Métodos de análisis y diseño

Existen diversos métodos de análisis sugeridos por varios autores, los más aconsejados son básicamente dos métodos los cuales se pueden realizar de manera manual.

A. Método rígido convencional.B. Método flexible, fundaciones sobre lecho elástico.

Método rígido convencional.

En fundaciones rígidas, se supone la losa lo suficientemente rígida para lograr atravesar estructuras de suelo no uniforme. La distribución de presión se considera uniforme y lineal.

El método rígido convencional trabaja con más exactitud cuando la losa de cimentación es rígida, permitiendo así que este elemento trabaje como un todo en cuanto a las deformaciones del mismo. Este método da resultados que se acercan a la realidad cuando no hay mucha variación en los valores de carga aplicados, con lo cual, el centro de gravedad geométrico de la losa de cimentación casi coincide con el centro de gravedad de la resultante de la carga.

En resumen las suposiciones adoptadas son:

Fundación rígida, las deflexiones diferenciales no afectan la distribución de presión de contacto.

La variación de la presión de contacto es lineal donde la resultante de las cargas aplicadas pase por el centroide del diagrama de presión de contacto.3.1.1. Dimensionamiento en planta

3.1.1.1. Ubicación de la resultantePara el dimensionamiento en planta se debe ubicar el punto de aplicación de la resultante para cumplir con este objetivo, calcular previamente las coordenadas (Xg,Yg) del centro de gravedad (figura 15) y posteriormente calcular las coordenadas de la resultante.Entonces la resultante de la carga total de las columnas está dada por la siguiente ecuación:

R=∑i=1

n

Pi

Donde:Pi = D + L

Si la sección es simétrica es decir rectangular, las coordenadas del centro de gravedad están dadas por:

xG=B2

yG=H2

Si la sección es irregular las coordenadas del centro de gravedad están dadas por:

x=xG=∫ xdA

∫dA

y= yG=∫ ydA

∫dAUna vez encontrada la magnitud de la resultante “R”, hallar el punto de actuación de la misma a través de la sumatoria de momentos, con las ecuaciones detalladas a continuación:

R∗xR=∑i=1

n

P i∗x i

R∗yR=∑i=1

n

Pi∗y i

Inmediatamente después calcular las excentricidades observadas en la figura 15:ex=|xr−xG|

e y=|yr− yG|Donde: ex, ey = Excentricidad de la resultante “R” con respecto al eje centroidal. Posteriormente verificar que la resultante “R” este dentro del núcleo central y cumpla con las condiciones admisibles.

ex ≤B6

e y≤H6

Si se verifica estas condiciones, entonces cumple con las condiciones de volteo.Nota.- Si esto se cumple quiere decir que “R “cae dentro del núcleo central, si no cumple cae fuera, entonces la losa tiende a inclinarse a los lados, por lo tanto se debe cambiar los valores de B y H de la losa de fundación.

3.1.1.2. Análisis de presionesConsecutivamente encontrar la presión del suelo para varios puntos de la losa de fundación.

q= RA l

±M x∗y

I x±M y∗xI y

±son los signos de x , y quese analizadelde el C .G.

M x=R∗e y……………………………. (1)

M y=R∗ex…………………………….. (2)

I x=B∗H 3

12………………………………... (3)

I y=H∗B3

12………………………………... (4)

Reemplazando los valores de (1), (2), (3) y (4), en la ecuación principal se tiene:

q= RB∗H

+(1± 12∗e y∗yH 2 ±

12∗ex∗xB2 )…Todorespecto al C .G.

Cabe recalcar que se debe realizar el cálculo de presiones en "m" puntos de la losa, también se calcula la presión bajo cada columna, donde la presión en cualquier punto debe ser menor a la presión neta admisible.

q<qa

Al cumplir que la presión admisible sea menor a la encontrada se verifica con la condición de hundimiento.

3.1.2. Dimensionamiento en elevaciónAsumir "d" canto útil para toda la losa de fundación.

3.1.2.1. Verificación de corte a punzonamiento.Para la verificación de corte a punzonamiento encontrar la carga última total de todas las columnas.Las secciones críticas a punzonamiento están ubicadas a una distancia "d" de la columna. Por lo tanto la expresión para el cálculo de 0 "b " que es el perímetro critico esta en términos de "d", que depende de la posición de la columna con respecto al plano de la losa (figura xx).

