MTODOS CERRADOSEste captulo trata sobre races de ecuaciones con mtodos que aprovechan el hecho de que una funcin en forma tpica cambia de signo en la vecinda de una raz. A esas tcnicas de se les llama mtodos cerrados o de intrvalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar sobre cualquier lado de la raiz. Los mtodos partculares descritos respecto a este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemticamente el tamao del intrvalo y as converger a la respuesta correcta. Como prembulo de estas tcnicas se discutirn los mtodos grficos para representar funciones y sus races. Adems de la utilidad de los mtodos grficos para determinar valores iniciales, tambin son tiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los mtodos numricos. 1. MTODOS GRFICOS Un mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacion f(x) = 0, consiste en graficar la funcion y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para la cual f(x) = 0, proporciona una aproximacin inicial de la raiz. EJEMPLO 01: Use la aproximacin grfica para determinar el coeficiente de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velociad de 40 m/s despus de una caida libre de t = 10 s. Nota: la aceleracin de la gravedad es 9.8 m/s2 SOLUCIN: Este problema se puede resolver con la ecuacion: parmetros t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1 usando los

o Diversos valores de c pueden sustituirse en el lado derecho de esta ecuacin para calcular

c 4 8 12 16 20

F(c) 34.115 17.653 6.067 -2.269 -8.401

La curva resultante cruza el eje c entre 12 y 16. Un vistazo a la grfica proporciona una aproximacin a la raz de 14.75. La validez de la aproximacin visual se verefica sustituyendo su valor en la ecuacin calculada para obtener

Que est cercano a cero. Tambin se verifica por sustitucin en la ecuacin inicial junto con el valor de los parmetros de este ejemplo para dar

Que es muy cercano a la velocidad de cada deseada de 40 m/s EJEMPLO 02: Las grficas por computadora facilitan y mejoran la localizacin de las races de una ecuacin. La funcin f(x) = sen 10x + cos 3x tiene varias races en el rango que va de x= 0 a x = 5. Utilice grficas por computadora para comprender mejor el comportamiento de esta funcin. SOLUCION: Realizaremos un escalamiento progresivo de f(x) = sen 10x `cos 3x mediante la computadora. Estas grficas interactivas le permiten al analista determinar que existen dos races distintas entre x = 4.2 y x = 4.3

Para generar grficas se usan paquetes como Excel y MATLAB. En la figura (a) se representa la grfica de f(x) desde x = 0 hasta x = 5. La grfica muestra la existencia de varias races, incluyendo quizs una doble raiz alrededor de x=4.2, donde f(x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripcin ms detallada del comportamiento de f(x) cambiando el rango de graficacin desde x = 3 hasta x = 5, como se muestra en la figura (b). Finalmente, en la figura (c), se reduce la escala vertical, de f(x) = -0.15 a f(x) = 0.15, y la escala horizontal se reduce, de x=4.2 a x=4.3. Esta grfica muestra claramente que no existe una doble raz en esta regin y que, en efecto, hay dos races diferentes entre x = 4.23 y x = 4.26. Las grficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los mtodos numricos. Esta posibilidad tambin puede tener muchas aplicaciones en otras materias de la escuela, as como en las actividades profesionales. 2. EL MTODO DE BISECCIN El mtodo de biseccin, conocido tambin como corte binario, de particin de ntrvalos o de Bolzano, es un tipo de bsqueda incremental en el que el intrvalo se divide siempre a la mitad. Si la funcin cambia de signo sobre un intrvalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio. La posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del subintrvalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin. En el siguiente ejemplo utilizaremos clculos reales, involucrados en el mtodo. EJEMPLO 03 Emplee el mtodo de biseccin para resolver el mismo problema que se resolvi usando el mtodo grfico del ejemplo 01. SOLUCIN El primer paso del mtodo de biseccin consiste en asignar dos valores iniciales a la incgnita (en este problema, c) que den valores de f(c) con diferentes signos. En la figura del primer ejemplo e observa que la funcin cambia de signo entre los valores 12 y 16. Por lo tanto, la estimacin inicial de la raz x, se encontrar en el punto medio del intrvalo.

