposición es analizar la posibilidad de reducir tiempos de ejecución sacrificando la

calidad de las soluciones, a través de establecer un gap superior al 0%. Esto permitiría reducir el número

de ramificaciones que Brach & Price realiza y, por ende, el tiempo de ejecución del modelo.

Los tiempos de ejecución en los problemas maestros y en los modelos de asignación no son lo

suficientemente significativos para realizar esfuerzos adicionales en la disminución del tiempo de

ejecución más allá de lo que esta investigación propone.

8.2.4. Compatibilidad de los pedidos en las instancias

Los resultados del Anexo 7 permiten observar que la compatibilidad para el transporte entre pedidos no

afecta significativamente el tiempo de ejecución computacional, pero si afecta el valor de las funciones

objetivo. En términos generales, en el 100% de los casos las instancias con una menor compatibilidad

entre pedidos (instancias terminadas en “2”) presentan un valor de función objetivo superior a las

instancias con una mayor compatibilidad (instancias terminadas en “1”) y con el mismo número de pedidos

y vehículos. Esto se explica porque las compatibilidades entre pedidos son limitaciones en el transporte,

es decir, que si una solución óptima de una instancia dada es transportar dos pedidos en un mismo trayecto

y estos pedidos no son compatibles, el modelo no podrá realizar esa solución sino una con un mayor

25

tiempo de recorrido. En promedio, las limitaciones de compatibilidad entre pedidos aumentan el valor de

la función objetivo en un 19.75%.

9. Conclusiones

La presente investigación propone un trabajo que rescata los elementos más relevantes del contexto

colombiano, los integra con los aportes de la literatura mediante la adopción los métodos que se consideran

pertinentes para aplicar y los soporta con las recomendaciones futuras de varios autores que han trabajado

con anterioridad el tema.

Gracias a la presente investigación se puede concluir que: una metodología con un horizonte de planeación

de 3 días evita reprogramaciones por cambios en disponibilidades de pedidos, vehículos y cantidades, de

acuerdo con el contexto colombiano; los resultados demuestran que ambos modelos pueden resolver

diferentes instancias de prueba y que son funcionales en redes de transporte geográficas reales; el modelo

completo solamente es eficiente para instancias donde la suma de vehículos y pedidos no sea superior a

seis. Para instancias más grandes, el modelo de descomposición es más eficiente y, por ende, mejor en

términos generales en comparación con el modelo completo; la mayor cantidad del tiempo de ejecución

en el modelo de descomposición se da en las inicializaciones (28.47%) y en los problemas auxiliares

(69.72%), dado que están afectados proporcionalmente al número de pedidos y vehículos; el tiempo de

ejecución del modelo de asignación es prácticamente irrelevante (0.02%), dado que se aplica solamente a

los arcos activos en la solución óptima; la metodología propuesta y los modelos de optimización permiten

plantear y abrir un campo de investigación en el uso de redes de transporte existentes para el transporte de

productos agrícolas de pequeños productores; se evidencia la importancia e impacto que tiene el uso de

modelos de descomposición que aprovechen las estructuras de los modelos de optimización completos

para su aplicación en instancias grandes; se refleja la viabilidad de solución de problemas en redes viales

geográficas reales a través del uso de software especializado, de forma que los problemas de investigación

se apliquen en contextos reales.

10. Recomendaciones futuras

Este trabajo se realiza con base en unos supuestos claramente definidos que acotan el problema de

investigación y permiten dar una propuesta de solución que contemple características reales del contexto.

