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Aplicados para el curso de Finanzas II
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
1. MÉTODOS MÁTEMATICOS Y ESTADÍSTICOS, PARA EL CÁLCULO DEL PRESUPUESTO DE
VENTAS
1.1 PRESUPUESTO
Se le llama presupuesto al cálculo y negociación anticipado de los ingresos y gastos de una
actividad económica (personal, familiar, un negocio, una empresa, una oficina, un gobierno)
durante un período, por lo general en forma anual. Es un plan de acción dirigido a cumplir una
meta prevista, expresada en valores y términos financieros que debe cumplirse en determinado
tiempo y bajo ciertas condiciones previstas, este concepto se aplica a cada centro de
responsabilidad de la organización. El presupuesto es el instrumento de desarrollo anual de las
empresas o instituciones cuyos planes y programas se formulan por término de un año.
Elaborar un presupuesto permite a las empresas, los gobiernos, las organizaciones privadas o las
familias establecer prioridades y evaluar la consecución de sus objetivos. Para alcanzar estos
fines, puede ser necesario incurrir en déficit (que los gastos superen a los ingresos) o, por el
contrario, puede ser posible ahorrar, en cuyo caso el presupuesto presentará un superávit (los
ingresos superan a los gastos).
En el ámbito del comercio, presupuesto es también un documento o informe que detalla el
coste que tendrá un servicio en caso de realizarse. El que realiza el presupuesto se debe atener
a él, y no puede cambiarlo si el cliente acepta el servicio. sistema total de administración
empresarial.
1.2. IMPORTANCIA.
El plan financiero de una empresa comienza con el presupuesto de ventas, el cual es la base de
todo el programa presupuestal, ya que las ventas constituyen la principal fuente de fondos de
una empresa. Deben soportar los Costos y Gastos.
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Se deben desarrollar presupuestos de ventas a corto y largo plazo, detallado y específico el
primero y en forma general el segundo.
1.3. COMPONENTES O ETAPAS BASICAS.
El Presupuesto total de ventas está compuesto por las siguientes partes:
1. Pronóstico de Ventas.
2. Plan de Mercadotecnia.
3. Presupuesto de Publicidad y Promoción.
4. Presupuesto de Gastos de Ventas.
1.4 PRONÓSTICO DE VENTAS.
Los pronósticos de ventas constituyen el punto de partida de la presupuestación de la empresa
en su parte de cálculos. El pronóstico de ventas lo define Welsch, Glenn A. en su libro:
"Presupuestos: planificación y control de utilidades", como la "proyección técnica de la
demanda potencial de los clientes durante un horizonte de tiempo especificado y con
suposiciones fundamentales especificadas"3 Continúa diciendo Welsch "Un pronóstico se
convierte en un plan de ventas cuando la administración incorpora en él juicios, estrategias
planeadas, compromiso de recursos y la dedicación administrativa a las acciones agresivas
para lograr las metas de ventas"4. Hacer la diferencia entre un pronóstico y un presupuesto o
plan de ventas es mostrar el pronóstico como solo un paso necesario en la presupuestación de
las ventas.
Un pronóstico nunca se puede considerar por si solo como un presupuesto de ventas, sin
embargo es de suma importancia en la elaboración de los planes de ventas.
Para los pronósticos de ventas se emplean numerosos análisis tales como modelos
matemáticos, técnicas de investigación de operaciones, ajustes de tendencia, análisis de
correlación, suavización exponencial y otros. Hoy en día se hace más fácil ésta tarea debido a la
amplia aplicación de los computadores para suministrar los más variados y sofisticados análisis.
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Los pasos a seguir en la proyección de la demanda son tres:
a) Recolección de Datos e información.
b) Análisis de los datos recolectados.
c) Utilización de los métodos para proyectar la demanda.
a)Recolección de Datos e información.
Sin la obtención de datos e informaciones auxiliares, un especialista en mercados o en ventas, o
un formulador de proyectos no podrá saber exactamente lo que es el producto, ni definir al
consumidor, ni mucho menos proyectar la demanda en una forma técnica o al menos aceptable.
Solo después de tener definido el producto y el consumidor se puede pasar a la recolección de
datos e informaciones cuantitativos para así poder definir la demanda actual y proyectar la
futura.
Los datos a recolectar deber ser relacionados con el producto, tales como: los relativos al
consumo histórico, los relativos a la población consumidora potencial, los relativos a la
producción, a las preferencias del consumidor, al consumo según los precios, al consumo según
el ingreso per-capita.
b) Análisis de los datos recolectados.