Dicha aproximacin representa un error relativo porcentual verdadero de (note que el valor verdadero de la raz es 14.7802). A continuacin calculamos el producto de los valores en la funcin en un lmite inferior y en el punto medio: f(12)f(14) = 6.067(1.569) = 9.517 que es mayor a cero y, por lo tanto, no ocurre cambio de signo entre el lmite inferior y el punto medio. En consecuencia, la raz debe estar localizada entre 14 y 16. Entonces se crea un nuevo intrvalo redefiniendo el lmite inferior como 14 y detrminando su nueva aproximacin corregida de la raz.

la cual representa un error porcentual verdadero t=1.5%. Este proceso se repite para obtener una mejor aproximacin. Por ejemplo:

f(14)f(15) = 1.569(-0.425) = -0.666

Por lo tanto, la raz est entre 14 y 15. El lmite superior se redefine como 15 y la raz estimada para la tercera iteracin se calcula as: que representa un error relativo porcentual t=1.9%. Este mtodo se repite hasta que el resultado sea suficientemente exacto para satisfacer sus necesidades.

En este ejemplo observamos que el error verdadero no disminuye con cada iteracin. Sin embargo, el intrvalo donde se localiza la raz se divide a la mitad en cada paso del proceso. Como se estudiar en la siguiente seccin, el ancho del intrvalo proporciona una estimacin exacta del lmite superior del error en el mtodo de biseccin.

2.1. CRITERIOS DE PARO Y ESTIMACIONES DE ERRORES Un criterio obejtivo de definir cuando un mtodo numrico debe terminar, es estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raz. Como se estudi previamente, se puede calcular el error relativo porcentual a de la siguiente manera. Donde es la raiz en la iteracin actual y es el valor de la raz en la iteracin anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que por lo general importa solo la magnitud de a sin considerar su signo. Cuando a es menor que un valor previamente fijado s, termina el clculo. EJEMPLO 04: Continue con el ejemplo 3 hasta que el error aproximado sea menor que el criterio de terminacin de s = 0.5%. Use la ecuacin para calcular los errores. SOLUCIN Los resultados de las dos primeras iteraciones en el ejemplo 03 fueron 14 y 15. Sustituyendo estos valores en la ecuacin se obtiene Recordemos que el error relativo porcentual para la raiz estimada de 15 fue 1.5%. Por lo tanto, a es mayor a t. Este comportamiento se manifiesta en las otras iteraciones: Iteracin 1 2 3 4 5 6 xl 12 14 14 14.5 14.75 14.75 xu 16 16 15 15 15 14.875a

xr 14 15 14.5 14.75 14.875 14.8125

a

(%)

6.667 3.448 1.695 0.840 0.422

(%) 5.279 1.487 1.896 0.204 0.641 0.219t s

As, despus de seis iteraciones puede terminar

finalmente est por debajo de

= 0.5%, y el clculo

Estos resultados se resumen en la siguiente figura. La naturaleza desigual del error verdadero se debe a que, en el mtodo de la biseccin, la raz exacta se encuentra en cualquier lugar dentro del intervalo cerrado. Los errores verdadero y aproximado quedan distantes cuando el intervalo est centrado sobre la raz verdadera. Ellos estn cercanos cuando la raiz verdadera se halla en cualquier extremo del intervalo.

