RACES DE ECUACIONESRACES DE ECUACIONESCONTENIDODefinicinMtodos
para la aproximacin de soluciones1. Mtodo grafico 2. Cerrado o
acotado:a) Biseccinb) Falsa Posicin3. Abierto:c) Secanted)
Newton-ap!sone) Punto Fi"oRACES DE ECUACIONESDEINICI!N#l ob"eto del
c$lculo de las ra%ces de una ecuacin es determinar los &alores
de x para los 'ue se cumple: f(x) ) * Su importancia radica en 'ue
si podemos determinar las ra%ces de una ecuacin tambin podemos
determinar m$ximos + m%nimos, &alores propios de matrices,
resol&er sistemas de ecuaciones lineales + diferenciales,
etc--- RACES DE ECUACIONESPara resol&er ecuaciones no lineales
existen &arios mtodos numricos'ue los podemos clasificar
as%:Cerrado o acotado: (re'uiere de dos &alores de x 'ue
encierren la ra%.) Biseccin Falsa posicin Abierto: (re'uiere de uno
o dos &alores de x, pero no necesariamente encierran la ra%.)
Punto fi"o Newton-ap!son SecanteMtodo grafico RACES DE ECUACIONES/a
ma+or%a de los mtodos utili.ados para el c$lculo de las ra%ces de
una ecuacin son iterati&os + se basan en modelos de
aproximaciones sucesi&as- #stos mtodos traba"an del si0uiente
modo: a partir de una primera aproximacin al &alor de la ra%.,
determinamos una aproximacin me"or aplicando una determinada re0la
de c$lculo + as% sucesi&amente !asta 'ue se determine el
&alor de la ra%. con el 0rado de aproximacin deseado- M"TODO
#RAICO1onsiste en 0raficar una funcin + determinar &isualmente
donde corta el e"e x- #n+) f(x), establece el &alorde x para el
cual f(x))*-f(x)a bx1. Si en un inter&alo 2a,b3 cerrado se
cumple 'ue :no existen ra%ces reales en el inter&alo, pues
+)f(x) no toca el e"e x, por el contrario pueden encontrarse una o
m$s ra%ces ima0inarias- f(a)-f(b)4*M"TODO #RAICO2. Si en un
inter&alo 2a,b3 cerrado se cumple 'ue :
#ntonces existen dos ra%ces reales f(a)-f(b)4*f(x)a bxM"TODO
#RAICO3. Si en un inter&alo 2a,b3 cerrado se cumple 'ue :
da la certe.a de encontrar una sola ra%. real en el
inter&alo- f(a)-f(b)5*xf(x)a bM"TODO #RAICO$. Si en un
inter&alo 2a,b3 cerrado se cumple 'ue : !a+ m$s de dos ra%ces-
f(a)-f(b)5*f(x)a bxM"TODO #RAICO%. 6ambin puede existir una funcin,
para la 'ue existe una ra%. real doble en x)* , 'ue no es
apreciable por el mtodo 0r$fico,pues la ecuacin es tan0ente al e"e
x - f(x)a bxM"TODO DE &ISECCI!N #ste mtodo, tambin conocido
como mtodo de particin del inter&alo, parte de una ecuacin
al0ebraica o trascendental f(x) + un inter&alo 7xi, xs8, tal
'ue f(xi) + f(xs) tienen si0nos contrarios, es decir, tal 'ue
existe por lo menos una ra%. en ese inter&alo-M"TODO DE
&ISECCI!N#l mtodo consiste en considerar un inter&alo
(xi,xs) en el 'ue se 0arantice 'ue la funcin tiene ra%.- #l
se0mento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como
aproximacin de la ra%.- se identifica lue0o en cual de los dos
inter&alos esta la ra%.- Si:f(xi)-f(xr)5*la rai. esta en el
inter&alo 2xi,xr3 + xs)xrSi:f(xr)-f(xs)5* la rai. esta en el
inter&alo 2xr,xs3 + xi)xr el proceso se repite n &eces,
!asta 'ue el punto de biseccin xr coincide pr$cticamente con el
&alor exacto de la ra%.- ( )2s irx xx+=M"TODO DE
&ISECCI!Nf(x)f(xi)f(xr)f(xs)xi xr xsxi)xrxM"TODO DE
&ISECCI!N#l mtodo de biseccin se puede frenar: con el numero
m$ximo de iteraciones cuando se alcan.a el 9 de error 02x 12x 22x
32x nx2x xi xsi sx x x = ni ssx x2 ) 2 () ( ) (InIn x Inns =Para
estimar el numero m$ximo de iteraciones tenemos Donde: :x )
lon0itud del inter&alo n) numero de iteracioneserrorM"TODO DE
&ISECCI!NCuando se alcanza el %E1. Alcanza la tolerancia
exigida.2. Alcanza el error relativo porcentual verdadero.%
100actualranteriorractualrax x xE=%
100verdaderoractualrverdaderortxx xE=s aE t aE E
