Microeconomia Avanzada

5/16/2018 Microeconomia Avanzada

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PREFACIO

Un cafe para empezar


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2 / CUfSO de microeconomfa avanzada

analizar el comportamiento agregado). Para ella se parte de la mdiferentes agentes econ6rnicos como unidades de decision individla compatibilidad de sus acciones y la eficacia de sus resultados.

Las dos preguntas centrales que aborda la rnicroeconomfa delson las siguientes: (a) ~Consiguen los mercados hacer compatiblenumerosos agentes que toman sus decisiones de manera independeseable el resultado que se aIcanza? La primera de las preguncon la existencia de equilibrio. La segunda con el analisis de sucuestiones definen el enfoque de los temas que abordaremos en e


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multivaluada, 10 que exige el uso de correspondencias para detamiento competitive. Ello no debe ser motivo de preocupacion,1 0 que necesitaremos sera simplemente entender la nocion de ccorrespondencia (que se explica en el capitulo dedicado al repasobasicas). En todo caso, la discusion puede adaptarse facilmente atas y demandas univaluadas. De heche, recurriremos al uso de [uestricto) de oferta y demanda en algunas partes del texto.

Ellibro consta de 11 capitulos, divididos en cuatro partes. Rnuacion su contenido.

La parte primera es una in i roducc ion y contiene un tinico capitupero importante para la adecuada comprension del modele de equel se precisan las nociones de mercancias, agentes y economiaslos supuestos fundamentales que delimitan el "modele basico",capftulos siguientes.


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redistribuir convenientemente la riqueza). Se estudia tambien aquequilibrio y 6ptimo, cuando las funciones de cornportamiento ddiferenciab les.

EI capitulo 8 analiza las circunstancias mas comunes en lascompetitivos no generan asignaciones eficientes, Se discuten los pdos de la presencia de externalidades y bienes publicos, asi comode la intervencion publica. Se comentan tambien otros tipos de f(comportamientos no competitivos, informacion asimetrica, etc.).

Finalmente, el libro contiene una parte de Complementos , concapitulos. En el capitulo 9 se discute el problema de decisi6n sinformaliza el espacio de loterfas, se presentala teoria de la utilise analiza eI tema de las actitudes frente al riesgo, EI capitulo 10dio del problema de eleccion social. Se formula el problema, se pregeneral, y se discuten los principales resultados de posibilidad y


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Agradecimientos y advertencia allectorLas siguientes paginas constituyen el resultadode la elaboracionnuada de las notas de c1ase que he ido preparando durante los afiMicroeconomia avanzada, tanto en el segundo ciclo de 1aLicenciacomo en e1primer afio del Programa de Doctorado Q.E.D} enA1icante. Varias generaciones de estudiantes han colaborado enversiones anteriores, ayudandome a corregir imprecisiones y a ajuIgnacio J imenez- Raneda, Javier Lopez Cufia t y David Perez Castrilrosidad de revisar buena parte de los capftulos, proponiendo mejoy corrigiendo errores materiales y sustantivos. Mi sincere agradec

Quiero tambien dar las gracias a Vera Emmen y Mercedes Matlas Iabores de edicion de los sucesivos manuscritos que han dado

Finalmente, debo advertir al lector que este es un libro "al vie


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NOTACION

Con objeto de facilitar la lectura del texto, presentamos a continude la notaci6n utilizada.Sean x , y dos vectores en iRe . Entonces:

a) x . 2 : y significa que Xh . 2 : Yh para todo h = 1,2, ..., c .b) x y significa que x ::::y, con x = I y.c) x y significa que Xh > Yh para todo h = 1,2, ..., e .


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Mp, u) Funcion de demanda compensada (0 Hicksiana).e(p,u) = ph(p, u) Fund6n de gasto.

Empresasn Empresas, denotadas por el subindice [.ljc H . e Conjunto de producd6n de la empresa j-esima.Y j E Yj Produccion de la empresa j-esima.Y = 2 :7 : 1 lj Conjunto de producd6n total.Y = ' '; = 1 Y j Produccion agregada.PY j Beneficios de Ia Fesima empresa.


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PARTEI

INTRODUCCI6N

La modelizaci6n del comportamiento de los agentes economicosen buena medida can la modelizacion de un proceso de eleccioncada agente se enfrenta a un conjunto de alternativas sobre el que t


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tos agentes econ6rnicos resulta factible. 0, dicho de otro modo, enlos precios y los mercados son capaces de efectuar la coordinaci6necon6mica que se desarrolla de forma descentralizada. Cuando eproduce, es decir, cuando los planes de todos los agentes resultansf, decimos que existe un equi l ibria. Un equilibrio es pues una situagentes no tienen incentivos para cambiar sus planes.

Ello no implica, sin embargo, que se hate de una situaci6seabIe. La valoraci6n social de los resultados econ6micos es laclave del analisis de equilibrio general. Supongamos que la ecosituaci6n de equilibrio (es decir, todos los agentes estan lIevandosimultaneamente). LPodria ocurrir que la econornia fuera capaz deresultados? Si as! fuera, cabria la posibilidad de que la intervencde autoridad (el Gobierno, por ejemplo) mejorara Ia situaci6n. Poproblemas que se suscitan inmediatamente: (i)LQue significa "mej


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1 0 EL MARCO DE REFERENCIA

"L e sim ple fait d 'ex prides symboles est un grandv estissem en t q ui, u ne fo is ela m em oire pour a ider a lafin itio n e t a l' e x plic atio n decepiee",

RENE DESCARTES


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Puede atribuirse a Leon Wa1ras (1874) la primera construceionmodele de equilibrio economico general en el que dadas las dotaciiniciales, las preferencias de los consumidores y 1a tecnologia cony las demandas resultaban funciones de los precios de mercado.definia entonces mediante un vector de precios para el cual las ofedas se igualaban en todos los mercados. La existencia de un vectequilibria era deducida, ingenuamente, de Ia igualdad entre el num(los precios) y el ruimero de ecuaciones que definian el modele (comofertas y demandas en todos los mercados). Como senala Debreusi bien este razonamiento no convenceria hoy dia a ningun matemacierto que las herramientas matematicas que hicieron posible unade Ia existencia de equilibrio no estaban disponibles cuando Walrabajo. De hecho, hubieron de transcurrir mas de cincuenta afios parade existencia recibiera una primera respuesta formalmente correctatrabajos de Abraham Wald publicados a mediados de los afios tr


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adoptadas por los agentes individualmente, dependiendo unicamedemercado.

Estos supuestos simplificadores dejan sin dudafuera del campotos relevantes y sugestivos. A cambio, ello nos permitira concentrardel problema que queremos abordar: analizar la posibilidad de quedas independientemente por cada uno de los agentes resulten compuedan ser inducidas por un cierto vector de precios. Mostraremosy mercados constituyen instituciones capaces de coordinar la acten esta economfa idealizada.

1.2 Mercancias y preciosEn el ambito del analisis econ6mico las decisiones que son relevanmente aquellas decisiones de consumo y producci6n referidas a uncandas. Las opciones de consumo se refieren a la elecci6n entre cor


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b) EI ambito espacial que consideraremos constituye una regespacio, y dividida en un ntimero finite de regiones elementales. Aregiones elementales la denominaremos un lugar .