2.2. Algoritmo de Biseccin El algoritmo emplea funciones definidas por el usuario para volver ms eficientes la localizacin de ls races y la evaluacin de las funciones. Adems, se le pone un lmite superior al nmero de iteraciones. Por ltimo, se incluye la verificacin de errores para evitar la divisin entre cero durante la evaluacin del error. Este podra ser el caso cuando el intervalo est centrado en cero. En dicha situacin la ecuacin tiende al infinito. Si esto ocurre el programa saltar la evaluacin de error en esa iteracin. FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) Iter = 0 DO xrold = xr xr = (xl + xu)/2 iter = iter + 1 IF xr 0 THEN ea = ABS((xr xrold) / xr) * 100 END IF test = f(xl) * f(xr) IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr ELSE ea = 0 END IF IF ea < es OR iter imax EXIT END DO Bisect = xr END Bisect

3. MTODO DE LA FALSA POSICIN An cuando la biseccin es una tcnica perfectamente vlida par determinar races, su mtodo de aproximacin por fuerza bruta es relativamente ineficiente. La falsa posicin es una alternativa basada en una visualizacin grfica. Un inconveniente del mtodo de biseccin es que al dividir el intrvalo de xl a xu en mitades iguales, no se toman en consideracin las magnitudes de f(xl) y f(xu). Por ejemplo, si f(xl) est mucho ms cercana a cero que f(xu), es lgico que la raz se encuentre ms cerca de xl que de xu. Un mtodo alternativo que aprovecha esta visualizacin grfica consiste en unir f(xl) y f(xu) con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de las x representa una mejor aproximacin de la raz. El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta da una falsa posicin de la raz; de aqu el nombre de mtodo de falsa posicin, o en latn, regula falsi. Tambien se le conoce como mtodo de interpolacin lineal. Usando tringulos semejantes, la interseccin de la lnea recta con el eje de las x se estima mediante:

Esta es la frmula de la falsa posicin. El valor de x, calculando con la ecuacin obtenida, reemplazar, despus, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la funcin con el mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores de xl y xu siempre encierran la verdadera raiz. El proceso se repite hasta que la aproximacin a la raz sea adecuada. El algoritmo es identico al de la biseccin, excepto en la ecuacin obtenida. EJEMPLO 05: Con el mtodo de falsa posicin determine la raz de la misma ecuacin analizada en el ejemplo 01 SOLUCIN Empezamos el clculo con los valores iniciales xl = 12 y xu = 16

Primera Iteracin: Xl = 12 Xu = 16 f(xl) = 6.0699 f(xu) = -2.2688

que tiene un error relativo verdadero de 0.89%

Segunda Iteracin: f(xl)f(xr) = -1.5426 Por lo tanto, la raz se encuentra en el primer subintrvalo y xr se vuelve ahora el lmite superior para la siguiente iteracin, xu = 14.9113: Xl = 12 Xu = 14.9113 f(xl) = 6.0699 f(xu) = -0.2543

el cual tiene errores relativos y verdadero y aproximado de 0.09 y 0.79 por ciento. Es posible realizar iteraciones adicionales para hacer una mejor aproximacin de las races.

3.1. Desventajas del mtodo de la falsa posicin Aunque el mtodo de la falsa posicin parecera ser siempre la mejor opcin entre los mtodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente. En efecto, como en el ejemplo siguiente, hay ciertos casos donde el mtodo de biseccin ofrece mejores resultados. EJEMPLO 6 Con los mtodos de biseccin y de falsa posicin localice la raz de f(x)=x10 1 entre x=0 y 1.3 SOLUCIN Usando biseccin, los resultados se resumen como sigue

Iteracin 1 2 3 4 5

xl 0 0.65 0.975 0.975 0.975

xu 1.3 1.3 1.3 1.1375 1.05625

xr 0.65 0.975 1.1375 1.05625 1.015625

(%) 100.0 33.3 14.3 7.7 4.0a

(%) 35.00 2.5 13.8 5.6 1.6t

De esta manera despus de 5 iteraciones, el error verdadero se reduce a menos del 2%. Con la falsa posicin de obtienen resultados muy diferentes: Iteracin 1 2 3 4 5 xl 0 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 xu 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 xr 0.09430 0.18176 0.26287 0.33811 0.40788a

