ANALISIS PLASTICO DE ESTRUCTURAS ELEMENTOS EN FLEXION

Generalidades: Se analizará como se comporta una viga más allá del límite elástico bajo la acción de momentos flexionantes. Definiciones: Articulación plástica. Es una zona de completa fluencia que se forma como resultado de la deformación plástica. (El elemento actúa como si fuera articulado) Momento plástico Mp. Momento máximo que existe en una sección cuando está totalmente plastificada. Factor de forma ff. Define una fuente de resistencia sobre el límite elástico. HIPOTESIS. 1.- Se idealiza la curva carga deformación de modo que:

σ σ = εE 0 < ε ≤ εy σ = σy εy < ε ≤ ∝ σy

yε ε 2.- Las secciones planas bajo la flexión permanecen planas después de la deformación. (Las deformaciones son proporcionales a la distancia medida del eje neutro).

3.- Las deformaciones son lo suficientemente pequeñas de modo que φ=tangφ (φ=curvatura) 4.- La ecuación de equilibrio en flexión está expresada por:

( )ydAMA∫= σ σ = esfuerzo a una distancia “y” del eje neutro.

COMPORTAMIENTO PLASTICO DE SECCIONES SIMETRICAS A) ANALISIS SECCION RECTANGULAR: Diagrama de esfuerzos y deformaciones debido a un momento flector: Sección rectangular:

b ε < εy σ <σy εy σy ε > εy σ=σy σy

yε

h M < My M=My My < M < Mp M=Mp Análisis del momento flector en una etapa dada:

Estado parcial plástico: My < M < Mp Se hace el siguiente artificio en la distribución del esfuerzo:

σy σy

σy σy

M = eySσ + Zyσ - eyZσ

Se = Módulo de sección de la porción elástica interna Z= Módulo plástico (sección completa) Ze = Módulo plástico que deberá aplicarse a la porción interna, la cual no es plástica, sino elástica.

M = eySσ + Zyσ - eyZσ = ( ) ( )y e y e y e pS Z Z S Zσ σ σ+ − = +

En que ( )p eZ Z Z= − : Módulo plástico parcial

e: se refiere a la porción elástica p: Se refiere a la porción plástica Para una sección rectangular de ancho “b” se tiene: Cálculo de Ze:

σy C T

σy Por equilibrio: C=T

tycy AA σσ = entonces 2

AAA Tc ==

en este caso 2

0

ehy =

( ) eyyy ZbyybyCyy

CdCM σσσ ====== 2

0000

0´' )()2

2(

4

22

0e

e

bhbyZ == σy

o cálculo de Se:

σy

( )( )0

2

00

0 12

22

y

yyb

y

ISe == =

( )eZby

yb

3

2

3

2

6

2 2

0

2

0 ==

Cálculo de Z: (por semejanza con Ze)

4

2bhZ = ( ) ∫∫ ===

Ay

Ayyp ydAydAZM σσσ = Zyσ

( )

−+=+= eeypey ZZZZSM3

2σσ

−=3

ey

ZZM σ

−=124

22e

y

bhbhM σ

por otra parte: 6

2bhM yy σ=

−=

2

2

2

2 6

12

6

4 bh

bh

bh

bh

M

M e

y

y

y σ

σ

−=

2

2

1

2

3

h

h

M

M e

y

para py MMM <<

Para una sección rectangular completamente plastificada:

ZM yp σ= 4

2bdZ =

SM yy σ= 6

2bdS =

31.5

2

p y

y y

M Z Zff

M S S

σ

σ= = = = =

Conclusión: para una sección rectangular existe un 50% de incremento en la resistencia arriba del límite elástico.

