Métodos Numéricos - juanrodriguezprieto.files.wordpress.com · Ejemplo de la regla del trapecio f ( x ) = 0.2 + 25 x - 200 x 2 + 675 x 3 - 900 x 4 + 400 x 5 Aproxime la integral

Métodos Numéricos

Juan Manuel Rodríguez Prieto

I.M., M.Sc., Ph.D.

Integración numérica


• Objetivo: aproximar el valor de la integral

• Limitaciones de la integración analítica

• Las expresiones analíticas de son

desconocidas

• tiene una integral analítica complicada o

desconocida

I = f (x)dxa

b

ò

f (x)

f (x)


de Newton-Cotes

• Métodos que remplazan una función complicada

o datos tabulados por un polinomio de

aproximación que es fácil de integral

• Donde es un polinomio de la forma

I = f (x)dxa

b

ò @ fn(x)dxa

b

ò

fn(x)


de Newton-Cotes

Aproximación de una integral mediante el área

bajo una línea recta.


de Newton-Cotes

Aproximación de una integral mediante el área

bajo una parábola.

La regla del trapecio

La regla del trapecio es la primera de las formulas de integración de Newton-

Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado (línea

recta).

La recta que pasa por los puntos y esta dada por:

El área bajo la línea recta f1(x) es una aproximación de la integral de f(x) entre

los límites a y b

I = f (x)dxa

b

ò @ a0 + a1xdxa

b

ò(a, f (a)) (b, f (b))

a0 + a1x = f (a)+f (b)- f (a)

b- a(x- a)

I @ f (a)+f (b)- f (a)

b- a(x- a)dx

a

b

ò = (b- a)f (a)+ f (b)

2

La regla del trapecio

I = f (x)dxa

b

ò @ (b- a)f (a)+ f (b)

2

Geométricamente, la regla del trapecio equivale a aproximar el área

bajo la curva f(x), como el área del trapecio que se forma al unir los

puntos (a, f (a)) (b, f (b))

Error de la regla del trapecio

Et = -1

12f ''(x)(b- a)3

Cuando usamos la integral bajo un segmento de línea recta para

aproximar la integral bajo una curva, se tiene un error que puede ser

importante. Una estimación al error de truncamiento para una sola

aplicación de la regla del trapecio es

Donde esta en algún lugar del intervalo de a a bx

Ejemplo de la regla del trapecio

f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5

Aproxime la integral de la curva

Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio

f (a = 0) = 0.2

f (b = 0.8) = 0.232

b- a= 0.8

I @ (b- a)f (a)+ f (b)

2= 0.8

0.2 + 0.232

2= 0.1728


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5



f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5


El área bajo la curva es mucho mayor que el área debajo de la

aproximación lineal, de acuerdo a la gráfica mostrada en la

diapositiva anterior.

¿Cuanto es el error debido al aproximar la integral del polinomio

de grado usando la regla del trapecio?

I = f (x)dx0

0.8

ò = (0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5 )dx0

0.8

ò

= 1.640533


El error porcentual es de

E(%) =1.640533 - 0.1728

1.640533*100 = 89.5%

¿Cómo se puede disminuir el error?

Se puede dividir el intervalo de interés, en más

intervalos. En otras palabras aplicar varias veces

la regla del trapecio en el intervalo de interés

La regla del trapecio de aplicación

múltipleUna forma de mejorar la precisión

de la regla del trapecio consiste en

dividir el intervalo de integración

de a a b en varios segmentos, y

aplicar el método a cada uno de

ellos. La área asociada a cada uno

de los intervalos se suman después

para obtener la integral en todo el

intervalo. Las ecuaciones

resultantes se llaman fórmulas de

integración, de aplicación múltiple

o compuesta.