Después de la obtención de la información y de los datos necesarios para la proyección, se
clasifican y se analizan estos, para entrar a definir los criterios y los parámetros con los cuales se
van a llevar a cabo las proyecciones.
Estos análisis se efectúan casi siempre en forma estadística buscando principalmente las
tendencias históricas y los puntos fuertes y débiles que permitan la proyección más exacta y
confiable posible.
c)Utilización de los métodos para proyectar la demanda.
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Los Métodos de proyección se pueden clasificar en las siguientes categorías:
Métodos Estadísticos
Y Calculada
Mínimos cuadrados.
Análisis de correlación.
Promedios y Semi Promedios
1.4.1 MÉTODO ESTADÍSTICO:
El método estadístico consiste en una secuencia de procedimientos para el manejo de los datos
cualitativos y cuantitativos de la investigación. Dicho manejo de datos tiene por propósito la
comprobación, en una parte de la realidad, de una o varias consecuencias verificables deducidas
de la hipótesis general de la investigación. Las características que adoptan los procedimientos
propios del método estadístico dependen del diseño de investigación seleccionado para la
comprobación de la consecuencia verificable en cuestión.
El método estadístico tiene las siguientes etapas:
1. Recolección (medición)
2. Recuento (cómputo)
3. Presentación
4. Síntesis
5. Análisis
1.4.2. OBJETIVO DE LA UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS ESTADÍSTICOS:
La estadística como ciencia se encarga de recopilar, e interpretar datos que en el futuro servirán
para proyectar posibles problemáticas, consiguiendo según estos datos, la solución más viable y
rápida.
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El objetivo básico de la estadística es hacer inferencia acerca de una población con base a
la información contenida en una muestra, ¿qué significa esto? Inferir significa inducir una cosa
de otra, llevar consigo, conducir a un resultado.
Es decir se pretende establecer inferencia acerca de algo, entendiendo a la población como un
conjunto de individuos, organismos o entes inanimados de los cuales queremos conocer alguna
o algunas características para que nos ayuden a tomar una decisión u obtener alguna conclusión
de suma importancia, y nada sabemos sobre la distribución, existencia, ubicación, valor de esta
o estas características que nos interesa saber.
La estadística dentro del mundo de las finanzas son muy importantes ya que por
razones materiales, de recursos humanos, de imposibilidad física y en definitiva de costos, no
podemos efectuar una encuesta a toda una población, para poder determinar si nuestros
productos o servicios son los adecuados o mejores, de qué manera mejorar la calidad del
producto o servicio, si son adecuados para la población de una determinada región o
determinadas edades, de esa cuenta es que no podemos apoyar en las estadísticas para la
elaboración de una proyección, que nos pueda proporcionar datos razonables y verídicos que
nos ayudara a tomar las decisiones más acertadas.
De igual manera se pueden utilizar las estadísticas para la elaboración de presupuestos de
ventas de gastos o de costos, porque podemos basarnos en la información y estadísticas de los
mercados tanto nacionales como internacionales.
1.4.2.1. MÉTODO DE TENDENCIAS
Este método de tendencias consiste en determinar la “propensión” de las cifras de los estados
financieros con base en su comportamiento histórico. Comparando las diferentes cifras de los
estados financieros.
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Consideremos el renglón ventas, de la empresa Sección “___”, S. A. de C. V., que tiene los
siguientes valores históricos reexpresados.
Partiendo de la ecuación de la línea recta y tenemos que: y= a+bx
En donde:
y= ventas del año a pronosticar
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a= ventas del año base
b= variación promedio
x= no. Que corresponde dentro de la serie de valores al año a pronosticar (en este caso 2009)
Sustituyendo valores tenemos que:
y= ventas 2009
a= 7, 500,000
b= 250,000
x=11
y= 7, 500,000 + (250,000) (11)
y= 7, 500,000 + 2, 750,000
y= 10, 250,000.00
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Regresión Simple
En este método de pronóstico el primer paso a desarrollar consiste en obtener una relación
promedio entre las variables y plantear las cifras en una grafica de ordenadas cartesianas.
A esta representación se le conoce bajo el nombre de grafica de dispersión. Por ejemplo, la
relación entre el ingreso de las personas y el consumo de carne puede ser representado en una
formula matemática y desde luego en una grafica.
Consideremos a los ingresos como la variable independiente "x"; al consumo de carne como la
variable dependiente "y", donde "y" tomara valores de acuerdo al valor que en la ecuación
matemática adopte "x".