Sin embargo, el campo de acción todavía es muy amplio y la cantidad de variables a incluir para enriquecer

este trabajo son infinitas. Entre las que este trabajo pretende resaltar, se encuentran: analizar el transporte

de pedidos que no necesariamente tengan relaciones comerciales preestablecidas; incluir factores

estocásticos de riesgos en la confirmación de pedidos y disponibilidades de vehículos; en el modelo de

descomposición, analizar otro tipo de inicializaciones que busquen soluciones de mayor calidad

permitiendo reducir el número de iteraciones de la descomposición de Dantzig-Wolfe; en el modelo de

descomposición, hacer estudios para establecer un gap que permitan reducir significativamente el tiempo

de ejecución del método Branch & Bound sin sacrificar excesivamente el valor de la función objetivo;

desarrollo de meta-heurísticas que permitan compararse con las soluciones óptimas de las instancias

planteadas y evaluar los beneficios en tiempo computacional; incluir análisis de empaques para el

transporte: cubicación de los pedidos; diseños de empaques (compatibilidades, transportes no

especializados); implementación de modelos de programación (scheduling) con ventanas de tiempo para

establecer horas específicas de recogida y entrega en cada uno de los puntos de origen y destino, así como

en los puntos donde existe transbordo de mercancía.

26

Anexos

Anexo 1 – Esquema general del transporte actual de productos agrícolas de pequeños productores

a clientes institucionales (Elaboración propia)

Anexo 2 – Taxonomía de la revisión de literatura. (Elaboración propia)

Autor a b c d e f g h i j k l m

(Hasuike, Kashima, & Matsumoto, 2018) x x x

(Audouin, Bergez, & Therond, 2019) x

(Dellino, Mari, & Meloni, 2017) x x

(Ren et al., 2015) x x x x x

(Srivastava, Chaudhuri, & Srivastava,

2015) x x x x

(Tromp, Rijgersberg, Pereira Da Silva, &

Bartels, 2012) x x

(Sun, Liang, et al., 2019) x x

(Zeballos, Méndez, & Barbosa-Povoa,

2016) x x

(Dullaert & Zamparini, 2013) x

(Zhang et al., 2017) x x x x

(Ghaderi, Pishvaee, & Moini, 2016) x x

(Lukinskiy, Lukinskiy, & Merkuryev,

2018) x x x

(Karimi & Bashiri, 2018) x x

(Sun, Li, Liang, & Zhang, 2019) x x

(Kazemi & Szmerekovsky, 2015) x x x x x

(Gomes et al., 2016) x x x x x x

(Liotta et al., 2016) x x x x

27

Autor a b c d e f g h i j k l m

(Naraharisetti, Karimi, & Srinivasan,

2009) x

(Gokarn & Kuthambalayan, 2019) x x

(J. Orjuela-Castro & Adarme-Jaimes,

2018) x x x x

(Soysal et al., 2015) x x

(Yang et al., 2017) x x x x

(Galal & El-Kilany, 2016) x x

(Hajikhani, Khalilzadeh, & Sadjadi,

2018) x x x x x

(Jianjun Yu & Zhu, 2015) x x

(Borodin, Bourtembourg, Hnaien, &

Labadie, 2016) x

(Jonkman, Barbosa-Póvoa, & Bloemhof,

2019) x x x x

(Juan Yu, Gan, Ni, & Chen, 2018) x x x x

(Liu & Lee, 2019) x x

(Thomson et al., 2017) x x

(Van Der Vorst, Tromp, & Van Der Zee,

2009) x x

(Begen, Pun, & Yan, 2016) x

(Routroy & Behera, 2017) x x

(Rong, Akkerman, & Grunow, 2011) x x x

(Patidar et al., 2018) x x x

(J. A. Orjuela-Castro, Herrera-Ramírez,

& Adarme-Jaimes, 2017) x x x x x

(Castro, Casilimas, & Ramirez, 2015) x x x x

(J. A. Orjuela-Castro et al., 2016) x x x x x

(Gonzalez-L, Adarme-Jaimes, & Orjuela-

Castro, 2015) x x x x x x

(Castro & Jaimes, 2017) x x x x x

(Vanderbeck, 2000) x x

(Létocart, Nagih, & Touati-Moungla,

2012) x x x

(Fadaei, 2015) x x

(Desaulniers et al., 2005) x x x

(Reyes, Erera, Savelsbergh,

Sahasrabudhe, & O’neil, 2018) x x x x x x

(Yildiz & Savelsbergh, 2019) x x x x

(Manerba, Mansini, & Riera-Ledesma,

2017) x x x x

28

Anexo 3 – Esquema general del algoritmo de ruteo de vehículos de la inicialización. (Elaboración

propia)

