UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, Decana de Amrica)E.A.P INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS(2015-0)

TRABAJO DE CAPA LMITE

TEMA: Solucin para la deflexin de una viga en cantilver por el MTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

ALUMNO:- CHARA CARUAYO EDGARD

PROFESOR:- VICTOR YZOCUPE

Lima PerJueves 5 de Febrero del 2015

INTRODUCCIN

El presente trabajo de investigacin es producto de la inquietud que naci al tratar de escrudiar aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales aplicados a Vigas en la Ingeniera con el apoyo del Software Cientfico Matlab.

En este trabajo se verifica cmo las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales pueden ser tiles en las soluciones de variados tipos de problemas de la situacin del mundo real, en particular se muestra cmo al traducir problemas de un lenguaje de ecuaciones diferenciales ordinarias, esto es, establecer la formulacin matemtica de problemas y realizacin del modelo matemtico. Mediante el anlisis Matemtico se resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sujeta a condiciones, as mismo con el apoyo del software antes descrito se acelera significativamente los clculos.

El presente trabajo presenta la solucin de un modelado numrico de una viga en cantilver.

DEFLEXIN DE UNA VIGA:

VIGA.- En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexin. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin, producindose las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes. Tambin pueden producirse tensiones por torsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecnico.

EJE DE SIMETRA:Un eje de simetra es una lnea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes cuyos puntos opuestos son equidistantes entre s, es decir, quedan simtricosCURVA ELSTICA:La curva elstica o elstica es la deformada por flexin del eje longitudinal de una viga recta, la cual se debe a momentos, fuerzas y cargas distribuidas aplicadas sobre la viga.ECUACIN DE LA ELSTICA: La ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la elstica es una ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elstico lineal sometido a pequeas deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene dada por:

Dnde: : representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin sin cargas. : la ordenada sobre la viga.: el momento flector sobre la ordenada . : el segundo momento de inercia de la seccin transversal. : el mdulo de elasticidad del material.MTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

DIFERENCIAS FINITAS:

Supongamos los puntos xi de la tabla, equidistantes, con h unidades de diferencia y sean fi los valores correspondientes de la funcin respectivamente.

Las diferencias fi+1 - fi se llaman diferencias de primer orden. Segn la naturaleza del problema, esta cantidad se escribe fi (diferencias ascendentes), (diferencias descendentes) o (diferencias centrales). As:

las diferencias de orden superior se forman con las relaciones de recurrencia.

En general, la tabla de diferencias tiene el aspecto siguiente:

Los mtodos ya estudiados en clase, es decir del tipo de Runge Kutta, incluyendo los mtodos de Euler y de Euler modificado como un caso especial, se llaman mtodos de un paso debido a que solo utilizan la informacin del ltimo paso calculado. Con esto ellos tienen la capacidad de realizar el siguiente paso como un tamao de paso diferente, y son ideales para comenzar la solucin en donde exponen las condiciones iniciales. Sin embargo, despus de que la solucin a comenzado, se puede obtener informacin adicional disponible acerca de la funcin (y sus derivadas), si uno es lo suficientemente hbil como para retenerla en la memoria de la computadora. Un mtodo de pasos mltiples es aquel que toma ventajas de este hecho.

El principio que se encuentra atrs del mtodo de diferencias finitas es utilizar los valores anteriores de y, para construir un polinomio que se aproxime a la funcin derivada, y extrapolar este polinomio en el siguiente intervalo. La mayora de los mtodos utilizan valores equiespaciados, para hacer que la construccin del polinomio sea fcil.

El nmero de puntos utilizados por los que los que pasa, determina el grado del polinomio igual a la potencia de h en el trmino error global de la frmula, el cual tambin es igual a uno ms que el grado del polinomio.

Para deducir las relaciones del mtodo de diferencias finitas, se escribe la ecuacin diferencial dy/dx = f(x,y) en la forma.dy = f(x,y)dx,y se integra entre xn y xn+1

Con el fin de integrar el trmino de la derecha de la igualdad se aproxima f(x,y) como un polinomio en x, el cual se ajusta haciendo que pase por varios puntos. Si se ajusta a 4 puntos, ser cbico. Mientras se ajuste a ms puntos, mayor es la precisin (por supuesto, hasta que interfiera el valor por redondeo).

PROBLEMA:

La deflexin Y en una viga en cantilver bajo una carga F, puede ser modelado con la siguiente EDO.

Las condiciones de frontera son:a) Y(x=0)=0b) Y(x=L)=1

Adems: L=240F=1756.04x=10La funcin de los momentos:a) Para 0 X 192Ma=2400*(192-x)Para otro valor de X:Ma=0b) Para 0 X 228Mb=F*(x-228)Para otro valor de X:Mb=0c) El valor de EI ser: Para 0 X 100 Para 200 X L Para otro valor de X: EI=20*10^6 EI= 15*10^6 EI=10*10^6Desarrolle un programa de cmputo para calcular Y en toda la viga. Utilice diferencias finitas y eliminacin de Gauss presente sus resultados en forma tabular y graficar.SOLUCION:

De la primera condicin de frontera tenemos:

Reemplazando la primera condicin de frontera para i=1:

Y as hacemos sucesivamente, para este problema se us el programa MATLAB.

%Programa en Matlab calcula la deflexin de una vigaclear allclose allL=input('Ingrese la longitud de la viga: ');h=input('Ingrese el intervalo:');F=1756.04;n=L/h-1; %nmero de nodos internosfor k=1:n % Este algoritmo crea el vector columna o w(k)=(k)*h; % de residuos if w(k)