EI supuesto 2 implica considerar que las mercancfas resultanvisibles. Esta es, obviamente, una simplificaci6n que no se correspocon la realidad en muchos casos (un numero no natural, dificilmenttar cantidades de mercancias como tractores a frigorfficos). En el cque resultan indivisibles por su propia naturaleza (bienes de capisumo duradero, etc.), podemos interpretar que las mercancfas nosi, sino los servicios proporcionados por dichos bienes. Aunquepretativo no elimina completamente el problema de Ia indivisibilaceptable el supuesto.

Bajo los supuestos 1 y 2 podemos tomar el espacio euclideodo de mercancfas, de modo que para cada agente una opd6n veun vector C-dimensional cuyos componentes representan las distin


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bien 0 servicio en cualquier momenta temporal 0en cualquier regmodele). Este es un rasgo que, asociado al supuesto de e finito y ccertidumbre que introdudremos despues, priva de toda secuenchoy se decide "todo el futuro", computando los precios que en e

1.3 AgentesLos agentes econ6micos son las un idades de dec is ion de nuestroremos la idea de comportamiento racional a la de maximizartivo individuales, sabre sus conjuntos de oportunidades. Considunicamente dos tipos de agentes: consumidores (que deciden ssumo, de acuerdo con sus preferencias y bajo sus limitaciones desas (que deciden sobre planes de produccion, buscando satisfac


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EI siguiente supuesto precisa el ambito de la modeIizaci6n de loSupuesto Basico 6.- El problema de eleccion de cada agente se plan

ciones de certidumbre.EI supuesto 6 establece que los agentes no sufren incertidumbrnaturaleza de las mercancfas, sus propios objetivos, sus conjuntos d

conjuntos de oportunidades (10 que implica, entre otras cosas, un confecto de los precios que prevaleceran en el futuro, cuando suponemmodelo abarca mas de un periodo).

1.4 Economias y asignacion de recursosDenominaremos economia a una especificacion de los agentes econ6ferencias, sus conjuntos de eleccion, y de los recursos iniciales disponpues describir brevemente una economia como:


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E E E -+M(E)donde E es eI espacio de las economias, n el conjunto de las asignael conjunto de resultados que el mecanismo de M (dado por un mespecfficc) permite obtener.

En los capitulos que siguen procederemos a la modelizaci6neconomicos haciendo hinca pie en un particular mecanisme de asignael mecanisme competitive. Este puede caracterizarse por los sigu(1) Los mercados y los precios son las instituciones mediante las q

proceso de transforrnacion y distribuci6n de recursos.(2) Los precios son deterrninados en los mercados, sin que ninguntenga capacidad de influencia sabre los mismos,

(3) Las decisiones de consumo y producci6n son adoptadas parvidualmente, sin que sus conjuntos de oportunidades 0 sus fu


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Cuando en una economia se verifique (4), diremos que estamosuna economia de propiedad privada.

Los siete supuestos basicos que hemos presentado definen elda cldsico de las economfas competitivas. Este marco de referenciadurante toda la discusi6n que sigue, y tan 5610 consideraremosincumplen alguno de estos supuestos en la discusion desarrolladalos 8, 9 Y10.

Lecturas complementariasEl articulo de Radford (1945) continua siendo una interesante lecturLos trabajos de Arrow (1974) y Debreu (1984) proporcionan panoramicsobre el modele de equilibrio general. Por ultimo, recordar que la


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PARTE IIDEMANDA Y OFERTA


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2. TEORIA DE LOS CONSUMIDORES

" La vida no se puede caiado la ... Y comprender lo aume

c.MARTIN GAITE(Nubos idad variable)

2.1Introducci6n


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cado y la riqueza del consumidor determinan cuales de las opciosu conjunto de consumo resultan accesibles. La restricci6n presuplas alternativas alcanzables.

EI comportamiento racional del consurnidor viene dado en eelecci6n de las rnejores alternativas que pueda pagar. Llamaremopciones seleccionadas (que varia ran al cambiar los precios de medel consumidor).

En linea con 10 establecido en el capftulo anterior, nos ocupestudio del comportamiento del consumidor individual bajo el suprecios de las rnercancias resultan independientes de sus acciones,de eleccion y conoce todas las alternativas que se Ie ofrecen,

2.2 Conjuntos de consume


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Trabajo -1Figura 2.1


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E1 problema econornico del consumidor consiste en elegir algusumo en el subconjunto de Xi que determinen sus restricciones. Elracional del consumidor consistira en elegir aque1 plan de consu"el mejor de los alcanzables", Asi pues, para describir adecuadaportamiento del consumidor, habremos de definir y mode1izar tanoaloracuin (preferencias), como las resiricciones a las que se enfrentasupuestaria). Nos ocuparemos de ella en las siguienres secciones,

2.3 PreferenciasUna forma general de establecer un criteria de comparacion entre altemen la introduccion de algun tiro de ordenacion sobre los elementos dea este criteria de comparaci6n con elnombre generico de preferenc


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AXIOMA 3.~(TRANSITIVlDAD)Para todo Xi, X~, X~I E Xi,

El axioma 1resulta totalmente natural, hasta el punto de que apues se considera como constituyente del concepto primitive ser acomo. El axioma 2 descarta la posibilidad de que existan opcionedecir, evita la existencia de pares frente a los cuales el sujeto es incarelad6n ~i. El Axioma de Transitividad postula la coherencia endel agente, dado que si no se verifica queda en entredicho la l6ordenaci6n. No obstante, incluso bajo condiciones de certidumbrelos que cabe esperar la violaci6n del axioma 3, como ocurre cuandimperfectamente distinguibles, 0 cuando admitimos que el agen


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Los conjuntos Ii(xD se conocen como c la s es d e in d ije ren cia . Unacia contiene pues a todas las opciones que resultan igualmenteferentes) a una dada x~,par el i-esimo consumidor, Par ser una rlencia, las clases de indiferencia constituyen una pariicion del conde modo que se verifica:

U Ii(X~) = Xixi-EX-i

A partir de las reladones :-:iY ~i podemos a su vez definir unade preferencia estricta, que simbolizaremos por ?-i,que se define cXi,


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A X IO M.:\. 4.- (CONT1NU!DAD)Para todq):i E Xi, los conjuntos

Mi(X~) ~ {Xi E Xi/Xi > - - i x nPi(X~) = = {Xi E Xdx~ > - - ; x.]

son abiertos,El conjunto M; (X:~) describe las opciones de consume que r

xi; analogamente, Pi(xl) es el conjunto de planes de consumo quPar tanto, la idea intuitive de continuidad de las preferencias puedsigue: sean Xi, x; E Xi, tales que Xi >-i x ; ; entonces puntos que scerca" de Xi tambien resultaran preferidos a x ; . MasIormalrnentede las preferencias significa que, dados des planes de consume xXi > - - - i x;, existen entornos e(Xi), 8(x~), tales que, pap todo z en c(x


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El siguiente grafico representa eI conjunto MJx) asociado a epara un cierto x. Como puede apreciarse, Nft(x) no es abierto ni cque el Axiorna de Continuidad no se verifica,

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x,I------


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Puede probarse que bajo los axiomas 1a 4, el axioma 5' implicDebreu (1959, pag. 60)]. Los axiomas 4 y 5 (04 y 5'), conjuntampara todo x~E Xi, el conjunto Mi(X~) es abierto y convexo, poseyeal conjunto

que es cerrado y conexo. ' Bajo el axioma 5', si x~no es un puntmaximo de Ia relaci6n ~i sobre Xi), el conjunto Ii(X~) no pose(es decir, no nos encontraremos con clases de indiferencia gruesaejercicio para ellector lacomprobacion de que ella no puede asegma5.

