I. MTODOS DE INTERPOLACIN Y AJUSTEI.1. INTRODUCCINEs frecuente la necesidad de buscar funciones apropiadas a partir de datos que proceden de una poblacin en la que se ha realizado un registro de informaciones o estudio estadstico, para que cumplan determinadas condiciones que nos interesen, como que sean continuas, derivables, etc. Con este objetivo trataremos de plantear distintos procedimientos para realizar la bsqueda de estas funciones, bien buscando una funcin que pase exactamente por una serie de puntos (funcin de interpolacin) o bien que esa funcin elegida por nosotros se adapte lo mejor posible a una serie o a una nube de puntos (funcin de ajuste o regresin).La finalidad del clculo de las funciones de interpolacin se centra en la necesidad de obtener valores intermedios (INTERPOLACIN) o de valores fuera del intervalo para el que se dispone de datos (EXTRAPOLACIN).I.2. MTODOS DE INTERPOLACINUn problema clsico de la matemtica, se plantea al querer calcular el valor de una funcin en un punto cuando no se conoce la funcin o incluso cuando la funcin no existe, conocindose nicamente una serie de puntos. La resolucin aproximada del problema consiste en encontrar una funcin fcil de construir y de evaluar, que coincide con la funcin objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la funcin as construidainterpolaa la funcin dada con respecto a los datos.Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas:1.Los datos que se desea que sean comunes a la funcin desconocida y a lafuncin interpoladora.2.Que tipo de funcin se va a utilizar comofuncin interpoladoraofuncin de interpolacin.I.2.1. Interpolacin polinmica.Se puede plantear como ejemplo lo siguiente: Seafuna funcin de una variable cuyo valor se conoce en n + 1 puntos:, llamaremos:

y se desea calcular su valor aproximado para una valor cualquiera de x.La literatura matemtica clsica, utiliza una funcin interpoladora de tipo polinmico de grado no mayor que n, siendo n el nmero de puntos conocidos menos uno.

I.2.1.1. Mtodo matricialAs, dada una funcin, de la que se conocen en n+1 puntos. Se trata de buscar un polinomiode grado n que pase por los puntosde forma que:

las condiciones impuestas determinan que los coeficientes deben verificar:para i = 0,1,....., n

la existencia y unicidad del sistema depende del determinante de Vandermonde siguiente:

que desarrollndolo, obtenemos:

si losson distintos, se tendrcon lo que el sistema tendr solucin nica.Expresndolo en forma matricial: e, por tanto, despejandoEjemplo:Construir el polinomio interpolador que pase por los puntos:

construyendo la matriz:

y el vector de ordenadas:

se comprueba que:

siendo su inversa:

Por tanto:

obtenindose el polinomio interpolador:

Ahora bien, para obtener los polinomios de interpolacin existen otros mtodos, como los siguientes:- Polinomios deLagrange- Polinomios deInterpolacin parablica progresiva.- Polinomios deNewton.- Polinomios deGauss.

Aproximacin polinomial Simple e interpolacin La interpolacin es de gran importancia en el campo de la ingeniera, ya que al consultar fuentes de informacin presentadas en forma tabular, es frecuente no encontrar el valor buscado como un punto de la tabla.Puntos0123

T(C)56.5113181214.5

P(atm)152040

Supngase que se desea calcular la temperatura de ebullicin de la acetona a 2 atm de presin.Una forma muy comn de resolver este problema es sustituir los puntos ( 0 ) y ( 1 ) en la ecuacin de la lnea recta: p(x)=a0+a1x, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incgnitas que son a0 y a1. Con la solucin del sistema se consigue una aproximacin polinomial de primer grado, lo que permite efectuar interpolaciones lineales; es decir, se sustituye el punto (0) en la ecuacin de la lnea recta y se obtiene56.5 = ao+ 1a1y al sustituir el punto ( 1 )113 = a0+ 5 a1sistema que al resolver da a0=42.375 y a1=14.125Por lo tanto, estos valores generan la ecuacinp(x) = 42.375 + 14.125 xLa ecuacin resultante puede emplearse para aproximar la temperatura cuando la presin es conocida. Al sustituir la presin x = 2 atm se obtiene una temperatura de 70.6 grados centgrados. A este proceso se le conoce como interpolacin.