29

Anexo 4 – Instancias de prueba generadas para la presente investigación. (Elaboración propia)

No. Instancia Pedidos Vehículos No. Instancia Pedidos Vehículos No. Instancia Pedidos Vehículos

1 1-1-1 1 1 23 3-10-1 3 10 45 50-10-1 50 10

2 1-1-2 1 1 24 3-10-2 3 10 46 50-10-2 50 10

3 1-3-1 1 3 25 10-3-1 10 3 47 20-50-1 20 50

4 1-3-2 1 3 26 10-3-2 10 3 48 20-50-2 20 50

5 3-1-1 3 1 27 5-10-1 5 10 49 50-20-1 50 20

6 3-1-2 3 1 28 5-10-2 5 10 50 50-20-2 50 20

7 1-5-1 1 5 29 10-5-1 10 5 51 50-50-1 50 50

8 1-5-2 1 5 30 10-5-2 10 5 52 50-50-2 50 50

9 3-3-1 3 3 31 10-10-1 10 10 53 10-100-1 10 100

10 3-3-2 3 3 32 10-10-2 10 10 54 10-100-2 10 100

11 5-1-1 5 1 33 5-20-1 5 20 55 100-10-1 100 10

12 5-1-2 5 1 34 5-20-2 5 20 56 100-10-2 100 10

13 3-5-1 3 5 35 20-5-1 20 5 57 20-100-1 20 100

14 3-5-2 3 5 36 20-5-2 20 5 58 20-100-2 20 100

15 5-3-1 5 3 37 10-20-1 10 20 59 100-20-1 100 20

16 5-3-2 5 3 38 10-20-2 10 20 60 100-20-2 100 20

17 5-5-1 5 5 39 20-10-1 20 10 61 50-100-1 50 100

18 5-5-2 5 5 40 20-10-2 20 10 62 50-100-2 50 100

19 1-10-1 1 10 41 20-20-1 20 20 63 100-50-1 100 50

20 1-10-2 1 10 42 20-20-2 20 20 64 100-50-2 100 50

21 10-1-1 10 1 43 10-50-1 10 50 65 100-100-1 100 100

22 10-1-2 10 1 44 10-50-2 10 50

Anexo 5 – Tipos de productos agrícolas contemplados

Producto Grupo Tipo Producto Grupo Tipo

Alfalfa 1 V Granada 1 F

Amaranto 1 V Ciruela pasa 1 F

Anís 1 V Membrillo 1 F

Alcachofa 1 V Frambuesa 1 F

Rúcula 1 V Fresa 1 F

Espárrago 1 V Albahaca 2 V

Frijol 1 V Hoja de cactus (nopal) 2 V

Remolacha 1 V Calabaza 2 V

Endibia belga 1 V Chayote 2 V

Col china 1 V Caupí (guisante del sur) 2 V

Brócoli 1 V Pepino 2 V

Brocoliflor 1 V Berenjena 2 V

Col de Bruselas 1 V Melón de cuernos 2 V

Repollo 1 V Frijol largo 2 V

Zanahoria 1 V Malanga 2 V

Coliflor 1 V Okra 2 V

Apio 1 V Ají 2 V

Acelga 1 V Calabacín 2 V

Nabo Chino 1 V Tomatillo 2 V

30


Brassica oleracea 1 V Frijol Alado 2 V

Maíz 1 V Aguacate verde 2 F

Vegetales cortados 1 V Babaco 2 F

Rábano de invierno 1 V Cactus 2 F

Endibia 1 V Calamondina 2 F

Escarola 1 V Carambola 2 F

Hinojo 1 V Chirimoya 2 F

Ajo 1 V Durian 2 F

Cebolla verde 1 V Feijoa 2 F

Hierbas 1 V Granadilla 2 F