Para eI caso de dos bienes (traba jo y trigo), las clases de indiferede los axiomas establecidos admiten representaciones como la qu


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AXIOMA 5".- (CONVEXIDAD ESTRIGA)Para todo Xi, - < E Xi, para todo ), E (0,1),

EI axioma 5/1indica que si el consumo Xi es preferido 0 indiferentodo consumo intermedin (con ponderaciones positives) resulta prexcluye obviamente la posibilidad de que las curvas de indiferencialineales, y garantiza que todo hiperplano solo puede ser tangentuna clase de indiferencia. Sin embargo, el axioma 5/1no aseguraindiferencia sean diferenciables en todos los puntos.2.3. 3 Axiomas de No-SaciabilidadEI ultimo grupo de axiomas que discutiremos es el relative a la noesencia, 1 a idea de no-saciabilidad consiste en admitir que en toda


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Cuando esta ultima propiedad se verifica para un cierto bienj, inddel pun to Xi que consideremos, se dice que el bien j es un bieni-esimo consurnidor.

Claramente el axiom a 6" implica el axioma 6', y este a su vez imEs facil comprobar que ninguno de estos axiomas irnpide que eI cosaciarse con respecto a algun bien concreto en Xi; 1 0 que no perda saciarse con respecto a todos los bienes simultaneamente.

El axioma 6' (No-Saciabilidad Local) comporta que las curvas dpuedan poseer puntos interiores, y que los consumes de equilibriosean puntos interiores al conjunto de oportunidades. Este misrno rde los supuestos 5' y 6. Puede comprobarse que, bajo los axiomas5' y 6 (conjuntarnente) implican los axiomas 5 y 6'.5

Un axioma de este grupo, mucho mas restrictivo es eI siguiente(MONOTONfA)


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2.4 La funcion de utilidadHemos visto que bajo los axiomas 1, 2 Y 3 la relaci6n "-'i permitrelacion de equivalencia sabre Xi que constituye una particion delsumo, cuyos elementos son las clases de indiferencia. Ello sugieregunta:lEs posible asociar a cada clase de indiferencia un mimeque a una clase de indiferencia preferida a otra Ie asignemos un0, en otros terminos mas precisos: Dado un conjunto completamenpar una relaci6n de preferencia, lexiste aIguna funcion de valor rerepreserftaci6n nurnerica?

Se dice que una funcion Ui : Xi ___,R representa el preorden dsi y solo si, para todo Xi, x; E Xi, se verifica:

tunci6 n de u iilidad continua si y s610s i ~i e s r efle xiv a,


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y cont inua .(La dernostracion de este resultado es compleja, y no la dare

tamos un poco mas adelante una demostraci6n asequible bajo uaun siendo algo mas restrictivos, son los que efectivamente utilizalizaci6n de los consumidores),

As! pues, bajo eI supuesto 1 relativo a Xi y los axiomas 1, 2sobre la relacion de preferencias, resulta equivalente describir ls-esimc consumidor mediante un pre orden completo y continuomediante una funcion de utilidad continua, Ui :Xi ~ R. Parde elecci6n del consumidor puede formularse ahora como la busqmizador de tu, E I Teorema de Weierstrass nos asegura que tal macualquier subconjunto compacto de Xi


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propiedades de las preferencias a las propiedades de la funci6n deticular: el axioma 5 (Convexidad Debil) implica que la funci6n dfunci6n cuasi-concava. EI axioma 5' (Convexidad) implica quesemi-estrictamente cuasi-c6ncava. E1axioma 5" (Convexidad Fueres estrictamente cuasi-concava,Observaci6n.- Adviertase que al maximizar una funcion semi-estconcava sobre un conjunto convexo, resulta que cualquier maximosera un maximo global (por el Teorema Local-GlobaIB ) . Este restante, dado que los metodos habituales de Iocalizacion de extremhallar extremos locales. Es facil comprobar que si Ia funci6n queestrictamente cuasi-concava, y el conjunto de oportunidades es consoluci6n del problema de optimizaci6n es unica,

Para concluir esta seccion presentaremos un resultado sobrefuncion de utilidad que, aun siendo un caso especial del teorema 2


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(i) Par hipotesis existe un punto XO E X tal que x ::: XO parad : X -+ R Ia funcion que asocia a cada x E X la distancia euclfddecir, d(x)= I lx - x O j j) . Para cualquier subconjunto T de X, la exprela distancia entre x D y T (es decir, d(T) = min d(x) con x E T).u : X -+R como sigue: para cada x E X u(x) = d[M lex) L es decircon x' E Ml(x).

Asi pues, identificamos la utilidad asociada a un plan de conla distancia entre el punta x D tornado como referencia, y el conjuconsume mejores 0 iguales que x, La continuidad de las preferenciadistancia nos garantizan que u esta bien definida para todo x E x.

(ii) Para demostrar que esta funcion u r ep re se nta las preferencque, para todo x,x' E X, se verifican las siguientes implicaciones:

x "-'x' =?u(x) = u(x')


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Es decir, U ( X ' ) = u(x) S (1 - a:)u(x), que unicarnente resulta poPero esta posibilidad ya habia sido descartada, de modo que x > - xriamente que u(x) > u(x.')

As! pues, la funci6n u representa las preferencias.(iii) Probar que u es una funci6n continua equivale a probar qu

escalara E R,losconjuntosU(a+) = {x E X / u(x):::: a}, U(a-) = {xson cerrados.

Veamos primero que Uta") es cerrado. Sea {xn} -7 x una sucesu(x") :::: a para todo n, y sea x' un punto tal que d(X') = u(x). ESaciabilidad Local implica que existira algun z E X, arbitrariarnenteque z > - x', Por transitividad, Z > - x, La continuidad de las preferenca partir de un n suficientemente grande, z tx". Por tanto, u(z) ::::puede tomarse tan proximo a x' como querarnos. Como z > - x", dpor la continuidad de dO, se tiene que d(X') ::::a.Asi, u(x) = U ( X / ) =Denotaremos por un escalar wi E R aquella "capaddad de


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dor, no vinculada a los ingresos derivados del trabajo (que podemoel "valor" de sus propiedades). Diremos que Wi representa laconsumidor (i ""1,2, ... ,m). Un punto W en e1espacio Rm cuypresentan la riqueza de cada uno de los m consumidores, serade distribucidn de riqueza.

Dados un vector de precios pER e, y un valor de la riquezbi1idades de consumo del i-esirno consumidor vendran dadas psupuestario, definido como:

P ' ; (p , Wi) ~ {X i E Xi / pX; : : s : Wi}La correspondencia P ' i : Rl+! ~ Xi que asocia a cada par precio-de consumos que el i-esimo consumidor puede pagar, se denominpresu puestaria.


