Pontificia Universidad Católica del Ecuador Sede Ibarra

1. Datos Informativos

1.1. Escuela: Arquitectura1.2. Nivel: 11.3. Nombre: Cristopher Reyes1.4. Materia: Lógica Matemática1.5. Tema: Métodos de Demostración1.6. Fecha: 2010-10-19

2. Objetivo:

Demostrar según la definición de parejas de ángulos, cuales son y sus teoremas.

3. Contenido:

MÉTODOS DEDUCTIVOS DE DEMOSTRACIÓN.

Según el sistema aristotélico, el método deductivo es un proceso que parte de un conocimiento general, y arriba a uno particular. La aplicación del métododeductivo nos lleva a un conocimiento con grado de certeza absoluta, y estacimentado en proposiciones llamadas SILOGISMOS.

EJEMPLOS

“ Todos las venezolanas son bellas” , (Este es el conocimiento general)“Marta Colomina es venezolana”

Luego: “Marta Colomina es bella”

“Todos los mamíferos son animales” “El perro es un animal” Por lo tanto: “El perro es un mamífero”

Se puede observar que partiendo de dos premisas, una de las cuales es una hipótesis general se llega a una conclusión particular. También es de hacer notar que en este ejemplo las premisas pueden ser

verdaderas o pueden ser falsas, y por consiguiente la conclusión puede ser igualmente verdadera o falsa. En la lógica formal y sobre todo en el universo matemático, el proceso deductivo tiene un significado un poco diferente, pues está basado en AXIOMAS, o proposiciones que son verdaderas por definición.

Por ejemplo, un axioma es:

“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”, otro axioma es“DOS COSAS IGUALES A UNA TERCERA SON IGUALES ENTRE SI”.El primer axioma define el concepto de MAYOR, y el segundo el concepto de IGUAL.

El método deductivo nos permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión, pudiendo ser esta inclusive que el conjunto de hipótesis sea inválido.Generalmente, en matemáticas, la deducción es un proceso concatenado del tipo "si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D..." hasta llegar a una conclusión.

Al conjunto de HIPOTESIS + DEMOSTRACION + CONCLUSIÖN se denomina TEOREMA. La práctica de los razonamientos deductivos en el proceso de desarrollo del pensamiento lógico matemático es muy importante. Constituye una herramienta fundamental para el trabajo en la matemática y otras ciencias.

DEMOSTRACIÓN POR EL MÉTODO DIRECTO.

Si tomamos una frase lógica condicional sencilla del tipo: P ⇒ Q

Que podemos analizar como “si se cumple P entonces se cumple Q”, esto lo hacemos de forma natural sin complicarnos en hacer análisis más intensivos o mas extensivos pues lo hacemos de una forma innata.

Si decimos: “El cielo esta encapotado, va a llover” estamos realizando una asociación de causa y efecto. En la cual “el cielo esta encapotado” es la causa y el efecto lógico es que, “va a llover”.

Desde el punto de vista de la lógica esta relación es irrevocable. Así mismo en una relación matemática se puede verificar esta sencilla

relación en la cual si se cumple la premisa P entonces se puede decir que se cumplirá la consecuencia Q. A este proceso formal se le denomina “demostración mediante el método directo” es innecesario decir que si no se cumple o verifica P entonces su consecuencia tampoco se verificará.

¬P ⇒ ¬Q

Supóngase que P⇒ Q es una tautología, en donde P y Q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número de variables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p.

Supóngase una implicación de la forma. (P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn) ⇒ Q Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad decualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q se desprendelógicamente de P1, P2,......, Pn. Se escribe.

El camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí se sabe que P1 es verdadera, P2 es verdadera,...... y Pn también es verdadera, entonces se sabe que Q es verdadera. La mayoría de los teoremas matemáticos cumplen con esta estructura básica: (P1∧ P2∧ P3∧...∧ Pn)⇒ Q

Donde las Pi condiciones son llamadas hipótesis o premisas, y Q es la conclusión. “Demostrar un teorema” es demostrar que la condicional es una tautología.

No se pide demostrar que la conclusión es verdadera, lo que se quiere esdemostrar que Q es verdadera siempre y cuando todas las Pi condiciones sonverdaderas.

En conclusión podemos decir que: Cualquier demostración, sea de enunciados o matemática debe:

a. Comenzar con las hipótesis.b. Debe seguir con las tautologías y reglas de inferencias necesarias

para...c. Llegar a la conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las reglas de inferencia.

Seanp: Trabajoq: Ahorror: Compraré una casas: Podré guardar el automóvil en mi casa

Analizar el siguiente argumento: "Si trabajo y ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro".El enunciado anterior se puede representar como:p∧ q⇒ r; y r⇒ s; entonces s'⇒ q'

Equivale también a probar el siguiente teorema: [(p∧ q) ⇒ r]∧ [r⇒ s]; [s'⇒ q']

Como se trata de probar un teorema de la forma general: p1∧ p2∧...... ∧ pn entonces q

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

1. - (p∧ q) ⇒ r Hipótesis2.- r⇒ s Hipótesis

3.- p ⇒ q Silogismo Hipotético

4.- q ⇒ r Silogismo Hipotético

5.- q ⇒ s

6. - ¬s ⇒ ¬q Conclusión

MÉTODO INDUCTIVO

Sirve para demostrar fórmulas o propiedades que son verdaderas

para infinitos números naturales. Es decir para demostrar que las

propiedades de la forma P (m) se cumple casi siempre para todo

número natural m € N siendo n+ el conjunto de los característicos sin

el cero V n € N+ (Siendo N* = N-{0}) Se trata de demostrar P(n), V n

€ N* El método de demostración inductivo consta de 3 pasos.

1. Paso Básico

Demostrar que la propiedad se cumple para el primer valor de de N

que nos digan, casi siempre será 1. Se trata de demostrar P(1).

2. Paso Inductivo

Consiste en demostrar que si se cumple para un cierto n entonces

también se cumple para n+1. Es decir que si se cumple para P(n)

entonces se tiene que cumplir P(n+1). Se trata de demostrar la

implicación P(n)->P(n+1). Supondremos como hipótesis P(n)

(hipótesis de inducción).

4. Conclusión

Del paso básico y del paso inductivo se deduce que la proposición se

cumple para todos los n naturales mayores o iguales a 1 (n>=1).

MÉTODO REDUCCIÓN AL ABSURDO

Sólo sabremos si es una tautología. Supondremos que es una

contradicción, por tanto podemos suponer que puede ser falsa. Sin

con esta suposición se llega a una contradicción quería decir que esa

falsedad supuesta nunca podría darse, por tanto la proposición sería

siempre verdadera es decir una tautología.