Rábano 1 V Pomelo 2 F

Tupinambo 1 V Guayaba 2 F

Col verde china 1 V Juan canario melón 2 F

Col rizada 1 V Naranja china 2 F

Colinabo 1 V Limón 2 F

Puerro 1 V Lima 2 F

Lechuga 1 V Lima-Kumquat 2 F

Menta 1 V Mandarín 2 F

Seta 1 V Aceituna 2 F

Hojas de mostaza 1 V Naranja 2 F

Perejil 1 V Maracuyá 2 F

Chirivía 1 V Piña 2 F

Radicchio 1 V Pummelo 2 F

Nabo sueco 1 V Manzana de azúcar 2 F

Ruibarbo 1 V Tomate de árbol (Tamarillo) 2 F

Salsifí 1 V Tamarindo 2 F

Escorzonera 1 V Naranja Tangelo 2 F

Chalote 1 V Mandarina 2 F

Arveja 1 V Sandía 2 F

Espinaca 1 V Melón amargo (Tomaco) 3 V

Guisante dulce 1 V Boniato 3 V

Nabo 1 V Mandioca 3 V

Nabo Verde 1 V Cebolla seca 3 V

Castaña de agua 1 V Jengibre 3 V

Berro 1 V Jícama 3 V

Manzana 1 F Calabaza de papa 3 V

Albaricoque 1 F Batata dulce 3 V

Aguacate maduro 1 F Taro (Dasheen) 3 V

Cereza Barabados 1 F Tomate 3 V

Mora 1 F Batata 3 V

Arándano 1 F Papa 3 V

Zarza 1 F Yuca 3 V

Caimito 1 F Acrracacha 3 V

31


Cantalupo 1 F Atemoya 3 F

Anacardo 1 F Plátano 3 F

Cereza 1 F Panapen 3 F

Grosella de coco 1 F Canistel 3 F

Fruta cortada 1 F Melón Casaba 3 F

Baya de gota 1 F Melón Crenshaw 3 F

Saúco 1 F Melón Rocío de Miel 3 F

Higo 1 F Jabolicaba 3 F

Uva espina 1 F Nanjea (Yaca) 3 F

Uva 1 F Zapote mamey 3 F

Kiwi 1 F Mango 3 F

Ojo de dragón 1 F Mangostino 3 F

Mora-Frambuesa 1 F Papaya 3 F

Lychee 1 F Melón persa 3 F

Nectarina 1 F Banano 3 F

Melocotón 1 F Rambután 3 F

Pera 1 F Chicozapote 3 F

Caqui 1 F Zapote 3 F

Ciruela 1 F Guanábana 3 F

Anexo 6 – Tipos de vehículos contemplados

Tipo Vehículo Capacidad

(Kg) Capacidad (m3) Velocidad (km/h)

Turbo 4200 23 55

Sencillo 8500 40 50

Mini mula (1 eje) 12000 57 50

Doble Troque 17000 43 45

Patineta 17000 70 45

Mini mula (2 ejes) 19000 68 45

Cuatro manos 22000 47 45

Mini mula (3 ejes) 25000 73 40

Tractomula 2 ejes 32000 70 40

Tractomula 3 ejes 35000 70 40

(Ditransa, 2019; Logística Total, 2019; TCC, 2019)

32

Anexo 7 – Resultados computacionales del modelo de optimización completo y del modelo de

descomposición propuesto. (Elaboración propia)

Instancia z

Modelo de Descomposición

Modelo

completo

(s)

Completo

Vs.

Descomp.