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Observacion> En 10 que sigue daremos una serie de propiedades sodenda presupuestaria (y posteriormente sobre la demanda), supono vado, y tomando Xi como un conjunto compacta. Esto ultimocomo que la propiedad enunciada es valida sobre cualquier subcode Xi que consideremos. Daremos mas adelante condiciones queel conjunto de consumes factibles es siempre compacto, de modofuera de este subconjunto compacto carece de relevancia.

La siguiente proposici6n [probada originalmente en Debreu 0dice que si Iariqueza del consumidor es mayor que la minima imsubsistir, entoncesla correspondencia presupuestaria es continua. Eporciona pues una condici6n suficiente para la continuidad de lapresupuestaria. Como veremos inmediatamente, la continuidad ddencia es uno de los elementos claves paragarantizar la continuidad


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o

(2.1) x I = zq I si zq pertenece al segmento [xi, x~], que esta


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. qq' , . mi-pque es convexo (es decir, Xi ."" Z SIYsolo S10 ::; P'l(X:(2.2) x i = x i caso conrrario,

Es claro que {xi} C Xi Y que x'f E i 3 i (pq, w'j) para todo q(adviertase que cuando q - - - -7 00, H" - - - -7 H O = {z E R/poz = wx i E HO) . Por tanto la correspondencia i 3 i es tambien hemicontinuaeste case.

As! pues, hemos probado que la correspondencia i 3 i es cont(pO,wi)

Para ilustrar el problema que paraIa continuidad de i 3 i representningUn x~ E Xi tal que p O x~ < w f , consideremos el siguiente grafico

2.6 Satisacci6n de las preerencias


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Ya hernos modelizado.los conjuntos de consume, las preferenciasPasernos pues a analizar el proceso de elecci6n (el eq uilib ria delos supuestos 1 y 2, el problema de elecci6n del consumidor puedcomo el de maximizar una funcion de utilidad continua y cuasiconjunto de oportunidades convexo, contenido en Xi. Satisfaccequivale as! a maximizacion de utilidad.

Dado un par precio-riqueza, (p, uu), el i-esimo consumidorconsume Xi en el conjunto ,Bi(P, Wi). Su consumo de equilibriodado como unasolucion al problema:

Max U ,(Xi) }s.a.


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Proposid6n 2.3.- Bajo lo s su pu esto s 1 y 2, se a x; E ' ; i (P , Wi)' Enion(a) px: = Wi(b ) Para todo X; E Xi ta l que U i(X ;) ::::U i(X t) sepx;. En par ti cu la r, u{xi) > Ui(Xi ') ==} p~ > p X

Prueba(a) Supongamos que px; < uu, Entonces xi es un punto interior alble tJi(p, Wi). Podemos encontrar entonces una bola de centro xi yen tJ i(P, Wi). Los axiomas de convexidad y no-saciabilidad irnplicanx~en esta bola preerido a xi, contra la hip6tesis de que xi es un msobre tJ i(P, Wi)

(b) Supongamos que ui(xi) 2: ui(xiL pero que px~.< px; = Wresulta un punto interior de (3i(P, Wi), Y por tanto no puede ser mun maximizador de Ui sabre .B i (P , uu), En particular, si Ui(~) > ui(que px~ :::;px;, sucede que x~ E (3i(P, Wi), contradidendo el que x;

a cada s E S, el canjun to de ualores x que mazim iz


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La correspondencia e e s hemiconi inua superiorm entefunGian v(s) = u(x) para x E e(s) e s c on tin ua.

PruebaComo X es compacto, es suficiente pro bar que para cualquier p{s"] C S, {xn} C X, convergentes a sO,xo, respectivamente, talepara todo n, se verifica que Xo E e(sQ).

Sea puesjs"] c S una sucesion que converge a so, y {xn} C"que converge a x", tales que para todo n, x'' E e(sn). Dado que parx" E (3(sn) y (3es hemicontinua superiorrnente, se tiene que XOparte, sea z un punto arbitrariode j3 (SO) ; dado que 1 3 es hemicontinuexiste una sucesion [z"} en X que converge a z, tal que, para toEntonces, para todo n se verifies que u(xn) ;:::u(zn) [dado que x" rj1(sn)], y en el lfrnite se tiene: u(XO);:::u(z). Puesto que esta desigu

h em i co ntin ua s up er io rmenie e n (p, Wi), can valo re s n


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y co nvex os. S i, en las co nd ic io nes a nterio res, Ui e s cmen te cua si- con caoa, e n ton ce s ~i es u na fu nci6 n co n

Adviertase que el supuesto de convexidad (la cuasi-concavidaduna matizaci6n importante al resultado de continuidad de la proefecto.Ja combinaci6n de la convexidad de ~;(p,Wi) Y la hemicontide ~i asegura que Ia correspondencia de demand a no presenta "saltola hemicontinuidad de una correspondencia se convierte en una procida a la continuidad en el caso de una funcion), Para ilustrar esta idel siguiente grafico, relativo a una correspond end a hernicontinua


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a


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Vale Ia pena ilustrar la razon por la que el resultado de Ia propono ser cierto si xi minin:iza PXi en Xi. E 1 siguiente grafico describeel, el punto xi minimiza el gas to sobre el conjunto M I(xj), y sin embxi no es un elemento maximo de Ai(P, xi> (tal elernento maximo re

Sea W E Rm el vector de distribucion de la riqueza (cuyos ele


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1,2, ... ,m). Podemos definir asi la correspondencia de demandasigue:

m(p,w) E lR e +1n _, {(p,w) =' I)i(p, Wi)

i~l

Dado un punta (p, w) E Ri+m, {(p, w) representa eI conjunto de conson compatibles con Ia selecci6n por cada consumidor de sus consumde modo que se respete la restricci6n de riqueza,

Las siguientes propiedadeede Ia correspondencia de demandaextensiones inmediatas de las analizadas previamente: Proposicion 2.7.- Bajo lo s supue sto s 1 y 2, fa correspondencia ~ es h

*Problema 2.4.- Se dice que una relacion de preferencias ::: es casi


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relacion de prefereneia estricta > - es transitiva. Probar que una relacioncasi-transitiva que veri fica los axiornas 1,2,4 Y5" es transitiva."Problema 2.5.- Una relacion de preferencias ::: definida sobre un coacfclica si, para todo subconjunto finito de elementos x1 ,x 2, ... , X k EXx' > - r > - . . . > - xk =? Xl ::: xk. Probar que si X es un eonjunto {inito,reflexiva y cornpleta, entonces las dos condiciones siguientes sonTodo subeonjunto no vado de X posee un elemento maximal; ( inacfclica.Problema 2.6.- Discutir si las siguientes afirmaciones son verdaderaplicar el porque:a) Bajo los supuestos 1 y 2 el problema de elecci6n del consumido

alguna solucion.b) Bajo los supuestos 1 y 2 el problema de elecd6n del consumidorc) Bajo el supuesto 1 y los axiomas 1 a 4, sea Xi compacta. Enton


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el axioma 6".Problema 2.10.- Probar que el axioma 5" implica que el problemconsumidor admite a 10sumo una solucion.Problema 2.11.-Discutir: "Bajo los supuestos 1 y 21a funci6n demarse con valoresestrictamente positives (par ejemplo, Ui(Xi) >Xi)".Problema 2.12.- Sea Xi un conjunto de consumo que satisface ebuna relaci6n de preferencias que verifica los axiornas 1 a 4. Procondiciones, los axiomas 5' y 6 se cumplen S 1 y s6lo si se verificanProblema 2.13.- Probar que una relacion de preferencias C i que v1, 2 Y 3, es d eo ilm en te m o n6 to na y lo ca lm e nte n o-sa cia b le si y 5610definiciones se encuentran al final de la seccion 2.2).