ANALISIS SECCION PERFIL I

( ) yy

y

y Shebbdd

M σσ

=−−= 33 )(6

yσ C1

Zdh

bteh

M yyp σσ =

++=

24

2

C2

T2 T1

yσ

Caso 1: Fluencia parcial del ala

−+

−=

222

3

11

461

d

h

S

bd

S

bd

h

d

M

M e

yyey

Caso 2: Fluencia ó plastificación parcial del alma:

22

12

−=

d

h

S

edff

M

M e

yy

en perfiles tipo “I” ff=1.15

ANALISIS PLASTICO DE ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS Viga simplemente apoyada. Analizar el estado tensional en el centro de la viga

yσ

yσ

2/2700 cmkgy =σ ( )

tmqL

M 9.118

5.47.4

8

22

máx ===

SM yy σ= ( ) 3

22

3756

1510

6cm

bhS === tmM y 1.10=

( )tm

bhZM yyp 2.15

4

15102700

4

22

==== σσ

conclusión: py MMM << máx Sección parcialmente en fluencia

−=

2

2

1

2

3

h

h

M

M e

y

entonces

−=

y

e

M

M

h

h23 = 802.0

1.10

9.1123 =

−

he = 0.802x15 = 12.03 cm el diagrama de esfuerzo obtenido es:

ESTADO DE DEFORMACIONES Análisis Momento - Curvatura en flexión: φ = curvatura ρ = radio curvatura ε = deformación

y = distancia de la fibra al eje neutro σ = esfuerzo a una distancia y del eje neutro

yσ = esfuerzo de fluencia

E= módulo de elasticidad I= Momento de inercia S= módulo de la sección

FASE ELASTICA: para flexión elástica yMM ≤

Se recurre al término curvatura “φ” para cuantificar la deformación del eje del elemento.

EI

M

Eyy====

σερ

φ1

yε ε<

φEIM = E

σε =

φ φ Diagrama ε ρ

En el límite M = My = σyS

EI

M y

y =φ yyM

M

φφ

= yφφ <

FASE SEMI – PLASTICA. para flexión plástica. En el rango plástico la relación momento – curvatura y la magnitud del momento plástico máximo, se obtienen siguiendo los mismos procedimientos que el análisis elástico, e.d. considerando la estructura deformada y obteniendo el momento y la curvatura correspondiente.

y pM M M< < yε ε> yσ

yε

ε φ

e

y

e

y

hhy

εεεφ

2

2

=== 2 y

y

eh

εφ =

ey h

h=

φφ

para φφ <y

Anteriormente se obtuvo para una sección rectangular:

−=

2

2

1

2

3

h

h

M

M e

y

=

−

2

32

1

φ

φ y

y

y

M

M23

1

−

=φφ

yM

M

1.0

1.0

yφφ

Resumen para sección rectangular:

−=

2

3

11

2

3

φ

φ y

yM

M para yφφ >

=

yyM

M

φφ

para yφφ <

Variación del factor de forma para otras secciones:

Problema: Determinar la longitud teórica de la posición de fluencia ya para una

viga rectangular

4máx

PLM =

4

LPM

y

y = 4

PuLM u =

Zona de comportamiento elástico: yax ≤≤0 yMM ≤

yy

yy a

x

aP

xP

M

M===

2

2

φφ

Zona parcialmente plástica 2

Lxa y ≤≤

−

=

−

=

yy

y

a

x

M

M23

1

23

1

φφ

cálculo de ay :

y

y

y aPLP

M24

== entonces 2

L

P

Pa

y

y = P

P

L

a yy

2

1=

cálculo de Pu :

5.14/

4/=== ff

LP

LP

M

M

y

u

y

u (sección rectangular) entonces yu PP 5.1=

cálculo de au :

Si P=Pu 325.12

LL

P

PL

P

Pa

y

y

u

y

u ===

yP

P

=

P

P

L

a yy

2

1

2

1

3 2y

Lyx

x

a

φφ

=

= −

1.0 0.500 1.000

1.1 0.455 1.118

1.2 0.417 1.291

1.3 0.385 1.581

1.4 0.357 2.236

1.45 0.345 3.162

1.5 0.333 ∝

/ 0.5

/ /y y y

x x L

a a L a L= =

si / 3ya L=

Curvatura yφφ

cerca del centro para 1.5u

y

P P

P

==

L

x

uy P P

φφ

=

0.485 3.33

0.490 4.082

0.495 5.773

0.498 9.128

0.500 ∝

1

/3 2

0.333y

x Lφφ

=−

1.5y

P

P=

yφφ

1.118y

P

P=

1.0y

P

P=

X/L Nota: en el centro de la viga se concentra una zona de fluencia donde se concentra grandes curvaturas. (se forma una rótula plástica)