Finalmente se procede a verificar:

vu=Pu

∅∗b0∗d

Esta última ecuación deberá ser menor que la tensión cortante admisible definida en las expresiones del reglamento ACI 318-05:

vu=0,53∗(1+ 2β )∗√ f 'c

vu=0,27∗(α s∗db0

+2)∗√ f 'c

vu=1,06∗√ f ' c

Donde:

β = Relación entre el lado largo y el lado corto de la columna

αs = 20 para columnas de esquina

αs = 30 para columnas de borde

αs = 20 para columnas interiores

Vc = Tensión cortante proporcionada por el concreto.

f c' = Resistencia específica a la compresión del concreto.

b0 = Perímetro de la sección crítica para cortante.

d = Canto útil de la zapata

Elegir el menor valor de las tres expresiones anteriores.

Cumpliendo los requisitos se debe verificar la siguiente relación:

vu≤vcCumple

Generalmente se realiza el cálculo para la columna que tenga mayor carga y menor sección es decir la columna más crítica (esto para no hacer todas las columnas y solo hacer las más desfavorables)

Nota.- Para calcular el canto útil “d” se puede asumir un valor y verificar si cumple o se puede igualar ambas expresiones para obtener un valor de canto útil mínimo.

3.1.1.1. Verificación de la rigidez de la losaLa expresión siguiente es muy importante para determinar cuándo una fundación puede ser considerada a ser diseñada por el método rígido convencional o el método flexible. Acorde con el ACI 318S-05 una fundación puede ser considerada rígida si los espaciamientos entre columnas en una franja es menor que:

λ=4√ k i∗b4∗E∗I

l ≤ 1.75λ

Para el caso de losas, vigas si la expresión es mayor puede usarse el método flexible.Donde:l = Es la luz libre entre columnasb = Ancho de una franjaE = Módulo de elasticidadI = Inercia de la franjaLa longitud de la franja “L” puede variar a “b” dependiendo de la dirección de la franja.

I=B∗H3

12

k s=k∗S

Donde:

k = Coeficiente de balasto

S = Factor de forma

S=(b+1)2

2∗b2 Para suelos granulares

S=n+0,51,5∗n Para suelos cohesivos

Donde:

n=Lb

Nota.- Se debe realizar esta verificación para la franja más cargada, de ser posible analizar todas las franjas. Si no cumple cambiar al método flexible o cambiar el canto útil “d”.

3.1.1. Análisis de esfuerzos (franja L).

Realizar el análisis para todas las franjas.

3.1.1. Cálculo del refuerzo de acero por flexión para todas las franjas

Una vez calculado los diagramas de momentos de cada una de las franjas en la dirección "X "o "Y ", se obtendrá los momentos máximos positivos y negativos por unidad de ancho. Con el que se procede a calcular la armadura requerida.

A si=M

∅∗f y∗(d−a2 )

→a=A si∗f y

0.85∗f 'c∗b

Donde: ∅ =0.9 (Valor utilizado cuando ε ≥ 0.005 t)

fy =Esfuerzo de fluencia para refuerzo de acero.

f c = Resistencia específica a la compresión del concreto a los 28 días.′b = Ancho de la franja considerada.

Calculados el refuerzo de acero para los momentos críticos determinar el acero mínimo ACI 05*:

A smin=0,8∗√ f ' c

f∗b∗d ≥ A smin=

14f y

∗b∗d

Cálculo del refuerzo de acero por corte en la viga

Con los diagramas de corte obtenidos de la figura 19, determinar:

vui=V i

∅∗b∗di=1,2,3 ,…………,s

Donde: φ = Es el factor de resistencia a corte que para vigas es: φ = 0 .75vui = Tensión cortante en cada elemento.

Posteriormente determinar el valor de la tensión cortante admisible que según el reglamento ACI 318S-05* está determinada por:

vc=0,53∗√ f ' cPara la verificación:

vu≤vc Con i = 1,2,3,……n

Una vez encontrados las tensiones para todas las franjas en la dirección "X "o "Y ", se armará en ambas direcciones de acuerdo al área de acero encontrado.

Método flexible

En fundaciones flexibles, se considera que la losa distribuye las cargas en las áreas circundantes a las columnas dependiendo de siempre de las características del suelo. En estas losas los asentamientos son relativamente grandes en comparación de los momentos flectores y esfuerzos cortantes a la cual esta sometida son relativamente bajas.