Cuando dos variables se señalan sobre una grafica en forma de puntos o marcas, se denomina a
la grafica "diagrama de dispersión". En ellos se observa el nivel de relación entre las variables,
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que puede ir desde muy poca o ninguna, hasta absoluta.
A) RELACIÓN ABSOLUTA.
Esto es, la consecución de los puntos se encuentra sobre la línea de la ecuación matemática.
B) RELACIÓN MENOS ESTRECHA.
Donde los puntos de coordenadas no coinciden exactamente sobre la línea de la ecuación
matemática.
C) RELACIÓN DE INDEPENDENCIA COMPLETA
No existe relación alguna entre las variables, y los puntos de coordenadas están tan dispersos
en la grafica, que no tienden a formar ninguna curva.
Al ajuste de una línea al comportamiento de los datos observados se le denomina "análisis de
regresión"; así el tipo de curva de regresión dependerá de la tendencia que muestran los datos
en el diagrama de dispersión y por tanto pueden ser:
Línea recta
Línea parábola
Línea exponencial
Línea potencial
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El problema puede surgir al determinar cuál es la curva que mejor se ajusta a la serie empírica
dada, para lo cual estableceremos que será aquella en la que la suma del cuadrado de las
desviaciones de los puntos de la línea a los puntos de la grafica de la serie empírica, es un
mínimo. Se consideran puntos correspondientes aquellos que tienen la misma abscisa; es decir,
los puntos que quedan sobre la misma línea vertical.
El método de ajuste optimo de líneas a la grafica de la serie basada en el criterio anterior se
denomina método de los mínimos cuadrados y se usa muy frecuentemente en la formulación de
estudios de mercado, pues una vez conocida la función matemática en la que están
relacionadas las variables, es posible estimar el comportamiento futuro de las variables objeto
de estudio.
REGRESIÓN LINEAL.
En el caso de la regresión lineal el problema de encontrar la ecuación de la línea recta (y = a +
bx) de ajuste optimo, con el método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los
parámetros "a" y "b" de tal modo que la suma del cuadrado de las desviaciones sea un mínimo.
Intentemos explicar lo anterior con el empleo de una grafica.
La línea ajustada a los datos la llamaremos curva calculada o "Y" calculada; entonces tenemos
que, la diferencia entre los valores observados ("Y" observada) menos los valores calculados
("Y" calculada), en cada uno de los puntos correspondientes, es igual a una desviación "E", lo
que se intenta es encontrar la línea para la cual la suma de las desviaciones "E" sea un mínimo.
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
Lo anterior puede expresarse como:
Con estas ecuaciones podemos determinar los valores para "a" y "b" pues son ecuaciones
simultaneas de primer grado
Para una mejor comprensión, ejemplifiquemos su uso con los datos de la producción anual de
automóviles de la empresa Volkswagen de México, S. A. de C. V., según datos de la asociación
mexicana de distribuidores de automóviles, A.C.
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MÉTODO DE LA “Y” CALCULADA
Para realizar este método es necesario ajustar los datos a una línea recta, para poder estimar
una variable con relación a otra.
Para ajuste de esta línea se utiliza el método de mínimos cuadrados con la Ecuación de la Línea
Recta.
Que consiste en aplicar formula Yc = a + bx = Ecuación de Regresión, para ajustar la tendencia a
una línea recta.
Dónde:
Yc = Variable estimado o calculada
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
X = Variable que sirve para estimar la otra variable. Predictor en base a ella ………se
estima el predicando. (Variable Independiente).
Y = Constituye la Variable a estimar y recibe el nombre de Predicando.
a y b = Coeficientes de regresión
Simbología
a = Ventas del año base
b = Factor de acumulación
x = Año que se quiere (partiendo del cero “0”)
CASO PRÁCTICO MÉTODO “Y “ CALCULADA.
Ejemplo considerando número de años impar:
El resumen de ventas en miles de quetzales de la empresa el Faro en los últimos años son
los siguientes:
AÑOS X VENTAS Y XY Y² X²
2006 0 150.80 0.00 22,740.64 0
2007 1 165.00 165.00 27,225.00 1
2008 2 174.30 348.60 30,380.25 4
2009 3 180.50 541.50 32,580.25 9
2010 4 203.00 812.00 41,209.00 16
∑ 10 873.60 1,867.00 154,135.38 30
Con la información y utilizando el método directo se pide:
