MÉTODOS NUMÉRICOS

SOSA ZAMBRANO KAREN XIOMARAANCHUNDIA LAZ STALIN ANTONIOFRANCO GUERRERO LUIS ENRIQUE

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEALES

Cuando el número de variables de los sistemas a resolver es elevado (por ejemplo arriba de 100) los métodos directos resultan imprácticos y recurrimos a los métodos iterativos.

MÉTODO DE JACOBIDado un sistema lineal:

n

jjjij nibxa

1

1,

Podemos despejar la variable xi para obtener una expresión que relacione )1( k

ix con :)(kix

n

jj

iiii

ikj

ii

ijki ani

a

bx

a

ax

11

)()1( 0,1,)(

MÉTODO DE JACOBI El método de Jacobi consiste básicamente en

aplicar la ecuación anterior para cada una de las variables, empezando con los valores iniciales correspondientes.

La forma matricial se deriva de forma similar. Partimos de la ecuaci´on Ax = b y el hecho de que podemos descomponer la matriz A como:

A = D + L + U es decir en sus matrices diagonal principal,

triangular inferior y triangular superior, respectivamente.

MÉTODO DE JACOBI Por tanto: Ax = (D + L + U)x = b y entonces podemos despejar el t

´ermino Dx para obtener: Dx = −(L + U)x + b y como aii 6= 0 para 1 i n, podemos

despejar x en Dx para obtener: x = −D−1(L + U)x + D−1b

MÉTODO DE JACOBIUtilizando este ecuacion, obtenemos la ecuacion para un paso del metodo de

J acobi, en forma matricial:

x(k+1) = −D−1(L + U)x(k) + D−1b

donde x(k) representa el valor de las variables en la k-esima iteracion, empezando

con el vector x0. El proceso se detendra cuando la distancia euclideana | | x(k+1) −

x(k)| | < e, para una determinada tolerancia del error e, donde, claro:

2/1

1

2)(

n

jii yxYX

Ejemplo

1. Con el método de Jacobi aproxima la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales, con 5 iteraciones y determina la cantidad de cifras significativas exactas de

la quinta iteración. Utiliza como iteración inicial .

Nota: Para los cálculos utiliza hasta 4 cifras después del punto decimal.

RESOLUCIÓNSolución

Primeramente notamos que la matriz de coeficientes del sistema sí es diagonalmente dominante. Por lo tanto, podemos emplear la fórmula recursiva del método de Jacobi, obteniendo:

Para la primera iteración consideraremos , de donde:

Para la segunda iteración utilizamos los valores de la primera iteración:

Similarmente para las otras tres iteraciones resulta la tabla de aproximaciones:

Iteración

0 0.0000 0.0000 0.0000

1 2.0000 0.6000 2.0000

2 1.4250 1.0000 2.2800

3 1.3050 0.9705 2.0850

4 1.3574 0.9390 2.0669

5 1.3659 0.9424 2.0837

Los errores relativos para cada variable son:

,

,

De esta forma se puede asegurar que la aproximación para , y en la quinta iteración sólo tienen doscifra significativa exacta.

MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL

A diferencia del método de Jacobi, el Método de Gauss-Seidel, utiliza los valores previos de 11,)( ijX K

J para calcular el valor de )1( kix Esto nos da la siguiente

ecuación para el MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

1

1 1

)()1()1( 1 i

j

n

iji

kjij

kjij

ii

ki bxaxa

ax

MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL

El método de Gauss-Seidel consiste básicamente en aplicar la ecuación 3.8 para cada una de las variables, empezando con los valores iniciales correspondientes. La forma matricial se deriva de forma similar al método de Jacobi. De la ecuación 3.3, despejamos ahora el término (D + L)x para obtener:

(D + L)x(k+1) = −Ux(k)+b

de donde despejando, encontramos la ecuación de una iteración del método de Gauss-Seidel:

x(k+1) = −(D + L)−1Ux(k)+(D + L)−1b

EJEMPLOEJEMPLO 1 DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

PROBLEMA: Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:

hasta que

RESOLUCIÓNSOLUCIÓN:

Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando.

Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

Ahora se sustituye y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2:

Ahora se sustituye y en la tercera ecuación para obtener x3:

Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Puesto que todavía no se puede calcular ningún error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los últimos datos obtenidos para las incógnitas:

Sustituyendo y en la ecuación 1 se obtiene

Sustituyendo y en la ecuación 2 se obtiene

finalmente, sustituyendo y en la ecuación 3 se obtiene

. Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del sistema:

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los últimos valores

obtenidos de cada una de las incógnitas. Nótese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

n este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN El método de Gauss-Jordan es una variación de la

eliminación de Gauss. La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss – Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones en lugar de hacerlo sólo en las subsecuentes. Además, todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz de identidad en vez de uan triangular. En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para obtener la solución. El método se ilustra con un ejemplo:

GRACIAS!!!