(%) 48.1 30.9 22.3 17.1

t

(%) 90.6 81.8 73.7 66.2 59.2

Despus de cinco iteraciones, el error verdadero slo se ha reducido al 59%. Adems, observe que a < t. Entonces, el error aproximado es engaoso. Se obtiene mayor claridad sobre estos resultados examinando una grfica de la funcin. En la figura anterior, la curva viola la premisa sobre la cual se basa la falsa posicin; es decir, si f(xl) se encuentra mucho ms cerca de cero que f(xu), la raz se encuentra ms cerca de xl que de xu. Sin embargo, debido a la forma de esta funcin ocurre lo contrario

3.2. Falsa posicin modificada Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posicin consiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se estanca uno de los lmites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la funcin en el punto de estancamiento . A este mtodo se le llama mtodo de la falsa suposicin modificado. El algoritmo que daremos a continuacin lleva a cabo dicha estrategia, Obsrvese como se han usado contadores para determinar si uno de los lmites del intervalo permanece fijo estancado durante dos iteraciones. Si ocurre as, el valor de la funcin en este valor de estancamiento se divide a la mitad. FUNCTION ModFalsePos(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter = 0 fl = f(xl) fu = f(xu) DO xrold = xr xr = xu fu * (xl xu)/(fl fu) fr = f(xr) iter = iter + 1 IF xr 0 THEN Ea = Abs((xr xrold)/xr)*100 END IF Test = fl * fr IF test < 0 THEN xu = xr fu = f(xu) iu = 0 il = il + 1 If il 2 THEN fl = fl / 2 ELSE IF test > 0 THEN xl = xr fl = f(xl) il = 0 iu = iu + 1 IF iu 2 THEN fu = fu / 2 ELSE Ea = 0 END IF IF ea < es OR iter imax THEN EXIT END DO ModFalsePos = xr END ModFalsePos La efectividad de este algoritmo se demuestra aplicndolo al ejemplo 6. Si se utiliza un criterio de terminacin de 0.01% el mtodo de biseccin y el mtodo estndar de falsa posicin convergern, respectivamente, despus de 14 y 39 iteraciones. En cambio el

mtodo de la falsa posicin modificado converger despus de 12 iteraciones. De manera que para este ejemplo el mtodo de la falsa posicin modificado es ms eficiente que el de biseccin y muchsimo mejor que el mtodo de la falsa posicin no modificado. 4. BSQUEDAS POR INCREMENTOS Y DETERMINACIN DE VALORES INICIALES Se debe determinar si se han localizado todas las races posibles. Como se menciona anteriormente, por lo general una grafica ayuda a realizar dicha tarea. Otra opcin es incorporar una bsqueda incremental al inicio del programa. Consiste en realizar evaluaciones de la funcin con pequeos incrementos a lo largo del intervalo. Un problema potencial en los mtodos de bsqueda por incremento es el de escoger la longitud de incremento. Si la longitud es muy pequea la bsqueda llega a demorar mucho tiempo, por otro lado, si la longitud es demasiado grande existe la posibilidad de que las races ms cercanas no se noten o pasen inadvertidas. Una solucin para estos casos consiste en calcular la primera derivada de la funcin f (x) al inicio y al final de cada intervalo. Cuando la derivada cambia de signo, puede existir un mximo o un mnimo en este intervalo, lo que sugiere una bsqueda ms minuciosa para detectar la posibilidad de una raz. Aunque estas modificaciones o el empleo de un incremetno muy fino ayudan a resolver el problema, se debe aclarar que mtodos tales como el de la bsqueda incremental no siempre resultan sencillos. Ser prudente complementar dichas tcnicas automticas con cualquier otra informacin que d idea de la localizacin de las races. Esta informacin se puede encontrar graficando la funcin y entendiendo el problema fsico de donde proviene la ecuacin.