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homotetica, S 1 Xi


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Lecturas complementariasDebreu (1959,cap. 4) y ArrowyHahn (1971, cap. 4) son Ias referencdiscusi6n desarrollada en este capitulo, donde e1criterio de elecci6ha sido mode1ado en terminos de un preorden de preferencias. Estauna caracteristica esencial del modele, puesto que:(i) La transitividad y la completitud de la relacion pueden obviarse

la teoria en muchas ocasiones, usando en su lugar los axiomasconvexidad. Vease al respecto Florenzano (1981) y Border (198

(ii) E l problema de elecci6n del consumidor puede formularse tamde funciones de eleccion, sin necesidad de introducir relacionepor ejemplo Suzumura (1983, cap. 2)]. Si bien este enfoque esgeneral, en cuanto imponemos unas minimas condiciones de copracticamente equivalente al desarrollado aquf. Mas-Colell, W

3. TEORiA DE LA DEMANDA


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"0 sea, que necesitaba m ds daJ . M. R E VE R TE(Gdlvez y el cam bia del cam bi

3.1 Introduccion

El supuesto 2 nos permite formular el problema del equilibri


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como:

. : U ( X )[ P ]px:S w

x20Adviertase que esfe supuesto asume la continuidad (axiorna

. tenor), la convexidad estricta de las preferencias (axioma 5"), y(axioma 6"). Lo primero garantiza Ia existencia de soluciones al prpre que el conjunto de oportunidades sea compacta y no vado. Launicidad de las soluciones del programa [Pl (ya que el conjunto deconvexo): la correspondencia de demanda result a entonces una [u

donde / ; R( -+ R es una funci6n cuasi-concava, y 9 ; R: ~ Rk d


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de oportunidades convexo, con interior relativo no vacfo. Si se vercierto x",

a) f(x*) + ,\g'(x*) ,::;0b) x*(J'(x*) + ,\g'{X*)] = 0c) ,\g(x') = 0d) &j(x*)j8xj > 0, para algun j

(donde r (z") es el vector de derivadas parciales, evaluadas en x",componentes no negativos, g'(x') es eI vector de derivadas parcialesque definen las restricciones), entonces x" es una solucion del progObservad6n.- Adviertase que estas condiciones resultan suficientecaci6n de un maximo, s1.'1necesidad de recurrir alestudio de condic

Adviertase que los supuestos 2 y 4 implican que para todo x


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tal que 8u(x) / OXj > 0, can 10 cuaI el requisite d) de la sene de condresulta automaticamente satisfecho, Ella a su vez implica, junto cque>. > o . En efecto, puesto que para cualquier x E R . ! se verificapara algun j, tendremos que>. > 0, dado que en el optimo

Por tanto, de la condici6n (c) se deriva que, en equilibrio, wconsumidor gasta toda su riqueza),

Consideremos finalmente Ia condici6n (b). Si ocurre que, parmercancias i,j, tenernos en el6ptimo que xi > 0, x} > 0, entoncepuede escribirse en forma de igualdad, reflejando as! la conocidaen equilibrio, la relaci6 n m arginal de sustituci6 n se iguala al coeiente d


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Figura 3.2(i) v es continua.


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(ii) v es hom ogenea de grado cero en (p ,w ).(iii) ves una junci6 n no crecien te en p y estrictam e(io ) v es cuasi-conuexa en p.

Prueba(i) La continuidad se deriva de la aplicad6n del Teorema del Max(ii) La homogeneidad es inmediata,(iii) Sean p, p/ dos vectores de precios tales que p/ 2: p, y definamo

;3(p)={xER! I pxS:w}f3(p') = {x E R ! I p 'X s : w}

Es obvio que j3(p') C ;3(p),y portanto el maximo de u(x) sabretan grande como el maximo de u(x) sobre .e(p/) .


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P o

u'

v

o P ,

Figura 3.3Observese ahora que si mantenemos la utilidad constante u =tinicamente cambios en los precios, la funcion h(p, uD) refleja e1


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duciria en el consumo al modificarse los precios, manteniendonosde ind iie rencia . Ello equivale a deterrninar como variaria e1consuun carnbio en los precios no afectara a la renia real. Por tanto, poesta funcion de demanda se obtiene cuando compensamos al conque sobre la renta real se deriva de un cambio en los precios. De ade demanda compensada.Observaci6n.- Esta forma de interpreter que significa'rnantener co(como forma de aislar el efecto derivado del cambia en los precios ra John R Hicks. Para Hicks la renta real se mantiene constante cuaal individuo de forma que mantenga e1 nivel de utilidad iniciaobstante que Slutsky propone una definicion altemativa de rentaSlutsky la renta real se mantiene constante si, al cambiar los precioes decir, e(p, UO) nos da el mfnimo gasto requerido para alcanzar


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uD cuando prevalecen los precios p. Por construccion se verifica:elp, u) = ph(p, u)

Enumeramos a continuacion las principales propiedades de l Proposicion 3.2.~ Bajo los supues ios 1 a 3 fa [uncum de gasto e v

propiedades:(i) E s continua.tii) E s homogenea de grado uno en p.( i i i ) Es no decrecien ie en p, y estriciam enie creci(io) Es concaia en p.

Prueba(i) La continuidad se obtiene de nuevo por la aplicacion del Teo

Es interesante observar el significado de la concavidad de la


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De acuerdo con la propiedad (ii) sabemos que si el precio de una meel gasto no disrninuira, Sin embargo la concavidad de e(p, u) impliaumenta 10 hara a 1.U1aasa decreciente. La razon es que conformemercancla aumenta, el consumidor tendera a sustituir la mercancmas cara, por otras relativamente mas baratas.

Ilustremos estomediante un ejemplo. Seant4 > PI, ypj = Pj, paconsumidor se mantuviera consumiendo la m isma cesta de bienes qrelative a los precios P]'P2, ... ,p, tendriamos :

ee = P ~ X l + r : > j X jj=2

res decir, Ia ecuacion del gasto define uria recta de pendiente X1, en

.Proposid6n 3.3.- Bajo lo s s up uesto s 1 a 3, se v er ifi ca :


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(i) S i x " es so luci6n del problema [PJ para (p,wso luci6 n del p ro blem a [D], para UO = u(x~) .(ii) S i XO es fa solucion del problem a [D] para (pla so lucion del problem a [PI para [p, e(p, U O ) ] .