Este método de diseño, representa al suelo mediante un número infinito de resortes elásticos, por lo que es conocido como cimentación de Winkler, la constante elástica de esos resortes supuestos se denomina el coeficiente k de reacción del suelo.WinklerWinkler propuso un modelo matemático del comportamiento de una viga apoyada sobre una fundación elástica, este método es aún muy usadoPlanteamiento analíticoConsideremos una viga continua, apoyada sobre un medio elástico, tal como se muestra en la figura 1(a). La figura 1(b) representa un elemento de viga , donde M(x) es el momento , V(x) el corte , P la carga axial, q (x) la carga distribuida y, p(x) la reacción de la fundación elástica sobre la viga, por unidad de longitud. Al respecto, consideramos el modelo bi-parametrico, para el cual los investigadores han propuesto una serie de modelos que simulan esta reacción p(x), que considera el efecto de un segundo parámetro de la fundación “k1”, cuya formulación matemática es la forma:

p ( x )=ky ( x )−k 1(x) d2 y

d x2(x)

En don “k” es el modulo de Winkler [N/m2], y(x) la deflexión de ;a viga y “k1” el segundo parámetro de la fundación.

La diferencia del efecto de k1(x) para los diferentes autores citados, es solo de interpretación física, ya que todas conducen a la misma ecuación matemática (1).El modelo físico de (¡) puede ser simulado considerando que la fundación se comporta como una superficie elástica representada por la figura 2, en donde la rigidez k(x) es simulada por un set de resortes ki y k1(x) por una membrana elástica.

Las simplificaciones de las soluciones analíticas, consisten en suponer constancia en los módulos k y k1 de la fundación y, en los parámetros de la viga: E (módulo de elasticidad) e I (Momento de inercia). Los métodos numéricos permiten considerar fácilmente la variación de todos estos parámetros.La ecuación matemática que rige el comportamiento de la viga sometida a las cargas mostradas

en la figura 2, estadada por (9):d2 yd x2

E ( x ) I ( x ) d2 y

d x2( x )+k (x ) y (x )−(k 1 (x )±P ) d

2 yd x2

( x )=q(x )

Donde el signo asociado a la carga axial P, será positivo se es de compresión y negativo si es de tracción.

En el método de diseño rígido convencional, la losa se supone infinitamente rígida, además, la presión del suelo se distribuye linealmente y el centroide de la presión del suelo coincide con la línea de acción de las cargas resultantes de las columnas figura xx (a). En cambio en el método flexible de diseño, el suelo se supone equivalente a un número infinito de resortes elásticos, como muestra la figura xx (b). Este método de diseño es más exacto en sus soluciones y más económico.

La constante elástica de estos resortes se denomina como en todos los casos de diseño de fundaciones por este método, módulo “K” de reacción del suelo o también coeficiente de balasto.

Para entender los conceptos fundamentales del diseño de fundaciones sobre lecho elástico, considere una viga de ancho “b” y longitud infinita, como se muestra en la figura xx (c), cuyo diseño difiere del anterior, solo en la forma de obtención de los esfuerzos de la fundación, para hallar la distribución de la armadura y realizar algunas comprobaciones. Es decir el diseño es prácticamente idéntico al rígido, en lo que se refiere al diseño en planta y elevación.

3.1.1. Procedimiento del diseño de losas de fundación de canto constante por el método flexible.

Por lo expuesto anteriormente en el diseño de losas de fundación por el método flexible, de igual manera que el rígido debe seguir los mismos pasos como ser el dimensionado en planta, verificación a corte por punzonamiento.

3.1.2. Dimensionamiento en planta3.1.2.1. Ubicación de la resultante

Calcular igual que en el método anterior.

3.1.2.2. Análisis de presiones

Igual que en el método anterior.

3.1.3. Dimensionamiento en elevación3.1.3.1. Verificación a corte por punzonamiento.

La verificación se la realiza de la misma manera que en el método anterior.