(%)

Dantzig-Wolfe

Asignación

(s)

Total

modelo

descomp.

(s)

Inicializaciones

(s)

P. Maestros

(s)

P.

Auxiliares

(s)

Total

(s)

1-1-1 0.25888 5.6 0.16 7.23 12.99 0.01 13 1.1 1081.82%

1-1-2 0.70639 6.55 0.19 8.55 15.29 0.01 15.3 1.28 1095.31%

1-3-1 1.46467 8.69 0.2 13.55 22.44 0.01 22.45 15.99 40.40%

1-3-2 1.49337 10.9 0.25 17.08 28.23 0.01 28.24 3.46 716.18%

3-1-1 1.97859 28.66 2.97 77.19 108.82 0.01 108.83 5 2076.60%

3-1-2 2.13464 37.26 4.63 93.66 135.55 0.01 135.56 121.55 11.53%

1-5-1 2.02984 11.89 0.24 20.07 32.2 0.01 32.21 77.63 -58.51%

1-5-2 2.05853 14.7 0.59 43.58 58.87 0.01 58.88 4.8 1126.67%

3-3-1 2.52627 18.7 1.19 64.54 84.43 0.01 84.44 835.36 -89.89%

3-3-2 2.82633 26.18 1.62 98.75 126.55 0.01 126.56 890.62 -85.79%

5-1-1 2.5552 54.96 4.53 157.75 217.24 0.01 217.25 168.46 28.96%

5-1-2 3.21152 73.64 5.76 224.57 303.97 0.01 303.98 137.09 121.74%

3-5-1 2.96213 225.47 10.35 328.99 564.81 0.01 564.82 12610.14 -95.52%

3-5-2 3.62563 160.1 12.13 327.25 499.48 0.01 499.49 11024.78 -95.47%

5-3-1 4.96243 154.09 14.23 429.59 597.91 0.08 597.99 12145.08 -95.08%

5-3-2 5.12523 173.61 20.21 471 664.82 0.05 664.87 12725.71 -94.78%

5-5-1 3.45612 361.27 32.04 330.86 724.17 0.09 724.26 21454.42 -96.62%

5-5-2 4.40102 300.16 33.56 412.08 745.8 0.02 745.82 20738.84 -96.40%

1-10-1 3.74345 24.51 0.82 252.34 277.67 0.04 277.71 5256.11 -94.72%

1-10-2 5.28144 40.06 1.42 284.83 326.31 0.01 326.32 5273.76 -93.81%

10-1-1 6.62142 102.72 9.48 286.4 398.6 0.06 398.66 9788.23 -95.93%

10-1-2 7.14515 135.74 13.47 380.66 529.87 0.03 529.9 10414.13 -94.91%

3-10-1 4.55755 73.52 19.45 657.03 750 0.11 750.11 25724.11 -97.08%

3-10-2 6.55183 120.19 19.27 654.49 793.95 0.02 793.97 27134.83 -97.07%

10-3-1 8.06213 308.17 28.45 859.19 1195.81 0.16 1195.97 34178.15 -96.50%

10-3-2 8.72681 407.22 40.41 1141.99 1589.62 0.1 1589.72 32925.05 -95.17%

5-10-1 4.95123 122.54 4.08 461.71 588.33 0.18 588.51 93709.92 -99.37%

5-10-2 6.10256 200.32 7.11 424.15 631.58 0.03 631.61 100154.84 -99.37%

10-5-1 8.72412 513.62 47.42 1431.98 1993.02 0.27 1993.29 177845.22 -98.88%

10-5-2 8.823 678.7 67.35 1903.32 2649.37 0.17 2649.54 187075.26 -98.58%

10-10-1 7.69342 245.08 8.16 823.43 1076.67 0.36 1077.03 267836.08 -99.60%

10-10-2 9.41334 400.64 14.22 948.31 1363.17 0.06 1363.23 261193.44 -99.48%

5-20-1 9.52323 245.08 8.16 523.43 776.67 0.36 777.03 229168.85 -99.66%

5-20-2 10.2525 400.64 14.22 848.31 1263.17 0.06 1263.23 225632.15 -99.44%