Prueba(i) Harernos la demostraci6n por reducci6n al absurdo. Supongamhi soluci6n del problema [D] para UO = u(x*). Puesto que dichatendremos que px' < px' y u(x') 2: u(x*). La estricta cuasi-congarantiza que, para cualquier.\ E (0,1), el punto x" = = .\x +px" < px", con u(xl!) > u(x). Pero entonces resulta que px" < px10 que contradice e1que x" sea solucion del problema [Pl.(ii) Sea ahora XO la soluci6n del problema W] para (p ,UO) . Ellae(p, UO) , can u(~) ;:::uo. Supongarnos que XO no es soluci6n de [PI,

Min px


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~"U(x) [ P ]px5:w

J (resolver)Demanda Marshallianax" = j(p,w)

t (susiituir)Funci6n Indirectade Utilidadv(p, w) = u(x*)

}.a:u(x) z u'l (Demanda Comx" =h(p,

1Funci6n dee(p, u) = p

Por construccion se verifiea que z(p) ? : 0, para todo p, y z(p*)


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minimo valor de esta funei6n que es convexa (puesto que e(p, ucomo vimos en la proposici6n 3.2). Las condiciones necesarias defunci6n vienen dadas por

8z(p*) '" 08*'Pi i;:o 1,2, ... , e

yeonsecuentemente,a[p'x' - e(p', u')] * 8e(p', u')----''-----=--- = x - = 0& p : & p :que es 10 que queriamos demostrar, _

Proposicion 3.5.- (IDENTIDAD DE Rov). Ba ja lo s su puestas 1 a 4, se[uncion de dem anda Marshal l iana. Enionces ,

Proposid6n 3.6.- (ECUACION DE SWTSKY),- Bajo los supuestos 1 a 4


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(M arshalIiana) del b ien j a los precios p* y la renax; oh/p', u*) ax;--= --xapi api ow

PruebaSea x* el vector de consumo que maximiza la utilidad para (p', w*[1.4] sabemos que:

h)(p, u') ~ Xj[p*, e(p, u*)]Entonces, diferenciando con respecto a pi y evaluando esta derivamos: ohj(p', u'') ax; ax; ae(p', u*)- - ' ' - - ' ' - - - = - + --~ --Bpi Bpi ow apiReordenando terminos, y teniendo en cuenta que oelopi = xi,


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x , AB = Efecto sustitucionBC =:Efecto rentaAC = Efecto total

x,

Figura 3.53.3 Funciones de demanda


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El conjunto de resultados recogidos en las proposidones 3.1 apropiedades significativas sobre la funci6n de demanda del consEllo es importante porque S 1 bien la mayor parte de los resultadostuyen derivaciones puramente te6ricas (es deeir, resultados establos supuestos sobre las preferencias), las propiedades de las funcpueden ser contrastadas empiricamente. Surge entonces de formacuesti6n: dada una funci6n de demanda que verifica estas propi,existe una relacion de preferencias subyacente que verifique lodos? Estudiaremos ahora las propiedades de las funciones de deraremos luego la respuesta a esa pregunta.3.3.1 Propiedades de las funciones de demanda

Esta propiedad se obtiene de la siguiente forma: Por el Lema deescribir hj si: ae/apj, hi "" ae/api ; entonces, en virtud del Te


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(que asegura que, cuando existen, las segundas derivadas parcidenticas), tendremos:

ahj a2e E fe OhiOPi = OPiOPj = e8pjap =: apj(iv) NEGATIVIDAD

La matriz [acobiana,

i, j = 1,2, ... ,f. es semidefinida negativa (es decir, para cualquiervela forma cuadratica ySy tiene signo no positive).

Es importante advertir que si bien algunas de estas propiedade


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cia a la inobservable funci6n de demanda compensada, puedenempiricarnente merced a la Ecuacion de Slutsky. En efecto, podemo

expresion en la que tad as los componentes dellado Izquierdo ppio, ser estimados econometricamente, Por tanto la rnatriz S puempfricamente y las propiedades de simetrfa, negatividad y singtadas,3.3.2 EIproblema de la integrabilidadConsideraremos ahora el llamado "problema de integrabilidad",


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Pero en vista de la Ecuaci6n de Slutsky, estas condiciones pueden excomo:

Ohk ohj--"'-O Pj ,O PkPor tanto, la sirnetria de la matriz S resulta ser la condicion fundambilidad. Para que la funci6n que resulta de la integraci6n del sisteparciales sea una verdadera funci6n de gasto, debe ser concava y homuno en predos. Pero esto se verifica automaticamente si la matriz dno s610 simetrica sino ademas, semidefinida negativa y verifica lasingularidad.

3.4 Variaciones en los precios y en el bienestar


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Nos ocuparemos ahara de presentar unas sencillas pero interesande la teoria desarrolIada en las secciones anteriores. Se refierencambios en los precios y de cambios en el bienestar, mediante el emindices y de u alo ra cio ne s mone ia ria s del bienestar. La idea corminmedidas es la busqueda de una estimaci6n cuantitativa de estos camuna interpretaci6n economica clara.3.4.1 Indices de preciosLos indices de precios tratan de medir e1impacto sobre e1nivel de vde un cambio en e1vector de precios. Sean p", pIE R~ dos vectores dtomamos pO como e1vector de precios inicial, y pI como el nuevo vConsideremos ahora el problema de medir e1efecto que sobre el coste

caso tomamos como nivel de vida el asociado a la situaci6n inicia


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el segundo tomamos eI asociado a la situacion nueva.Podemos pensar que una manera mas precis a de estimar la va

de la vida consiste en comparar el coste de alcanzar un cierto nicambiar los precios. De esta manera tomamos en cuenta el efecto sasociado al cambio en los precios (y que es ignorado al tomar unacomo patron). Podemos usar para ella la funcion de gasto (que mel coste minimo de a1canzar un cierto nivel de utilidad a preciosdado un nivel de utilidad uR tornado como referenda, podemos d

VIP( aIR) = e(pl,uR)p ,p ,u (a R)e p ,uEstos indices se conocen como los verdaderos indices de prec

3.4.2 Medidas de cambios en el bienestar


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Consideremos ahora el problema de estimar el efecto que sobreun cambia en los precios, Para motivar el problema, podemos pde evaluar el impacto sabre el bienestar que se deriva de Ia adopmedida de politica econ6mica que va a alterar los precios (la innuevo impuesto indirecto, por ejemplo). Sean pues p O , pl dos vcorrespondientes ados situaciones diferentes, y supongarnos (pdiscusion) que la riqueza se mantiene constante. Para saber si emejor 0 pear en una situaci6n a en otra, basta con comparar u(XOcomo antes, x", Xl representan las demandas asociadas a estas doforma equiva1ente podemos decir que e1 consumidor estara mejoque en otra, si la funci6n indirecta de utilidad alcanza un valor maotra; es decir, v(pl, w) < v ( p O , w) significa que el individuo pierde

Por supuesto esta forma de analizar e1tema s610nos proporcionaComo sucediera antes, la eleccion del vector de precios de referen

para que la rnedida obtenida tenga una interpretacion coherente. P


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en el caso que discutimos, los precios de referencia sean los de la situde la nueva situacion. Ello da lugar ados medidas distintas del cambque se conocen como Variaci6n Equivalente (VE) YVariaci6n ComLlamando UO = = v (pO, w), u1 = v(pI, w\ y teniendo en cuenta que eCpw (dado que, por hip6tesis, la riqueza no cambia), podemos decompensatoria y 1avariacion equivalente como sigue:

La Var iac i6n Equ ioa len te representa la variacion en la riqueza

3.5 Problemas


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Problema 3,1.M Aureliano Buendia esta escribiendo su Tesis Doctorque ello Ie reporta depende de 10que aprenda en el proceso, y denas que escriba, de acuerdo con la funcion de utilidad u(x) = Xmimero de horas dedicadas al estudio, y X2 el ruimero de pagmBuendia quiere dedicar una afio a conduir su trabajo, y estima3.000 horas. Si escribir cada pagina le cuesta en promedio 5 horas,tendra la Tesis de Don Aureliano? Discutir c6mo variarfa el numcada pagina Ie llevara mas de 5 horas, 0si ponderara en mayorque las paginas escritas.Problema 3 . 2 . M El Doctor Sugrafies ejerce la medicina privada, y ccada paciente que visita. La felicidad de este medico depende de Iy del tiempo libre. Sus preferencias pueden representarse mediatal, sup ere las 200 unidades, este subsidio S se reduce a una tasaS cc 100 - 0, 4(Y - 200), siendo Y la renta diaria total). Para rentas


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a 450 unidades por dia, el subsidio desaparece, Se pide:(i) Dibujar el conjunto presupuestario del individuo derivado d

subsidios.(ii) Considere que las preferencias del individuo son representab

de utilidad: u(x) '" lInY + ~ln(24 - L), Y suponga que todade los ingresos salariales y , en su caso, del subsidio correspofunci6n de oferta de trabajo en presendade este esquema de

Problema 3.6.w Probar que bajo los supuestos 1 a 4, eI problema [soIuci6n para cada par (p, uD).Problema 3.7.w Consideremos la siguiente funci6n de utilidad,u(x) '= Xl + axz, can a > O . Se pide:CD Dibujar las curvas de indiferencia para varios valores de a.

u(x) =: 9 (u(x), donde 9 :R -+ Res una fun cion monotone creciente


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(i) 5i v,v son las funciones indirectas de utilidad asociadas av(p, w) :; 9 (v(p, w), para todo (p, ui).

(ii) Si e,eson las correspondientes funciones de gasto, entonces epara todo p, u.Problema 3.12.- Probar que si 1a fund6n de utilidad es homogen

(preferencias homoteticas), entonces las funciones de demandagasto resultan homogeneas de grado uno en u res decir, podemosuh(p), e(p, u} =: ue(p)}."Problema 3.13.- (Me rc an cfa s c omp ue sia s). Bajo los supuestos 1 a 4tenemos dos grupos de mercancfas deseables, de modo que podemoscon q E R~,z E R!-k. Podemos expresarel vectordeprecios comop~E R:, p~'E lR~-k),y la utilidad como u(q, z). 5upongamos aho

VIh s ir;VIPp 2: IPp


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Hacer un grafico que permita comparar los indices tipo Laspeyrindices tipo Paasche. Comprobar graficamente las anteriores relaProblema 3.16.- Probar que es condici6n necesaria y suficiente qsean homoteticas, para que se cumpla que:

IPL 2: VIh = VIPp 2: IPp(Sugerencia: U sar el resultado del prob lem a 3.11 rela tiva a fa hom oge

de gas to , cuando las preferencias son hom oieticas).Problema 3.17.- Comprobar que las variaciones equivalente y comdefinidas par las siguientes relaciones:

Nota.- EI problema 3.5 ha sido tornado de Atkinson y Stiglitz (de Deaton y Muellbauer (1980, cap. 2), y los problemas 3.11, 3


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Mas-Colell, Whinston y Green (1995, cap. 3).

Lecturas complementariasLas obras de Barten y Bohm (1982), Segura (1986, cap. 2) y Mas-Green (1995, cap. 3), contienen analisis mas completes de los temacapitulo (en particular con relacion al problema de la integrabilidaddad de la funcion de demanda, casas especificos de funciones de udel bienestar, etc.). Diewert (1982) proporciona un analisis rigurodualidad y sus aplicaciones.

Hay toda una coleccion de temas complementarios que hemos

4. TEORIA DE LA PRODUCCI6N


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"No ereo que de verdaenseiiar. La raz6n es queme justifique, a lga que cuanada y no llego a nada, mm i mismo: Al menos estoytoy hacienda a/go; estoy apopuramente psicolcgica",

RP.FEYNMAN(ZEsta Vd. de broma S

Trigo Vacas Estiercol Leche CameOuputs (300, 8, 10, 6 5 , I,


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Inputs (100, 10, 20, 0, 0,Y j = (200, -2, -10, 65 , I,

expresion que nos dice que, en terminos netos, se producen 200 t65 HI de leche y 1 tonelada de carne, mediante dos vacas, 10 tonela1200 horas de trabajo.

Un plan de producci6n (0mas brevemente, una producci6n) ,pupues en forma compacta como un vector de R e , donde se recogennetas (can signo positive) y el consumo de inputs en terminos netostivo). .

Denominarernos conjunto de produccion de Ia empresa j-esimrnos por Yj eRe, al conjunto de todos los planes de producci6n quepara la empresa j-esima. El que uncierto plan de producci6n Yj se

vector cuyos elementos sean todos ellos positives. a excepcion en tonulo), La segunda (que podrfa expresarse como a E Yj), nos di


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constituye siempre una alternativa a disposicion de la empresa (espuede decidir no producir nada, sin que esto comporte consumir cinputs); en todo caso asegura que para todo j, ljes no vacfo.

Los supuestos 2 y 3 comportan que el ortante negativo de Relj(formalmente, -R ! C 1j'), para todo i. y, par tanto, que toddesprenderse sin coste (eliminar gratuitamente) cualquier cantidad

Bajo los supuestos 1,2 Y 3 un conjunto de produccion presentarala que se indica en el grMico siguiente: en el suponemos que la etrigo (en terminos netos) par media de trabajo.

Trigo Proposicion 4.1.- Sea Yj C R~elconjunto de produccum de la emq un vector de R tal q ue q 0 (resp. q > 0).


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se ve ri fic a q ue : q yj ::::q Y j' vs, E 1j entonces Ye fic ie nte (r esp . u na p ro du cc io n d evilmente e fic ie nt(Dejamos la prueba de este resultado como ej

Observad6n.- EI interes de esta propiedad se deriva de interpretarde precios. Como veremos seguidamente, el producto qY j corresa los beneficios asociados ala produccion Y j a los precios q; entonlas producciones que maximizan beneficios estaremos escogiendducci6n eficientes. Adviertase que para obtener esta propiedad node ninguna de Iossupuestos acerca de Yj.