Vamos a dividir el intervalo de

interés en n segmentos del mismo

ancho, es decir tendremos n+1

puntos igualmente espaciados.


múltiple

Aplicando la regla del trapecio a cada una de las integrales


múltiple

Simplificando, se obtiene

I = f (x)dxa

b

ò @h

2f (a)+ 2 f (xi )

i=1

n-1

å + f (b)é

ëê

ù

ûú

I = f (x)dxa

b

ò @ (b- a)

f (a) + 2 f (xi )i=1

n-1

å + f (b)

2n

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

Erro de la regla del trapecio de

aplicación múltiple

Et = -(b- a)3

12n3f ''(xi )

i=1

n-1

å

Simplificando, se obtiene

Ea =(b- a)3

12n2

f ''(xi )i=1

n-1

å

n

=(b- a)3

12n2f ''

Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide

entre 4


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5


Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple

Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4f (a = 0) = 0.2

f (x1 = 0.4) = 2.456

f (b = 0.8) = 0.232b- a

n= 0.4

I = f (x)dxa

b

ò @h

2f (a)+ 2 f (x1)+ f (b)[ ]

=0.4

20.2 + 2 *2.456 + 0.232[ ]

= 1.0688


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5



Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5




Utilizando dos divisiones del intervalo el error ha disminuido de un

89.5% a un 34.9%

E(%) =1.640533 -1.0688

1.640533*100 = 34.9%


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5



Usaremos n=3, lo cual da un h=0.2667

f (a = 0) = 0.2

f (x1 = 0.2667) = 1.4327

f (x2 = 0.5333) = 3.4872

f (b = 0.8) = 0.232

b- a

n= 0.2667

I = f (x)dxa

b

ò @h

2f (a)+ 2 f (x1) + 2 f (x2 )+ f (b)[ ]

=0.4

20.2 + 2 *1.4327 + 2 * 3.4872 + 0.232[ ]

= 1.3695


f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5





f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5




Utilizando tres divisiones del intervalo el error ha disminuido de un

89.5% a un 16.5%

E(%) =1.640533 -1.3695

1.640533*100 = 16.5%


múltiple en Matlab

n = 5;a = 0;b = 0.8;x = linspace(a,b,n+1);x2 = x.*x;x3 = x2.*x;x4 = x3.*x;x5 = x4.*x;y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5;

integral = y(1);for i = 2:n

integral = integral + 2*y(i);endintegral = integral + y(n+1);h = (b-a)/n;integral = integral*h/2;integral


múltiple en Matlab

n h Integral

2 0,4000 1,0688

3 0,2667 1,3696

4 0,2000 1,4848

5 0,1600 1,5399

6 0,1333 1,5703

7 0,1143 1,5887

8 0,1000 1,6008

9 0,0889 1,6091

10 0,0800 1,6150

11 0,0727 1,6195

12 0,0667 1,6228

13 0,0615 1,6254

14 0,0571 1,6275

15 0,0533 1,6292

Resultados obtenidos para diferentes

valores de n

A medida que n incrementa, el valor de

la integral que se obtiene usando la regla

del trapecio múltiple se aproxima a la

solución analítica

for n= 2:15a = 0;b = 0.8;x = linspace(a,b,n+1);x2 = x.*x;x3 = x2.*x;x4 = x3.*x;x5 = x4.*x;y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5;

integral = y(1);for i = 2:n

integral = integral + 2*y(i);endintegral = integral + y(n+1);h = (b-a)/n;integral = integral*h/2;resultado(n-1,:)= [n,h, integral];end

Regla de Simpson 1/3Además de aplicar la regla del trapecio con una

segmentación fina, otra forma de obtener una

estimación más exacta de una integral consiste en

usar polinomios de grados superior para unir los

puntos.

Por ejemplo, otro punto entre la mitad entre f(a)

y f(b), los tres puntos se pueden unir con una

parábola. Si hay dos puntos igualmente

espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se

pueden unir con mediante un polinomio de

tercer grado.