1. Establecer la ecuación
2. Trasladar el origen de la ecuación para el año 2010.
3. Con ambas ecuaciones calcule las ventas para los años 2011 y 2012.
1) Ecuación: Y= a+bx
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
XY=a=bx2
Sustituyendo valores
873.6= 5 a + 10b b=11.99
1867.10=10 a+30b
-1747.20= -10 a-20b
1867.10= 10 a+ 30b
119.90= +10b
. a= 873.6=5(a)+10(11.99)
. a=753.7/5
. a= 150.74
b) Yc= 150.74+11.99 (2010)
Yc= 150.74+11.99 (4)
Yc= 198.70
c) Yc = 150.74+ 11.99 (x)
Yc2011=150.74+11.99 (5)
Yc2012=150.74+11.99 (6)
Ejemplo considerando número de años par:
El resumen de ventas en miles de quetzales de la empresa el Faro en los últimos años son los
siguientes:
AÑOS X VENTAS Y XY X²
2004 -5 145.00 -725.00 -25
2005 -3 150.80 -452.40 9
2006 -1 165.00 -165.00 1
0 0
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2007 1 174.30 174.50 1
2008 3 180.50 541.50 9
2009 5 203.00 1,015.00 25
∑ 10 1,018.60 388.40 70
Con la información y utilizando el método abreviado se pide:
a) Establecer la ecuación
b) Trasladar el origen de la ecuación para el año 2010.
c) Con ambas ecuaciones calcule las ventas para los años 2011 y 2012.
a) Ecuación: Y= a+bx
.a= ∑y/n
.a= 1018.6/6 = 169.77
.b= ∑XY/ ∑ X2
.b=388.4/70= 5.55
b) Yc= 169.774+5.55 ( 2010)
Yc = 169.774+ 5.55 (7)
c) Yc = 169.774+ 5.55 (x)
Yc2011 = 169.774+ 5.55 (9)= 219.72
Yc2012 = 169.774+ 5.55 (11)=230.82
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
El método de mínimos cuadrados, es un método que sirve para proyectar las ventas de futuros
períodos con base a ventas de gestiones pasadas.
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
Como cualquier otro, el método de mínimos cuadrados debe ser ajustado en caso de que
existan factores que cambien las condiciones y situaciones, tanto económicas, políticas, de
mercado, capacidad, tanto externas como internas.
Por ejemplo, si la cantidad de ventas en los anteriores cinco años fueron:
Si se desea estimar las ventas para los siguientes cinco años con la misma tendencia, se puede
acudir al método de mínimos cuadrados.
Aplicando el método de mínimos cuadrados, se ajusta a la recta:
donde:
Por lo que para reemplazar en éstas fórmulas, previamente es necesario determinar:
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Reemplazando en las fórmulas:
En primer lugar en la fórmula:
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En segundo lugar en la fórmula:
Con lo cual la recta ajustada por mínimos cuadrados es:
Mientras que el crecimiento (c) se determina mediante la fórmula:
Por ejemplo, el crecimiento (c) para cinco años es el siguiente:
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Esto significa que las ventas crecerán a un promedio de 4.8 % por período.
Por tanto, las ventas estimadas para los siguientes cinco períodos son:
Pronóstico de ventas para el período 6
Pronóstico de ventas para el período 7
Pronóstico de ventas para el período 8
Pronóstico de ventas para el período 9
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Métodos Matemáticos y Estadísticos, para el cálculo del Presupuesto de VentasFinanzas II
Pronóstico de ventas para el período 10
Por tanto, el pronóstico de ventas para los siguientes cinco períodos es:
La gráfica de las ventas proyectadas es la siguiente:
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PROMEDIO O MEDIA ARITMETICA
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o
simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de
datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o
valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de
sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media
muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total
de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
MÉTODO DE LOS SEMIPROMEDIOS
Este método se aplica con el objeto de simplificar los cálculos y consiste en:
a) Agrupar los datos en dos grupos iguales
b) Obtener el valor central (mediana) de los tiempos y la media aritmética de los datos de
cada grupo, consiguiéndose así dos puntos de la recta de tendencia y
c) Estos valores se reemplazan en el siguiente sistema:
d) Resolviendo el sistema se encuentran los valores de y los cuales se reemplazan en la
ecuación de la recta de tendencia, la cual es:
Con esta recta de tendencia se puede realizar pronósticos, los cuales son menos exactos que los
obtenidos con el método de los mínimos cuadrados, sin embargo, su diferencia es mínima.
CRITERIO
El dato mas exacto es el de los semi promedios debido a que los datos se agrupan de mejor
manera para el cálculo del promedio.
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