20-5-1 12.2569 1027.24 94.84 2863.95 3986.03 0.55 3986.58 299145.7 -98.67%

20-5-2 14.5471 1357.4 134.7 3806.63 5298.73 0.34 5299.07 301643.16 -98.24%

10-20-1 11.1354 490.15 16.33 1046.85 1553.33 0.71 1554.04 - -

10-20-2 12.6157 801.28 28.44 1696.61 2526.33 0.13 2526.46 - -

20-10-1 15.3546 2054.47 189.68 5727.9 7972.05 1.09 7973.14 - -

20-10-2 15.7255 2714.79 269.39 7613.27 10597.5 0.69 10598.14 - -

20-20-1 13.6346 980.3 32.66 2093.7 3106.66 1.42 3108.08 - -

20-20-2 18.0012 1602.56 56.88 3393.22 5052.66 0.25 5052.91 - -

10-50-1 21.6214 1225.38 40.82 2617.13 3883.33 1.78 3885.11 - -

10-50-2 27.1252 2003.2 71.1 4241.53 6315.83 0.32 6316.15 - -

50-10-1 30.0243 5136.18 474.2 14319.75 19930.1 2.73 19932.86 - -

33

Instancia z

Modelo de Descomposición

Modelo

completo

(s)

Completo

Vs.

Descomp.

(%)

Dantzig-Wolfe

Asignación

(s)

Total

modelo

descomp.

(s)

Inicializaciones

(s)

P. Maestros

(s)

P.

Auxiliares

(s)

Total

(s)

50-10-2 31.0142 6786.98 673.48 19033.17 26493.6 1.72 26495.35 - -

20-50-1 27.3657 2450.76 81.64 5234.26 7766.66 3.56 7770.22 - -

20-50-2 35.8933 4006.41 142.2 8483.05 12631.7 0.63 12632.29 - -

50-20-1 36.4022 10272.37 948.4 28639.5 39860.3 5.47 39865.74 - -

50-20-2 37.2122 13573.97 1346.97 38066.33 52987.3 3.43 52990.7 - -

50-50-1 37.2435 6126.89 204.09 13085.65 19416.6 8.89 19425.52 - -

50-50-2 43.2825 10016.01 355.5 21207.63 31579.1 1.58 31580.72 - -

10-100-1 39.6242 2450.76 81.64 5234.26 7766.66 3.56 7770.22 - -

10-100-2 46.2179 4006.41 142.2 8483.05 12631.7 0.63 12632.29 - -

100-10-1 63.8242 10272.37 948.4 28639.5 39860.3 5.47 39865.74 - -

100-10-2 66.9243 13573.97 1346.97 38066.33 52987.3 3.43 52990.7 - -

20-100-1 44.4621 4901.51 163.27 10468.52 15533.3 7.11 15540.41 - -

20-100-2 52.824 8012.81 284.4 16966.1 25263.3 1.27 25264.58 - -

100-20-1 61.2354 20544.73 1896.8 57279 79720.5 10.93 79731.46 - -

100-20-2 67.2572 27147.93 2693.93 76132.67 105975 6.87 105981.4 - -

50-100-1 58.5213 12253.78 408.19 26171.3 38833.3 17.78 38851.05 - -

50-100-2 60.0105 20032.03 711 42415.25 63158.3 3.17 63161.45 - -

100-50-1 93.1116 51361.83 4742 143197.5 199301 27.33 199328.66 - -

100-50-2 97.1439 67869.83 6734.83 190331.67 264936 17.17 264953.5 - -

100-100-1 71.6546 24507.56 816.37 52342.59 77666.5 35.56 77702.08 - -

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Metodología de optimización para la planeación del