UNIDAD 2.

Actividad 1. Características de los métodos de demostración.

A través de esta actividad podrás diferenciar las características entre cada uno de los métodos de demostración, además de argumentar en qué casos se utiliza uno u otro.

Instrucciones:

1. De acuerdo a lo visto en los temas anteriores de la unidad, investiga que características tiene cada uno de los métodos de demostración, presenta un ejemplo de demostración de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cuales se desarrolla la demostración por ese método.

2. Ingresa al foro y anota los ejemplos de demostración de cada método y el argumento por el cual lo demostraste con ese método.

3. Revisa las respuestas de dos de tus compañeros aceptando o rechazando su respuesta.

Método progresivo–regresivo.Es un método de demostración cuya característica fundamental es que se puede partir de las hipótesis y llegar directamente a la conclusión, por esta razón se le llama progresivo, o bien, puede partir de la conclusión y llegar a la hipótesis, por esa razón se le llama regresivo. También, puede partirse de la hipótesis y llegar a una conclusión secundaria que se deduce de la conclusión principal, de forma que al ser verdadera la conclusión secundaria, se deduce que es verdadera la conclusión final y por esta razón se le llama método progresivo–regresivo.Ejemplo:El área de un triángulo rectángulo es 15x2 + 30x. ¿Cuál es la medida de sus catetos?De manera regresiva:Separamos los datos; hipótesis (H) y conclusión (C).H: Área de un triángulo rectángulo.C: El área es 15x2 + 30x.Se parte de la conclusión, es decir, iniciamos de manera regresiva. Se sabe que el área es 15x2 + 30x, por hipótesis se conoce que se trata del área de un triángulo rectángulo, por lo tanto el área se obtuvo de la fórmula b x h / 2.De manera progresiva:H: Área de un triángulo rectángulo.El área de todo triángulo se obtiene con la fórmula b x h / 2, por lo tanto multiplicamos por dos el área del triángulo rectángulo en mención, resultando 30x2 + 60x. Considerando que esa sería el área de un rectángulo, para encontrar la medida de largo y de alto, se procede a factorizar:30x2 + 60xx(30x + 60)Si el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, entonces x puede representar la base y 30x + 60 la altura, llegando a la conclusión que un cateto del triángulo rectángulo mide x y el otro 30x + 60.

Método de demostración directa.Se utiliza cuando tenemos un enunciado que consta de un conjunto de hipótesis que se consideran verdaderas y un conjunto de conclusiones cuyo valor de verdad debe ser demostrado, este método consiste, en utilizar las hipótesis para avanzar progresivamente en la demostración del enunciado, alcanzando la conclusión, ya sea para demostrarla o para encontrarla. Se le llama método de demostración directa, porque utiliza directamente la

hipótesis para demostrar la conclusión, en otras palabras, es un método que no se desvía analizando negaciones de alguna proposición o de la conclusión.Ejemplo:El producto de dos números pares es par.Tenemos:Hipótesis: Dos números son pares.Tesis o conclusión: Su producto es par.Simbolizando:a + b son pares.Estableciendo equivalencias:a = 2x b = 2y En el entendido cualquier número multiplicado por dos es par.Operando:(a)(b) = (2x)(2y)Lo que es igual a:4xyFactorizando:4xy = 2(2xy)Entonces:(a)(b) es igual a 2 por 2xy, comprobando así el enunciado.

Método por reducción al absurdo.Supone que la proposición que queremos demostrar, es decir la conclusión, es falsa. Para ello se usan deducciones matemáticas para llegar a una contradicción o algo absurdo, lo que implica que la proposición de la que partimos es cierta.Ejemplo:Si el producto de dos números enteros es par, entonces por lo menos uno de ellos es par.Simbolizando:xy = 2(k)Negando la tesis o conclusión:x no es par (x = 2a + 1)y no es par (y = 2b + 1)Estableciendo equivalencias:xy = (2a + 1) (2b + 1)Operando:xy = (4ab + 2a + 2b + 1)Factorizando (factor común 2)xy = 2(2ab + a + b) + 1Entonces:xy es impar Si esta tesis es una contradicción de la original, estonces esta última es verdadera.

Método por inducción matemática.La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:

Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad. A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n

(arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales.

Ejemplo:Demostrar que para todo n perteneciente a los naturales, se cumple que: n(n+1) es par.Sustituyendo a n por 1:1(1+1) = 2 El 2 es par.Sustituyendo a n por k:k(k+1) es par.Sustituyendo a n por k+1:(k+1)((k+1)+1) es par.Operando:(k+1)(k+2)k+1 par o k+1 impar.Suponiendo que es par: (k+1)(k+2) es par.Suponiendo que k+1, entonces (k+2) es par y (k+1)(k+2) también es par.

Método por contraejemplo.Este método se utiliza para demostrar que un argumento que pensemos que no es válido realmente no es válido. Es decir, no se utiliza para demostrar la validez si no que para demostrar la falsedad.Ejemplo:Todos los números impares entre el 2 y el 10 son primos.Las dos condiciones son:Ser números primos, lo que implica que deben tener 2 divisores, el 1 y sí mismo.Ser impares entre el 2 y el 10, es decir 3, 5, 7 y 9.Analizando:Divisores de 3: 1 y 3Divisores de 5: 1 y 5Divisores de 7: 1 y 7Divisores de 9: 1, 3 y 9Por lo tanto el enunciado: todos los números impares entre el 2 y el 10 son primos, es falso.

Método de demostración por casosEn muchas ocasiones la situación que propone una demostración es tal que se puede clasificar en un número finito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito de clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante algún truco diferente para obtener la conclusión a la que queremos llegar.Por ejemplo:La última cifra del cuadrado de un número natural es: 0, 1, 4, 5, 6 o 9Analizando:Todos los números naturales tienen terminación de: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9Por lo tanto, dividiendo en impares y pares:Impares: 1, 3, 5, 7, 9Pares: 0, 2, 4, 6, 8Elevándolos al cuadrado:12 = 1, 32 = 9, 52 = 25, 72 = 49, 92 = 8102 = 0, 22 = 4, 42 = 16, 62 = 36, 82 = 64Concluyendo:El enunciado: todos los números naturales tienen terminación de: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, es válida.