Por otro lade, eI siguiente resultado ilustra la operatividad de Proposicion 4.2.- Bajo los supuesios 1 y 2, un plan de produccio

Definici6n.- Diremos que prevalecen rendimientos de escala no-dtodo Yj E Y j podemos aumentar arbitrariamente la escala de op


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para todo ..\ ~ I, todo Yj E Y j, se verifiea que ..\Yj E Yj). Diremrendimientos de escala no-crecientes si para todo YJ E Y j podemtrariamente la escala de operaciones (es decir, para todo .\ tal quYj E Y j, se verifiea que ..\Yj E Yj). Y diremos que prevaleeen rendiconstantes si para todo Yj E Y j, Y para todo.\ > 0, se cumple: .\Y

La figura 4.2 ilustra 3 eonjuntos de producci6n en R2. En la firendirnientos de escala eonstantes (y dada la definicion y los supun cono conue xo i. En Ia figura (b) prevalecen rendimientos de(adviertase que en este caso el conjunto de producd6n tambien evexo). En Ia figura (c) se presenta el caso de rendimientos de ecaracteristica geometrica mas representativa de la existencia de r

Observacitin> Adviertase que el conjunto de producci6n de unano presentar ningun tipo especifico de "rendimientos de escala",


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descrito en la figura 4.1.El supuesto que introduciremos a continuacion descarta Ia pre

mientos crecientes en las empresas. Ella se justifica en la medida quse centra en el analisis de economfas competitivas, en las que los agecarecen de influencia sabre los precios de mercado. Es facil cornpempresa can rendimientos crecientes obtuviera beneficios positivesentonces tenderfa a incrementar su produccion indefinidamente(yaescala de produccion mayoresbeneficios). Este prqceso es diffcilmcan la idea de comportamiento parametrico can respecta a los precel tarnafio de las empresas creceran sus posibilidades de influenciadel mercado. Can esta motivacion (aunque con implicaciones de

Vale la pena hacer notar que cuando tenemosun conjunto deun cono convexo (rendimientos de escala constantes), y consideram


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sobre los recursos utilizables, el conjunto de produccion resultante (presentara rendirnientos de escala decrecientes.

La convexidad de los conjuntos de produccion puede derivarsede dos hipotesis muy intuitivas: Aditividad y Dioisibi l idad. Un conju1'] se dice que verifica la Propiedad de Aditividad cuando para tosigue que (yj +Y/') tambien pertenece a lj(es decir, si dos planesposibIes por separado.fambien son posibles conjuntamente), Se dla Propiedad de Divisibilidad cuahdo para todo yj E Yj,Ypara todose tiene que ).Yj E lj(es decir, ljpresenta rendimientos de escalun plan de produccion es posible, tarnbien 10 sera cualquier otroreducir la escala de operaciones). Cuando un conjunto de produpropiedades de Aditividad y Divisibilidad es un cono convexoescala constantes). Mas formalmente:eleccion de la empresa en condiciones de competencia, a la que setermino de "conjetura competitive", que trata de reflejar la idea de


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individual es tan pequeria en relacion con los recursos disponiblemercado, que considera estos como "ilimitados" a efectos pracentenderse como la contrapartida de suponer que las empresasparametricamente (es decir, de considerar que ninguna empresaalterar los precios de mercado con sus decisiones de produccion yEl supuesto (B) define el criterio de eleccionde la empresa individde economfas competitivas.? Un aspecto interesante de este crit. que implica el que Ia empresa seleccionara combinacionesde prosiempre que los precios sean positives (vease Ia proposicion 4.1).

Pasemos a considerar ahora el problema del equilibrio de la emSea p E ]Rl un vector de precios, y sea Yj E Yj un plan de produccempresa j-esima. De acuerdo con 1a convencion de signos estab

Lo anterior no garantiza sin embargo que para cualquier vectoexista una producci6n de equilibrio. Para verificarlo considerem


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empresa con rendirnientos de escala constantes. Mediante un razoaI anterior puede deducirse que los unicos precios para los que exique maximiza beneficios son aquellos que proporcionan beneficiosi ocurriera que PYj > 0 para underto pER:, algun Yj E Yj, poindefinidamente los beneficios simplemente aumentando la esc(dado, que >"YjE Y j para todo ). > 0, cuando Yj presenta rendiconstantes).

Podemos definir la correspondencia de oferta de Ia empreT ij : R~ __'lj, donde a cada p E O R: le asociamos el conjunto

TIj(p) = = {Yj E lj / PYj es maximo}Analogamente, podemos definir la funci6n de beneficia de la emLas siguientes proposiciones nos dan las caracterfsticas esencia

de la empresa .


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Proposici6n 4.4.- La correspondencia de oferta de Ia empresa j-esimade grado cero en precios. La [uncion de benejicnea de grade 1 en p. E s d e cir, pa ra to do e scalar ).y 1 1 " j( ) . p ) : : : ).11"j(p) .

Proposici6n 4.5.- Bajo l os s upues to e 1 - 4 , s e u er ific a:(i) 1]j(p) e s c er ra do y convexo para todo pER!.(ii) Sea pER! ta l q ue 17j(p) es no vacio. Enioncessuperiorm enie en p.( i i ihj(p) 2: 0

Dejamos la prueba de estas propiedades como ejercicio. Indiqueque la prueba del punto (ii) de la proposicion 4.5 se obtiene mediante

Es inmediato comprobar que, bajo Ips supuestos 1 a 4, el conjutotal y verifica las slguientes propiedades:


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I)OEY2) -R ! c Y3)Y es convexo

Bay sin embargo una propiedad relevante de los conjuntos dvidua1es que no hereda el conjunto de producci6n total. Nos refebilidad d~ producci6n libre (supuesto 3). Ocurreasf que aunque pindividual no resulte posible producir sin gastar inputs,ello seragregado. ..Para iIustrarlo consideremos eI caso de una economia con dosducd6n que presentan rendimientos de escala constantes. La emplan de producci6n eficiente Y l : : (-3,3t y Ia empresa 2 un pl

Observacion> Puede comprobarse que, bajo los supuestos 1 a 4 sde produccion individuales, y el supuesto 5, el conjunto de producerrado. Esta es una propiedad que se deriva de ciertas propieda


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asint6ticos, y que no probaremos aqui.

Podemos definir la correspondencia de oferta agregada, 7)cdonde a cada pER! asociamos el conjunto:n

7)(p) = = L 7)j(p)j~l

Las siguientes propiedades constituyen extensiones inmediatamente establecidas: Proposici6n 4.6.- La co rre sponden cia d e a fe rta to ta l, 7),es hom ogenea

con ( ~ y j + Y k ) E Y, en contradicci6n con la hipotesis.


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4.5 ProblemasProblema 4.1.- Dibujar, para el caso de f = = 2, conjuntos de producdlas siguientes propiedades:a) EI conjunto de producciones eficientes no coincide con la frob) 1 conjunto de producciones eficientes es distinto del conjun

debilmente eficientes.cl EI conjunto de producd6n tiene una cota superior (es decir, Iaque la empresa puede obtener esta limitada),

Problema 4.2.- Probar la proposici6n 4.1.

Lecturas complementarias


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Debreu (1959, cap. 3), Arrow y Hahn (1971, cap. 3) y Koopmansson referencias adecuadas para el analisis de los conjuntos de procusion mas amplia de la empresa competitiva puede encontrarsecap. 1), Kreps (1990, cap. 7), 0Mas-Colell, Whinston y Green (1muchos otros. Estos dos trltimos libros pueden servir tambienaproximaci6n al analisis del comportamiento de las empresas en spetitivas (un tema que esta fuera del objetivo de este curso),

E1capitulo siguiente aborda algunos aspectos complementariosproduccion, y proporciona referencias adicionales,

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