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METODOS NUMERICOS
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INTERPOLACION
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción denuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.
En ingeniería y otras ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos pormuestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una función que losajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una funcióncomplicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemospartir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función mássimple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la funciónobtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características delproblema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el errorcometido.
En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos xk llamados nodos de obtener una función fque verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolación quese utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica, de la cual laanterior es un caso particular, o la interpolación por medio de splines.
Dentro de las aplicaciones tenemos casos particulares como:
Fotografía
En el campo de la fotografía y mundo de la imagen digital, la interpolación aplica este mismopatrón para conseguir un tamaño mayor de la imagen inicial, rellenando la información que faltacon datos «inventados» a partir de un algoritmo específico.
Existen varios algoritmos, los más famosos:
• Interpolación por aproximación: Es uno de los métodos más antiguos que se basa enobtener el promedio de valores de los 2 pixeles más próximos. La interpolación bilineal esuna mejora de la anterior, promediando en este caso 4 pixeles adyacentes.
• Interpolación bicúbica: Usada por programas como Adobe Photoshop o Paint Shop Pro esel método de interpolación considerado estándar (promedia 16 pixeles adyacentes).Photoshop además usa algunas variaciones como Interpolación bicúbica enfocada oInterpolación bicúbica suavizada que se basa en aplicar algunos cambios a la imagen final.
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• Interpolación en escalera (Stair Interpolation): Se basa en la interpolación bicúbica con ladiferencia que se va interpolando en incrementos de un 10% en cada paso con respecto alanterior.
• Interpolación S-Spline: Este método de interpolación determina el color de un pixel«desconocido» basándose en la totalidad de colores de la imagen, a diferencia que losmétodos anteriores.
• Interpolación Lanczos: Disponible de forma gratuita en el excelente visualizador-editorIrfanView, y GIMP 2.3 y posteriores versiones, se basa en la calidad de la imagen y ofreceresultados muy similares al método Mitchell.
• Interpolación Genuine Fractals: Por último, el sistema de interpolación de GenuineFractals que parece tener también unos resultados bastante aceptables.
METODOS DE INTEGRACION POLINOMICA
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange,es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fuedescubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Este método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a través de n puntosdados.
Un polinomio en series de potencias es
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anx
n
La formula de interpolación de Lagrange de orden n es
n1nn1n0n
1n10
1n12101
n20
0n02010
n21
f)xx)...(xx)(xx(
)xx)...(xx)(xx(
...
f)xx)...(xx)(xx(
)xx)...(xx)(xx(
f)xx)...(xx)(xx(
)xx)...(xx)(xx()x(g
−
−
−−−−−−
+
−−−−−−
+
−−−−−−
=
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Ejemplo. Del siguiente conjunto ajuste un polinomio con n = 3 puntos para el valor de t =251
x y
94 929
205 808
371 860
y(251) = 890.5
860)205371)(94371(
)205x)(94x(
902)371205)(94205(
)371x)(94x(
929)37194)(20594(
)371x)(205x()x(y
−−−−+
−−−−+
−−−−=
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INTERPOLACION DE NEWTON
Con diferencias divididas
El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero comotodo lo de Newton, es mas preciso.
Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general,pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar elmetodo y como aplicarlo.
La ecuación general para este método es la siguiente:
Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.
Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas dehacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:
Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y lasf(x) que se desean interpolar.Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaria mas o menos asi:
X f(x) f(xi,xi) f(xi,xi,xk) ... ...x0 f(x0) f(x1,x0) f(x2,x1,x0)
x1 f(x1) f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)
x2 f(x2) f(x3,x2) f(x3,x2,x1) f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3 f(x3) f(x4,x3,x2,x1)
x4 f(x4) f(x4,x3) f(x4,x3,x2)
La notacion f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:
,asi como f(x2,x1) es: , esto para b1.
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Para b2 la notacion f(x2,x1,x0) es: y asi se vanobteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primeracelda de arriba para abajo en todas las columnas(en las que aparece la leyenda bn cuandopasas el mouse en el ejemplo de arriba).
Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:
x f(x) _ _ _
-3 2 _
7 -1 _
17 9 _ _ _
27 11 _
Los valores de b se encuentran en las celdas que tienen borde rojo.
Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuacion general, sesimplifica dicha ecuacion y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos lospuntos especificados.