3.1.3.2. Verificación de la rigidez de la losa

En este método la verificación de la rigidez de la losa es igual que el método anterior (a veces no se realiza).

l ≤ 1,75λ

→análisis rígido

l ≥ 1,75λ

→análisis elástico

3.1.4. Análisis de esfuerzos

Figura 1

El modelo estructural para el análisis de esfuerzos consiste en discretizar la fundación en pequeños elementos, placas unidimensionales, tal como se aprecia en la figura 21. La cantidad de elementos dependerá de la precisión requerida en el análisis de esfuerzos, puesto que todo programa computacional que utiliza la teoría de los elementos finitos, tiende a un cálculo matemático más preciso, cuanto mayor sea la cantidad de elementos discretizados.

Figura 2

Las áreas de influencia varían según la posición del nudo.

Figura 3

Entonces para cada nudo se encontrará las constantes de los elementos elásticos, esta se halla multiplicando el área de influencia de un punto de la fundación por el coeficiente de balasto antes calculado:

k i=k s∗Ainf i

Donde:

ki = Constante del resorte del nodo i .

ks = Coeficiente de balasto.

A = Área de influencia del nodo Ai = b ⋅ ci figura 23

Una vez calculadas las constantes de los elementos elásticos se introduce al programa un programa estructural dichos datos, del cual, se encontrarán los diagramas de los momentos M11, M22.

Y finalmente calcular la armadura necesaria con los diagramas anteriormente obtenidos.

Asentamientos en plateas de fundación

Asentamientos diferenciales en losas de cimentación

Las losas de cimentaciones normalmente se utilizan en lugares donde se pueden encontrar problemas de asentamientos, donde se contienen errores en tipos de suelos compresibles, para solucionar estos aspectos se puede recurrir a las siguientes soluciones

1. Utilizar una cimentación más grande para tener menor presión de contacto con los suelos.

2. Desplazar el volumen del suelo (efecto de flotación): teóricamente si el peso de la excavación es igual al peso de la estructura y la losa, el sistema “flota” en la masa del suelo y ya no se tendrían asentamientos.

3. Efectos tipo puente atribuibles a a. Rigidez de la losab. Contribución de la superestructura a la rigidez de la losa

4. Permitiendo mayores asentamientos, por ejemplo, 50 mm en lugar de 25 mm.

En 1988 el comité 336 del American Concrete Institute, sugirió el siguiente método para calcular el asentamiento diferencial de las losas de cimentación. De acuerdo con este método, el factor de rigidez K, se calcula como:

K r=E' I bE sB

3

Dónde: E’ = módulo de elasticidad del material usado en la estructura

Es = módulo de elasticidad del suelo

B = ancho de la cimentación

Ib = momento de inercia de la estructura por unidad de longitud en ángulo recto con B

El término E’Ib puede expresarse como:

E' I b=E' (I F+∑ I b'+∑ ah3

12 )

Dónde: E’Ib = rigidez por flexión de la superestructura y cimentación por longitud unitaria en ángulo recto con B

∑E’Ib’ = rigidez por flexión de los elementos estructurales en ángulo recto con B

∑(E’ah3/12) = rigidez por flexión de los muros de cortante

a = espesor del muro cortante

h = altura del muro cortante

E’If = flexibilidad de la cimentación

Con base en el valor de Kr, la razón (δ) del asentamiento diferencial al asentamiento total se puede estimar de la siguiente manera

1. Si Kr > 0.5, puede tratarse como una losa rígida y δ=02. Si Kr < 0.5, entonces δ=0.13. Si Kr = 0, entonces δ=0.35 para losas cuadradas (B/L=1) y δ=0.5 para

cimentaciones largas (B/L=0)

Asentamiento por consolidación

El asentamiento consolidación y re compresión puede incorporarse dentro del análisis de losas de una manera aproximada como sigue:

1. Calcular los asentamientos por consolidación ΔH, en varios puntos especialmente en los usados para el análisis. Esto se debe hacer también para el eje.

2. Realizar un análisis básico de la losa. Observar los resultados para las presiones en los ejes y obtener una presión promedio. También obtener los desplazamientos nodales ΔH y estimar los desplazamientos nodales ΔHc por consolidación.

K’si se puede calcular a partir de la definición básica de ks

qi=kst (∆H i ) Y k 'st=

q(∆H i+∆ H c )

Para obtener.

k 'st=k si( ∆H i

∆H i+∆ H ,,)

3. Realizar el análisis de la losa con estas nuevas zonas evaluadas of k si

incluyendo el efecto de consolidación. Los desplazamientos de ejes de los nudos deben calcularse de igual manera que en el paso 2.

Observaciones del asentamiento en campo de losas de cimentacion