Las formulas que resultan de tomar las integrales

bajo esos polinomios se conocen como reglas de

Simpson

f (x0 ) = a0 + a1x0 + a2x0

2

f (x1) = a0 + a1x1 + a2x1

2

f (x2 ) = a0 + a1x2 + a2x2

2

1 x0 x0

2

1 x1 x1

2

1 x2 x2

2

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

a0

a1

a2

é

ë

êêê

ù

û

úúú

=

f (x0 )

f (x1)

f (x2 )

é

ë

êêê

ù

û

úúú

a0

a1

a2

é

ë

êêê

ù

û

úúú

=

-(x1x2 ) / (x0x1 + x0x2 - x1x2 - x0

2 ) -(x0x2 ) / (x0x1 - x0x2 + x1x2 - x1

2 ) (x0x1) / (x0x1 - x0x2 - x1x2 + x2

2 )

(x1 + x2 ) / (x0x1 + x0x2 - x1x2 - x0

2 ) (x0 + x2 ) / (x0x1 - x0x2 + x1x2 - x1

2 ) -(x0 + x1) / (x0x1 - x0x2 - x1x2 + x2

2 )

-1/ (x0x1 + x0x2 - x1x2 - x0

2 ) -1/ (x0x1 - x0x2 + x1x2 - x1

2 ) 1 / (x0x1 - x0x2 - x1x2 + x2

2 )

é

ë

êêêê

ù

û

úúúú

f (x0 )

f (x1)

f (x2 )

é

ë

êêê

ù

û

úúú

I = f (x)dxa

b

ò @ f2(x)dxa

b

ò =h

3f (x0 )+ 4 f (x1)+ f (x2 )[ ]

Regla de Simpson 1/3

I @ (b- a)f (x0 )+ 4 f (x1)+ f (x2 )

6

é

ëêù

ûú

I @ Ancho por altura promedio

Et = -1

90h5 f 4 (x)

Regla de Simpson 1/3

Error

Et = -(b- a)5

2880f 4 (x)

Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla del trapecio. Además,

es más exacta de lo esperado, porque en lugar de ser el error proporcional a la

tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. En otras

palabras, da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se

obtenga un parábola.

Aplicación de la regla de Simpson

1/3

f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5

Aproxime el valor de la integral de la siguiente función

Usando la regla de Simpson 1/3

f (a = 0) = 0.2

f (x1 = 0.4) = 2.456

f (b = 0.8) = 0.232

I @ 0.80.2 + 4 *2.456 + 0.232

6

é

ëêù

ûú= 1.367467

Aplicación de la regla de Simpson

1/3

Error

f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5


Et =1.640533 -1.367467( )

1.640533100 = 16.6%

Es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del

trapecio

Regla de Simpson 1/3 de aplicación

múltiple

La regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en

varios segmentos de un mismo tamaño.

Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método

f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5


Usando la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple

f (a = 0) = 0.2

f (x1 = 0.2) = 1.288

f (x2 = 0.4) = 2.456

f (x3 = 0.6) = 3.464

f (b = 0.8) = 0.232

I @ 0.80.2 + 4(1.288 + 3.464)+ 2(2.456)+ 0,232

12

é

ëêù

ûú= 1.623467

Regla de Simpson3/8

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3,

es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro

puntos e integrarlo

I @3h

8f (x0 )+ 3 f (x1)+ 3 f (x2 )+ f (x3)( )

Et = -(b- a)5

6480f 4 (x)

La regla 3/8 es más exacta que la regla de 1/3.

Por lo general, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una

exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos

requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando

el número de segmentos es impar.

Regla de Simpson3/8

f (x) = 0.2 + 25x- 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5


Usando la regla de Simpson 3/8

f (a = 0) = 0.2

f (x1 = 0.2667) = 1.432724

f (x2 = 0.5333) = 3.487177

f (b = 0.8) = 0.232

I @ 0.80.2 + 3(1.432774 + 3.487177)+ 0.232

8

é

ëêù

ûú= 1.519170

Et =1.640533 -1.519170

1.640533100 = 7.4%

Tarea

8 + 4 cos(x)dx0

p /2

ò

Evalué la integral siguiente:

(a) De forma analítica

(b) Con una aplicación de la regla de trapecio

(c) Con aplicación múltiple de la regla de trapecio n=3

(d) Con una aplicación de la regla de Simpson 1/3

(e) Con una aplicación de la regla de Simpson 3/8

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